Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exgenasEstructura bsica:La mayor parte de los modelos de crecimiento contienen la misma estructura general de equilibrio.Primero, la familias poseen los factores y activos de la economa, incluyendo los derechos de propiedad de las empresas y adems deciden que parte de su renta consumen o ahorran. Segundo las empresas contratan factores, como capital y trabajo ellos producen bienes para vender a las familias o empresas. Las empresas tienen acceso a la tecnologa que les permite transformar los factores en produccin. Tercero, existen mercados en que las empresas intercambian bienes con las familias u otras empresas y en que los hogares venden factores a las empresas. La cantidad demandada y oferta determinan los precios relativos de los factores y los bienes producidos.Aunque en general esta estructura aplica en la mayora de los modelos de crecimiento, es conveniente para el inicio de nuestro anlisis usar un modelo simplificado en el que se excluye a los mercados y las empresas. Podemos pensar en una composicin unitaria que posee factores y manejan la tecnologa que transforman los factores en produccin. En el mundo real, la produccin utiliza varios factores de produccin. Nosotros resumiremos en tres; capital fsico, trabajo, y conocimiento. La funcin de produccin tiene la siguiente forma:Y(t)=F[k(t), L(t),T(t)]Donde, Y(t) es el flujo producido en el tiempo t.Capital, k(t), representa los factores fsicos durables, como maquinas, edificios, lpices, etc. Estos bienes fueron producidos en algn momento en el pasado, por una funcin de produccin de la forma de la ecuacin (1). Es importante advertir que estos factores no pueden ser usados por productores mltiples al mismo tiempo. Esta caracterstica se denomina rivalidad: un bien tiene la caracterstica de rival si no puede ser utilizado por varios usuarios al mismo tiempo.El segundo factor de la funcin de produccin es el trabajo, L(t), y este representa los factores asociados con el individuo. Estos factores incluyen el nmero de trabajadores y la cantidad de tiempo que trabajan, as como su resistencia fsica, sus habilidades y la salud. El trabajo es tambin un factor rival, ya que el trabajador no puede trabajar en una actividad sin reducir el tiempo que dedica a otras actividades.El tercer factor es el nivel de conocimientos o tecnologa, T(t). Los Trabajadores y maquinas no pueden producir algo sin un formula o programa que describa el proceso. Esta frmula es lo que se denomina conocimiento o tecnologa. La principal caracterstica diferenciadora del conocimiento es que es un bien no rival: dos o ms productos pueden usar la misma frmula al mismo tiempo. Esta propiedad de no rivalidad tiene repercusiones importantes en lo relativo a la interaccin entre tecnologa y crecimiento econmico.Economa cerrada: los hogares no pueden comprar bienes o activos extranjeros y no pueden comprar bienes o activos en el exterior. En una economa cerrada sin gasto pblico, toda la produccin se dedica al consumo o a la inversin bruta, con lo que Y(t)=C(t)+I(t). Si restamos C(t) a ambos miembros y teniendo en cuenta que la poblacin es igual a la renta, obtenemos que, en esta sencilla economa, el ahorro, S(t)=Y(t)-C(t), es igual a la inversin I(t).Denominemos s(.) a la tasa de ahorro, es decir, a la parte ahorrada de la produccin, con lo que 1-s(.) es parte consumida de la produccin. Para simplificar el ejemplo, suponemos que s(.) viene dada exgenamente. La funcin ms sencilla, es la asumida por Solow (1956) y Sawn (1956), toma la forma de una constante 00, F(.)Se caracteriza por tener productos marginales positivos y decrecientes en cada factor:

Es decir, la tecnologa neoclsica supone que, si se mantienen constantes los niveles de tecnologa y trabajo, cada unidad adicional de capital aade sumas positivas de produccin, pero estas sumas positivas disminuyen a medida que el nmero de mquinas aumenta. Al trabajo se les supone esta misma propiedad.3. Condiciones de Inada: La tercera caracterstica definitoria de la funcin de produccin neoclsica establece el producto marginal del capital (o del trabajo) tiende a infinito cuando el capital (o el trabajo) tiende a 0, y tiende a 0 cuando el capital (o trabajo) tiende a infinito:

Estas propiedades se denominan condiciones de Inada, en honor al economista del mismo nombre.4. Esencialidad: Algunos economistas aaden a la definicin de la funcin de produccin neoclsica la condicin de esencialidad. Un factor es esencial si se requiere una cantidad estrictamente positiva del mismo para producir una cantidad de produccin positiva. En el apndice mostramos que las tres propiedades neoclsicas de las ecuaciones 4.6. Implican que cada factor es esencial para la produccin neoclsica tambin implican que la produccin tiende a infinito si cada factor tiende a infinito, otra propiedad que queda demostrada en el apndice.Variables per cpita: cuando decimos que un pas es rico o pobre, solemos pensar en produccin o consumo por perdona. En otras palabras, no pensamos que la India es ms rica que los pases bajos, porque tenga un PIB mucho mayor, ya que una vez que se divide entre el nmero de habitantes, en la India la renta que como promedio recibe cada persona es mucho menor que en los pases bajos. Para tener en cuenta esta propiedad, construimos el modelo en trminos per cpita y estudiamos principalmente el comportamiento dinmico de las variables per cpita de PIB, consumo y capital.Puesto que la definicin de rendimientos constantes a escala se aplica a todos los valores de ALFA tambin es vlida para ALFA=1/L. as pues, la produccin puede definirse como:

Donde k=K/L es el capital por trabajador, y=Y/L es la produccin por trabajador y la funcin f(k) equivale a f(k,1,T). Ello implica que la funcin de produccin puede expresarse en su forma intensiva (es decir, en forma por trabador o per cpita) de la siguiente manera:

En otras palabras, la funcin de produccin no tiene Efectos de escala: la produccin por persona viene fijada por la cantidad de capital fsico del que dispone cada persona, y, si k permanece constante, el hecho de tener ms o menos trabajadores no afecta a la produccin total por persona. En consecuencia, economas de gran tamao, como China e India, pueden tener una produccin o renta por persona menor que economas pequeas, como suiza o los pases bajos.Podemos derivar esta condicin Y=L*f(k) primero con respecto a K, manteniendo L fijo, y despus con la relacin a L, manteniendo K fijo, a fin de comprobar que los productos marginales de los factores de produccin vienen dados por:

Las condiciones de Inada implican que LIM. =0. La ilustracin 1.1 muestra la produccin neoclsica en trminos per capita: esta pasa por el punto 0, es vertical en 0, tiene pendiente positiva y es cncava. Cuando k tiende a infinito dicha pendiente tiene una asntota igual a 0.

1.2.2. La ecuacin fundamental del modelo de Solow-SwanEn esta seccin analizaremos el comportamiento dinmico de la economa descrita por la funcin de produccin neoclsica. El modelo de crecimiento resultante se denomina modelo de Solow-Swan, en honor a las importantes contribuciones de Solow (1956) y Swan (1956).El cambio en el stock de capital en el transcurso del tiempo viene fijado por la ecuacin (1.2). Si dividimos por L ambos miembros de la ecuacin, obtenemos:

El lado derecho contiene las variables per cpita, pero el lado izquierdo no lo son. Por lo tanto no es una ecuacin diferencial ordinaria pero puede ser resuelta fcilmente. Para transformarlo en una ecuacin diferencial en trminos de k, podemos tomar la derivada de K=K/L respecto el tiempo.

Donde n=L../L. si sustituimos la expresin K../L en el resultado anterior, obtenemos.

La ecuacin 122222232 es la ecuacin fundamental del modelo de Solow-Swan. Esta ecuacin no lineal depende solo de K.

EL termino N+ALFA en el lado derecho de la ecuacin 23424 puede ser considerado como la tasa de depreciacin efectiva para la razn de K=K/L. si la tasa de ahorro, s, fuera 0, el capital por persona declinara en parte debido a la depreciacin en la tasa ALFA, en parte debido al incremento en el nmero de persona en la tasa N.

La figura 1.11. Muestra los funcionamientos de la ecuacin 12132 La curva superior es la funcin de produccin. El trmino ALFA que aparece en la ecuacin 1232, es extrado en 12321 de la figura como una lnea recta del origen con la cuesta.