Par ordenado

Ejemplos de ocho puntos localizados en elplano cartesiano mediante pares ordenados.

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue

un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo

elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está

definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también

parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados

(0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una

colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto

de n -tupla .

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas,

las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Índice

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1 Definición

o 1.1 Producto cartesiano

o 1.2 Generalizaciones

2 Construcción

3 Referencias

Definición[editar · editar código]

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos

sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y

segundo elemento respectivamente:

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesianoEn matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro

conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer

elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría

analítica dio origen a este concepto.1

Índice

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1   Definición

o 1.1   Ejemplos

2   Generalizaciones

o 2.1   Caso finito

o 2.2   Caso infinito

3   Propiedades

4   Véase también

5   Referencias

Definición[editar · editar código]

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se

denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos

conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden

formarse con estos dos conjuntos:

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los

pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.

El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyascoordenadas son números

enteros.

Ejemplos[editar · editar código]

Baraja francesa

Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de

la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas

rango-palo:

B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦), (A, ♣), ..., (K, ♣) }

El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada

baraja.

Números enteros

Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano

de Z consigo mismo esZ2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es

decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar

los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza

un plano cartesiano (en la imagen).

Pintura y pinceles

Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

, , ,

, , , ,

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles

emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un

plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante

una tabla:

Generalizaciones[editar · editar código]

Caso finito[editar · editar código]

Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define

como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo

elemento está en A2, etc.

El producto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el

conjunto de las n-tuplas cuyo elemento k-ésimo pertenece a Ak, para

cada 1 ≤ k ≤ n:

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2,

como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta

generalización puede construirse a partir de la definición básica como:

o construcciones similares.

Caso infinito[editar · editar código]

En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera

de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro

más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto

índice es el objeto que distingue quién es la «entrada k-ésima»:

El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F =

{Ai}i ∈ I es el conjunto de las aplicaciones f : I → ∪Fcuyo dominio es el

conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que

cumplen que para cada i ∈ I se tienef(i) ∈ Ai:

donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado un j ∈ I, la proyección sobre la

coordenada j es la aplicación:

En el caso de una familia finita de conjuntos {A1, ..., An} indexada por el

conjunto In = {1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien

las aplicaciones f : In → ∪i Ai de la definición anterior son precisamente n-

tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la

definición anterior puede considerarse como la más general.

Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones

no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos.

Estas aplicaciones son de hechofunciones de elección cuya existencia sólo

puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De hecho,

la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de Fson

no vacíos) es equivalente a dicho axioma.

Propiedades[editar · editar código]

El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee

elementos para construir pares ordenados:

Un producto cartesiano donde algún factor sea el conjunto vacío

es vacío. En particular:

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo

en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.

En general:

Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un

plano cartesiano, es fácil ver que el cardinal del conjunto producto es el

producto de los cardinales de cada factor:

El producto cartesiano de un número finito de conjuntos finitos es finito a su vez. En

particular, su cardinal es el producto de los cardinales de cada factor:

El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún

conjunto infinito es infinito a su vez.

Distancia entre dos puntos

 

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar

puntos en un plano.

Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la

ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje,

la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda

determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas,

luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades

Demostración

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. 

  

 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =   esta dada por:

 

(1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de

recta   

 

Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se

interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema

de Pitágoras:

Pero:   ; 

 y 

Luego, 

  

  

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y  P2 no afecta el valor de la distancia.

Distancia entre dos puntosLa geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas.Con la geometría analítica se puede encontrar y determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Uno muy importante y fundamental es: la distancia entre dos puntos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo:La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Distancia entre dos puntos en un espacio tridimensionalLos razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacio y un grupo de ordenadas de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes x e y: el eje z. Resultando una única ecuación lineal del tipo: ax + by + cz = 0

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espacio tridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho toda recta se puede escribir como intersección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representada como:

Si bien, por el momento se ha trabajado únicamente con dos variables, el incluir una variable más (z), implica la ampliación del sistema de coordenadas y el establecimiento de ciertas reglas para la graficación tridimensional.El sistema tridimensional de coordenadas rectangulares se forma a partir de tres ejes perpendiculares entre sí, de manera que existe un eje que se proyecta hacia delante, es decir, que se "sale" del papel.Al igual que en el dibujo tridimensional, los ejes se pueden trazar como una vista en isométrico o axonométrico.

Para la representación de puntos y elementos dentro de un sistema coordenado tridimensional se requiere una unidad o escala. Si la representación se hace en un sistema isométrico, las unidades tendrán la misma longitud en los tres ejes, sin embargo, cuando se utilice el sistema axonométrico se recomienda entonces que la unidad que representa el eje "x", es decir, la que se "proyecta" hacia el observador, debe tener aproximadamente 0.7 unidades de longitud. 

La utilidad del uso de la distancia entre dos puntosEs importante la aplicación y la gran importancia de conocer este concepto, esto debido a que se puede ocupar para diversas tareas de la vida cotidiana. Algunos ejemplos son los siguientes:

Para conocer la medidas de un lote en venta, es muy útil para saber las medidas de dicho lote el gasto para cercarlo etc.

Conocer la distancia que hay entre una ciudad a otra ó entre un país y otro, esto para determinar el tiempo estimado para llegar a dicho lugar, los costos de transporte (en este caso si es un automóvil propio la cantidad de gasolina que se utilizará etc).

Para las personas que les gustan practicar deportes extremos como escalar montañas, descender de una a gran velocidad etc. Les podría servir para conocer la distancia que hay desde el inicio hasta el final de la pista para conocer el tiempo que les llevaría recorrer esa distancia, para mejoras y poder ser más veloces.

También se puede utilizar en el espacio exterior para conocer las distancia que hay entre un planeta a otro, un sistema solar a otro entre otras cosas.

Al igual como conocer las distancias y el tiempo que tarda un cometa en llegar a un determinado lugar para ser observado.

Y para un futuro porque no para conocer los gastos para poder viajar por el espacio, conociendo la distancia.

Para cálculos en ciencias, un ejemplo de distancias en el espacio es en la química o mineralogía, para saber las dimensiones de las estructuras cristalinas de los minerales o cristales, en ellos se usa el plano isométrico. O en la física para el cálculo de vectores.

Nos intereso demostrar este porque a parte de ser un principio muy básico y útil para la vida, es importante que las personas que se interesen y las que tengan problemas con algo relacionado con esto, consideren los principios que se necesitan para comprender el cómo funcionan las cosas a nuestro, considerando siempre la importancia que ejerce la geometría a lo largo de la vida y el valor como una ciencia indispensable para el ser humano.

¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio?Supongamos que tenemos dos puntos sobre el mismo eje, ya sea x o y. 

Para medir la distancia, en este caso de los ejes x lo que hacemos es asignar

los nombres a cada punto (x1 y x2). Luego tomamos los valores y hacemos

una resta. Así x1 – x2 = dx 

Así usando la fórmula del teorema de Pitágoras, para triángulos rectángulos tenemos que 

Donde a y b son los dx y dy por lo que 

Despejando la fórmula queda así 

Ahora tomando en cuenta otra dimensión (z) 

Ahora ponemos dos puntos en este espacio. Cada punto ahora constara de tres dimensiones (x, y, z). 

¿Cómo medir la distancia de P1 a P2 ? 

Observemos que al trazar una recta que se paralelo a cualquiera de los ejes, intercepta con un plano. Lo mismo ocurre con el otro punto. 

Y ahora veamos que al unirlo con otro punto tenemos un triángulo rectángulo. 

Ahora medimos la distancia de esos puntos, con la formula de distancia en el plano que es 

Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la distancia, de P1 a P2. Esto puede abreviarse con la fórmula siguiente 

Despejando 

Donde (X2-X1)2+(Y2-Y1)2, representa lo primero que hicimos, con la fórmula de distancia, y +(Z2-Z1)2 es la siguiente dimensión, y la segunda vez que utilizamos la fórmula, se vuelve una dimensión ya que (X2-X1)2+(Y2-Y1)2 es otro eje (como x o y). 

Ahora medimos la distancia de esos puntos (triángulo 1), con la fórmula de distancia en el plano. Obtendremos la distancia, y si ocupamos esa distancia con respecto a otro eje usándola como un cateto, de otro triángulo rectángulo. Volvemos a usar la fórmula de distancia en dos puntos (triángulo 2). Así al obtener la hipotenusa del triángulo, obtenemos la distancia, de P1 a P2. 

También puedes revisar estas animaciones complementarias dando click en la imagen. 

EjemploHallar las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del segmento P1 (1, -3, 5) y P2 (-3, 3, -4).

Solución: 

Sean A1 y A2 los puntos de trisección y M el punto medio de P1, P2. 

Para A1 tenemos  

Para A2 tenemos  Por tanto, para el punto A1, por el teorema 2 anterior: 

Análogamente, para el punto A2, tenemos:

Las coordenadas del punto medio son:

 

Ejercicios1 Hallar la distancia entre los puntos P1 (-1, -2, 2) y P2 (2, 4, -1).

2 Demostrar que los puntos P1 (-2, 4, -3), P2 (4,-3,-2) y P3 (-3. -2, 4) son los vértices de un triángulo equilátero.

3 Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son A (-2, -3, -2), B (-3, 1, 4) y C (2, 3, -1).

4 Calculando ciertas distancias, demostrar que los tres puntos (2, 0, -1), (3, 2, -2) y (5, 6, -4) son coloniales.

5 Determinar la distancia desde un punto cualquiera P(x,y, z) a cada uno de los planos y ejes coordenados, y al origen. Ordénese los resultados en una tabla y obsérvese la simetría en las letras x, y, z.

6 Hallar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que la distancia del punto (x, y, z) al punto (2, 1, 4) es igual a 5. ¿Qué representa esta ecuación?