bateria mate 4.docx

ECUACIONES DIFERENCIALES

Practica n.-1

I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

1) Demostrar por sustitucin directa en la ecuacin diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuacin diferencial.

a) es solucin de Solucin:

.. (1)

. (2)

.. (3) Luego sumamos (1), (2) y (3)

b) es solucin de Solucin:

....... .. (1)

.. (2)

.. (3)

.. (4)

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

2)

Demostrar que es la solucin de la ecuacin diferencial, y hallar la solucin particular para ( esto es la ecuacin de la curva integral que pasa por (0,3))

Solucin:

.. (1)

..(2)

Luego sumamos (1) y (2)

La ecuacin de la curva integral es:

3)

Demostrar que es solucin de y hallar la ecuacin de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)

Solucin:

. (1)

... (2)

... (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)


4)

Demostrar que es la primitiva de la ecuacin diferencial y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)

5)

La primitiva de la ecuacin diferencial es . Hallar la ecuacin de la curva integral que pasa por el punto (1,2)

Solucin:


6)

Comprobar que y, son primitivas de demostrar tambin que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.

Solucin:

.

.. (1)

(2)


.

. (3)

(4)


. Ahora demostraremos que y son, en realidad, una sola.

Como y son constantes, pueden asumir el valor de

7)

Demostrar que se puede escribir as

Solucin:

Como es una constante

Reemplazamos en

8)

Demostrar que se puede escribir as

Solucin:

Derivamos:

Integramos:

9)

Demostrar que se puede escribir como Solucin:

Como es constante, entonces puede tomar el valor

10)

Demostrar que se puede escribir como

Solucin:

Como es constante entonces le damos el valor de

II) Origen de las ecuaciones diferenciales

1) Se define una curva por la condicin que cada uno de sus puntos su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condicin mediante una ecuacin diferencial.

Solucin:

La pendiente es

2) Una curva esta definida por la condicin que representa la condicin que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condicin por medio de una ecuacin diferencial.

3) Cien gramos de azcar de caa que estn en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hllese la ecuacin diferencial que exprese la velocidad de conversin despus de t minutos.

Solucin

Sea la cantidad de gramos convertidos en minutos, el numero de gramos aun no convertidos ser y la velocidad de conversin vendr dada por , donde K es la constante de proporcionalidad.

4) Una partcula de masa m se mueve a lo largo de una lnea recta (el eje x) estando sujeto a :

i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo 0 en su trayectoria y dirigida hacia 0.ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad

Expresar la fuerza total como una ecuacin diferencial

5) Demostrar que en cada una de las ecuacionesa)

Solucin

Debido a que la suma son constantes la suma ser igual a una constante k

b)

Solucin

Debido a que es una constante la reemplazamos por kc)

Solucin

Debido a que es una constante la reemplazamos por k

Solamente es usual una de las dos constantes arbitrarias6) Obtener la ecuacin diferencial asociada con la primitiva

Solucion

la ecuacin diferencial asociada es:

7) Obtener la ecuacin diferencial asociada con la primitiva

Solucin


Solucin

-9) Obtener la ecuacin diferencial asociada con la primitiva

Solucin

Derivando

Derivando y acomodndolo:


Solucin:

===


Solucin

12) Hallar la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo r cuyos centros estn en el eje x

La ecuacin de una circunferencia es:

Derivando

13) Hallar la ecuacin diferencia de la familia de parbolas cuyos focos estn en el origen y cuyos ejes estn sobre el eje x

Solucin:

La ecuacin de la familia de la parbola es:

Donde el vrtice es (0,0) y el foco F (0, p)

Derivamos

PRACTICA n.-2

I) SEPARACIN DE VARIABLESResolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) X3dx + (y+1)2dy = 0Sol:

X3dx + (y+1)2dy = cX4/4 + c1 + (y+1)3/3 +c2 = c(y+1)3/3 = k - X4/4 (y+1) = y = -1

2) x2(y+1)dx + y2(x-1)dy = 0Sol:

dx + dy = 0 dx + dy = 0 dx + dy = c Sea = x-1 Sea: v = y+1 x = +1 y=v-1d=dx dv=dy d = +2 +ln +c1 = - 2v + lnv + c2 +2(x-1)+ln(x-1)+c1 - 2(y+1) +ln (y-1) + c2 +2(x-1)+ln(x-1)+c1 + - 2(y+1) +ln (y-1) + c2 = c +2(x-1)+ln(x-1) + - 2(y+1) +ln (y-1) = k 3) 4xdy ydx = x2dySol:(4x-x2)dy ydx=0dy - dx =0 - = 0 - = cLny + c1 - ln () +c2 = cLny = ln () + ky =

4) x(y-3)dy = 4ydxSol:dy = dx dy - = c

y 3lny +c1 4lnx + c2 = clny = y = y =

5) (y2 + xy2)dy + (x2-x2y)dx = 0Sol: dy + dx= 0dy + dx = c-(ln(1-y) 2(1-y) + ) + c1 + - 2(x+1) + lnx + c2 = c-ln (1-y) + 2(1-y) - + - 2(x+1) + lnx = k

6) x + y y = 0 Sol: dx + dy = 0

dx + dy = c + c1 + + c2 = c = k -

1+y2 = (k - )2y =

7) Hallar la solucin particular de: (1+x3) dy x2ydx = 0, que satisfaga las condiciones inciales x=1, y=2.Sol: dy - dx = 0

- dx = cLny +c1 - ln(1+x3) + c2 = cLny = k + ln(1+x3) Para x=1,y=2:Ln(2) = k +ln(1+13)K = 0.46

8) Hallar la solucin particular de: secydx + (1+ ) secytgydy = 0, cuando x=3, y=60.Sol: dx + dy = 0 dx + tgydy = cLn (1+ex) + c1 + ln (secy) + c2 = c Ln (secy) = k Ln (1+ex)Para x=3, y=60.K=ln (2)+ln (1+e3)

9) Hallar la solucin particular de: dp =pd, cuando =0, p=1.

Sol:dp =pd= dLnp+c=ln(sec)+c1Lnp- ln(sec)=kPara =0,p=1.Ln1-ln1=0K=0

II) REDUCCIN A VARIABLE SEPARADA

1) Resolver : (x+y)dx + (3x+3y-4)dy = 0Sol: (x+y) dx + (3x+3y-4) dy = 0. (I)Sea: z = x+y dz=dx+dy = 1+ = 1 (II)Reemplazando en (I)Z + (3z-4) ( 1) = 0-2zdx + 3zdz 4dz + 4dx = 0-2zdx + 3zdz 4dz + 4dx = 0-2zx +c1+ +c2 -4z + c3 +4x + c4 = c-2(x+y) x + 4(x+y) + 4x = k

2) Resolver : (x+y)2y = a2Sol:(x+y)2y = a2...................(I)Sea: z = x+y dz = dx+dy = 1+ = 1 (II)Reemplazando en (I)(x+y)2 ( 1) = a2Z2 ( 1) = a2 dz = dxZ a.arctg () = x + kX + y a.arctg () = x + ky a.arctg () = k

3) Resolver: y = cos2 (ax+by+c) / a b, a y b son constantes positivas.Sol:Sea: z = ax+by+c , y= cos (ax + by + c).. (I) = a + b - a = b ( a) = . (II)Remplazando (II) en (I)( a) = Cos2 (z) - = Cos2z - a = b Cos2z = bCos2z + a

= dx arctg (+ C1 = C2 arctg ( Cos (ax + by + c)) x + k 4) Resolver : y+1= Sol:y + 1 = .. (I)Sea: z = x+y dz = dx+dy = 1+ = 1 (II)Reemplazando en (I)( 1) + 1= = () dz = dx (zn-m + zp-m) = dx + = x+k

(p-m+1)(x+y)(n-m+1) + (n-m+1) (x+y)(p-m+1) = (x+k) (p-m+1)(n-m+1)

5) Resolver : xy2(xy+y) = a2Sol:xy2 (xy+y) = a2.. (I)xy2y + xy3 = a2Sea: z=xy y = y = . (II)Reemplazando (II) en (I): (x + ) = a2, simplificandoz2dz = a2xdx, integrando + c = a2 + c12x3y3 = 3a2x2 + k

6) Resolver : (lnx+y3)dx - 3xy2dy = 0Sol:Sea: z = lnx +y3 = + 3y2y, de donde 3xy2y = x 1Reemplazando en la ecuacin diferencial se tiene: z (x 1) = 0(z+1) - x = 0, separando las variables: - = 0, integrando se tiene: lnx ln (z+1) = lnc x = c (z+1)z+1 = kx lnx + y3 + 1 = kx , donde k= y3 = kx lnx - 17) Resolver : y = tan(x+y) 1Sol:Sea: z = x+y = 1 + Reemplazando en la ecuacin diferencial: - 1 = tanz - 1 = tanz , = dx, ctgzdz = dxIntegrando:Ln (senz) + c1 = x + c2Ln(sen(x+y)) = x + k = sen(x+y)

8) Resolver : (6x+4y+3)dx+(3x+2y+2)dy = 0Sol:Sea: z = 3x+2y = 3 + 2 dy = Reemplazando en la ecuacin diferencial:(2z+3) dx + (z+2) ( ) = 0Simplificando y separando las variables:Dx + dz = 0Integrando ambos miembros:z + 2lnz + x = c4x + 2y + 2ln (3x+2y) = c

9) Resolver : cos(x+y)dx xsen(x+y)dx +xsen(x+y)dySol:Sea: z = x+y = 1 + dy = dz dxReemplazando en la ecuacin diferencial:Coszdx = xsenzdx + xsenz (dz-dx)Simplificando y separando las variables: = tanzdzIntegrando miembro a miembro:xcos(x+y) = c

10) Resolver : y(xy+1)dx + x(1+xy+x2y2)dy=0Sol:Sea: z = xy = y + x dz = dx + xdy (z+1)dx + = 0Simplificando y separando las variables: dz + = Integrando miembro a miembro:Lnz +c1+ lnz2 + c2+ lnz3+ c3 = lnx + cLn(xy) + ln(xy)2 + ln(xy)3 = lnx +k

11) Resolver : (y-xy2)dx (x+x2y)dy=0Sol:Sea: z = xy = y + x dz = dx + xdyReemplazando en la ecuacin diferencial:( - ) dx (x+zx) () = 0Simplificando y separando las variables:2 = dzIntegrando:2lnx + c1 = z + lnz + c22lnx ln (xy) xy = k

12) Resolver : (1-xy+x2y2)dx + (x3y-x2)dy=0Sol: Sea: z = xy = y + x Reemplazando en la ecuacin diferencial:(1+z2-z) dx + (zx2 x2) = 0Simplificando y separando las variables: + dz - = 0Integrando:Ln x + xy = k13) Resolver : cosy=0Sol :Como : cosy=0 y = arccos = (2n+1) = (2n+1) dy = (2n+1) dxIntegrando:y = (2n+1) x + k14) Resolver : ey=1Sol:Como: ey=1 y = 0Integrando:y =

15) Resolver : lny=xSol:ex = y dy = dx Integrando:y = + c

16) Resolver : x2ycosy+1=0/ y=16; x Sol:yCosy + = 0 , de donde : cosydy + = 0integrando:seny - = c , como y=16 cuando x c = sen (16)Seny - = sen (16)

17) Resolver : tgy=xSol:Como tgy = x y = arctgx + n, n Ndy = (arctgx + n)dx Integrando:2y = 2xarctgx ln(x2+1) + 2nx + c

Practica n.-3I) FUNCIONES HOMOGENEAS

Determinar cuales de las siguientes funciones son homogneas1)

Solucin:

La es homognea de grado 3

2)

Solucin:


3)

Solucin:


4)

Solucin:


5)

Solucin:

La no es homognea

6)

Solucin:

La no es homognea

7)

Solucin:


8)

Solucin:


9)

Solucin:

La no es homognea

10)

Solucin:


II) Si es homognea, demostrar que se separan las variables

Solucin:Debido a que (#)Es homognea se cumple que: Y (1)Haciendo que .. (2)Reemplazando (2) en (1)

. (3)

.. (4)Ahora como ..(5)Reemplazando (3), (4), (5) en (#) obtenemos:

Simplificando y agrupando obtenemos:

III) ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Resolver las siguientes ecuaciones homogneas1)

Solucin:

La ecuacin diferencial es homognea de grado 3: ()Reemplazando () en la ecuacin original

..()Reemplazando () en ()

Levantando el logaritmo obtenemos:

2)

Solucin:La ecuacin diferencial es homognea de grado 1: .. ()Reemplazando () en la ecuacin original


3)

Solucin:

La ecuacin diferencial es homognea de grado 1: .. ()Reemplazando () en la ecuacin original


4)


Reemplazando () en ()

5)+

Solucin:La ecuacin diferencial es homognea de grado 0: .. ()Reemplazando () en la ecuacin original +


6)



7)Solucin:La ecuacin diferencial es homognea de grado 1: .. ()Reemplazando () en la ecuacin original


8)

Solucin:Transformamos la ecuacin diferencial:



9)Solucin:La ecuacin diferencial es homognea de grado 1: .. ()Reemplazando () en la ecuacin original


10)

Solucin:


11)

Solucin:



IV) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGNEAS

Resolver las siguientes ecuaciones homogneas

1)

Solucin:

La ecuacin diferencial se puede escribir de la siguiente manera:

Resolviendo Adems ()Reemplazando () en la ecuacin diferencial

()Es una ecuacin homognea de grado 1:..()Reemplazando () en ()

. ()Como Reemplazando en ()

2)

Solucin:


Resolviendo Adems ()Reemplazando () en la ecuacin diferencial()Es una ecuacin homognea de grado 1:..()Reemplazando () en ()


3)

Solucin:La ecuacin diferencial se puede escribir de la siguiente manera:



4)Solucin:




5)

Solucin:

Sea . ()Reemplazando () en la ecuacin diferencial .. (1)Para que la ecuacin sea homognea debe cumplirse:

Reemplazando en la ecuacin diferencial

Es una ecuacin diferencial homognea de grado 2.. ()Reemplazando () En la ecuacin diferencial De donde simplificando y separando la variable se tiene, integrando se tiene

Como se tiene:6)Solucin:Sea . ()Reemplazando () en la ecuacin diferencial

Para que la ecuacin sea homognea debe cumplirse:

Simplificando(3) es una ecuacin diferencial homognea de grado 2.. ()Reemplazando () En la ecuacin diferencial

Como se tiene 7)Solucin:Reemplazo en la ecuacin diferencia dad se tiene: (1) es una ecuacin diferencial homogneas de grado 1. (2)Reemplazando y simplificando (2) en (1)

Integramos

8)Solucin:Sea . ()Reemplazando () en la ecuacin diferencial

Sean reemplazando

Para que la ecuacin sea homognea debe cumplirse:.. ()Reemplazando () En la ecuacin diferencial

Como se tiene

9)Solucin:. (1)Reemplazando (1) en la ecuacin diferencial

Asiendo en cambio de variable respectivo la solucin ser:

10)Solucin:(1)Reemplazando (1) en la ecuacin diferencial

11)Solucin:Sea . ()Reemplazando () en la ecuacin diferencial

()..()Reemplazando () en ()

Reemplazando

PRACTICA # 4.

I) Ecuaciones diferenciales exactas:Resolver las siguientes ecuaciones:1) (4x3y3 2xy)dx + (3x4y2 x2)dy = 0Sol:(4x3y3 2xy)dx + (3x4y2 x2)dy = 0

M(x, y) N(x, y) = 12x3y2 2x = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 4x3y3 2xyf(x, y) = (4x3y3 2xy)dx + g(y)f(x,y) = x4y3 x2y + g(y) , derivando con respecto a y. = 3x4y2 - x2 + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 3x4y2 x23x4y2 - x2 + g(y) = 3x4y2 x2 g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x4y3 x2y + cx4y3 x2y = k2) (3e3xy 2x)dx + e3xdy = 0Sol:(3e3xy 2x)dx + e3xdy = 0

M(x, y) N(x, y) = 3 = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 3e3xy 2xf(x, y) = (3e3xy 2x)dx + g(y)f(x,y) = y x2 + g(y) , derivando con respecto a y. = + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = e3x + g(y) = g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = y x2 + cy x2 = k

3) (cosy + ycosx)dx + (senx xseny)dy = 0Sol:(cosy + ycosx)dx + (senx xseny)dy = 0

M(x,y) N(x,y) = -seny + cosx = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 3e3xy 2xf(x, y) = (3e3xy 2x)dx + g(y)f(x,y) = y x2 + g(y) , derivando con respecto a y. = + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = e3x + g(y) = g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = y x2 + cy x2 = k

4) 2x(yex2 1 )dx + ex2dy = 0Sol: 2x(yex2 1 )dx + ex2dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= 2x ex2 = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 2x(yex2 1)f(x, y) = (2x(yex2 1))dx + g(y)f(x,y) = y ex2 x2 + g(y) , derivando con respecto a y. = ex2 + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = ex2ex2+ g(y) = ex2 g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = y ex2 x2 + cyex2 - x2 = k

5) (6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0Sol:(6x5y3 + 4x3y5)dx + (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= 18x5y2 + 20x3y4 = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 6x5y3 + 4x3y5f(x, y) = (6x5y3 + 4x3y5)dx + g(y)f(x,y) = x6y3 + x4y5 + g(y) , derivando con respecto a y. = 3x6y2 + 5x4y4 + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 3x6y2 + 5x4y43x6y2 + 5x4y4 + g(y) = 3x6y2 + 5x4y4 g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x6y3 + x4y5 + cx6y3 + x4y5 = k

6) (2x3 + 3y)dx + (3x + y 1)dy = 0Sol: (2x3 + 3y)dx + (3x + y 1)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= 3 = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 2x3 + 3yf(x, y) = (2x3 + 3y)dx + g(y)f(x,y) = + 3xy + g(y) , derivando con respecto a y. = 3x + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 3x + y 13x + y 1 + g(y) = 3x + y 1 g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = + 3xy + cx4 + 6xy + y2 = k

7) (y2 + 4x3)dx + ( 2xy - 3y2)dy = 0Sol: (y2 + 4x3)dx + ( 2xy - 3y2)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= 2y+ 2xy3= . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = y2 + 4x3f(x, y) = (y2 + 4x3)dx + g(y)f(x,y) = + x4 + g(y) , derivando con respecto a y. = 2xy + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 2xy - 3y22xy + g(y) = 2xy - 3y2 g(y) = - 3y2 g(y) = - y3f(x,y) = + x4 - y3

8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0Sol: (2xy2 + 2y)dx + (2x2y + 2x)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= 4xy + 2 = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 2xy2 + 2yf(x, y) = (2xy2 + 2y)dx + g(y)f(x,y) = x2y2+ 2xy + g(y) , derivando con respecto a y. = 2x2y + 2x + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 2x2y + 2x2x2y + 2x + g(y) = 2x2y + 2x g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x2y2+ 2xy + c

x2y2+ 2xy = k

9) (exseny 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0Sol:(exseny 2ysenx)dx + (excosy + 2cosx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= excosy 2senx = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = exseny 2ysenxf(x, y) = (exseny 2ysenx)dx + g(y)f(x,y) = exseny + 2ycosx + g(y) , derivando con respecto a y. = excosy +2cosx + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = excosy + 2cosx excosy +2cosx + g(y)= excosy + 2cosx g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = exseny + 2ycosx + c

exseny + 2ycosx = k

10) (2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0Sol:(2xy3 + ycosx)dx + (3x2y2 + senx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= 6xy2 + cosx = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = 2xy3 + ycosxf(x, y) = (2xy3 + ycosx)dx + g(y)f(x,y) = x2y3 + ysenx + g(y) , derivando con respecto a y. = 3x2y2 + senx + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = 3x2y2 + senx 3x2y2 + senx + g(y) = 3x2y2 + senx g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = x2y3 + ysenx + c

x2y3 + ysenx = k

11) (Seny + ysenx + )dx + (xcosy cosx + )dy = 0Sol: (Seny + ysenx + )dx + (xcosy cosx + )dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= senx + cosy = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = Seny + ysenx + f(x, y) = (Seny + ysenx + )dx + g(y)f(x,y) = xseny ycosx + lnx + g(y) , derivando con respecto a y. = xcosy cosx + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = xcosy cosx + xseny ycosx + lnx + g(y) = xcosy cosx + g(y) = g(y) = lnyf(x,y) = xseny ycosx + lnx + lny

12) ( + arctgy)dx + ( + arctgx) dy= 0Sol:( + arctgy)dx + ( + arctgx)dy = 0

M(x,y) N(x,y)

= + = . Por lo tanto la ecuacin diferencial es exacta.Entonces f(x, y) / = M(x, y), de donde: = + arctgyf(x, y) = ( + arctgy dx + g(y)f(x,y) = yarctgx + xarctgy + g(y) , derivando con respecto a y. = arctgx + + g(y), pero como: = N(x,y) Se tiene: N(x, y) = + arctgx arctgx + + g(y) = + arctgx g(y) = 0 g(y) = cf(x,y) = yarctgx + xarctgy + cyarctgx + xarctgy = k

II) Factores IntegrantesResolver las siguientes ecuaciones diferenciales.1) (x2 + y2 + x)dx + xydy = 0Sol:(x2 + y2 + x)dx + xydy = 0

M N = 2y ; = y = f(x)ef(x)dx es un fi = edx es fi = elnx = xx(x2 + y2 + x)dx + x2ydy M N = 2xy = la ecuacin diferencial es exacta.Entonces : = M(x,y)f(x,y) = + + + g(y) derivando con respecto a y y siguiendo los pasos en los problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas. = x2y + g(y)3x4 + 6x2y2 + 4x3 = k2) (1 x2y)dx + x2(y x)dy = 0Sol:(1 x2y)dx + x2(y x)dy = 0

M N = - x2 ; = - 3x2 + 2xy = f(x)ef(x)dx es un fi = - e- dx es fi = ( (1 x2y)dx + x2(y x)dy = 0

M N = -1 = la ecuacin diferencial es exacta.Entonces : = M(x,y)f(x,y) = - - xy + g(y) derivando con respecto a y y siguiendo los pasos en los problemas anteriores de ecuaciones diferenciales exactas. = -x + g(y)xy2 - 2x2y - 2= kx

3)(2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0 M N

Luego:

MN

4)

MN

Luego:

MN

5)(2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0 M N

Luego:

MN

6)(xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0 M N

Luego:

M N

g(y) = 0 g(y) = C

7)(x4+y4) dx xy3 dy = 0 M N

M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14N(x,4) Homogneas

Luego:

Entonces:

Integrando respecto a x:

g(y) = 0 g(y) = C

8)y2dx + ex2 xy y2)dy = 0Es homognea.

Luego:

Entonces:

g(y) = g(y) = Lny + C

10)y(2x+1)dx + x (1+2xy x3 y3)dy = 0

(2xy2+y) dx + (x+2x2y x4y3) dy = 0

Usamos:

Ahora:

Pero:

Reemplazamos:

FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIN

Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales

1)ydx + x(1-3x2y2)dy = 0

ydx + ydx 3x3y2 dy = 0 Multiplicando por:

en:

2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0

3) xdy ydx (1-x2)dx = 0

4) xdy ydx + (x2+y2)2dx = 0

Sabemos que: xdx + ydx =

5)x(xdy+ydx) +

6)(x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0

10)(x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)

11)xdy ydx = x2

12)x3dy x2ydx = x5y dxxdy ydx = x3y dx,para: x 0

13)3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0Multiplicamos por x2y3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0 d(x3y3) + d(x4y3) = 0

14)

15)y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dxydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydxydy - yx2dy xy2dx = ydx = dyydy (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy

ydy

y2 x2y2 = 2xy + CPara: x=1 ,C=4

Su solucin particular es: y2(1-x2) 2xy = 4

16)arseny dx +

d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0 d(x . arcseny) + 2Cosydy = Cx . Arcseny + 2Seny = C

Ecuaciones Lineales:1.

3-

4- para: x=/2 & y= -4

Despejando C:

La ecuacin es:

5-

6-

7-

8-

9-

10-

11-

12-

Dato:

Entonces la ecuacin es :

13-

14-

15-

II.Ecuaciones de bernoulli:1- multiplicando por multiplicando por -4 -4tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma :

2- multiplicando por multiplicando por -3 Tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma:

3- multiplicando por multiplicando por -3 Tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma:

4- multiplicando por multiplicando por -1 tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma:

5- multiplicando por multiplicando por tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma:

6- multiplicando por multiplicando por tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma:

7- multiplicando por multiplicando por 2 tomando entonces la ecuacin tomara la siguiente forma:








I.Indendencia lineal de funciones:En cada uno de los casos, averiguar si las funciones dadas son o no, linealmente independiente.( por definicin algebraica ).

1- de la forma (1) Derivando (2)Sumando (1)+(2) : y ; entonces son linealmente independiente .

2- de la forma Derivando (2)Sumando (1)-(2) : y ; entonces no son linealmente independiente 3- de la forma Derivando Derivando y ; entonces no son linealmente independiente .

4- de la forma Derivando ; entonces no son linealmente independiente .

5- de la forma 0 Derivando Derivando ; entonces son linealmente independiente .

6- de la forma Derivando Como entonces : ; entonces no son linealmente independiente .

7- de la forma derivando , , ; derivando , entonces son linealmente independiente .

8- de la forma Derivando , Derivando , y entonces son linealmente independiente .

II. Wronskiano; hallar el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones:1- Generalizando : para para : para = 2 Entonces : = 0! 1! (n-1)! = W

2-

3- 4-

5-

6-

7-

8-

9-

10- -

III.Mediante el wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes:1- entonces las funciones : son linealmente independientes.

2- entonces las funciones : son linealmente independientes.

3-

entonces las funciones : son linealmente independientes.

4-


5- ,para entonces las funciones : son linealmente independientes. 6-


7-


8-

entonces las funciones : son linealmente independientes. 9-


10-


IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)

1) SI XE [ -1,0] 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0

f1 y P2 Son L.I. 1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0SI XE [0, 1] 1 f, (X) + 2 f2 (X) = 0 0 + 2 X2 = 0 2 = 0 UROSKIANO EN [-1,0]

= 0= X2 0 2X0

UROSKIANO EN [0,1]

= 0= 0 X2 02X

f1 y P2Son L.I.2) SI XE [0, 2] 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0 1 0 + 2 (X-2)2 = 0 2 = 0 Si XE [2, 4] 1 f1 (0) + 2 f2 (X) = 0 1 (X-2)2 + 0 = 0 1 = 0

4 -WROSKIANO EN [-0,2]

= 0W= 0(X-2)2 0 2(X-2)

420

WROSKIANO EN [2,4]

W= = 0 (X-2)2 0 2(X-2) 0

P1 y P2 son L.I.3)SIXE [-2, 0] 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0 1 X3 + 2 0 = 0 1 = 0SIXE [0, 1] 1 f1 (X) + 2 f2 (X) = 0 0 + 2 X2 = 0 2 = 0

WROSKIANO EN [-2,0]

= 0W= X3 0 3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

-810-2W= = 0 0X2 0 2X

f2 (X) =4) f1= X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0 X2 0 < x < 1 X2 0 < x < 1

SI XE [-1,0] 1 X2 - 2 X2 = 0 (X) = 0 1 X2 + 2 0 = 0 1 = 0SI XE [0, 1] 1 f, (X) + 2 f2 (X) = 0 f1 y P2 0 + 2 X2 = 0 2 = 0 son L.I.

UROSKIANO EN [-2,0]

= 0W= X3 0 3 X2 0

-1 UROSKIANO EN [0,1]

-1-1W= = 0 0X2

-1 0 2X

V) DEMOSTRACIONES

1)

3)

1 -1 -3 5

r=12-2 1 0 -3

01 0 -3 2

PRACTICA # 71. Ecuaciones diferenciales Lineales HomogeneasResolver las siguientes ecuaciones diferenciales.A) Races reales distintas:

1. y + 2y 15y = 0Sol: Sea: P(r) = r2 + 2r 15 = 0 r1= 3, r2= -5Solucin general:y = c1e3x + c2e-5x

1. y + y 2y = 0Sol:Sea: P(r) = r3 + r2 2r = 0 r1= 0, r2= -2, r3=1Solucin general:y = c1 + c2e-2x + c3ex

1. y y =0Sol:Sea: P(r) = r2 - 1 = 0 r1= 1, r2= -1Solucin general:y = c1ex + c2e-x

1. y + y 6y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 + r - 6 = 0 r1= 2, r2= -3Solucin general:y = c1e2x + c2e-3x

1. y 3y + 2y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 - 3r + 2 = 0 r1= - 2, r2= -1Solucin general:y = c1e-2x + c2e-x

1. y 2y y + 2y = 0Sol:Sea: P(r) = r3 - 2r2 r + 2 = 0 r1= 2, r2= -1,r3= 1Solucin general:y = c1e2x + c2e-x + c3ex

1. y 6y + 11y 6y = 0Sol:Sea: P(r) = r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0 r1= 6, r2= -1, r3= 1Solucin general:y = c1e6x + c2e-x + c3ex

1. y y 12y = 0Sol:Sea: P(r) = r3 - r2 - 12r = 0 r1= 0, r2= -3, r3= 4Solucin general:y = c1 + c2e-3x + c3e4x

1. y 4y + y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 - 4r + 1 = 0 r1= 2 + , r2= 2 - Solucin general:y = c1e2xcos + c2e2xsen(- )

1. 2y 7y 2y = 0Sol:Sea: P(r) = 2r3 - 7r - 2 = 0 r1= -1 + r2= -1 - ,r3= 2Solucin general:y = c1e-1 - x + c2e-1 + x + c3e2x

A) Races mltiples

1.

Ecuacin caracterstica

La solucin general es:

3.

Ecuacin caracterstica:

1-1-9-11-4

-1-1274

-11

-2-1-73-440

-11

-3-1-440

1-40


5. Ecuacin caracterstica

1-6+12-8

12-88

21

-424-40

1-20






B) Races complejas :

1) y + y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 + 1 = 0 r1= i , r2 = -i Solucin generaly = c1cosx + c2senx

2) y 2y + 10y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 2r + 10 = 0 r1= , r2 = Solucin generaly = c1 e-x/2cosx + c2 e-x/2 senx

3) y + 4y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 0, r2 = - 4Solucin generaly = c1 + c2 e-4x

4) y + 25y = 0sol:Sea: P(r) = r2 + 25r = 0 r1= , r2 = Solucin general y = c1 + c2 e-25x 5) y 4y + 13y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 + 4r = 0 r1= 2 + 3i, r2 = 2 3iSolucin generaly = c1e2xcos3x + c2 e2xsen3x

6) y + y + y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 + r + 1 = 0 r1= , r2 = Solucin generaly = c1e-x/2cos, x + c2 e-x/2sen, x

7) y + 2y + 2y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 + 2r + 2 = 0 r1= - 1 + i, r2 = - 1 - iSolucin generaly = c1e-xcosx + c2 e-xsenx

8) y 2y + 4y = 0Sol:Sea: P(r) = r2 - 2r + 4 = 0 r1= 1 + i, r2 = 1 - iSolucin generaly = c1excosx + c2 exsenx





B) Races de cualquier ndole
















Las races de la ecuacin son:




11.

1-1-3-1-1-1211-2-10Ecuacin caracterstica



1-1-3-1-1-1211-2-10





1-212-211-102-111-1-1022-201-220

Las raices son:

La solucin es



I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales1)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como Reemplazando en la ecuacin Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 2)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como Reemplazando en la ecuacin

Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 3)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como

Reemplazando en la ecuacin


Como Reemplazando en la ecuacin Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 5)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como

Reemplazando en la ecuacin Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir +6)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como

Reemplazando y reduciendo en la ecuacin Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 7)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

La solucin estar dada por Es decir +8)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como

Reemplazando y reduciendo en la ecuacin


Como

Reemplazando en la ecuacin e igualando los coeficientes se tiene: Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 10)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como Reemplazando y reduciendo en la ecuacin Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 11)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como =



Como



Como



Como


+Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir

15)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como


+Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 16)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como


Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir


Como



Como

Reemplazando en la ecuacin y comparando


Como


=Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir 20)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Como


Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir II) VARIACION DE PARAMETROSResolver las siguientes ecuaciones diferenciales

SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

La solucin particular de la ecuacin diferencial es:tal que De donde

Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir 2)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:


Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir +3)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:














Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir +









Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir +14)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:






Integrando y reemplazando en se obtiene:Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir 17)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:




Integrando y reemplazando en se obtiene:Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir 19)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:


Integrando y reemplazando en se obtiene:Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir +20)SolucinSea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:


Entonces la solucin particular ser:Tal queLa solucin estar dada por Es decir III) ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULERResolver las siguientes ecuaciones diferenciales1)SolucinSea adems Reemplazando en la ecuacin diferencial

, es una ecuacin homognea de coeficientes constantesEs decir:Sea: la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es: Pero

2)SolucinSea: adems Reemplazando en la ecuacin diferencial

, es una ecuacin homognea de coeficientes constantesEs decir:Sea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es: Pero

3)SolucinSea adems Reemplazando en la ecuacin diferencial

, es una ecuacin homognea de coeficientes constantesEs decir:Sea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:Pero
















, es una ecuacin homognea de coeficientes constantesEs decir:Sea

Como

Reemplazando en la ecuacin +

Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:



Como



++



Como


Por lo tanto La solucin estar dada por Es decir la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:+


, es una ecuacin homognea de coeficientes constantesEs decir:Sea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es: La solucin particular ser


= Pero



Reemplazando en la ecuacin =

Pero




=

Pero




= Pero



Como




, es una ecuacin homognea de coeficientes constantesEs decir:Sea la ecuacin general de la ecuacin diferencial homognea es:

Reemplazando en la ecuacin diferencial

Pero



Como



OPERADORES DIFERENCIALESI) ECUACION LINEAL HOMOGENEARESOLVER1)Solucin:

2)Solucin:

3)Solucin:

4)Solucin:

5)Solucin:

6)Solucin:

7)Solucin:

8)Solucin:

9)Solucin:

10)Solucin:

11)12)Solucin:

13)Solucin:

14)Solucin:

15)Solucin:

,II) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTESRESOLVER1)Solucin:

Calculando la solucin particular

2)Solucin:


3)Solucin:


4)Solucin:


+5)Solucin:


6)Solucin:


7)Solucin:


8)Solucin:


9)Solucin:


10)Solucin:


11)Solucin:


12)Solucin:


13)Solucin:


14)Solucin:


15)Solucin:


+III) ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES (VARIACION DE PARAMETROS, COEFICIENTES INDETERMINADOS, OTROS)RESOLVER1)

Solucin:


2)

Solucin:


3)

Solucin:


4)

Solucin:


5)

Solucin:


6)

Solucin:


7)

Solucin:


8)

Solucin:


9) Solucin:


10) Solucin:


11) Solucin:


12) Solucin:


13) Solucin:


14)

Solucin:


INTEGRACION POR SERIES

1).-Resolver mediante una serie de potencia de que satisfaga la condicin para .SolucinSea: ;

Suponiendo que:---()

Luego: ser de la forma:

Como se dir lo siguiente:

nLuego reemplazando en () tenemos lo siguiente:

SolucinLa ecuacin diferencial ser:

Suponiendo que la solucin es de la forma:---()Donde y las restantes son constantes para determinar.Sea:

3)Resolver mediante una serie que satisfaga la condicin cuando .Por lo tanto: . .Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:

5).- Resolver mediante potencias de .


Adems:

Suponiendo que la solucin es de la forma:---()Luego: ser de la forma:

Como: Se dir lo siguiente: . nLuego reemplazando en () tenemos lo siguiente:

7).- Resolver mediante potencias de .SolucinLa ecuacin diferencial ser:

Suponiendo que la solucin es de la forma:---()Sea:

Por lo tanto: .Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:




Por lo tanto: . ..Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:

10).- Resolver mediante potencias de .SolucinLa ecuacin diferencial ser:

Adems:

Suponiendo que la solucin es de la forma:---()Luego: ser de la forma:

Como:

Se dir lo siguiente:

nLuego reemplazando en () tenemos lo siguiente:

11).- Resolver segn potencias de .



Por lo tanto: .. ..Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:

13).- Resolver mediante potencias de



Por lo tanto: . .

Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:




Por lo tanto: . ..Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:

19).- Resolver segn potencias de .



Por lo tanto: . .Reemplazando los valores de los en la serie supuesta dado en () se tiene:

+

ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS

1) Comprobar que :

]

2) Comprobar que :a)

= +

=

= Por lo tanto :

b) Debemos llegar a :

Partimos de :

4)probar que:

Partimos de la igualdad:

Hallando el equivalente en sumatorias:

5)

SOLUCION:

+ + 1 = 2 ; = 3/2

= 1 - = 1/4(1 - ) = 1/4

- 2 - = 02 - + = 0 = ; = ; = 3/2

ANALOGAMENTE:

y = Ay1 + By2

6.- resolver mediante serie:

Solucin:

Anlogamente:

La solucin completa ser:

7.- probar que:a)

b)

a)

Como:Como:

Reemplazando obtenemos:

Entonces queda probado que:

b)

Como:Como:

Reemplazando obtenemos:

Entonces queda probado que:

8.- probar que el cambio de variable dependiente transforma la ecuacin en una ecuacin de Bessel.

Hacemos el cambio de variable

Reemplazando en la ecuacin obtenemos:

Vemos que con el cambio de variable de a la ecuacin se transforma en una ecuacin de Bessel.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO INGENIERIA ELECTRICA

Documents

bateria mate 4.docx