Embed Size (px)
Citation preview
Profesor: Ing. Civil. RAFAEL ORLANDO ORTIZ
Presentado por:
Adriana Lucía .Fajardo E.
Celular: 3004746704
20Ejercicios de Ecuación de Bernoulli , aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, Ecuación de energía.
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá 10 de Enero, de 2012
1. 3.30 A través de un pequeño túnel de viento de circuito abierto se introduce aire como se muestra en
la figura3.30. La presión es de 98.7kPa (abs) y la temperatura es de 27° centigrados. Si los efectos viscosos
son insignificantes, determinar la presión en el punto de estancamiento sobre la nariz del avión. También
determinar la lectura h del manómetro conectado a la espita de presión estática dentro de la sección de
prueba del túnel de aire si la velocidad del aire dentro de esta sección es de 60m /s.
Fig del problema: 3.30
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 , con p1=0 , v1=0 , z1=z2 , y , v2=0
Tambiénp2=0 conductop1γ
+v12
2g+z1¿
p3γ
+v32
2g+z3, Con z1=z3 , y , v3=60m /s
así,
p3=−v3
2
2 g, y , p3=
−12
ρ × v32, donde, ρ= p
RT
O, ρ=9.87×103
N
m2
(286.9 J( kg×k ) )(273+27 ) K
=1.147 kgm3 , por lo tanto,
p3=12
×(1.147 kg
m3 )× (60m /s )2=2064.6 N
m2
Donde,p3=γH 2oh=p3
γH 2
=2064.6
N
m2
9.80×103 N
m3
=0.2107m
2. 3.31 El somorgujo es un pájaro buzo acostumbrado a ´volar ‘en aire o en agua. ¿Qué velocidad de
nado bajo el agua producirá una presión dinamica igual a cuando el somorgujo vuela en el aire a 40mph?.
R/:
mph : millas por hora : 1.609km/h
12
× ρaire
× vaire2 =1
2× ρ
H 2O
× vH 2O2
, o , vH 2O=[ ρaire
ρH 2O ]12×vaire
así ,
vH 2O=[ 2.38×10−3 slugs
ft3
1.94slugs
ft 3]× (40mph )=1.40mph Para darlo en km/h convertimos las unidades
1.40mph=2252.6Km /h
3. 3.33 A través de la contracción de la tubería que se muestra en la Fig 3.30 fluye agua. Para la
diferencia dada de 0.2- m en el nivel del manómetro, determine el caudal o caudal en función del diámetro de
la tubería pequeña D.
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con z1=z2 , y , v1=0m / s , v2=
2√2 g( p1−p2 )
γ
pero
p1=γ h1 ,y, p2=¿ γh2¿ de modo que,p1−p2=γ × ( h1−h2)=0.28 ,asi,
v2=2√2g
(0.28 )γ
=2√2g (0.2 )
Q=A2 v2=π4
×D 2×V 2=π4
× D2×2√2∗9.81 (0.2 )=1.56∗D2 m3
scuando D ≈ m
4. 3.34 A través de la contracción de la tubería que se muestra en la Fig 3.31 fluye agua. Para la
diferencia dada de 0.2 m en el nivel del manómetro, determine el caudal en función del diámetro del tubo
pequeño D.
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con A1 v1=A2 v2 de esto se tiene que v2=[ π
4× D1
2
π4
× D22 ]× v1=( 0.1D )
2
donde ,z1=z2,
( p1−p2 )γ
=v22−v1
2
2 g=
[(( 0.1D )4
−1)× v12]
2g
, pero,
p1=γ h1 ,y, p2=¿ γh2¿ de modo que,p1−p2=γ × ( h1−h2)=0.2 γ
Así,0.2 γγ
=[(( 0.1D )
4
−1)× v12]
2 g
, o, v1=2√ 0.2∗2 g
(( 0.1D )4
−1)
Q=A1 v1=
π4
×0.12× 2√ 0.2∗2∗(9.81)
(( 0.1D )4
−1) ,o, Q=0.0156∗D2
2√(0.1 )4−D 4
m3
scuando D ≈ m
5. 3.29. Para cortar varios materiales se pueden usar chorros líquidos de diámetro pequeño y alta presión como se muestra en la figura. Si se ignoran los efectos viscosos, calcular la presión para producir un chorro de agua de 0.10mm de diámetro con una velocidad de 700 m /s . Determine el caudal.
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con z1=z2 , y , v1=0m / s , y , p2=¿ 0¿
Así p1=12
γg
× v22=12
ρ × v22=12 (999 kg
m3 )× (700m /s )2=2.45×105 kN
m2
Q=A2 v2=700m / s×π4
× [10−4m ]2
=5.50×10−6 m3
s.
6. 3.1 A través del tubo horizontal de área variable que se muestra en la figura fluye agua de manera
estable. La velocidad de la línea central está dada por: V¿10 (1+x ) i pies /s, donde x está en pies. Sé ignoran
los efectos viscosos. a) Determinar el gradiente de presión ∂ p∂ x
(comouna funcionde x), necesario para obtener
este flujo. b) si la presión en la sección (1) es de 50 lb / pul2, determinar la presión en (2) (i) integrando el gradiente de
presión obtenido en el inciso a) y( ii ) aplicando la ecuación de Bernoulli.
R/:
a¿−γ × sin θ−∂ p∂ x
=ρ ×V ×∂V∂x
, pero, θ=0 y V=10 (1+x ) i pies/s
∂ p∂ x
=−ρ× V ×∂V∂ x
con, ∂ p∂ x
=−ρ× V ×∂V∂ x
=−ρ× 10 (1+x ) pie /s
Así ,∂ p∂ x
=−1.94 slu gspie3
×(10 pies )
2
× (1+x ), con x en pies
∂ p∂ x
=−194× (1+x ) lb
pie2
b) (i)∂ p∂ x
=−194× (1+x ) de modo que∫p1
p2
∂ p=−194 ∫x1=0
x2
(1+x ) dx
, o, p2=50 psi−194 (3+ 322 ) lbpie2 ( 1 pie2
144 pulg2 )=50−10.1=39.9 psi
(ii)p1+12
× ρ ×V 21+γ × z1=p2=
12
× ρ2×V 22+γ × z2
Con z1=z2
ρ2=p1+12
× ρ× (V 21−V 2
2 )
Donde V 1=(10(1+0))=10 pies
V 2=(10 (1+3))=40 pies
Así,
ρ2=50 psi+12
×1.94slugspie3
×(10¿¿2−402) pie2
s2 ( 1 pie2
144 pulg2 )=39.9 psi ¿
7. 3.40 Con un sifón se extrae agua del depósito que se muestra en la figura. Determinar el gasto y la
presión en el punto A, que es un punto de estancamiento.
R/: p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con z1=3m ,z2=0 , y , v1=0m / s , y , p1=p2=¿ 0¿
Así V 1=2√2g z1=√2×(9.81m
s2)×3m=7.67 m
s
O, Q=A2 v2=7,6m /s×π4
× [0.04 ]2
=9.64×10−3m3
s.
También,
p1γ
+v12
2g+z1¿
pA
γ+
v A2
2g+z A con z A=0 , z2=0 , y , v A=0m /s ,
Así,
p A
γ=z1 , o, pA=γz1=9.80
kN
m3×3m=29.4KPa
8. 3.53. En la tubería que se muestra en la figura fluye aceite de densidad relativa 0.83 . Si se ignoran los
efectos viscosos, ¿Cuál es el caudal?
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con z1=z2 , y , v1=0m / s ,
v22
2g=
p1−p2γ
……………………………………….(1)
Pero,
p1=¿ p3+¿γl =p4+¿ γl ¿¿
¿
y ,
p2=¿ γ (l+h)−γ mh+p4¿
Asi ,
p1−p2= (γm−γ ) ×h………………………………(2)
Combinando eqs (1 ) y (2 )
V 2=2√2 g×
p1−p2γ
=√2 g×(γm
γ−1)×h=√2(32.2 pie
s2 )( 62.4lb
pie3
0.83×(62.4 lbpie3 )
−1)( 412 pie)
, o, V 2=¿2.10pies
Así,
Q=A2 v2=π4
×[ 412 pie ]2
(2.10 pies )=0.183 pie3
s
9. 3.52. Determine el gasto a través de la tubería de la figura
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con z1=z2 , y , v2=0m/ s ,
p1γ
+v12
2g=
p2γ
o ,V 1=2√2 g×
( p1−p2 )γ
Pero,
p1−¿ γl− γmh+γ (l+h)=p2 ,o , ¿
p2−p1=¿ ¿
Por lo tanto
V 2=2√2 g×(1− γm
γ )h=[2×(9.81 ms2 )(1−
900kg
m3
999kgm3
)×2.5m ]12
=2.20 ms
Q=A1 v1=π4
× [0.08m ]2
(2.20 ms )=0.111m3
s
10. 3.56. Un tubo de plástico de 50mm de diámetro se usa como sifón para extraer agua del depósito
grande que se muestra en la figura. Si la presión fuera del tubo es más de 25kPa superior a la presión dentro
del tubo, éste se rompe y se detiene la extracción del agua. Sí se ignoran los efectos viscosos, determinar el
valor mínimo permisible de h sin que se detenga la extracción de agua.
R/:
En cualquier lugar dentro del tubo V=V 3. Para que conV 1=0 , p1=0 , y , z1=0
p1γ
+v12
2g+z1¿
pγ+ v2
2 g+zdado que
p1γ
=−z+v32
2g
Por lo tanto la presión más baja se produce en los puntos de la Z máxima, que es, p2=−30 kPa
Y, z2=2mtal que
−30×103N
m3
9.80×103Nm3
=−2m−v32
2×(9 .81ms2 )
o ,V 3=4.56ms
Pero ,
p1γ
+v12
2g+z1¿
p3γ
+v32
2 g+z3 , donde,
z3=−(4−h) y , p3=0 asi,
0=(4.56m
s )2
2×(9 .81ms2 )
−(4−h) , o, h=2.94m
11. 3.57. Para el ensanchamiento de la tubería que se muestra en la figura, las presiones en las
secciones (1) y (2) son 56.3 lb
pulg2, respectivamente. Determinar el flujo másico
lbs
de la gasolina en la tubería.
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con z1=z2 , y, A1 v1=A2 v2 , O, v2=( D1
D2)2
× v1
p1γ
+v12
2g=
p2γ
+
v12×(D1
D2)2
2 g
v1=2√2g×( p1−p2)
γ (1−( D1
D2)4
)=[ 2(32.2 pie
s2 )(58.2 lb
pul2−56.3
lb
pul2 )(144 pulg2
pie2 )42.5
lb
pie3 (1−( 2.05 pulg3.11 pulg )
4
) ]12
v1=21.4pies
,Y, Q=A1 v1=π4
×[−2.05 pie12 ]
2
(21.4 pies )=0.490 pie3
s
Así
γQ=42.5 lbpie3 (0.490 pie3
s )=20.8 lbs
12. 3.59. A través del dispositivo que se muestra en la figura fluye aire. Si el caudal es suficientemente
grande, la presión dentro de la constricción es suficientemente baja para que el agua suba hacia el tubo.
Determinar el gasto Q y la presión necesaria en la sección (1) para hacer pasar el agua a la sección (2).
ignorar los efectos de compresibilidad y los efectos viscosos.
R/:
p2γ
+v22
2g+z2¿
p3γ
+v32
2 g+z3 Donde , z2=z3 , A2 v2 ¿ A3 v3, O, v2=( D3
D2)2
× v3=( 50mm25mm )
2
× v3=4× v3
Como p3=0tenemos que,
p2γ
=v32
2 g−
v22
2 g=
−15v32
2g Pero,
p2=−γw× htenemos tambienquep2γ
=−γw
γ×h=
−9.80×103N
m3
12Nm3
× (0.3m)=−245m
-245m¿−15 v3
2
2¿¿ , o,
Q=A3 v3=¿
π4
× [ 0.050m ]2
(17.4 ms )=0.0351 m3
s¿
También,p1γ
+v12
2g+z1¿
p3γ
+v32
2 g+z3 , donde, v1=
A3
A1
V 3=V 3 yz1=z3 , por lo tanto,
P1=P3+γ (Z3−Z1 )+ 12
ρ (V 32−V 1
2)
o ,
p1=0
13. 5.84 Una turbina radial centrípeta tiene un ángulo de boquilla∝1, de 60° y de velocidad de entrada en
la punta del rotor,U 1 , de30 pie /s .La razón del diamtro de entrada al diámetro de salida del rotor es de 2.0. La
componente radial de la velocidad permanece constante en 20 pie /s através del rotor y el flujo que sale del
rotor en la sección (2) es sin cantidad de movimiento angular. Si el fluido que circula en el agua y la caída en
la presión de estancamiento a través del rotor es de 16lbf / pulg2, determinar la pérdida de energía disponible
a través del rotor y la eficiencia hidráulica.
R/:
Como una turbina está involucrada en este problema,W Netoenel eje=−¿W Neto fuera del eje¿ y usando la ecuación 1 del ejemplo 5.28
podemos concluir que:
Perdidas¿ estancamientode laca í da de presi ó na trav é srotorρ
−W Neto fueradel eje
Sin embargo, por la ecuación 5.54 vemos que a partir de
W eje=W Neto eneleje=−U 1× V θ ,1=¿ −¿W Neto fueradel eje
¿
y por lo tanto
Perdidas¿ estancamientode laca í da de presi ó na trav é srotorρ
−U 1×V θ , 1…………………………….(1)
para determinar el valor de V θ , 1 . examinaremos el triángulo de velocidad para el flujo que entra en el rotor que se
esboza a continuación en el triángulo de velocidad y de aquí se obtiene
V θ , 1=V R ,1× tan 60 °
Así,V θ , 1=(20 pies )× tan 60 °=34.64 pie
s
De la ecuacion1. Nosotros obtenemos:
Pérdida¿(16 lb
pu lg2 )(144 pulg2
pie2 )(1.94 slugs
pie3 )−(30 pie
s )(34.64 pies )(1 lb
slug∗pie
s2)
Perdidas=148lb∗pie
slug
por la ecuación 5.82, podemos concluir que
perdisas+WNetoeneleje= estancamiento delaca í dade presi óna trav é s rotor
ρ
o en otras palabras, la caída de presión a través de estancamiento del rotor es el resultado del trabajo el eje y la
pérdida de energía disponible.
por lo tanto una eficiencia significativa es:
η=W Netofuera del eje
estancamiento de la caí dade presió na trav é srotorρ
O,
{η=(30 pies )(34.64 pie
s )(1 lbslug∗pie
s2 )(16 lb
pulg2 )(144 pulg2
pie2 )(1.94 slugs
pie3 )
=0.875}14. 5.90. Aceite (DR=0.9) fluye hacia abajo a través de la contracción de un tubo vertical como se muestra
en la figura. Si la lectura del manómetro h, es 120mm, determinar el caudal para flujo sin fricción. El caudal
real, ¿es mayor que el valor sin fricción? Explicar la respuesta
R/:
El volumen de control puede ser obtenida como:
Q=A1× V 1=A2×V 2=π4
D12×V 1=
π4
D22×V 2………….(1)
paraobtenerV 1 y V 2 Aplicamos la ecuación de energía ecuación 5.82 para el flujo entre la sección
(1) y (2). Así,
p2γ
=v22
2 g−
v22
2 g=
p1γ
+v12
2g+W Netoen eleje−perdidas………………(2)
Combinando ecuación1 y 2nosotrosobtenemos
v22
2 [1−( D2
D1)4]= P1−P2
ρ+g ( z1−z2 )……………………………(3)
paradetrminarP1−P2
ρ=gh( SGHg
SGoil
−1)−g ( z1−z2 )……….(4)
Combinando lasecuaciones 3 y 4 llegamos a
V 2=√ 2gh( SGHg
SGoil
−1)1−( D2
D1)4
=V 2=√ 2×(9 .81ms2 ) (0.1m )( 13.60.9 −1)
1−( 100mm300mm )
4=5.29 m
s
Y de la ecuación 1 nosotros tenemos que:
Q= π4
× [0.1m ]2
(5.29ms )={0.042m3
s }El caudal real sería menor que el valor de fricción debido a la pérdida, sería mayor que el monto utilizado por
encima de cero.
15. 5.5. A través de la puerta de una cochera que mide 7 pies x 10 pies el viento a una velocidad de 2
pies/s como se muestra en la figura. Determinar la velocidad media, v, del aire a través de las dos ventanas
de 3piesx4pies.
R/:
para el flujo incompresible estable:
Q puerta garaje=Q ventana garaje+Qventana garaje
O,
Apuerta garaje ×V normal a puerta degaraje=Aventana ×V + Aventana×V
Así el promedio en la velocidad, V, del aire a través de las dos ventanas es:
V=A puertagaraje ×V normal a puerta degaraje
2× Aventana
=(7 pies ) (10 pies )(5 pies
s )× sin 30 °
2 (3 pies ) (4 pies )=7.3 pies
s
16. 3.100. Trazar la línea de energía y el perfil hidráulico para el flujo que se muestra en el problema3.69.
la presión del tubo es de 6 pulg de diámetro es 40lb / pulg2.
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con , p1=0 , p2=0 , z1=0.3m , y , z2=H+h2
También, A1 v1=A2 v2 , así que , v2=
A1
A2
× v1=(0.3m )(6 m
s )h2
=1.8h2
donde h2 m……….(1)
Así, ecuación (1) se convierte en
v12
2g+0.3m=
( 1.8h2 )2
2 g+H+h2 , o , conv1=6
ms
,
(6 ms )
2
+2(9.81 ms2 )(0.3−H−h2 ) m=( 1.8h2 )
2 m2
s2
Por lo cual podemos escribir que:
h23−(2.135−H ¿h2
2+0.1651=0 )
Para 00≤ H ≤2m solucionandoecuacion (2) para h2
17. 3.97.Dibujar la línea de energía y el gradiente hidráulico para el fluido mostrado en el problema 3.76
R/: para el flujo viscoso, sin bombas o turbinas, la línea de ENRGIA (EL) es horizontal, a una elevación de la superficie
libre. la línea piezométrica (HGL) es una cabeza de velocidad menor, incluso con la salida del tubo. Puesto que la
velocidad del fluido es constante a lo largo de la tubería conV 2
2g=3 pies, se obtiene lo siguiente:
18. 3.98. Dibujar la línea de energía y el gradiente hidráulico para el fluido mostrado en el problema 3.70
R/:
Para el flujo viscoso sin bombas o turbinas, la línea de energía está en posición horizontal, a una distancia h por encima
de la salida. Se obtiene a partir de h=1.79pies
La línea piezométrica es V 2
2g y está debajo de la línea de energía, a partir de la superficie libre, donde V 0=0y termina
en la salida de la tubería , p2=0 y ,en v22
2g=hel punto (1) donde la carga de presión es
P1
2 γ=(2.88−14.5 ) lb
pulg (2 ) ,
(144 pulg2
pie2 )(62.4 lb
pulg2 )=−26.8 pies yz1=0.
En la tubería de 4 pulgadasv3=V 2× A2
A3
=( D2
D3)2
× V 2 , para que
v32
2g=( D2
D3)4
×v22
2g=( D2
D3)4
×h=( 24 )4
(1.79 pies )=0.112 pies
la correspondiente LE y HGL están dibujados a escala por debajo
19. 3.94 En un canal rectangular que mide 0.5m de ancho fluye agua como se muestra en la figura. La
profundidad corriente arriba es de 70mm. La superficie del agua asciende 40mm cuando pasa por una
porción en que el fondo del canal asciende 10mm. Si se ignoran los efectos viscosos ¿Cuál es el caudal?
R/:
p1γ
+v12
2g+z1¿
p2γ
+v22
2 g+ z2 con , p1=0 , p2=0 , z1=0.07m , y , z2=(0.01+0.10 ) m=0.11m…(1)
También, A1 v1=A2 v2 , así que , v2=h1h2
× v1=(0.07m )0.10m
×v1=0.7v1
Por la ecuación (1) tenemos
[1− (0.7 )2 ] v12=2 (9.81 m
s2 ) (0.11−0.07 ) m,o ,
v1=1.24ms
Así,Q=A1 v1=(0.07m ) (2.0m)(1.24 ms )=0.174 m3
s
20. 3.91. Un vertedero de sección transversal trapezoidal se usa para medir el caudal en un canal
como se muestra en la figura. Si el caudal es Q0 cuando H= l2
, ¿cual es el caudal esperado cuando
H¿ l?
R/:
Q=A*V
donde se espera que la v es una función de la cabeza H. que es V √2gH
Asi de la geometría A=12
H (l+bt ) dondeb t=¿ tan30×2H+l lo que nos lleva a:
A=H ( l+ Htan30 ° ) H32 donde Q¿ (C1×√2 g )× (l+Htan30 ° ) H
32
C1 es una constante
Q0=flujo con H= l2
, y, Ql=flujo con H=l asi,
Q0
Ql
=(C1×√2g )(l+ l
2tan 30 °) l
2
32
(C1×√2g ) (l+l tan 30 ° ) l32
=1+
l2tan 30 °
(1+ l2tan 30°)(2
32)
=0.289
Y el caudal,
Ql=¿3.46× Q0¿
