Biografa de Evariste Galois

Evariste Galois, naci en 1811 en los alrededores de Pars, en el momento del mximo esplendor del Imperio de Napolen, en una familia republicana, que sufre las dificultades de la cada en 1814 de Napolen y la vuelta de la monarqua derrocada en la Revolucin de 1789. No siempre los grandes matemticos estn alejados de las controversias polticas de su poca. Unos se han acercado a las mismas desde posiciones completamente reaccionarias (como es el caso de Cauchy), mientras que otros lo han hecho desde un punto de vista revolucionario. Es lo que pasa con Galois, que adems ejemplifica cmo se puede influir en el futuro desde la extrema juventud y con una obra que no pasa de algunas decenas de pginas.Evariste Galois: JOVEN Y REVOLUCIONARIO. Estudi al principio en su casa bajo la direccin de su madre, para ir ms tarde a uno de los centros ms prestigiosos de Pars, el Liceo Luis el Grande, donde est en todo su apogeo la contrarrevolucin educativa. Tras unos aos de estudio descubre las matemticas durante el curso 1826/27 y le producen un deslumbramiento intelectual de tal calibre que se dedicar con toda su energa a las mismas, olvidando el resto de las materias. Tiene adems la suerte de encontrar en el Liceo un gran profesor de matemticas, M. Richard, al tanto de los ltimos avances de las mismas, que reconoce el genio de Evariste para las matemticas y le ayuda en sus estudios, y hasta le presenta en la sociedad matemtica. Richard se dio cuenta del valor de los resultados que lograba su alumno y guard durante toda su vida los manuscritos que le entregaba Evariste y los dej a su muerte a otro gran matemtico, Charles Hermite, pensando que tambin l sabra apreciar su valor (hoy se conservan en la Biblioteca del Instituto de Francia). Incluso logra que a los 17 aos (en 1829) le publiquen un artculo (Demostracin de un teorema sobre las fracciones continuas peridicas) en la revista Annales de mathmatiques pures et appliques. Los elogiosos juicios de Richard constan en las calificaciones que escribe sobre Evariste durante el curso: Este alumno tiene una destacada superioridad sobre todos sus compaeros, y tambin este alumno no trabaja ms que las partes superiores de las matemticas. Intent Galois entrar en la Escuela Politcnica, el centro de estudios cientficos ms prestigioso de Francia, sin el curso de preparacin habitual, en el que se aprenda sobre todo las manas de los profesores y las triquiuelas tcnicas, pero suspendi el examen. Antes de su segundo y definitivo examen (solo haba dos posibles intentos) sucedieron unos hechos que le causaron una gran impresin: el suicidio de su padre, tras una depresin provocada por una campaa de calumnias llevada a cabo por los elementos ms reaccionarios de su localidad. Pocos das despus tiene lugar el examen, que la leyenda dice que acab con el lanzamiento del borrador por parte de Galois a la cabeza de uno de los examinadores, despus de hacer un estupendo examen pero sin seguir los caminos habituales y en el que los miembros del tribunal le pusieran sencillas objeciones que l interpret como un intento de humillarle. Se cerr as las puertas de esa escuela y se tuvo que conformar con entrar en la Escuela Normal (incluso utilizando recomendaciones), donde se formaba a los futuros profesores de secundaria, un centro de mucho menor nivel que la Politcnica. All entr en contacto con grupos de lo que hoy llamaramos extrema izquierda, que luchaban por el derrocamiento de la monarqua de los Borbones y la vuelta de la repblica.No pudo participar en la Revolucin de 1830 porque el Director de la Normal encerr a los alumnos en el centro, y despus del final frustrado de la misma con la llegada al trono de Luis Felipe continu su lucha por la Revolucin, lo que le llev a ser expulsado de la Escuela y ms tarde detenido y llevado a prisin, antes de cumplir 20 aos. Fue absuelto y sali de la misma, pero pocos das despus fue detenido de nuevo y ya estuvo en la crcel casi 10 meses. Durante esos aos tan agitados no dej de trabajar en diferentes aspectos matemticos y de redactar Memorias, que enviaba a la Academia de Ciencias de Pars, formada por una importante constelacin de grandes matemticos, pero pagados de s mismos, que no le entienden y que tampoco hacen ningn esfuerzo por tratar de hacerlo. Alguna de esas Memorias enviadas a la Academia la pierde Cauchy, como ya haba hecho con otro trabajo enviado aos antes por Abel, y todas son rechazadas como no comprensibles (el Informe de Poisson sobre una de ellas termina con Comoquiera que sea, hemos hecho todos los esfuerzos por comprender la demostracin del Sr. Galois. Sus razonamientos no son ni bastante claros ni bastante desarrollados para que hayamos podido juzgar su exactitud y no estaramos incluso en disposicin de dar una idea de ellos en este Informe. El autor anuncia que la proposicin que es el objeto especial de su Memoria es una parte de una teora general susceptible de muchas otras aplicaciones. A menudo sucede que las diferentes partes de una teora, iluminndose mutuamente, son ms fciles de entender en su conjunto que aisladamente. Se puede pues esperar que el autor haya publicado su trabajo completo para formarse una opinin definitiva; pero en el estado en que est la parte que ha sometido a la Academia, no podemos proponeros de darle vuestra aprobacin).Al poco de salir de la crcel por segunda vez, en medio de problemas econmicos por su supervivencia tiene un duelo a pistola por razones no dilucidadas (sea una provocacin policaca, sea por un amor despechado o bien un suicidio disfrazado de asesinato provocado por la polica poltica para intentar sublevar a las masas) que finaliza con una herida en el abdomen que le provoca la muerte el 31 de mayo de 1832, cuando an no haba cumplido 21 aos. Dedic su vida a la Revolucin (que no pudo ver, pero a la que contribuy con entusiasmo juvenil) y a cambiar las Matemticas, en la que efectivamente (pasados algunos aos como veremos ms adelante) provoc una revolucin que se desencaden tras su muerte prematura.Galois y la enseanzaGalois fue muy crtico con un sistema educativo en que lo ms importante era repetir los resultados ajenos y que dificultaba la iniciativa personal y la imaginacin. Su punto de vista es completamente actual y muchos de sus prrafos parecen haber sido escritos hoy mismo.En los primeros das del ao 1831 public en la Gazette des Ecoles el artculo Sobre la enseanza de las ciencias en el que pone en cuestin la enseanza de las materias cientficas en su pas. Hay que tener en cuenta que en ese momento Francia estaba a la cabeza de Europa en todas las disciplinas cientficas y su organizacin escolar era motivo de envidia por el resto de los pases que iban a copiarlo en los prximos aos (o estaban hacindolo ya). Por eso hay que destacar la clarividencia de Galois, que quera ir ms all. Entre otras cosas dice:De entrada, en las ciencias las opiniones no cuentan para nada; los puestos no tendran que ser la recompensa de una u otra manera de pensar en poltica o en religin. (...) No poda pues ver sin dolor e indignacin que, en el gobierno de la Restauracin, se transformaban los puestos en el botn de los que ms ideas monrquicas y religiosas ofrecan. (...) En [los colegios] la mayor parte de los alumnos de matemticas se dirigen a la Escuela Politcnica; qu se hace para ponerlos en disposicin de lograr ese objetivo? Se busca hacerles concebir el verdadero espritu de la ciencia exponindoles los mtodos ms simples? Se procede de forma que el razonamiento se vuelva para ellos una segunda memoria? No hay, por el contrario, cierto parecido con la forma en que se ensea el francs y el latn?Hasta cundo los pobres jvenes estarn obligados a escuchar o repetir todo el da? Cundo se les dejar tiempo para meditar sobre ese montn de conocimientos, para coordinar esa multitud de proposiciones sin continuacin, de clculos sin relacin? No tendra alguna ventaja el exigir a los alumnos los mismos mtodos, los mismos clculos, las mismas formas de razonamiento, si eran a la vez los ms simples y los ms fecundos? Pero no, se ensea minuciosamente teoras truncadas y cargadas de reflexiones intiles, mientras que se omiten las proposiciones ms simples y ms brillantes del lgebra; en lugar de eso, se demuestra con gran coste de clculos y con razonamientos siempre largos, y a veces falsos, corolarios cuya demostracin se hace por s sola.Por otra parte, por qu los examinadores no hacen las preguntas a los candidatos ms que de una manera enredadora? Parecera que temieran ser entendidos sobre lo que preguntan (...) El alumno est menos ocupado en instruirse que en aprobar su examen.Galois y las matemticasEn el renacimiento italiano se encuentra la frmula para resolver la ecuacin general de cuarto grado. Es una expresin en las que solamente intervienen los coeficientes de la ecuacin y races hasta de exponente cuarto. Este resultado corrobora lo que sucede con las ecuaciones de grado 2 y 3 (en cuya solucin general hay races de exponentes 2 y 3)Acababa el siglo XVIII cuando Gauss (1777-1855) present en 1799 su tesis doctoral en la que apareca el teorema fundamental del lgebra que establece de forma rigurosa que toda ecuacin polinmica con coeficientes reales se puede descomponer de forma nica como producto de factores de primero y segundo grados, y en consecuencia que toda ecuacin de ese tipo tiene al menos una raz (real o imaginaria). Este era un resultado general pero que no estableca el mtodo efectivo de hallar esas races.Vistos los datos anteriores era una hiptesis razonable pensar que una ecuacin de quinto grado tendra cinco soluciones reales o imaginarias, diferentes o repetidas; pero no se haba encontrado la frmula para encontrarlas, aunque, caso de que la hubiera, tambin era razonable suponer que contendra races de grado cinco. Y, generalizando un poco, que las de grado seis se resolveran con races sextas, las de grado siete con races de ese mismo grado y as sucesivamente. Era cuestin de ponerse a trabajar para encontrar la solucin de la ecuacin de quinto grado y despus seguir. Se dedicaron a ello muchos grandes matemticos de la poca, como Lagrange (1736-1813), Cauchy (1789-1857) y sobre todo Ruffini (1765-1822) que fue el que ms avanz hacia el resultado final, aunque no lleg a completarlo. Esa sera la labor de Abel (1802-29) que el ao 1823 (cuando tena 21 aos) obtuvo el resultado definitivo: la ecuacin general de quinto grado no era resoluble por radicales, ni de ndice cinco ni de ningn otro. Con eso se daba un paso importante al cerrar el problema de la bsqueda de frmulas de resolucin. Todava quedaban otros aspectos importantes por abordar, en particular las condiciones que deban cumplir ecuaciones particulares para que s se pudieran resolver.La forma en que Abel resolvi el problema de la resolucin de la ecuacin general de quinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problema tena este final, y sera el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la invencibilidad del lenguaje aritmtico, establecido por Gdel en 1931). Hasta ese momento cuando un problema no se saba resolver se consideraba que es que no se segua el camino apropiado o que no se tenan los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se tena el convencimiento de que antes o despus se lograra resolver.La contribucin genial de Galois a la teora de resolucin de ecuaciones fue la determinacin de las condiciones en las que una ecuacin es resoluble por radicales, lo que da como consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polinmicas que no son resolubles por radicales.En esencia el resultado de Galois sobre resolubilidad por radicales de una ecuacin tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados normales) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo que llama Galois resolventes de la ecuacin. Y este resultado es que una ecuacin es resoluble por radicales si y solo si los ndices de todas las etapas de esa sucesin de subgrupos son nmeros primos. Eso es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado 4, puesto que el orden de S(4) es 24, y nos lleva a una serie de subgrupos de ndices 3,2,2 y 2, todos primos. En el caso de la ecuacin general de grado n > 4, S(n) tiene n! elementos y nos lleva a una serie de dos subgrupos de ndices 2 y n!/2, y este ltimo nmero nunca es primo, luego la ecuacin general de grado n > 4 no es resoluble por radicales.Basten las pocas lneas anteriores para mostrar la aportacin de Galois a la teora de resolucin de ecuaciones, que fue de tal calibre que acab con el propio objeto del lgebra, pasando a partir de sus resultados a poner el acento en el estudio de las estructuras algebraicas. As comienza lo que an hoy se conoce como matemticas modernas, de las que la Teora de Galois sigue siendo una parte plenamente vigente.Fue tan avanzado que sus resultados, que redacta la noche anterior al duelo y encarga a su amigo A. Chevalier que publique, nadie los entiende durante un tiempo. Tendran que pasar doce aos para que vuelvan a ver la luz, cuando Liouville en 1843 anuncia en la Academia, que tan poco caso le hizo unos aos antes, que haba encontrado entre los papeles de Galois una solucin concisa, pero tan exacta como profunda de este bello problema: Dada una ecuacin de grado primo, decidir si es o no es resoluble por radicales. Y tres aos ms tarde, el mismo Liouville publica en la revista que dirige (Journal de mathmatiques pures et appliques) una reedicin de los artculos de Galois junto con sus dos memorias inditas. Aunque tarda, su repercusin y su influencia fueron inmensas en las matemticas desde la segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros das. Una pgina de las Mmoire sur les conditions de resolibilit des equations par radicaus de la publicacin de las obras de Galois de1897 Pgina de la carta-testamento escrita la noche del 29 de Mayo de 1832, dirigida a su amigo A. Chevalier.

Biografa de Niels Henrik AbelMatemtico noruego. Hijo de un pastor protestante, naci el 5 de agosto de 1802, en la isla de Finny y muri el 6 de abril de 1829, en Froland, Noruega. Creci en un ambiente familiar de gran tensin, a causa de las tendencias alcohlicas de sus padres. Enviado junto con su hermano a una escuela de la capital, sus precoces aptitudes para las matemticas fueron muy apreciadas por uno de sus profesores, Holmboe, quien tras la muerte de su padre le financi sus primeros aos en la universidad.La publicacin de sus primeros trabajos le granje un considerable prestigio, pero, arruinado y aquejado de tuberculosis, apenas pudo consolidar su prometedora carrera acadmica; muri a los veintisiete aos. Sus aportaciones se centran en el estudio de las ecuaciones algebraicas de quinto grado, de las que demostr que eran irresolubles por el mtodo de los radicales, y en el de las funciones elpticas, mbito en el que desarroll un mtodo general para la construccin de funciones peridicas recprocas de la integral elptica.N.H. Abel, fue un genio incomprendido marcado por la fatalidad. Su vida es un triste , ms bien terrible ejemplo del drama que representa en numerosos casos, la ntima conexin de la pobreza y la tragedia. Tuvo que salir de su tierra, para contactar con los grandes matemticos europeos, sin conseguir que le reconocieran sus sobresalientes mritos hasta despus de su muerte. Su fecunda idea de la inversin marc un hito en la matemtica.Su primera mayor aportacin fue la prueba de la imposibilidad de resolucin algebraica de la ecuacin quntica mediante radicales. Propuls luego sobremanera el desarrollo de la teora de integrales elpticas estudiando sus funciones inversas. Su contribucin fue adems decisiva en la fundamentacin del anlisis con el uso del rigor, dando precisin al contexto de series infinitas. La repercusin de los numerosos resultados que obtuvo en importantes zonas del anlisis , le sitan entre los ms notables matemticos de la historia.Junto a Henrik Ibsen , Abel es uno de los iconos nacionales de Noruega. Niels Henrik Abel naci el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finny en la costa sudoccidental de Noruega. Era descendiente de una familia de sacerdotes rurales. Su padre Sorn-Georg Abel ejerca como prroco protestante de la pequea aldea de Finny, en la dicesis de Cristiana (la actual Oslo), aunque tambin colaborara como poltico en pro de una Noruega independiente. Su madre Ana Mara Simonsen, era hija de un comerciante de Risr. El matrimonio tuvo siete hijos. Abel era el segundo de ellos. Ya cumplido un ao, su padre fue designado pastor de un lugar llamado Gjerstad cerca de Risr, donde Abel junto con su hermano primognito tuvo que iniciar su educacin en un perodo crtico para el desarrollo de su pas, ya que la disolucin en 1814 de la unin de Noruega con Dinamarca (gobernadas desde Copenhague por el mismo rey) acab con la cesin de Noruega a Suecia.Esta ltima estableci entonces un gobierno provisional en Oslo y aunque a Sren se le incluy en el cuerpo legislativo para su nueva constitucin, la fuerte crisis noruega impidi al padre de Abel resolver la precaria situacin econmica de su familia. Unos aos antes, Sren coadyuvara con eficaces campaas, en la fundacin (1811) de la primera Universidad noruega en Cristiana, la cual se pudo crear al proveerse de un cuerpo docente constituido por los mejores maestros de la Escuela Episcopal de Cristiana (existente desde la Edad Media), inaugurando la docencia universitaria en 1813. En 1815 logr conseguir a duras penas, una modesta ayuda para que Abel y el primognito accediesen a la citada Escuela, donde destacaban en el curriculum Lenguas Clsicas, Religin e Historia.Al principio de su instruccin, Abel se mostrara como un estudiante indiferente, ms bien mediocre y sin que incluso las matemticas le despertaran atraccin alguna. Era notorio su malestar en esa escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raz de la muerte de un condiscpulo ante los malos tratos de un maestro brutal que se exceda con castigos corporales a sus alumnos. El maestro fue entonces relevado (1818) por un joven matemtico de mayor competencia, Bernt Holmboe (1795-1850), quien incentiv a sus alumnos a resolver por s mismos problemas de lgebra y de geometra, escogiendo pronto algunos especiales para Abel, a la vista de su pasmoso avance de aptitud.Desde aquel momento Abel se consagra a las matemticas con la pasin ms ardiente. Con Holmboe, Abel se familiariz con resultados superiores conocidos en su poca, afanndose en las tres obras de L. Euler 1707-1803 sobre el clculo, de I. Newton (1642-1727), de C.F. Gauss (1777-1855), de J.L. Lagrange (1736-1813) y otras clsicas de grandes maestros. Investig por su cuenta y aos ms tarde al inquirirle cmo se situ tan rpido en primera fila, replic estudiando a los maestros, no a sus discpulos.A la sazn, el padre de Abel falleca en 1820, sumiendo a la familia en situacin trgica. En 1821 Abel logra ser matriculado en la Universidad de Oslo y ante una solicitud de Holmboe, muy convencido de que aquel frgil estudiante de tez cetrina con atuendo descuidado, era uno de los ms grandes matemticos de todos los tiempos, se le concede alojamiento gratuito y algn dinero para pequeos gastos. Se gradu en 1822.Abel haba encontrado una familiar acogida, en la casa del catedrtico de Astronoma de Oslo (estudioso del magnetismo terrestre) Ch. Hansteen, cuya esposa lo cuid como si fuese su propio hijo. En la revista Magazin for Naturvidenskaben que se imprimi en Noruega en 1823, se publicaron algunos breves trabajos de Abel, entre ellos uno en el que aparece por primera vez el planteamiento y la solucin de una ecuacin integral. En su ltimo ao de escuela, Abel se mostrara muy interesado en un importante problema del lgebra, infructuosamente afrontado desde el siglo XVI y que a pesar de los denodados esfuerzos de Lagrange y otros matemticos, figuraba entre los grandes problemas abiertos. En trminos concretos, se trataba de hallar la solucin mediante radicales de la ecuacin algebraica general de quinto grado ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 (llamada quntica).Debido a sus minuciosas lecturas, Abel estaba enterado no slo de las frmulas de Cardano y de Bombelli para las ecuaciones cbica y curtica, sino que conoca muy bien la problemtica pendiente. Ya desde fines de 1823, Abel llegara a la conclusin de que resultaba imposible la resolucin algebraica de la quntica. Su primera prueba se public en 1824. Cometeri un error y convencido de ello, estableci con xito un teorema en que si la ecuacin es resoluble mediante radicales, las expresiones de las races pueden darse en tal forma que los radicales en ellas sean funciones racionales de las races de la ecuacin dada y ciertas races de la unidad, resultado que usara luego para ratificar aquella imposibilidad para la quntica (J. Crelle, 1826).Por otra parte, Paolo Ruffini (1765-1822) estimulado por las reflexiones profundas al respecto de su maestro Lagrange, si bien demostr que no existe ninguna resolvente para las de grado cinco, crey probar en 1813 (basndose en el resultado citado que probara luego Abel) la imposibilidad de resolucin algebraica. Ello confiere sin duda a Abel, el primer triunfo del problema multisecular. Una vez abandonada la escuela, Abel crey en principio, como dijimos, haber resuelto el problema de la quntica; pero a la vista de que ni Holmboe ni ninguno de los mejores matemticos de Noruega (Hansteen y Rasmussen) pudieron comprobar la veracidad de su conjetura, envi a travs de Holmboe la presunta resolucin al matemtico profesor F. Degen en Copenhague, para que la presentase a la Real Sociedad de Ciencias de Dinamarca. Degen le contest requirindole algn ejemplo numrico, y sin comprometerse a dar su opinin. Esa respuesta contena una advertencia de que estudiara las integrales elpticas. Al buscar ejemplos, hallara el mentado error, que fue corregido ms tarde, para probar la imposibilidad; este trabajo tambin contena un error (al clasificar funciones), si bien, por fortuna, no esencial para el argumento.Ms tarde se le concedi a Abel una modesta beca para visitar a Degen en Copenhague. All conoci tambin a Cristina Kemp, que un tiempo despus sera su novia. Otro nuevo estipendio le fue dado por el Gobierno noruego, con recursos suficientes para visitar los centros matemticos ms importantes del continente (en Alemania y Francia). Por esa dotacin tuvo que aguardar ms de ao y medio, tiempo que dedic a estudiar francs y alemn, sin abandonar su perseverante entrega a las matemticas. En agosto de 1825 emprendi el viaje al extranjero, aunque antes de partir edit una breve memoria en la que se exhiba la idea de la inversin de las elpticas. Cun enorme sera el desengao que tuvo en su visita a Alemania, al enterarse de que, sin siquiera leerla, Gauss tildara de monstruosidad el folleto que Abel le haba enviado con su resultado! Eso le indujo tal antipata, que en una ocasin dira Gauss, como el zorro, borra con la cola la senda que sigue, para no dejar pista alguna de sus trabajos.La prodigiosa inventiva de Abel se refleja en sus trabajos. En su memoria sobre el problema anterior, destac que se deban indagar las condiciones para poder resolver algebraicamente ecuaciones de cualquier grado, preludio de un parntesis que solvent ms tarde E. Galois (1811-1832) para sentar las bases de su teora de ecuaciones mediante la de grupos, mostrando que a cada ecuacin corresponde un grupo de sustituciones. Abel investig la estructura de los grupos conmutativos y mostr que son producto de grupos cclicos. No obstante, no destacara en su trabajo el concepto de grupo (ni , claro est, la nocin explcita de subgrupo normal). Se les reconoce a Galois y a Abel, la creacin del lgebra moderna.Desde Copenhague, Abel march hacia Alemania, para contactar cerca de Hamburgo con Schumacher (quien enviara el folleto antes citado a Gauss) y de all a Berln. Llevaba una misiva para el consejero de construcciones, August Leopold Crelle (1780-1855), por quien sera cordialmente acogido. Con ms peso en el mundo matemtico que su gran benefactor Holmboe, Crelle era un destacado ingeniero, una de cuyas obras fue el primer ferrocarril prusiano entre Berln y Postdam y autor tambin de algunos trabajos matemticos. Crelle sera un fuerte impulsor de la matemtica en Prusia, fundando (1825) el Journal fr die reine und angewandte Mathematik (Journal de Crelle), revista pionera de matemtica pura en el mundo y la ms prestigiosa de Alemania. Abel estableci una cordial amistad con Crelle, quien pronto adivin que aqul era un genio. En los primeros nmeros edit 7 de sus trabajos; publicando 22 en total en el Journal de Crelle.En Berln ley Analyse Algbrique de A.L. Cauchy (1789-1857), de la que en uno de sus artculos sobre la quntica, ya haba usado resultados sobre permutaciones. En perjuicio de su salud, Abel decidi desviar su ruta hacia la capital francesa, dirigindose hacia el norte de Italia para disfrutar unos das con sus compaeros Boeck y Keilhau con quienes vino desde Noruega. En julio de 1826 se traslad a Pars, con una constelacin entonces de grandes matemticos, a los que describi algo despectivamente: de tan viejos que slo quedaba de ellos su fama. De Cauchy dijo que es un excntrico, lo que hace es excelente pero muy confuso. Tild a los franceses de mucho ms reservados con los extranjeros que los alemanes, siendo demasiado difcil ganar su intimidad. Tambin especificaba: He realizado un trabajo sobre funciones trascendentes, para presentarlo al Instituto. Espero que lo vea Cauchy, pero seguramente ni se dignar mirarlo. Se trata de un buen trabajo y me agradara conocer el juicio del Instituto. Ese trabajo, primer ensayo de Abel sobre las integrales elpticas, fue presentado el 30 de octubre de 1826 al Secretario de la Academia de Ciencias de Pars, J. Fourier, para ser publicado en su Revista. Este lo remiti a Cauchy (responsable principal, con 39 aos) y a A.Legendre (1757-1833), para que fuese evaluado. Legendre (con 74 aos) lo encontr penoso e ilegible y confi en Cauchy para que se encargara del informe.Sumergido ste en su propia tarea, o tal vez porque vislumbrara en aquel msero estudiante noruego un pobre diablo con vanas quimeras o incluso quizs por indiferencia al principiante, no prest la debida atencin, lo olvid y lo extravi. Al parecer, cuando Abel se enter de que Cauchy no lo haba leido, aguard con resignacin el veredicto de la Academia (que nunca recibira). Mas, al informrsele luego de su prdida, resolvi redactar de nuevo el principal resultado. An siendo el ms penetrante de todos sus trabajos, constaba slo de dos breves pginas. Abel lo llam estrictamente Un teorema: un monumento colosal resumido en unas parcas lneas. Al cabo de algn tiempo C.G. Jacobi (1804-1851) tuvo noticias de lo sucedido por el propio Legendre, a quien se dirigi (14 marzo 1829) exclamando: Cmo es posible que un descubrimiento quizs el ms importante de nuestro siglo, se comunicara a su Academia hace dos aos y escapara a la atencin de sus colegas ?. Esta pregunta se extendi como un reguero de plvora hasta Noruega, lo que dio lugar a que su cnsul en Pars apremiara una reclamacin diplomtica acerca del manuscrito perdido. La Academia indag y Cauchy lo encontr algn tiempo despus. En la contestacin a Jacobi, Legendre cuenta que al decidir redactar el oportuno informe, ambos se retuvieron al sopesar que Abel ya haba publicado parte de la memoria en el Journal de Crelle. Sin embargo !!, el ensayo no se public hasta 1841, un trabajo que luego Legendre calific como monumentum aere perennius, y Hermite (1822-1901) un legado para ms de 150 aos. Para coronar esta epopeya, se volvi a perder antes de ser ledas las pruebas de imprenta.La Academia en 1830, concedi a Abel el Gran Premio de Matemticas, en unin con Jacobi, pero Abel ya haba fallecido. No acabaron ah las peripecias habidas. Cuando los noruegos L. Sylow y S. Lie elaboraban en la dcada 1870-1880 la publicacin de las obras completas de Abel se encontraron, para colmo de sorpresas con que el manuscrito se haba perdido de nuevo. Finalmente encontrada por Viggo Brun, de Oslo, en la biblioteca Moreniana de Florencia. El manuscrito (salvo 8 pginas) se localiz en 1952.El manuscrito de Abel (que contiene el ya conocido como su gran teorema) se refiere a la extensin del teorema de adicin de Euler para integrales elpticas, al caso de integrales de funciones racionales R(x, y(x)) de la variable x y de cualquier funcin algebraica y(x). Grosso modo, el teorema enuncia cualquier suma de integrales de la forma ? R(x, y)dx, donde las variables estn relacionadas por f(x,y)=0 (f=polinomio en x e y ), puede expresarse en trminos de un nmero fijo p de integrales de ese tipo ms trminos algebraicos y logartmicos. El mnimo nmero p depende slo de la ecuacin f(x,y)=0, el cual luego sera llamado gnero de la misma. Esto muestra que reconoci dicha nocin fundamental antes que B. Riemann (1826-1866). Abel transform radicalmente la teora de integrales elpticas en la teora de funciones elpticas, haciendo uso de las funciones inversas de aqullas, mucho ms fciles de manipular.En lugar de estudiar (como hizo Legendre) la integral elptica de primera especie mediante su expresin en trminos de funciones analticas mejor conocidas, Abel la consider como una funcin x de y, como una funcin elptica. La funcin inversa x = f(y) as obtenida, result ser doblemente peridica y poda expresarse como cociente de dos productos infinitos.Ese enfoque sencillo supuso uno de los mximos progresos matemticos del siglo XIX! Los primeros resultados de Abel se publicaron en 1827, con la idea central de la inversin (que ya bulla en su mente desde 1823). El otro descubridor de las funciones elpticas fue C.G. Jacobi que haba estudiado en la Universidad de Berln.El teorema de Abel condujo alrededor de 1850 a B. Riemann, alumno de Gauss, a una ms amplia teora de funciones multiformes (tmidamente abordada por Cauchy), con una visin que le suministr la clave del concepto de superficie de Riemann, descubriendo el gnero de la misma como un invariante topolgico y como medio de clasificacin de las funciones abelianas. Sera la no univocidad de las transformaciones conformes lo que llev a Riemann a las superficies de varias hojas con su nombre.El siglo XIX se caracteriz por la reintroduccin del rigor en las demostraciones. Esto origin (primer tercio del XIX), una redefinicin del concepto de funcin. En 1821, Cauchy emprende la introduccin del rigor, haciendo hincapi en la sin razn de las series divergentes. En un artculo de 1826, Abel alab la obra de Cauchy y muchos tratados de anlisis incorporaron el nuevo rigor, el cual no avanz sin oposicin. Gener gran controversia la prohibicin, mayormente por Abel y Cauchy, de las series divergentes. Abel las atac con rudeza: Estas series dan lugar a falacias y paradojas.En un notable trabajo sobre series binmicas, testimonia su sagacidad, penetracin y agudeza crtica, arremetiendo contra la falta de rigor con que se opera con series infinitas. La obra de Cauchy inspir a Abel y algunos criterios de convergencia llevan hoy el nombre de Abel. Este advirti y corrigi (1826) el error de Cauchy de su falso teorema sobre la continuidad del lmite de una serie convergente de funciones continuas. Es claro que Cauchy an no tena la idea del concepto de convergencia uniforme.La condena de Cauchy (y de Abel) defendiendo una matemtica rigurosa, fue aceptada por franceses, pero no por ingleses y alemanes. Algunos alemanes y la escuela de Cambridge, abogaron por las series divergentes, aguardando a una nueva teora de series infinitas.En Pars, Abel se carg de deudas y como la situacin de su madre y hermanos era ya desesperada, regres a Oslo en mayo de 1827. No pudo ocupar un trabajo regular apropiado, porque Holmboe haba sido contratado como profesor de la Universidad noruega. Dio clases a escolares, en tanto escriba artculos sobre las elpticas en su competicin con Jacobi. En 1828 Hansteen viaj a Siberia, ocupando Abel su plaza docente. Aunque desde haca tiempo Abel padeca tuberculosis, en la Navidad de ese ao viaj en trineo a Frland para ver a su novia, empleada all como institutriz de una familia inglesa. Mediado 1829 empeor a causa de una hemorragia persistente. Padeci su peor agona la noche del 5 de abril y el da 6 falleci. Tena 26 aos y ocho meses.Dos das despus de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berln le haba nombrado profesor de matemticas. Gauss y Humboldt solicitaran tambin una ctedra para Abel. Legendre, Poisson y Laplace, escribieron asimismo al rey de Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo.Hay varios mitos sobre su persona. Algunos le caracterizan como el Mozart de la ciencia. Un monumento fue erigido por los amigos de Abel en su tumba. Entre los muchos honores conferidos al joven sabio noruego, figuran: Un crter lunar lleva su nombre, una calle del distrito duodcimo de Pars se denomina rue Abel, y una estatua del escultor Gustav Vigeland en 1908 fue erigida en el Royal Park de Oslo. El Premio Abel (equivalente al Nobel) ha sido instituido desde el ao 2002, bicentenario de su nacimiento.

Biografa de Ren Descartes(La Haya, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filsofo y matemtico francs. Despus del esplendor de la antigua filosofa griega y del apogeo y crisis de la escolstica en la Europa medieval, los nuevos aires del Renacimiento y la revolucin cientfica que lo acompa daran lugar, en el siglo XVII, al nacimiento de la filosofa moderna.El primero de losismosfilosficos de la modernidad fue el racionalismo; Descartes, su iniciador, se propuso hacer tabla rasa de la tradicin y construir un nuevo edificio sobre la base de la razn y con la eficaz metodologa de las matemticas. Su duda metdica no cuestion a Dios, sino todo lo contrario; sin embargo, al igual que Galileo, hubo de sufrir la persecucin a causa de sus ideas.Ren Descartes se educ en el colegio jesuita de La Flche (1604-1612), por entonces uno de los ms prestigiosos de Europa, donde goz de un cierto trato de favor en atencin a su delicada salud. Los estudios que en tal centro llev a cabo tuvieron una importancia decisiva en su formacin intelectual; conocida la turbulenta juventud de Descartes, sin duda en La Flche debi cimentarse la base de su cultura. Las huellas de tal educacin se manifiestan objetiva y acusadamente en toda la ideologa filosfica del sabio. El programa de estudios propio de aquel colegio (segn diversos testimonios, entre los que figura el del mismo Descartes) era muy variado: giraba esencialmente en torno a la tradicional enseanza de las artes liberales, a la cual se aadan nociones de teologa y ejercicios prcticos tiles para la vida de los futuros gentilhombres. Aun cuando el programa propiamente dicho deba de resultar ms bien ligero y orientado en sentido esencialmente prctico (no se pretenda formar sabios, sino hombres preparados para las elevadas misiones polticas a que su rango les permita aspirar), los alumnos ms activos o curiosos podan completarlos por su cuenta mediante lecturas personales.Aos despus, Descartes criticara amargamente la educacin recibida. Es perfectamente posible, sin embargo, que su descontento al respecto proceda no tanto de consideraciones filosficas como de la natural reaccin de un adolescente que durante tantos aos estuvo sometido a una disciplina, y de la sensacin de inutilidad de todo lo aprendido en relacin con sus posibles ocupaciones futuras (burocracia o milicia). Tras su etapa en La Flche, Descartes obtuvo el ttulo de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintids aos parti hacia los Pases Bajos, donde sirvi como soldado en el ejrcito de Mauricio de Nassau. En 1619 se enrol en las filas del duque de Baviera.Segn relatara el propio Descartes en elDiscurso del Mtodo, durante el crudo invierno de ese ao se hall bloqueado en una localidad del Alto Danubio, posiblemente cerca de Ulm; all permaneci encerrado al lado de una estufa y lejos de cualquier relacin social, sin ms compaa que la de sus pensamientos. En tal lugar, y tras una fuerte crisis de escepticismo, se le revelaron las bases sobre las cuales edificara su sistema filosfico: el mtodo matemtico y el principio delcogito, ergo sum. Vctima de una febril excitacin, durante la noche del 10 de noviembre de 1619 tuvo tres sueos, en cuyo transcurso intuy su mtodo y conoci su profunda vocacin de consagrar su vida a la ciencia.

Tras renunciar a la vida militar, Descartes viaj por Alemania y los Pases Bajos y regres a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse as una vida independiente; pas una temporada en Italia (1623-1625) y se afinc luego en Pars, donde se relacion con la mayora de cientficos de la poca.En 1628 decidi instalarse en Holanda, pas en el que las investigaciones cientficas gozaban de gran consideracin y, adems, se vean favorecidas por una relativa libertad de pensamiento. Descartes consider que era el lugar ms favorable para cumplir los objetivos filosficos y cientficos que se haba fijado, y residi all hasta 1649.Los cinco primeros aos los dedic principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepcin del hombre y del cuerpo humano. En 1633 deba de tener ya muy avanzada la redaccin de un amplio texto de metafsica y fsica tituladoTratado sobre la luz; sin embargo, la noticia de la condena deGalileole asust, puesto que tambin Descartes sostena en aquella obra el movimiento de la Tierra, opinin que no crea censurable desde el punto de vista teolgico. Como tema que tal texto pudiera contener teoras condenables, renunci a su publicacin, que tendra lugar pstumamente.

Ren DescartesEn 1637 apareci su famosoDiscurso del mtodo, presentado como prlogo a tres ensayos cientficos. Por la audacia y novedad de los conceptos, la genialidad de los descubrimientos y el mpetu de las ideas, el libro bast para dar a su autor una inmediata y merecida fama, pero tambin por ello mismo provoc un diluvio de polmicas, que en adelante haran fatigosa y aun peligrosa su vida.Descartes propona en elDiscursouna duda metdica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la poca, aunque, a diferencia de los escpticos, la suya era una duda orientada a la bsqueda de principios ltimos sobre los cuales cimentar slidamente el saber. Este principio lo hall en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulacin pienso, luego existo. Sobre la base de esta primera evidencia pudo desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante ltimo de la verdad de las evidencias de la razn, que se manifiestan como ideas claras y distintas.El mtodo cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente ms sencillas hasta hallar sus elementos bsicos, las ideas simples, que se presentan a la razn de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por sntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relacin establecida entre ideas simples la misma evidencia de stas. Los ensayos cientficos que seguan alDiscursoofrecan un compendio de sus teoras fsicas, entre las que destaca su formulacin de la ley de inercia y una especificacin de su mtodo para las matemticas.Los fundamentos de su fsica mecanicista, que haca de la extensin la principal propiedad de los cuerpos materiales, fueron expuestos por Descartes en las Meditaciones metafsicas(1641), donde desarroll su demostracin de la existencia y la perfeccin de Dios y de la inmortalidad del alma, ya apuntada en la cuarta parte delDiscurso del mtodo. El mecanicismo radical de las teoras fsicas de Descartes, sin embargo, determin que fuesen superadas ms adelante.Conforme creca su fama y la divulgacin de su filosofa, arreciaron las crticas y las amenazas de persecucin religiosa por parte de algunas autoridades acadmicas y eclesisticas, tanto en los Pases Bajos como en Francia. Nacidas en medio de discusiones, lasMeditaciones metafsicashaban de valerle diversas acusaciones promovidas por los telogos; algo por el estilo aconteci durante la redaccin y al publicar otras obras suyas, comoLos principios de la filosofa(1644) yLas pasiones del alma(1649).

Descartes con la reina Cristina de SueciaCansado de estas luchas, en 1649 Descartes acept la invitacin de la reina Cristina de Suecia, que le exhortaba a trasladarse a Estocolmo como preceptor suyo de filosofa. Previamente haban mantenido una intensa correspondencia, y, a pesar de las satisfacciones intelectuales que le proporcionaba Cristina, Descartes no fue feliz en "el pas de los osos, donde los pensamientos de los hombres parecen, como el agua, metamorfosearse en hielo". Estaba acostumbrado a las comodidades y no le era fcil levantarse cada da a las cuatro de la maana, en plena oscuridad y con el fro invernal royndole los huesos, para adoctrinar a una reina que no dispona de ms tiempo libre debido a sus obligaciones. Los espartanos madrugones y el fro pudieron ms que el filsofo, que muri de una pulmona a principios de 1650, cinco meses despus de su llegada.La filosofa de DescartesDescartes es considerado como el iniciador de la filosofa racionalista moderna por su planteamiento y resolucin del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice su certeza, y como el filsofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolstica. En elDiscurso del mtodo(1637), Descartes manifest que su proyecto de elaborar una doctrina basada en principios totalmente nuevos proceda del desencanto ante las enseanzas filosficas que haba recibido.Convencido de que la realidad entera responda a un orden racional, su propsito era crear un mtodo que hiciera posible alcanzar en todo el mbito del conocimiento la misma certidumbre que proporcionan en su campo la aritmtica y la geometra. Su mtodo, expuesto en elDiscurso, se compone de cuatro preceptos o procedimientos: no aceptar como verdadero nada de lo que no se tenga absoluta certeza de que lo es; descomponer cada problema en sus partes mnimas; ir de lo ms comprensible a lo ms complejo; y, por ltimo, revisar por completo el proceso para tener la seguridad de que no hay ninguna omisin.

El sistema utilizado por Descartes para cumplir el primer precepto y alcanzar la certeza es la duda metdica. Siguiendo este sistema, Descartes pone en tela de juicio todos sus conocimientos adquiridos o heredados, el testimonio de los sentidos e incluso su propia existencia y la del mundo. Ahora bien, en toda duda hay algo de lo que no podemos dudar: de la misma duda. Dicho de otro modo, no podemos dudar de que estamos dudando. Llegamos as a una primera certeza absoluta y evidente que podemos aceptar como verdadera: dudamos.Pienso, luego existoLa duda, razona entonces Descartes, es un pensamiento: dudar es pensar. Ahora bien, no es posible pensar sin existir. La suspensin de cualquier verdad concreta, la misma duda, es un acto de pensamiento que implica inmediatamente la existencia del "yo" pensante. De ah su clebre formulacin: pienso, luego existo (cogito, ergo sum). Por lo tanto, podemos estar firmemente seguros de nuestro pensamiento y de nuestra existencia. Existimos y somos una sustancia pensante, espiritual.A partir de ello elabora Descartes toda su filosofa. Dado que no puede confiar en las cosas, cuya existencia an no ha podido demostrar, Descartes intenta partir del pensamiento, cuya existencia ya ha sido demostrada. Aunque pueda referirse al exterior, el pensamiento no se compone de cosas, sino de ideas sobre las cosas. La cuestin que se plantea es la de si hay en nuestro pensamiento alguna idea o representacin que podamos percibir con la misma claridad y distincin (los dos criterios cartesianos de certeza) con la que nos percibimos como sujetos pensantes.Clases de ideasDescartes pasa entonces a revisar todos los conocimientos que previamente haba descartado al comienzo de su bsqueda. Y al reconsiderarlos observa que las representaciones de nuestro pensamiento son de tres clases: ideas innatas, como las de belleza o justicia; ideas adventicias, que proceden de las cosas exteriores, como las de estrella o caballo; e ideas ficticias, que son meras creaciones de nuestra fantasa, como por ejemplo los monstruos de la mitologa.Las ideas ficticias, mera suma o combinacin de otras ideas, no pueden obviamente servir de asidero. Y respecto a las ideas adventicias, originadas por nuestra experiencia de las cosas exteriores, es preciso obrar con cautela, ya que no estamos seguros de que las cosas exteriores existan. Podra ocurrir, dice Descartes, que los conocimientos adventicios, que consideramos correspondientes a impresiones de cosas que realmente existen fuera de nosotros, hubieran sido provocados por un genio maligno que quisiera engaarnos. O que lo que nos parece la realidad no sea ms que una ilusin, un sueo del que no hemos despertado.Del Yo a DiosPero al examinar las ideas innatas, sin correlato exterior sensible, encontramos en nosotros una idea muy singular, porque est completamente alejada de lo que somos: la idea de Dios, de un ser supremo infinito, eterno, inmutable, perfecto. Los seres humanos, finitos e imperfectos, pueden formar ideas como la de "tringulo" o "justicia". Pero la idea de un Dios infinito y perfecto no puede nacer de un individuo finito e imperfecto: necesariamente ha sido colocada en la mente de los hombres por la misma Providencia. Por consiguiente, Dios existe; y siendo como es un ser perfectsimo, no puede engaarse ni engaarnos, ni permitir la existencia de un genio maligno que nos engae, hacindonos creer que es real un mundo que no existe. El mundo, por lo tanto, tambin existe. La existencia de Dios garantiza as la posibilidad de un conocimiento verdadero.Esta demostracin de la existencia de Dios constituye una variante del argumento ontolgico empleado ya en el siglo XII por San Anselmo de Canterbury, y fue duramente atacada por los adversarios de Descartes, que lo acusaron de caer en un crculo vicioso: para demostrar la existencia de Dios y as garantizar el conocimiento del mundo exterior se utilizan los criterios de claridad y distincin, pero la fiabilidad de tales criterios se justifica a su vez por la existencia de Dios. Tal crtica apunta no slo a la validez o invalidez del argumento, sino tambin al hecho de que Descartes no parece aplicar en este punto su propia metodologa.Res cogitans y res extensaAdmitida la existencia del mundo exterior, Descartes pasa a examinar cul es la esencia de los seres. Introduce aqu su concepto de sustancia, que define como aquello que existe de tal modo que slo necesita de s mismo para existir. Las sustancias se manifiestan a travs de sus modos y atributos. Losatributosson propiedades o cualidades esenciales que revelan la determinacin de la sustancia, es decir, son aquellas propiedades sin las cuales una sustancia dejara de ser tal sustancia. Losmodos, en cambio, no son propiedades o cualidades esenciales, sino meramente accidentales.

El atributo de los cuerpos es la extensin (un cuerpo no puede carecer de extensin; si carece de ella no es un cuerpo), y todas las dems determinaciones (color, forma, posicin, movimiento) son solamente modos. Y el atributo del espritu es el pensamiento, pues el espritu piensa siempre. Existe, por lo tanto, una sustancia pensante (res cogitans), carente de extensin y cuyo atributo es el pensamiento, y una sustancia que compone los cuerpos fsicos (res extensa), cuyo atributo es la extensin, o, si se prefiere, la tridimensionalidad, cuantitativamente mesurable en un espacio de tres dimensiones. Ambas son irreductibles entre s y totalmente separadas. Es lo que se denomina el dualismo cartesiano.En la medida en que la sustancia de la materia y de los cuerpos es la extensin, y en que sta es observable y mesurable, ha de ser posible explicar sus movimientos y cambios mediante leyes matemticas. Ello conduce a la visin mecanicista de la naturaleza: el universo es como una enorme mquina cuyo funcionamiento podremos llegar a conocer mediante el estudio y descubrimiento de las leyes matemticas que lo rigen.La comunicacin de las sustanciasLa separacin radical entre materia y espritu es aplicada rigurosamente, en principio, a todos los seres. As, los animales no son ms que mquinas muy complejas. Sin embargo, Descartes hace una excepcin cuando se trata del hombre. Dado que est compuesto de cuerpo y alma, y siendo el cuerpo material y extenso (res extensa), y el alma espiritual y pensante (res cogitans), debera haber entre ellos una absoluta incomunicacin.No obstante, en el sistema cartesiano esto no ocurre, sino que el alma y el cuerpo se comunican entre s, no al modo clsico, sino de una manera singular. El alma est asentada en la glndula pineal, situada en el encfalo, y desde all rige al cuerpo como el nauta rige la nave, por medio de los espritus animales, sustancias intermedias entre espritu y cuerpo a manera de finsimas partculas de sangre, que transmiten al cuerpo las rdenes del alma. La solucin de Descartes no result satisfactoria, y el llamadoproblema de la comunicacin de las sustanciassera largamente discutido por los filsofos posteriores.

Su influenciaTanto por no haber definido satisfactoriamente la nocin de sustancia como por el franco dualismo establecido entre las dos sustancias, Descartes plante los problemas fundamentales de la filosofa especulativa europea del siglo XVII. Entendido como sistema estricto y cerrado, el cartesianismo no tuvo excesivos seguidores y perdi su vigencia en pocas dcadas. Sin embargo, la filosofa cartesiana se convirti en punto de referencia para gran nmero de pensadores, unas veces para intentar resolver las contradicciones que encerraba, como hicieron los pensadores racionalistas, y otras para rebatirla frontalmente, como los empiristas.

Biografia de Leonhard Paul EulerLeonhard Euler naci el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza .Fue hijo de un clrigo, que viva en los alrededores de Basilea. Su padre Paul Euler haba estudiado teologa en la universidad de Basilea y haba asistido a las clases de Jacob Bernoulli. De hecho Paul Euler y Johann Bernoulli haban vivido juntos en la casa de Jacob Bernoulli durante sus estudios en la universidad.Paul Euler se convirti en un pastor Protestante y se cas con Margaret Brucker, la hija de otro pastor. Paul Euler le ense a su hijo matemticas elementales y otras materias. Su talento natural para las matemticas se evidenci pronto por el afn y la facilidad con que estudiaba, bajo la tutela de su padre .A una edad temprana fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atencin de Johann Bernoulli. Inspirado por un maestro as, madur rpidamente, a los 17 aos de edad, cuando se gradu Doctor, provoc grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una comparacin entre los sistemas cartesiano y newtoniano.Su padre deseaba que siguiera el estudio de la teologa. Pero, cuando vio que el talento de su hijo iba en otra direccin le autoriz a seguir sus estudios favoritos. A la edad de diecinueve aos, envi dos memorias a la Academia de Pars, una sobre arboladura de barcos, y la otra sobre la filosofa del sonido. Estos ensayos marcan el comienzo de su esplndida carrera.Por esta poca decidi dejar su pas nativo, a consecuencia de una aguda decepcin, al no lograr un profesorado vacante en Basilea. As, Euler parti en 1727, ao de la muerte de Newton, a San Petersburgo, para reunirse con sus amigos, los jvenes Bernoulli, que le haban precedido all algunos aos antes .En el camino hacia Rusia, se enter de que Nicols Bernoulli haba cado vctima del duro clima nrdico; y el mismo da que puso pie sobre suelo ruso muri la emperatriz Catalina, acontecimiento que amenaz con la disolucin de la Academia, cuya fundacin ella haba dirigido. Euler, desanimado, estuvo a punto de abandonar toda esperanza de una carrera intelectual y alistarse en la marina rusa. Pero, felizmente para las matemticas, Euler obtuvo la ctedra de filosofa natural en 1730, cuando tuvo lugar un cambio en el sesgo de los asuntos pblicos. En 1733 sucedi a su amigo Daniel Bernoulli, que deseaba retirarse, y el mismo ao se cas con Mademoiselle Gsell, una dama suiza, hija de un pintor que haba sido llevado a Rusia por Pedro el Grande.Hacia 1730, haba realizado una serie de trabajos sobre cartograpa, ciencias de la educacin, magnetismo, mquinas de vapor y construccin de barcos. Por otro lado, su investiogacin terica fue en Teora de nmeros, anlisis infinitesimal incluyendo ecuaciones diferenciales y clculo de variaciones. Especialmente estudi ciertas funciones y ecuaciones diferenciales que hoy da llevan su nombre.Dos aos ms tarde, Euler dio una muestra insigne de su talento, cuando efectu en tres das la resolucin de un problema que la Academia necesitaba urgentemente, pese a que se le juzgaba insoluble en menos de varios meses de labor. Pero el esfuerzo realizado tuvo por consecuencia la prdida de la vista de un ojo. Pese a esta calamidad, prosper en sus estudios y descubrimientos; pareca que cada paso no haca ms que darle fuerzas para esfuerzos futuros. Hacia los treinta aos de edad, fue honrado por la Academia de Pars, recibiendo un nombramiento; asimismo Daniel Bernoulli y Collin Maclaurin, por sus disertaciones sobre el flujo y el reflujo de las mareas. La obra de Maclaurin contena un clebre teorema sobre el equilibrio de esferoides elpticos; la de Euler acercaba bastante la esperanza de resolver problemas relevantes sobre los movimientos de los cuerpos celestes.La publicacin de muchos artculos sobre matemticas y la de su libro Mecnica (1736-37), donde presenta la mecnica newtoniana en forma de anlisis matemtico por primera vez, le distinguen como uno de los mejores matemticos de su tiempo.Hacia 1740 Euler tena una gran reputacin, hebiendo ganado el gran premio de la Academia Francesa en dos ocasiones en 1738 y 1740. En el verano de 1741, el rey Federico el Grande invit a Euler a residir en Berln. Esta invitacin fue aceptada, y Euler vivi en Alemania hasta 1766. Durante su residencia en Berln, Euler escribi un notable conjunto de cartas, o lecciones, sobre filosofa natural, para la princesa de Anhalt Dessau, que anhelaba la instruccin de un tan gran maestro. Estas cartas son un modelo de enseanza clara e interesante, y es notable que Euler pudiera encontrar el tiempo para un trabajo elemental tan minucioso como ste, en medio de todos sus dems intereses literarios.Su madre viuda vivi tambin en Berln durante once aos, recibiendo asiduas atenciones de su hijo y disfrutando del placer de verle universalmente estimado y admirado. En Berln, Euler intim con M. de Maupertuis, presidente de la Academia, un francs de Bretaa, que favoreca especialmente a la filosofa newtoniana, de preferencia a la cartesiana . Su influencia fue importante, puesto que la ejerci en una poca en que la opinin continental an dudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuis impresion mucho a Euler con su principio favorito del mnimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultados en sus problemas mecnicos.Durante los 25 aos en Berln, Euler escribi alrededor de 380 artculos. Escribi libros sobre clculo de variaciones, rbitas planetarias, artillera y balstica, sobre anlisis, construccin de barcos y navegacin, sobre el movimiento de la luna, lecciones de clculo diferencial. Adems de las cartas didcticas a la princesa de Alemania (3 vols., 1768-72).En 1766 Euler volvi a San Petersburgo, para pasar all el resto de sus das, pero poco despus de su llegada perdi la vista del otro ojo. Durante algn tiempo, se vio obligado a utilizar una pizarra, sobre la cual realizaba sus clculos, en grandes caracteres. No obstante, sus discpulos e hijos siguieron copiando su obra, escribiendo exactamente lo que le dictaba Euler. Una obra magnfica, que era en extremo sorprendente, tanto por su esfuerzo como por su originalidad. Euler posey una asombrosa facilidad para los nmeros y el raro don de realizar mentalmente clculos con grandes nmeros.En 1771, cuando estall un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, lo salv de las llamas. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continu su profuso trabajo durante doce aos, hasta el da de su muerte, a los setenta y seis aos de edad. Despus de su muerte en 1783, la Academia de San Petersburgo continu publicando trabajos inditos de Euler durante casi 50 aos mas.Euler era como Newton y muchos otros, un hombre capacitado, que haba estudiado anatoma, qumica y botnica. La apacibilidad de nimo, la moderacin y la sencillez de las costumbres fueron sus caractersticas. Su hogar era su alegra, y le gustaban los nios. Pese a su desgracia, fue animoso y alegre, posey abundante energa; como ha atestiguado su discpulo M. Fuss, "su piedad era racional y sincera; su devocin, ferviente".El trabajo de Euler en matemticas fue amplsimo. Ha sido el ms prolfico escritor de matemticas de todos los tiempos. Ha hecho importantes contribuciones en geometra analtica y trigonometra, donde fue el primero en considerar al seno, coseno etc. como funciones en vez de como cuerdas siguiendo a Ptolomeo.Hizo decisivas contribuciones a la geometra, clculo y teora de nmeros. Di una visin conjunta del clculo diferencial de Leibniz y del mtodo de fluxiones de Newton. Introdujo las funciones beta y gamma, y estudi algunas ecuaciones diferenciales. Tambin mecnica continua, el movimiento de la luna, el problema de los tres cuerpos, elasticidad, acstica, teora de ondas de luz, hidrulica y msica. Estableci los fundamentos de la mecnica analtica, especialmente en su Teora de los movimientos de cuerpos rgidos (1765).Debemos a Euler muchas de las notaciones hoy da populares en matemticas: f(x) para una funcin (1734), e para la base de los logaritmos naturales (1727), i para la raiz cuadrada de -1 (1777), para pi, la notacin abreviada de sumatorios (1755), para diferencias finitas y muchas otras hoy da comunes.Euler ech abajo la conjetura de Fermat de que los nmeros de la forma 2^2^n eran primos, verificando que si lo eran para n = 0,1,2,3 y 4 pero que el siguiente n = 5, 2^32 + 1 = 4294967297 es divisible por 641 y por tanto no es primo. Euler tambin estudi otras conjeturas de Fermat e introdujo la funcin phi, , que cuenta el nmero de nmeros menores que uno dado que son primos con el.En 1735, con 28 aos, hall la suma de la serie convergente 1/n^2=^2/6 en la que haban trabajado sin conseguirlo matemticos de la talla de Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli, Leibniz, Stirling, de Moivre y muchos otros.Euler tambin demostr que 1/n^4=^4/90, 1/n^6=^6/945, 1/n^8=^8/9450, 1/n^{10}=^{10}/93555 y 1/n^{12}=691^{12}/638512875. En 1737, prob la conexin entre la funcin zeta con la serie de nmeros primos obteniendo la famosa igualdad (s) = (1/n^s) = (1 - p^{-s})^{-1} donde la suma es en todos los nmeros naturales n mientras que el producto es en todos los nmeros primos.Tambin en 1735, hall el valor hasta 16 lugares decimales de la constante gasmma , hoy conocida con su nombre. Euler estudi las series de Fourier y en 1744 fue el primero en expresar una funcin algebraica por medio de una serie de este tipo.Encontr la frmula de sumacin hoy conocida como de Euler-McLaurin. Demostr el ltimo teorema de Fermat para n = 3, donde introdujo clculo con nmeros algebraicos. Se puede afirmar que el anlisis matemtico comienza con Euler. En 1748, publica Introductio in analysin infinitorum haciendo precisas ideas de Johann Bernoulli more precise para definir una funcin. Este trabajo se fundamenta en las funciones elementales en vez de curvas geomtricas, como era comn antes. Tambin aparece por primera vez la famosa frmula e^ix = cos x + i sin x.En 1751, public su teora de logaritmos de nmeros complejos. Tambin investig funciones analticas de una variable compleja. En 1777, descubri las ecuaciones hoy conocidas como de Cauchy-Riemann, que tambin fueron descubiertas por d'Alembert en 1752.Euler hizo contribuciones fundamentales en diferencias finitas, clculo de variaciones, estudi las funciones y . Tambin en geometra diferential, investigando la teora de superficies y su curvatura. Muchos de sus resultados fueron redescubiertos por Gauss. Introdujo en topologa la caracterstica de Euler de un poliedro. Public sobre mecnica donde introdujo los mtodos analticos.Dio una versin definitiva sobre hidrosttica que haba sido estudiada desde Archimedes. Euler contribuy al conocimiento de muchas reas y en todas ellas emple su conocimiento y habilidad matemtica. En astronomia su teora lunar fue usada por Tobias Mayer para determinar sus tablas del movimiento de la luna. De hecho Euler recibi una recompensa econmica del gobierno ingls en 1765 por su contribucin terica al clculo de longitudes. Tambin escribi sobre msica y sobre cartografa donde ayud a Delisle en su mapa del imperio ruso. El18 de septiembrede1783, Euler falleci en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir unaccidente cerebrovasculary fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en laisla de Vasilievsky. Sus restos fueron trasladados por lossoviticosalMonasterio de Alejandro Nevski(tambin conocido como Leningradsky Nikropol)