biseccion

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICAACADEMIA DE COMPUTACION DE IE/ICA/ISISA

APUNTES DEMÉTODOS NUMÉRICOS

ING. ARMANDO FLORES JAIME

OCTUBRE 2009

Métodos Numéricos

Academia de Computación de IE/ICA/ISISA

Clasificacion

Runge Kutta

ESQUEMA GENERAL PARA ANALISIS NUMERICO

ECUACIONES NOLINEALES

* ALGEBRA LINEAL* CALCULO

* ECUACIONES DIF.

TEORIA DEERRORES

INTERPOLACION

ANALISIS NUMERICO

INTEGRACION

ECUACIONESDIFERENCIALES

SISTEMA DEECUACIONES

LINEALES

Ea,ErSerie deTaylor GENERALIDADES

Definiciones

BiseccionNewton

Raphson Secante

Lagrange

DiferenciasDivididas

Minimos Cuadrados

Simpson

Trapecio

Euler

GaussGauss - Jordan

Gauss - SeidelPunto fijo

Métodos Numéricos


PROGRAMA SINTETICO DE ANALISIS NUMERICO

I.- INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMERICOS (ANÁLISIS NUMERICO) • Introducción • Teoría de Errores

II.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES (RAICES)

• Introducción • Método de Bisección • Método de Newton Raphson • Método de la Secante • Método de Punto Fijo

III.- ANALISIS DE UN CONJUNTO DE PUNTOS

• Introducción • Método de Diferencias divididas • Método de Lagrange • Método de Mínimos Cuadrados

IV.- INTEGRACIÓN NUMÉRICA

• Introducción • Método del Trapecio • Método de Simpson

V.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

• Introducción • Método de Gauss (Determinante, Sistemas de Ecuaciones Reales y Complejos) • Método de Gauss Jordan (Inversa de una matriz) • Método de Gauss Seidel

VI.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

• Introducción • Método de Euler • Método de Runge Kutta • Solución de los Sistemas Diferenciales Ordinarios

Introducción al los Métodos Numéricos

Introducción

I.- INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMERICOS (ANÁLISIS NUMÉRICO) ¿QUE ES ANÁLISIS NUMÉRICO?

Es la rama de las matemáticas que intenta obtener soluciones aproximadas por medio de operaciones elementales.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. ¿CUAL ES SU OBJETIVO?

El objetivo principal es el de encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos, utilizando solo operaciones simples de la aritmética, es decir se trata de resolver problemas difíciles mediante muchos pasos fáciles.

Los procedimientos matemáticos deben simplificarse a tal grado que sean accesibles para procesarse en un ordenador. Estos métodos de cálculo se denominan algoritmos. ¿QUE ES LGORITMO?

Es un procedimiento que describe de manera inequívoca una serie finita de pasos a seguirse en un orden determinado. Su finalidad es implantar un procedimiento para resolver un problema o aproximar una posible solución. PAQUETES COMPUTACIÓNALES Un algoritmo puede programarse en diferentes tipos de lenguaje:

• Pascal, Turbo C, Borlan C, ...(Lenguajes de propósito general) • FORTRAN, ...(Lenguajes enfocado al calculo científico) • Paquetes de calculo simbólico y numérico:

Matlab : www.mathworks.comMathemática : www.wolfram.com Derive : www.derive.com Existen bibliotecas de rutinas y plantillas numéricas que solucionan, de manera eficaz, cualquier

problema numérico (www.netlib.org): IMSL (International Mathematical Software Library): www.vni.comNAG (Numerical Algorithms Group): www.nag.co.uk (uk = united kingdom) Numerical Recipes: www.cup.cam.ac.ukTemplates : www.netlib.org/templates

http://www.derive.com/

http://www.netlib.org/

http://www.nag.co.uk/


Teoría de Errores

TEORIA DE ERRORES

Al aplicar algún método numérico se realizan muchas operaciones aritméticas elementales lo cual al hacerlas se producen errores, errores que pueden influir en la solución de algún problema, podemos clasificar a los errores en tres tipos:

• Errores inherentes • Errores de método • Errores computacionales

Errores inherentes

El error inherente se produce por criterio de incertidumbre, esto es intrínseco a cualquier sistema (natural o artificial) dado que es imposible considerar todas las variables que definen un sistema. Sea la solución exacta Se de algún método numérico la cual

Se Sh Eh= + Donde:

Sh es la solución inherente que tiene un (Eh) error inherente

EhSe Sh

Ejemplo: Sea un circuito RLC Error de método

Si un sistema esta representado por un modelo matemático, el método que se utilice para encontrar la solución nos dará como resultado una solución sin error o con error.

• Si la solución es analítica se podrá llegar a una solución sin error de método. • Si la solución es numérica su puede tener errores de truncamiento.

Se recurre a la solución numérica cuando: • El método analítico es muy difícil. • No hay solución analítica.

En ingeniería se da la situación de trabajar funciones no elementales, por lo que casi siempre se recurre a los métodos numéricos.

Sea Sm la solución de método y sea Em el error de método, Donde:

h mS S Em= +

EmSh Sm

Si el método es numérico:

m 1 2 3 4 n n-1 n-2Truncamiento

S =S +S +S +S + S | +S +S +

donde numéricamente debemos limitar la serie infinita truncando los términos y 1

n

m ii

S S=

= ∑


Teoría de Errores

1n

i n

S∞

= +

= ∑ kS , a dicho truncamiento se le conoce como Error de Método (Em).

Podemos conocer la forma de la solución Sh, si proponemos una función f(x) como solución del método matemático, si además proponemos a f(x) como una función elemental (polinomio).

0( ) i

ii

f x a∞

=

= x∑

donde decimos que la solución es valida para un valor cercano alrededor de una constante c.

ch

xx

por lo tanto la función toma la forma

( )0

( ) ii

i

f x a x c∞

=

= −∑

esto es: ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 2 3( ) no nf x a a x c a x c a x c a x c= + − + − + − + + − +

• Si la solución es valida en un intervalo alrededor de c, la función es derivable. • Para conocer completamente la solución debemos conocer la sucesión: { }

0i ia ∞

=

Por lo tanto sea: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

2 31 2 3

2 11 2 3

2 22 3 4

33 4

( ):

( ) 2 3

( ) 2 2 3 3 4 1

( ) 2 3 2 3 4 1 2

( ) !

no n

nn

nn

nn

nn

f x a a x c a x c a x c a x cDerivando

f x a a x c a x c na x c

f x a a x c a x c n n a x c

f x a a x c n n n a x c

f x n a

−

−

−

= + − + − + − + + − +

′ = + − + − + + − +

′′ = + − + − + + − − +

′′′ = + − + + − − − +

=

Para x = c

( )( )

1 1

2 2

3 3

4 4

( ) ( )( ) ( )

( )( ) 2! 2!

( )( ) 3! 3!

( )( ) 4! 4!

( ) ( ) ! !

o o

nn

n n

f c a a f cf c a a f c

f cf c a a

f cf c a a

f cf c a a

f cf c n a an

= =′ ′= =

′′′′ = =

′′′′′′ = =

′′′′′′′′ = =

= =


Teoría de Errores

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

2 3( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) +1! 2! 3! 4!

( ) !

nn

f c f c f c f cf x f c x c x c x c x c

f c x cn

′ ′′ ′′′ ′′′′= + − + − − + − +

+ − +

4

si hacemos h = x - c tenemos:

( )2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

1! 2! 3! 4! !

nn

nf c f c f c f c f cf x f c h h h h h R

n′ ′′ ′′′ ′′′′

= + + + + + + +

1

:,i i

Ahora six x c+= = x

( )

2 3 41

( )

Error residualSerie de Taylor Error de Metodo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +1! 2! 3! 4! !

nni i i i i

i i nf x f x f x f x f xf x f x h h h h h R

n+ +′ ′′ ′′′ ′′′′

= + + + + ++

lim ( ) 0 .

lim ( ) 0 nn

n mn

Si R x La solucion es convergente a un valor exacto

Si R x La solucion diverge y hay truncamiento hay error de metodo E→∞

→∞

=

≠ ∴

Para un error residual ( )1

1( ) ( 1)!

nni

nf xR h

n

++=

+

Error Absoluto (Ea) y Relativo (Er) Podemos determinar sin utilizar Taylor el error absoluto y relativo de una solución, sea gráficamente.

Solucionexacta

Solucioninicial

aproximada

f(x)

xe xi

xi+1 {

Ea=|xi - xe|

f(x)

xi xe{Ea=|xe - xi|

El error absoluto Ea es:

a e i

a e i

E x x

E S S

= −

= −

: :

Se Solución ExactaSi Solución Aproximada


Teoría de Errores

Se llama error relativo ala relación:

e S 0e ir

e

S SE

S−

= ≠

Error Absoluto y Relativo iterativo.

Solucionexacta

f(x)

xi

xi+1 {Ea

1

1i+1

1

S 0

ai i i

i ir

i

E S S

S SE

S

+

+

+

= −

−= ≠

Errores computacionales

Eh

Se ShEm

SmEc

Sc

Modelo Matemático

Método de Solución

Característicasde máquina

Si se implementa el método de solución en computadora, se sujetara a las características físicas de

ella, por lo cual podemos tener:

• Errores de desborde • Errores de redondeo • Errores acumulables

Errores de desborde

Estos errores se dan si cualquier número manejado teóricamente cae fuera de los rangos definidos en la computadora.

Enteros Reales

c

c

ER∉∉

• Se dan criterios de sobreflujo, si el numero x teórico a manejar x > máximo Rc. • Se dan criterios de bajoflujo si el numero x teórico a manejar x < mínimo Rc.

Enteros signados = [ -231 , 231-1 ] Palabras de 32 bits Enteros sin signo = [ 0 , 232-1 ] Reales simples [ -10≅ 308 , 10308 ] Reales dobles [ -10≅ 4972 , 104972 ]


Teoría de Errores

Errores de redondeo

Sea el criterio que en los reales matemáticos existe un numero infinito de intervalos entre un intervalo definido.

∞ En computación siempre va a haber un intervalo finito posible por las características físicas de

la computadora.

c

mξ Al intervalo más pequeño mξ manejado por la computadora se le llama épsilon de la maquina,

esto es el número mínimo distinguible. Todo numero que este en el intervalo ( 0 , mξ ) no se puede manejar en la computadora.

Sea ϕ es un numero en este intervalo ϕ ∈( 0 , mξ ) ~ 0 < ϕ < mξ

Cuando la computadora tiene que manejar a ϕ, realiza un criterio de redondeo hacia abajo o hacia arriba del número mas distinguible cercano.

Si 1+ mξ nos da el siguiente numero distinguible después de 1, para el caso 1+ ϕ se tiene el siguiente criterio de redondeo:

Si 0 < < 2mξϕ ⇒Redondeo hacia abajo: 1 1ϕ+ =

Si 2m

mξ ϕ ξ≤ < ⇒Redondeo hacia arriba: 1 1 mϕ ξ+ = +

Podemos determinar el valor de la epsilon de la maquina, utilizando el criterio de redondeo.

1, N = 0,Mientras Uno 1

= 2

Uno = 1 + N = N + 1

m

mm

m

ξ

ξξ

ξ

=≠

⇒ 1-N

-N

2 Redondeo hacia abajo2 Redondeo hacia arribamξ⎧⎪= ⎨⎪⎩


Teoría de Errores

La codificación es la siguiente

#include<stdio.h> #include<iostream.h> #include<conio.h> void main(void) { clrscr(); float Eps=1.0, Uno; int N=0; do { Eps=Eps/2; N++; Uno=1+Eps; } while(Uno!=1.0); cout<<"El épsilon de la maquina es eps ="<< Eps <<" en "<< N <<" iterac."; getch(); }

Errores acumulables

En las operaciones básicas se tiene un error de redondeo, en operaciones iterativas el error de redondeo se acumula en la proporción de la operación.

1

2

3

1 2 3

1 1

2 2

3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 1

n

n

i

c

c

c

c n n

c c c c n

n n n

c i ii i i

S S E

S S E

S S E

S S E

S S S S S S S S E E E E

para S S E= = =

= +

= +

= +

= +

⇒ + + + + = + + + + + + + + +

= +∑ ∑ ∑

n

Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales

Raíces de Ecuaciones

II.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES

Sea ( ) f x una función no lineal (trascendental o polinomial) decimos que la función tiene una solución, si:

( ) 0rf x ≅ Donde:

rx : es la solución de la ecuación.

La función ( )f x puede tener soluciones reales o complejas.

Si la función ( )f x tiene soluciones reales, al graficarla debe cortar el eje x, como se muestra en a), y si la función ( )f x tiene soluciones complejas, al graficarla no debe cortar el eje x, como se muestra en b).

( )f x

xxr

( )f x

x

y y

a ) b )

( ),x y a bi= +

Solución real Solución Compleja

Podemos recurrir a varios métodos numéricos para encontrar una solución de la función ( )f x , como son:

Métodos Soluciones Reales Soluciones Complejas

Método de la Bisección OK -

Método de Newton Raphson OK OK

Método de la Secante OK -

Método de Punto Fijo OK -


Método de la Bisección

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

Este método parte de dada una función ( )f x a la que se quiere encontrar la solución, y dado un intervalo de la propia función[ , ]i fx x , localizar una de las raíces en el intervalo dado, reduciendo el intervalo, atrapando la raíz o hasta estar lo más cercana a ella.

xi

xfxa

L1

xb xc

Soluciónreal exacta

x

y

Er

f(x)

L2

1

12

13 2

1 1 1

2

21 : 2

f i

n

n n

L x x

LL

LL

L L hasta que L E+ + r

= −

=

=

⎛ ⎞= <⎜ ⎟⎝ ⎠

Procedimiento: La función tiene al menos una raíz en el intervalo propuesto si: ( ) ( ) 0i ff x f x <

Si esto sucede, procedemos a encontrar la raíz obteniendo la mitad del intervalo: 2

i fm

x xx

+=

Para saber en que mitad quedo la raíz, tenemos el siguiente criterio, si:

la raiz esta por la izquierda

la raiz esta por la derecha

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0

i m

m f

f x f xf x f x

<<

xi

xfxa

x

y

xi = xm xf = xm

1, ( ) ( ) 0 [ , ] ,

0 [ , ] ,

0 o

-

i m i m f m

m f i m

i m

m ir

m

Para k nSi f x f x en x x esta x x

en x x esta x x

x x es la raiz

x xSi Ex

= ⇒< ⇒ ∴

> ⇒ ∴ =

= ⇒

<

f(x) =


Método de la Bisección

Algoritmo 1 .- Datos:

• Función f(x) • Intervalo [ xi , xf ] • Iteraciones n • Margen de error Er

2 .- ( ) ( ) 0

[ , ] " " int

i f

i f

Si f x f x

en x x si esta la raizSi no proponer otro ervalo

<

⇒

3 . -

2i f

m

Calularx x

x+

=

4 . - ( ) ( ) 0 o 0 [ , ]

i m

i m

i m f m

Si f x f xx x es la raiz

Sila raiz esta en x x x x

Si no

=⇒

<⇒ ∴

i mx x=

=

5 . -

-

3.

m ir m

m

Evaluar

x xSi E x es raizx

Si no repetir desde

< ⇒

6.- Iterar n veces de 3 a 5.


Método de Newton para raíces Reales

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Este método no trabaja sobre un intervalo si no que basa su procedimiento en un proceso iterativo. Sea la función ( ) f x cuya solución podemos conocer iterativamente para un valor inicial ix y llegar a rx tal que:

( ) 0 rf x ≅

Para ello podemos trazar una tangente de ( ) f x en ix de modo que la tangente corte al eje x donde en tal intersección se obtiene la tangente 1 ix + aproximada a rx , como se muestra en la grafica

f(x)

xrxixi+1

x

yf(x)

xr

x0

x

y

x1x2x3

L1

L2

L3

f(x1)

f(x0)

0α1α

0 10 1

0 1 1 2

( ) ( )( )( ) , ( ) , , ( ) ii

i i 1

Iterativamentef x ff xtg tg tg x

x x x x xα α α

x +

= = =− − −

11

(́ ) ( )

( ) ´( ) , ( )(́

)

i

i i

ii

i ii i

i

Si f x tg

f xf x despeja f xn x xf x

dox x

α

++

=

−= −=

Para 1

1

i ir

i

x x Ex+

+

−<


Método de Newton para raíces Reales

Algoritmo 1.- Datos

• Función ( )f x • La derivada de la función ( )f x′ • Condición inicial ix • Iteraciones n • Margen de error Er

2.- Calcular

1( )'( )

ii i

i

f xx xf x+ = −

3.- Evaluar

Si 1

1

i ir

i

x x Ex+

+

−< 1 ix +⇒ es la raíz

Si “no” 1 i ix x += 4.- Repetir n iteraciones de 2 y 3.


Método de Newton para raíces Complejas

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON PARA FUNCIONES CON SOLUCIONES COMPLEJAS

Sea la función ( ) f z la cual tiene como solución rZ si ( ) 0 rf z = donde rZ es de la forma ( ) ( , )x yi x y+ = proponiendo una condición inicial ; Podemos encontrar las aproximaciones mediante la ecuación siguiente:

iz

1( ) - '( )

ii i

i

f zz zf z+ =

y evaluando el error de la forma:

1

11

1

" "

i ir i

i i

i

z zSi E es la solucionz

Si no

z

z z

++

+

+=

−< ⇒

Algoritmo 1.- Datos

• Función ( )f z • La derivada de la función ( )f z′ • Condición inicial iz• Iteraciones n • Margen de error Er

2.- Calcular

1( )'( )

ii i

i

f zz zf z+ = −

3.- Evaluar

Si 1

1

i ir

i

z z Ez+

+

−< es la raíz 1 iz +⇒

Si “no” 1 i iz z += 4.- Repetir n iteraciones de 2 y 3.



NUMEROS COMPLEJOS CONJUNTO DE NUMEROS Veamos en primer lugar todos los tipos de números que conocemos y por qué se han ido ampliando.

N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}

Z: Números Enteros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}= N + negativos

Q: Números Racionales: { }23 7 2 7 1 5..., , 3, , 2, 1, , , 0, ,1, 2, , ...

2 3 5 9 3 2− − − − − − − =Z + fraccionarios

R: Números Reales: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−Φ−−−−−−− ,...

25,,2,2,1,

31,0,

97,

52,1,,2,

37,10,3,2,

223..., eπ = Q + irracionales

C: Números Complejos: { }23 7 7 1 5 1..., , 2 , 10 , , 2, , 1, , 0, ,1, 2 , 2, , , ..., 2 3 , , ...

2 3 9 3 2 2e i iπ− − − − − −Φ − − + − =R + imaginarios

UNIDAD IMAGINARIA

La unidad imaginaria se obtiene al resolver la ecuación 2 11 0 xx = ± −+ = ⇒ de aquí que 1i = −

POTENCIAS DE i ii =−= 11 iiiii === .1.45

( ) 1122 −=−=i 1.1. 22246 −==== iiiii

iiiii −=−== .1.23 iiiiii −==== 33347 .1.

( ) 11.1. 224 =−−== iii 1.1. 44448 ==== iiiii

Se repiten cada 4.

Si queremos saber una potencia cualquiera de i, se divide el exponente entre 4, quedando el resto de la

división como nuevo exponente, o sea

4nresiduo deni i

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦



Ejemplo: Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto. ( ) iiiiii −==== + 33104310.443 ..

NÚMEROS COMPLEJOS Son los que tienen la forma , siendo a y b números reales.

Forma Binómica

z a bi= +

Im

Re

Parte aginaria

Parte al

z a bi+⎫⎬⎪⎭

= ⎪ , ,0

0

si el número se llama imaginario purosi el númer

a bio es realb a puro

==

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Se representan en el plano complejo, el eje horizontal es el EJE REAL y el vertical el EJE IMAGINARIO.

0º+ℜ ∠

90º+Ι ∠

-90º−Ι ∠

180º−ℜ ∠90º-

90º180º

ℜ

Ι

a

b z=a+bi

Punto afijo delNumero Complejo

Dado el complejo - -

- -* -

z z a bEl opuesto de esEl conju

iz a b

gai

z zd s a be io=

= +=

⎧⎨⎩

Ejemplo:

Sea el numero complejo representarlo como 5 4 z = + i , , *, z z z en el plano complejo.

+ℜ

+Ι

−ℜ

−Ι

5 4z i= +

* 5 4z i= −5 4z i= − −



TRANSFORMACIONES

DE RECTANGULAR [ ]z a bi= + A POLAR [ ]z r θ∠ = Representándolo en el plano complejo tenemos:

ℜ

Ι

a

b z=a+bi

r

θ

2 2

-1

& tan

tan

:De acuerdo a la representacion y aplicando trigonometria tene

r z a b

mos

ba

a

bθ

θ

⎛ ⎞== = +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠∴

2 2 -1a +b t z n= ar b

aθ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∠ = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦∴

⎠⎣∠

⎝ ⎦

FORMA POLAR [ ]z r θ= ∠ A RECTANGULAR [ ]z a bi= + Representándolo en el plano complejo tenemos:

ℜ

Ι

a

b

r

θ

cos

:

cos

sin

sin

De acuerdo a la representacion y aplicando trigonometria tene

a r

b r

mosarbr

θ

θ

θ

θ∴ =

= ∴ =

=

z r θ= ∠

:Es el moduloEs el argumento

Donderθ

=

=

cos sin

(cos sin )

z a bir

ra

r iz a i

θ θ∴+

= + ==

+



OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA RECTANGULAR La suma, resta y multiplicación de números complejos, se realizan siguiendo las reglas de las operaciones con números reales y teniendo en cuenta que 2 -1i = .

Para dividir, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

OPERACIONES

Sea 1 2 y z a bi z c di= + = +

RESULTADOS

SUMA 1 2z + z( ) (a c b d i)+ + +

RESTA 1 2z - z ( - ) ( - )a c b d i+

MULTIPLICACIÓN 1 2z z× ( - ) ( )ac bd ad bc i+ +

DIVISIÓN 1

2

z

z

a bi

c di

+=

+

( )( )( )( ) 2 2 2 2

a bi c di ac bd bc adi

c di c di c d c d

+ − + −= +

+ − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

EN FORMA POLAR

No se usa esta forma para sumar ni para restar.

OPERACIONES

Sea 1 1 2 2 y z r z rα β= ∠ = ∠

RESULTADO

MULTIPLICACIÓN

= (1 2z z× ) ( )1 2r rα β∠ × ∠ ( )1 2r r α β× ∠ +

DIVISIÓN ( )( )

1

2

1

2

z =

z

rr

αβ

∠∠

1

2

rr

α β⎛ ⎞

∠ −⎜ ⎟⎝ ⎠

POTENCIA ( )1 1nnz r α= ∠

1

nr n α∠ ×


Método de la Secante

MÉTODO DE LA SECANTE Este método surge de las desventajas del Método de Newton Raphson, las cuales son.

La derivada de la función Si se tienen funciones con tramos de pendientes como se muestra en la figura.

xi

y

x

f(x)

x0

y

x

f(x)

xixi+1

0m =

xrxr

xi+1

f(xi)f(xi+1)

Solución:

1

( ) donde es el valor inicial.(́ )( )0

ii i i

i

ii

f xx x xf xf xx

+ = −

= − = ∞

Por lo tanto para resolver este problema se requieren de mínimo 2 puntos iniciales como se muestra en la figura:

1ix − ix

( )1if x −

( )if x

α

α

1ix +rx

( )f x

Sol. exacta

Por lo tanto tenemos

1

1

( ) ( )i i

i i

f x f xtgx x

α −

−

−=

− y como (́ )itg f xα = , por lo tanto 1

1

( ) ( )(́ ) i ii

i i

f x f xf xx x

−

−

−=

−

Sustituyendo en la ecuación de Newton Raphson tenemos:

1-1

-1

( ) ( )( ) - ( )(́ )

i ii i i

i ii

i i

f x f xx x x f x f xf xx x

+ = − = −

−

⇒ ( )-11

-1

( )( ) - ( )

i i ii i

i i

f x x xx x

f x f x+

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦ , para 1

1

i ir

i

x x Ex+

+

−<


Método de la Secante

Algoritmo 1.- Datos Función ( )f x Condiciones iniciales [ ]1 i ix x− n iteraciones Margen de error rE 2.- Calcular

( )-11

-1

( )( ) - ( )

i i ii i

i i

f x x xx x

f x f x+

−= −

3.- Evaluar

Si 1

1

i ir

i

x x Ex+

+

−< 1 ix +⇒ es la raíz

Si no 1

1 1

i i

i i

x xx x

−

− +

=⎧⎨ =⎩

4.- Repetir n iteraciones 2 y 3.


Método Punto Fijo

METODO DE PUNTO FIJO

Un punto fijo de una función es un número real tal que: ( )g x ( )x g x= Este método sirve para resolver funciones no lineales de tal forma que ( ) 0rf x ≅

x

y

( ) 0rf x =

( )f x

rx

Para tal objetivo la ecuación se transformara de alguna manera a la forma ( )x g x= ; esto se logra despejando x de alguno de los miembros de la ecuación. Se requiere de un solo valor inicial 0x , y el método iterativo surge de aplicar la regla:

1 0

2 1

3 2

1 2

1

( )( )( )

( )( )

n n

n n

x g xx g xx g x

x g xx g x

− −

−

===

==

Hasta satisfacer la tolerancia del error o bien hasta encontrar el punto fijo. Gráficamente este es un método de dos curvas: una formada con y x= y la otra con ; la raíz es la abscisa del punto de intersección de ambas funciones.

( )y g x=

x

y

( )y g x=

0x1x2x

0( )g x

1( )g x

2( )g xPunto fijo

y x=


Método Punto Fijo

Algoritmo 1.- Datos

• Función ( )f x • Obtener ( )g x• Condición inicial ix • n Iteraciones • Margen de error Er

2.- Calcular 1ix + = ( )ig x 3.- Determinar

Si 1

1

i ir

i

x x Ex+

+

−< 1 ix +⇒ es la raíz,

Si “no” 1 i ix x += 4.- Iterar n veces de 2 y 3.

Análisis de un Conjunto de Puntos

Interpolación y Extrapolación

III.- ANÁLISIS DE UN CONJUNTO DE PUNTOS

Sea el conjunto puntos 1n + ( )( ){ }

0,

n

i i ix f x

=donde gráficamente se observa:

y

x0 x1 x2 x3 xn-1 xn

(x0,f(x0))

(x1,f(x1)) (x2,f(x2))

(x3,f(x3))

(xn-1,f(xn-1))

Colocación

Ajuste

(xn,f(xn))

Se requiere analizar el comportamiento de los puntos para ello se trata de buscar una función analítica que se coloque o ajuste a los puntos, para esto utilizaremos los siguientes métodos numéricos

Método

Colocación Ajuste

Método de las Diferencias divididas de Newton

OK -

Método de Lagrange OK -

Método de Mínimos cuadrados. OK OK


Método de Diferencias Divididas de Newton

MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDAS DE NEWTON Para el conjunto de puntos{1 n+ } 0

( , ( )) ni i i

x f x=

se requiere encontrar una función que se coloque en tales puntos, para ello la función ( )f x debe cumplir las condiciones siguientes.

• Que sea definida (continua) en el intervalo de los puntos. • Que sea elemental, esto es fácilmente derivable e integrable. • Que solo exista una función que se coloque en los puntos.

La función que puede cumplir esto es un polinomio de la forma

20 1 2

0

0 1 0 2 -1

2 0 1 -1

0 1 -2

( )

( ) ( - )( - ).......( - )( - ) ( - )( - ).......( - )( - ) ( - )( - ).......( - )(

ni n

i ni

n n

n n

n n

f x a x a a x a x a x

of x b b x x x x x x x x

b x x x x x x x x

b x x x x x x x

=

= = + + + +

= + ++ +

+

∑

-1- )nx

INTERPOLACIÓN LINEAL

Sea el conjunto de dos puntos { }0 0 1 1( , ( )), ( , ( ))f x f x x f x se requiere colocar un polinomio de grado uno en los puntos por lo tanto 0 1 0( ) ( )f x b b x x= + − , entonces debemos encontrar los coeficientes

{ }0 1,b b que colocan el polinomio en dicho conjunto, como se observa en la figura.

x0 x x1

f( x0 )

f( x )

f( x1 )

x

y

A

Bα

αO

Si tomamos una x para interpolar con el polinomio, por triángulos semejantes tenemos

0 1

0 1 0

1 00 0

1 0

( ) ( ) ( ) ( )tan

( ) ( )Por lo tanto ( ) ( ) ( )( )

0f x f x f x f xx x x x

f x f xf x f x x xx x

α − −= =

− −−

= + −−

0 0

1 01

1 0

se observa que ( )

( ) ( ) 1 Diferencia Div( )

ididaer

b f x

f x f xbx x

∴ =

⎫−= ⎬

− ⎭



INTERPOLACIÓN CUADRATICA Sean los tres puntos { }0 0 1 1 2 2( , ( )), ( , ( )), ( , ( ))f x f x x f x x f x

)

el polinomio de colocación es

0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )(f x b b x x b x x x x= + − + − − por lo tanto hay que conocer { }0 1 2, , ,b b b entonces :

0 0 ( )Si x x f x b= ⇒ = 0

1 01 1 0 1 1 0 1

1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f xSi x x f x f x b x x bx x−

= ⇒ = + − ∴ =−

1 02 2 0 2 0 2 2 0 2 1

1 0

1 02 1

2 1 1 02

2 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2ª Diferenc( )

ia Dividida

f x f xSi x x f x f x x x b x x x xx x

f x f xf x f xx x x x

bx x

⎡ ⎤−= ⇒ = + − + − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎫⎡ ⎤⎡ ⎤ −−− ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦∴ = ⎬− ⎪

⎪⎭

Sea [ ]

[ ]

2 12 1

2 1

1 01 0

1 0

( ) ( ),

( ) ( ),

f x f xf x xx x

f x f xf x xx x

−⎧ =⎪ −⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎩

Por lo que [ ] [ ] [ ]2 1 1 02 2

2 0

, ,, ,

( )f x x f x x

b fx x−

= =− 1 0x x x

1

,

Sustituyendo tenemos:

0 0 0 2 1 0 0( ) ( ) [ , ]( - ) [ , , ]( - )( - )f x f x f x x x x f x x x x x x x= + + CASO GENERAL Sea el caso general en que se tiene puntos {1 n+ } 0

( , ( )) ni i i

x f x=

se tiene el polinomio de colocación

0 1 0 2 0 1 0 1 -( ) ( - ) ( - )( - ) .......+ ( - )( - )......( - )n n 1f x b b x x b x x x x b x x x x x x= + + +

Haciendo una recurrencia de diferencias dividas tenemos que:

[ ]

[ ]

0

1 01 1 0

1 0

2 1 1 02 2 1 0

2 0

1ª

; ( )

( ) ( ); ,-

( , 2) ( , ); , ª,-

bo f x

f x f xb f x xx x

f x x f x xb f x x xx x

⇒

⎫−⇒ = ⎬

⎭⎫−

⇒ = ⎬⎭



[ ]

[ ]

[ ]

3 2 1 2 1 03 3 2 1 0

3 0

4 3 2 1 3 2 1 04 4 3 2 1 0

4 0

-1 1 -1 -2 0-1 0

0

( , , ) ( , , ); , , ,-

( , , , ) ( , , , ); , , , ,-

( , , , ) ( , , , );

3ª

4ª

, ª, ,-

n n n nn n n

n

f x x x f x x xb f x x x xx x

f x x x x f x x x xb f x x x x xx x

f x x x f x x xb f x x x nx x

⎫−⇒ = ⎬

⎭⎫−

⇒ = ⎬⎭

⎫… − …⇒ … = ⎬

⎭

Sustituyendo en el polinomio general tenemos:

0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2

1 0 0 1 1

( ) ( ) [ , ]( - ) [ , , ]( - )( - ) [ , , , ]( - )( - )( - ) [ , , , ]( - )( - ) ( - )n n n

f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x xf x x x x x x x x x− −

= + + + ++ … …

Con esta generamos la tabla de diferencias dividas de Newton de la forma

ix ( )if x 1ª 2ª 3ª .... .... nª

0x 0( )f x 1[ , ]of x x 2 1 0[ , , ]f x x x 3 2 1 0[ , , , ]f x x x x .... .... 1 0[ , , , ]n nf x x x− …

1x 1( )f x 2 1[ , ]f x x 3 2 1[ , , ]f x x x

2x 2( )f x 3 2[ , ]f x x

3x 3( )f x

nx ( )nf x

Donde se observa que toma una forma escalonada, según sea el número de diferencias



Algoritmo 1.- Datos

• { } 0( , ( )) n

i i ix f x

=

• Puntos a evaluar 2.-Generar la tabla de diferencia dividida por recurrencias

ix ( )if x 1ª 2ª 3ª .... .... nª

0x 00F ijF ijF ijF .... .... ijF

1x 10F ijF ijF

2x 20F ijF

3x 30F

nx 0nF

j++

i++

0 00

1 1

0

0

2 20

0

:( ) o bien ( ) 0,...,( )

)

)

(

(

n n

i i

Dondef x Ff x F Para i nf

x

F

x F

F

x

f

f

==

==

=

=

( 1)( 1) ( )( 1)

( )

:

: 1,.....,

0,....., -

i j i jij

i j i

Ademas

Para j n

i n

F FF

x x+ − −

+

−=

−=

= j

i

3.- Encontrar el polinomio al desarrollar

00 0 11 1

( ) ( )jn

jJ i

f x F F x x −= =

= + −∑ ∏

4.-Evaluar los puntos, e interpretar.


Método de Lagrange

MÉTODO DE LAGRANGE Sea el polinomio de la forma

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

0 1 2 1 0 2

2 0 1 0 1

( ) ..........( ) ...........( )

...........( ) .......... .........( )n n

n n

f x b x x x x x x b x x x x x x

b x x x x x x b x x x x x x −

= − − − + − − − +

− − − + + − − − 1n

Decimos que el polinomio se coloca en el conjunto de 1 n+ puntos{ }

0( , ( )) n

i i ix f x

=

Si determinamos los coeficientes { } en función de los puntos, para tal caso: 0

ni i

b=

Sea

0

00 0 0 1 0 2 0 0

0 1 0 2 0

( )( ) ( - )( - ).......( - ) ( - )( - ).......( - )n

n

x xf xf x b x x x x x x b

x x x x x x

=

= ∴ =

1

11 1 1 0 1 2 1 1

1 0 1 2 1

( )( ) ( - )( - ).......( - ) ( - )( - ).......( - )n

n


x x x x x x

=

= ∴ =

Y en general

0 2 10 1

( )( ) ( - )( - ).......( - ) ( - )( - ).......( - )

n

nn n n n n n n

n n n n


x x x x x x−−

=

= ∴ =1

Sustituyendo en el polinomio, los coeficientes tenemos:

( )( )

( )( )

( )( )

1 2

0 2

0

0 1 0 2 0

1

1 0 1 2 1

2

2 00 1

2 1 2

( )( - )( - ).......( - )

( )( - )( - ).......( - )

( ) .....( )

.....( )

( )( - )( - )..

+ ....( ).....( -

.....

....

)(.

n

n

n

n

n

n

f xx x x x

f x x x x x x x

x x x x x x

x x

x xf x

x x x x x x

x x x xf xx x x x x x

f x

= − −

+ − −

− − − +

+

− +

− +

( )( )0 1 1

0 1 1)

( - )( - ).......( -....(

))n

n

n n n n

x x xx x x x x

x x xx −

−− − −

Compactadas tenemos:

0 00

0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...... () )( ) ( (n

n

i i ini

nf x L x f x L x f x L x f x )L x f x=

= + + =∑


Método de Lagrange

Donde

( )( )

( )( )

( )( )

01 20

0 1 0 2 00

0

00 21

1 0 1 2 11

0

0 12

2 0 2 1

( ).....( )

; 0( - )( - )......( - ) ( )

( ).....( )

; 1( - )( - )......( - ) ( )

......( )( - )( - ).

n

jjnn

nj

j

n

jjnn

nj

j

n

x xx x x x x x

L jx x x x x x x x

x xx x x x x x

L jx x x x x x x x

x x x x x xL

x x x x

=

=

=

=

−− − −

= =−

−− − −

= =−

− − −=

∏

∏

∏

∏

≠

≠

( )( )

0

22

0

00 1 1

0 1 1

0

( ) ; 2

......( - ) ( )

( ).......( )

; ( - )( - ).......( - ) ( )

n

jjn

nj

j

n

jjn

n nn n n n

n jj

x xj

x x x x

x xx x x x x x

L jx x x x x x x x

=

=

=−

−

=

−= ≠

−

−− − −

= =−

∏

∏

∏

∏n≠

Podemos obtener los coeficientes de Lagrange de la forma.

0

0

( )( ) ; ; 0,....,

( )

n

jj

i i n

i jj

x xL x j i para i n

x x

=

=

−= ≠ =

−

∏

∏

y como ( ) ( ) ( )n

i i ii o

f x L x f x=

= ∑

0 0

0

( ) ( ) ( ) , para 0,.......,( )

nni

jni j

i jj

i jf xf x x xi nx x= =

=

⎡ ⎤⎢ ⎥ ≠⎧⎢ ⎥∴ = − ⎨ =⎢ ⎥ ⎩−⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∏∏

Donde ( ) f x es le polinomio de interpolación de Lagrange.


Método de Lagrange

Algoritmo. 1.-Datos

• { } 0( , ( )) n

i i ix f x

=

• Puntos a evaluar

2.- Evaluar

0 0

0

( ) ( ) ( ) , 0,.......,( )

nni

jni j

i jj

i jf xf x x xi nx x= =

=

⎡ ⎤⎢ ⎥ ≠⎧⎢ ⎥∴ = − ⎨ =⎢ ⎥ ⎩−⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∏∏

3.- Se obtiene el polinomio de Lagrange, al realizar el algebra necesaria. 4.- Evaluar los puntos.


Método de Mínimos Cuadrados

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Sea el conjunto de m puntos dados { } 1( , ) m

i i ix y

=, se desea proponer un polinomio de grado n de

la forma 20 1 2( ) n

nf x a a x a x a x= + + + + , tal que se acerque (ajuste) lo mas posible a cada uno de los puntos dados.

x

y

R1

R2 R3

R4

Rn

(x1,y1)(x2,y2)

(x3,y3) (x4,y4)

(x1,y1)(xn-1,yn-1)

Rn-1

Para lograr que el polinomio ( ) f x sea lo mas ajustado posible a los puntos, se toma la distancia iR de cada punto, en forma estadística para que sea lo mas próxima a la función., o sea que:

1 minimo 1, . . . ,

m

ii

R sea para i m=

=∑

( )

1 1 1

2 2 2

3 3 3

2

( )( )( )

( ) por lo que ( )

lo que es equivalente a ( )m m m i i i

i i

R f x yR f x yR f x y

R f x y R f x y

iR f x y

= −= −= −

= − = −

= −

por lo tanto se requiere que ( )2

1 1( ) - sea minimo

m m

i i ii i

S R f x y= =

= =∑ ∑

Para lograr que S sea mínima ( )220 1 2

1-

mn

n ii

S a a x a x a x y=

= + + + +∑

Se toma la derivada parcial 0S

a j

∂=

∂, lo que implica que la suma de residuos cuadrados sea mínima en

cada coeficiente { } 0

n

j ja

= por lo tanto:



( )

( )

220 1 2

10

2 00 1 2

1 0

20 1 2

1 1 1 1 1

20 1 2

- 0

2 - 0

1

1

mn

i i n i ii

mn

i i n i ii

m m m m mn

i i n i ii i i i i

ni i n i i

a a x a x a x ya

aa a x a x a x y

a

a a x a x a x y

a m a x a x a x y

=

=

= = = = =

∂+ + + + =

∂

∂= + + + + =

∂

= + + + + =

∴ + + + + = − − − − →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

( )

( )

2 10 1 2

11 1

2 3 10 1 2

2 2 20 1 2

12 2

2 3 4 2 20 1 2

2 - 0

+ + 2

2 -

+ + 3

mn

i i i n i ii

ni i i n i i i

mn

i i i n i ii

ni i i n i i i

ax a a x a x a x y

a a

a x a x a x a x y x

ax a a x a x a x y

a a

a x a x a x a x y x

=

+

=

+

∂ ∂+ + + + =

∂ ∂

∴ + + = − − − − →

∂ ∂+ + + + =

∂ ∂

∴ + + = − − − − →

∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

0

( )20 1 2

1

1 2 20 1 2

2 -

+ +

mn n n

i i i n i iin n

n n n n ni i i n i i i

ax a a x a x a x y

a a

a x a x a x a x y x

=

+ +

∂+ + + + =

∂ ∂

∴ + + = − − − − →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

0

n

n

Por lo tanto se tiene l sistema de ecuaciones

20 1 2

2 3 10 1 2

2 3 4 2 20 1 2

1 2 20 1 2

1

2

3

ni i n i i

ni i i n i i i

ni i i n i i i

n n n n ni i i n i i i

a m a x a x a x y

a x a x a x a x y x

a x a x a x a x y x

a x a x a x a x y x

+

+

+ +

+ + + + = − − − −→

+ + + + = − − − −→

+ + + + = − − − −→

+ + + + = − − − −→

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Matricialmente tenemos

[ ][ ] [ ]

0 1 2 0 0

1 2 3 1 1 1

2 3 4 2 2 2

1 2 2

n

n

n

n n n n n n

S S S S a tS S S S a t

S a tS S S S a t

s S S S a t

+

+

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



Donde el polinomio que se ajusta a cada uno de los puntos se determina mediante:

2 31 2 3( ) n

o i i i n if x a a x a x a x a x= + + + + + Aplicando la matriz de Vandermonde de potencias tenemos

1 2 32 2 2 2

1 2 3

1 2 3

1 1 1 1

( 1)( )

m

m

n n n nm

x x x x

V x x x x

x x x xn m

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+

Donde * tS V V=

2

1

2 3

21 1 1

21 2 3 2 2 22 2 2 2 2

1 2 3

1

1

2 3 4 2

1

3 3 3

21 2 3

2 2

1 1 1 1 1

1

1

1

n

nm

nm

n n n n n

mn

i i ii

mn

i i i ii

ni i i i

n n n ni i i i

m m m m

m x xx x

x

x x x x

x x x x

x x x x

xx x x x x x xx x x x x x x

x x x x x x x

=

+

=

+

+ +

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ( 1)( ) ( )( 1) ( 1)( 1)n m m n n n

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

+ +

⎥

+

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣

+⎦∑

para 1

mj

j ii

t y=

=∑ ix 2

i

ni i

1, ,0, ,

i mj n=⎧

⇒⎨ =⎩

…………

0 0 01 1 2 2

1

1 1 11 1 1 2 2

2 2 22 1 1 2 2

1 1 2 2

m

o m mi

m m i i

m m i i

n n nn m m

t y x y x y x y

t y x y x y x y x

t y x y x y x y x

t y x y x y x y x

=

⎧= + + + =⎪

⎪⎪ = + + + =⎪⎪ = + + + =⎨⎪⎪⎪ = + + + =⎪⎪⎩

∑

∑∑

∑



Algoritmo 1. Datos:

• El conjunto de m puntos ( ){ } 1,

mi i i

x y=

• Proponer el orden del polinomio n. • Puntos a evaluar

2. Determinar

, para ( )( )1 1T

n nS V+ + = V i ix0

mj

ji

t y=

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∑1, ,0, ,

i mj n=⎧

⎨ =⎩

…………

3. Formar el sistema de ecuaciones, y obtener el vector solución { } 0

ni i

a=

[ ]

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )( )1 1 1 1 1 1n n n n

S a t+ + + +

=

4. Formar el polinomio de ajuste.

20 1 2( )

ni n

i ni o

f x a x a a x a x a=

= = + + + +∑ x

5. Evaluar los puntos

Integración Numérica

Área bajo la Curva

IV.- INTEGRACIÓN NUMERICA

( )n

o

x

xfSea la integral de la forma x dx ]∫ la cual es una integral definida en un intervalo [ 0 , nx x , como se

muestra en la figura.

X0 Xn

f( X0 )

f( Xn )f( X )

x

y

A

Si la función no es elemental la integral no tiene solución analítica o es muy difícil de resolver por algún método analítico. Por lo tanto podemos recurrir a un método numérico como lo son:

• Método del Trapecio • Método de Simpson


Método del Trapecio

MÉTODO DEL TRAPECIO Sea la función definida en un intervalo [ ]0 , nx x .

AX0 Xn

f( X0 )

f( Xn )f( X )

x

y

Sabemos que la integral ( )n

o

x

xf x dx∫ cubre el área A, si aproximamos linealmente, obtenemos un

trapecio:

X0 Xn

f( X0 )

f( Xn )f( X )

x

y

Trapecio

A

Error

Por lo tanto decimos que 00

( ) ( )( ) ( )2

n

o

x nnx

f x f xf x dx A x x+≅ = −∫

Si interpolamos linealmente por fracciones uniformes como se muestra en la figura, tenemos:

A1

X0 Xn

f( X0 )

f( Xn-1 )f( X )

x

y

A2A3

A4A5

An

X1 X2 X3 X4 X5 Xn-1

f( X1)f( X2)

f( X3)f( X4 )

f( X5)f( Xn )

E1

E2

E3

En

h hh h h h



Decimos entonces que 1 1

( )n

o

n nx

i ixi i

f x dx A E= =

= +∑ ∑∫

Donde:

( )

1 2 31

0 11

1 21

2 33

1

0 1 2 1

( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( )2

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2

)

(n

o

n

T i ni

n

x

T x

nn

T n

A A A A A A

f x f xA h

f x f x

fA

A h

f x f xA h

f x f xA h

hA f x f x f x f x

f x dx A h

f x

=

−

−

= = + + + +

+=

+=

+=

+

=

=

= + + + + +

= =

∑

∫

n

00

1

10

1

10

2 0

-: - , , 0

( ) ( ) ( )2

( )

( )

nn

ii

nn

i i

x xDonde nh x x h si n h En

xx x h

x f x f x

f xx

xf

x

−

=

+⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

→→

= ∴ = ∴ >> →<<

= +=

∑

1

2

1

0

0

2 (

( )

( )( ) ; 1,....

1), -1

n

i i

n

f x

f xx x ih f x para

h

x x n hi n

−−

→

→= + → =

+

= + −∴

→



Algoritmo 1.- Datos

0

( ) [ , ] _

n

f xx x

n Trapecios

•••

2.- Calcular

0

0

1

1

( ) ( ) 1,....

( ) ., -1

( )

o

n

nn

i

ii

f xf x para i n

x xh f xn

xi x ih f x

−

=

= + →=

−= ∑

3.- Evaluar

10

1

( ) ( ) ( )2

nn

ii

f x f xA h f−

=

+⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ x


Método de Simpson

MÉTODO DE SIMPSON

( )n

o

x

xfPara la integral x dx∫ , se puede tener una mejor solución, sobre todo si la función es de

concavidades muy pronunciadas o f(x) es muy oscilante; entonces aproximamos a un polinomio cuadrático de la forma:

1 0 2 1 0 1( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )o o of x f x f x x x x f x x x x x x x= + − + − −

1 0 2 1 0 1 A= [ ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )]n

o

x

o o oxf x f x f x x x x f x x x x x x x dx∴ = + − + − −∫

y resolviendo esta integral tenemos:

( )1 2( ) 4 ( ) ( )3 ohA f x f x f x= + +

Si hacemos la interpolación cuadrática por fracciones uniformes como se muestra en la figura, tenemos:

Decimos entonces que 1 1

( )n

o

n nx

i ixi i

f x dx A E= =

= +∑ ∑∫

x0

x2n-2

x2n-1

x2nx4x3x2x1

A1 A2An

f(x)

f(x0)

f(x2n)

Y

X

f(x1)f(x2)

f(x3) f(x4)f(x2n-1)f(x2n-2)

E1

E2

En

Donde:

( )

( )

( )

1 1 2

2 2 3 4

2 2 2 1 2

( ) 4 ( ) ( )3

( ) 4 ( ) ( )3

( ) 4 ( ) ( )3

o

n n n

hA f x f x f x

hA f x f x f x

hA f x f x f x− −

= + +

= + +

= + + n


Método de Simpson

2 1 2 2

21 2

A= ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( )3

n n

o n ii i

impares pares

hif x f x f x f x

− −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎠

∴⎜ ⎟⎝

∑ ∑

1

2

2 02 0

1 0

2 0

2 1 0 2

-: 2 - 2

2 ( 1

( )( )

( )

()

n

i

n n

n

i f

x xDonde nh x x hn

xx x

xf x

f x

f

hx x h

x x n h x−

= ∴ =

= += +

= −

→

→+

→

→

1

0

)( ) ; 1,...., 2 -1i ix x ih f x para i n

−

∴ = + → =

Algoritmo 1 .- Datos

0 2

( ) [ , ] _ Divisiones

n

f xx x

n

•••

2 .- Calcular

02 1 2 2

21 2

2 0

( ) ( ), 1,....., 2 -1

( ) ( ) ; ( )

2

o in n

n i ii i

n

f x xi x ih f x para i n

f x f x f x

x xhn

− −

= =

= + → =

−=

∑ ∑

3 .- Evaluar

2 1 2 2

21 2

A= ( ) ( ) 4 ( ) 2 ( )3

n n

o n ii i

impares pares

hif x f x f x f x

− −

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟

+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Solución Numérica de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Matrices

V.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

• Suma • Resta • Producto • Transpuesta • Determinante

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sea el sistema de ecuaciones lineales:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n

n n n

m m mn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x bmn

+ + + =+ + + =

+ + + =

El cual decimos que es compatible y determinado por lo que tiene solución única factorizando podemos llevar a sistema a su forma matricial.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n n

n n

m m mn n mn

a a a x ba a a x b

a a a x b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

En forma compacta tenemos: [ ][ ] [ ]A x b= Podemos resolver el sistema de ecuaciones si encontramos el vector solución , para ello se tienen los siguientes métodos numéricos.

{ } 1

mi i

x=

Métodos por eliminación:

• Gauss • Gauss-Jordan (Inversa de la Matriz) • LU - Choleski

Métodos iterativos:

• Jacobi • Gauss-Seidel


Matrices

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones no lineales tiene la forma:

1 1 2

2 1 2

3 1 2

1 2

( , ,........, ) 0,( , ,........, ) 0,( , ,........, ) 0,

( , ,........, ) 0

n

n

n

n n

f x x xf x x xf x x x

f x x x

===

=

Donde podemos considerar a toda función fi como un mapeo de un vector 1 2( , ,........, )t

nx x x x= del espacio n-dimensional en la recta real nℜ ℜ , como se muestra en la figura:

x1

x2

z

z = f1 ( x1 , x2 )

z = f2( x1 , x2 )

f1 ( x1 , x2 ) = 0 f2 ( x1 , x2 ) = 0

Este sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas puede representarse también mediante la definición de una función F, mapeando nℜ en nℜ por medio de:

1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2( , ,........, ) ( ( , ,........, ), ( , ,........, ), ( , ,........, ),........, ( , ,........, ), )tn n n n nF x x x f x x x f x x x f x x x f x x x= n

Si se emplea una notación vectorial para representar las variables 1 2, ,........, nx x x , el sistema de ecuaciones no lineales toma la forma ( ) 0F x = .- Las funciones 1 2( , ,........, )nf f f , son entonces las funciones coordenadas de F. Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales aplicaremos un método numérico en particular, el cual es:

• Método de newton


Método de Gauss

METODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Sea la matriz aumentada ( ) , A b

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n n

n n

m m mn mn m n

a a a b

a a a b

a a a b×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A la cual si le aplicamos el método de Gauss se tiene

( )( , ) , 'A b Gauss A b→ →

Donde : A es la matriz triangular superior. Sea:

11 12 1 1 112 1

21 22 2 2 22

1 2

´1 ´ ´´0 1 ´

´0 0 1

n n nn

n n nn

m m mn mn mn

a a a b ba aa a a b ba

Gauss

a a a b b

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢→ →⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Donde llevando a la forma y efectuando el producto, el sistema toma la forma: A bx =

( )( ) ( )( )-1 -1 -1

1 12 2 13 3 1 1

2 23 3 2 2

´ ´

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

n m n n m n

n n n

n n n

n mn

x a x b

x a x a x a x bx a x a x b

x b+ =

+ + =+ =

=

Realizando un despeje inverso, se obtiene el vector solución { }

1

21

.ni i

n

xx

x

x

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⇒⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR GAUSS.

Sea la matriz , a la cual al aplicar el Método de Gauss se obtiene la matriz

11 12 1

21 22 2

1 2

n

nm n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢=⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥


Método de Gauss

triangular superior . El determinante de una matriz se obtiene, aplicando

11 12 1

22 20 ´

0 0 ´

n

n

mn

a a aa a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

´⎥⎥

operaciones sobre determinantes, por lo tanto se puede factorizar ya que los elementos bajo el son cero, y de igual forma para

11a

22 mma a

11 12 1 22 23 2 33 34 3

22 2 33 3 44 411 11 22

´ ´ ´0 ´ ´ 0 ´ ´ 0 ´

0 0 ´ 0 0 ´ 0 0

n n

n n

mn mn mn

a a a a a a a a aa a a a a a

Det a a a

a a

= =

´´

´

n

n

a

Por lo tanto tenemos como resultado que el determinante de una matriz aplicando el Método de Gauss es:

[ ] [ ]1

11 22 33 44m n

m

m n iini

mDet A a a a a Det A aa ×=

× == ⇒ ∏

SISTEMA DE ECUACIONES COMPLEJO POR GAUSS Sea el sistema de ecuaciones lineales complejo:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n

n n n

m m mn n

z x z x z x bz x z x z x b

z x z x z x bmn

+ + + =+ + + =

+ + + =

A la cual si le aplicamos el método de Gauss se tiene

( )( , ) , 'Z b Gauss Z b→ →

Donde : Z es la matriz triangular superior. Sea:

11 12 1 1 112 1

21 22 2 2 22

1 2

´1 ´ ´´0 1 ´

´0 0 1

n n nn

n n nn

m m mn mn mn

z z z b bz zz a z b bz

Gauss

z z z b b

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢→ →⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦


Método de Gauss

Donde llevando a la forma Z bx = y efectuando el producto, el sistema toma la forma:

( )( ) ( )( )-1 -1 -1

1 12 2 13 3 1 1

2 23 3 2 2

´ ´

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

m m n n m n

n n n

n n n

n mn

x z x b

x z x z x z x bx z x z x b

x b+ =

+ + =+ =

=

Realizando un despeje inverso, se obtiene el vector solución { }

1

21

.ni i

n

xx

x

x

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⇒⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Donde:

( ( ) ( )

Z Es matriz compleja de orden m n Matriz propia de los elementos del sistemax Es un vector columna complejo Vector solucionb Es un vector columna complejo Vector de excitacion

= ×==

)


Método de Gauss Jordan

MÉTODO DE GAUSS JORDAN Sea el sistema de ecuaciones lineales:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n

n n n

m m mn n


a x a x a x bmn

+ + + =+ + + =

+ + + =

podemos llevar a sistema a su forma matricial.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n n

n n

m m mn n mn

a a a x ba a a x b

a a a x b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

En forma compacta tenemos que: [ ][ ] [ ]A x b= A la cual si le aplicamos el Método de Gauss-Jordan se tiene

( )( , ) , 'Gauss

A b IJordan

→ → b

Donde: I es la matriz identidad de orden mn. Por la tanto:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

´1 0 0´0 1 0

´0 0 1

n n n

n n n

m m mn mn mn

a a a b ba a a b bGauss

Jordana a a b b

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢→ →⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Donde llevando a la forma y efectuando el producto obtenemos el vector solución directamente.

I bx =

( )( )-1 -1

1 1

2 2

3 3

´

1,....., ´

´´´

: ,.

´

....,

n m n

i k

n

n

n

n mn

n

x b

i nx b para

x bx bx

k

b

x b

m=

=⎧∴ = ⎨ =

=

=

⎩

==


Método de Gauss Jordan

INVERSA DE UNA MATRIZ POR GAUSS – JORDAN Sea un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial y sea A bx = 1A− la inversa de A tal que

, donde 1AA I− = I es la matriz identidad. Podemos encontrar a , si en tomamos a 1A− A bx = b I= de la forma Ax I= , multiplicando por 1A− tenemos 1 1 1 A A IA Ix IA x Ax− − −= ⇒ = ⇒ ∴ = 1− . Por lo que aplicando Gauss-Jordan a la matriz aumentada

1m 2n

m n( , ) ,

MatrizInversa

GaussA I I A

Jordan−

××

⎛ ⎞⎜ ⎟

→ → ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Complementando el Método de Gauss Jordan tenemos que:

( )( , ) , 'Gauss

A b I bJordan

→ → 1m 2n

m n( , ) ,

MatrizInversa

GaussA I I A

Jordan−

××

⎛ ⎞⎜ ⎟

→ → ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

´

( , , ) , , b

Gauss JordanA b I I x A

Inversa−− ⎛ ⎞

→ → ⎜ ⎟⎝ ⎠

para comprobar podemos realizar las operaciones siguientes:

-1

1

***

A b xA x bA A I−

==

=


Método de Jacobi y Gauss Seidel

MÉTODO ITERATIVO Sea el sistema de ecuaciones lineales:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n n

n n n

m m mn n


a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + = mn

i

El método iterativo esta basado en aproximaciones sucesivas, donde 1 ( )ix g x+ = , en el caso general de

un sistema de ecuaciones lineales, se toma un vector inicial propuesto, { } 1

ni i

x=

el cual puede ser la

solución trivial, { } . 1

0 ni i

x=

= Con esta solución inicial, tomamos del sistema las ix siguientes a aproximar:

( )

1 12 2 11

11

2 21 1 22

22

1 1 1

n n

n n

mn m mm nn

mn

b a x a xxa

b a x a xxa

b a x a xx

a−

− −=

− −=

− −=

n

n

Compactando tenemos: 1 1,..,,

0 1,..,

n

in ik kk

iiiii

b a x i k i nx para

a k na=

− ≠ =⎧= ⎨ ≠ =⎩

∑

Como en el método es de aproximación proponemos un margen de error

Si { }11

1

ni ir i i

i

x x E x es el vector solucionx+

=+

−< ⇒ .

A tal método se le conoce como MÉTODO DE JACOBI. Una variable del método es el de GAUSS –SEIDEL en el que en lugar de ir sustituyendo en cada iteración el vector anteriormente calculado, se va sustituyendo en la aproximación, cada solución parcial obtenida, esto es:


Método de Jacobi y Gauss Seidel

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 11 1 1

0 12 2 2

0 1

k

k

kn n n

x x x

x x x

x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Por lo que el proceso termina en K iteraciones

Si { }11

1

ni ir i i

i

x x E x es el vector solucionx+

=+

−< ⇒

Esto es, se debe cumplir e margen de error para cada una de las soluciones aproximadas. Algoritmo: 1.- Datos

{ } 1

_ ecuaciones( , ) Matriz Aumentada

0 Vector inical

Margen de Error

mi i

r

mA b

x

E=

=

ii

ii

2.- Evaluar

1 1,..,,

0 1,..,

n

in ik kk

iiiii

b a x i k i nx para

a ka=

− ≠ =⎧= ⎨ ≠ =⎩

∑n

3.- Verificar el Margen de Error

{ },

11

1

" " 2 3

ni ir i i

i

x xSi E x es el vector soluci onx

Si no repetir y

+=

+

−< ⇒


Ecuaciones Diferenciales

VI.-SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES. Sea la ecuación diferencial ordinaria (EDO).

(1) (2) ( 1)( , , , ,..., )n ny f x y y y y −= Donde;

2 ( )(1) (2) ( )

( ), , ... ,2n

nn

dy d y d yy ydx dxdx

= = y=

)

Para el caso particular de EDO de 1er orden

' ( ,y f x y=

Presenta una familia de soluciones

( , )

( , )

( , )

dy f x ydx

dy f x y dx

y f x y dx c

=

=

= +∫

Para toda y cada una C se obtiene una solución particular.

Y

x

cn

c2

c3

c4

c5

c1

Para el caso en que resulta de una aplicación especifica, se requiere la solución particular a unas condiciones iniciales dadas.

' ( ,y F x y= )

( )0 0y x y=

Por lo que la solución particular es:

( )0

,nx

xy F x y d= ∫ x


Ecuaciones Diferenciales

Donde gráficamente podemos tener la función y.

Y0

x0 x

Y F(x,y)

Si ( ),F x y es una función no elemental y es difícil de resolver la integral analíticamente recurrimos a un método numérico, como pueden ser.

• Método de Euler • Método de Runge Kutta


Método de Euler

MÉTODO DE EULER Sea la grafica de la ecuación diferencial, para determinar una solución aproximada dada una condición inicial x0, trazamos una recta tangente a un paso h, y tenemos lo siguiente

y0

x0 x

Y*

**

k

y0

α

Solucionaproximada

Solucionexacta

F(x,y)

xn

yn } Analizando el triangulo rectángulo tenemos que:

( )

( )

( )

0

0 0

0

0 0 0

tan

' tan , , ' , ,

,

,

:

n

n

n n

n

kx x

y h x x y F x y k y yy yF x y

hdespejando la aprocimacion tenemos

y y h F x y

α

α

= +

=−

= = − = =

−⇒ =

−

∴

Algoritmo 1.- Datos

• Ecuación diferencial ordinaria F(x,y) • Condición inicial y0 • Intervalo [x0 , xn] • Numero de iteraciones

2.- Calcular el paso de integración

• 0- nx xhn

=

3.- Evaluamos la ecuación de Euler

• 1 ( , ) 0,......, 1i i i iy y hF x y para i n+ = + = −

4.- Iteramos n veces obteniendo nuevos intervalos

• xi’ = xi + h • yi = yi+1


Método de Runge Kutta

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA (4O ORDEN) Se requiere en este método, al igual que Euler tener distancias regulares de separación h, de modo que se tengan:

0nnh x x= −

Por lo que: 0nx xhn−

=

Y

XX0

K1

h

x0 x1 x2 xn

h h h hhhhh

Y

Y

**

Esto debido a la distribución Beta.

( )1 2 3 4

0

1 2 26

k k k k k

y y k

= + + +

= +

Por lo que nh para i n 1,=

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 2

4 0 0 3

,

1 1,2 21 1,2 2

,

i

i

i

i

k hF x y

k hF x h y k

k hF x h y k

k hF x h y k

=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

1er Orden: ( )1 0 ,

3er Orden

3 0 0

13 0 3

1 1,2 2

k hF x h y k

y y k

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

0F x y=k h Por lo tanto: 11 0 1y y k= +

2

2o Orden 1

2 0 0

12 0 2

,2 2h k

4o Orden ( )4 0 0

14 0 4

,k hF x h y k

y y k2= + +

= +

k hF x y

y y k

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

Distribución beta ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 4

1 2 26

i i iik k k k k= + + + i

Por lo que ( )

0

0 0 0con ;

iy y kx x h y y

= += + =



Algoritmo

.- Datos

• Ecuación diferencial ordinaria F(x,y)

nes

.- Calcular el paso de integración

•

1

• Condición inicial y0 • Intervalo [x0 , xn] • Numero de iteracio

2

0- nx xhn

=

3.- Evaluamos las ecuaciones de Runge Kutta de 4º orden.

•

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

2 1

3 2

4 3

1 2 3

( , )1 1( , )2 21 1( , )2 2

( , )1 ( 2 26

io o

io o

io o

io o

i i i i

K hF x y

K hF x h y K

K hF x h y K

K hF x h y K

K K K K K

=

= + +

= + +

= + +

= + + +

4 )i

onde finalmente ( )

1 ii iy y K+ = + D

4.- Iteramos n veces obteniendo nuevos

• xi’ = xi + h

• yi = yi+1



ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

110 1 1

1 n-21 2 n-1 1 2

0

n-1

ea , , ,...,

Para ; 0 ,..., 0donde;

v vv , v ,..., v , , v , v ,..., v

n n

nn

y F x y y y

y y y y y y

dy d d F x ydx dx dx

−

−−

=

= = =

= = = =

e puede reducir el orden de la ecuación diferencial.

or ejemplo:

S

s P

'' ' 6y y y− −

( ) ( )

( )

( )

'0 1

'

0para 0 ; 0

v

v v 6 0

por lo que se generan 2 ecuaciones diferenciales:

v , , v

v v 6 , , v

y y y ydyydx

d ydx

dy F x ydxd y G x ydx

=

= =

= =

− − =

= =

= + =

En general las n veces que se reduzca el orden se tendrá 1n + ecuaciones diferenciales a resolver. Por Runge-Kutta de 4oorden

( ) ( )1 0 0 0, , v k hF x y= 1 0 0 0

2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1

3 0 0 2 0 2 3 0

, , v

1 1 1 1 1 1, , v , , v2 2 2 2 2 21 1 1 1, , v 2 2 2 2

l hG x y

k hF x h y k l l hG x h y k l

k hF x h y k l l hG x

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠( ) ( )

0 2 0 2

4 0 0 5 0 3 4 0 0 3 0 3

1 1, , v2 2

, , v , , v

h y k l


⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + = + + +

Por lo que:

(

)

( )

1 2 3 4

1 2 3 4

2 261 2 26

k k k

l l l l l

+ + +

= + + +

Por lo tanto

1k k=

0

0v vy y k= +

l= +



Algoritmo

.- Datos uación diferencial de orden superior

(n)(0)

.- Calcular el paso de integración

•

1

• Ec• Condiciones iniciales y(0) , y’(0), . . . . y• Numero de iteraciones n • Intervalo [x0 , xn]

2

0- nx xhn

=

3.- Evaluamos las ecuaciones de Runge Kutta

•

( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0

2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0

3 0 0 2 0 2 3 0

, , v , , v

1 1 1 1 1 1, , v , , v2 2 2 2 2 21 1 1 1, , v 2 2 2 2

k hF x y l hG x y


k hF x h y k l l hG x

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

1

( ) (

0 2 0 2

4 0 0 5 0 3 4 0 0 3 0 3

1 1, , v2 2

, , v , , v

h y k l


⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + = + + +

)Donde

• ( )

( )

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 261 2 26

k k k k k

l l l l l

= + + +

= + + +

1

1v vi i

i i

y y kl

+

+

= += +

• Finalmente

4.- Iteramos n veces obteniendo nuevos

• xi’ = xi + h

• yi = yi+1 • vi = vi+1

Métodos Numéricos


BIBLIOGRAFÍA

• MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS STEVEN C. CHAPRA RAYMOND P. CANALE MC GRAW HILL

• ANALISIS NUMERICO Y VISUALIZACION GRAFICA CON MATLAB SHOICHIRO NAKAMURA PRENTICE HALL

• MÉTODOS NUMERICOS RODOLFOLUTHE GARCIA ANTONIO OLIVERA SALAZAR FERNANDO J. SCHUTZ ESTRADA LIMUSA

• METODOS NUMERICOS APLICADOS A LA INGENIERIA NIEVES – DOMINGUEZ CECSA

• ANALISIS NUMERICO BURDEN FAIRES GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANO

• FUNDAMENTOS DE PROGRAMACION C/C++ ERNSTO PEÑALOZA ROMERO ALFAOMEGA

• PROGRAMACION ORIENTADA A OBJETO CON C++ FRANCISCO JAVIER CEVALLOS ALFAOMEGA

• COMO PROGRAMAR EN C/C++ H.M DEITEL / P.J DEITEL PRENTICE HALL

• C/C++, CURSO DE PROGRAMACION FRANCISCO JAVIER CEVALLOS ALFAOMEGA

• RESOLUCION DE PROBLEMAS CON C++ WALTE SAVITCH

PRENTICE HALL

• PROGRAMACION EN C++ LUIS JOYANES AGUILAR MC GRAW HILL

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