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BisectrizDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.
Contenido[ocultar]
1 Características 2 Aplicación en triángulos 3 Propiedades 4 Véase también
5 Enlaces externos
[editar] Características
El punto de la bisectriz es equidistante a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistante.linea o recta que corta a un angulo en dos angulos iguales.
[editar] Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
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Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
[editar] Propiedades
Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo
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AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos
[editar] Véase también
Teorema de la bisectriz
IncentroDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación , búsqueda
El Incentro (símbolo I) es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.
Incentro.
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Las coordenadas cartesianas de incentro parte de un vértice de el triángulo trazado. Si
los vértices tienen coordenadas , , y , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes , , y , el incentro tendrá por coordenadas:
.
Las coordenadas trilineales del incentro son 1 : 1 : 1. Las coordenadas baricéntricas del incentro son a : b : c.
Contenido
[ ocultar ] 1 Ejemplo 2 Véase también 3 Referencias
4 Enlaces externos
[ editar ] Ejemplo
Una persona vive en una finca limitada por tres vías de ferrocarril. Como le molesta el ruido quiere vivir lo más alejado de ellas. ¿Dónde debe ubicar su casa? La respuesta es el incentro. Es decir en el centro de la mayor circunferencia posible inscrita dentro del triángulo formado por las tres vías de ferrocarril
CircuncentroDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
El Circuncentro (símbolo O) es el punto en el que se intersecan las tres mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.
Los vértices de un triángulo, como extremos de cada lado, se encuentran a la misma distancia de los puntos de sus bisectrices, luego el punto donde estas se cortan, será equidistante de los tres vértices: el circuncentro. Dicho punto se suele expresar con la letra O.
Sirve para trazar el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.
Tres casos de triángulos:
Triángulo rectángulo, circuncentro en el punto medio de la hipotenusa.
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Triángulo obtusángulo, circuncentro en el exterior del triángulo. Triángulo acutángulo, circuncentro en interior del triángulo.
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1 Galería 2 Véase también 3 Referencias
4 Enlaces externos
[editar] Galería
Polígonos inscriptibles:
[editar] Véase
MediatrizDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación , búsqueda
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. También se le llama simetral.
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Construcción gráfica de la mediatriz con regla y compás .
Contenido
[ ocultar ] 1 Construcción gráfica de la mediatriz 2 Aplicación en triángulos
o 2.1 Demostración 3 Circuncentro 4 Véase también
5 Enlaces externos
[editar] Construcción gráfica de la mediatriz
Para trazar la mediatriz de un segmento dado, se trazarán dos arcos de radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.
[editar] Aplicación en triángulos
Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.
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[ editar ] Demostración
En efecto, sea AB el segmento que sea, determinado por los puntos A y B (véase la figura 1). Sea M el punto medio del segmento y r la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la recta r. En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento AP se transforma en el segmento BP, ambos segmentos son congruentes y el punto P equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión. r
Recíprocamente, (véase figura 2) sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de A y de B, esto es que los segmentos AP y BP son iguales. Consideremos la bisectriz R del ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectriz con el segmento AB.
Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de la recta r se transforman uno en el otro. Como los segmentos PA y PB son iguales, en esta simetría, los puntos A y B son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto M es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta r.
[editar] Circuncentro
Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
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De izquierda a derecha, el circuncentro de un triángulo rectángulo , obtusángulo y acutángulo .
[editar] Véase también
Recta de EulerDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
La recta de Euler pasa por el ortocentro, el circuncentro y el baricentro.
La recta de Euler de un triángulo es aquella que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro del mismo. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»
H. S. M. Coxeter en relación al trabajo de Euler.1
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1 Demostración 2 Véase también 3 Referencias
4 Enlaces externos
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[editar] Demostración
En un triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersecan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.
A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).
Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo
.
Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.
Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC, entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo.
1. Se construye PG de modo que tenga el doble de longitud de GO.
2. Los triángulos AGP y DGO son semejantes.
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3. Las rectas DO y AP son paralelas. Por tanto AP es la altura del triángulo.
Un argumento similar prueba que los triángulos BPG y EOG son semejantes y por tanto BP también es la altura. Esto demuestra que P es el punto de intersección de las alturas y por tanto P=H; es decir, P es el ortocentro.
[editar] Véase también
Mediana (geometría)De Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
Las medianas de un triángulo (líneas rojas) se cortan en el baricentro del mismo.
En geometría las medianas1 de un triángulo son, cada uno de los tres segmentos de recta, que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.
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1 Propiedades 2 Relación con el centro de gravedad 3 Teorema de la mediana: 4 Medianas (fórmulas de aplicación práctica): 5 Véase también 6 Referencias
7 Enlaces externos
[editar] Propiedades
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Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas verdes) se cortan en el baricentro (centro de gravedad).
Las medianas tienen las siguientes propiedades:
Cada mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
Las tres medianas se intersecan en el baricentro, centro de gravedad del triángulo o centroide, marcado como G en la figura.
Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados a,b,c, medianas ma,mb,mc y perímetro p, se cumple la siguiente desigualdad:2
Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados a,b,c y medianas ma,mb,mc, la suma de los cuadrados de las medianas es igual a ¾ de la suma de los cuadrados de sus lados:2
[editar] Relación con el centro de gravedad
Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto con forma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del grupo infinito de transversales de gravedad del triángulo.
[editar] Teorema de la mediana:
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fig. m1: Esquema con áreas → ( ).Artículo principal: teorema de Apolonio
En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)
Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.
Apolonio de Perga
Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :
[editar] Medianas (fórmulas de aplicación práctica):
Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo). Éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :
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Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )3 — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).
OrtocentroDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
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Ortocentro.
El triángulo abc es el triángulo órtico del triángulo ABC.
Se denomina ortocentro (símbolo H) al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Este no es un hecho trivial, pues tres rectas cualquiera, tomadas a pares, podrían intersecarse en tres puntos diferentes, pero en el caso de las alturas de un triángulo dado, puede demostrarse que se intersecan en un solo punto, es decir, en el ortocentro.
El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.1
El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.
El ortocentro es el incentro del triángulo órtico (como se observa en la figura). El triángulo órtico de un triángulo es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de éste, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados..
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BisectrizDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda
Construcción gráfica con regla y compás.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.
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1 Características 2 Aplicación en triángulos 3 Propiedades 4 Véase también
5 Enlaces externos
[editar] Características
El punto de la bisectriz es equidistante a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistante.linea o recta que corta a un angulo en dos angulos iguales.
[editar] Aplicación en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
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Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
[editar] Propiedades
Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo
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AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos
[editar] Véase también
Teorema de la bisectriz
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