BLOQUE 5. DIÁMICA 12 Interacciones gravitatoria # y ... · # y electrostática 229 BLOQUE 5. DIÁMICA En contexto (Pág. 301) a. Respuesta sugerida: — Nicolás Copérnico: Desarrolló

Interacciones gravitatoriay electrostática12 #

229

BLOQUE 5. DINÁMICA

En contexto (Pág. 301)

a. Respuesta sugerida:

— Nicolás Copérnico:

Desarrolló su modelo heliocéntrico del universo (Sol en el centro del sistema solar), lo cual fue de carácter muy revolucionario, ya que el ser humano dejaba de ser el centro del universo. También propuso que los planetas seguían círculos perfectos con epiciclos.

— Galileo Galilei:

Aportó mejoras en el telescopio y muchas observacio-nes astronómicas. Desarrolló la ley de caída de los cuerpos y, consecuentemente, la ley de inercia.

— Johannes Kepler:

Elaboró una teoría del sistema planetario revolucionaria y muy cercana a la actual, en la que describía las órbi-tas planetarias y proponía que el Sol estaba desplazado del centro. Dio lugar a sus tres leyes.

b. Respuesta sugerida:

— El mejor remedio para evitar descargas es asegurar un buen contacto de las cargas con el suelo. Por lo tanto, como el aire húmedo es mejor conductor que el aire seco, las cargas pasan fácilmente al suelo y desapare-cen. Mientras que, con el aire seco, se quedan en dis-tintos objetos y es cuando se pueden originar fenómenos eléctricos (p. ej., pequeñas descargas eléctricas).

Internet (Pág. 303)

— Respuesta sugerida:

Es el área barrida por unidad de tiempo. Tiene sentido hablar de velocidad areolar en movimientos alrededor de un cuerpo.

Problemas resueltos (Pág. 313)

1. Datos: rp = 8,75 · 107 km; ra = 5,26 · 109 km

De acuerdo con la segunda ley de Kepler –que nos dice que el satélite debe barrer áreas iguales en un mismo intervalo de tiempo–, se debe mover más rápido cuando esté más cerca del Sol (perihelio).

Lo comprobamos aplicando la conservación del momento angular:

L = r mv = cte. ⇒ ramva = rpmvp

vp =ra

rp

va =5,26 · 109 km

8,75 · 107 kmva = 60va

Por lo tanto, la velocidad en el perihelio será 60 veces mayor que en el afelio.

2. Datos: rU = 19,2 rT

— Aplicamos la tercera ley de Kepler a Urano:

TU2 = k rU3

— Y procedemos igual con la Tierra:

TT2 = k rT3

— Como la constante, k, es la misma para los dos planetas, hallamos el cociente para deducir la relación de los dos períodos:

TU2

TT2=

rU3

rT3=

(19,2 · rT )3

rT3= 19,23

— Deducimos que el período de revolución de Urano es 84,1 veces mayor que el de la Tierra. Y, dado que sabemos que TT = 1 año, lo calculamos:

TU = (19,2)3

2 · TT = 84,1 años

3. Datos: d = 20km; m = 1000kg

m m

m m

u1 u2

d

r

— Primero calculamos la distancia entre una masa y el cen-tro del cuadrado, que será la misma para el resto:

r =d2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

+d2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

=d2

— Determinamos la expresión que ejerce cada cuerpo en el centro del cuadrado:

g1 = G

mr 2

u1;

g3 = G

mr 2

u3 = −G

mr 2

u1

g2 = G

mr 2

u2;

g4 = G

mr 2

u4 = −G

mr 2

u2

— Sumamos vectorialmente la intensidad del campo en el centro y obtenemos:g =

g1 +

g2 +

g3 +

g4

g = G

mr 2

u1 + G

mr 2

u2 − G

mr 2

u1 − G

mr 2

u2 = 0 N·kg−1

El resultado es el esperado, ya que el centro se encuentra a la misma distancia de las cuatro masas, que son iguales, y, por lo tanto, se compensan.

BLOQUE 5. dinámica > Unidad 12. inTERacciOnES GRaViTaTORia Y ELEcTROSTáTica

230

4. Datos:

M1 = 3,0 · 108 kg; M2 = 1,5 ·109 kg;

r1 = (3,0; 4,0) m; r2 = (−5,0;−1,0) m; r3 = (3,0;−1,0) m

y (m)

x (m)

r13

r23

— Calculamos las distancias entre cada masa y el punto r3:

r13 =

r1 −r3 = (3,0 − 3,0; 4,0 + 1,0) m = (0,0; 5,0) m ⇒

⇒r13 = 5,0 m

r23 =

r2 −r3 = (−5,0 − 3,0; −1,0 + 1,0) m =

= (−8,0; 0,0) m ⇒r23 = 8,0 m

— Determinamos el campo gravitatorio generado por cada cuerpo:

g1 = G

M1

r132

j

g1 = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

3,0 · 108 kg

(5,0 m)2

j =

= 8,0 · 10−4 N·kg−1j

g2 = −G

M2

r232

i = −6,67 · 10−11 N·m2

kg2·

1,5 · 109 kg

(8,0 m)2

i

g2 = −1,6 · 10−3 N·kg−1

i

— Y hacemos el módulo para hallar la g resultante:

g =g1

2 +g2

2 =

= (8,0 · 10−4 N·kg−1)2 + (−1,6 · 10−3 N·kg−1)2

g = 1,7 · 10−3 N·kg−1

5. Datos:

MS = 5,69 · 10 kg ; r = 1,86 · 108 m ;

G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2

— Calculamos el módulo del campo gravitatorio sobre el sa-télite Mimas, usando la siguiente expresión:

g =Fm

=G

M mr 2

m= G

Mr 2

=

= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·5,69 · 1026 kg

(1,86 · 108 m)2= 1,1m· s−2

6. Datos:

MM =1

9,3MT ; RM =

1

1,9RT ; m = 1 t; gT = 9,8 m· s−2

— Sabemos que el campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es:

gT = GMT

RT2

= 9,8 m· s−2

— Y lo usamos para calcular la intensidad del campo gravita-torio en la superficie de Marte:

gM = GMM

RM2

= G ·

1

9,3MT

1

1,9

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

RM2

=

=1,92

9,3· gT =

1,92

9,3· 9,8 m· s−2

gM = 3,804 m· s−2

— El peso, entonces, será la fuerza que hace este campo:

P = F = m · gM = 103 kg · 3,804m· s−2 = 3 804N

7. Datos:

m = 10 g = 10−2 kg; l = 50 cm = 0,5 m;

α = 20°; K = 9 · 109 N·m2 ·C−2

— Primero hallamos la distancia de separación entre las dos bolas:

r = 2l senα

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2 · 0,5 m · sen

20°

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0,17 m

— A continuación, aplicamos la condición de equilibrio en las direcciones horizontal y vertical, y las relacionamos para aislar la carga:

Tx +

Fe = 0 ⇒ T sen

α

2= K

q2

r 2

Ty +

P = 0 ⇒ T cos

α

2= m g

⎫

⎬⎪⎪

⎭

⎪⎪

m g · tgα

2= K

q2

r 2

q =m g · tg

α

2K

· r =

=10−2 kg · 9,8 m· s−2 · tg

20º

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

9 · 109 N·m2 ·C−2· 0,17 m

q = 2,4 · 10−7C

8. Datos:

q1 = −2 · 10−8 C; q2 = −5 · 10−8 C; x1 = −0,3 m; x2 = 0,3 m

q1 F21

0

r

q2F12

0,3 x (m)−0,3


231

— Calculamos la separación entre las dos cargas y, posterior-mente, aplicamos la ley de Coulomb en módulo:

r = x2 − x1 = 0,3 m − (−0,3 m) = 0,6 m

F = Kq1q2

r 2= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

·(2 · 10−8 C) · (5 · 10−8 C)

(0,6 m)2

F = 2,5 · 10−5 N

9. Datos:

v0 = 6 · 106 m

s; x = 10 cm = 0,1 m;

me = 9,1 · 10−31 kg; e = 1,6 · 10−19 C

— Como el electrón describe un movimiento rectilíneo unifor-memente acelerado (MRUA), usamos las respectivas ecuaciones para calcular la aceleración, que sabemos que es negativa:

v = v0 − at = 0 ⇒ t =v0

a

x = v0t −1

2at 2 =

v02

2a⇒ a =

v02

2x

a =(6 · 106 m· s−2)2

2 · 0,1 m= 1,8 · 1014 m· s−2

— Y aplicamos la segunda ley de Newton para hallar el mó-dulo del campo eléctrico:

F = m

a

Fe = q

E

⎫⎬⎪

⎭⎪qE = m a

E =m aq

=9,1 · 10−31 kg · 1,8 · 1014 m· s-2

1,6 · 10−19 C=

= 1,0 · 103 N·C−1

El campo va en el mismo sentido que el movimiento inicial del electrón.

10. Datos: E = 10 000 N · C−1; MCa2+ = 5,7MLi +

— Aplicamos la segunda ley de Newton para obtener una expresión general de la aceleración:

F = m

a

Fe = q

E

⎫⎬⎪

⎭⎪qE = m a

a =qEm

— Realizamos el caso concreto de los dos iones y los relacio-namos:

aCa2+ =qE

MCa2+

aLi + =qEMLi +

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

aCa2+

aLi +=

2eE5,7MLi +

eEMLi +

= 0,35

Por lo tanto, el Li+ adquirirá mayor velocidad, ya que describe un MRUA con una aceleración superior (v = a · t ).

11. Datos: E = 100 N ⋅ C−1; q = 250 e; m = 4,082 · 10−16 kg;

e = 1,6 · 10−19 C

Para comprobar si la gota permanece en equilibrio, todas las fuerzas deben estar en equilibrio. En consecuencia, la fuerza eléctrica y el peso se tienen que compensar:

Fe − P = qE − m g

Fe = 250 · 1,6 · 10−19 C·100N·C−1 −

− 4,082 · 10−16 kg · 9,8m· s−2 = 0

Sí que permanecerá en equilibrio, ya que Fneta = 0.

12. Datos:

m = 10−14 g = 10−17 kg; q = 20 e; E1 = 30,6 N·C−1;

E2 = 31,3 N·C−1; e = 1,6 · 10−19 C

q

Fe

m g

+ + + + + + +

− − − − − − −

E

Inicialmente, para que esté en equilibrio, el campo eléctrico debe ir hacia abajo. Al aumentar el campo, entonces Fe > m g y, por lo tanto, la partícula se moverá hacia arriba. Determina-mos el valor de la aceleración, aplicando la segunda ley de Newton:

Fe − m g = m a ⇒ a =qE − m g

m

a =20 · 1,6 · 10−19 C · 31,3 N·C−1 − 10−17 kg · 9,8 m· s−2

10−17 kg

a = 0,22 m· s-2

Ejercicios y problemas (Págs. 316 a 318)

1 LEYES DE KEPLER Pág. 316

13. El planeta con un período de revolución más grande será Neptuno, ya que es el que tiene un radio de órbita mayor, y tal y como indica la tercera ley de Kepler:

T 2 ∝ r 3

14. Datos: 1 UA = 149 597 870 700 m

Planeta a (UA) b (UA) e = 1 −b2

a2

Mercurio 0,387 0,379 0,202

Venus 0,724 0,723 0,005

Tierra 1,000 0,999 0,045

Marte 1,524 1,517 0,096

Júpiter 5,203 5,197 0,048

Saturno 9,539 9,524 0,056

Urano 19,182 19,161 0,047

Neptuno 30,058 30,057 0,008


232

— En general, sí que está justificado suponer que las órbitas son circulares, ya que la excentricidad de las elípticas es prácticamente nula. Solamente podemos decir que Mer-curio se desvía de esta aproximación.

15. Elaboramos la tabla:

Planeta T (días)dplaneta-Sol

(km)

dSol-afelio

dSol-perihelio

(km)

vafelio

vperihelio

(km · s–1)

Mercurio 88 5,8 · 1077,0 · 107

4,6 · 107

38,8

59,0

Venus 224,7 1,1 · 1081,09 · 108

1,07 · 108

34,7

35,3

Tierra 365,3 1,5 · 1081,52 · 108

1,47 · 108

29,3

30,3

Marte 686,9 2,3 · 1082,5 · 108

2,1 · 108

22,0

26,2

Júpiter 4 332 7,8 · 1088,2 · 108

7,4·108

12,4

13,7

Saturno 10 760 1,4·1091,5 · 109

1,4 · 109

9,3

10,0

Urano 30 865 2,9·1093,0 · 109

2,8 · 109

6,6

7,0

Neptuno 60 190 4,5·1094,6 · 109

4,5 · 109

5,4

5,5

— Constatamos que se cumple la segunda ley de Kepler, pues para todos los planetas se cumple que vp > va. Y para que se cumpla la tercera ley, se debe cumplir que:

T1

T2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

=r1r2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3

16. Partimos de la expresión de la tercera ley de Kepler para efec-tuar el análisis dimensional:

T 2 = k r 3

[T] 2 = [k] · [L] 3 ⇒ [k] =[T] 2

[L] 3

17. Datos: T = 76 años

Aplicamos la tercera ley de Kepler para obtener el radio medio de la órbita y lo relacionamos con el período de la Tierra, sa-biendo que es de un año y que la constante, k, es la misma para los dos cuerpos:

T 2 = kr 3

TT2 = krT3

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

T 2

TT2=

r 3

rT3⇒ r 3 =

T 2

TT2

rT3

r =76 años

1 año

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

3rT = 18 rT

18. Datos: r = 4rT

Aplicamos la tercera ley de Kepler para el planeta hipotético y relacionamos su período con el de la Tierra, que sabemos que es de un año:

T 2 = kr 3

TT2 = krT3

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

T 2

TT2=

r 3

rT3=

(4rT )3

rT3= 64

T = 64 · 1 año = 8 años

19. Datos: r =1

4rL ; TL = 28 días

Usamos la tercera ley de Kepler para relacionar el período hi-potético con el de la Luna real:

T 2 = kr 3

TL2 = krL3

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

T 2

TL2=

r 3

rL3=

1

4rL

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3

rL3=

1

64

T =TL

64= 3,5 días

20. Datos:

rIo = 421600 km; TIo = 1,53 · 105 s

rEuropa = 670 000 km

Relacionamos los períodos de los dos satélites empleando la tercera ley de Kepler, puesto que la k es la misma en los dos casos:

TEuropa2 = krEuropa

3

TIo2 = krIo3

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

TEuropa2

TIo2

=rEuropa

3

rIo3

TEuropa =rEuropa

3

rIo3· TIo =

670 000 km

421600 km

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3

· 1,53 · 105 s

TEuropa = 3,07 · 105 s

21. Datos: r = 2rgeoestacionaria

Una órbita estacionaria se caracteriza por tener una excentri-cidad nula y mantener su posición fija respecto a la Tierra. De tal forma que Tgeoestacionaria = 24 h:

T 2 = kr 3

Tg2 = krg

3

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒

T 2

Tg2=

r 3

rg3=

(2rg )3

rg3

= 8

T = 8 · 24 h = 67,9 h = 2,4 · 105 s

2 INTERACCIÓN GRAVITATORIA Págs. 316 y 317

22. Datos:

G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2; r12 = 50 m; rTL = 3,84 · 108 m

m = 4 · 107 kg; mT = 5,98 · 1024 kg; mL = 7,35 · 1022 kg

Aplicamos la expresión matemática de la ley de gravitación universal en los dos apartados:


233

a)

F12 = F21 = Gm2

r122

= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·(4 · 107 kg)2

(50 m)2

F12 = 42,7 N

b)

FTL = FLT = GmTmL

rTL2

FTL = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·5,98 · 1024 kg · 7,35 · 1022 kg

(3,84 · 108 m)2

FTL = 1,99 · 1020 N

23. Datos:

va = 29,29 km· s−1; ra = 152 · 106 km; rp = 147 · 106 km

— Considerando que la órbita de la Tierra es circular, pode-mos suponer que el momento angular es constante:

M = F r sen180° = 0 ⇒ L = mrv = cte

— Y, por lo tanto, relacionamos los momentos angulares del afelio y el perihelio para calcular la velocidad en este últi-mo punto:

La = Lp ⇒ mrava = mrpvp

vp =ra

rp

va =152 · 106 km

147 · 106 km· 29,29 km· s−1 = 30,29 km· s−1

24. Datos:

MS = 2 · 1030 kg; R = 6,69 · 108 m;

G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2

Determinamos el campo gravitatorio en la superficie solar empleando su expresión matemática:

g =

Fm

⇒ g = GMR2

=

= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·2 · 1030 kg

(6,69 · 108 m)2= 275 m· s−2

25. Datos:

h = 400 km = 4 · 105 m; m = 75 kg;

G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2; RT = 6,37 · 106 m;

MT = 5,98 · 1024 kg

G

m

MT

RT

H

— Para calcular el peso en esa altura, primero debemos de-terminar la intensidad del campo gravitatorio, teniendo en cuenta que la distancia es respecto al centro de la Tierra:

r = RT + h

g = GMT

r 2= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

·5,98 · 1024 kg

(6,37 · 106 m + 4 · 105 m)2

g = 8,70 m· s−2

— Por lo tanto, el peso será:

P = m g = 75 kg · 8,70 m· s−2 = 653 N

26. a) Si hacemos uso de la definición literal de ingravidez, la expresión es incorrecta. Y es que significa que dicho cuer-po no está sometido a un campo de gravedad. Mientras que, precisamente en los astronautas, la única fuerza que actúa es la gravedad. El uso de esta expresión es debido a que la sensación del astronauta es de no experimentar ninguna fuerza (peso aparente nulo).

b) Porque la aceleración con la que son atraídos los distintos cuerpos solo depende de la masa del planeta que ejerce la fuerza y de la distancia a la que se encuentran, pero no de su masa. Tal y como podemos ver con la segunda ley de Newton:

a = g =Fm

= G

Mmr 2

m= G

Mr 2

27. Datos:

m1 = 30 kg; m2 = 40 kg; m3 = 0,3 kg; r1 = 2 m; r2 = 4 m

a) Calculamos la fuerza que ejerce cada niño sobre la pelota, empleando la expresión de la fuerza gravitatoria, y las su-mamos:

F13 = −G

m1m3

r12i = −6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

·30 kg · 0,3 kg

(2 m)2

i = −1,5 · 10−10

i N

F23 = G

m2m3

r22

i = −6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

·40 kg · 0,3 kg

(4 m)2

i = 5 · 10−11

i N

Ftotal =F13 +

F13 = −1,5 · 10−10

i N + 5 · 10−11

i N =

= −10−10i N

Por lo tanto, la fuerza total irá en el sentido del niño de m = 30 kg.

b) Porque es una fuerza tan pequeña en comparación a la que ejerce la Tierra (peso) que no es suficiente para con-trarrestar la fuerza de fricción.

28. Datos:

MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6 370 km;

G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2


234

Al ser una órbita geoestacionaria, sabemos que el período del satélite coincide con el de la Tierra y lo podemos relacionar con la velocidad:

T = 24 h = 8,64 · 104 s y v =2πrT

Y, partiendo de que la fuerza de gravitación entre la Tierra y el satélite es la fuerza centrípeta que lo mantiene en su órbita, podemos determinar la distancia entre el satélite y la Tierra:

F = FC ⇒ GMTm

r 2= m

v 2

r⇒ G

MT

r= v 2 =

2πrT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

r =GMT

4π2T 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

3=

=6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 · 5,98 · 1024 kg

4π2· (8,64 · 104s)2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

3=

= 42 250 km

29. Datos: m = 60 kg ; r = 1 m; G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2

— Calculamos el campo gravitatorio con su expresión:

g = Gmr 2

= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·60 kg

(1 m)2

g = 4 · 10−9 m· s−2

— Y, a continuación, empleamos la expresión de la fuerza gravitatoria con otro cuerpo de la misma masa:

F = Gm2

r 2= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg ·

(60 kg)2

(1 m)2=

= 2,4 · 10−7 N

30. Datos: M = 2MT ; R = 2RT

g = GMR2

= G2MT

4RT2=

1

2

GMT

RT2

=1

2gT =

9,8 m· s−2

2=

= 4,9 m· s−2

El nuevo valor de la gravedad sería la mitad.

31. Datos: ρ = ρT ; R = 10RT

— Primero hallamos la masa del planeta, relacionando las respectivas densidades:

ρ =m

4

3πR3

ρT =MT

4

3πRT

3

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

ρ = ρT ⇒ m = 103MT

— Y calculamos la intensidad del campo gravitatorio:

g = GmR2

= G103MT

(10RT )2= 10

GMT

RT2

= 10gT

32. Datos:

m = 50 kg ; h = 10 km; G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2

MT = 5,98 · 1024 kg ; RT = 6 370 km

— Primero determinamos el campo gravitatorio en la distancia, respecto al centro de la Tierra, a la que se encuentra el avión:

r = RT + h

g = GMT

r 2= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

·5,98 · 1024 kg

(6 370 + 10)2 · 106 m2

g = 9,8 m· s−2

— Luego calculamos el peso:

P = m g = 50 kg · 9,8 m· s−2 = 490 N

— Lo comparamos con el campo gravitatorio en la superficie de la Tierra y con el peso respectivo:

gT = GMT

RT2= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

5,98 · 1024 kg

(6 370 · 103 m)2

gT = 9,83 m· s−2

P = m g = 50 kg · 9,83 m· s−2 = 492 N

Nos da un resultado muy parecido, ya que en 10 km el campo gravitatorio varía muy poco.

33. Datos:

P = 522 N; G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2

RS = 60 268 km; MS = 5,7 · 1026 kg

Primero calculamos la gravedad en la superficie de Saturno y después determinamos la masa del satélite:

g = GMS

RS2= 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ⋅

5,7 · 1026 kg

(6,0268 · 107 m)2

g = 10,47 m· s−2

m =Pg

=522 N

10,47 m· s−2= 49,9 kg

34. Datos:

m = 80 kg; h = 8 848 m; RT = 6 370 km

— Para saber el peso debemos hallar el campo gravitatorio en la superficie terrestre y en la cima del Everest:

gT = GMT

RT2

gEverest = GMT

r 2; r = RT + h

— Y calculamos el cociente entre los pesos de cada sitio para obtener la relación:

PT

PEverest

=m gT

m gE

=

GMT

RT2

GMT

(RT + h)2

=(RT + h)2

RT2

=

=(6,37 · 106 m · 8 848 m)2

(6,37 · 106 m)2= 1,0028

El alpinista pesa 1,0028 veces más al nivel del mar.


235

35. Datos:

m = 70 kg; M =1

10MT ; R =

1

10RT ; gT = 9,8 m· s−2

Primero hallamos la gravedad en la superficie del planeta en función de la de la Tierra, y luego calculamos el peso:

g = GMR2

= G

1

10MT

1

10RT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 = 10

GMT

RT2

= 10gT

P = m g = 70 kg · 10 · 9,8 m· s−2 = 6 860 N

36. Datos: R =1

2RT ; M = MT

Si deducimos la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gra-vitación universal, obtendremos la expresión del período con todas sus variables independientes:

F = FC ⇒ GMSM

r 2= M

v 2

r⇒ G

MS

r= v 2 =

2πrT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

T 2 =2πr 3

GMS

Por lo tanto, podemos confirmar que el período no se vería afectado, ya que solo depende de la masa del Sol y del radio de órbita.

37. El campo gravitatorio desde el centro de la Tierra hasta la su-perficie varía proporcionalmente a la distancia. Mientras que, a partir de este punto y con la altura, pasa a ser inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. Y esto lo podemos comprobar matemáticamente aplicando el teorema de Gauss, que nos da el siguiente resultado para los dos casos:

g = GMRT

3r r ≤ RT

g = GMr 2

r ≥ RT

38. Datos:

MS = 324 440 MT ; RS = 108 RT ; v0 = 200 m· s−1;

gT = 9,8 m· s−2

— Calculamos el campo gravitatorio del Sol:

gS = GMS

RS2= G

324 440 MT

(108 RT )2= 27,8 · gT = 272,4 m· s−2

— Y determinamos la altura, h, usando las ecuaciones del MRUA:

v = v0 − gt = 0 → t =v0

g=

200 m· s−1

272,4 m· s−2= 0,7 s

h = v0t −1

2gt 2

h = 200 m· s−1 · 0,7 s −1

2· 272,4 m· s−2 · (0,7 s)2 =

= 73,3 m

39. Datos: G = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2; RT = 6, 4 · 106 m;

gT = 10 m· s−2

a) ρ =MT

VT

=MT

4

3πRT

3=

3gT

4πGRT

ρ =3 · 10 m· s−2

4π · 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 · 6,4 · 106 m=

= 5,59 · 103 kg ·m−3 = 5 590 kg ·m−3

b)

g = GMT

r 2=

1

3gT ⇒ r =

3GMT

gT

; MT = ρVT

h = r − RT =3 · 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 · 6,14 · 1024 kg

10 m· s−2−

− 6,4 · 106 m

h = 4,7 · 106 m

3 INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA Págs. 317 y 318

40. La electrización vítrea corresponde a la positiva, y la resinosa a la negativa.

a) El ámbar, tras frotarlo con lana, queda cargado negativa-mente (resinosa).

b) El cristal, después de frotarlo con seda, se carga positiva-mente (vítrea).

41. Datos: q = −0,8 µC = −8 · 10−7 C; e = 1,6 · 10−19 C

Como sabemos que la carga está cuantizada, se debe cumplir que la carga total de cualquier cuerpo sea un múltiplo entero de la carga elemental e:

q = ne ⇒ n =qe

=8 · 10−7 C

1,6 · 10−19 C= 5 · 1012 electrones

42. Datos: q1 = q2 = 4,0 µC = 4 · 10−6 C;

x1 = 0,0 m; x2 = 8,0 m; x3 = −2,0 m

— Calculamos los módulos de las distancias:

r1 = x1 − x3 = 2,0 m

r2 = x2 − x3 = 10,0 m

— El principio de superposición nos dice que el campo eléc-trico en x3 será la suma de los campos generados por cada carga. Por lo tanto, aplicamos la siguiente expresión matemática:

E1 = −K

qr12i = −9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

4 · 10−6C

(2,0m)2

i =

= −9 · 103i N·C−1

E2 = −K

qr2

2

i = −9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

4 · 10−6 C

(10,0 m)2

i =

= −360i N·C−1

E 3 =

E1 +

E2 = −9 · 103

i N · C−1 − 360

i N·C−1 =

= −9,4 · 103i N·C−1


236

E1 = −K

qr12i = −9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

4 · 10−6C

(2,0m)2

i =

= −9 · 103i N·C−1

E2 = −K

qr2

2

i = −9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

4 · 10−6 C

(10,0 m)2

i =

= −360i N·C−1

E 3 =

E1 +

E2 = −9 · 103

i N · C−1 − 360

i N·C−1 =

= −9,4 · 103i N·C−1

El campo eléctrico está dirigido en el sentido negativo del eje x, ya que las dos cargas son positivas.

43. Datos:

m = 3,0 g; Z = 29; M = 63,5 g ·mol−1; e = 1,6 · 10−19 C

— Calculamos el número de átomos que contiene la moneda usando el número de Avogadro:

3,0 g ·1 mol

63,5 g· 6,023 · 1023 átomos

mol=

= 2,85 · 1022 átomos

— A continuación obtenemos el número de electrones (sa-biendo que Z nos indica el número de protones y electro-nes de cada átomo) y la carga total:

n = 2,85 · 1022 átomos · 29e−

átomo= 8,25 · 1023 e−

q = ne = 8,25 · 1023 e− · 1,6 · 10−19 C

e−= 1,3 · 105 C

44. La electrización por contacto sucede cuando un cuerpo car-gado eléctricamente se pone en contacto con otro inicialmen-te neutro, de tal forma que puede transmitirle sus propiedades eléctricas. Se caracteriza por que es permanente y se efectúa en una proporción que depende de la geometría de los cuer-pos y de su composición.

Por otra parte, la electrización por frotamiento consiste en frotar un cuerpo fuertemente con otro material de forma que lo carga positiva o negativamente, dependiendo de su tenden-cia a perder o ganar electrones respectivamente.

Y la electrización por inducción es un efecto de las fuerzas eléctricas, debido a que estas se ejercen a distancia. La sepa-ración de cargas inducida por las fuerzas eléctricas es transi-toria y desaparece cuando el agente responsable se aleja suficientemente del cuerpo neutro.

45. La primera condición para que las tres cargas se hallen en equilibrio electrostático es que tienen que estar en una misma línea. Y, según sus valores, habrá que jugar con las respecti-vas distancias para que el campo eléctrico en el punto de la carga sea nulo.

d1

q3 q2 q1

d2

E = 0

46. Datos:

q1 = −6,0 µC = −6 · 10−6 C; x1 = −3,0 m

q2 = 4,0 µC = 4 · 10−6 C; x2 = 0,0 m

q3 = −6,0 µC = −6 · 10−6 C; x3 = 3,0 m

Calculamos el módulo de las dos fuerzas que actúan con la ley de Coulomb, pero antes determinamos las distancias entre cargas:

r21 = x1 − x2 = 3,0 m

r31 = x1 − x3 = 6,0 m

F21 = Kq1q2

r212

= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·6,0 · 10−6 C · 4,0 · 10−6 C

(−3,0 m)2

F21 = 2,4 · 10−2 N

F31 = Kq1q3

r312

= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·6,0 · 10−6 C · 6,0 · 10−6 C

(6,0 m)2

F31 = 9,0 · 10−3 N

La fuerza que ejerce q2 sobre q1 es atractiva (sentido positivo del eje x), mientras que F31 es repulsiva (sentido negativo del eje x). Por lo tanto, aplicamos el principio de superposición:F =

F21 +

F31 = 2,4 · 10−2

i N − 9,0 · 10−3

i N = 1,5 · 10−2

i N

47. Datos:

q1 = q2 = −1,2 · 10−6 C; A = (0, 8) m; B = (6, 0) m

q3 = −1,5 · 10−6C; P = (3, 4) m

F31

F21

F23

F13

F12

F32

q3

q2

q1

y (m)

x (m)

A

P

B

Determinamos las distancias entre cargas y calculamos el módulo de las fuerzas:r13 = P − A = (3,−4) m ⇒

r13 = 32 + (−4)2 = 5 m

r23 = P − B = (3,−4) m ⇒

r23 = (−3)2 + 42 = 5 m

F13 = Kq1q3

r132

= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·1,2 · 10−6 C · 1,5 · 10−6C

(5 m)2

F13 = 6,48 · 10−4 N

F23 = Kq2q3

r232

= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·1,2 · 10−6 C · 1,5 · 10−6 C

(5 m)2

F23 = 6,48 · 10−4 N

Como las dos fuerzas son en sentido opuesto, se contrarres-tan y, por lo tanto:

FR = 0

48. Datos:

q1 = q2 = −3,2 · 10−6 C

q = 1 C; l = 40 cm = 0,4 m


237

q2 < 0

F12l

r

F21

F2

F1

FR

+qq1 < 0

Calculamos la fuerza electrostática generada por las cargas q1 y q2, y aplicamos el principio de superposición:FR = F1

2 + F22 = (1,8 · 105 N)2 + (1,8 · 105 N)2 = 2,5 · 105 N

F1 actúa en el sentido negativo del eje x y F2 lo hace en el sentido positivo del eje y. Por lo tanto, el módulo de la fuerza resultante sobre una carga que se encuentra en el otro vértice será:

F1 = Kq1ql 2

= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·3,2 · 10−6C · 1 C

(0,40 m)2= 1,8 · 105 N

F2 = Kq2ql 2

= F1 = 1,8 · 105 N

49. Respuesta sugerida:

En un dipolo, cerca de la carga positiva, las líneas son radiales y dirigidas hacia fuera. Cerca de la carga negativa también son radiales, pero dirigidas hacia dentro. Como las cargas tie-nen el mismo valor absoluto, el número de líneas que salen de una y entran a la otra es el mismo. En este caso, el campo más intenso se encuentra en la región entre cargas. Mientras que, si nos alejamos mucho, la intensidad irá disminuyendo muy rápidamente hasta hacerse prácticamente nula.


Accedemos al enlace y jugamos al juego online.

51. Datos: m = 4 · 10−14 kg; q = 4,8 · 10−19 C

La condición de equilibrio nos impone que la fuerza eléctrica debe compensar el peso:

P = Fe ⇒ m g = qE

E =m g

q=

4 · 10−14 kg · 9,8 m· s−2

4,8 · 10−19C= 8,2 · 105 N·C−1

Como q > 0, el campo eléctrico irá hacia arriba (en el sentido positivo del eje y).

q1 = q2 = 6 nC = 6 · 10−9 C; q3 = 2 nC = 2 · 10−9 C

x1 = (0,−3) cm; x2 = (0,−3) cm

52. Datos:

a) La distancia entre las cargas y el punto (4,0) es:

r = 0,042 + 0,032 m = 0,05 m

Así pues, hallamos el módulo del campo generado por cada carga:

E1 = Kq1

r 2= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

6 · 10−9C

0,05 m( )2=

= 2,16 · 104 N·C−1

E2 = Kq2

r 2= 2,16 · 104 N·C−1 = E1

Determinamos el ángulo entre la dirección del campo y la horizontal (que será el mismo para los dos casos), y los sumamos por componentes:

tg α =3

4⇒ α = 37°

E x = E1 cosα + E2 cosα = 2E1 cosα =

= 2 · 2,16 · 104 N

C· cos 37° = 3,5 · 104 N·C−1

E y = E1 sen α − E2 sen α = 0 N·C−1

E = (3,5 · 104

i + 0

j ) N·C−1

b) La fuerza vendrá dada por la siguiente expresión:F = q

E = 2 · 10−9 C · 3,5 · 104

i

N

C= 6,9 · 10−5

i

N

C

53. Datos:

q1 = 2,0 · 10−6 C; q2 = −4,0 · 10−6 C; d = 0,10 m

r =d2

= 0,05 m

E1 = Kq1

r 2= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

2,0 · 10−6 C

(0,05 m)2=

= 7,2 · 106 N·C−1

E2 = Kq2

r 2= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

4,0 · 10−6 C

(0,05 m)2=

= 1,4 · 107 N·C−1

ETotal =

E1 +

E2

ETotal = 7,2 · 106

i N·C−1 + 1,4 · 107

i N·C−1 =

= 2,2 · 107i N·C−1

— Los dos campos generados van en el mismo sentido, ya que ambas cargas son de signos contrarios. Por eso no se anulará en ningún punto del eje x.

q2 < 0

d

q1 > 0

54. Datos: v0 = 5 · 105 m· s−1; E = 50 N·C−1; e = −1,6 · 10−19 C;

me = 9,1 · 10−31 kg


238

— Primero hallamos la aceleración aplicando la segunda ley de Newton sobre el electrón:

Fe = eE = m a

a =eEm

=−1,6 · 10−19 C · 50 N·C−1

9,1 · 10−31 kg= −9 · 1012 m· s−2

— Usamos las ecuaciones del MRUA para calcular la distan-cia recorrida:

v = v0 + at = 0 ⇒ t =v0

a=

5 · 105 m· s−1

−9 · 1012 m· s−2=

= 6 · 10−8s

x = v0t +1

2at 2

x = 5 · 105 m· s−1 · 6 · 10−8 s +1

2· (−9 · 1012 m· s−2) ·

· (6 · 10−8s)2

x = 1, 4 · 10−2 m = 1,4 cm

Si la partícula fuese un protón, dado que tendría carga positi-va y mayor masa, aceleraría en vez de frenarse, pero con el módulo de la aceleración consecuentemente menor.

55. Datos:

q1 = −5,0 · 10−6 C; q2 = 2,0 · 10−6 C

d = 0,1 m; r1 = 0,3 m; r2 = 0,2 m

Calculamos el módulo del campo generado por cada carga:

E1 = Kq1

r12= 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·

5,0 · 10−6 C

(0,3 m)2= 5,0 · 105 N·C−1

E2 = Kq2

r22= 9 ⋅ 109 N·m2 ·C−2 ·

2,0 · 10−6 C

(0,2 m)2= 4,5 · 105 N·C−1

ETotal =

E1 +

E2 = −5,0 · 105

i

N

C+ 4,5 · 105

i N·C−1 =

= −5,0 · 104i N·C−1

El campo total irá dirigido hacia las cargas.

56. Datos:

E = 100 N·C−1; v = 3 · 106 m· s−1; e = 1,6 · 10−19C;

me = 9,1 · 10−31 kg

— Primero hallamos la aceleración aplicando la segunda ley de Newton sobre el electrón:

Fe = eE = m a

a =eEm

=1,6 · 10−19 C · 100 N·C−1

9,1 · 10−31 kg= 1,8 · 1013 m· s−2

— Usamos la ecuación de la velocidad del MRUA para cal-cular el tiempo de recorrido:

v = v0 + at = at

t =va=

3 · 106 m· s−1

1,8 · 1013 m· s−2= 1,7 · 10−7 s

57. Datos:

m = 5,0 g ; l = 50 cm = 0,5 m;E = 200 N · C−1; α = 30°

Fe

α

T

m · g

2

T

m · g

1

Aplicamos la segunda ley de Newton en las dos componentes:

Tx = Fe ⇒ T sen α = qE

Ty = P ⇒ T cosα = m g

⎫⎬⎪

⎭⎪

T sen α

T cosα=

qEm g

⇒ q =m g · tg α

E=

5,0 · 10−3 kg · 9,8 m· s−1 · tg 30°

200 N·C−1=

= 1,4 · 10−4 C

58. Datos:

q1 + q2 = 6,0 µC = 6,0 · 10−6 C; d = 0,10 m

F12 = F21 = 8,0 mN = 8,0 · 10−3 N

a) q1 > 0 y q2 > 0

Combinamos las dos ecuaciones que nos indica el enun-ciado y aislamos q:

F12 = Kq1q2

d2= 8,0 · 10−3 N

q1 + q2 = 6,0 · 10−6 C

⎫

⎬⎪

⎭⎪

Kq 22−6,0 · 10−6 C · q2 + F · d2 = 0

q =6,0 · 10−6 C ± (6,0 · 10−6 C)2 − 4 · K · F · d2

2 · K=

=6,0 · 10−6 C ± (6,0 · 10−6 C)2 − 4 · 9 · 109 N·m2 ·C−2 · 8,0 · 10−3 N · (3,0 m)2

2 · 9 · 109 N·m2C−2=

=4,0 · 10−6 C = 4,0 µC

2,0 · 10−6 C = 2,0 µC

⎧⎨⎪

⎩⎪

b) q1 > 0 y q2 < 0

En este caso, seguimos el mismo procedimiento, pero im-ponemos que q2 es negativa:

F12 = Kq1q2

d2= 8,0 · 10−3 N

q1 − q2 = 6,0 · 10−6 C

⎫

⎬⎪

⎭⎪

K · q 22+6,0 · 10−6 C · q2 − F · d2 = 0

q =−6,0 · 10−6 C ± (6,0 · 10−6 C)2 + 4 · K · F · d2

2 · K=

=−6,0 · 10−6 C ± (6,0 · 10−6 C)2 + 4 · 9 · 109 N·m2 ·C−2 · 8,0 · 10−3 N · (3,0 m)2

2 · 9 · 109 N·m2 ·C−2=

=1,1 · 10−6 C = 1,1 µC

7,1 · 10−6 C = 7,1 µC

⎧⎨⎪

⎩⎪


239


En el primer caso (cargas del mismo signo), la carga es repe-lida y, por lo tanto, la trayectoria se desvía hacia fuera y pode-mos ver que las líneas de campo no se unen, sino que se repelen.

Por su parte, en el segundo caso (signos contrarios), la carga masiva atrae a la positiva porque en esta situación sí que se unen las líneas de campo de las dos cargas.

Lo podemos demostrar con la expresión de la fuerza electros-tática que ejerce la carga masiva (1) sobre la otra carga (2), donde el vector unitario va de (1) a (2):

F12 = Kq1q2

r 2

u12

q2 = +q ⇒F12 = K

q1q2

r 2

u12

q2 = −q ⇒F12 = −K

q1q2

r 2

u12

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪


La velocidad de la carga no se ve afectada porque las fuerzas que actúan sobre ella debido a la presencia del campo eléctri-co son perpendiculares al sentido del movimiento y se com-pensan.

Ahora bien, las líneas de campo sí se modifican, puesto que no se pueden cortar entre ellas y, por lo tanto, se desvían un poco cuando pasa la carga.

4 SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LAS INTERACCIONES GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA Pág. 318

61. a) q y m

ANALOGÍAS DIFERENCIAS

• m crea un campo gravita-torio y q genera un campo eléctrico.

• m se mide en kilogramos (kg) y q en culombios (C).

• m > 0 siempre, mientras que q puede ser positiva o negativa.

• m es continua, mientras que q está cuantizada.

b) Fe y Fg

ANALOGÍAS DIFERENCIAS

• Lasdos fuerzassoncen-trales e inversamente pro-porcionales a r2.

• Las dos son de alcanceinfinito.

• Fe es mucho más fuerte que Fg, que solo es apreciable para cuerpos de masa grande.

• Fg siempre va en el sentido y di-rección del campo gravitatorio. Fe puede ser en sentido igual o contrario al campo eléctrico.

62. Datos: r = 5,29 · 10−11 m

Fg = Gmpme

r 2

Fg = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

·1,673 · 10−27 kg · 9,109 · 10−31 kg

(5,29 · 10−11 m)= 3,63 · 10−47 N

Fe = Ke2

r 2

Fe = 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·(1,602 · 10−19 C)2

(5,29 · 10−11 m)= 8,25 · 10−8 N

Fg = Gmpme

r 2

Fg = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·

·1,673 · 10−27 kg · 9,109 · 10−31 kg

(5,29 · 10−11 m)= 3,63 · 10−47 N

Fe = Ke2

r 2

Fe = 9 · 109 N·m2 ·C−2 ·(1,602 · 10−19 C)2

(5,29 · 10−11 m)= 8,25 · 10−8 N

SÍNTESIS Pág. 318


Los epiciclos son movimientos circulares en torno a un punto que también orbita circularmente (denominado deferente) al-rededor de otro punto. Ambos giran en el sentido de las agu-jas del reloj. Y lo hacen de modo que la distancia entre la Tierra y el Sol, y cualquier otro planeta y el Sol, se mantiene siempre constante. Ptolomeo afirmó que los planetas seguían estos epiciclos alrededor de puntos centrales que, a su vez, orbitaban de forma excéntrica alrededor de la Tierra. Con este sistema pudo predecir con bastante exactitud las posiciones de los planetas.

Por el contrario, en el modelo heliocéntrico el Sol es el centro y la Tierra pasa a ser un planeta más entre otros. El modelo copernicano también proponía trayectorias circulares, pero posteriormente, ya con la ley de gravitación, se llegó a la con-clusión de que los movimientos debían de ser elipses con el Sol en uno de los focos, en vez del centro.

64. Kepler afirmó que la constante K era la misma para cualquier planeta del sistema solar. Pero, con la ley de gravitación uni-versal de Newton, se pudo deducir que K depende de G y de la masa del Sol. Por lo tanto, depende del objeto alrededor del que se orbita.

65. Datos: h = 500 km = 5 · 105 m;

RT = 6 370 km = 6,37 · 106 m

Partiendo de que la fuerza de gravitación entre la Tierra y el satélite es la fuerza centrípeta que lo mantiene en su órbita, podemos encontrar una expresión para la velocidad:

F = FC ⇒ GMTm

r 2= m

v 2

r⇒ G

MT

r= v 2

v = GMT

r

Donde:

r = RT + h

g = GMT

RT2

⇒ MT = gRT

2

G

Lo sustituimos y calculamos la velocidad:

v =gTRT

2

RT + h=

9,8 m· s−2 · (6,37 · 106 m)2

6,37 · 106 m + 5 · 105 m= 7 608 m· s−1

Para calcular el período, lo relacionamos con la velocidad que acabamos de determinar:

v =2πrT

⇒ T =2π (RT + h)

v=

=2π (6,37 · 106 m + 5 · 105 m)

7 608 m· s−1= 5,7 · 103 s = 1,6 h


240

66. Datos: E = 150 N·C−1; me = 9,109 · 10−31 kg;

e = 1,602 · 10−19 C

a) Fg = meg = 9,109 · 10−31 kg · 9,8 m· s−2 = 8,9 · 10−30 N

Fe = eE = 1,602 · 10−19 C · 150 N· C−1 = 2,4 · 10−17 N

b) m = 1,0 g

Fg = meg = 9,109 · 10−31 kg · 9,8 m· s−2 = 8,9 · 10−30 N

Fe = P ⇒ q =m g

E=

10−3 kg · 9,8 m· s−2

150 N·C−1= 6,5 · 10−5 C

El signo de la carga debe ser negativo, ya que el campo es hacia el centro de la Tierray, por lo tanto, Fe tiene que ir hacia arriba para compensar el peso. En consecuencia: q = –6,5 · 10–5 C.

67. Datos: mp = 1800me ; r = 5,29 · 10−11 m

Imponemos la condición de igualdad entre las dos fuerzas y calculamos las respectivas masas:

Fg = Fe ⇒ Gmemp

r 2= K

e2

r 2= 8,25 · 10−8 N

G1800me

2

r 2= 8,25 · 10−8 N

me =8,25 · 10−8 N

1800 · G· r

me =8,25 · 10−8 N

1800 · 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg-2· 5,29 · 10−11 m =

= 4,4 · 10−11 kg

mp = 1800 · 4,4 · 10−11 kg = 7,9 · 10−8 kg

Evaluación (Pág. 320)

1. Órbitas de satélites, planetas, asteroides, etc.

2. a) Verdadera. Es de pequeña intensidad y disminuye mucho con la distancia, pero el campo gravitatorio generado por una masa llega a cualquier sitio.

b) Verdadera. Todo cuerpo con masa origina una fuerza de atracción a todos los cuerpos de alrededor.

c) Falsa. Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los objetos.

d) Falsa. Siempre es atractiva, ya que la masa de un cuerpo siempre es positiva.

3. a) Falso. El peso de un objeto depende de su masa, pero también de la intensidad del campo gravitatorio sobre el que esté sujeto. Por lo tanto, también depende de la dis-tancia a la que se encuentre respecto al centro del planeta y de la masa de este.

b) Falso. Según la expresión del campo gravitatorio, cuanto mayor sea la masa, mayor será la gravedad. Aunque tam-bién hay que tener en cuenta el radio del planeta.

c) Falso. En general, puede ser cierto; pero es posible que el cuerpo esté en equilibrio con otras fuerzas o que, por ejemplo, orbite alrededor del cuerpo con una aceleración centrípeta.

d) Verdadero. En el espacio el campo gravitatorio es mucho menor y, por lo tanto, el peso también:

P = m g = GmMT

r 2

4. Datos: vperihelio = 1,90 · 105 km·h−1

rp = 8,55 · 107 km; ra = 5,25 · 109 km

Considerando que la órbita de la Tierra es circular, podemos suponer que el momento angular es constante:

M = F r sen 180° = 0 ⇒ L = mrv = cte

Y, por lo tanto, relacionamos los momentos angulares del afe-lio y el perihelio para determinar la velocidad en este último punto:

La = Lp ⇒ mrava = mrpvp

va =rp

ra

vp =8,55 · 107 km

5,25 · 109 km· 1,9 · 105 km·h−1 =

= 3,09 · 103 km·h−1

5. Datos: h = 300 km = 3 · 105 m; RT = 6,4 · 106 m;

MT = 5,98 · 1024 kg

Usamos la expresión del campo gravitatorio:

r = RT + h

g = GMT

r 2

g = 6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 ·5,98 · 1024 kg

(6,4 · 106 m + 3,0 · 105 m)2=

= 8,9 m· s−2

Y, a partir de la ley universal de Newton y de la tercera ley de Kepler, calculamos el período:

T 2 = kr 3

T =4π

GMT

(RT + h)3 =

=4π

6,67 · 10−11 N·m2 ·kg−2 · 5,98 · 1024 kgT

· (6,4 · 106m + 3,0 · 105 m)3 =

= 3 078,2 s = 0,86 h

6. P = m g

P1 = m GMT

r 2

P2 = m GMT

RT2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇒P1

P2

=

1

r 2

1

RT2

=RT

r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2


241

7. a) Falsa. El sentido del campo eléctrico generado por una carga depende de su signo. Si q > 0, el campo E se aleja; si q > 0, el campo E se acerca.

b) Verdadera. Las líneas de fuerza son tangentes al campo eléctrico, que en cada punto es único, y siguen un mismo sentido.

c) Verdadera. La intensidad del campo disminuye con la dis-tancia, pero, matemáticamente, nunca llega a cero.

d) Falsa. Para que exista una fuerza eléctrica entre dos cuer-pos, deben estar cargados eléctricamente.

8. Datos: m1 = m2 = m = 10 g = 0,01 kg; α = 60°

l = l1 = l2 = 30 cm = 0,3 m

a)

F12

α

T

I

m2

T

F21 m1

P P

b) Primero calculamos la distancia entre las dos partículas:

r = 2 · l senα

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2 · 0,3 m · sen

60°

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0,3 m

Y, usando la segunda ley de Newton, calculamos el valor de la carga:

Fe = Tx ⇒ Kq2

r 2= T sen

α

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

P = Ty ⇒ m g = T cosα

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇒K

q2

r 2

m g= tg

α

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

q =m g · tg

α

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

K·

· r =0,01 kg · 9,8 m· s−2 · tg

60°

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

9 · 109 N·m2 ·C−2· 0,3 m

q = ±7,5 · 10−7 C

9. Datos: v0 = 6 · 106 m·s−1; v = 0; x = 20 cm = 0,2 m;

e = 1,6 · 10−19 C; me = 9,1 · 10−31 kg

— Determinamos la aceleración del electrón con las ecuacio-nes del MRUA:

v = v0 − at = 0 ⇒ t =v0

a

x = v0t −1

2at 2

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

x =v0

2

2a

a =v0

2

2x=

(6 · 106 m· s−1)2

2 · 0,2 m= 9 · 1013 m· s−2

— Ahora ya podemos calcular el módulo del campo eléctrico:

Fe = m a = eE

E =m a

e=

9,1 · 10−31 kg · 9 · 1013 m· s−2

1,6 · 10−19 C=

= 5,1 · 102 N·C−1

El campo eléctrico debe tener la misma dirección y el mismo sentido que la velocidad, a fin de que la fuerza eléctrica tenga así sentido contrario a ella y el electrón se frene.

10. Datos: q; − q; x1 = a; x2 = −a

Como el campo eléctrico cumple el principio de superposi-ción, el campo total en el origen de coordenadas será la suma de los campos creados por cada una de las cargas:

E1 = Kqa2

E2 = Kqa2

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

ETotal = E1 + E2 = 2 · Kqa2

Al ser cargas de signo contrario, los campos van en el mismo sentido y, por lo tanto, se suman.

11. Diferencias entre campo gravitatorio y electrostático:

GRAVITATORIO ELECTROSTÁTICO

Caracterizado por la masa.

Afecta a todos los cuerpos con masa.

Siempre produce fuerzas atractivas.

Contiene una constante universal, G.

Es débil.

Unidades: N · kg–1.

Caracterizado por la carga.

Solo afecta a los cuerpos cargados eléctricamente.

Puede producir fuerzas atractivas o repulsivas.

Constante K, que depende del medio.

Es fuerte.

Unidades: N · C–1.

Zona + (Pág. 322)

— La sonda Philae aterriza en un cometa

•Como tenían la necesidad de ahorrar combustible, tu-vieron que planificar una trayectoria que aprovechase la gravedad de la Tierra y Marte. De tal forma, que descri-bió cuatro vueltas alrededor del Sol y en cada órbita iba ganando velocidad y, por lo tanto, se iba alejando hasta alcanzar la órbita del cometa.

•Porque el impacto de la sonda con el cometa la pudo haber dañado, aunque el campo gravitatorio del cometa sea muy débil, debido a su pequeña masa.

•Objetivos:

•Investigarlacomposiciónylascaracterísticasdelco-meta.

•Comprobarsielaguadelocéanoprovienedecome-tas.

•Verificarsielaguaquellevancontienemateriaorgáni-ca y de qué tipo.


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•Esta investigación podría permitir extraer conclusiones sobre la formación del sistema solar y entender el origen de la vida en la Tierra, ya que se dice que los cometas son los objetos menos modificados del sistema solar desde su formación, aunque esto también se tendría que demostrar.

— El fuego de san Telmo

•Circunstancias y causas:

El LZ 129 Hindenburg fue un dirigible alemán que se incendió cuando aterrizaba, lo que supuso el fin de los dirigibles como medio de transporte. Uno de los motivos fue que se barnizó con óxido de hierro y polvo

de aluminio (que forman una mezcla muy inflamable) y se llenó con hidrógeno altamente inflamable y ex-plosivo.

Este hecho facilitó que, durante el vuelo, se observara fuego de san Telmo debido a que el aire estaba cargado eléctricamente (había una tormenta eléctrica) y se pren-dió fuego repentinamente.

•El rayo globular es un fenómeno natural relacionado con las tormentas eléctricas. Son descargas de distintas for-mas posibles (esféricas, ovaladas, etc.) que suelen flotar y pueden hacer ruido hasta desaparecer. Este fenómeno es todavía inexplicable e impredecible.

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BLOQUE 5. DIÁMICA 12 Interacciones gravitatoria # y ... · # y electrostática 229 BLOQUE 5. DIÁMICA En contexto (Pág. 301) a. Respuesta sugerida: — Nicolás Copérnico: Desarrolló