24
BLOQUE 7 Saberes Conocimientos » Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) mediante las graficas de funciones lineales. Identifica gráficamente si un sistema 2x2 posee una, ninguna o infinitas soluciones. Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) mediante: - Métodos numéricos y analíticos. - Métodos de reducción algebraica (suma y resta, sustitución e igualación). - Método numérico por determinantes. Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 2x2. Resuelve ecuaciones lineales II

bloque 7 matematicas

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Bloque 7 Mate

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Page 1: bloque 7 matematicas

BLO

QU

E

7 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»

• Reconocelasolucióndeunsistemadedosecuacionescondosincógnitas(2x2)mediantelasgraficasdefuncioneslineales.

• Identificagráficamentesiunsistema2x2poseeuna,ningunaoinfinitassoluciones.

• Reconocelasolucióndeunsistemadedosecuacionescondosincógnitas(2x2)mediante:-Métodosnuméricosyanalíticos.-Métodosdereducciónalgebraica(sumayresta,sustitucióneigualación).

-Métodonuméricopordeterminantes.• Ubicaeinterpretasituacionesdiversas

utilizandosistemas2x2.

Resuelve ecuaciones lineales II

Page 2: bloque 7 matematicas

BLO

QU

E

7 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Reconoceodescribe,mediantelenguajeoraloescrito,situacionesquepuedenmodelarsemediantesistemasdeecuacioneslineales2x2.

• Expresamediantesistemasdeecuacioneslineales2x2,situacionesqueanteriormentefueronmodeladasconsistemaslineales1x1.

• Trazaenunplanocartesianográficasdefuncioneslineales.

• Asocialospuntosdeintersecciónconlassolucionesdeunsistema2x2.

• Reconocegráficamentecuándounsistema2x2tieneuna,ningunaoinfinitassoluciones.

• Identificalasecuacionesdesistemas2x2queposeeninfinitassoluciones,oninguna.

• Resuelvealgebraicamente,opormediodedeterminantes,sistemasdeecuaciones2x2,seleccionando,entrelosdiversosmétodosdereducciónalgebraicayelnumérico,elmásapropiado.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunsistemadeecuaciones2x2yargumentasussoluciones.

• Elaboraointerpretagráficas,tablasomapascondistintasescalas,realizandolascorrespondientesconversionesdeunidades,alresolversituacionesdiversasqueconllevanelusodesistemasdeecuacioneslineales2x2.

• Resuelvesistemasdedosecuacionescondosincógnitas,utilizandométodosnuméricos,analíticosygráficos.

• Expresaysolucionasituacionesdiversasutilizandosistemas2x2.

• Resuelvesistemasdeecuaciones2x2empleandométodosdereducciónalgebraicaynumérica.

• Construyeideasyargumentosrelativosalasoluciónyaplicacióndesistemasdeecuaciones.

• Aprecialadiversidadyefectividaddelosmétodosderesolucióndesistemasdeecuaciones2x2.

• Valoralaaplicabilidaddelossistemas2x2enlamodelaciónysolucióndediversassituaciones.

• Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,alrealizaractividadesasignadas.

Page 3: bloque 7 matematicas

246

B7 �B7 �

Enestebloqueabordaremosel sistemadedosecuaciones lineales condosincógnitas,apartirdediversassituaciones;aplicaremosdistintosmétodosdesolución,conénfasisenlasoluciónapartirdesugráfica.

Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto:

1.¿Cuáleselenunciadoquedescribealaexpresiónalgebraica ( )22x- 3y ?

a)Ladiferenciadeldobledeunnúmeroyeltripledelcuadradodeotro.b)Ladiferenciadeldobledeunnúmeroyelcuadradodeltripledeotro.c)Elproductodeldobledeunnúmeroyelcuadradodeltripledeotro.d)Elproductodeldobledeunnúmeroyeldobledelcuadradodeotro.

2.¿Cuálopciónesunaecuaciónequivalentealaexpresión5x-2y=3?

a)5x+2y=3b)10x+4y=6c)10x-4y=6d)5x-4y=6

3.Lasolucióndelaecuación 5x-1 4x+2 2x+1- =

2 4 6es:

a) -1 b) 12

− c)12

d)1

4.Laecuacióndeunarectaestádadapor 4 23 3

y=- x+ .¿Cuáleselvalordesupendiente?

a) 43

b) 4-

3 c) 23

d) 2-

3

5.Tresllavesllenanundepósitodeaguaendiferentestiempos,cadaunaen40, otra en 60 y la última en120min.Siseabrenlastresllavessimultáneamente,¿cuántosminutostardaránenllenareldepósito?a) 10 b) 20 c) 30 d) 73

6.¿Aquéllamassistemadedosecuacioneslinealescondosincógnitas?_________

7.¿Quéentiendesporresolverunsistemadeecuacioneslineales2 x2?_____________

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

Page 4: bloque 7 matematicas

B7 �

247

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

8. Los sistemas de ecuaciones,de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,

pueden ser resueltos por varios métodos, ¿cuáles métodos de soluciónconoces? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

9. Un estudiante gastó $100.00 al adquirir ocho artículos de papelería entrelibretasybolígrafos,sielcostodecadalibretaesde$17.00ydecadabolígrafode$5.00 elsistemadeecuacionesquerepresentadichoproblemaes:

a)l b 85l 17b 100+ =+ =

b)l b 817l 5b 100+ =

+ =

c)l b 1005l 17b 8+ =+ =

d)l b 10017l 5b 8+ =

+ =

10.Delproblemaanterior,¿cuántosartículoscompróelestudiantedecadauno?

Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar elsistemadeecuacionesquemodelacadaunadelassituacionesqueacontinuaciónseplantean,asícomosurespuestacorrespondiente.

1.StevenyRamséscaminabanjuntosllevandolibrosdeigualpeso.SiSteventomaraunlibrodeRamsés,sucargaseríadeldoble.Encambio,siRamséstomaraunlibrodeSteven,suscargasseigualarían.

¿Cuántoslibrosllevacadauno?

a)Steven4yRamsés6b)Steven5yRamsés1c)Steven6yRamsés3d)Steven7yRamsés5

Actividad introductoria

Page 5: bloque 7 matematicas

248

B7 �B7 �2.JuanCarlosquiereingresaraunaescueladenataciónytieneinformacióndelcostodedosdeellas:• LaescuelaAnocobrainscripciónycobraunamensualidadfija.• LaescuelaBcobrainscripciónyhastaelcuartomesempiezaacobrar,conunacolegiaturaconstante.

Loanteriorlomuestralagráfica:

¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaqueindicaigualcostoenambasescuelasapartirdelnúmerodemeses?

a) 400(m – 4) = 2700b) 1200 + 300m = 400 (m – 4) + 700 c) 400(m – 4) + 700 = 300md) 700 – 300(m – 4) = 400m

Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.

Hemosestudiadoenelbloqueanterior lasecuacionesdeprimergradoconuna y dos incógnitas; ahora abordaremos un sistema de dos ecuacionessimultáneascondosincógnitaselcualsedefinecomosigue:

Unsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasseformacondosecuacionesdeprimergradocondosincógnitascomosigue:

SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Page 6: bloque 7 matematicas

B7 �

249

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

a1x+b1y=c1

a2x+b2y=c2

dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c

Elsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitastambiénesllamadosistemadedimensiones2 x 2.Lasolucióndelsistema(x,y)sonlosvaloresdelasvariablesquesatisfacensimultáneamenteambasecuaciones.

Deacuerdoconlasolucióndelsistema,éstesedeterminacomo:

Sistema compatible determinado, si la solución del sistema es la parejaordenada(x,y).Sistemacompatibleindeterminado,sitieneunainfinidaddesoluciones.Sistemaincompatible,sinotienesolución.

Con los sistemasdeecuaciones simultáneas lineales condos incógnitas, esposiblemodelardiversassituaciones.

Ejemplos1.Encontrardosnúmeroscuyasumasea10ysudiferencia2.

PlanteamientoalgebraicoUnnúmero:xOtronúmero:yLasumadeestosnúmerossea 10:x + y = 10Ysudiferencia2:x – y = 2

Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:x y 10x y 2+ =

− =2. Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrode8años,laedaddePaola

doblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?

Planteamientoalgebraico:EdadactualdeCarmen:xEdadactualdePaola:yEdaddeCarmen,dentrode8años:x+8EdaddePaola,dentrode8 años:y+8Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen: y = x + 27,obien,

x – y = –27Dentrode8años,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen:y + 8 = 2(x + 8),obien, 2x – y = –8

Sistemadeecuacionesquemodelalasituación: x y 272x y 8− = −

− = −

Page 7: bloque 7 matematicas

250

B7 �B7 �Para adquirir la destreza necesaria en la modelación de sistemas de ecuaciones,es importante que se ejercite y practique sobre el tema. Encuentra el sistema deecuacionesquemodelacadaunadelassituacionessiguientes.

1. Paolatiene 27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrode8años,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?

2. ElpapádeJuliopesa42kgmásqueJulio;silosdosjuntospesan138kg,¿cuántopesacadauno?

3. Laedaddeunhijomás la tercerapartede laedaddelpadresuman22años.Dentrode 6años,laedaddelpadreexcederáen10añoseldobledelaedaddelhijo.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?

4. Un cohete y su combustible pesan juntos 5200 kg. Después de que se haya

gastadounacuartapartedelcombustible,elcoheteyelcombustiblerestantepesan4600kg.¿Cuáleselpeso,enkilogramos,delcohete?

5.Dentrodelaciudad,unautomóvilrinde6km/litro;encambio,encarreterarinde8.5km/litro.Sielautomóvilconsumió90litrosenunrecorridode690km,¿quépartedelrecorridohizoenlaciudad?

6. Santiagoes4vecesmayorqueJuan,yen 4añosmássólotendráeldobledeedad.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?

7. En una alcancía hay $1305.00 en 150 monedas de $5.00 y $10.00. ¿Cuántasmonedassonrespectivamentede$5.00 y $10.00?

8. Hace seis años la edad de Ricardo era32 de la edad de su novia y dentro

de seis años, cuatro veces la edaddeRicardo será cinco veces la edadde sunovia.¿Cuálessonlasedadesactualesdecadauno?

9. Pedro le da a Juan tres canicas para tener ambos elmismo tanto, porque siJuanledaaPedrotrescanicas,éstetendríacuatroveceslasdeJuan.¿Cuántascanicastienecadauno?

Ahora,encontradoelsistemadeecuacionesquemodelaciertasituación,esprecisoresolverloparadarsoluciónalmismo;hayvariosmétodosalgebraicosdesolución,mismosqueabordaremosacontinuación.

Actividad

Page 8: bloque 7 matematicas

B7 �

251

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes

Losmétodosalgebraicosdesolucióndeunsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasqueabordaremosenestecursoson:sumayresta,sustitución,igualaciónydeterminantes.Paracualquiermétodoqueseaplique,lasolucióndelsistemaeslamisma,porlocual,paraencontrarlasolucióndeunsistema,sesugiereelegirelmétodoqueconduzcaaprocesosalgebraicosmássimples.

A continuación se describe cada uno de estosmétodos y se indica cuándoelegircadauno,segúnelsistemadeecuacionesplanteado.

Método de suma y resta

Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneas linealescondos incógnitasdelaforma:

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesumayresta,delaformasiguiente:

1. Observamossienelsistemasetienentérminossimétricosparalamismavariable; si es así, continuamos al paso dos.De otramanera, debemosmultiplicarporunnúmerounade lasecuacionesdel sistema,oambas,de talmanera que se obtengan coeficientes simétricos para una de lasincógnitas.

2. Efectuamos la suma de las ecuaciones, atendiendo que los términossimétricosseanulen,paraobtenerasíunaecuacióndeprimergradoconunaincógnita.

3. Resolvemosestaecuaciónyencontramosasíelvalordeunaincógnita.

4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado en el paso anterior enalguna de las ecuaciones del sistema, y obtenemos nuevamente unaecuacióndeprimergrado,peroconlaotraincógnita,lacualtambiéndeberesolverse,paraencontrarelvalordelaotraincógnita.

5. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4,formandolapareja(x,y);conellos,haremoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.

Ejemplos

Acontinuaciónseresuelvendossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas, por elmétodode sumay resta, siguiendo cadaunode los pasos antescitados.

Unpastorledijoaotro:«Siteregalounademisovejas,tútendráseldobledelasqueyotengo.Perositúmedasunadelastuyastendríamoslasmismas».¿Cuántasovejasteníancadauno?

Si al efectuar la suma delasecuacionesseobtiene:

1 1 1

2 2 2____________________

a x b y c

a x b y c

+ =+ =

0x 0y c ,c 0+ = ≠

elsistemanotienesolución.Siresulta

1 1 1

2 2 2____________________

a x b y c

a x b y c

+ =+ =

0x 0y 0+ =

elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

Page 9: bloque 7 matematicas

252

B7 �B7 �I.

( )( )

x y 10 1x y 2 2+ = − − −

− = − − −

1.Seobservaqueloscoeficientesdelavariableysonsimétricos.Luegoseefectúaelsiguientepaso.

2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.

x y

x y

x

+ =

− =

=

10

2

2 12

3.Resolviendolaecuación2x = 12,tenemos:

12x 6

2= =

4.Elvalordex = 6 sesustituyeen(1):

(6) + y = 10Donde: y = 10 – 6 = 4

5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10

6 4 2+ =

− =

II.3 1 1

4 9 2x y

x y− =+ =

( )( )

1. Paraquelostérminosconlavariableytengancoeficientessimétricos, semultiplica(1) por 4,dedonde:

12 4 4 14 9 2

x yx y− =+ =

( )( )

2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.

12 4 4

4 9

13 13

x y

x y

x

− =

+ =

=

3.Resolviendolaecuación13x = 13,tenemos:

x = =1313

1

Page 10: bloque 7 matematicas

B7 �

253

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Sialefectuarseelpaso2yresolverselaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = c o 0y = c,conc ≠ 0,entonceselsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0 o 0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones..

4.Elvalordex=1sesustituyeen(1):

3(1) – y = 1

Donde:

– y = 1– 3

– y = – 2

y = 2

5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).

Comprobación:

( )( )

3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Estemétododesumayrestadebeelegirsecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitastengacoeficientessimétricosenlostérminosdelamismaincógnita.

Método de sustitución

Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:

a1x+b1y=c1

a2x+b2y=c2

dondex yy son las incógnitas y a1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces, la soluciónquecorrespondealparordenado(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesustitucióndelaformasiguiente:

1.Elegimosunadelasecuacionesdelsistemaydespejamosenellaunadelasvariables(seprefiere,silahay,ladecoeficienteuno).

2. Eldespejeobtenidodelpasoanteriorlosustituimosenlaotraecuacióndelsistema,quedandounaecuaciónconunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordeunaincógnita.

3.Elvalorencontradoessustituidoeneldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.

4. Lasolucióndelsistemasonlosvaloresobtenidosenlospasos3 y 4,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.

Page 11: bloque 7 matematicas

254

B7 �B7 �Ejemplos

A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales condosincógnitas,porelmétododesustitución,siguiendocadaunodelospasosarribacitados.(Conlafinalidaddemostrarquelasolucióndelsistemaeslamismaalaplicarcualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).

I.

( )( )

x y 10 1x y 2 2+ = − − −

− = − − −

1.Seeligedespejarxenlaecuación(1),donde:

x = 10 – y2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(2),seobtiene: (10 – y) – y = 2

Resolviendolaecuacióntenemos:10 – 2y = 2 – 2y = 2 – 10

8y 4

2−

= =−

3.Sustituyendoy= 4eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:

x = 10 – (4) = 6

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).

Comprobación:

6 4 106 4 2+ =

− =

II.( )( )

3x y 1 1x 4y 9 2

− = + =

1.Seeligedespejarxenlaecuación(2),dedonde:

x = 9 – 4y 2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(1)seobtiene:

3(9 – 4y) – y = 1Alresolverestaecuacióntenemos:27 – 12y – y = 1

–13y = 1 – 27

26y 2

13−

= =−

Page 12: bloque 7 matematicas

B7 �

255

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

3.Sustituyendoy = 2 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:

x = 9 – 4(2) = 9 – 8 = 1

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación:

( )( )

3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Estemétodode sustitucióndebeelegirse cuandoel sistemadeecuacionessimultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga, en alguna de lasecuaciones,porlomenos,untérminoconcoeficienteuno.

Método de igualación

Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodeigualación,delaformasiguiente:

1. Despejamoslamismaincógnitaenambasecuaciones.

2. Losdespejesobtenidosse igualanentresí,quedandounaecuaciónenunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordelaincógnita.

3. Elvalorencontradosesustituyeenunodelosdosdespejesobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.

4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos2 y 3,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente

Ejemplos

Ahoraresolvemoslossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas,por el método de igualación, siguiendo cada uno de los pasos indicados en elprocedimientoanterior.(Nuevamente,parareafirmarquelasolucióndelsistemaeslamismaaplicandocualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).

I.( )

( )x y 10 1x y 2 2+ = − − −

− = − − −

1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):

Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = co0y = c,conc≠ 0,elsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0o0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

Page 13: bloque 7 matematicas

256

B7 �B7 � De (1): x = 10 – y

De (2): x = 2 + y

2.Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:

10 – y = 2 + y

Resolviendolaecuacióntenemos: – 2y = 2 – 10

8y 4

2−

= =−

3.Sustituyendoy=4eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:

x = 10 – (4) = 6

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10

6 4 2+ =

− =

II.( )( )

3x y 1 1x 4y 9 2

− = + =

1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):

De (1): 1 yx

3+

=

De (2): x = 9 – 4y2. Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:

1 y9 4y

3+

= −

Resolviendolaecuacióntenemos:

31

33 9 4

+

= [ − ]y

y

1 + y = 27 – 12y

13y = 26

26y 2

13= =

Page 14: bloque 7 matematicas

B7 �

257

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

3. Sustituyendoy = 2eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:

1 2 3x 1

3 3+

= = =

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación: ( )

( )3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Estemétododeigualaciónseeligecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimer grado con dos incógnitas tenga los coeficientes de los términos de ambasecuacionesdistintosdeuno.

Método por determinantes

Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicopordeterminantes,delaformasiguiente:

1 11 2 2 1

2 2

a bD a b a b

a b= = − , 1 1

x 1 2 2 12 2

c bD c b c b

c b= = − , 1 1

y 1 2 2 12 2

a cD a c a c

a c= = −

SiD≠0,lasolucióndelsistemaesúnicayseencuentraalefectuarlasdivisiones:

xDx

D= yD

yD

=

Ejemplos

Denuevacuenta,seresuelvenlosmismossistemasdelejemploanterior,aplicandoelmétodopordeterminantes.

I.x y 10x y 2+ =

− =

Seresuelvenlosdeterminantes:

( )( ) ( )( )1 1

D 1 1 1 1 1 1 21 1

ℵℵℵℵ−

SiD=0,Dx≠ 0yDy≠0elsistemanotienesolución.SiD=0,Dx=0 yDy=0elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

Page 15: bloque 7 matematicas

258

B7 �B7 �( )( ) ( )( )x

10 1D 10 1 2 1 10 2 12

2 1= = − − = − − = −

( )( ) ( )( )y

1 10D 1 2 1 10 2 10 8

1 2= = − = − = −

Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:

xD 12x 6

D 2−

= = =−

yD 8y 4

D 2−

= = =−

Luego,lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación:

6 4 106 4 2+ =

− =

II.( )( )

3x y 1 1x 4y 9 2

− = + =

Seresuelvenlosdeterminantes:

( )( ) ( )( )3 1

D 3 4 1 1 12 1 131 4−

= = − − = + =

( )( ) ( )( )x

1 1D 1 4 9 1 4 9 13

9 4−

= = − − = + =

( )( ) ( )( )y

3 1D 3 9 1 1 27 1 26

1 9= = − = − =

Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:

xD 13x 1

D 13= = = yD 26

y 2D 13

= = =

Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).

Comprobación: ( )( )

3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Elmétodopordeterminantespuedeaplicarseentodosistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitas.

Otra formade obtener la solución de un sistemade ecuaciones lineales esa partir de la gráfica del sistema en el plano cartesiano, como veremos acontinuación.

Manosydedos.Enunamanohaycincodedos,endos manoshay10dedos.¿Cuántosdedoshayen10manos?

Page 16: bloque 7 matematicas

B7 �

259

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas

Lagráficadeunsistemadeecuacioneslinealescondosincógnitasseobtienetrazandoenunmismoplanocartesianoambasecuaciones.

Existentrescasosdesolucióndelsistema:

• Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, lasolucióndelsistemaeslacoordenada(x,y),puntodeintersección.

• Cuandolasrectastrazadassonparalelas,elsistemanotienesolución.• Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el

sistematieneunainfinidaddesoluciones.

Ejemplos

Representar gráficamente los sistemas que se indican,mismos que coinciden conlossistemasquesehanresueltoenlosejemplosanterioresalaplicar losdiferentesmétodosalgebraicosyqueahora,conelmétodogeométrico,podemosvisualizar:

I.( )

( )1

2

y 10 xx y 10y x 2x y 2

= − − − −+ = → = − − − −− =

Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.

Tabulación:

x y = 10 – x P(x, y)4 y = 10 – (4) = 6 (4, 6)5 y = 10 – (5) = 5 (5, 5)6 y = 10 – (6) = 4 (6, 4)

7 y = 10 – (7) = 3 (7, 3)

x y = x – 2 P(x, y)4 y = (4) – 2 = 2 (4, 2)5 y = (5) – 2 = 3 (5, 3)6 y = (6) – 2 = 4 (6, 4)7 y = (7) – 2 = 5 (7, 5)

Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(6, 4),elcualeslasolucióndelsistema.

Comprobación: 6 4 106 4 2+ =

− =

Page 17: bloque 7 matematicas

260

B7 �B7 �II.

( )

( )1

2

9 xx 4y 9 y

43x y 1 y 3x 1

−+ = = − − − → − = = − − − −

Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.

Tabulación:

x y = (9 – x )/4 P(x, y)–3 y = (9 – (–3) )/4 = 3 (–3, 3)1 y = (9 – (1) )/4 = 2 (1, 2)3 y = (9 – (3) )/4 = 1.5 (3, 1.5)5 y = (9 – (5) )/4 = 1 (5, 1)

x y = 3x – 1 P(x, y)0 y = 3(0) – 1 = –1 (0, –1)1 y = 3(1) – 1 = 2 (1, 2)2 y = 3(2) – 1 = 5 (2, 5)3 y = 3(3) – 1 = 8 (3, 8)

Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(1, 2),elcualeslasolucióndelsistema.

III.Elsistemaquesepresentaacontinuaciónseresuelveporlosmétodosalgebraicosdesumayrestaeigualación,observaquenotienesolución:

( )( )

2x 3y 7 14x 6y 10 2

+ = − − − + = − − −

Método de suma y resta

Semultiplicapor–2laecuación(1),paraobtener:

( )( )

4x 6y 14 14x 6y 10 2− − = − − − − + = − − −

Alsumarestasecuacionessetiene:

Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tienesolución.

Niñosymoscas.Sitresniñoscazantresmoscasentresminutos.¿Cuántotardarántreintaniñosencazartreintamoscas?

Page 18: bloque 7 matematicas

B7 �

261

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Métododeigualación

Sedespejax,enambasecuaciones:

De(1): 7 3yx

2−

=

De(2): 10 6yx

4−

=

Aligualarestosdespejes,tenemos:

7 3y2− = 10 6y

4−

Donde:

7 3y 10 6y4

2 414 6y 10 6y

0y 4

− − = − = −

= −

Lo cual indica, por unade lasobservaciones antesdada, queel sistemanotienesolución.

Acontinuaciónsehacelarepresentacióngeométricadelsistemaanterior.

( )

( )

1

2

7 2xy2x 3y 7 3

4x 6y 10 10 4xy

6

− = − − − + = → + = − = − − −

Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.

Tabulación:

x y = (7 – 2x )/3 P(x, y)–4 y = (7 – 2(–4) )/3 = 5 (–4, 5)–1 y = (7 – 2(–1) )/3 = 3 (1, 2)0 y = (7 – 2(0) )/3 = 2.3 (0, 2.3)2 y = (7 – 2(2) )/3 = 1 (2, 1)

x y = (10 – 4x)/6 P(x, y)–2 y = (10 – 4(–2) )/6 = 3 (-2, 3)0 y = (10 – 4(0) )/6 = 1.6 (0, 1.6)1 y = (10 – 4(1) )/6 = 1 (1, 1)4 y = (10 – 4(4) )/6 = –2 (4, –2)

Enelsistema

3 59 3 15

x yx y+ =+ =

ambasecuacionesrepresentanlamismarecta.luegotodoslospuntosdeunacoincidenconlospuntosdelaotrateníendoasí,unainfinidaddesoluciones

Page 19: bloque 7 matematicas

262

B7 �B7 �Comopuedesobservarlasrectassonparalelas(nohaypuntodeintersección),porlocualseconcluyequeelsistemanotienesolución.

IV.Resolverlasituaciónqueacontinuaciónseindica,alaplicarunmétodoalgebraico,yhacerlarepresentacióngráficadelsistemavisualizandolasolución.

Danielfuealalmacénypagóportres camisasycincotrajes$4180.00,mientrasquesupapápagópornuevecamisasyocho trajes$6940.00.Silostrajesylascamisasquecomprócadaunotienenelmismoprecio,¿cuántodebiópagarelabuelitoqueenesemomentolosacompañabapordoscamisasydostrajes?

Planteamientoalgebraico

Costodecadacamisa:xCostodecadatraje:ySepagóportrescamisasycincotrajes$4180.00: 3x + 5y = 4180Sepagópornuevecamisasyochotrajes$6940.00: 9x + 8y = 6940

Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:3x 5y 41809x 8y 6940

+ = + =

Porelmétododeigualación:

( )

( )

4180 3xy 13x 5y 4180 5

9x 8y 6940 6940 9xy 2

8

− = − − −+ = → + = − = − − −

Seigualanlosdespejes(1) y (2)yseresuelvelaecuación:

4180 3x 6940 9x5 8

4180 3x 6940 9x40

5 833440 24x 34700 45x

21x 1260x 60

− −=

− − = − = −

==

Sesustituye x = 60en4180 3x

y5−

= ,seobtiene:

( )4180 3 60y

54180 180

y5

4000y 800

5

−=

−=

= =

Page 20: bloque 7 matematicas

B7 �

263

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Comprobación: ( ) ( )( ) ( )

3 60 5 800 41809 60 8 800 6940

+ = + =

Respuesta:sehaencontradoqueunacamisacuesta$60.00yuntraje$800.00.Luego,despuésdehacerlaoperación2(60) + 2(800) = 1720,elabuelitodebiópagarpordoscamisasydostrajes$1720.00.

Gráficadelsistema.

( )

( )

1

2

4180 3xy3x 5y 4180 5

9x 8y 6940 6940 9xy

8

− = − − −+ = → + = − = − − −

Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.

Tabulación

x y P(x, y)–100 y = 896 (–100, 896)

60 y = 800 (60, 800)400 y = 2980 (400, 2980)

900 y = 296 (900, 296)

x y P(x, y)–200 y = 1092.5 (–200, 1092.5)

60 y = 800 (60, 800)

500 y = 305 (500, 305)770 y = 1.25 (770, 1.25)

Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes (60, 800),elcualeslasolucióndelsistema.

I.Resuelvelossiguientessistemasdeecuacionessimultáneaslineales,yeligeparacadaunodeellos,elmétodoalgebraicomásapropiado,yparacadaunodelossistemasconstruyelagráficayverificalasolución.

Actividad

Page 21: bloque 7 matematicas

264

B7 �B7 �1.

3x y 11x 4y 11

+ = + = −

2. x y 0x 4y 15− + =

+ =

15. 2x 5y 208x 3y 46

+ = − + = −

16. x 4y 5002x y 300

+ = + =

3. x 5y 5

2x 5y 15− =

− + = −

4. 4x 5y 22x 7y 11

− = + = −

17. 2x y 1100y 2x 100

+ = − = −

5. 2x 6y 05x 3y 18

− = + =

18. x 78 y

2y 113 x= −

= −

6. 10x 12y 16x 3y 4

− = + =

19. 40x 1190 34y

11y 301 8x− = −

− = −

7. 8x 5y 4

4x 10y 5− + =

− = −20.

x 3 y 212 5 5

x 2y 12

5 3

+ + = + + =

8.

4x y 54x y 5− + = − = −

9. 7x 2y 114x 4y 1

+ = + =

21. 3x 1 y 1

132 3

4x 8 3y 40

4 5

+ − + = − + − =

10. 11x 12y 111x 4y 15

+ =− + =

22.

( ) ( )

( ) ( )

2 x 4 6 3y 451

3 25 x 4 2 3 6y

32 12

+ −+ = −

− − − = −

11. 2 4 6

2 3x yx y

+ =− − = −

12. 21x 40y 1414x 10y 2

+ = − =

23.

x y 87 2 7

x y 67 2 7

+ = − = −

13. 1 1x y 20

2 31 1

x y 04 6

+ = − =

24.

x y 12 9 2

2y 1x

9 4

+ = + =

14. x y 15 2 5

x y 14 8 10

+ = − =

25. 3x y 14 3 7

3x y 18 6 14

+ =− − = −

Page 22: bloque 7 matematicas

B7 �

265

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

II. Encuentra la solución a las situaciones que modelaste antes por unsistema de ecuaciones; utiliza el método algebraico más apropiado,compruebalasoluciónyrespondecorrectamentecadauna.

1. Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrodeochoaños,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?

2. ElpapádeJuliopesa42 kgmásqueJulio;silosdosjuntospesan138 kg,¿cuántopesacadauno?

3. Laedaddeunhijomáslatercerapartedelaedaddelpadresuman22 años.Dentrodeseisaños, laedaddelpadreexcederáendiezañoseldoblede laedaddelhijo.¿Cuáles laedadactualdecadauno?

4.Uncoheteysucombustiblepesanjuntos5200 kg.Despuésdequesehayagastadouna cuartapartedel combustible, el cohete y elcombustiblerestantepesan 4600kg.¿Cuáleselpeso,enkilogramos,delcohete?

5. Dentrodelaciudad,unautomóvilrinde6km/litro;encambio,encarretera rinde8.5 km/litro.Sielautomóvilconsumió90 litrosenunrecorridode690km,¿quépartedelrecorridohizoenlaciudad?

6.SantiagoescuatrovecesmayorqueJuan,yencuatroañosmássólotendráeldobledeedad.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?

7. Enunaalcancíahay$1305.00en150 monedasde$5.00 y $10.00.¿Cuántasmonedassonrespectivamentede$5.00 y $10.00?

8. Haceseisaños laedaddeRicardoera 32de laedaddesunoviay

dentrode6años,cuatroveceslaedaddeRicardoserácincoveceslaedaddesunovia.¿Cuálessonlasedadesactualesdecadauno?

9. Pedro ledaaJuantrescanicasparateneramboselmismotanto,porquesiJuanledaaPedrotrescanicas,éstetendríacuatroveceslasdeJuan.¿Cuántascanicastienecadauno?

10. Lasumadelasdoscifrasdeunnúmeroesnueve,perosilacifradelasdecenasseaumentaenunoyladelasunidadessedisminuyeenuno,lascifrasdelnúmeroseinvierten.¿Cuáleselnúmero?

Page 23: bloque 7 matematicas

266

B7 �B7 �

Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinandoen cadaunade ellas: sistemade ecuaciones,métodode solución ygráfica.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.

1.JessylediceasuhermanoJulio:“Simedas$50.00detudinero,yotendréeldoblededineroquetendrástú”,sientreamboshermanostienen$600.00,¿cuántotienecadauno?

a)Julio:$250Jessy: $350

c) Julio: $200 Jessy: $300

b) Julio:$350Jessy:$250

d)Julio:$300Jessy:$200

2.LacantidaddedineroquetienenIselayRicardosuma$4500,ladiferenciadeloquetieneIselaconeldobledeloquetieneRicardoes$2100.¿Cuántotienecadauno?

a)Isela:$800Ricardo:$5300

c)Isela:$800Ricardo:$3700

b)Isela:$3700Ricardo:$1800

d)Isela:$3700Ricardo:$800

3. Ana y Paola pesaban5 kg y 6 kg, respectivamente. El peso de cada una se haincrementando1kgcadamesdurante5meses.¿Cuáleselsistemadeecuacionesquerepresentaestasituación?Observalatabla.

Mes (x) Ana PaolaPrimero 6 7Segundo 7 8Tercero 8 9Cuarto 9 10Quinto 10 11

a)A =5-nP =6-n

c)A =5+n

P =6-n

b)A =5+nP =6+n

d)A =5-nP =6+n

4. Karencompra1chocolateydospaletascon $4.00;Karimecompra3chocolatesyunapaletacon$7.00. AlllegaracasasuhermanaLuzdelCarmenlespregunta,¿cuántocostócadadulce?a)Chocolate:$1Paleta:$2

c)Chocolate:$4Paleta: $2

b)Chocolate:$2Paleta:$1

d)Chocolate:$3Paleta:$1

Autoevaluación

Page 24: bloque 7 matematicas

B7 �

267

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Evaluación FormativaAutoevaluación

Resuelvecorrectamentelasiguientesituación.

Enunexamende40preguntas,Lucíahaobtenido7 decalificación.Cadaaciertovale1puntoycadaerrorleresta2puntos.

Apartirdeestasituaciónrealizaloquesepide:

¿Cuáleselsistemaquemodelalasituaciónplanteada?

a)x y 403x 2y 10

+ =− =

c) x y 33x 2y 8

+ =− =

b) x y 24x 4y 16

+ =− =

d) x y 40x - 2y 7

+ ==

¿CuántosaciertosyerrorestuvoLucy?Aciertos:__________Errores:__________

Enunplanocartesiano,graficalasrectasdelsistema.

Escala de Rango

Nombredelalumno:Escala de valoración:

0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituaciónplanteada

Eligióelsistemacorrectamente

Contestócorrectamentelaspreguntas

Realizólagráfica

TOTAL:

CalTotal

=10

12Observaciones:Nombredequienrevisó: