PRESENTACIÓN

ASPECTOS DE LA DIDÁCTICA

Comprender el problema:apenas un primer pasopara obtener la solución

SITUACIONES DE APRENDIZAJE

Mediciones efectivas en el aula

RESPUESTAS A PROBLEMAS

De palillos (réplica)La pista maravillosaCírculos inscritos en cuadrados

PROBLEMAS PARA RESOLVER

La razón de las áreas del cuadradoPatrones numéricos

¿DE QUÉ TRATA?La comprensión del cerebro

PROGRAMA DE SECUNDARIA

A DISTANCIA PARA ADULTOS (SEA)

BOLETÍN SEMESTRALNÚMERO 12

Enero 2004

CONTENIDO

En este boletín continuamos presentando registros de observación declases. La intención es abrir un espacio para analizar experiencias do-centes. En la lectura de los registros podremos identificar algunas denuestras actitudes y formas de trabajo para tratar de mejorar nuestrapráctica docente mediante una actitud crítica constructiva.

Reiteramos la invitación a todos los maestros, particularmente a losasesores de matemáticas de los Centros de Maestros, a los maestros dematemáticas de las Escuelas Normales, de Educación Preescolar, Pri-maria y Secundaria, a utilizar como material de análisis y discusión losregistros de observación que se presentan en el apartado “Situacionesde aprendizaje”, los artículos de la sección “Aspectos de la didáctica”y las lecturas que se recomiendan en “¿De qué trata?”.

Aprovechemos algunas de las reuniones colegiadas, de asesoría,consejos técnicos y sesiones de clase con los estudiantes de las Escue-las Normales para realizar este tipo de actividades. Esperamos sus co-mentarios y aportaciones en relación con los diferentes apartados delboletín.

Que el año 2004 les permita alcanzar sus propósitos es el deseo delequipo técnico pedagógico del Área de Matemáticas de la DirecciónGeneral de Materiales y Métodos Educativos.

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Un reto más es una publicación de la Dirección Generalde Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaríade Educación Básica y Normal de la Secretaría deEducación Pública.

COORDINACIÓN

Hugo Balbuena Corro

COLABORADORES

Martha Dávila VegaFortino Escareño SoberanesMónica Schulmaister LagosMaría Teresa López CastroThelma Karina Salgado PeñaBertha Alicia Juárez GodínezMaría Esther Amador GómezLuis Bedolla MorenoVíctor García MontesEsperanza Issa GonzálezOlga Leticia López EscuderoMaría de los Ángeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos OrellanaDonají Revuelta Toledo MedinaMauricio Rosales ÁvalosLaurentino Velázquez Durán

COORDINACIÓN EDITORIAL

Elena Ortiz Hernán Pupareli

CUIDADO EDITORIAL

Alfredo Giles-DíazHéctor Veyna

PRODUCCIÓN EDITORIAL

Alejandro Portilla de Buen

DISEÑO ORIGINAL

María Gabriela Barahona

FORMACIÓN

Julio César Olivares Ramírez

Sus participaciones para la elaboración del boletínUn reto más pueden enviarlas a las siguientes direcciones:

hbalbuen@sep.gob.mxProfesor Hugo Balbuena CorroDirector del Área de Matemáticas

mteresal@sep.gob.mxProfesora María Teresa López CastroSubdirectora del Área de Matemáticas. Preescolar

mdavila@sep.gob.mxProfesora Martha Dávila VegaSubdirectora del Área de Matemáticas. Primaria

fortinoe@sep.gob.mxProfesor Fortino Escareño SoberanesSubdirector del Área de Matemáticas. Secundaria

moni@sep.gob.mxProfesora Mónica Schulmaister LagosSubdirectora del Área de MatemáticasSecundaria a Distancia para Adultos

Avenida Cuauhtémoc 1230, cuarto piso,colonia Santa Cruz Atoyac,delegación Benito Juárez,C.P. 03310, México, D.F.

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COMPRENDER EL PROBLEMA:APENAS UN PRIMER PASO PARA OBTENER LA SOLUCIÓN

ALICIA ÁVILA STORER

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

BREVE INTRODUCCIÓN

Hace ya diez años que la reforma a la ense-ñanza de las matemáticas se introdujo ennuestras escuelas. Desde entonces, los maes-tros han hecho esfuerzos por apropiarse delas propuestas oficiales y han emprendidoacciones orientadas a que los alumnos resuel-van problemas para aprender las matemáti-cas, pues ésta es una de las ideas principalesintroducidas con la reforma de 1993. Sinembargo, los resultados de diferentes prue-bas de lápiz y papel aplicadas a estudiantesmexicanos nos colocan en gran desventajaen comparación con otros países. Es conve-niente entonces reflexionar sobre los proce-sos de enseñanza y aprendizaje que tienenlugar en el salón de clase. Específicamentesobre el trabajo que se realiza con los pro-blemas pues, como el título lo anuncia, nocon comprender los problemas está todoresuelto.

NO BASTA COMPRENDER PARA OBTENER LA

RESPUESTA CORRECTA

Una preocupación cotidiana de muchos pro-fesores es la comprensión de los problemasque les proponen a los niños. Comprenderun problema, según han planteado los estu-diosos de este tema, es percibir que el enun-ciado relata una cierta situación y expresadeterminadas relaciones entre los datos, peroes también comprender que el enunciadoconduce a una “acción” que implica reflexióny toma de decisiones.1 Desde esta perspecti-va, la solución es resultado de la ejecuciónde un proyecto que articula tanto la compren-sión del problema como las técnicas operato-rias, y el sentido que éstas adquieren endeterminada situación, para obtener dicha so-lución. De la validez de estas afirmaciones

1 Para un tratamiento amplio de estas ideas, véase Marie-Lise Peltier

(2003).

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dan constancia las respuestas dadas a los pro-blemas que en seguida analizamos y quetomamos de una investigación realizadapor Irma Saiz con alumnos de quinto y sextogrados.2 Entre otros, en esa investigación, seobtuvieron los siguientes resultados.

que los anotados en la columna que presentalas respuestas correctas a cada uno de los dosproblemas. Esta diferencia de resultados nospermite constatar lo que dijimos antes: com-prender el problema es apenas el primer pasoen la obtención de la respuesta correcta.

Problema Sin Reconocimiento Procedimientos Cálculo Cálculo Respuestahacer (de que se trata de inadaptados correcto incorrecto correcta

(porcentaje) un problema de (porcentaje) (porcentaje) (porcentaje) (porcentaje)división)

(porcentaje)

Masas 6.70 82.42 10.80 67.80 14.60 0.00

Vino3 6.00 88.88 5.05 19.20 69.68 19.20

En el cuadro se observa que algunos niñosdejaron los problemas “sin hacer”, o que otrosutilizaron procedimientos inadaptados (inade-cuados). Pero pongamos atención a las co-lumnas “Reconocimiento” y “Respuestacorrecta”. En la primera de ellas, los porcen-tajes de niños que en cada caso identificaronqué relaciones hay entre los datos del pro-blema —es decir, que se trataba de un pro-blema de división— son bastante más altos

Una vez elegida la operación o estrategiapertinente para hacer los cálculos requeridos,según las relaciones identificadas en el pro-blema, habrá que:

1. Aplicar correctamente la estrategia decálculo seleccionada. Es decir, manejar dies-tramente el cálculo para poder obtener el nú-mero que se convertirá en la solución. Haycasos en que la tarea no resultará simple (véa-se cuadro, donde se observa que el proble-ma denominado “Vino” fue el que más difi-cultades de cálculo produjo).

Es fácil advertir —según los datos del pro-blema— que quienes lo resolvieron tenían di-ficultades para realizar divisiones con tres ci-fras en el divisor, aun cuando teóricamente

2 Irma Saiz (1994).3 Los problemas son los siguientes:

Masas. “El panadero hornea masas en bandejas de 24 masas cada una.

Hoy amasó 293, ¿cuántas bandejas tiene que preparar para hornearlas

todas?”.

Vino. “Un vendedor de vino quiere colocar 1 872 botellas en 104

cajas. ¿Cuántas botellas tendrá que poner en cada caja?”.

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este tipo de cálculos deben dominarlos al fi-nal de la primaria.

Esta situación también se manifiesta enlos problemas que algunos maestros de gra-dos avanzados derivan del Atlas de Geogra-fía Universal (SEP, 2000). En ocasiones, susalumnos deben calcular la densidad de po-blación de algunos países, por ejemplo,realizando una división entre los siguientesnúmeros: 159 630 000 y 8 511 996 (para co-nocer la densidad de población de Brasil). Latarea planteada —en términos de técnicasoperatorias— no es sencilla. Mucho menossi el uso de la calculadora se autoriza sólopara verificar los resultados, tal como algu-nos maestros hacen por temor a que éstaobstaculice el desarrollo de las habilidadesde cálculo. De esta manera, siendo una ex-celente situación para darle contexto a loscálculos, y habiendo los niños comprendidoel problema, la dificultad de aquéllos impidecon frecuencia que se alcancen las solucio-nes correctas. A este aspecto ha de orientarsetambién la atención docente.

2. Interpretar la solución. Una vez quese ha logrado obtener un resultado correctoen términos numéricos, queda otra tarea: dar-le sentido vinculándolo con la situación-pro-blema. En un ejercicio que hace poco apli-camos a niños de segundo grado, obser-

vamos la dificultad de interpretación delresultado del cálculo con base en este pro-blema:

La maestra Rosa pidió una cooperaciónde 4 pesos a los niños de su salón. Si enla mañana recogió 32 pesos, ¿cuántosniños le dieron la cooperación?

Se trata de un problema de división que,según nuestra anticipación, los niños resol-verían mediante estrategias personales: ha-ciendo dibujos, sumas o restas. Y, de acuer-do con nuestras previsiones, los niñosutilizaron varias de estas estrategias paraobtener el resultado correcto. Empero, en elmomento de la discusión observamos queel 8 que varios obtuvieron no estaba dotadodel significado que la situación le confería.En efecto, muchos niños obtuvieron el nú-mero correcto que sería la solución, pero nosupieron interpretarlo. Ante la pregunta:“¿entonces, cuántos niños dieron los 4 pe-sos de cooperación?”, la respuesta fue laperplejidad o, eventualmente, la siguiente:“Dieron 8 pesos”. Aquí la dificultad residióen que la idea de división que espontánea-mente han elaborado los niños refiere a lanoción de reparto, al cuánto toca a cadaquien, tipo de problemas que habían resuel-to previamente y que, por cierto, son capa-

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ces de interpretar adecuadamente los niñosde segundo grado pero que no correspondíaa la noción de división planteada en la si-tuación.

Aunque con elementos hasta cierto puntodistintos, Irma Saiz nos muestra con muchaclaridad la importancia de la interpretacióna partir del problema que ella denomina“Masas”.

Como el cuadro muestra, ningún niño diola respuesta adecuada al problema, aun cuan-do el cálculo fue correctamente realizado porla mayoría. La dificultad en este caso no con-sistió en identificar una estrategia de resolu-ción, tampoco en la realización del cálculo;la dificultad estribó en la interpretación quehicieron del cociente y del residuo: son 12bandejas las que se necesitan porque el re-sultado (cociente) es 12, y el residuo no seconsideró. Ésta es una respuesta incorrecta,son 13 las charolas necesarias para poner lasmasas porque una condición planteada en elproblema es que se horneen todos los panes(masas). Se trata de un caso en el que no hayuna concordancia directa entre el cocienteobtenido y el número que será la solución.Este tipo de problemas, más complejos en laetapa de interpretación del resultado queaquellos en los que hay una concordanciadirecta entre el número que hace las vecesde cociente y el que corresponde a la solu-

ción del problema, son por otro lado un cam-po interesante para que los niños desarrollenhabilidades de interpretación de las informa-ciones numéricas.

CONCLUSIÓN

Comprender el problema es indispensable,pero no es suficiente para obtener su solu-ción; la resolución implica un conjunto detareas cognitivas que constituyen un procesoque no se agota con comprender el proble-ma e identificar las relaciones subyacentes,tampoco con aplicar una estrategia de reso-lución aunque sea pertinente; la resoluciónes un proceso constituido por etapas queameritan trabajo intelectual y que concluyencon la interpretación del resultado obtenido.

Una de las tareas del docente es acompa-ñar a los alumnos a lo largo de este proceso;no es suficiente constatar que han compren-dido el problema para dar por sentado queobtendrán la solución prevista, tampoco conasegurarnos de que aplican bien una estrate-gia personal o un procedimiento convencio-nal de cálculo, porque es probable que mu-chos de ellos no obtengan la solucióndeseada a falta de una interpretación correc-ta del resultado del cálculo. Esto se acentúasi no hay una concordancia directa entre elnúmero obtenido y aquel que expresará lasolución.

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Con este breve escrito he buscado apoyarla reflexión acerca de una cuestión fundamen-tal en la enseñanza de las matemáticas: lavinculación entre la comprensión de un pro-blema, la aplicación de técnicas operatoriasy la obtención de la solución deseada. Cadauno de estos aspectos debe ser atendido des-de la acción docente.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Peltier, Marie-Lise (2003), “Problemas aritmé-ticos. Articulación sentido y procedimien-tos de resolución”, en Educación matemá-tica, vol. XV, núm. 3, México, Santillana.

Saiz, Irma (1994), “Dividir con dificultad o ladificultad de dividir”, en Cecilia Parra eIrma Saiz (comps.), Didáctica de matemá-ticas. Aportes y reflexiones, pp. 185-217,Argentina, Paidós Educador.

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MEDICIONES EFECTIVAS EN EL AULAPROFESORAS OMAIRA DEL ÁNGEL BENAVIDES Y DIANA XÓCHITL LOEZA FRANCO

XALAPA, VERACRUZ

En esta ocasión presentamos un registro deobservación de clase en la que los alumnostienen que hacer mediciones efectivas con laregla graduada para resolver un problema. Laclase se llevó a cabo en un grupo de tercergrado de la escuela primaria “Ignacio Allen-de”, ubicada en el municipio de Landero yCoos del estado de Veracruz. La maestra res-ponsable del grupo estudia la Maestría enEducación Básica en la Universidad Pedagó-gica Veracruzana e intenta implantar el enfo-que actual para la enseñanza de las matemá-ticas al plantear a sus alumnos la actividadde la ficha 19 “Cintas y centímetros” delFichero. Actividades Didácticas. Matemáticas.Tercer grado.11:05 hrs.Observadora (Obs.) En el salón de clases las

bancas (de paleta) están acomodadas for-mando un semicírculo. Después del re-creo, los niños entran y ocupan sus sillas.Los alumnos muestran entusiasmo al en-terarse de que van a tener clase de Mate-máticas.

La maestra entrega a cada niño un cho-colate con un papel que dice el nombrede algunos colores (amarillo, naranja, ver-de y rosa) para formar los equipos. Cadaequipo quedó integrado por cuatro alum-nos que adoptaron para su equipo el nom-bre del color que les tocó y reacomodaronlas sillas en el lugar indicado por la maes-tra para empezar a trabajar.

Maestra (M). Vamos a hacer una competen-cia para ver quién termina primero. Y levamos a dar un premio a los que ganen...a lo mejor el premio es el beso de una niña(dice en tono de broma).

Alumnos (Als). ¡Nooooooo! (exclaman los ni-ños haciendo gestos de repugnancia).

M. Les voy a repartir unos sobres que contie-nen un material (explica mientras los re-parte). Necesito que saquen lo que tienenen el sobre y lo observen (da un tiempopara que lo hagan) ¿Qué son?

Als. ¡Papelitos!Nancy. ¡Tiras de papel!M. ¿Cuántas tiras son?

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Esteban. CuatroAlumno (Al). ¡Seis!M.Efectivamente, son seis tiras. Por favor ten-

gan cuidado, porque si pierden una, per-dería la competencia el equipo. Fíjense loque van a hacer. Hay seis niños... esos ni-ños hicieron estas tiras de papel (explicamientras escribe en el pizarrón).

M.Las tiras de Luis miden quince centíme-tros (escribe en el pizarrón conforme ha-bla). Las que hizo Mónica miden docecentímetros. Las de Pepe diecisiete centí-metros. Las de Toño diez y seis centíme-tros. Las de Miguel catorce centímetros ylas de Itzel...

Marisol. ¡Trece!M. ¿Cómo adivinaste?Obs. La niña se queda callada.M. ¿Cómo le hiciste para saber?Marisol. Nada más dije.Obs. En el pizarrón la maestra terminó de

escribir lo siguiente:

Luis Mónica Pepe Toño Miguel Itzel

15 cm 12 cm 17 cm 16 cm 14 cm 13 cm

M. Bueno. A ver. Las tiras de Luis miden...Al. ¡Quince!M. ¿Quince qué?Al. ¡Centímetros!

M.Bueno. Recuerden, esto es un concurso.Pongan atención para que entiendan loque van a hacer. Ustedes me van a decircuál de estas tiras de papel (las que tienenlos niños sobre su banca) son iguales a lade cada uno de los niños que anoté en elpizarrón. Anoten en la tira el nombre delniño y la medida que corresponde. Pien-sen ¿qué harían para saber...?

Al. ¡Medirlas!M. Bueno. Pueden empezar.Equipo rosa. Sacan su regla y comienzan a

medir las tiras. Anotan en cada tira el nom-bre del niño que le corresponde y el resul-tado de la medición.

Equipo naranja. Corren a tomar el metro demadera de la maestra y con cierta dificul-tad, debido al tamaño del mismo, comien-zan a medir las tiras.

Equipo verde (Ambrosio). Compara (directa-mente) todas las tiras, toma la más peque-ña y después de ver el pizarrón escribesobre la tira: Mónica, 12 cm. Vuelve acomparar las tiras. Toma la que le sigue entamaño y le anota: Itzel, 13 cm. Continúade la misma manera hasta terminar contodas las tiras.

Obs. En el equipo verde, Ambrosio no usaningún instrumento para medir, sólo com-para el tamaño de las tiras. Toma comoparámetro la más pequeña y así deduce

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las medidas de las tiras restantes. Sus com-pañeros de equipo observan sorprendidoslo que hace Ambrosio.

Equipo amarillo. Con la regla miden cada unade las tiras y van anotando los nombres delos niños y las medidas que obtienen.

M.Observa el trabajo de los equipos, a algu-nos les recuerda que es importante escri-bir el nombre del niño al que correspondala medida.

Obs. Terminan primero los del equipo rosa.Equipo rosa. ¡Maestra, maestra! ¡Ya termina-

mos, primer lugar!M.Este equipo ya terminó, por lo tanto ellos

ganaron.Equipo verde. ¡No, maestra, les ayudó usted!M. ¡No, no los ayudé! Fui a ver si de verdad

habían terminado el trabajo y si lo habíanhecho bien. Y sí lo hicieron bien. Ellos ga-naron el primer lugar. Pero ustedes siganpara ver quién queda en segundo lugar.

Obs. Los niños se apresuran con sus medi-ciones. La maestra anota en un lado delpizarrón lo siguiente:

1º Equipo rosa2º

Equipo verde. ¡Maestra! ¡Ya terminamos!Obs. La maestra sigue anotando:

1º Rosa2º Verde

M. ¿Cómo le hicieron para medir las tiras?

Ambrosio. Con las mismas tiras (contesta se-ñalando las tiras extendidas en la paletade la silla).

M. (Se dirige al equipo naranja y dice): Aquítengo duda ¿cómo le hicieron?

Obs. Los niños del equipo naranja cambianel metro por la regla. Vuelven a medir lastiras. Se dan cuenta de que la tira a la quele habían anotado 16 cm en realidad mide17 cm. Corrigen sus anotaciones.

M. Bueno. Ya terminaron. Todos utilizaron suregla para medir menos un equipo (se di-rige al equipo verde). ¿Cómo le hicieron?

Ambrosio. Midiendo con estas mismas (mos-trando una de las tiras de papel).

M.Ahhhh, fueron comparando. ¿Los demáspodían haberlo hecho así también?

Als. ¡Sííííí!Esteban. Pero es mejor utilizar la regla.M. Yo quisiera que pasara el equipo de Liz y

nos explique cómo le hicieron.Obs. Pasan al frente Esteban, Liz y Hugo.Esteban. Empezamos poniendo el papelito en

la regla, en el cero (enseña la regla y poneencima la tira de papel).

M. ¿Así le hicieron?Esteban. No… empezamos del uno.M. ¿Y qué será lo correcto?Als. ¡Empezar del cero!M. (Proporciona cinta adhesiva a los alum-

nos de cada equipo diciendo): Peguen sus

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tiras en el pizarrón. Por favor, Esteban,mide la tira de Luis.

Esteban. (Pasa al pizarrón. Coloca la regla so-bre la tira y dice): Mide quince centí-metros.

M. Liz, mide la tira de Mónica.Liz. (Pasa al pizarrón. Mide la tira de papel y

dice): Mide doce centímetros.M. ¿Ya vieron que ella comienza a medir a

partir del...Als. ¡Ceeeroooo!Obs. Continúan de la misma manera, la maes-

tra indica quién pasa a medir y qué tiradebe medir. Los alumnos anotan en el pi-zarrón el resultado de la medición.

M. ¿Qué pasó con el equipo naranja y amari-llo? ¿Por qué se equivocaron?

Al. Empezamos (a medir) del uno.M. ¡Ahhh!... y no salió la misma medida.Maricela. Nosotros sí usamos el cero (quie-

ren decir: medimos a partir del 0), peronos equivocamos de nombre.

M. A ver. Al equipo ganador le vamos a dartres puntos (anota en el pizarrón).

Obs. El puntaje quedó como sigue:

Equipo Puntos

1° Rosa • • •

2° Verde • •

3° Naranja •

4° Amarillo •

M. Ahora en la siguiente competencia le va-mos a dar otros tres puntos al equipo quetermine primero. Busquen la tira de Mi-guel... ¿cuánto mide?

Als. ¡Catorce!M. ¿Catorce qué?Als. ¡Centímetros!M. ¿Cuántas tiras hizo Miguel en total?Als. ¡Seis!M. ¿Seis?… ¿Cuántas tiras tenemos de Miguel?

(pegadas en el pizarrón).Als. ¡Cuatro!M. Si junto las cuatro tiras de Miguel... ¿cuánto

medirá?Al. ¡Un metroooooo!M. ¿Un metro?Nancy. ¡Doce!M. Piensen bien qué pueden hacer para sa-

berlo.Equipo rosa. Comienzan a escribir una suma

en una de las tiras de papel.Ambrosio. Hace una suma en la contraporta-

da de uno de sus libros bajo la atenta mi-rada de sus compañeros de equipo.

Equipo rosa. (Grita): ¡Cincuenta y siete!M. (Anota el resultado en el pizarrón).Equipo naranja. (Emocionados gritan):

¡Cuarenta y cuatro!M. (Anota el resultado en el pizarrón).Equipo amarillo. (Hacen 4 tiras de papel de

aproximadamente 14 cm, las miden y a

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las que les sobra un pedazo se lo doblanhasta que mida los 14 cm. Después, ali-nean las tiras unidas por uno de sus extre-mos formando una sola tira. La miden conla regla y dicen): ¡Son cincuenta y seis!

Equipo naranja. Reconsideran su resultado yhacen una suma en su cuaderno.

Obs. A hurtadillas, los niños del equipo rosasacan una calculadora y suman 14 + 14+ 14 + 14 = 56. Se dan cuenta de que seequivocaron en su resultado.

Hugo. (Del equipo rosa, corrige): ¡Maestra!Son cincuenta y seis.

Nancy. ¡Maestra! Lo hicieron con calculadora.Miguel. ¡Ya la guardamos! Pero la cuenta ya

la habíamos hecho antes (protesta).Equipo verde. Escriben en la contraportada

del libro: 14 + 14 + 14 + 14 = 56. (Gritan):¡Cincuenta y seeeis!

Obs. Los resultados de las mediciones que-daron escritos en el pizarrón de la siguientemanera:

Rosa Amarillo Naranja Verde57 56 44 5656 56

M. Ya no sé si estamos bien o mal. ¿Cómo lehacemos para saber cuál de estos resulta-dos está bien? Ustedes, del equipo amari-llo, ¿cómo le hicieron?

Marisol. Medimos cuatro tiras y les doblamoslo que sobra para que midan catorce, des-pués las junté y las medí.

M. ¿Y les salió cuánto?Marisol. Cincuenta y seis.M. ¿Alguien lo hizo de manera diferente?Ambrosio. ¡Yo!M. ¿Cómo lo hiciste?Ambrosio. Sumamos catorce, más catorce,

más catorce, más catorce.M. ¿Qué equipo lo hizo de otra manera?Als. ¡Lo hicimos igual!M.Al equipo amarillo y al verde les damos

sus tres puntos (anota en el pizarrón). Alrosa y al naranja les damos dos puntos.

Equipo Puntos

Rosa • • • + • •

Verde • • + • • •

Naranja • + • •

Amarillo • + • • •

M. Los del equipo rosa sacaron la calculado-ra para comprobar si su resultado estababien o mal. Se dieron cuenta de que esta-ba mal y rectificaron. Va la última pregun-ta: ¿Cuánto medirá una tira formada portodas las tiras de Pepe?

Obs. Los equipos naranja, verde y rosa su-man. El amarillo intenta usar el procedi-miento que usó anteriormente, pero como

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las tiras de Pepe son las más grandes (17cm), las otras tiras con las que cuentan notienen la medida necesaria. Deciden en-tonces sumar. Conforme obtienen su resultado, lo dicena la maestra. Ésta lo anota en el pizarrón:

Rosa Amarillo Naranja Verde68 28 68 32

M. Otra vez no tenemos resultados iguales.¿Cómo podemos saber quién tiene la razón?Ustedes, los del equipo rosa, ¿cómo lo hi-cieron? Pasa Liz para que nos expliques.

Liz. Hicimos una cuenta de más (refiriéndosea que sumaron) así (escribe en el pizarrón:

1717

+171768

M. ¿Y qué representa el diecisiete?Miguel. Pues lo de Pepe.M. ¡Ahhhhh! (Hace la suma en voz alta). Sie-

te, más siete, más siete, más siete, son vein-tiocho. Pongo el ocho y llevo dos. Dos máscuatro son seis. Está bien su cuenta. Dicen (refiriéndose a Miguel y su equi-po) que el diecisiete representa la tira dePepe y lo escribieron cuatro veces porqueson cuatro tiras.

Yo me fijé que el equipo amarillo primeroiba a hacer lo que hizo antes (alinear 4tiras de 17 cm formando una sola tira), perodespués cambiaron de opinión. ¿Quépasó?

Marisela. Ya no quisieron (se refiere a que suscompañeros ya no quisieron hacer tiras de17 cm).

M. ¿Pero por qué?Marisela. Ya no quisieron.Esteban. Pensaron que les iba a quedar mal.Liz. Ellos pusieron su tira de diecisiete y cuan-

do iban a poner las otras se dieron cuentade que las tiras no están iguales de tamaño.

José. Mejor hicieron la cuenta.M. A ver Lumary, pasa tú a hacer la suma.Lumary. (Pasa al pizarrón y escribe con la mano

izquierda, empieza a sumar por la colum-na de las decenas).

1717

+17174

Liz y Esteban. ¡Está mal! ¡Empezó de allá (se-ñala el lado izquierdo de la suma) y seempieza de acá! (señalando la columnade las unidades).

M. A ver Lumary. ¿Cuánto es siete más siete?Lumary. Catorce.M. ¿Catorce más siete?

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Lumary. (Usa sus dedos para sumar. Despuésdice): Veintiuno.

M. ¿Veintiuno más siete?Lumary. (Suma con los dedos y dice): Vein-

tiocho.M. Se pone el ocho aquí (lo escribe debajo

de las unidades) y llevamos el dos (lo es-cribe arriba de la columna de las dece-nas). Este dos se va a sumar junto con losnúmeros que tenemos en esta columna.Cuatro más dos igual a seis. Nos sale se-senta y ocho.

Esteban. Nos arremedaron porque José esta-ba haciéndolo así.

M. Pero hay un resultado diferente (32). Paseel equipo que nos dio este resultado paraque nos muestren cómo lo hicieron.

Ambrosio. Se levanta para ir al pizarrón.M. ¡No! Que pase Jorge, porque siempre pasa

Ambrosio.Jorge. Tímidamente pasa al pizarrón y escribe:

1717

+171768

M. Pero…. ¿cómo le hiciste para que te salie-ra treinta y dos?

Jorge. (Vacila un momento y después explica):Sumé siete más siete, más siete, más siete ydespués uno más uno, más uno más uno.

M. Pero muéstranos cómo lo hiciste.Jorge. (Señala cada 7 de los sumandos y ex-

plica): Siete más siete son catorce, más sie-te son veintiuno, más siete son veintiocho.(Pasa su dedo a la columna de las decenasy conforme habla señala cada uno de lossumandos) Veintiocho más uno son vein-tinueve, más uno son treinta, más uno sontreinta y uno y más uno son treinta y dos.

Liz. ¡Ahhhhh, maestra! Sumó junto con losdel otro lado (señalando las decenas). Sie-te más siete más siete más siete, lo que lesalga tiene que poner el número, uno arri-ba y otro abajo. Lo que le sobró lo sumacon lo de al lado.

Jorge. (Escucha a su compañera vacilante).Nancy. Que sume, y si salen dos números uno

se pone arriba y otro abajo.M. Vamos a hacerlo todos juntos.M. (Señala los números y de manera oral con-

duce al grupo para resolver la suma. Des-pués de sumar las unidades dice): Veintio-cho. Ponemos el ocho aquí (debajo de lasunidades) y subimos el dos (lo anota arri-ba de las decenas). Dos (señala el número2 que anotó en la columna de las dece-nas) más cuatro que tenemos aquí (señalalos unos que están en las decenas), nos daseis. El resultado es sesenta y ocho. ¿A quién le damos entonces los trespuntos?

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Als. ¡Al rosa y al naranja!Obs. La puntuación quedó como sigue:

Equipo Puntos

Rosa • • • + • • + • • •

Verde • • + • • •

Naranja • + • • + • • •

Amarillo • + • • •

M. ¿Qué equipo ganó?Als. ¡El rosa!M. El premio es un beso de su maestra…Als. ¡Ahhhhhh! (en tono de decepción).M. El premio es una paleta (les entrega una

paleta a cada uno de los niños del equiporosa). Bien, ahora díganme ¿qué aprendie-ron hoy?

Miguel. ¡A sumar!M. Sí, es cierto, aprendimos a sumar.Ricardo. ¡A usar la regla!M. Sí, también.Marisela. También a acomodar los números.Julián. Cómo se suma.M. Sí.Nancy. Aprendimos cómo se mide.Esteban. ¡Cómo se gana!Ambrosio. A usar la regla.M. ¿Omar, tú qué aprendiste hoy?Omar. A sumar.Cecilio. Sí, maestra, aprendimos a sumar.Jorge. A usar la regla.

M. Bien, pues hoy aprendimos a medir ade-más de sumar. Aprendimos que hay dis-tintas formas de medir y que hay instru-mentos hechos especialmente para esto.Hoy, algunos utilizaron su regla, otros, elmetro y otros lo hicieron de otra manera,por comparación. Aprendieron que el cen-tímetro es una unidad que se usa paramedir. Más adelante haremos algunas ac-tividades donde volverán a utilizar el cen-tímetro para medir. Ahora por favor guar-den el material en los sobres y pónganlossobre mi escritorio (12:10 hrs.)

COMENTARIOS DEL PROFESOR

HUGO BALBUENA

El primer comentario alude a la actividad mis-ma. La primera parte de la actividad, tal comoestá planteada en realidad no “obliga” a losalumnos a medir las tiras para saber a quiéncorresponde cada una. Esto fue mostrado porlo que hizo Ambrosio y me parece que duran-te la confrontación debió destacarse más.Ambrosio se dio cuenta de que a la tira demenor tamaño necesariamente le debería co-rresponder la menor medida y así sucesiva-mente. No cabe duda de que este procedimien-to fue más eficiente que los demás. De pasohay que decir que, para “obligar” a los niños amedir, bastaría con agregar una tira que nocorrespondiera a ninguno de los niños.

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El segundo comentario está relacionadocon la validación de los resultados. Hay queprocurar que la decisión de si está bien o mallo que producen los niños no recaiga en eldocente, sino en los argumentos de los pro-pios alumnos. En este caso se pudo haber pre-guntado: ¿Qué nombre le pusieron a la tiramás chica? Las respuestas diferentes, en casode haberlas, son las que dan motivo para ladiscusión.

El tercer comentario tiene que ver con lalibertad que deben tener los alumnos paraponer en juego sus propios recursos de so-

lución. Ante la pregunta: “Si junto cuatro ti-ras de Miguel, ¿cuánto medirá?” (preguntaque por cierto no es clara, dado que las tirasse pueden juntar de distintas maneras), haydos respuestas erróneas que podrían sermotivo de discusión pero son bloqueadas porla maestra con las siguientes expresiones:“¿Un metro?”, “Piensen bien qué puedenhacer para saberlo”. Los alumnos saben quecon ese tipo de expresiones se les da a en-tender que sus respuestas son incorrectas yen muchos casos abandonan sus propias re-flexiones.

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DIFERENTES PROCEDIMIENTOS

DE PALILLOS1 (RÉPLICA2)El profesor Teodoro Ernesto Cigarroa Kebde la Escuela Normal Superior de Chiapashace las siguientes observaciones al primerprocedimiento para resolver el problemade los palillos publicado en Un reto más,núm. 11:

Existe un error en el primer procedimiento(página. 18, columna izquierda) para resol-ver el problema “De palillos”. En la quintaexpresión algebraica no está bien multiplica-do ni bien sumado y parece que la respuesta(última expresión) nada más fue adaptada alo que se requería.

La quinta expresión algebraica a la que serefiere el profesor Cigarroa se deriva de la si-guiente:

1 + 3m + (1 + 2m) (n – 1) = número de palillos

Al revisar la quinta expresión se observandos errores en el resultado de la multiplica-ción (véase cuadro).

Al efectuar la reducción de términos seme-jantes en la expresión errónea se obtiene: 1 +2m + n, esta expresión no representa la solu-ción del problema de los palillos (2mn + m + n).

Es importante aclarar que este error no esde la profesora Rosalba Chapa sino que setrata de un error de captura.

1 Un reto más, núm. 9.2 Corrección al procedimiento publicado en Un reto más, núm. 11.

La expresión errónea dice: Debe decir:

1 + 3m + (n + 2mn – 1m – 2mn) 1 + 3m + (n + 2mn – 1 – 2m)Los términos incorrectos en este producto

son: – 1m y – 2mn deben ser – 1 y – 2m

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LA PISTA MARAVILLOSA3

Tómese en consideración una pista circularde cualquier dimensión, que esté formada pordos círculos concéntricos.

Federico Fernández Escamilla resolvieron esteproblema mediante procedimientos similares.

A continuación se presenta la transcripciónde la propuesta de solución dada por el pro-fesor David Ramos H.

1. Demuestre que el área de la pista som-breada es igual a la de un círculo cuyodiámetro es a la vez una cuerda del círcu-lo mayor y tangente al círculo menor.

2. ¿Qué condición se tiene que cumplir paraque el área del círculo menor y el área dela pista sombreada midan lo mismo? Eneste caso, ¿qué razón existe entre los ra-dios de las circunferencias concéntricas?

Los profesores: David Ramos H., deGuanajuato, Félix Dévora Acevedo y José FélixGarcía Goitia, de Durango; Eleazar MateosGarcía, de Chiapas; Rafael Flores de la Paz, deNuevo León; Bárbara Murguía de la secunda-ria Benjamín Franklin, del Estado de México, y

C1 C2

C3r1

r2

r3

La primera parte del problema pide mos-trar que el área de la pista es igual al área delcírculo C3, para ello notemos que el áreasombreada la podemos obtener como unadiferencia de áreas, a saber:

Área de C1 – área de C2El área de C1 es: π • r1

2; el área de C2 es:π • r2

2. De lo anterior se sigue que:

área sombreada = π • r12 – π • r2

2 = π (r12 – r2

2)

El área de C3 es: π • r32. Lo que debemos

mostrar ahora es que r32 = r1

2 – r22.

Lo anterior es relativamente fácil. Aplican-do el teorema de Pitágoras al triángulo de lafigura, tenemos que:

r22 + r3

2 = r12

Al despejar r32 nos queda que: r3

2 = r12 – r2

2.3 Publicado en Un reto más, núm. 9.

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De lo anterior, podemos concluir que elárea sombreada es exactamente la misma queel área de C3.

A continuación resolvemos la segunda par-te del problema.

Para que el área del círculo menor C2 y elárea de la pista sombreada sean equivalen-tes, debe suceder que:

r1 = 2 • r2. ¿Por qué?

El razonamiento es como sigue:

El área de la pista sombreada es: π (r12 – r2

2),mientras que el área de C2 es: π • r2

2.Para que sean iguales, tiene que pasar que:

π (r12 – r2

2) = π • r22.

Multiplicando por 1 obtenemos:

r12 – r2

2 = r22.

Sumando r22 a ambos miembros, llegamos

a que:

r12 = 2r2

2

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miem-bros, se tiene:

r1 = 2 • r2

Por lo tanto, la razón existente entre losradios de los círculos concéntricos, debe ser:.

√

CÍRCULOS INSCRITOS EN CUADRADOS4

Los profesores Luis Eduardo Gallardo Payán, de Moroleón, Guanajuato; Juan Bosco GómezRábago, José Guadalupe Salcedo Soto, Ileana Beatriz Andrade Medina, Roger Hernández, ynumerosos alumnos de la Escuela Normal Superior del estado de Chiapas, elaboraron unatabla como la siguiente para resolver este problema:

Lado del cuadrado Área del cuadrado Área del círculo Razón de las áreasdel cuadrado al círculo

1 1

2 4 π

n n2

4 Publicado en Un reto más, núms. 8 y 10.

π

√

r1 = 2

r2 1√

πn2

4

π4

4π4π4π

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LA RAZÓN DE LAS ÁREAS DEL CUADRADO1

1. ¿Cuál es la razón de las áreas del cuadrado menor al ma-yor?

2. ¿Cuánto debe medir el lado del cuadrado mayor para quela diagonal del cuadrado menor mida una unidad?

3. ¿Qué otros problemas se podrían plantear a partir de estedibujo?

PATRONES NUMÉRICOS2

1. ¿Qué relaciones puede establecer entre los númerosque aparecen en el arreglo?

2. ¿Puede ampliar este arreglo tomando en cuenta algu-nas de las regularidades encontradas?

3. ¿Dónde se ubicarán los números 68, 151, 242, 389,5 286? ¿Y el millón?

4. En general, dado cualquier número entero, ¿cómo sepuede predecir su ubicación en este patrón?

Si no logró dar respuesta a las preguntas anteriores, ¿quéhabilidades faltó desarrollar en su vida académica?

Observe el siguiente arreglode números.

1 2 3 4

8 7 6 5

9 10 11 12

16 15 14 13

17 18 19 20

…

1 Variante del problema “Los círculos inscritos”, publicado en Un reto más, núms. 8 y 10, elaborado y enviado por el profesor Luis Eduardo Gallardo

Payán, de Moroleón, Guanajuato.2 Tomado de R. Zazkis y P. Lilijedahl (2002), “Generalization of patterns: the tension between algebraic thinking and algebraic notation”, EducationalStudies in Mathematics, vol. 49, núm. 23, Canadá.

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LA COMPRENSIÓN DEL CEREBRO

HACIA UNA NUEVA CIENCIA DEL APRENDIZAJE1

M. EN C. MARÍA TERESA LÓPEZ CASTRO

Este libro contiene información acerca de te-mas desarrollados de manera transdisciplina-ria sobre “aprendizaje y cerebro” y está orga-nizado en tres partes; en la primera se pre-sentan premisas sobre lo que puede aportarel intercambio académico entre las cienciasde la educación y la neurociencia. La segun-da parte es un resumen y conclusiones sobretres conferencias del proyecto “Ciencias delAprendizaje e Investigación sobre el Cerebro”de la Organización para la Cooperación y elDesarrollo Económicos (OCDE) y del Centropara la Investigación y la Innovación Educa-tivas (CERI, por sus siglas en inglés) con apor-tes de investigadores de la neurociencia y laeducación; en la tercera parte se presentanlas expectativas sobre una segunda fase detrabajo en la misma línea de investigación.

En el texto se señala que la concepción einterés sobre la educación ha evolucionado.

Actualmente prevalece la idea “educación paratodos durante toda la vida”, lo que hace quese planteen preguntas como las siguientes: ¿quéotras reformas pueden ayudarnos para ofrecera los estudiantes algo más que “tesoros en lasruinas”? o ¿deberíamos considerar un cambiorevolucionario en la impartición de la educa-ción?, así como el porqué y quién; qué y cuán-do, y cómo y dónde del aprendizaje.

El qué y cuándo, referido a lo que se debeaprender, señala que si de verdad se habla de“aprendizaje para toda la vida”, es posible dis-minuir la carga de los contenidos de aprendi-zaje para los jóvenes definiendo un “plan deestudios mínimo esencial global” que incluyaalfabetismo en la lengua materna y en al me-nos alguna otra, matemáticas, alfabetismo cul-tural, habilidades personales y sociales, valo-res y ética, aprender a aprender, tomando encuenta los elementos de la neurocienciacognoscitiva (la naturaleza del cerebro, cómoaprende el cerebro, etcétera) y los diferentesritmos de aprendizaje. Esto se traduce en un

1 Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos, “La

comprensión del cerebro”, Hacia una nueva ciencia del aprendizaje,París, Santillana (Aula XXI), 2003.

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cambio de fórmula en el plan de estudios, pa-sar de CAA a AAC, es decir, privilegiar las actitu-des (A) y aptitudes (A) ante los conocimientos(C), que están a la disposición de todas las per-sonas en múltiples medios. En estos plantea-mientos toman en cuenta las diferencias entreel cerebro joven y el viejo, el primero aprendemucho más rápido, sin embargo no se puedesubestimar la motivación para aprender delsegundo.

Sobre cómo se aprende mejor y dónde pre-fiere hacerlo existen diversas posturas que se-ñalan que es necesario, para quien deseeaprender, tener mucha confianza y una bue-na autoestima, estar fuertemente motivadopara aprender y ser capaz de aprender en unmedio de “retos altos” y “pocas amenazas”.Esto conlleva a que el debate actual sobreeducación aborde aspectos como “la exten-sión de habilidades”, el coeficiente intelec-tual, las aptitudes, el acceso a la igualdad deoportunidades y el aumento de los suministros.

Posteriormente el texto desarrolla algunasideas sobre cómo puede la neurocienciacognoscitiva orientar las políticas y las prác-ticas de la educación, por lo que surge la ne-cesidad de establecer, a pesar de sus diferen-cias, un lenguaje común entre las “cienciasdel aprendizaje”, la neurociencia, la psicolo-gía y la medicina. Así, mientras que los maes-tros y los investigadores trabajan con grupos

de personas, los científicos hacen cada vezmás uso de la nueva tecnología; querer re-solver estos aspectos genera, entre otros, lossiguientes cuestionamientos.

• ¿Cuál es el medio ambiente y el plan deaprendizaje más apropiados para los ni-ños muy pequeños? En particular, ¿es acon-sejable proveer un programa intensivotemprano de capacitación en matemáticasy lectoescritura?

• ¿Cuáles son los periodos sensibles clavesen el desarrollo del cerebro? ¿Cuáles sonlas implicaciones de éstos para un plan deestudios de aprendizaje relacionado conla edad?

• ¿Por qué algunas personas encuentran tandifícil adquirir la lectoescritura y la apti-tud para matemáticas?

Con relación a la política educativa, seseñala que los padres son los primeros edu-cadores, en tanto que el Gobierno, en casitodos los países, regula y financia la educa-ción obligatoria y universal y provee las es-cuelas, preparatorias y universidades necesa-rias. Parece posible que el estudio científicodel cerebro y del aprendizaje hará una con-tribución significativa en el reto fundamentaldel costo-beneficio en la educación.

El contenido de las tres conferencias se cen-tra en las posibilidades y preocupaciones acer-

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ca de una posible “educación basada en elcerebro”. En la primer conferencia se abordó laplasticidad y periodicidad cerebral, señalan-do la adaptación del cerebro durante toda lavida y los periodos sensibles para aprendercosas específicas, así como la complejidad dela inteligencia matemática y las distintas razo-nes (a nivel corteza cerebral) por las que sur-gen dificultades en su aprendizaje. La segun-da conferencia, relativa a los mecanismoscerebrales y el aprendizaje en la juventud, sepresentó como un “trabajo en progreso” en elque el cómo del aprendizaje gobierna el qué.En la última conferencia sobre el aprendizajeen el envejecimiento, se insistió en la influen-cia de los padres, maestros y otras personas enel desempeño intelectual. Los adultos del fu-turo no sólo tendrán que aprender más, sinoque tendrán que desaprender aquellos cono-cimientos y prácticas que en la actualidad hansido rebasados para darle entrada a los nue-vos paradigmas. El aprendizaje a lo largo de lavida parece ser la estrategia efectiva contra lasenilidad y el Alzheimer.

También se señala que “todos los ambien-tes sociales, en particular los de la escuela yel trabajo, requieren que los niños adquieran

competencia emocional para funcionar ade-cuadamente. La competencia emocional in-cluye, pero no se limita a la capacidad deestar consciente de uno mismo, tenerautocontrol y compasión, la capacidad deresolver conflictos y de cooperar con otros”.

Otros aspectos tratados en este artículoson: regularización emocional y simboliza-ción; autocontrol; envejecimiento y enferme-dad; plasticidad y aprendizaje durante todala vida, y los “mitos sobre el cerebro”, basa-dos en errores populares o en confusionesde la ciencia, a fin de separar ésta de la es-peculación, entre dichos mitos se encuen-tran la especialización o predominio hemis-férico, los llamados ambientes “enrique-cidos” y periodos “críticos”, así como elneuromito de que el periodo más sensiblepara aprender es el de los primeros años devida, ya que recientes investigaciones handemostrado que ciertas formas de aprendi-zaje mejoran durante el ciclo vital.

La obra concluye con la sugerencia deldoctor Koisumi “reorganizar el sistema edu-cativo en el futuro cercano aplicando los ha-llazgos recientes en la neurociencia cog-noscitiva del desarrollo”.

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PROGRAMA DE SECUNDARIA A DISTANCIA PARA ADULTOS (SEA)A diferencia de la secundaria regular conformada por tres grados escolares y dirigida a adolescentes (11a 14 años), SEA tiene dos niveles (inicial y avanzado) y está dirigido a personas mayores de 18 años queno han realizado o concluido sus estudios de este nivel escolar.

Pertinente. Los contenidos bus-can responder a las necesidadesde los adultos para que se des-envuelvan mejor en su vida dia-ria y puedan continuar sus estu-dios en niveles avanzados.

Formativo. Ofrece una edu-cación cuyos contenidos, ac-tividades de aprendizaje y pro-cedimientos de autoevaluaciónfavorecen el desarrollo de lascapacidades personales y socia-les del adulto.

Flexible. Permite cursar las áreasacadémicas que integran el pro-grama de acuerdo con la histo-ria escolar, los intereses y la dis-ponibilidad de tiempo deladulto. Ofrece también la posi-bilidad de revalidar los estudiospreviamente realizados en al-gún otro plan de educación se-cundaria e inscribirse en lasáreas académicas o niveles quele falten.

Características Rasgos del enfoque pedagógico Organización de los contenidos

1. Reconocimiento de la expe-riencia y de las necesidadeseducativas de los adultos.

2. Desarrollo de nuevos cono-cimientos a partir de lossaberes prácticos y los con-textos de vida del adulto.

3. Selección de contenidos re-levantes para el estudio y parala vida.

4. Favorece el desarrollo deuna metodología de estudioindependiente.

5. Considera una evaluación delos aprendizajes, congruen-te con el enfoque de ense-ñanza adoptado en los pro-gramas y en los materiales deestudio.

Los contenidos están orga-nizados en cuatro áreas obliga-torias y divididos en los nivelesinicial y avanzado.

• Lengua y Comunicación.

• Cálculo y Resolución deProblemas.

• Salud y Ambiente.

• Familia, Comunidad ySociedad.

Cada área cuenta con materia-les impresos, denominadosguías de aprendizaje, y con nu-merosos programas de televi-sión, elaborados especialmentepara los estudiantes de SEA, queapoyan su proceso de apren-dizaje.

Si conoce a algún adulto que no haya estudiado o concluido su educación secundaria proporcióneleesta información y dígale que se comunique a la Coordinación del Programa SEA de la Secretaría deEducación y Cultura o Pública de su estado.

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