Gustavo Jiménez A25422426

Según el libro calculo vectorial de Marsden y Tromba, para máximos y minimos de funciones en varias variables se tiene lo siguiente:

Definición

Suponga que es una función definida en un conjunto A de R2 ó R3 se dice que un punto Xo que pertenece a A es un punto de máximo absoluto (o de mínimo absoluto) de f

Definición

Se dice que un conjunto D que pertenece a Rn es acotado si existe un numero M>0 tal que ||X|| < M para todo X que pertenece a D. un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera

Teorema del máximo y del mínimo

Sea D cerrado y acotado en Rn y sea continua, entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo en algunos puntos Xo y x1 de D.

Luego entonces podemos para funciones de tres variables definir que las condiciones suficientes de extremo como las siguientes:

Sea f una función con derivadas parciales primeras y segundas continuas en un conjunto abierto que contiene un punto ( X0 Y0 Z0 ) para el que fx(X0 Y0 Z0 ) = 0, fy(X0 Y0 Z0 ) = 0 y fz(X0 Y0 Z0 ) = 0 si se denota por H( x,y,z) el Hessiano de f en el punto (x,y,z) y por

Se tienen entonces que:SiA) fxx(X0 Y0 Z0 )>0B)H1(X0 y0 Z0 )>0C)H(X0 y0 Z0 )>0 f alcanza un mínimo relativo

Y Si:A) fxx(X0 Y0 Z0 )<0B)H1(X0 Y0 Z0)>0C)H(X0 Y0 Z0)<0 f alcanza un máximo relativo

Igualmente se debe recordar que el Hessiano es la función cuadrática definida por

El cual para un conjunto en R3 toma la siguiente forma