Bosquejo de Funciones Apoyado Con Calculadoras Graficadoras

INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO

Ciencias Bsicas

INSTITUTO TECNOLGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BSICASLA ENSEANZA Y APLICACIN DE LAS CIENCIAS BSICAS

Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras

M. en C. JOS LUIS HERNNDEZ GONZLEZ

Alumno (a): ________________________________________________

www.itapizaco.edu.mx/~joseluis [email protected] Apizaco Tlax., 25, 26 y 27 de octubre de 2006Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 1 / 33


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NDICEBOSQUEJO DE FUNCIONES............................................................................................................ 3 Introduccin ..................................................................................................................................... 3 Funcin............................................................................................................................................. 3 Representacin ................................................................................................................................. 3 Listas ................................................................................................................................................ 4 Operaciones.......................................................................................................................................... 5 Tipos de grficos .................................................................................................................................. 5 Tipos de marcas................................................................................................................................ 6 Grfica de nube de puntos, editor de ecuaciones ............................................................................. 7 Evaluacin de funciones (home) ...................................................................................................... 9 La ecuacin de la recta que une dos puntos. ........................................................................................ 9 Grfica de una funcin, editor de ecuaciones ................................................................................ 10 Definicin de la funcin que pasa por dos puntos ......................................................................... 11 Transformaciones de funciones.......................................................................................................... 18 Desplazamientos............................................................................................................................. 18 Estiramientos y compresiones verticales........................................................................................ 19 Estiramientos y compresiones horizontales ................................................................................... 19 Reflexiones..................................................................................................................................... 19 Dominio y recorrido ........................................................................................................................... 20 Otras funciones bsicas ...................................................................................................................... 21 Funciones trigonomtricas ................................................................................................................. 22 Combinacin de funciones ................................................................................................................. 30 Bibliografa......................................................................................................................................... 33


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BOSQUEJO DE FUNCIONES IntroduccinAunque en la actualidad es fcil graficar una funcin o un conjunto de puntos por medio de software o una calculadora graficadora, es importante que los alumnos de nivel licenciatura puedan bosquejar una funcin a mano basados en algunos puntos o una serie de transformaciones de la funcin bsica.

FuncinUna funcin f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. y = f(x) f(a) f B

x a A Una funcin es

{(x, y)| x A}

RepresentacinLa representacin de una funcin puede ser: a) b) c) d) Verbal Tabular Grfica Analtica

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9 Grfica

y = x2

Tabular

Anlitica




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Generalmente, se acostumbra bosquejar una grfica elaborando una tabla, para lo cual se da una serie de valores para x, con la funcin f(x) se procede a calcular el valor de la y, de manera tal, que y = f(x), aunque esto ya no es necesario con un programa de computo o una calculadora graficadora. Ejemplo. Sea la funcin y = x2 + 1 Es decir f(x) = (x)2 +1 Si x = -3 f(-3) = (-3)2 +1= 10 f(-2) = (-2)2 +1= 5 f(-1) = (-1)2 +1= 2 f( 0) = ( 0)2 +1= 1 f( 1) = ( 1)2 +1= 2 f( 2) = ( 2)2 +1= 5 f( 3) = ( 3)2 +1= 10

x -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 10 5 2 1 2 5 10

Ese conjunto de valores lo podemos manejar de manera ms apropiada mediante una lista.

ListasUna lista es un conjunto de valores separado por comas entre llaves. {-3} {-3,-2,-1,0,1,2,3} {2,1} {a,b,c,e,d} Podemos almacenar una lista una variable mediante la tecla Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la funcin y = x2+1 En home introduzca los datos en las variables listax, listay. {-3,-2,-1,0,1,2,3}listax {10,5,2,1,2,5,10}listay




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Tambin es posible efectuar operaciones con las listas, tal y como se hace en aritmtica o lgebra.

OperacionesSuma Resta + Listax+Listay Listax-Listay Listax*Listay Listax/Listay ( Listax) abs(Listax)

Multiplicacin * Divisin /

Raz cuadrada Valor absoluto | |

Se pueden hacer las siguientes grficas en la calculadora:

Tipos de grficos

Nube de puntos

Lneas y puntos




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Tipos de marcas

Caja

Cruz

Signo Ms

Cuadro

Punto




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Grfica de nube de puntos, editor de ecuaciones

Presione #, mueva el cursor hasta Plot 1: y presione

Seleccione Plot Type Scatter Mark..Box Y escriba en x, y x.listax y.listay

Se muestra el tipo de grfico y el valor de las listas a graficar

Del men seleccione F2:Zoom, 9:ZoomData y presione

La grfica ser ajustada al conjunto de valores de las listas.




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La funcin ms sencilla corresponde a una constante. Dibuje la funcin de una constante y elabore una tabla xy x y

y = ____

Otra funcin sencilla corresponde a:

x

y

y=x

Elabore la grfica de: x y

y = x2




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Evaluacin de funciones (home)A estas funciones les denominaremos funciones bsicas, y tambin las podemos almacenar en alguna variable para poder evaluarlas tal y como se hace a mano. Sea la funcin f(x) = x2, almacenarla en la variable f(x) x^2f(x) Si se quiere evaluar cuando x = 2, entonces debemos escribir f(2) Si x = c f(c) Si x = c + 1 f(c+1) Si el valor de x es una lista entonces f(listax) Actividad: Definir algunas funciones y evaluarlas. Se pueden definir funciones ms complicadas tales como f(x1, x2, xn), donde x1, x2, , xn se denominan parmetros. Ejemplo. Defina como una funcin llamada fuerza con la frmula F = ma y evale cuando m = 3 y a = 2

m*afuerza(m,a) fuerza(3,2)

La ecuacin de la recta que une dos puntos.y B (x2, y2) A (x1, y1) m = tan( ) x Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1)Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 9 / 33


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Grfica de una funcin, editor de ecuaciones

Antes que nada, es necesario ajustar la ventana donde se visualizarn las grficas, presionado $

En el editor de ecuaciones, grafique la funcin y = x. Presione # Mueva el cursor hasta y1 = Presione y escriba x

Presione %

Ajuste la ventana de forma que x y y sean del mismo tamao presionando F2 Zoom, 5:Zoomsqr

El resultado es:

Actividad: Graficar algunas funciones.Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 10 / 33


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Puede hacer una grfica de puntos escribiendo en home la funcin newplot n,tipo,listax,listay Donde Corresponde al nmero de grfico (del 1 al 10) tipo Es un nmero de 1 al 4 listax Es la lista con los valores de x listay Es la lista con los valores de y n tipo: 1 = Nube de puntos 2 = Grfica de lneas xy 3 = Grfica de cajas (estadstica) 4 = Histograma (estadstica)

Primero defina el conjunto de puntos a graficar y almacnelos en listax, listay. {0,1}listax {0,1}listay Newplot 1,1,listax,listay Despus presione % Nota: Recuerde que si el punto A(0, 0) equivale a A(x1, y1) y B(1, 1) es B(x2, y2), las listas para almacenar los valores de x corresponde a {x1,x2}listax y para {y1,y2}listay, esto es {0,1}listax y {0,1}listay

Definicin de la funcin que pasa por dos puntosSe podr definir una funcin que encuentre la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos y que los puntos (x1, y1) y (x2, y2) sean los parmetros? ______________________________ Defina la funcin como: e2puntos(px1,py1,px2,py2) y use la funcin de la calculadora drawfunc, para mostrarla. Prubela con (2,2), (4,8) para obtener y = __________ Lo que indica que la ecuacin de la recta la podemos escribir como: ________________ y Donde: a = El valor donde la ecuacin corta con el eje y. b = La pendiente de la recta. xBosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 11 / 33

b = pendiente a


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Si pudo definir su funcin, sela para resolver los siguientes problemas. Si no, hgalos a mano.

(1, 1), (2,2)

y = __________

(0, 1), (1,2)

y = __________

(0, 2), (1,3)

y = __________

(0,-1),(1,0)

y = __________

(0,-2)(2,0)

y = __________

Significa que si deseo _____________ la grfica ______________una _______________, es decir __________Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras

hacia

_______________,

debo



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Observe que sucede si trabajamos con la misma modificacin en f(x) = x2, grafique las funciones:

y = x2 + 1

y = x2 + 2

y = x2 1

y = x2 2

Entonces, si deseamos _______________ la grfica ______________una _______________, es decir _________

hacia

_______________,

debo

Qu otro movimiento podr hacer? __________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Cmo deber modificar la funcin original? ___________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 13 / 33


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Trabajemos nuevamente con f(x) = x2, a partir de la grfica, construya la tabla de valores y observe que sucede. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

f(x ) = (

)2 = ______

f(x ) = (

)2 = ______

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

f(x ) = (

)2 = ______

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Nota: Tome el cero como punto de referencia, adems del primer punto a evaluar. Entonces, si deseamos _______________ la grfica ______________una _______________, es decir _________ hacia _______________, debo

Y si deseamos _______________ la grfica hacia _______________, debo ______________una _______________, es decir _________Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 14 / 33


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Encuentre las ecuaciones de las siguientes rectas y observe qu sucede con ellas graficando las funcin correspondiente, con respecto a funcin base y = x. (describa lo que sucede)

(0,0), (1,2)

y = __________

(0,0), (1,3)

y = __________

(0,0), (2,1)

y = __________

(0,0), (3,1)

y = __________

Qu se puede concluir?




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Observe que sucede si trabajamos con la misma modificacin para la funcin base f(x) = x2, grafique las funciones y describa que sucede.

y = 2x2

y = 3x2

y=

1 2 x 2

y=

1 2 x 3

Qu se puede concluir?




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Encuentre la ecuacin de las siguientes rectas y observe qu sucede con ellas graficando las funciones correspondientes, con respecto a la funcin base y = x, y descrbalo.

(-1,1), (0,0)

y = __________

(-1,2), (0,0)

y = __________

(-1,3), (0,0)

y = __________

(-3,1), (0,0)

y = __________

Haga lo mismo para y = -x2




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Transformaciones de funcionesLas transformaciones que sufre una funcin bsica son las siguientes: Desplazamientos Estiramiento Reflexiones A partir de las funciones bsicas, podemos obtener otras grficas de funciones relacionadas, permitindonos trazar grficas de numerosas funciones rpido (sin necesidad de utilizar la calculadora).

DesplazamientosLos desplazamientos pueden ser sobre el eje x o sobre el eje y.

Translacin hacia arriba f(x) + c

f(x) f(x + c) f(x c)

Translacin a la Izquierda

f(x) c

Translacin a la derecha

Translacin hacia abajoBosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 18 / 33


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Si c es un nmero positivo, entonces tenemos los siguientes desplazamientos y = f (x) + c, se desplaza la grfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia y = f (x) c, se desplaza la grfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia y = f (x c), se desplaza la grfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia y = f (x + c), se desplaza la grfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia arriba abajo derecha izquierda

Estiramientos y compresiones verticales

f(x) cf(x)

1 f(x) c Compresin vertical

Estiramiento vertical

y = cf(x), estrese la grfica de y = f(x) verticalmente en su factor de c 1 y = f(x), comprmase la grfica de y = f (x) verticalmente en su factor de c c

Estiramientos y compresiones horizontales

f(x)f(cx)

1 f x c

Compresin horizontal

Estiramiento horizontal

y = f(cx), comprmase la grfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c 1 y = f( x), estrese la grfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c c

Reflexionesf(x) -f(x) f(-x) Reflexin en y

Reflexin en x

y = f (x), refljese la grfica de y = f (x) respecto al eje x y = f(-x), refljese la grfica de y = f (x) respecto al eje yBosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 19 / 33


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Dominio y recorridoEl dominio de f es el conjunto A, y su recorrido o imagen es f(x) y y = f(x) Recorrido x Dominio En realidad, una funcin nueva parte de la funcin bsica y = x, es decir, si consideramos por ejemplo a y = x2, es una modificacin de la bsica x, es decir si realizamos la tabla de valores para algunos puntos podemos ver que: x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) = x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) = x2 (-3)2 = 9 (-2)2 = 4 (-1)2 = 1 (0)2 = 0 (1)2 = 1 (2)2 = 4 (3)2 = 9

Observe cmo los valores que toma el recorrido nunca sern negativos, es decir, se puede observar cmo la parte de las x, en la funcin f (x) = x devuelve valores positivos; imagine si es posible proyectar la informacin de la variable x a la nueva funcin x2.

NOTA: A partir de este momento, ya no usar la calculadora para hacer la grfica de las funciones, slo para evaluar algunos puntos.Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez 20 / 33


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Otras funciones bsicasOtras funciones que podemos considerar bsicas son las siguientes: y = |x|1

y = x2 = x

Dominio Recorrido y=1 x

Dominio Recorrido

y = ex

Dominio Recorrido

Dominio Recorrido




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y = ln(x)

Evala algunos puntos cercanos a cero, tanto positivos como negativos, describe que observas.

Dominio Recorrido

Funciones trigonomtricasConsidrese un crculo de radio r = 1 y ngulo , por trigonometra sabemos que: sen = entonces x = cos y = sen Si medimos el ngulo en radianes tenemos y x ; cos = 1 1

y x x




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y = cos(x)

y = sen(x)

Dominio Recorrido Cmo se comportan las funciones de la forma y = f(x) + c

Dominio Recorrido

donde f(x) es una de las funciones anteriores y c es una constante

Propn una funcin y una constante y realiza lo que describiste. y = __________ y = __________




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Cmo se comportan las funciones de la forma y = f(x-b) donde f(x) es una de las funciones anteriores y b es una constante.

y = __________

y = __________

Qu efecto produce en cualquiera de las funciones anteriores el multiplicarlas por un nmero a? esto es, cul es el comportamiento de funciones de la forma:y = a f(x)

donde f(x) es una de las funciones anteriores y a es una constante, en cualquiera de los siguientes casos: i) a > 1 ii) 0 < a < 1 iii) a < 0




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y = ___________

y = ___________

a>1 y = ___________

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