BRUÑO_SOL_BAC_1_CCNN

Soluciones a las actividades

BLOQUE

IAritmtica y lgebra1. 2. Los nmeros reales lgebra

1

Los nmeros reales

1. Nmeros racionales e irracionales Piensa y calculaCalcula mentalmente el volumen de un cubo de arista 2 m y escribe el valor exacto de la arista de un cubo de volumen 2 m3 Solucin: V = 23 = 8 m 33 a = 2 m

Aplica la teora1. Clasifica los siguientes nmeros como racionales o irracionales: a) 5/3 Solucin: a) Racional. c) Irracional. b) c) 2 d) 1,23456 Solucin: a) 0 b) Irracional. d) Irracional. b) 13 2 3 0 1 2 3 13 4 1

10 3 2

1 3

10 4

2. Escribe cinco nmeros racionales.Solucin: 2 4 1 9, 5, , , 3 7 8

6. Representa grficamente, de forma aproximada:a) 19 Solucin: a) 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2,72 0 c) 0 d) 0 3 2,92 3 3,13 3 4 5 Grupo Editorial Bruo, S.L.

b) e

c) 25

3

d) 300

5

3. Escribe cinco nmeros irracionales.Solucin: 5 2 , 3 , 7 , , e

4,36 4 4 4 5 5 5

b)

4. Escribe tres nmeros racionales comprendidos entre 1/3y 1/2 Solucin: 5 3 11 , , 12 8 24

7. Calcula:a) 3 2 5 + 3 6 b) d) 5 2 5 4 3 6 4 5 3 2+ 3 6 8

5. Representa grficamente, de forma exacta:a) 10 70 b) 13 c)

4 8 7 : 3 5

( )

(

)

SOLUCIONARIO

Solucin: a)19/6 b) 25/36

Solucin: c) 20/81 d) 19/18 1 x 1

8. Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm y escribe qu tipo de nmero es. Solucin: 2 cm

Es un nmero irracional.

9. Un rectngulo mide de largo x y de alto 1; por un ladole cortamos un cuadrado de lado 1, y se obtiene un rectngulo semejante. a) Cunto mide x? b) Qu nmero conocido es x? c) x es racional o irracional?

x1 1 x 1 1 + 5 a) = x = , x = 1 5 1 x1 2 2 1 5 La solucin negativa x = no tiene sentido. 2 1 + 5 La solucin es x = 2 b) Es el nmero ureo de oro. c) Es irracional.

2. La recta real Piensa y calculaRepresenta en la recta real, de forma aproximada, los nmeros Solucin: 3/4 0 1 7 3 y 7 = 2,64575131 4

Aplica la teora10. Representa en la recta real los siguientes pares de nmeros y calcula la distancia que hay entre ellos. a) 3 y 2 b) 2,5 y 3,7 Solucin: a) 3 0 d( 3, 2) = |2 ( 3)| = 5 b) 2,5 0 Grupo Editorial Bruo, S.L.

Solucin: a) {x ; 2 x < 5} 2 0 1 Intervalo semiabierto o semicerrado. b) {x ; 2 < x < 1} 2 1 5

2 1

3,7 1

0 1 Intervalo abierto. c) {x ; x > 3} 3 0 1 Semirrecta, intervalo abierto. d) {x ; x 3}

d( 2,5; 3,7) = |3,7 ( 2,5)| = 6,2

11. Escribe en forma de desigualdad y representa grficamente los siguientes intervalos, y clasifcalos: a) [2, 5) b) (2, 1) c) (3, +@) d) ( @, 3] TEMA 1. LOS NMEROS REALES

@

3

0 1 Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado.

71

12. Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos: a) 0 1 b) Solucin: a) ( @, 1) 0 1

14. Escribe los entornos que se representan en los siguientesdibujos: a) b) c) 0 1 0 1 0 1 0 1

b) [1, 5] d)

13. Representa grficamente los siguientes entornos:a) E(4, 1) Solucin: a) 0 1 b) 5 c) 1 0 1 d) 5 2 0 1 3 1 0 1 2 5 3 b) E*(3, 2) c) E*(2, 3) d) E(2, 3) Solucin: a) E(1, 4) b) E*(0, 3)

c) E( 3, 2) d) E*(3, 3)

4 5

3. Sucesiones de nmeros reales Piensa y calculaEscribe tres trminos ms en las siguientes sucesiones: a) 2, 6, 10, 14, b) 1, 2, 4, 8, c) 3, 3, 3, 3, Solucin: a) 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, d) 1, 1, 2, 3, 5,

b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,

c) 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Aplica la teora15. Aade tres trminos en cada una de las sucesiones siguientes: a) 3, 7, 11, 15, c) 1, 4, 9, 16, 25, Solucin: a) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, b) 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, d) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, b) 5, 10, 20, 40, d) 1, 3, 5, 7, 9,

16. Escribe los cuatro primeros trminos de las siguientessucesiones: a) an = 2n c) an = ( 1)n (n + 1) Solucin: a) 2, 4, 8, 16 b) 5, 7, 9, 11 c) 2, 3, 4, 5 3 3 3 3 d) , , , 2 4 8 16 b) an = 2n + 3 1 n d) an = 3 2

()

72

SOLUCIONARIO

Grupo Editorial Bruo, S.L.

17. Halla el trmino general de las siguientes sucesiones:a) 2, 4, 6, 8, 10, b) 1, 4, 9, 16, 25, Solucin: a) an = 2n

c)

Y

X b) an = n2 d) 2n + 1 lm = 2 n Y

18. Representa los primeros trminos de las siguientes sucesiones e indica el valor al que tienden: 1 a) an = b) an = n2 n 2n + 1 c) an = d) an = ( 1)n n n Solucin: a)

n +@

X

Y No existe el lm (1)n n Xn +@

1 lm = 0 n+@ n b)

Los valores de la sucesin oscilan de negativo a positivo en cada trmino hacindose cada vez ms grandes en valor absoluto. Y

X lm n2 = + @

n+@

4. Radicales y operaciones Grupo Editorial Bruo, S.L.

Piensa y calculaHalla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 3 4 x a) 8 = x b) x = 10 c) 32 = 2 Solucin: a) x = 2 d) 81 = x4

b) x = 10 000

c) x = 5

d) x = 3

TEMA 1. LOS NMEROS REALES

73

Aplica la teora19. Calcula mentalmente todas las races reales de los siguientes radicales: a) 164

24. Opera los siguientes radicales:a) 20 12 3 3 c) 12 : 6 Solucin: 3 a) 2 30 3 c) 23 3

b) 125

3

c) 25

d) 32

5

b) 8 64 5 5 d) 12 : 165 b) 2 16 5 d) 3/4

5

5

Solucin: a) 2 c) No tiene solucin real.

b) 5 d) 2

20. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:a) 73/4 Solucin: 4 a) 7 3 b) 51/4 c) 35/7 d) 21/3

25. Las expresiones que estn como potencia psalas a radical y las que estn como radical psalas a potencia: a) ( 7 ) Solucin: 5 a) 72 4 3 c) ( 5 )5

2

b) 65

3

c) 533 5 b) ( 6 ) 7 d) 52

4

d) ( 5 )

7

2

1 b) 4 5

1 c) 7 35

3 d) 2

21. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:a) 52 Solucin: a) 52/7 c) 31/57

26. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones:a)

1 b) 6 115

c) 3

5

1 d) 3 2

5

b)

83

c) b) 2 12 d) 5

3 7

d)

53 4

b) 11 5/6 d) 2 1/3

Solucin: 4 a) 5 6 c) 7

27. Racionaliza las siguientes expresiones: 22. Extrae mentalmente todos los factores que se puedaen los siguientes radicales: a) 18 b) 20 c) 27 Solucin: a) 3 2 c) 3 3 b) 2 5 d) 6 2 d) 72 a) 5

3

b)

75

133

5 c) 7 + 35 7 132 b) 13 d) 7 4 3

d)

2 3 2 + 3

Solucin: 53 a) 3 5 ( 7 3 ) c) 4

23. Suma los siguientes radicales:a) 5 18 3 50 + 98 Solucin: a) 7 2 b) 4 40 + 625 2 1353 3 3 3

28. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden5 m, 4 m y 3 m Solucin: 52 + 42 + 32 = 5 2 = 7,07 m

b) 7 5

74

SOLUCIONARIO


5. Logaritmos Piensa y calculaHalla el valor de x en los siguientes casos: b) x3 = 125 c) 2x = 32 a) 23 = x Solucin: a) x = 8 d) 103 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000 000

b) x = 5

c) x = 5

d) x = 1 000

e) x = 10

f) x = 6

Aplica la teora29. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) = x d) 106 = x Solucin: a) x = 64 c) x = 7 e) x = 10 26 b) = 32 e) x4 = 10 000 x5 c) = 128 f) 10x = 1 000 2x

33. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 4 b) log 5 c) log 8 d) log 5 Solucin: a) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020 b) log 5 = log 10/2 = 1 log 2 = 0,6990 c) log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0,9030 1 1 d) log 5 = log 5 = 0,699 = 0,3495 2 2

b) x = 2 d) x = 1 000 000 f) x = 3

30. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:a) log2 32 Solucin: a) 5 c) 2 b) log3 1 c) log5 1/25 b) 0 d) 2 d) log 100

34. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos, halla: a) log 2,517 5 c) log 87,012 Solucin: a) 6,7650 b) 40,7696 c) 0,3879 d) 0,1676 b) log 0,023425 6 d) log 0,0987

31. Calcula mentalmente la parte entera de los siguienteslogaritmos: a) log2 50 c) log5 98,75 Solucin: a) 5 c) 2 b) log3 36 d) log 5 678,24

b) 3 d) 3

35. Utilizando la calculadora y la frmula del cambio de base, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: b) log3 8,431 a) log2 51,27 d) log7 1 000 c) log5 0,034 Solucin: a) 5,6800 b) 1,9406 c) 2,1010 d) 3,5499

32. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos:a) log 725,263 c) L 24,6845 Solucin: a) 2,8605 b) 2,4486 c) 3,2062 d) 7,1756 b) log 0,00356 d) L 0,000765



75

Ejercicios y problemas1. Nmeros racionales e irracionales36. Clasifica los siguientes nmeros como racionales o irra40. Calcula:

a) c)

3 5 +2 8 12 3 1 1 5+ : 4 6 2

b)

5 3 7 6 4 6 5 1 13 3+ 3 8 6

cionales: a) 3 Solucin: a) Irracional. c) Irracional. b) 3 7 c) e d) 25

(

)

d)

(

)

b) Racional. d) Racional.

Solucin: a) 47/24

b) 1/24

c) 9/52

d) 85/72

41. Halla de forma exacta la arista de un cubo de volumen

5 cm3 y escribe qu tipo de nmero es.37. Escribe tres nmeros racionales comprendidos entre

y

3 5

2 5

Solucin: 3 5 cm es un nmero irracional.

Solucin: 1 9 11 , , 2 20 20

2. La recta real42. Representa en la recta real los siguientes pares de n-

38. Representa grficamente de forma exacta:

meros y calcula la distancia que hay entre ellos. a) 5 y 2 b) 2,4 y 3,5 Solucin: a) 5

a) 5 Solucin: a) 0 b) 34

b) 34

2 1 3,5

5 2 1

1 2

5 3 4 b)

0 d( 5, 2) = | 2 ( 5)| = 3 2,4

0 1 d( 2,4; 3,5) = |3,5 ( 2,4)| = 5,9 3 5 0 1 2 3 4 5 6 3443. Escribe en forma de desigualdad y representa grfica-

mente los siguientes intervalos, y clasifcalos: a) ( 1, 3] b) [ 2, 1] c) [2, + @) d) ( @, 1) Solucin: a) {x ; 1 < x 3}

39. Representa grficamente de forma aproximada:

a) 13 c) 50 Solucin: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 1 2 1 2 2,51 3 3 1 2 1 2 33

b) d) 1005

1

3

0 1 Intervalo semiabierto o semicerrado. b) {x ; 2 x 1} 1 2 5 5 5 5 Intervalo cerrado. c) {x ; x 2} 0 1 Grupo Editorial Bruo, S.L.

3,61 4 4 3,68 4 4 3,14 3

2

0 1 Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. d) {x ; x < 1} 1 0 1 Semirrecta, intervalo abierto.

76

SOLUCIONARIO

44. Escribe los intervalos que se representan en los siguien-

tes dibujos y clasifcalos: a) b) c) d)

0 1 0 1 0 1 0 1

Solucin: 1 1 1 1 1 1 1 a) , , , , , , , 2 3 4 5 6 7 8 b) 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, c) 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, d) 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50,

Solucin: a) ( 3, + @) semirrecta, intervalo abierto. b) ( 3, 4) intervalo abierto. c) ( @, 4] semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. d) [ 4, 1) intervalo semiabierto o semicerrado.45. Representa grficamente los siguientes entornos:

48. Escribe los cuatro primeros trminos de las siguientes

sucesiones: 1 10n b) an = 2n + 1 c) an = (1)n n(n + 1) 2n 3 d) an = n+1 a) an = 5 + Solucin: a) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001; b) 3, 5, 7, 9, c) 2, 6, 12, 20, 1 1 3 d) , , , 1, 2 3 4

a) E*(3, 2) c) E(1, 2) Solucin: a)

b) E(1, 3) d) E*( 2, 1)

3 0 1 1 4 0 1 2 1 1 0 1 3 2 3 1 0 1

5

b) c) d)

49. Halla el trmino general de las siguientes sucesiones:

a) 1, 3, 5, 7, 9, 1 1 1 1 , b) , , , 2 5 8 11 Solucin: a) an = 2n 1 1 b) an = 3n 1

46. Escribe los entornos que se representan en los siguien-

tes dibujos: a) b) c) d) Solucin: a) E(2, 3)

0 1 0 1 0 1 0 1

50. Representa los primeros trminos de las siguientes su-

cesiones e indica el valor al que tienden: 1 1 b) an = 1 + 2n n2 a) an = 2 + n 4 d) E(3, 3) c) an = Solucin: a) n+1 n2 d) an = 3 + (1)n 1 n

b) E*(1, 4)

c) E*( 3, 2)


3. Sucesiones de nmeros reales47. Aade tres trminos en cada una de las sucesiones si-

Y

guientes: 1 1 1 1 a) , , , , 2 3 4 5 c) 3, 1, 1, 3, 5,

X 1 lm 2 + = 2 n

b) 5, 7, 9, 11, 13, d) 2, 5, 10, 17,

n +@

(

)


77

Ejercicios y problemasb) Y54. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en

los siguientes radicales: a) 32 X Solucin: a) 4 2 b) 45 b) 3 5 c) 50 c) 5 2 d) 75 d) 5 3

55. Suma los siguientes radicales:

a) 4 27 2 12 75 1 lm 1 + 2n n2 = @ n+@ 4 c) Y

(

)

b) 5 16 + 2 54 3 250 Solucin: a) 3 3 X3 b) 2

3

3

3

56. Multiplica los siguientes radicales:

a) 60 24n+@

4

4

b) 16 1287 b) 2 24

7

7

n+1 lm = 0 n2 Y

d)

Solucin: 4 a) 2 90

57. Divide los siguientes radicales:

X

a) 40 : 5 Solucin: 5 a) 8

5

5

b) 24 : 366 b) 2/3

6

6

lm 3 +n+@

(

1 ( 1)n n

)=3

58. Transforma los radicales siguientes. Los que estn como

4. Radicales y operaciones51. Calcula mentalmente todas las races reales de los si-

potencia psalos a radical y los que estn como radical psalos a potencia: a) ( 5 ) Solucin: 3 a) 523

2

b) 725 b) ( 7 )2

5

c) 357 c) ( 3 )5

7

d) ( 13 )

11

5

guientes radicales: 4 4 a) 625 b) 81

c) 128

7

d) 243

5

11 d) 135

Solucin: a) 5 b) No tiene solucin real.

59. Expresa en forma de un solo radical las siguientes ex-

c) 2

d) 3

presiones: a)

3

b)

643

c)

3 5

d)

74 3

52. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:

a) 5 2/3 Solucin: 1 a) 3 52

b) 31/5

c) 23/44 c) 23

d) 7 1/5

Solucin: 4 a) 3

b) 2

6 c) 5

12 d) 7

5 b) 3

1 d) 5 7

60. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) c)

2

53. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) 73 Solucin: a) 73/5

5

b)

1 114

c) 5

3

d)

1 357

3 5 2

d)

5 + 2 5 2 27 + 10 2 d) 23

b) 11 1/4

c) 51/3

d) 3 5/7

Solucin: 7 3 55 27 a) b) 7 5

c) 5 + 2

78

SOLUCIONARIO


7

b)

37

52

5. Logaritmos61. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:

a) log 86,233 c) L 765,023 c) 3x = 81 f) 10x = 1 000 000 Solucin: a) 1,9357 c) 6,6399

b) log 0,0874 d) L 0,01234

a) 33 = x d) 103 = x Solucin: a) x = 27 d) x = 1 000

b) x3 = 125 e) x2 = 100

b) 1,0585 d) 4,3949

b) x = 5 e) x = 10

c) x = 4 f) x = 6

65. Utilizando la calculadora y las propiedades de los loga-

62. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:

a) log2 1 Solucin: a) 0

b) log3

1 9

c) log5 25

d) log 0,0001

ritmos, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: b) log 0,567 15 a) log 5,712 4 7 c) log 345,98 d) log 0,00345 Solucin: a) 9,0705 c) 0,6348

b) 2

c) 2

d) 4

b) 3,6963 d) 0,3517

63. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes lo-

garitmos: a) log2 27 c) log5 18,27 Solucin: a) 4 b) 3

66. Utilizando la calculadora y la frmula del cambio de ba-

b) log3 52,6 d) log 78,24

se, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: b) log3 45,987 a) log2 7,3456 d) log7 0,056712 c) log5 0,3054 d) 1 Solucin: a) 2,8769 c) 0,7370 b) 3,4847 d) 1,4748

c) 1

64. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos

y redondea los resultados a cuatro decimales:

Para ampliar67. Qu nmeros enteros tienen inverso entero? 70. Escribe en forma de intervalo las siguientes desigual-

Solucin: El 1 y el 1; cada uno es inverso de s mismo.68. Halla el opuesto y el inverso de:

dades: a) 2 x 5 Solucin: a) [2, 5] c) ( 3, 2]

b) x > 3

c) 3 < x 2

d) x < 4

a)

2 3

b) 5

b) (3, + @) d) ( @, 4)

Solucin: a) El opuesto es 2/3 y el inverso es 3/2 b) El opuesto es 5 y el inverso es 1/569. Clasifica los siguientes nmeros como racionales o irra Grupo Editorial Bruo, S.L.

71. Escribe en forma de entorno las siguientes desigual-

dades: a) |x 2| < 3 c) |x + 3| < 2 Solucin: a) E(2, 3) c) E( 3, 2)

b) |x| < 2,5 d) |x + 1| < 3,2

cionales: a) 5 3 Solucin: a) Irracional. c) Irracional. b) 3 3 7 5 c) + e d) 643

b) E(0; 2,5) d) E( 1; 3,2)

b) Racional. d) Racional.

72. Representa grficamente los conjuntos dados por las si-

guientes expresiones: a) |x| = 3 b) |x| < 3

c) |x| 3

d) |x| > 3 79


Ejercicios y problemasSolucin: a) b) c) d) 3 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0 173. Suma los siguientes radicales:

3 3 3 3

Solucin: a) 3,9882

b) 5,3211

c) 4,6094

d) 2,2645

Con calculadora76. Halla con la calculadora el valor de los siguientes nme-

ros redondeando a 5 cifras: a) Solucin: a) 3,14159 b) e c) = 1 + 5 2 d) 57

b) 2,71828

c) 1,61803

d) 1,25850

a) 3a 8a3 5 18a5 + 7a 50a3 b) 7 16x8 + 5 54x5 2 128x2 Solucin: a) 26a2 2a3 b) (14x2 + 15x 8) 2x2 3 3 3

77. Halla el valor de los siguientes resultados y redondea el

resultado a cinco decimales: b) 0,9999991 000 000 a) 1,0000011 000 000 Solucin: a) 2,71828

b) 0,36788

74. Racionaliza las siguientes expresiones:

a)

a a

b)

b a27

c)

a a b

d)

a + b a b

78. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos;

redondea los resultados a cuatro decimales: a) log b) log e c) L d) L 10 Solucin: a) 0,4971

Solucin: 7 b a5 a) a b) a

a + ab c) ab

a2 + 2a b + b d) a2 b

b) 0,4343

c) 1,1447

d) 2,3026

75. Calcula, aplicando la frmula de cambio de base, los si-

79. Utilizando la calculadora, halla:

guientes logaritmos y redondea el resultado a cuatro decimales: b) log1/3 345,769 a) log1/2 15,87 d) log0,1 0,005439 c) log1/5 0,0006

a) Solucin: a) 36,4622

b) ee

c) e

d) e

b) 15,1543

c) 22,4592

d) 23,1407

Problemas80. Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia

de dimetro 1 m. Qu clase de nmero es?

Solucin:L=m Es un nmero irracional.81. La siguiente figura se co-

Solucin: A = B = 1/4 m2 C = F = 1/16 m2 D = E = G = 1/8 m2

82. Escribe el menor intervalo abierto,cuyos extremos sean

A D B E F G C

Solucin: (3, 4)

83. La longitud de una finca rectangular es 15 m y el per-

metro es inferior a 50 m. Qu valores puede tomar el ancho de la finca? SOLUCIONARIO

80


noce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide 1 m, halla el rea de cada una de las figuras que lo componen.

nmeros enteros, que contenga al nmero

Solucin: 2x + 30 50 0 < x 1084. Calcula las siguientes potencias redondeando los resulta-

a) log 2 c) log 4 Solucin:

b) log 25 d) log 5

dos a cinco decimales. A qu nmero real muy conocido se aproximan los valores que se van obteniendo? b) 1,01100 a) 1,110 c) 1,0011 000 d) 1,000110 000 100 000 e) 1,00001 f) 1,0000011 000 000 Solucin: a) 2,59374 b) 2,70481 d) 2,71815 e) 2,71827 Se aproximan hacia el nmero e

a) log 2 = log 10 = 1 log 5 = 0,3010 5 b) log 25 = log 52 = 2 log 5 = 1,3980 c) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020 log 5 d) log 5 = = 0,3495 291. Una clula se reproduce por biparticin cada hora.Cun-

c) 2,71692 f) 2,71828

tos das tardar en sobrepasar el billn? Solucin: 2x = 1012 x log 2 = 12 12 x = = 39,86 log 2 Tardar casi 2 das.92. Un coche deportivo cuesta 70 000 y se devala cada

85. Halla la frmula del rea de un tringulo equiltero cuyo

lado mide a cm Solucin: a2 rea = 3 cm2 486. Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide x m

ao un 15 %. Cuntos aos tardar en valer menos de 10 000 ? Solucin: 70 000 0,85x = 10 000 7 0,85x = 1 log 7 + x log 0,85 = 0 x log 0,85 = log 7 log 7 x = = 11,97 log 0,85 Tardar casi 12 aos.

Solucin: d = x2 m87. Demuestra que el producto de dos nmeros irracionales

no es siempre irracional, resolviendo el siguiente contraejemplo: halla un nmero irracional que al multiplicarlo por el nmero irracional 5 2 sea racional. Solucin: ( )( + ) = 5 2 = 3 5 2 5 288. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean

nmeros enteros, que contenga a log 525 Solucin: (2, 3)89. De dos nmeros se sabe que log x + log y = 0. Qu re-

Para profundizar93. Sabiendo que los tringulos ABC y ADE son semejantes,

calcula el valor de x. Qu nmero conocido es x? Es racional o irracional? A 1 Dx

lacin hay entre x e y? Solucin: log xy = log 1 Grupo Editorial Bruo, S.L.

1 xy = 1 y = x Es decir, son inversos.90. Sabiendo que log 5 = 0,6990 y aplicando las propiedades

1

x

E

de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: TEMA 1. LOS NMEROS REALES

1 B C 81

Ejercicios y problemasSolucin: 5 1 5 x 1 = x = 1 + x = , 1 x1 2 2 1 5 no sirve. La solucin negativa x = 2 La solucin es x = 1 + 5 2 Es el nmero ureo o de oro. Es irracional.94. Los nmeros racionales son densos. Veamos dos formas

Solucin: A = a2 399. Halla la frmula del rea del siguiente octaedro regular,

cuya arista mide a cma

de demostrarlo: a) Halla la media aritmtica entre 2/3 y 4/5, comprueba que es racional y que est en el intervalo (2/3, 4/5) b) Halla el nmero que se obtiene al sumar entre s los numeradores y los denominadores de 2/3 y 4/5, comprueba que es racional y que est en el intervalo (2/3,4/5) Solucin: a) 2/3 = 0,6666666666 11/15 = 0,7333333333 4/5 = 0,8

Solucin: A = 2a2 3100. Halla la frmula del rea del siguiente icosaedro regular,

cuya arista mide a cm

b) 2/3 = 0,6666666666 6/8 = 3/4 = 0,75 4/5 = 0,8

a

95. Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos

sean nmeros enteros, que contenga al nmero e Solucin: [2, 3]96. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean

Solucin: A = 5a2 3101. Halla el volumen de un tetraedro cuya arista mide a cm

nmeros enteros,que contenga al nmero ureo,o de oro: = Solucin: (1, 2)97. La masa de la Tierra es 5,98

1 + 5 2

Solucin: a3 2 V = 12102. Halla el volumen de un octaedro cuya arista mide a cm

kg, y la del Sol, 1,98 1030 kg. Cuntas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra?

10 24

Solucin: a3 2 V = 3103. Un papel A0 mide 1 m2, y cuando se corta a la mitad da

Solucin: 1,98 1030 : (5,98 1024) = 331 103,68 veces98. Halla la frmula del rea del

origen a un A1 que tiene la particularidad de que es semejante al anterior.

x x 2 y y a) Calcula de forma exacta la longitud y la anchura de un papel de formato A0

a

82

SOLUCIONARIO


siguiente tetraedro regular, cuya arista mide a cm

b) Un A2 es la mitad de un A1, un A3 es la mitad de un A2,y un A4 es la mitad de un A3.Calcula de forma aproximada hasta los milmetros las dimensiones de un A4 (el A4 es el sustituto del folio, por la semejanza entre todos los A; esta semejanza permite hacer fotocopias reduciendo o ampliando y manteniendo las proporciones del texto y/o dibujo y los mrgenes). Solucin: a)

Solucin: a) log 30 = log 3 10 = log 3 + log 10 = 1,4771 b) log 900 = log 32 100 = 2 log 3 + log 100 = 2,9542 log 3 c) log 1/3 = = 0,2386 2 log (33 10) 3 log 3 + log 10 5 d) log 270 = = = 0,4863 5 5105. Sabiendo que log 45 = 1,6532 y aplicando las propieda-

x x/2 y x y x2 = = y2 y x/2 2 Adems: xy = 1 y = 1/x 1 x2 = x4 = 2 2 x2 4 4 x = 2, y = 1/ 2 b) 297 mm 210 mm104. Sabiendo que log 3 = 0,4771 y aplicando las propiedades

des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 4,5 b) log 450 c) log 45 y d) log 4 5003

Solucin: a) log 4,5 = 0,6532 b) log 450 = 2,6532 c) log 45 = 0,8266 3,6532 3 d) log 4 500 = = 1,2177 3

de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 30 b) log 900 c) log 1/3 d) log 2705



83

Linux/WindowsPaso a paso106. Calcula:

4 5 2+ 3 3 6 8

(

)

110. Calcula:

50 4 18 + 7 8

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.107. Halla

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.111. Racionaliza:

la expresin decimal con 14 dgitos del siguiente nmero y clasifcalo como peridico o irracional: 51 22

5 6 + 7

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.112. Calcula: log3 29

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.108. Calcula los 10 primeros trminos de la siguiente su-

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.113. En

cesin: an = 5n 2 Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.109. Calcula:

una proporcin continua los extremos son x y x 1, y los medios, 1. Halla el valor positivo de x. Qu clase de nmero es?

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.114. Internet.

n+

lm 3n 2 n

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.

Abre: www.editorial-bruno.es, elige Matemticas, curso y tema.

Practica115. Calcula:

a) 5 2 5 4 3 6 Solucin: 25 a) 36116. Halla

b) 4 : 8 7 3 5 20 b) 81

( )

las expresiones decimales, con 14 dgitos, de los siguientes nmeros y clasifcalos como peridicos o irracionales: 7 a) 531 b) 53 c) 251 d) 110 7

84

SOLUCIONARIO


Solucin: a) 4,827272727272727 Peridico Racional b) 1,9932353156382018 No peridico Irracional c) 35,857142857142857142 Peridico Racional d) 3,1415926535914039 No peridico Irracional

Windows Derive117. Calcula

los 10 primeros trminos de las siguientes sucesiones: a) an = 2n b) an = 2n + 3 c) an = ( 1)n (n + 1) d) an = 3 1 2

121. Calcula:

()

n

a) L 87,34 b) log 456,208 c) log2 0,00345 d) log27 890,45 Solucin: a) 4,4698 b) 2,659 c) 8,179 d) 2,060

Solucin: a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 b) 5, 7, 9, 11 ,13, 15, 17, 19, 21, 23 c) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 d) 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, 3/32, 3/64, 3/128, 3/256, 3/512, 3/1 024118. Calcula los lmites siguientes:

a) lm 1 n+ n c) lm 2n + 1 n n+ Solucin: a) 0 b) + @ c) 2 d) 3119. Calcula:

b) lm

n+

n2

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayuda de Wiris o DERIVE:122. Halla la arista de un cubo de 5 dm3 de volumen.

2 d) lm 23n + 5 n+ n 4n + 1

Solucin: Arista: 1,71 dm123. Mediante

a) 7 27 5 192 + 2 507 b) 2 125 14 320 + 3 500 Solucin: a) 7 3 b) 72 5120. Racionaliza:

ensayo-acierto halla el trmino general de las siguientes sucesiones y luego calcula los 10 primeros trminos para comprobarlo. a) 3, 7, 11, 15, b) 5, 10, 20, 40, c) 1, 4, 9, 16, 25, d) 1, 3, 5, 7, 9,

a) b)

10

55 14 13

Solucin: a) an = 4n 1 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39 b) an = 5 2n 1 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1 280, 2 560 c) an = n2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 d) an = ( 1)n + 1(2n 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19124. Un yate cuesta 4,5 105 y se devala cada ao un


Solucin: a) 2 5 b) 5 14 + 5 13

18 %. Cuntos aos tardar en valer menos de 10 000 ? Solucin: 4,5 105 0,82x = 10 000 x = 19,18188200 aos.


85

2

lgebra

1. Ecuaciones de 1er y 2 grado Piensa y calculaResuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = 5 b) 3x = 12 c) x2 = 25 Solucin: a) x = 2 d) x(x 7) = 0 e) 5x2 = 0 f) |x| = 7

b) x = 4

c) x = 5

d) x = 0, x = 7

e) x = 0

f) x = 7

Aplica la teora1. Resuelve las siguientes ecuaciones:3x 1 6x + 5 1 + 2 = 2x + 4 8 8 4x 3 5x + 3 5x 2 5 b) + 10 = 3x 12 6 4 2 a) Solucin: a) x = 1/2 Solucin: a) = 169 > 0 Tiene dos races reales y distintas. b) = 0 Tiene una sola raz real, que es doble. c) = 36 < 0 No tiene races reales. d) = 23 < 0 No tiene races reales.

b) x = 5

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x2 + x 6 = 0 c) 6x2 + 5x 4 = 0 Solucin: a) x1 = 2, x2 = 3 c) x1 = 1/2, x2 = 4/3 b) x2 10x + 25 = 0 d) 2x2 + 7x 15 = 0

5. Halla la descomposicin factorial de los siguientes trinomios de 2 grado: a) x2 + 5x 14 c) 3x2 10x + 3 Solucin: b) 6x2 x 2 d) 5x2 + 24x 5

b) x1 = x2 = 5 d) x1 = 3/2, x2 = 5

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: 12 = 0 a) c) 4x2 9 = 0 Solucin: a) x1 = 2, x2 = 2 c) x1 = 3/2, x2 = 3/2 3x2 b) + 6x = 0 d) 5x2 + 7x = 0 2x2

a) (x 2)(x + 7) b) 6(x 2/3)(x + 1/2) c) 3(x 3)(x 1/3) d) 5(x + 5)(x 1/5) Grupo Editorial Bruo, S.L.

b) x1 = 0, x2 = 3 d) x1 = 0, x2 = 7/5

6. Halla un nmero sabiendo que dicho nmero ms su mitad y menos su sexta parte es igual a16 Solucin: x + x/2 x/6 = 16 x = 12

4. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuntas races tienen: a) 2x2 7x 15 = 0 c) x2 4x + 13 = 0 b) 4x2 + 12x + 9 = 0 d) 6x2 7x + 3 = 0

86

SOLUCIONARIO

2. Factorizacin de polinomios Piensa y calculaFactoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus races: b) x2 + 2x + 1 c) x2 6x + 9 d) x2 16 a) x2 + 5x Solucin: a) x(x + 5) x1 = 0, x2 = 5 c) (x 3)2 x1 = x2 = 3 b) (x + 1)2 x1 = x2 = 1 d) (x + 4)(x 4) x1 = 4, x2 = 4

Aplica la teora7. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:a) x2 + 3x b) x2 4 c) x2 2x + 1 Solucin: a) x(x + 3) c) (x 1)2 b) (x + 2)(x 2) d) (x + 2)2 d) x2 + 4x + 4

10. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus races:a) x4 + 2x3 3x2 4x + 4 b) x5 2x4 2x3 + 4x2 + x 2 Solucin: a) (x 1)2(x + 2)2 x1 = x2 = 1, x3 = x4 = 2 b) (x 1)2(x + 1)2(x 2) x1 = x2 = 1, x3 = x4 = 1, x5 = 2

8. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y hallasus races: a) x3 4x b) x3 + 2x2 + x c) x4 25x2 d) x3 6x2 + 9x Solucin: a) x(x + 2)(x 2) x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2 b) x(x + 1)2 x1 = 0, x2 = x3 = 1 c) x2(x + 5)(x 5) x1 = x2 = 0, x3 = 5, x4 = 5 d) x(x 3)2 x1 = 0, x2 = x3 = 3

11. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus races:a) 6x3 7x2 14x + 8 b) 5x4 33x3 + 66x2 28x 24 Solucin: a) 6(x 2)(x 1/2)(x + 4/3) x1 = 2, x2 = 1/2, x3 = 4/3 b) 5(x 2)2(x 3)(x + 2/5) x1 = x2 = 2, x3 = 3, x4 = 2/5

12. Halla un polinomio que tenga las siguientes races:a) x1 = 1, x2 = 2 b) x1 = 3/5, x2 = 0 c) x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 d) x1 = 0, x2 = x3 = 1, x4 = 3 Solucin: a) (x 1)(x 2) = x2 3x + 2 b) 5x(x 3/5) = 5x2 3x c) (x 2)(x + 1)(x 3) = x3 4x2 + x + 6 d) x(x 1)2(x 3) = x4 5x3 + 7x2 3x

9. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus races:a) b) Grupo Editorial Bruo, S.L.

x3 x3

4x2 x2

11x + 30

8x + 12

Solucin: a) (x 2)(x + 3)(x 5) x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5 b) (x + 3)(x 2)2 x1 = 3, x2 = x3 = 2

TEMA 2. LGEBRA

87

3. Fracciones algebraicas Piensa y calculaFactoriza mentalmente el numerador y el denominador, y simplifica la fraccin algebraica Solucin: x(x + 1) x = (x + 1)2 x + 1 x2 x2 + x + 2x + 1

Aplica la teora13. Descompn mentalmente en factores el numerador yel denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) x2 + x 2x + 2 x2 + 2x + 1 x2 1

16. Efecta:a) b) x+2 x2 2 x1 x 4 x + 3 x2 + 2 x + 1 x2 9

Solucin: x(x + 1) x a) = 2(x + 1) 2 x+1 (x + 1)2 b) = (x + 1)(x 1) x 1

Solucin: x2 a) 2 3x + 2 x x2 + 2 b) 2 2x 3 x

17. Calcula:a) b) x + 2 x2 4 : x + 4 x2 16 2x + 2 x2 1 : x2 + 1 3x2 + 3

14. Completa:a) b) 2x + 1 x+3 = x2 9 x2 1 = 2x + 5 x1

Solucin: a) 2x2 5x 3 b) 2x2 + 7x + 5

Solucin: x4 a) x2 6 b) x1

15. Calcula:2 1 a) + x1 x+1 b) 2x x + 1 x2 4 x + 2

18. Opera y simplifica:a) b)

Solucin: 3x + 1 a) x2 1 x2 + 3x + 2 b) x2 4

Solucin: x2 7x + 10 a) 2(x + 1) (x + 4)2 b) x(x2 9)

88

SOLUCIONARIO


( (

2 2 1 : x+1 x 2 x2 4x + 4 1 1 + x3 x2 9

)

)(

1 1 : x x+4

)

4. Aplicaciones de las ecuaciones de 2 grado Piensa y calculaObservando la representacin grfica, calcula las soluciones del sistema:Y y = x2 + 4x + 2 X y=x2

y = x 2 2 + 4x + 2 y=x

Solucin: x1 = 4, y1 = 2

x2 = 1, y2 = 1

Aplica la teora19. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x4 10x2 + 9 = 0 c) x6 9x3 + 8 = 0 b) x4 3x2 4 = 0 d) x6 + 7x3 8 = 0 Solucin: a) x = 2 b) x = 1 c) x = 5 d) x = 3

Solucin: a) x1 = 1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 3 b) x1 = 2, x2 = 2 c) x1 = 1, x2 = 2 d) x1 = 1, x2 = 2

22. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibleso incompatibles: a) x 2y = 0 x2 + y2 = 20 b) 2x + y = 2 2 3x 4 y=x

20. Resuelve las ecuaciones racionales:a) c) 5x 4 2x + 3 5= x+1 x1 x + 1 3x 1 2 = x x+1 3 b) d) x 2 4x 3 = x x2 3x 1 x 1 + = x+2 x2 5

Solucin: a) x1 = 4, y1 = 2; x2 = 4, y2 = 2 Sistema compatible. b) x1 = 3, y1 = 4; x2 = 2, y2 = 6 Sistema compatible.

23. Halla un nmero sabiendo que dicho nmero ms suinverso es igual a 26/5 Solucin: x + 1/x = 26/5 x = 5, x = 1/5

Solucin: a) x1 = 2, x2 = 1/4 c) x1 = 3, x2 = 1/4 Grupo Editorial Bruo, S.L.

b) x1 = 1, x2 = 4/3 d) x1 = 1/3, x2 = 6/7

21. Resuelve las ecuaciones irracionales:a) 3x + 17 4x = 4x + 1 b) 3 x + 3x + 12 = x + 8 c) 2x + 6 x 1 = 2 d) 5x + 1 = 5 x 2

24. Halla un nmero, sabiendo que el nmero menos laraz cuadrada, de dicho nmero al cuadrado menos 7 unidades, es igual a uno. Solucin: x x2 7 = 1 x=4

TEMA 2. LGEBRA

89

5. Ecuaciones exponenciales, logartmicas y sistemas Piensa y calculaResuelve mentalmente las siguientes ecuaciones exponenciales y logartmicas: b) 2x = 1/8 c) 2x = 1 d) 2x = 2 e) log5 x = 3 f) log5 x = 3 a) 2x = 8 Solucin: a) x = 3 e) x = 125 b) x = 3 f) x = 1/125 c) x = 0 g) x = 1 g) log5 x = 0 h) log5 x = 1

d) x = 1 h) x = 5

Aplica la teora25. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logartmicas: a) 2x + 2x + 1 = 24 c) 5x 2 3x + 1 = 0 Solucin: a) x = 3 c) x = 8,45 b) 9x 10 3x + 9 = 0 d) log (x + 3) + log x = 1

27. Resuelve los sistemas: a) 2x + 3y = 11 x + 1 3y 1 = 1 2 b) 2 log x + log y = 2 log xy = 1 Solucin: a) x = 1, y = 2 b) x = 10, y = 1

b) x1 = 0, x2 = 2 d) x = 2

26. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logartmicas: a) 4 log x + 1 = log 16 + log 5x b) 4x 10 2x + 16 = 0 c) 5x 1 + 5x + 5x + 1 = 31 d) 6x 3 5x + 4 = 0 Solucin: a) x = 2 c) x = 1

28. En la frmula del capital final, en el inters compuestoC = c(1 + r)t, donde C es el capital final, c el capital inicial, r el tanto por uno y t el nmero de aos. Calcula el nmero de aos que tienen que transcurrir para que un capital de 10 000 colocado al 5 % se transforme en 15 000 Solucin: 10 000 1,05t = 15 000 t = 8,3 aos

b) x1 = 3, x2 = 1 d) x = 64,79

6. Inecuaciones polinmicas y racionales Piensa y calculaObservando la grfica, halla los intervalos de los valores de x en los que la parbola y = x2 2x 3 es positiva.Y + B(1, 0) + Grupo Editorial Bruo, S.L.

X A(3, 0) y = x2 2x 3

Solucin: Positiva (+) : ( , 1) U (3, + )

90

SOLUCIONARIO

Aplica la teora29. Resuelve las siguientes inecuaciones polinmicas:a) x2 5x + 4 < 0 c) x2 + 6x + 9 0 b) x2 + x + 2 > 0 d) 1 0 1 x3 2x2 5x + 6 0 4

31. Resuelve las siguientes inecuaciones polinmicas:a) x3 3x 2 > 0 b) x3 8x2 + 20x 16 0 Solucin: a) 0 (2, + @) 1 4 0 ( @, 4] 1

Solucin: a) (1, 4) b) = ( @, + @) 3 x = 3 d) 2 [ 2, 1] U [3, + @)

2

0 1

b)

c)

0 1 1 0 1 3

32. Dada la funcin f(x) = x2 + 6x 8, halla:a) cundo vale cero. b) cundo es positiva.

30. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:a) c) x+2 0 x1

c) cundo es negativa. Solucin: a) x1 = 2, x2 = 4 b) (2, 4) c) ( @, 2) U (4, + @) x2 x , halla: x2 4

x2 2x + 1 0 x2 + x 6 3

Solucin: a) ( 2, 3) b)

33. Dada la funcin f(x) =a) cundo vale cero. b) cundo es positiva. c) cundo es negativa.

c)

0 1 ( @, 3) U {1} U (2, + @)

Solucin: a) x1 = 0, x2 = 1 b) ( @, 2) U (0, 1) U (2, + @) c) ( 2, 0) U (1, 2)

7. Mtodo de Gauss Piensa y calcula Grupo Editorial Bruo, S.L.

Calcula mentalmente el valor de z en la 3 ecuacin. Sustituye ese valor en la 2 ecuacin y calcula mentalmente el valor de y. Sustituye el valor de z y de y en la 1 ecuacin, y calcula mentalmente el valor de x x+y z=0 y+ z=6 3z = 6 Solucin: z=2

y=4

x = 2

TEMA 2. LGEBRA

91

Aplica la teora34. Resuelve, aplicando el mtodo de Gauss, los sistemas:a) 2x + y 3z = 1 x 2y + 4z = 19 3x + 4y z = 1 b) x+ y+ z= 2 2x y + 3z = 11 x + 2y z = 2

36. Resuelve, aplicando el mtodo de Gauss, los sistemas:a) 2x y + z = 11 x y + 3z = 15 3x + 2y 5z = 17 b) 4x y z = 0 2x + y + z = 3 6x 2y 3z = 6 Solucin: a) x = 2, y = 4, z = 3 b) x = 1/2, y = 3, z = 5

Solucin: a) x = 5, y = 3, z = 2 b) x = 3, y = 2, z = 1

35. Resuelve, aplicando el mtodo de Gauss, los sistemas:a) 2x y + z = 8 x + 3y 2z = 5 2x + y + 3z = 4 b)

37. Calcula tres nmeros tales que la suma de los tres es 9.El mediano disminuido en una unidad es la tercera parte de la suma del mayor y el menor. La diferencia entre el mayor y el menor excede en uno al mediano. Solucin: x: el nmero menor. y: el nmero mediano. z: el nmero mayor. x+y+z=9 y 1 = (x + z)/3 zx=y+1 x = 1, y = 3, z = 5

x+ y z= 0 2x 3y + z = 13 3x + 2y + 5z = 8

Solucin: a) x = 3, y = 4, z = 2 b) x = 3, y = 2, z = 1

8. Resolucin de problemasHalla mentalmente tres nmeros enteros consecutivos menores que 7, de forma que sean los lados de un tringulo rectngulo. Solucin: 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52 Grupo Editorial Bruo, S.L.

Piensa y calcula

92

SOLUCIONARIO

Aplica la teora38. Un segmento AB tiene de longitud 42 cm.Halla un punto P de dicho segmento de forma que el tringulo equiltero construido sobre AP tenga el mismo permetro que el cuadrado construido sobre PB. Solucin:

41. En un prado se quiere cercar una zona rectangular para que paste una cabra. Se tiene 24 m de valla y queremos que el rea del recinto delimitado sea de 32 m2. Calcula las dimensiones de la zona vallada. Solucin:

y x A x P 42 x B Largo: x Ancho: y 2x + 2y = 24 xy = 32 x = 8 m, y = 4 m El largo mide 8 m, y el ancho mide 4 m

Medida de los segmentos: AP = x, PB = 42 x 3x = 4(42 x) x = 24 cm

42. Los lados de un tringulo rectngulo son nmeros que 39. Entre Sonia y Alba tienen 300 . Alba tiene el triple dedinero que Sonia. Cunto dinero tiene cada una? Solucin: Sonia tiene: x Alba tiene: 300 x 300 x = 3x x = 75 Sonia tiene: 75 Alba tiene: 225 se diferencian en tres unidades. Calcula las longitudes de dichos lados. Solucin: x+6

x

x+3 Cateto menor: x Cateto mayor: x + 3 Hipotenusa: x + 6 x2 + (x + 3)2 = (x + 6)2 Si x = 9, los lados miden: 9, 12 y 15 Si x = 3, los lados miden: 3, 0 y 3, que no son valores vlidos.

40. En un tringulo issceles, cada uno de los lados igualesmide 5 m ms que el desigual. Si el permetro mide 34 m, cunto mide cada lado? Solucin:

43. Un piso tiene forma rectangular y su rea es de 120 m2.x+5 x+5 Si el largo mide 2 m ms que el ancho, cules son las dimensiones del piso? Solucin: x x Grupo Editorial Bruo, S.L.

x+2 Ancho: x Largo: x + 2 x(x + 2) = 120 Si x = 10, el ancho es 10 m y el largo 12 m Si x = 12, los lados son 12 y 10, que no son valores vlidos.

El lado desigual: x Cada lado igual: x + 5 x + 2(x + 5) = 34 x=8m El lado desigual mide 8 m Cada lado igual mide 13 m

TEMA 2. LGEBRA

93

44. Un coche sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, quedista 900 km de A, con una velocidad de 80 km/h. Dos horas ms tarde sale de la misma ciudad A con direccin a la ciudad B una moto a 120 km/h. Cunto tiempo tardar en alcanzar la moto al coche? A qu distancia de la ciudad A lo alcanzar? Solucin:Coche v = 80 km/h t=t

Coche e: e v: 80 km/h t: t e = vt e = 80t

Moto e: e v: 120 km/h t: t 2 e = vt e = 120(t 2)

Hay que resolver el sistema: e e C B e = 80t e = 120(t 2) t=6h e = 80 6 = 480 km

A

Moto v = 120 km/h t=t2

94

SOLUCIONARIO


Ejercicios y problemas1. Ecuaciones de 1er y 2 grado45. Resuelve las siguientes ecuaciones: 49. Halla la descomposicin factorial de los siguientes trino-

x x x a) x + + + = 25 2 3 4 b) c) 2x 3 5x + 1 1 = 2x 4 6 12 3x 1 2x + 5 8 = 4x 6 8 3 2x 5 3x + 7 8 + + 2x = 3 5 5

mios de 2 grado: a) x2 x 6 c) 2x2 9x 5 Solucin: a) (x + 2)(x 3) c) 2(x 5)(x + 1/2)

b) 9x2 + 12x + 4 d) 6x2 5x 6

b) 9(x + 2/3)2 d) 6(x 3/2)(x + 2/3)

d)

50. Halla ecuaciones de 2 grado que tengan las siguientes

Solucin: a) x = 12 c) x = 1/2

b) x = 3/5 d) x = 2

races: a) x1 = 3, x2 = 1 c) x1 = 1/2, x2 = 5

b) x1 = 2, x2 = 3 d) x1 = 3, x2 = 3/4

46. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 3x 10 = 0 c) 3x2 7x 6 = 0 Solucin: a) x1 = 2, x2 = 5 b) x1 = x2 = 3 c) x1 = 3, x2 = 2/3 d) x1 = 1/2, x2 = 2/3

b) x2 6x + 9 = 0 d) 6x2 + 7x + 2 = 0

Solucin: a) (x + 3)(x 1) = x2 + 2x 3 b) (x + 2)(x 3) = x2 x 6 c) 2(x + 1/2)(x 5) = 2x2 9x 5 d) 4(x 3)(x 3/4) = 4x2 15x + 9

51. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla la suma y el

producto de sus races: a) x2 + 2x 8 = 0 c) 15x2 + x 2 = 0 Solucin: a) S = 2, P = 8 c) S = 1/15, P = 2/15

b) x2 7x + 10 = 0 d) 4x2 19x 5 = 0


a) 5x2 20 = 0 c) 9x2 25 = 0 Solucin: a) x1 = 2, x2 = 2 b) x1 = 0, x2 = 2 c) x1 = 5/3, x2 = 5/3 d) x1 = 0, x2 = 8/3

b) 3x2 + 6x = 0 d) 3x2 8x = 0

b) S = 7, P = 10 d) S = 19/4, P = 5/4

2. Factorizacin de polinomios52. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

a) x4 2x2 c) x2 + 6x + 9 Solucin: a) x2(x + 2 )(x 2 ) c) (x + 3)2

b) x2 16 d) x2 10x + 25

48. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla cuntas

races tienen: a) x2 + 10x + 25 = 0 c) x2 6x + 13 = 0

b) + 8x 3 = 0 d) x2 + 8x + 15 = 0

3x2

b) (x + 4)(x 4) d) (x 5)2


Solucin: a) = 0 Tiene una sola raz real, que es doble. b) = 100 > 0 Tiene dos races reales y distintas. c) = 16 < 0 No tiene races reales. d) = 4 > 0 Tiene dos races reales y distintas.

53. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla

sus races: a) x3 9x c) x4 16x2

b) x3 + 10x2 + 25x d) x3 8x2 + 16x

Solucin: a) x(x + 3)(x 3) x1 = 0, x2 = 3, x3 = 3 b) x(x + 5)2 x1 = 0, x2 = x3 = 5 c) x2(x + 4)(x 4) x1 = x2 = 0, x3 = 4, x4 = 4 d) x(x 4)2 x1 = 0, x2 = x3 = 4

TEMA 2. LGEBRA

95

Ejercicios y problemas54. Halla la descomposicin factorial de los siguientes poli58. Completa:

nomios y calcula sus races: a) 15x3 8x2 9x + 2 b) 5x3 2x2 20x + 8 c) 49x3 28x2 + 4x d) 3x4 x3 57x2 71x + 30 Solucin: a) 15(x 1)(x 1/5)(x + 2/3) x1 = 1, x2 = 1/5, x3 = 2/3 b) 5(x 2)(x + 2)(x 2/5) x1 = 2, x2 = 2, x3 = 2/5 c) 49x(x 2/7)2 x1 = 0, x2 = x3 = 2/7 d) 3(x + 2)(x + 3)(x 5)(x 1/3) x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 1/355. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus races:

a)

2x + 3 x+1 = x2 1

b)

x2 + 3x = x3 x2 9

Solucin: a) 2x2 + x 3 b) x59. Calcula:

a)

3x 5 + x2 x+2

b)

2x + 1 x x+3 x2 + 6x + 9

Solucin: 3x2 + 11x 10 a) x2 460. Efecta:

2x2 6x 3 b) (x + 3)2

a)

a) x3 5x2 2x + 10 b) 8x5 + 18x4 + x3 6x2 Solucin: a) (x 5)(x 2 )(x + 2 ) x1 = 5, x2 = 2 , x3 = 2 b) 8x2(x + 2)(x 1/2)(x + 3/4) x1 = x2 = 0, x3 = 2, x4 = 1/2, x5 = 3/456. Escribe un polinomio que tenga las siguientes races:

x+1 3x2 + 1 x 1 x2 + 2x + 1

b)

x x3 x+1 x2

Solucin: 3x2 + 1 a) x2 161. Calcula:

x3 b) x2 + x

a)

x+1 x2 1 : 2 x + 5 x + 10x + 25

b)

x + 2 : x2 + 4x + 4 5x2 + 5 x2 + 1

a) x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 b) x1 = x2 = 3, x3 = 0 c) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 d) x1 = 2, x2 = x3 = 1, x4 = 2 Solucin: a) (x 2)(x 3)(x 1) = x3 6x2 + 11x 6 b) (x 3)2 x = x3 6x2 + 9x c) (x 1)(x + 2)(x 3) = x3 2x2 5x + 6 d) (x 2)(x 1)2(x + 2) = x4 2x3 3x2 + 8x 4

Solucin: x+5 a) x162. Opera y simplifica:

5 b) x+2

a) b)

( (

5x 2x + 3 x 5 : x1 x2 x2 1 +4 2x 3

)(

)

1 1 x x3

) 24x + 33 b) 2x3 9x2 + 9x

Solucin: 3x2 11x + 3 a) x2 6x + 5

3. Fracciones algebraicas57. Descompn mentalmente en factores el numerador y el Grupo Editorial Bruo, S.L.

denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 3x2 3x x2 + 4x + 4 a) b) 6x 6 x2 4 Solucin: 3x(x 1) x a) = 6(x 1) 2

4. Aplicaciones de las ecuaciones de 2 grado63. Resuelve las siguientes ecuaciones:

x+2 (x + 2)2 b) = (x + 2)(x 2) x 2

a) x4 13x2 + 36 = 0 b) x4 3x2 4 = 0 c) x4 10x2 + 25 = 0 d) x6 7x3 8 = 0 SOLUCIONARIO

96

Solucin: a) x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 3 b) x1 = 2, x2 = 2 c) x1 = 5, x2 = 5 d) x1 = 2, x2 = 1

67. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibles

o incompatibles: a) x + y = 5 x2 y2 = 9 Solucin: a) x = 17/5, y = 8/5 El sistema es compatible. b) x = 4, y = 3 El sistema es compatible.68. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibles

b) 4 25 x + y = 3 3 x2 + y2 = 25


a)

5x 1 2x + 3 21 = x+1 x 2

b) 12 + 3x + 10 = 2x + 7 c) 3x 2x 1 3 = x+3 2 o incompatibles: a) 8x y2 = 0 2x y = 8 b) 4x = y2 2x y = 2

d) x + 6 + 4 = 6 + 2x 5 Solucin: a) x1 = 2, x2 = 1/5 b) x = 5 c) x1 = 1/2, x2 = 7/3 d) x = 365. Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solucin: a) x1 = 2, y1 = 4; x2 = 8, y2 = 8 El sistema es compatible. b) No tiene solucin real. El sistema es incompatible.

a) 5x x + 2 = 3x + 2 7x 3 5x + 1 5 b) +8= x+2 x2 3 c) x + 9 + x = 9 2x + 3 x d) = 5x + 2 5 x3 x+3 x2 9 Solucin: a) x = 2 b) x1 = 4, x2 = 16/25 c) x = 16 d) x1 = 2, x2 = 19/6

5. Ecuaciones exponenciales, logartmicas y sistemas69. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rtmicas: a) 3x + 3x 1 = 12 b) 4x 10 2x + 16 = 0 c) 2x + 1 = 3x 1 d) log (x + 3) log (x 2) + 2 log 5 = 2 Solucin: a) x = 2 c) x = 4,42

b) x1 = 3, x2 = 1 d) x = 11/3

66. Resuelve los siguientes sistemas y di si son compatibles

70. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

o incompatibles: a) Grupo Editorial Bruo, S.L.

rtmicas: 6 b) y = x 2y = 3x a) 3x + 2 4x 3 = 0 b) 5x + 2 4 5x + 1 8 5x 1 = 85 c) log3 (5x + 2) log3 (2x 1) = 1 d) 4 22x 33 2x + 8 = 0 Solucin: a) x = 22,09 c) x = 5

5x y = 3 5x2 y = 13

Solucin: a) x1 = 2, y1 = 7; x2 = 1, y2 = 8 El sistema es compatible. b) x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = 3 El sistema es compatible.

b) x = 2 d) x1 = 3, x2 = 2

TEMA 2. LGEBRA

97

Ejercicios y problemas71. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga75. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

rtmicas: a) L x + L (x + 1) L 2 = L 3 b) 3 32x 28 3x + 9 = 0 c) 2x 2 + 2x 1 + 2x + 2x + 1 = 30 d) 5x 2 4x + 1 = 0 Solucin: a) x = 2 c) x = 3

a) c)

x2 0 x2 x x2 + x 6 0 x2 2x + 1

Solucin: a) b) x1 = 2, x2 = 1 d) x = 20,64 b) ( , 2) U (3, + ) 3 ( 3, 0) U (1, + ) c) ( , 3) d) 3 ( , 3] U [2, + ) b) x = 2 d) x1 = 0, x2 = 1 0 1 0 1 0 1 0 1

2 3

72. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rtmicas: a) 4x + 1 7x 1 = 0 b) 3x 1 + 3x + 3x + 1 = 39 c) log2 (2x + 5) log2 x + log2 3 = log2 11 d) 52x 6 5x + 5 = 0 Solucin: a) x = 5,95 c) x = 373. Resuelve los sistemas:

3 0 1 2

76. Resuelve las siguientes inecuaciones polinmicas:

a) x3 4x 0 b) x3 + 3x2 x 3 < 0 Solucin: a) 2 0 0 1 1 0 1 2

a) x y = 2 x 2 4y+1 = 8 52 Solucin: a) x1 = 1, y1 = 1; x2 = 3, y2 = 1 b) x = 10, y = 1

b) x + y = 11 log x = log y + 1

b)

[ 2, 0] U [2, + ) 3 1 ( , 3) U ( 1, 1)

77. Dada la funcin f(x) = x2 + 2x + 3, halla:

6. Inecuaciones polinmicas y racionales74. Resuelve las siguientes inecuaciones polinmicas:

a) cundo vale cero. b) cundo es positiva. c) cundo es negativa. Solucin: a) x1 = 3, x2 = 1 b) ( 1, 3) c) ( , 1) U (3, + ) x2 1 , halla: x2 9

a) x2 x 2 < 0 c) x2 + 4x 4 0 Solucin: a) (1, 2) b) 2 ( , 2) U (3, + ) c) = ( , + ) d) 2 ( , 2] U [2, + ) 98 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2

b) x2 x 6 > 0 d) x2 4 0

78. Dada la funcin f(x) =

3

Solucin: a) x1 = 1, x2 = 1 b) ( , 3) U ( 1, 1) U (3, + ) c) ( 3, 1) U (1, 3)

SOLUCIONARIO


a) cundo vale cero. b) cundo es positiva. c) cundo es negativa.

7. Mtodo de Gauss79. Resuelve, aplicando el mtodo de Gauss, los siguientes

83. Se mezcla caf del tipo A de 5,5 /kg con caf del tipo

sistemas: a) x + y + z = 6 2x y 3z = 9 3x + y 2z = 1 Solucin: a) x = 1, y = 2, z = 3

b) 2x + y 2z = 10 3x 4y + 5z = 14 x + y z = 4

B de 4 /kg para obtener una mezcla de 90 kg a 5 /kg. Cuntos kilogramos de caf debemos tomar de cada tipo?

Solucin: Caf de tipo A: x a 5,5 /kg Caf de tipo B: 90 x a 4 /kg 5,5x + 4(90 x) = 5 90 x = 60 kg Caf de tipo A: 60 kg Caf de tipo B: 30 kg

b) x = 1, y = 2, z = 5

80. Resuelve, aplicando el mtodo de Gauss, los siguientes

sistemas: a) 2x 3y + z = 10 x + y 2z = 5 5x 2y 2z = 6 Solucin: a) x = 2, y = 1, z = 3

b) 3x 2y z = 7 4x + y 2z = 5 2x 3y 4z = 7

84. Halla las longitudes de los lados de un rectngulo sabiendo

que el largo es el doble que el ancho y que la superficie mide 50 m2 b) x = 2, y = 3, z = 5 Solucin:

8. Resolucin de problemas81. Ismael tiene tres aos ms que Ana, y Sonia tiene 2 aos

x 2x Ancho: x Largo: 2x x 2x = 50 Si x = 5, el ancho mide 5 m y el largo mide 10 m Si x = 5, se obtienen valores no vlidos.

ms que Ismael. Entre los tres tienen 53 aos. Cuntos aos tiene cada uno? Solucin: Ana: x Ismael: x + 3 x + x + 3 + x + 5 = 53 x = 15 Ana: 15 aos. Ismael: 18 aos.

Sonia: x + 5 Sonia: 20 aos.

82. Cada uno de los lados iguales de un tringulo issceles

mide el triple que el lado desigual. Si el permetro mide 42 m, cunto mide cada lado? Solucin: El lado desigual: x Cada lado igual: 3x x + 2 3x = 42 x=6m El lado desigual mide 6 m Cada lado igual mide 18 m

85. Un frutero compra una caja de pltanos a 0,8 /kg. Se le

estropean 3 kg, que tira a la basura, y el resto los vende a 1,2 . Si gana 18 , cuntos kilogramos de pltanos contena la caja inicialmente? Solucin: Compra: x kg a 0,8 /kg Vende: x 3 a 1,2 /kg 0,8x + 18 = (x 3)1,2 x = 54 kg

3x

3x

x

Para ampliar Grupo Editorial Bruo, S.L.


Solucin: a) x1 = x2 = 0, x3 = 3, x4 = 3 b) x1 = x2 = x3 = 0, x4 = 3 c) x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 3 d) x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1/2, x4 = 1/2 99

a) x4 3x2 = 0 b) x6 27x3 = 0 c) x4 7x2 + 12 = 0 d) 4x4 17x2 + 4 = 0

TEMA 2. LGEBRA

Ejercicios y problemas87. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) x(x + 3) = 0 c) x(x + 2)(3x 6) = 0 Solucin: a) x1 = 0, x2 = 3 b) x1 = 1, x2 = 5 c) x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2 d) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 5/2

b) (x + 1)(x 5) = 0 d) x(x 1)(2x + 5) = 0

Solucin: a) 6(x 1)(x + 1/6) c) 15(x 1)(x 2/15)

b) 9(x 2/3)(x 4/3) d) 6(x 3/2)(x + 2/3)

93. Plantea una ecuacin de segundo grado que tenga:

a) una solucin real doble. b) dos soluciones reales y distintas. Solucin: a) (x 3)2 = 0 x2 6x + 9 = 0 b) (x + 2)(x 3) = 0 x2 x 6 = 094. Sabiendo que la ecuacin 4x2 + kx 9 = 0 tiene dos ra-

88. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) 2x2 = 0 c) x2 4x = 0 Solucin: a) x1 = x2 = 0 c) x1 = 0, x2 = 4

b) x2 9 = 0 d) 3x2 7x = 0

ces opuestas, halla el valor de k b) x1 = 3, x2 = 3 d) x1 = 0, x2 = 7/3 Solucin: k=095. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

89. Halla mentalmente la descomposicin factorial de los si-

guientes trinomios de 2 grado: b) x2 + 12x + 36 a) x2 7x 2 25 d) x2 14x + 49 c) x Solucin: a) x(x 7) c) (x + 5)(x 5)

a) x2 + x + 1/4 b) x2 3 Solucin: a) (x + 1/2)2 b) (x + 3 )(x 3 )96. Factoriza mentalmente los siguientes polinomios:

b) (x + 6)2 d) (x 7)2

90. Halla ecuaciones de 2 grado que tengan las siguientes

races: a) x1 = 2, x2 = 5 c) x1 = 1/2, x2 = 2/3

b) x1 = 1, x2 = 4 d) x1 = 4, x2 = 1/3

a) x2 + 2x/3 + 1/9 b) 4x2 12x + 9 c) x2 + 2x/5 + 1/25 d) 9x2 25 Solucin: a) (x + 1/3)2 c) (x + 1/5)2

Solucin: a) (x 2)(x + 5) = 0 x2 + 3x 10 = 0 b) (x + 1)(x 4) = 0 x2 3x 4 = 0 c) (x 1/2)(x 2/3) = 0 6x2 7x + 2 = 0 d) (x 4)(x + 1/3) = 0 3x2 11x 4 = 091. Sin resolver las siguientes ecuaciones, halla la suma y el

b) (2x 3)2 d) (3x + 5)(3x 5)

97. Factoriza los siguientes polinomios:

producto de sus races: a) x2 + 5x + 6 = 0 c) 5x2 14x 3 = 0 Solucin: a) S = 5, P = 6 c) S = 14/5, P = 3/5

a) x5 16x b) x6 25x2 Solucin: a) x(x 2)(x + 2)(x2 + 4) b) x2(x + 5 )(x 5 )(x2 + 5)98. Factoriza los siguientes polinomios: Grupo Editorial Bruo, S.L.

b) x2 + 3x 10 = 0 d) 6x2 + x 2 = 0

b) S = 3, P = 10 d) S = 1/6, P = 1/3

a) x4 8192. Halla la descomposicin factorial de los siguientes trino-

b) x4 9x2

mios de 2 grado: a) 6x2 5x 1 c) 15x2 17x + 2 100

b) 9x2 18x + 8 d) 6x2 5x 6

Solucin: a) (x + 3)(x 3)(x2 + 9) b) x2(x 3)(x + 3)

SOLUCIONARIO

99. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus races:

a) 14x3 27x2 6x + 8 b) x3 3x2 13x + 15 c) x4 7x3 3x2 + 21x d) x4 4x3 x2 + 20x 20 Solucin: a) 14(x 2)(x 1/2)(x + 4/7) x1 = 2, x2 = 1/2, x3 = 4/7 b) (x 1)(x + 3)(x 5) x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5 c) x(x 7)(x + 3 )(x 3 ) x1 = 0, x2 = 7, x3 = 3 , x4 = 3 d) (x 2)2(x + 5 )(x 5 ) x1 = x2 = 2, x3 = 5 , x4 = 5100. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la factori-

Solucin: 3x(x 3) 3x a) = 2 (x 3) x3103. Calcula:

x+5 (x + 5)2 b) = (x + 5)(x 5) x 5

a)

4 3 + x+1 x x 2 x2 4

b)

x + x+2 3 x x2 1 x2 x

Solucin: 6x2 + 5x 16 a) x(x2 4)104. Efecta:

x2 + 3x + 5 b) x (x2 1)

a)

x2 1 x2 + 4x + 4 x3 x2 x2 4 2 b) 2 2 x2 4 x + 2x + 1 x + 5x + 6 x + x

Solucin: x2 + x 2 a) x2 x 2105. Calcula:

x3 3x2 + 2x b) x2 + 4x + 3

zacin de polinomios: a) x3 27 = 0 c) x3 2x2 49x + 98 = 0 Solucin: a) (x 3)(x2 + 3x + 9) x1 = 3 b) (x 1)(x + 1)(x2 + 3) x1 = 1, x2 = 1 c) (x 2)(x 7)(x + 7) x1 = 2, x2 = 7, x3 = 7 d) 4(x 4)(x 1/2)(x + 1/2) x1 = 4, x2 = 1/2, x3 = 1/2

b) x4 + 2x2 3 = 0 d) 4x3 16x2 x + 4 = 0

a) b)

3x2 + 6x + 3 x2 + 2x + 2 : x4 + x3 x3 + x2 x2 4x2 1 : 2x + 1 10x + 25 x2 25

Solucin: 3x2 + 6x + 3 a) x3 + 2x2 + 2x

2x2 + 9x 5 b) x 5

106. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

101. Escribe un polinomio que tenga las siguientes races:

6 y= x x2 + y2 = 13

3 b) x + 2y = x 2 x+y= y

a) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 b) x1 = x2 = 1, x3 = 4 c) x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1 d) x1 = 3, x2 = x3 = 2, x4 = 1 Solucin: a) (x 3)(x + 1)(x + 2) x3 7x 6 b) (x + 1)2(x 4) x3 2x2 7x 4 c) (x + 2)(x 2)(x 1) x3 x2 4x + 4 d) (x + 3)(x 2)2(x 1) x4 2x3 7x2 + 20x 12102. Descompn mentalmente en factores el numerador y el

Solucin: a) x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = 3; x3 = 3, y3 = 2; x4 = 3, y4 = 2 b) x1 = 1, y1 = 1; x2 = 1, y2 = 1107. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rtmicas: a) 3x2

x6


=1

b) 21 x =2

1 8

c) 35x 4 = 92x 1 denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 3x2 9x x2 + 10x + 25 a) 2 b) x 6x + 9 x2 25 TEMA 2. LGEBRA Solucin: a) x1 = 3, x2 = 2 c) x = 2

d)

1 log(x 16) = log 3 2

b) x1 = 2, x2 = 2 d) x = 25

101

Ejercicios y problemas108. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y loga-

rtmicas: a) 2x = 4 b) c) 0,5x5 3

Solucin: a) 0 1 La solucin es el conjunto vaco: b) 0 1 La solucin es toda la recta real: c) 0 1 La solucin es el conjunto vaco: d) 0 1 La solucin es toda la recta real:

= 32 = 23

7x

1 d) x = 27 9 Solucin: a) x = 2/3 b) x = 5 c) x = 8,06 d) x = 3/2109. Resuelve los sistemas:

a) 5x = 25 5y log (x + y) log (x y) = log 2 b) 4 2x = 4y + 1 log (x + y) + log (x y) = log 3 Solucin: a) x = 3, y = 1 b) x = 2, y = 1110. Resuelve las siguientes inecuaciones:

112. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) x3 4x 0 b) x4 x2 > 0 c) 5 >0 (x 2)3 9 x2 0 x2 1

d)

Solucin: a)

2

0 0 1 1 0 1

2

a) x2 4x + 4 < 0 b) x2 4x + 4 > 0 c) x2 4x + 4 0 d) x2 4x + 4 0 Solucin: a) 0 1 b) La solucin es el conjunto vaco: 2 0 1 {2} = ( , 2) U (2, + ) c) 0 1 La solucin es el punto: {2} d) 0 1 La solucin es toda la recta real:111. Resuelve las siguientes inecuaciones:

( , 2] U [0, 2] b)

( , 1) U (1, + ) c) (2, + ) d) 3 [ 3, 1) U (1, 3] 2 1

0 1 2 0 1 1 0 1 3

113. Dada la funcin f(x) = |3x + 5|, halla:

a) cundo vale cero. b) cundo es positiva. Grupo Editorial Bruo, S.L.

c) cundo es negativa. Solucin: a) x = 5/3 b) { 5/3} = ( , 5/3) U ( 5/3, + ) c) Nunca es negativa:

a) + 2x + 3 < 0 b) x2 + 2x + 3 > 0 c) x2 + 2x + 3 0 d) x2 + 2x + 3 0 102

x2

SOLUCIONARIO

114. Resuelve los siguientes sistemas:

x y 17 a) + + z = 3 4 12 x+y z 1 = 3 2 6 x y+z = 1 2 6 Solucin: a) x = 2, y = 1, z = 1

Solucin: Tren 1 v = 80 km/h t=t Tren 2 v = 120 km/h t=t

b) x + y + z = 18 x y = 3 4 x z = 3 5

A e = 80t 600 e = 120t

C e

600 e

B

b) x = 9/2, y = 6, z = 15/2

115. Un ngulo de un rombo mide el doble que cada uno de

los contiguos.Cunto mide cada uno de los ngulos de dicho rombo? Solucin: Cada ngulo menor: x Cada ngulo mayor: 2x 2x + 2 2x = 360 x = 60 Cada uno de los dos ngulos menores mide 60, y cada uno de sus contiguos, 120

e = 240; t = 3 h Tardarn en encontrarse 3 horas. Se encuentran a 240 km de A y a 360 km de B

117. Halla las longitudes de los lados de un rectngulo sabiendo

que el permetro mide 34 m, y la diagonal, 13 m Solucin:

x 2x 2x x

13 m

y x

116. Un tren sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, que dis-

ta 600 km de A, con una velocidad de 80 km/h; a la misma hora sale de la ciudad B con direccin a la ciudad A otro tren a 120 km/h. Cunto tiempo tardan en encontrarse? A qu distancia de la ciudad A se encuentran?

x + y = 17 2 + y2 = 169 x x = 5, y = 12, o bien, x = 12, y = 5 Un lado mide 12 m y el otro mide 5 m

Problemas118. Un nmero entero ms el anterior y ms el siguiente es

igual a 51. De qu nmero se trata? Solucin: Nmero entero: x Anterior: x 1 Siguiente: x + 1 x + x 1 + x + 1 = 51 x = 17 Grupo Editorial Bruo, S.L.

Se aplica el teorema de Pitgoras: (x/2)2 + 52 = x2 x = 103 m 3 103 este valor no es vlido. x = ; 3120. El rea de una plaza de toros mide 2 827 m2. Calcula el

119. La altura de un tringulo equiltero es de 5 m. Calcula

radio de la plaza. Solucin:R

cunto mide el lado. Solucin: x5m

A = R2 R2 = 2 827 R = 30 m R = 30; este valor no es vlido.

x/2 TEMA 2. LGEBRA 103

Ejercicios y problemas121. Halla dos nmeros enteros consecutivos sabiendo que 125. Una finca es 5 m ms larga que ancha y tiene 750 m2 de

su producto es 156 Solucin: Un nmero: x El siguiente: x + 1 x(x + 1) = 156 Los nmeros pueden ser: 12 y 13, o bien 13 y 12122. El cateto mayor de un tringulo rectngulo es 7 unidades

superficie. Calcula las dimensiones de la finca. Solucin:x x+5

Lado menor: x Lado mayor: x + 5 x(x + 5) = 750

x = 25, los lados miden 25 y 30 m Si x = 30, se obtiene valores no vlidos.126. Halla un nmero sabiendo que si a dicho nmero eleva-

ms largo que el menor y una unidad menor que la hipotenusa. Calcula las dimensiones de los catetos y de la hipotenusa de dicho tringulo rectngulo. Solucin:x+8 x

do a la cuarta potencia le restamos su cuadrado, se obtiene 72 Solucin: Nmero: x x4 x2 = 72 x = 3, x = 3127. Halla un nmero sabiendo que si le sumamos su raz cua-

x+7

Cateto menor: x Cateto mayor: x + 7 Hipotenusa: x + 8 x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2 Si x = 5, los catetos miden 5 y 12, y la hipotenusa, 13 Si x = 3, se obtienen valores no vlidos.123. Halla las dimensiones de una habitacin rectangular de

drada, se obtiene 30 Solucin: Nmero: x x + x = 30 x = 25128. Halla un nmero sabiendo que la suma de su opuesto con

15 m2 de superficie sabiendo que es 2 metros ms larga que ancha. Solucin:x x+2

su inverso es igual a 5/6 Solucin: Nmero: x x + 1/x = 5/6 x = 2/3, o bien, x = 3/2129. Para ir del punto A al punto C, hacemos el recorrido AP

Lado menor: x Lado mayor: x + 2 x(x + 2) = 15

Si x = 3, los lados miden 3 y 5 m Si x = 5, se obtienen valores no vlidos.124. El nmero de das de un ao no bisiesto es igual al cua-

y luego PC, y andamos en total 19 km. Si la distancia de B a C es de 15 km, a qu distancia de C est el punto P?A 6 km

drado de un nmero entero,ms el cuadrado del siguiente y ms el cuadrado del siguiente. De qu nmero entero se trata? Solucin: N de das de un ao no bisiesto: 365 Nmero: x Nmero siguiente: x + 1 Nmero siguiente del siguiente: x + 2 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = 365 x = 10 x = 12

B

P

C Grupo Editorial Bruo, S.L.

Solucin:A 19 x 6 km15 x

(15 x)2 + 62 = (19 x)2 x = 12,5 kmx

B

P

C

104

SOLUCIONARIO

130. Calcula dos nmeros cuya diferencia es 5 y la suma de

135. La cantidad de un medicamento en la sangre viene dada

sus cuadrados es 73 Solucin: Nmeros: x e y x y =5 x2 + y2 = 73 Los nmeros son 8 y 3, o bien 3 y 8131. Un rectngulo tiene 21 cm2 de rea y su diagonal mide

por la frmula c = 50 0,85t, donde c se mide en miligramos y t en horas. Si cuando la cantidad baja de 14 mg se tiene que administrar una nueva dosis, cada cunto tiempo hay que administrar las dosis? Redondea el tiempo a horas. Solucin: 50 0,85t = 14 log 50 + t log 0,85 = log 14 log 14 log 50 t = = 7,8 log 0,85 Cada 8 horas.

58 cm. Calcula las dimensiones del rectngulo. Solucin: 58 y x

136. Un cultivo de bacterias crece segn la frmula y = 2t/5, don-

xy = 21 x2 + y2 = 58 x = 7, y = 3; o bien x = 3, y = 7 Las dimensiones del rectngulo son 7 cm y 3 cm El resto de soluciones no son vlidas.132. Para vallar una finca rectangular de 600 m2 se han utiliza-

de y es el nmero de miles de bacterias y t se mide en horas. Cunto tiempo tiene que transcurrir para que haya ms de 28 000 bacterias? Solucin: 2t/5 = 28 000 t log 2 = log 28 000 5 5 log 28 000 t = = 73,87 log 2 Deben transcurrir casi 74 horas.

do 100 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. Solucin: xy = 600 x + y = 50 x y

137. La longitud de la circunferencia de un rbol crece segn

x = 30, y = 20; o bien x = 20, y = 30 Las dimensiones de la finca son 30 m y 20 m133. La suma de dos nmeros es 13 y la suma de sus inversos

la frmula c = 0,05e0,2t , donde c es la longitud de la circunferencia medida en metros, y t, el nmero de aos. Cuntos aos tardar en medir 1 m? Solucin: 0,05e0,2t = 1 L 0,05 + 0,2t = 0 L 0,05 t = = 14,98 0,2 Tardar casi 15 aos.

es 13/42. Calcula dichos nmeros. Solucin: x + y = 13 1 1 13 += x y 42 x = 6, y = 7; o bien x = 7, y = 6134. Halla dos nmeros positivos sabiendo que su diferencia

138. Una determinada alga cuya superficie es de 0,5 m2 se du-

es 4 y su producto es 32 Grupo Editorial Bruo, S.L.

plica cada semana. Se colocan cinco de estas algas en un lago de 6 km2. Cunto tiempo tardarn en colonizar todo el lago? Solucin: 5 0,5 2t = 6 106 log 2,5 + t log 2 = 6 + log 6 6 + log 6 log 2,5 t = = 21,19 log 2 Tardarn aproximadamente 21 semanas.

Solucin: xy=4 xy = 32 x1 = 8, y1 = 4 x2 = 4, y2 = 8 Como se piden valores positivos, la solucin negativa no es vlida.

TEMA 2. LGEBRA

105

Ejercicios y problemas139. La mitad de un nmero ms su cuadrado es menor de 145. Una coleccin de 126 discos se ha dividido en tres par-

39. Qu valores puede tomar dicho nmero? Solucin: x/2 + x2 < 39 Los nmeros del intervalo abierto: ( 13/2, 6)140. El permetro de un rectngulo mide 24 m. Qu valores

tes. La primera tiene el doble de discos que la segunda, y entre las dos primeras suman la mitad de la coleccin. Cuntos discos tiene cada parte? Solucin: Primera: 2x Segunda: x 2x + x = 63 x = 21 Primera: 42 discos. Segunda: 21 discos. Tercera: 63 discos.146. Se han comprado 2 500 acciones de tres empresas a 12 ,

pueden tomar los lados para que la superficie sea mayor de 32 m2? Solucin: Base: x Altura: 12 x x(12 x) > 32 Los nmeros del intervalo abierto: (4, 8)141. Halla cundo es positiva la funcin: f(x) = x2 + 5x 4

Solucin: x2 + 5x 4 > 0 En el intervalo: (1, 4)142. Halla cundo es negativa la funcin: f(x) =

10 y 15 , respectivamente, cada accin. Si el capital invertido es de 30 000 y el nmero de acciones de la primera empresa supone un 40% del total, cuntas acciones se han comprado de cada empresa? De 15 : z

x2 4 x

Solucin: x2 4 0 c < 4 c) 16 4c < 0 c > 4144. En una familia de tres miembros ingresan entre los tres

la mitad, y luego la tercera parte de lo que quedaba, y an quedan 4 000 . Cunto dinero haba inicialmente? Solucin: x 1 x + + 4 000 = x 2 3 2 x = 12 000 148. Hoy la edad de un padre es 6 veces la de su hijo, y den-

tro de 9 aos la edad del padre ser el triple de la edad de su hijo. Cuntos aos tiene hoy cada uno? Solucin: Ahora Hijo Padre x 6x Dentro de 9 aos 6x + 9 Grupo Editorial Bruo, S.L.

3 250 al mes. La madre gana el doble que el hijo y el hijo gana el 75% del sueldo del padre. Cul es el salario de cada uno? Solucin: Padre: x Hijo: 0,75 x Madre: 1,5 x x + 0,75x + 1,5x = 3 250 x = 1 000 Padre: 1 000 Hijo: 750 Madre: 1 500

x+9

6x + 9 = 3(x + 9) x=6 La edad del hijo hoy: 6 aos. La edad del padre hoy: 36 aos.

106

SOLUCIONARIO

149. Los lados de un tringulo rectngulo son nmeros que

152. La suma de un nmero par ms el par anterior y ms el

se diferencian en cinco unidades. Calcula las longitudes de dichos lados. Solucin:x + 10

impar siguiente es 77. De qu nmero se trata? Solucin: Nmero par: 2x Par anterior: 2x 2 Impar siguiente: 2x + 1 2x + 2x 2 + 2x + 1 = 77 x = 13 Nmero par: 26 Par anterior: 24 Impar siguiente: 27153. Dos grifos llenan un depsito en dos horas. Si uno echa

x

Cateto menor: x Cateto mayor: x + 5 Hipotenusa: x + 10

x+5

x2 + (x + 5)2 = (x + 10)2 Si x = 15, los catetos miden: 15 y 20; la hipotenusa mide 30 Si x = 5, se obtienen valores no vlidos.

el doble de agua que el otro, cunto tiempo tardara en llenar el depsito cada grifo? Solucin: Caudal

Para profundizar150. Resuelve las siguientes ecuaciones:

Grifo 1 Grifo 2

x 2x

Tiempo t1 t2

Volumen xt1 2xt2

a) |2x + 3| = 5 b) | 3x + 5| = |x 7| c) |x2 + 5| = 9 d) |x2 1| = 8 Solucin: a) 2x + 3 = 5 x = 1 2x + 3 = 5 x = 4 b) 3x + 5 = x 7 x = 3 3x + 5 = x + 7 x = 1 c) x2 + 5 = 9 x1 = 2, x2 = 2 x2 + 5 = 9 No tiene solucin real. d) x2 1 = 8 x1 = 3, x2 = 3 x2 1 = 8 No tiene solucin real.151. Resuelve las siguientes ecuaciones:

Volumen del depsito: 2(x + 2x) = 6x Tiempo grifo 1 del caudal menor: xt1 = 6x t1 = 6 horas. Tiempo grifo 2 del caudal mayor: 2xt2 = 6x t2 = 3 horas.154. Calcula el valor numrico de las siguientes fracciones al-

gebraicas: x2 6x + 9 a) para x = 3 x2 9 Solucin:

b)

x2 + 3x + 2 para x = 2 x2 x 6

a) |x2 5x| = 6 b) |x2 + 7| = 2 c) |x2 x| = 12 d) |2x2 + 5x| = 3 Solucin: a) x2 5x = 6 x1 = 6, x2 = 1 x2 5x = 6 x1 = 2, x2 = 3 b) x2 + 7 = 2 No tiene solucin real. x2 + 7 = 2 No tiene solucin real. c) x2 x = 12 x1 = 4, x2 = 3 x2 x = 12 No tiene solucin real. d) 2x2 + 5x = 3 x1 = 3, x2 = 1/2 2x2 + 5x = 3 x1 = 1, x2 = 3/2

a) Se obtiene 0/0; se puede simplificar previamente. (x 3)2 x3 x2 6x + 9 = = 29 x (x + 3)(x 3) x + 3 Se obtiene: 0 b) Se obtiene 0/0; se puede simplificar previamente. x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x + 1 = = x2 x 6 (x + 2)(x 3) x 3 Se obtiene: 1/5155. Halla dos nmeros enteros consecutivos, sabiendo que

su producto dividido por su suma es igual a 6/5 Solucin: Nmeros: x, x + 1 x(x + 1) 6 =x=2 x+x+1 5 Los nmeros son: 2 y 3 Aparece tambin la solucin x = 3/5, pero no es un nmero entero.


TEMA 2. LGEBRA

107

Ejercicios y problemas156. Halla dos nmeros enteros consecutivos, sabiendo que

su suma ms la raz cuadrada de su suma es igual a 30 Solucin: Nmeros: x, x + 1 x + x + 1 + x + x + 1 = 30 x = 12 Los nmeros son: 12 y 13157. Las diagonales de un rombo son proporcionales a 3 y 2.

se considera que la extincin es inevitable si hay menos de 100 ejemplares,en cuntos aos se alcanzar el punto en el que se considera que la extincin es inevitable? Solucin: 5 000 2 0,3t = 100 log 5 000 0,3t log 2 = 2 log 5 000 2 t = = 18,81 0,3 log 2 Se alcanzar a los 18,81 aos.162. El polonio tiene un perodo de semidesintegracin de 140

El rea del rombo mide 243 cm2. Calcula las diagonales del rombo. Solucin: x y = 3 2 x = 27, y = 18 Las diagonales miden: 27 cm y 18 cm xy = 243 2 Las soluciones negativas no tienen sentido.158. La frmula de revalorizacin de un sueldo viene dada por

das, es decir, cada 140 das se transforma en la mitad de su peso. Si tenemos 200 g de polonio, en cunto tiempo se transformar en 25 g? Solucin: 200 (1/2)t = 25 log 200 t log 2 = log 25 log 200 log 25 t = = 3 log 2 Tiempo: 3 140 = 420 das. Sern 3 perodos.163. En la actualidad la edad de un padre es el triple de la de

S = s(1 + r)t, donde S es el sueldo final, s el sueldo inicial, r el tanto por uno y t el nmero de aos. Calcula el nmero de aos que tienen que transcurrir para que un sueldo anual de 20 000 ,con una revalorizacin del 3,5 % anual, se transforme en 30 000 Solucin: 20 000 1,035t = 30 000 t = 11,79 aos.159. En un lago artificial se introducen 85 truchas, que se re-

su hijo, y dentro de 15 aos la edad del padre ser el doble de la edad de su hijo. Cuntos aos tienen en este momento el padre y el hijo? Solucin: Ahora Hijo Padre x 3x Dentro de 15 aos x + 15 3x + 15

producen segn la frmula N = N es el nmero de truchas y t el nmero de aos. Cunto tiempo tiene que transcurrir para que haya ms de un milln de truchas? Solucin: 85e2t = 1 000 000 t = 4,69 aos.160. La poblacin de una ciudad viene dada por la frmula

85e2t, donde

3x + 15 = 2(x + 15) x = 15 Edad del hijo ahora: 15 aos. Edad del padre ahora: 45 aos.164. Halla el radio de la seccin de un tronco de un rbol pa-

p = 2e0,005t, donde p es el nmero de millones de habitantes, y t, el tiempo en aos. Calcula cuntos aos tienen que transcurrir para que la poblacin sea de 2,5 millones de habitantes. Solucin: 2e0,005t = 2,5 L 2 + 0,005t = L 2,5 L 2,5 L 2 t = = 44,6 0,005 Deben transcurrir 44,6 aos.161. La poblacin de una cierta especie animal en peligro de

ra que tenga 1 m2 de rea. Solucin: 1 A = R2 R2 = 1 R = = 0,56 m = 56 cm Grupo Editorial Bruo, S.L.

165. Halla dos nmeros impares consecutivos cuyo producto

sea 323 Solucin: Nmeros impares consecutivos: 2x + 1, 2x + 3 (2x + 1)(2x + 3) = 323 x1 = 8, x2 = 10 Los nmeros son: 17 y 19, o bien 19 y 17

extincin se reduce segn la frmula P = 5 000 20,3t, donde P es la poblacin final, y t, el nmero de aos. Si 108

SOLUCIONARIO

166. Una finca rectangular tiene de superficie 759 m2 y se ne-

169. Un camin sale de una ciudad A hacia otra ciudad B, que

cesitan 112 m de cerca para vallarla. Calcula las dimensiones de la finca. Solucin: 2x + 2y = 112 x = 33, y = 23; o bien x = 23, y = 33 xy = 759 La finca mide 33 m 23 m167. Las edades de scar y su madre suman 65 aos, y den-

distan 800 km entre s, con una velocidad de 70 km/h; dos horas ms tarde sale de la misma ciudad A con direccin a la ciudad B un coche a 110 km/h.Cunto tiempo tardar en alcanzar el coche al camin? A qu distancia de la ciudad A lo alcanzar? Solucin:Camin v = 70 km/h t=t

tro de cinco aos la edad de la madre ser el doble que la de scar.Qu edad tienen en ese momento cada uno? Solucin: Ahora scar Madre x y Dentro de 5 aos x+5 y+5

ACoche v = 110 km/h t=t2

e e

C

B

x + y = 65 x = 20, y = 45 y + 5 = 2(x + 5) Edad scar ahora: 20 aos. Edad de la madre ahora: 45 aos.168. Se mezcla caf del tipo A de 6 /kg con caf del tipo B de

Camin e: e v: 70 km/h t: t e = vt e = 70t

Coche e: e v: 110 km/h t: t 2 e = vt e = 110(t 2)

Hay que resolver el sistema: e = 70t e = 110(t 2) t = 5,5 h = 5 h 30 min e = 70 5,5 = 385 km

4,5 /kg para obtener una mezcla de 60 kg a 5 /kg.Cuntos kilogramos de caf debemos tomar de cada tipo?

Solucin: Tipo A: x a 6 /kg Tipo B: 60 x a 4,5 /kg 6x + 4,5(60 x) = 60 5 x = 20 kg Tipo A: 20 kg Tipo B: 40 kg


TEMA 2. LGEBRA

109

Linux/WindowsPaso a paso170. Factoriza:

x4 2x3 7x2 + 20x 12 Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.173. Resuelve

la ecuacin: log (2x + 3) log x = 1

171. Resuelve la ecuacin y haz la representacin grfica

correspondiente: x4 5x2 + 4 = 0 Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.174. Resuelve

la inecuacin y haz la representacin grfica correspondiente: x2 + x 2 0

172. Resuelve

de manera algebraica y grfica el siguiente sistema: x2 + y2 = 25 x y =1

Solucin: Resuelto en el libro del alumnado.175. Internet.

Abre: www.editorial-bruno.es, elige Matemticas, curso y tema.


a) x 2 x 1 + 4 = x 1 3 2 4 b) 5x 2 3 4x = 47 3 4 12110

Solucin: 7 a) x = 2

b) x = 2

SOLUCIONARIO


Practica

Windows Derive177. Resuelve las ecuaciones siguientes y haz la represen178. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus races:

tacin grfica correspondiente: a) x2 + 2x 3 = 0 b) x2 + 6x + 9 = 0 c) x2 6x + 10 = 0 Solucin: a) x1 = 3, x2 = 1

a) x2 + 3x 10 b) x4 + 2x3 3x2 4x + 4 c) x5 2x4 2x3 + 4x2 + x 2 Solucin: a) (x 2)(x + 5) x1 = 2, x2 = 5 b) (x 1)2(x + 2)2 x1 = x2 = 1, x3 = x4 = 2 c) (x 1)2(x + 1)2(x 2) x1 = x2 = 1, x3 = x4 = 1, x5 = 2179. Calcula:

a) x + 5 + 2 2 x 1 x x +x x+12 b) x + 2x + 1 x + 3 x5 x+2 2 c) x x + 2 : x + 2 x1 x+1

b) x1 = x2 = 3

Solucin: 7 x3 + 5x2 + 7x + 3 x3 2x2 + 3x 2 a) b) c) x x2 3x 10 x2 + 3x + 2180. Resuelve las siguientes ecuaciones:

c) No tiene races reales.

a) x4 10x2 + 9 = 0 b) x6 9x3 + 8 = 0 c) 2x + 1 + x 3 = 1 x+3 x 2 d) 5 + 3x + 7 = x + 6 e) 2x + 6 3x 6 = 2x 9 Solucin: a) x1 = 3, x2 = 3, x3 = 1, x4 = 1 b) x1 = 1, x2 = 2 c) x1 = 9/5, x2 = 2 d) x = 3 e) x = 5


TEMA 2. LGEBRA

111

Linux/Windows181. Resuelve de manera algebraica y grfica los siguien183. Resuelve

tes sistemas: a) x 2y = 0 x2 + y2 = 20 b) 2x + y = 2 y = x2 3x 4

la inecuacin siguiente y haz la representacin grfica correspondiente: x2 + 2x 3 > 0

Solucin: a) x = 4, y = 2; x = 4, y = 2

Solucin: a) x < 3 o x > 1 Son los intervalos: ( @, 3)

(1 , +@)

b) x = 2, y = 6; x = 3, y = 4 Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayuda de Wiris o DERIVE:184. Halla las longitudes de los lados de un tringulo rec-

tngulo sabiendo que son tres nmeros enteros pares consecutivos. Solucin: (2x)2 + (2x + 2)2 = (2x + 4)2 x = 1, x = 3 La solucin x = 1 no vale. Los lados miden 6, 8 y 10185. Halla un nmero sabiendo que la suma de su raz cua-


a) 3x + 2 + 3x = 90 b) 4x 7 2x 8 = 0 c) 7x 1 2x = 0 d) log (x + 3) log (x 2) + 2 log 5 = 2 Solucin: a) x = 2 b) x = 3 L7 c) x = = 1.553294755 L (7/2) 11 d) x = = 3,6667 3

drada y el doble de dicho nmero es igual a 21 Solucin: x + 2x = 21 x=9186. Un rectngulo tiene 15 cm2 de rea y su diagonal mi-

de 34 . Calcula las dimensiones del rectngulo.

Las dimensiones del rectngulo son: 5 cm 3 cm

112

SOLUCIONARIO


Solucin: xy = 15 2 + y2 = 34 x b) x1 = 3, y1 = 5; x2 = 3, y2 = 5; x3 = 5, y3 = 3; x4 = 5, y4 = 3

BLOQUE IIGeometra3. 4. 5. 6. 7. Razones trigonomtricas Resolucin de tringulos Geometra analtica Lugares geomtricos y cnicas Los nmeros complejos

3

Razones trigonomtricas

1. Razones trigonomtricas o circulares Piensa y calculaEn una circunferencia de radio R = 1 m, calcula mentalmente y de forma exacta la longitud de: a) la circunferencia. b) la semicircunferencia. c) un cuarto de circunferencia. d) tres cuartos de circunferencia. Solucin: a) LCircunferencia = 2 m b) LSemicircunferencia = m c) LCuarto de circunferencia = /2 m d) LTres cuartos de circunferencia = 3 m 2

Aplica la teora1. Dibuja los siguientes ngulos y pasa mentalmente losque estn en grados a radianes y viceversa: a) 45, 120, 270 b) /6 rad, /2 rad, 3/4 rad, rad Solucin: a) 120 270 45 45 = /4 rad 120 = 2/3 rad 270 = 3/2 rad

3. Reduce a un ngulo menor de 360 los siguientes ngulos y escrbelos en forma general: a) 765 b) 2 345 Solucin: a) 45 + 360 k, k b) 185 + 360 k, k c) 180 + 360 k, k c) 540

4. Calcula las siguientes razones trigonomtricas y redondea el resultado a cuatro decimales: a) sen 47 35' 44" b) cos 73 15' 52" c) tg 25 5' 12" d) sen 83 44' 23" Solucin: a) 0,7384

b) 3/4 rad /2 rad /6 rad rad /6 rad = 30 /2 rad = 90 3/4 rad = 135 rad = 180

b) 0,2880

c) 0,4682

d) 0,9940

5. Calcula los siguientes ngulos en grados, minutos y segundos sabiendo que: a) sen = 0,7634 c) tg = 2,5 Solucin: a) = 49 45 53 b) = 82 54 42 c) = 68 11 55 d) = 62 43 22 b) cos = 0,1234 d) sen = 0,8888

a) 54 c) 1,25 rad Solucin: a) 0,9425 rad c) 71 37 11

b) 217 d) 2,47 rad

b) 3,7874 rad d) 141 31 14

114

SOLUCIONARIO


2. Pasa los ngulos que estn en grados a radianes y viceversa:

6. Calcula todas las razones trigonomtricas del ngulo del tringulo rectngulo siguiente:

7. Un rbol y su sombra forman un ngulo recto. La sombra mide 7,8 m y el ngulo con el que se ve la parte superior del rbol desde el extremo de la sombra mide 47 30'. Calcula la altura del rbol. Solucin:

6m

8m 10 m

Solucin: sen = 3/5 cos = 4/5 tg = 3/4

cosec = 5/3 sec = 5/4 cotg = 4/3

h

47 30' 7,8 m

h tg 47 30 = 7,8 h = 7,8 tg 47 30 = 8,5 m

2. Relaciones entre razones. Razones de 30, 45 y 60 Piensa y calculaEn el tringulo rectngulo e issceles del dibujo, calcula mentalmente: a) el ngulo b) tg Solucin: a) = 451 x x

b) tg = 1

Aplica la teora8. La pirmide de Kefrn, de Egipto, proyecta una sombrade 134,7 m y el ngulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra con la parte ms alta de la pirmide es de 45. Halla mentalmente la altura de dicha pirmide.

9. Si sen = 0,3456, calcula mentalmente cos (90 )Solucin: 0,3456

10. Si cos 50 = 0,6428, calcula mentalmente sen 40Solucin: 0,6428

11. Sabiendo que cos = 1/2, haz el dibujo del ngulo y Grupo Editorial Bruo, S.L.

calcula mentalmente el valor de

Solucin: = 60 Solucin: Altura = 134,7 m30

1

60 1 2

TEMA 3. RAZONES TRIGONOMTRICAS

115

12. Sabiendo que sen = 2/3, calcula cos y tg Solucin: Se aplica la frmula fundamental: sen2 + cos2 = 1 4 5 + cos2 = 1 cos = 9 3 2 5 2 5 tg = sen : cos = : tg = 3 3 5

3 16. Demuestra que sen 60 = cos 30 = 2Solucin:1 30 30 60 1 2 x

13. Sabiendo que cos = 3/5, calcula sen y tg Solucin: Se aplica la frmula fundamental: sen2 + cos2 = 1 3 2 4 sen2 + = 1 sen = 5 5 4 3 4 tg = sen : cos = : tg = 5 5 3 x = sen 60 = cos 30

60

()

1 2 x2 + = 1 2 Despejando x se obtiene que: 3 3 x = sen 60 = cos 30 = 2 2

()

14. Sabiendo que tg = 1/2, calcula sen y cos Solucin: tg2 + 1 = sec2 2 5 1 5 + 1 = sec2 sec = cos = 4 2 5 sen tg = cos 2 5 1 5 sen = cos tg = = 5 2 5 5 sen = 5

17. Un faro proyecta una sombra de 50 m, y el ngulo queforma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra con la parte ms alta del faro es de 30. Halla la altura del faro. Solucin:

h 30 50 m

15. Demuestra que tg 45 = 1Solucin:45 1 x

3 h = 50 tg 30 = 50 = 28,87 m 3 x tg 45 = = 1 x

tg 30 = h/50

45 x

116

SOLUCIONARIO


3. Generalizacin de las razones trigonomtricas Piensa y calculaCompleta la siguiente tabla escribiendo el signo de las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes: x y Solucin: x y 1er + 2o + 1er + + 2o + 3er 4o + 3er 4o

Aplica la teora18. Un ngulo est en el 3er cuadrante y se sabe quesen = 1/2. Dibuja el ngulo y calcula mentalmente el ngulo , el cos y la tg

21. Un ngulo est en el 2 cuadrante, y sen = 4/5. Hazel dibujo del ngulo , halla el cos y la tg Solucin: 18 0

Solucin: = 210

210 1/2

30 1/2

3 cos 210 = cos 30 = 2 3 tg 210 = tg 30 = 3

cos = 3/5 tg = 4/3

19. Sustituye los puntos suspensivos por o :a) |sen | 1 b) |sec | 1 Solucin: a) |sen | 1 b) |sec | 1

22. Un ngulo est en el 4 cuadrante, y tg = 2/3. Hazel dibujo del ngulo , halla el sen y el cos Solucin: 213 sen = 13 313 cos = 13

360

2/3

20. Haz el dibujo y calcula mentalmente el seno, el cosenoy la tangente de 225 Solucin: Grupo Editorial Bruo, S.L.

225

45

2 sen 225 = sen 45 = 2 2 cos 225 = cos 45 = 2 tg 225 = tg 45 = 1

23. Calcula las siguientes razones trigonomtricas redondeando el resultado a cuatro cifras decimales: a) sen 55 33' 44" c) tg 255 42' 13" Solucin: a) 0,8247 b) cos 163 25' 35" d) sen 344 33' 25"

b) 0,9585

c) 3,9242

d) 0,2663


117

24. Calcula el ngulo en grados, minutos y segundos enlos siguientes casos: a) sen = 0,5555 y est en el 1er cuadrante. b) cos = 0,42 y est en el 2 cuadrante. c) tg = 1,7 y est en el 3er cuadrante. d) sen = 0,65 y est en el 4 cuadrante.

Solucin: a) = 33 44 43 b) = 114 50 5 c) = 239 32 4 d) = 319 27 30

4. Razones de operaciones con ngulos Piensa y calculaCalcula mentalmente: a) sen 60 + sen 30 Solucin: 3 1 1 + 3 a) + = 2 2 2 b) sen (60 + 30) c) 2 cos 45 2 c) 2 = 2 2 d) cos (2 45)

b) sen 90 = 1

d) cos 90 = 0

Aplica la teora25. Calcula sen 75Solucin: sen 75 = sen (45 + 30) =

28. Si cos = 0,6, calcula tg /2Solucin: tg = 2

2( 3 + 1) = sen 45 cos 30 + cos 45 sen 30 = 4

26. Calcula tg 15Solucin: tg 45 tg 30 tg 15 = tg (45 30) = = 2 3 1 + tg 45 tg 30

1 0,6 tg = 2 1 + 0,6 tg = 0,5 2

1 cos 1 + cos

29. Calcula cos 75 cos 15Solucin: + cos cos = 2 sen sen 2 2 cos 75 cos 15 = 2 sen 45 sen 30 = 2 = 2 2 = 1 2 2 2 Solucin: cos 2 = cos2 sen2 En primer lugar hay que calcular cos cos = 0,9539 cos 2 = 0,95392 0,32 = 0,8199 Grupo Editorial Bruo, S.L.

27. Si sen = 0,3, calcula cos 2

118

SOLUCIONARIO

30. Si sen = 1/3, calcula sen ( + 30)Solucin: sen ( + 30) = sen cos 30 + cos sen 30 En primer lugar hay que calcular cos 2 2 cos = 3 1 2 2 1 3 + 2 2 sen ( + 30) = 3 + = 3 2 3 2 6

32. Una escalera de bomberos est apoyada sobre la fachada de una casa; la escalera mide 15 m de longitud y el ngulo que forma la escalera con el suelo es de 75. Calcula la altura a la que llegar la escalera en la casa.

31. Si tg = 2/3, calcula tg (60 )Solucin: tg 60 tg tg(60 ) = = 1 + tg 60 tg 24 13 3 3 2/3 = = 1 + 3 2/3 3 Solucin: sen 75 = h/15 h = 15 sen 75 = 14,49 m

5. Ecuaciones e identidades trigonomtricas Piensa y calculaObservando el dibujo y sabiendo que cos = miden los ngulos y Solucin: = 60 1 1 , cos = , calcula mentalmente cunto 2 21 1/2 1/2

= 120

Aplica la teora33. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones trashacer el dibujo correspondiente: a) sen x = 0 Solucin: a)180 0

34. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones trashacer el dibujo correspondiente: a) sen x = Solucin: a)

b) cos x = 1

22

b) cos x =

1 2

x1 = 360k, k x2 = 180 + 360k, k

135

45

x1 = 45 + 360k, k x2 = 135 + 360k, k


b)180 1

b) x = 180 + 360k, k 240 120

x1 = 120 + 360k, k x2 = 240 + 360k, k


119

35. Resuelve la siguiente ecuacin:sen2 x = sen x Solucin: sen2 x sen x = 0 sen x (sen x 1) = 0 sen x = 0, sen x = 1 Si sen x = 0180 0

37. Resuelve la siguiente ecuacin:1 + sec2 x = 3 tg2 x Solucin: 1 + sec2 x = 3 tg2 x Se aplica que: tg2 x + 1 = sec2 x 1 + tg2 x + 1 = 3 tg2 x tg2 x = 1 tg x = 1 Si tg x = 1

225

45

x1 = 360k, k , x2 = 180 + 360k, k Si sen x = 190

x1 = 45 + 360k, k x2 = 225 + 360k, k Si tg x = 1

x3 = 90 + 360k, k 315

135

36. Resuelve la siguiente ecuacin:2 cos2 x sen x = 1 Solucin: 2 cos2 x sen x = 1 2(1 sen2 x) sen x = 1 2 2 sen2 x sen x = 1 2 sen2 x + sen x 1 = 0 sen x = 1/2, sen x = 1 Si sen x = 1/2 x3 = 135 + 360k, k x4 = 315 + 360k, k

38. Resuelve la siguiente ecuacin:cosec2 x = 2 cotg2 x Solucin: cosec2 x = 2 cotg2 x150

1/2

30

1/2

1 2cos2 x = 2x sen sen2 x 2 cos2 x = 1 2 cos x = 2 2 Si cos x = 2

x1 = 30 + 360k, k x2 = 150 + 360k, k Si sen x = 1

270 1

315

x3 = 270 + 360k, k

x1 = 45 + 360k, k x2 = 315 + 360k, k

120

SOLUCIONARIO


45

2 Si cos x = 2225 135

41. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonomtricas: a) sen x + sen y = 1 sen x sen y = 0 b) sen2 x + cos2 y = 5/4 sen2 x cos2 y = 3/4

x3 = 135 + 360k, k x4 = 225 + 360k, k

Solucin: a) Sumando ambas ecuaciones, se obtiene: 2 sen x = 1 Si sen x = 1/2 150 1/2 x1 = 30 + 360k, k 30 1/2 x2 = 150 + 360k, k

39. Comprueba la siguiente identidad:tg2 x sen2 x = tg2 x sen2 x Solucin: Se hacen operaciones en cada uno de los dos miembros. En el 1er miembro: sen2 x tg2 x sen2 x = sen2 x = cos2 x sen2 x sen2 x cos2 x sen2 x(1 cos2 x) sen4 x = = = cos2 x cos2 x cos2 x En el 2 miembro: sen4 x sen2 x tg2 x sen2 x = sen2 x = cos2 x cos2 x La representacin grfica es:y 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 x 6

Restando de la 1a ecuacin la 2, se obtiene: 2 sen y = 1 Si sen y = 1/2 150 y1 = 30 + 360k, k 1/2 30 1/2 y2 = 150 + 360k, k

b) Sumando las dos ecuaciones, se obtiene: 2sen2 x = 2 sen2 x = 1 sen x = 1 = 1 Si sen x = 1 x = 90 + 360k, k

90

Si sen x = 1 x = 270 + 360k, k

270

40. Comprueba la siguiente identidad:sec2 x + cosec2 x = sec2 x cosec2 x Solucin: Haciendo operaciones en el 1er miembro se obtiene el 2 miembro: 1 1 sen2 x + cos2 x sec2 x + cosec2 x = + = = 2x 2x cos sen sen2 x cos2 x 1 1 1 = = = cosec2 x sec2 x sen2 x cos2 x sen2 x cos2 x La representacin grfica es:y 6 5 4

Restando las dos ecuaciones, se obtiene: 2cos2 y = 1/2 cos2 y = 1/4 cos y = 1/4 = 1/2 Si cos y = 1/2 y1 = 60 + 360k, k y2 = 300 + 360k, k 300 60 1/2


3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 x 6

Si cos y = 1/2 y3 = 120 + 360k, k y4 = 240 + 360k, k

120 1/2 240


121

Ejercicios y problemas1. Razones trigonomtricas o circulares42. Dibuja los siguientes ngulos y pasa mentalmente de gra-

dos a radianes: 30, 90, 180 Solucin: 90 30 = /6 rad 90 = /2 rad 180 = rad

Solucin: sen = 4/5 cos = 3/5 tg = 4/3

cosec = 5/4 sec = 5/3 cotg = 3/4

48. Calcula las siguientes razones trigonomtricas y redon-

180

30

dea el resultado a cuatro decimales: a) sen 55 33' 22" b) cos 87 5' 2" c) tg 45 15' 25" d) sen 18 11' 20" Solucin: a) 0,8247 c) 1,0090

43. Dibuja los siguientes ngulos y pasa mentalmente de ra-

b) 0,0509 d)

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