C a p ít u l o 3Pr o d u c t o s n o t a b les

E l trinom io cu a d ra d o p e rfec to

A sí se denomina al resultado de (a + b)2, que se obtiene mediante un cuadrado de lado (a + b); a l que conforman dos cuadrados de área “a2* y "b2", así como dos rectángulos de área "ab", por

tanto, el desarrollo de la expresión (a + b)2 es:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

E l cub o perfecto

Es la denominación del resultado de (a + b)3; para su desarrollo se propone un cubo de arista (a + b) cuyo volumen será la expresión (a + b)3. A este cubo perfecto lo conforman dos cubos de volumen " a 3" y " b 3" respectiva­mente, tres paralelepípedos con volumen uc ? b u y otros tres con volumen " a b 2", lo que da el desarrollo de la expresión:

(a + b )3 = a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b 3

b aa+ b

a

a+ b

SO

jdlU

Slj

3 C a p í t u l o

ÁLGEBRA

Definición

Los productos notables se obtienen con un sim ple desarrollo, s in necesidad de efec tuar e l producto.

C uadrado de un binomio

El desarro llo de la sum a de dos cantidades a l cuadrado e s igual a l cuadrado d e l prim er térm ino, m ás e l doble producto d e l prim er térm ino por e l segundo, m ás e l cuadrado d e l segundo; e s ta regla general se expresa con la fórmula:

(a + b f = a2 + l a b + b2

A la expresión resultante s e le conoce com o trinom io cuadrado perfecto.

D em ostraciónL a expresión (a + b f e s equivalente a (a + b \ a + b \ en tonces a l realizar e l producto de los binom ios, se obtiene:

(a + b f = (a + b )(a + b ) = a 2 + a b + a b + b2 = a2 + 2a b + b 2

E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •

1 • * D esarrolla (* + 7 )2.

Solución

A l ap licar la regla general:

- E l cuadrado de l primer térm ino: (*)2 = x2- E l doble producto de l primer térm ino por e l segundo: 2(x)(7) = 14*- E l cuadrado de l segundo térm ino: (7)2 = 49

Se sum an los térm inos resultantes y se obtiene:

(x + 7)2 = 14* + 49

2 • • - ¿ C u á l e s e l resultado de desarro llar (3m + 5n )2?

Solución

Se ap lica la fórm ula con 3/w com o prim er térm ino y 5n com o segundo térm ino

(3m + 5 r i f = (3 m f + 2(3m )(5«) + (5«)2

= 9m2 + 30m n + 2 5 n2

Por tanto, e l resultado es: 9m2 + 3Qmn + 25n 2

3 • • D esarro lla ^ a + 3 j .

Solución

Se sustituyen los térm inos en la fórm ula y se efectúan las operaciones, para obtener:

( í fl + 3 ) = ( r ) + 2 ( i a ) 3) +(3)1 = + | 0 + 9 = ¿ a 2 + 3 a + 9

4 • • D esarrolla (5m2' "3 + n * f .

Solución

E n e s te e jem plo los exponentes de las bases son expresiones algebraicas, entonces, a l ap licar la fórm ula, se obtiene:

(5m 2*-3 + nixf = ( 5 m + 2(5m2,- 3)(/i4‘) H ^ f = 2 5 lOm2*"3 « * +

7 4

C a p í t u l o 3Productos notables

5 ••■ D e sa rro lla ( - 2 * - 3 y)2.

Solución

El binom io se expresa de la siguiente m anera: ( - 2 x - 3y)2 = ( ( - 2 * ) + ( - 3 y ) ) \ s e ap lica la fórmula:

( - 2 * - 3 y f = ( ( - 2 * ) + ( -3 y ) ) 2 = ( - 2*)2 + 2 ( - 2 r X - 3y ) + ( - 3y)2= 4x2 + 12xy + 9y2

Por tanto : ( - 2 * - 3y)2 = 4 r + 12x y +

El desarrollo d e l cuadrado de una d iferencia de dos cantidades, es igual a:

(a - b)2 = a2 - lab + b1

En este desarro llo los térm inos se sustituyen con signo positivo, com o lo ilustran los siguientes ejem plos:

EJEM PLO S

1 • • ¿C uál es e l resultado de desarro llar (4x4 - 9y3)2?

I . SoluciónAJ

Se ap lica la fórm ula anterior y s e obtiene:

(4y - 9y3)2 = (4x*)2 - 2(4*4)(9y3) + (9y3)2 = 16*8 - 7 2 * 4y3 + 81y6

2 • •■ D e sa rro lla (3 x * y - 2x5z f .

Solución

Se ap lica la fórm ula de la m ism a m anera que en e l ejem plo anterio r y se obtiene:

( 3 * y - 2*r*z)2 = (3x ’y f - 2(3¿ y ) ( 2 + (2*5z)2 = 9x 6y 2 - \2x*yz + 4* 'V

Finalm ente, e l resultado de la operación es: 9 * y - 12x8yz + 4 r ‘°z2

C uadrado de un trinomio

El desarro llo de la expresión: (a + b + c f e s igual a la su m a de los cuadrados de c ad a uno de los térm inos, m ás los dobles productos de las com binaciones en tre ellos:

(a + b + c )2 = a2 + b 2 + c2 + la b + 2 a c + 2be

D em ostraciónL a expresión (a + b + c f es equivalente a l producto (a + b + c ) ( a + b + c), entonces:

(a + b + c)2 = (a + b + c )(a + b + c ) = a 2 + a b + ac + ab + b 2 + b c + ac + be + c 2

Al sim plificar los térm inos sem ejantes:

(a + b + c f = á 2 + b 2 + c2 + 2ab + 2 ac + Tbc

75

3 C a p í t u l o

ÁLGEBRA

E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- •

•%_ 1 • • D esarrolla (x + 2 y + 3z)2.

.1 . SoluciónU J

Se ap lica la fórm ula y s e obtiene com o resultado:

( x + 2 y + 3z f = ( x f + (2y f + (3Z)2 + 2 (x ) (2y ) + 2(x) (3z ) + 2(2y) (3Z)= x 2 + 4y2 + 9z2 + 4 x y + 6 x z + 12yz

2 • • O btén e l resultado de (4rn - I n - 5)2.

Solución

E l trinom io se exp resa de la siguiente m anera: (4m - I n - 5)2 = (4m + ( - 7 n ) + ( - 5))2 y se ap lica la fó rm ula para obtener com o resultado:

(4m - l n - 5 )2 = (4 m f + ( - I n f + ( -5 )2 + 2 (4 m )(- 7n ) + 2 (4 m )(- 5 ) + 2 ( - 7w)<- 5)

= 16m2 + 49w2 + 25 - 56m n - 4 0 m + 70n

3 • • D esarro lla I + 2 * " + * " - '

Solución

Al ap licar la fórm ula s e obtiene:

= ^ y * 1 ) + ( 2 i ' ) 2 + ( y l ) , + 2 ^ y * ' ^ 2 y ) + 2 ^ * * ' j ( ^ l) + 2 ( 2 x - ) ( y 1)

= i x !-*! + 4 x 'm + x 2- 2 + 2 x 2mtl+ x 2' + 4 x 2- ‘4

Se reducen los térm inos sem ejan tes y s e acom odan de form a decreciente, respecto a los exponentes:

= - X 2- ' 2 + 2x? ~ " + S x 2’ + 4 X 2- + x 2^ 2 4

EJERC IC IO 3 4Desarrolla las siguientes expresiones:

1. ( r + 8)2 10. (4 - m )2 19. (2x + 3y)2

2. ( m - 1 0 ) 2 11. ( y + 9)2 20. (jc + 0.2)2

3. ( a - 3 )2 12. ( x - 1 2 ) 2 21. (4x3 + 5y)2

4. ( y + 1 )2 13. ( p + 15)2 22. (9 a3 - a2*»)2

5. ( y + 5 ) 2 14. (2a - \ f 23. (6 /rn 4 + 3 n t p f

6. ( p - 6J2 15. 24-

7. ( l - ¿ > ) 2 16. (3 a * - l)2 25. ^ l - | * y

8. ( r - 5 ) 2 17. (m n + 8a)2 26. ^ - 2 y

9. (2 + n )2 18. ( 7 a - 3 b f 27. | —3jc 4y

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C a p í t u l o 3Productos notables

28 . (Sx2 + 4xy 7)2 38. (ó*3" " 2 + 5y4V ) 2 48. (x2 - 2 x + l )2

29. <5ab - 3 x y Y 39. ( ( U t * - 0 . 8 / " 1) 2 49. ( x + y - 2 f

30. (m9 + 12 y4)2 40. í | * 3*-2 + | > ' - J“ j 50. (2 a - 3 6 + l ) 2

31. ( 3 r - 9 y ) 2 41. ^ + 3 / - j 51. (4m + 5n + p)!

( Y*0 /í4*V°+l V32 . ( ¿ - I ? ) 2 42. ± - + ̂ - 2 _ 52 . ( 3 ^ + 2y2 - l ) 2

33. (3*4“ - 5 + 2y * " ? 43. ( x + 2 y + 3 j ) 2 53. ^ i a + i f c + c

34. (m2”*6 - 4n“ )2 44. ( 3 í - 2 y + l)2 54.

35. ^ 3 a , + i f l 3V ’ j 45. ( a + 6 fc -5 c )2 55. | 2 + ~

36. ^ < ¡ 2- ' - | f c ) 46. (a2 + 5 a + 4 )2 56. ( a ' - f r '+ c ' ) 2

37. <0,6m2' - 0.5n4)2 47. (a2 + 3 a - 2)2 57. (a4* ' - 2 a 1- a 4- ' ) 2

V erifica t u s re s u lta d o s a n la sacc ió n d a so lu c io n as co rra sp o n d ia n ta

Binomios conjugados

Son de la form a (a + b)(a - b ) y su resultado e s la diferencia de los cuadrados de am bas cantidades, com o se ilustra en la fórmula:

(a + b )(a -b ) = á * -b 2

D em ostraciónSe realiza e l producto y se obtiene:

(a + b)(a - b ) = a 2 - a b + a b - b 2 = a2 - b 2

EJEM PLO S

1 • • D esarrolla ( x + 6 ) (x - 6).

Solución

A m bos térm inos s e e levan a l cuadrado:

- E l cuadrado d e l térm ino que no cam bia de signo: ( x f = X1- E l cuadrado d e l térm ino que cam bia de signo: (6)2 = 36

Finalm ente, se realiza la d iferencia y e l resultado es: X1 - 36

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