Guía de Ejercicios: Programación Entera Mixta

1. Una inmobiliaria desea promocionar una nueva urbanización mediante una campaña publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anuncios: anuncios en televisión local al mediodía (tvm), anuncios en televisión local a la noche (tvn), anuncios en periódico local (per), anuncios en suplemento dominical local (sup) y anuncios en radio local por la mañana (rad). La empresa ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el costo de cada anuncio en euros. Además, se ha llevado a cabo una valoración de la calidad que tiene cada anuncio de acuerdo al medio en el que se expone, en una escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla:

El número máximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm, tvn, per, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de publicidad, decide utilizar al menos 10 anuncios en la televisión, alcanzar por lo menos 50000 clientes potenciales, no gastar más de 18000 euros en anuncios en televisión y si se hacen anuncios en el periódico entonces no hacer anuncios en la televisión por la noche. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de 30000 euros. Modelar, sin resolver, mediante programación lineal entera el problema de cómo debe planificar la campaña si se desea maximizar la calidad de la exposición de todos los anuncios de la campaña publicitaria.

Solución:Definimos las variables de decisión siguientes:

x 1= número de anuncios a emitir en tvmx 2 = número de anuncios a emitir en tvnx 3 = número de anuncios a emitir en perx 4 = número de anuncios a emitir en sup

Prof. Oscar Neira

Anuncios Clientes potenciales

Costo Calidad exposición

Tvm 1000 1500 65Tvn 2000 3000 90Per 1500 400 40Sup 2500 1000 60rad 300 100 20

Universidad MetropolitanaFacultad de Ciencias y ArtesEscuela de IngenieríaOptimización I

x 5= número de anuncios a emitir en rad

El PPL es el siguiente:

Max Z = 65x1 + 90x2 + 40x3 + 60x4 + 20x5

2. Una empresa de juguetes está considerando la puesta en marcha de tres nuevos modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusión en la próxima campaña de Navidad. La preparación de instalaciones para la fabricación de estos modelos costaría 25000 €, 35000 € y 30000 € respectivamente, y la ganancia unitaria sería de 10 €, 15 € y 13 € respectivamente. La empresa dispone de tres plantas de producción para la elaboración de estos modelos, pero para evitar gastos sólo en una de ellas se producirían los juguetes, dependiendo la elección de la maximización de las ganancias.El número de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es:

Las plantas disponen al día 500, 600 y 630 horas de producción respectivamente. La gerencia ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes.

a) Modelar el problema utilizando programación lineal entera para maximizar el beneficio total.

b) La empresa decide producir únicamente el juguete tipo 3, pero debe tener en cuenta que si produce más de 50 unidades de este tipo de juguete entonces:

el costo de preparación de instalaciones del juguete tipo 3 es de 40000 € debe producir en la planta 3

Modelar el problema, añadiendo esta información, utilizando programación lineal entera.

Solución:a) Definimos las variables de decisión siguientes:

x i = número de juguetes producidos diariamente del tipo i; i=1,2,3

Prof. Oscar Neira

Planta Juguete 1 Juguete 2 Juguete 3

1 5 4 62 4 2 23 3 3 2

El modelo queda como sigue:

Max W = 10x1 – 25000y1 + 15x2 – 35000y2 + 13x3 – 30000y3

con M suficientemente grande.

b) Definimos la variable de decisión siguiente:

El modelo es el siguiente:

Max W = 13x3 – 30000(1 – p) – 40000p

con M suficientemente grande.

3. Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisión. Diez personas han sido nominadas: A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisión al menos una mujer, un hombre, un estudiante, un administrativo y un profesor. Además, el número de mujeres debe ser igual que el de hombres y el número de profesores no debe de ser inferior al de administrativos. La mezcla de los nominados en las siguientes categorías es como sigue:

Modelizar sin resolver como un problema de programación lineal entera, si se trata que la comisión sea lo más reducida posible.

Solución:Definimos las variables de decisión siguientes:

Prof. Oscar Neira

Categoría Personas

Mujeres A,B,C,D,EHombres F,G,H,I,J

Estudiantes A,B,C,JAdministrativos E,F

Profesores D,G,H,I

Corrección

El modelo queda como sigue:

Min Z = xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI + xJ

4. Una empresa que fabrica electrodomésticos está pensando abrir una nueva planta para producir 3 modelos de lavadora: modelo de gama alta, media y baja. Tiene dos posibles ubicaciones: 1 y 2. La inversión necesaria para construir la fábrica en la ubicación 1 es de 2000000 unidades monetarias y de 1750000 unidades monetarias en la ubicación 2. Los costos unitarios de producción son 15, 13 y 10 unidades monetarias, respectivamente para gama alta, media y baja, en la ubicación 1 y 16, 12 y 9 unidades monetarias, respectivamente, en la ubicación 2. De la gama alta se han de producir al menos 75000 unidades anuales, 100000 de la media y 200000 de la baja.a) Si sólo se va a construir una planta, modelar el problema con el objetivo de minimizar costos.b) Si se incluye la posibilidad de construir las dos plantas (ubicación 1 y 2), modelar el problema con el objetivo de minimizar costos considerando, además, las siguientes restricciones: En caso de producirse lavadoras de gama baja en la ubicación 1 se recibirá una

subvención de 1000000 unidades monetarias. La gama alta se producirá únicamente en una de las dos ubicaciones.

Solución:a) Definimos las variables de decisión siguientes:

xij = número de lavadoras de la gama j producidas en la ubicación i, al añocon i = 1, 2; j = a, m, b (siendo a = alta, m = media y b = baja)

El modelo queda como sigue:

Min Z = 15x1a + 13x1m + 10x1b + 16x2a + 12x2m + 9x2b + 2000000y1 + 1750000y2

con M suficientemente grande.

Prof. Oscar Neira

b) Se definen las siguientes variables de decisión:

xij = número de lavadoras de la gama j producidas en la ubicación i, al añocon i = 1, 2; j = a, m, b (siendo a = alta, m = media y b = baja)

El modelo queda como sigue:

Min Z = 15x1a + 13x1m + 10x1b + 16x2a + 12x2m + 9x2b + 2000000z1 + 1750000z2 -

1000000y1b

con M suficientemente grande.

5. Una fábrica produce 4 tipos de jabones, para lo cual son necesarios 6 componentes. En la siguiente tabla se muestran las cantidades necesarias para realizar una pastilla de jabón de cada tipo.

La fábrica dispone de 150000 ml de aceite, 160000 ml de agua, 12 kg de sosa cáustica, 3 kg de glicerina, 2000 ml de esencia de limón y 3000 ml de esencia de fresa por día.Se tiene que producir al menos un tipo de jabón al día y como mucho tres. Además si se producen jabones del tipo 1 no se podrán producir del tipo 4.El beneficio por cada pastilla de jabón es de 10, 13, 15 y 11 euros respectivamente para cada tipo de pastilla de jabón.La fábrica se está planteando ampliar la planta de producción con un costo de 200000 euros, de forma que si se realiza la ampliación las disponibilidades de los componentes aumentarán en 50000 ml de aceite, 70000 ml de agua, 4 kg de sosa cáustica, 4 kg de glicerina, 1000 ml de esencia de limón y 500 ml de esencia de fresa. Además, en el caso de realizar esta ampliación, si se producen pastillas del tipo 3, se tendrán que realizar también del tipo 1.

Prof. Oscar Neira

Aceite (ml)

Agua (ml)

Sosa cáustica (g)

Glicerina (ml)

Esencia de limón (ml)

Esencia de fresa (ml)

J1 250 240 42 1 1 3J2 200 210 2 40 2 1J3 230 240 20 25 3 1J4 180 200 10 35 1 3

Corrección

Modelar el problema de programación lineal entera que maximice el beneficio.

Solución:Definimos las siguientes variables de decisión:

xi = número de pastillas de jabón tipo Ji producidas diariamente; i =1,..., 4

El modelo es el siguiente:Max W = 10x1 + 13x2 + 15x3 + 11x4 – 200000z

con M suficientemente grande.

Prof. Oscar Neira