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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 6
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
PORCENTAJE TANTO POR CIENTO El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100: EJEMPLOS 1. El 45% de $ 400 es
A) $ 185 B) $ 180 C) $ 150 D) $ 100 E) $ 45
2. 54 es el 60% de
A) 32,4 B) 54 C) 90 D) 100 E) 324
3. El triángulo ABC de la figura 1, se ha dividido en 16 triángulos iguales. ¿Qué tanto por
ciento es la parte achurada de la parte no achurada?
A) 12,5% B) 20% C) 25% D) 35% E) 33,33…%
QC = P
100 ⇒⇒⇒⇒ Q = P
100 · C
Q = P% · C
C u r s o : Matemática
Material N° 07
fig. 1
A B
C
2
4. ¿Qué tanto por ciento de 72 es 35 de 80?
A) 3002
%
B) 3008
%
C) 2005
%
D) 1002
%
E) 2003
%
5. Si el 30% de m es 40. ¿Cuál es el 15% de m?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
6. Si la mitad del 40% de p3 es igual 25, entonces el 20% de p es
A) 25 B) 20 C) 5 D) 3 E) 1
7. ¿Qué porcentaje de 50 es w?
A) 2w%
B) 2w%
C) 50w
%
D) w2%
E) w50
%
3
TANTOS POR CIENTOS NOTABLES EXPRESADOS EN FRACCIÓN Y EN NÚMERO DECIMAL
TANTO POR CIENTO FRACCIÓN DECIMAL
1% de C 1
100 ⋅ C 0,01 ⋅ C
10% de C 110
⋅ C 0,1 ⋅ C
12,5% de C 18 ⋅ C 0, 125 ⋅ C
20% de C 15 ⋅ C 0,2 ⋅ C
25% de C 14 ⋅ C 0,25 ⋅ C
3313% de C
13 ⋅ C 0,3 ⋅ C
50% de C 12 ⋅ C 0,5 ⋅ C
6623% de C
23 ⋅ C 0,6 ⋅ C
75% de C 34 ⋅ C 0,75 ⋅ C
120% de C 65 ⋅ C 1,2 ⋅ C
EJEMPLOS 1. ¿Cuál es el setenta y cinco por ciento de 56?
A) 14 B) 32 C) 42 D) 52 E) Ninguna de las anteriores.
2. El 6623% de un número es igual a 72. ¿Cuál es la sexta parte del número?
A) 144 B) 108 C) 72 D) 48 E) 18
4
3. Si el 30% del 40% de un numero x es igual al 20% del 50% de w, entonces wx =
A) 0,75 B) 0,83 C) 0,83 D) 0,9 E) 1,2
4. En la figura 2, todos los sectores circulares son iguales. Si se achurara un sector más,
¿qué porcentaje de la región no achurada es la región achurada?
A) 25% B) 40% C) 55% D) 60% E) 66%
5. El 60% de (5 – 10x2) es
A) 3x2 – 3 B) 6 – 3x2 C) 6x3 – 3 D) 5x2 – 1 E) 3 – 6x2
6. El 80% de 800 milésimos es
A) 6.400 B) 640 C) 64 D) 0,64 E) 0,064
fig. 2
5
OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS � Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar. � El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos
por cientos.
EJEMPLOS 1. La diferencia entre el 75% de z y el 12,5% de z es
A) 52,5% de z B) 62,5% de z C) 63% de z D) 67,5% de z E) 85,5% de z
2. El 20% de 60xy más el 55% de 60xy es
A) 35xy B) 36xy C) 45xy D) 55xy E) 78xy
3. Para este verano los padres de Alejandro le ofrecen 3 panoramas para sus vacaciones:
un tercio de posibilidades de ir a la playa, un 25% de ir al campo y lo restante es ir a mochilear. Entonces, esta última posibilidad es, aproximadamente, del
A) 30% B) 38% C) 40% D) 42% E) 44%
a% de C ±±±± b% de C = (a ±±±± b)% de C
El a% del b% de C = a
100 ·
b100
· C
6
4. Al calcular el p% del q% de la cuarta parte de 400 resulta
A) p · q · 10-4 B) p · q · 104 C) p · q · 102 D) p · q · 10-2 E) p · q · 10-1
5. El 3313% del 66 2
3% de 144p, es lo mismo que
A) 16% de p B) 32% de p C) 16p D) 32p E) 48p
6. El 19% de $ 200.000 es igual al doble de la mitad de
A) $ 48.000 B) $ 38.000 C) $ 19.000 D) $ 9.500 E) $ 9.000
7. José recibe actualmente un sueldo mensual de $ 580.000 y el próximo mes éste será
incrementado en un 5%. ¿Cuál será su nuevo sueldo?
A) $ 609.000 B) $ 619.000 C) $ 696.000 D) $ 870.000 E) $ 1.102.000
7
VARIACIÓN PORCENTUAL � AUMENTO : Al aumentar una cantidad C en su P por ciento se obtiene:
� DISMINUCIÓN : Al disminuir una cantidad C en su P por ciento se obtiene la
cantidad:
EJEMPLOS 1. Lorena desea vender su notebook con un 15% de ganancia. ¿Cuánto será el precio de
venta, si el costo fue de $ 210.000?
A) $ 221.500 B) $ 231.500 C) $ 241.500 D) $ 251.500 E) $ 341.500
2. Rommy compró un televisor LCD en una oferta. Si su precio sin rebaja era de
$ 380.000 y se le hizo un 20% de descuento, ¿cuánto pagó Rommy por el LCD?
A) $ 314.000 B) $ 308.800 C) $ 308.500 D) $ 304.500 E) $ 304.000
C’ = C + P
100 · C
C’ = C - P
100 · C
8
3. Los pasajes en avión a Sudáfrica subieron de US$10.000 a US$12.500. ¿En qué porcentaje se incrementó su valor?
A) 20% B) 22% C) 25% D) 35% E) 45%
4. En el día del Profesor, de los 2.000 docentes que fueron invitados a la celebración sólo
asistieron 1.200. ¿Qué porcentaje de Profesores no asistió?
A) 20% B) 30% C) 40% D) 45% E) 48%
5. Usain Bolt, el gran atleta centroamericano, demoraba hace 2 años, 10 segundos en
correr 100 metros. Un año después ha aumentado en un 3% su velocidad y luego de un mayor entrenamiento aumenta en un 1% su última velocidad. Entonces, ¿cuánto demora aproximadamente en recorrer los 100 metros?
A) 10,2 segundos B) 9,7 segundos C) 9,6 segundos D) 9,4 segundos E) 8,5 segundos
6. El precio del kilo de limones disminuyó de $ 150 a $ 100. ¿Cuál fue el tanto por ciento de disminución?
A) 20% B) 30% C) 33%
D) 3313%
E) 75%
9
INTERÉS SIMPLE Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un período de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el período n está dada por:
EJEMPLOS
1. Un capital de $ 500.000 se deposita en un banco que ofrece un 3% de interés mensual.
Al cabo de 9 meses, en un régimen de interés simple, ¿cuánto es el nuevo capital?
A) $ 535.000 B) $ 545.000 C) $ 590.000 D) $ 630.000 E) $ 635.000
2. Aldo deposita $ 3.500.000 en el banco KURO a un interés simple mensual de un 2,5%.
¿Qué ganancia obtendrá en un período de medio año?
A) $ 402.000 B) $ 515.000 C) $ 525.000 D) $ 625.000 E) $ 635.000
3. ¿Qué capital debe invertirse en un negocio que rinde el 15% anual de interés simple,
para obtener $ 2.400.000 de utilidad en 4 años?
A) $ 400.000 B) $ 460.000 C) $ 4.000.000 D) $ 4.500.000 E) $ 6.000.000
CF = C
i1 + n
100
Ganancia = n · i · C100
10
4. ¿Qué interés simple anual se aplicó a un capital de $ 8.000.000 depositado durante
8 años, si se obtiene una ganancia de $ 80.000?
A) 0,125% B) 1,25% C) 12,5% D) 25% E) 125%
5. Si se deposita $ 9.000.000 a un interés simple mensual del 0,5% durante 9 años, el
capital acumulado es
A) $ 14.860.000 B) $ 13.860.000 C) $ 12.130.000 D) $ 11.430.000 E) $ 10.143.000
6. ¿Durante cuánto tiempo Carmen debe depositar un capital de $ 10.000.000 a un
régimen de interés simple de 3% anual, para obtener una ganancia de $ 150.000?
A) 5 años B) 2 años C) 1,5 años D) 1 año E) 6 meses
7. Julio presta tres millones y medio de pesos a un régimen de interés simple del 18%
anual. Si le devuelven el préstamo al cabo de 6 meses, ¿qué cantidad habría que pagarle a Julio por concepto de intereses?
A) $ 315.000 B) $ 270.000 C) $ 180.000 D) $ 31.500 E) $ 27.000
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INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i% por unidad de tiempo en un período de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el período n es:
EJEMPLOS
1. Karla invierte $ 5.000.000 a un interés compuesto anual del 16%. ¿Cuánto es el capital final de Karla, al cabo de 5 años?
A) $ 5.000.000 · (0,016)5 B) $ 5.000.000 · (0,16)5 C) $ 5.000.000 · (1,16)5 D) $ 5.000.000 · (11,6)5 E) $ 5.000.000 · (116)5
2. Carmelo deposita $ 8.000.000 en una entidad bancaria a un interés compuesto
semestral del 4,5%. ¿Qué expresión representa la cantidad de dinero acumulado por Carmelo, al cabo de 36 meses?
A) $ 8.000.000 · (1,0045)6 B) $ 8.000.000 · (1,045)6 C) $ 8.000.000 · (1,45)6 D) $ 8.000.000 · (1,045)36 E) $ 8.000.000 · (5,5)6
3. Según el censo del año 2002 la ciudad de Lampa tenía aproximadamente 120.000
habitantes. Si en los siguientes 10 años creció a una tasa del 3% anual, para el censo del año 2012, los habitantes de Lampa deberían ser, aproximadamente, A) 120.000 · (1,3)10 B) 120.000 · (1,03)10 C) 120.000 · (1,003)10 D) 120.000 · (0,13)10 E) 120.000 · (0,013)10
n
F
iC = C · 1 +
100
Ganancia = CF – C
12
4. El banco KTA ofrece el 8% de interés compuesto anual por depósitos recibidos. Si se deposita $ 2.000.000, el capital total acumulado al cabo de 9 años es
A) $ 2.000.000 · (108)9 B) $ 2.000.000 · (10,8)9 C) $ 2.000.000 · (1,08)9 D) $ 2.000.000 · (0,108)9 E) $ 2.000.000 · (0,0108)9
5. El capital acumulado por un depósito que realizó Hugo de $ 5.000.000 a un régimen de
interés compuesto anual durante 48 meses, en una entidad financiera que da un 4% semestral es
A) $ 5.000.000 · (0,04)8 B) $ 5.000.000 · (1,004)8 C) $ 5.000.000 · (0,4)8 D) $ 5.000.000 · (1,04)8 E) $ 5.000.000 · (1,04)24
6. Al depositar $ A durante 2 años a un régimen de interés compuesto en un banco que
da un 5% anual, se obtuvo $ 512.500 de ganancia. Entonces, el capital final fue
A) $ 5.515.500 B) $ 5.515.000 C) $ 5.513.500 D) $ 5.512.600 E) $ 5.512.500
7. Tirso y Tarso depositan en un Banco a interés compuesto las cantidades de $ 320.000
al 8% anual y $ 400.000 al 2% anual durante 3 años. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Si ambos recibieran el 8% de interés, entonces al cabo de los 3 años
recibirían $ 720.000 · (1,08)3 entre los dos. II) Si Tarso hubiera colocado $ 200.000 menos, recibiría $ 200.000 · (1,002)3. III) Si Tirso hubiera colocado $ 100.000 más, recibiría $ 420.000 · (1,08)3.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
13
EJERCICIOS 1. Fresia fue a la feria y compró 4 plátanos, pero el feriante le cobró sólo 3, entonces
le rebajaron un
A) 80% B) 75% C) 40% D) 25% E) 20%
2. Los dos quintos por ciento, de siete y medio es igual a
A) 3,0 B) 1,5 C) 0,3 D) 0,15 E) 0,03
3. La fracción 316
equivale en porcentaje a
A) 81,25% B) 62,25% C) 18,75% D) 13,50% E) 12,50%
4. Si el 5% de S es T, ¿qué porcentaje es S de T?
A) 5% B) 20% C) 50% D) 200% E) 2.000%
14
5. Si el 20% de x equivale al 80% de y, ¿cuál de las siguientes expresiones expresa la relación de y en términos de x?
A) y = 16% de x B) y = 25% de x C) y = 60% de x D) y = 100% de x E) y = 400% de x
6. La cuarta parte del doble del 20% de 375 es
A) 75 B) 50 C) 37,5 D) 25 E) 14,5
7. A Rommy le quedan $ 300 en su tarjeta Bip para movilizarse en Metro o Transantiago.
Si el pasaje cuesta $ 420, ¿qué porcentaje de lo que le queda en su tarjeta Bip deberá agregar para comprar un pasaje?
A) 20% B) 25% C) 30% D) 40% E) 45%
8. Desiderio vende una estufa a gas en $ 34.000 si el pago es al contado y en $ 35.530 si
el pago es con cheque. Entonces, el recargo al pagar con cheque es de un
A) 4,7% B) 4,5% C) 4,3% D) 1,5% E) 1,05%
9. Dionisio gastó $ 144.000 lo que equivale al 25% de su sueldo mensual. Entonces,
su sueldo es
A) $ 555.000 B) $ 569.000 C) $ 570.000 D) $ 576.000 E) $ 602.000
15
10. ¿Qué porcentaje de números enteros entre 2 y 43 son múltiplos de 4?
A) 26% B) 25% C) 24% D) 21% E) 20%
11. En un corral hay pavos blancos y pavos castellanos. Si 38 son blancos, ¿qué porcentaje
son los pavos blancos de los pavos castellanos?
A) 37,5% B) 40% C) 60% D) 62,5% E) 67,5%
12. La siguiente tabla nos muestra la estadística de lo que están realizando los 36 alumnos
de un curso. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos está estudiando Lenguaje?
A) 0,1% B) 0,5% C) 33% D) 33,3% E) 67,6%
13. Si en un curso el puntaje promedio en Matemática aumentó de una Jornada a otra de
480 a 540 puntos, ¿cuál fue el porcentaje de aumento?
A) 9% B) 11,1% C) 12,5% D) 30% E) 60%
Alumnos estudiando Matemática 20 Alumnos estudiando Lenguaje 12 Alumnos estudiando Inglés 4
16
14. Demócrito hace 2 depósitos de $ 20.000 cada uno a tres meses plazo, con un interés del 20% mensual. Uno es a interés simple y el otro a interés compuesto. Entonces, la ganancia que obtendrá es
A) $ 66.560 B) $ 34.560 C) $ 32.000 D) $ 26.560 E) $ 2.560
15. De su dinero, el abuelo Jorge prestó a su nieto Patricio $ 30.000, quedándose con
$ 90.000. ¿Con qué porcentaje de su dinero se quedó el abuelo?
A) 80% B) 75% C) 72% D) 60% E) 25%
16. Don Ramón hace 3 meses que no le paga el arriendo al Señor Barriga. Si debe
$ 600.000 y le ofrece pagar $ 690.000, entonces el interés que pagará es
A) 5% B) 10% C) 15% D) 18% E) 19%
17. Un canal de T.V. cable diariamente transmite un 30% de deportes, un 10% de
noticias, un 40% de películas y el resto comerciales. Entonces, entre noticias y comerciales, ¿cuánto tiempo transmite?
A) 7 horas 20 minutos B) 7 horas 12 minutos C) 7 horas D) 4,8 horas E) 2,4 horas
17
18. Hernán que tiene 18 años deposita un capital al 8% de interés simple anual. ¿Qué edad tendrá Hernán cuando el capital se triplique?
A) 25 años B) 43 años C) 48 años D) 54 años E) 68 años
19. Eduardo le vendió a su amigo Sebastián un libro de Sudoku en $ 5.600 con un 25% de
ganancia sobre el precio que lo había comprado. Entonces, Eduardo ganó
A) $ 920 B) $ 1.020 C) $ 1.100 D) $ 1.120 E) $ 4.480
20. Un premio de US$ 1.500.000 se repartió ficticiamente entre 4 grandes matemáticos. A
Pitágoras le correspondió el 35% del premio, a Euclides el 25%, a Thales el 15% y el resto le correspondió a Arquímedes. ¿Cuánto dinero le correspondió a este último?
A) U$ 1.500.000 B) U$ 1.200.000 C) U$ 1.000.000 D) U$ 750.000 E) U$ 375.000
21. El profesor Alejandro recuerda que en los años 60 “The Beatles” vendieron 3 millones
de discos, “The Rolling Stone” vendieron un 20% menos y “The Carpentier” un 10% menos que el grupo anterior. Entonces, los discos que vendió “The Carpentier” fueron
A) 2.400.000 B) 2.200.000 C) 2.180.000 D) 2.160.000 E) 2.060.000
18
22. Andrea compró un alisador eléctrico de pelo en $ 40.000 y luego lo vendió en $ 32.000. ¿Qué porcentaje perdió en la venta?
A) 40% B) 25% C) 20% D) 15% E) 10%
23. Tarek deposita en un Banco $ 10.000.000 a un interés simple trimestral del 3,6%. Al
cabo de 9 meses, ¿cuánto es el capital final?
A) $ 11.080.000 B) $ 11.108.000 C) $ 11.180.000 D) $ 11.810.000 E) $ 13.600.000
24. ¿Cuál es la ganancia que se obtiene al cabo de 2 meses al depositar 200 millones de
pesos a interés compuesto mensual del 5%? A) $ 210.250.000 B) $ 20.500.000 C) $ 20.050.000 D) $ 10.520.000 E) $ 10.250.000
25. Sandra, que es vendedora de celulares, rebaja un 25% el precio de éstos, pero al otro
día lo aumenta en un 20% resultando así $ 36.000. ¿Cuál era el precio primitivo?
A) $ 40.000 B) $ 39.000 C) $ 38.600 D) $ 38.200 E) $ 38.000
19
26. Se puede determinar qué porcentaje es p de q si :
(1) p + q = 100 (2) 80p – 50q = 0
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
27. Se puede determinar el perímetro de un sitio rectangular si :
(1) El ancho del sitio es igual al 50% del largo.
(2) El 300% del ancho, más el 50% de su largo es igual a 32 m.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
28. En un mall hay 2.500 empleados entre hombres y mujeres. Se puede determinar el
número hombres que trabajan en él si :
(1) El 80% de los empleados son mujeres.
(2) El número de hombres equivale al 25% del número de mujeres.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
29. Se puede determinar el 60% de p si :
(1) El 45% de p es 27.
(2) El 300% de p es igual al 30% de q. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
20
30. Un comerciante compra celulares a una empresa que los fabrica. Se puede determinar el precio de compra de un celular si :
(1) El precio con IVA (19% de impuesto) es igual a $ 49.980.
(2) El precio sin IVA (19% de impuesto) es igual a $ 34.020. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.
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