56

CAPÍTULO XIIIÁreas de Regiones Cuadrangulares

01. Dado un triángulo ABC, en la prolongación de

CA y en AB se ubican los puntos P y Q res-

pectivamente, se trazan PH BC y QM BC⊥ ⊥ ;

(M BH)∈ ; calcule el área de la regiónPQMH si BM = MH = HC; BQ = 6u, PC = 8 u ym∠BAC = 60º

A) 210 3 u B) 100 u2

C) 50 u2

D) 212 3 u E) 224 3 u

02. En la figura mostrada ATPB es un romboide yAT = 4m. Calcule el área de la región cuadradaMNPQ (N: Punto de tangencia)

T

NP

A

B

MQ

A) 64 m2 B) 32 m2

C) 15 m2

D) 16 m2 E) 8 m2

03. Dado un trapecio ABCD, M es punto medio de

CD (BC// AD) . Calcule el área de la regióntrapecial ABCD si (BM) (AM) = 20 u2;m∠BCD = 120º y m∠BMC = m∠MAD

A) 25 3 u B) 220 3 u

C) 20 u2

D) 210 2 u E) 210 3 u

04. Del gráfico mostrado calcule la suma de las áreas

de las regiones sombreadas si mMN 32= ° ;CD = 4u y AC = 20u.

A B

C

D

M

N

53°

A) 36 u2 B) 60 u2

C) 48 u2

D) 50 u2 E) 40 u2

Geometría

57

05. ABCD es un romboide M, N, P y Q son puntosmedios de los lados del romboide S1; S2; S3; S4;S5 y S6 son las áreas de las regiones sombreadasindique lo correcto.

M

N

P

QA

B C

D

S1S3 S5

S6

S4S2

A) S2 + S4 = S1 + S2 + S5 + S6

B) S1 + S4 + S5 = S2 + S3 + S6

C) S1 + S3 + S5 = S2 + S4 + S6

D) S1 . S4 . S5 = S2 . S3 . S6

E) S1 . S3 . S5 = S2 . S4 . S6

06. Si T es punto de tangencia; AM = 6u y R = 5u.Calcule el área de la región ABCD.

A D

R

M

T

B

C

A) 50 u2 B) 15 u2

C) 20 u2

D) 40 u2 E) 30 u2

07. En la figura mostrada mAP 16= y (BD)R = 50u2. Calcule el área de la región romboidal ABCD.

P O

C

B

A

R

16°

D

A) 50 u2 B) 24 u2

C) 30 u2

D) 25 u2 E) 48 u2

08. Dado un rectángulo ABCD, en su región inte-rior se ubica el punto P, en la prolongación de

BC el punto Q; tal que m∠PDQ = 90º; P perte-

nece a la semicircunferencia de diámetro AD ,el área de la región PDQ es 5 u2. Calcule el áreade la región ABCD.

A) 25 u2 B) 20 u2

C) 5 u2

D) 15 u2 E) 10 u2

09. Si ABCD y QBCP son romboides; x, y, z son lasáreas de las regiones sombreadas indique lo co-rrecto.

Q

CB

A D

P

x

y

z

A) z x.y= B) z2 = x2 + y2

C) z = x + y

D)1 1 1z x y= + E)

2xyzx y

=+

58

10. Calcule la razón entre las áreas de las regionestrapeciales sombreadas si PQCD es un romboide;P, Q y T son puntos de tangencia.

P

Q

B

AT

D

C

A) 1 B)12

C) 2

D) 3 E)45

11. En la figura mostrada, las áreas de las regionessombreadas son equivalentes. Calcular PC siPD = 9u y PQ = 8u.

AB

C

D

P

Q

A) 3u B) 4u

C) 6u

D) 8u E) 6 2u

12. Del gráfico, calcular el área de la región rectan-gular ABCD si 5(AD) = 16R y MC = 5u.

A B

MR

D C

A) 30 u2 B) 40 u2

C) 45 u2

D) 50 u2 E) 60 u2

13. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado decentro O, M es punto de tangencia y AM = 4u.Calcular el área de la región sombreada ABCD.

B C

A D

OM

A) 8 u2 B) 12 u2

C) 16 u2

D) 18 u2 E) 20 u2

59

14. Del gráfico, calcular el área de la regiónsombreada ABCD si BM = 10u y MC = 16u.

A DO

B M C

A) 169 u2 B) 312 u2

C) 198 u2

D) 208 u2 E) 216 u2

15. Calcular el área de una región cuadrangularABCD inscrita en una circunferencia cuyo

diámetro es AD ; sabiendo que mBC 60= ° ,

AB 3u y CD 2 3u= = .

A) 22 3 u B) 4 u2

C) 6 u2

D) 25 3 u E) 12 u2

16. En un cuadrado ABCD, se ubican los puntos

medios M y N de BC y CD respectivamente,

luego se traza la perpendicular NE a AM .Calcular el área de la región EMCN, si: EC = a.

A)2a

4B)

2a3

C)2a 22

D)2a

2 E)23a

2

17. En un triángulo equilátero de lado 2u, al trazaruna paralela a uno de los lados se forman dosregiones equivalentes. Calcular la longitud de lamediana del trapecio que se forma.

A)2 2

2−

B)2

2

C) 2 1+

D)2 2

2+

E)2 32+

18. Calcular el área de una región trapecial inscritoen una circunferencia de radio 5u y bases 6u y8u. El centro de la circunferencia es interior altrapecio.

A) 46 u2 B) 49 u2

C) 48 u2

D) 56 u2 E) 42 u2

19. Los lados de un paralelogramo miden 6u y 8u.Calcular el área de la región paralelográmica siademás una de las alturas mide 7u.

A) 28 u2 B) 56 u2

C) 42 u2

D) 62 u2 E) 40 u2

20. En un trapecio ABCD de bases AB y CD , el

lado BC = 6u. Desde el punto medio M de AD

se traza una perpendicular a BC que corta a la

prolongación de BC en J. Calcular el área de la

región trapecial si: MJ 5=

A) 15 u2 B) 20 u2

C) 25 u2

D) 30 u2 E) 35 u2

60

CAPÍTULO XIVÁreas de Regiones Circulares

01. En el arco AB de la semicircunferencia de diá-

metro AB se ubica el punto L, siendo P y Qpuntos medios de los arcos AL y LB respectiva-

mente cuyas proyecciones sobre AB son M y Hrespectivamente calcule el área del círculo máxi-mo que se puede inscribir en dicha circunferen-cia si PM = 8u y QH = 6u.

A) 30π u2 B) 36π u2

C) 9π u2

D) 25π u2 E) 48π u2

02. En la figura mostrada calcule el área de la coro-na circular si el área de la región romboidal

ABCD es 22 3 u ; B y T son puntos de tangen-cia.

AD

B

T

30°C

A) 6π u2 B) 3π u2

C) 4π u2

D) 23 2 uπ E) 5π u2

03. Si los círculos mostrados son máximos y el áreadel círculo de centro O1 es π u2 calcule el áreadel círculo de centro O2.

A C37°

B

O2O1

A) 9π u2 B) 5π u2

C) 3π u2

D) 2π u2 E) 4π u2

04. De la figura mostrada calcule el área de la

región sombreada si mAM mMD 36= = ° ;

mPB 18= ° y P dista 5u de CD .

A B

C

PM

D

A) 10π u2 B) 15π u2

C) 7,5π u2

D) 8π u2 E) 9π u2

61

05. Del gráfico mostrado calcular el área de laregión sombreada, si AB = 2(BO) = 4u.

A B O P

M

Q

A) 9(π – 4) u2 B) 9π u2

C) 16π u2

D) (9π – 6) u2 E) (18π – 7) u2

06. Si: AO = OB = R. Calcular el área del segmento

circular AP .

R

A

O1

P

BO

A)2R 37 12

6 18 5π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠B)

2R 37 125 36 5

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

C)2R 37 12

5 9 5π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

D)2R 37 7

3 36 5π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠E)

2R 37 124 2 5

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

07. Del gráfico O y D: centros. Calcular el área de laregión sombreada.

R

B C

A O D

A)2R 3

4 3π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

B)2R 23

2 3π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

C)2R 23 1

4 3π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

D)2R 3 2

2 3π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

E)2R 23 2

4 3π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

08. Del gráfico. O: centro; α – θ = 60ºCalcular: Sx

�

�

Q

O

R T

P

Sx

A)2R

4π

B)2R

6π

C)2R

3π

D)2R

8π

E)22 R

3π

62

09. Del gráfico. O: centro; PQ = 2(QH), mPQ 80= ° .Calcular el área de la región sombreada.

P

Q

A O H B

R

A)2R 3

2 3 2⎛ ⎞π

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

B)2R 3

4 3 2⎛ ⎞π

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

C)2R 3

3 3 2⎛ ⎞π

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

D)2R 3

4 3π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠E)

2R 15 3

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

10. Del gráfico AO = OB = R; O y O1: centros

Calcular el área de la región sombreada.

A

O O1 B

A)2R 2 3

10 3⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

B)2R 3 3

8 2⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

C)2R 4 1

4 3⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

D)2R 3 3

5 2⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

E)2R 3 3

6 2⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠

11. Si: AO = OP = OB = r; A y O: centros

Calcular el área de la región sombreada.

P

A O B

A)2r

2π

B)2r2

C)22 r

2π−

D)23r

2E)

2r4

12. Del gráfico. O y O1: centros mPB 150= ° .

Calcule el área de la región sombreada.

R

A O B

P

O1

A)2R 5 3

15 6π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠B)

2R 5 318 6

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

C)2R 6 3

18 5π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

D)2R 6 3

16 5π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠E)

2R 5 320 6

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

63

13. Si: AB = 3m, BC = 4m. Calcular el área delsemicírculo, si O es centro.

A

B

CO

A) 2144 m49π

B) 236 m49π

C) 236 m7π

D) 272 m49π

E) 236 m40π

14. ABCD: cuadrado BM = MC, AB = RCalcular el área de la región sombreada.

B M C

A D

R

A)2R 176

15 18π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠B)

2R 17820 18

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

C)2R 377

20 18π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

D)2R 379

19 18π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠E)

2R 17717 9

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

15. Del gráfico: ABCD: cuadrado

AB 2 2= +

Calcular el área de la región sombreada.

B C

A D

A) 14π

− B) 13π

−

C) 23π

−

D) 25π

− E) 26π

−

16. Del gráfico; R = 8u, M y N son áreas de las re-giones sombreadas. (S es punto de tangencia.

Calcular: N + M

MN

B S C

A O D

R

A) 8π u2 B) 7π u2

C) 6π u2

D) 5π u2 E) 4π u2

64

17. En la figura ABCD es un cuadrado siCM = MD = 2u. Calcular el área de la regiónsombreada.

B

M

C

A D

A) 22 (3 4)u3

π− B) 22 ( 2)u3π−

C) 22 ( 4)u3π−

D) 2(3π – 4)u2 E) 24 ( 2)u3π−

18. En el gráfico, M es punto de tangencia calcularel área de la región sombreada si R = 6u.

B M C

A D

R

A) 4,2π u2 B) 5,9π u2

C) 4,8π u2

D) 7,4π u2 E) 6,8π u2

19. Del gráfico, calcular el área de la regiónsombreada, si r = 3u, M, N y S son puntos detangencia.

A

S

BNO

M

r

A) 23 (4 3 3) u4

π−

B) 23(3 2 3) uπ−

C) 22(3 2 3) uπ+

D) 25( 3) uπ +

E) 6(π + 1) u2

20. Según el gráfico AC = 10 u y 4(AH) = 3(RB),P, Q y T son puntos de tangencia.Calcular el área de la región sombreada.

A

B

CT

H

R

PQ

A) 4π u2 B) 9π u2

C) 26 u5π

D) 24 3 u3

π E) 26 2 u2

π

65

CAPÍTULO XVGeometría del Espacio – Diedros

01. Se tiene un cuadrado ABCD se trazan AP y

CQ perpendiculares al plano del cuadrado y haciaun mismo semiespacio tal que AP = 4(QC) = 8u y

PQ = 10u; M es punto medio de PQ . Calcule elárea de la región BMD.

A) 10 u2 B) 40 u2

C) 30 u2

D) 20 u2 E) 36 u2

02. Se tiene un rectángulo ABCD, AB = 4u; en

BC se ubica el punto Q; se traza BP perpendi-cular al plano de dicho rectángulo tales queBM = 2u y m∠AQC = 135º calcule el área de laregión triangular PMN siendo M y N puntos

medios de AC y QD respectivamente.

A) 22 u B) 22 2 u

C) 8 u2

D) 4 u2 E) 22 3 u

03. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de lassiguientes proposiciones:

• Toda recta perpendicular a una recta dadaserá paralela al plano perpendicular adicha recta.

• Para que una recta sea perpendicular a unplano, bastará que sea perpendicular a dosrectas de dicho plano.

• Una recta paralela a la intersección de dosplanos, podrá ser perpendicular a uno delos planos.

A) VFV B) VVFC) FVVD) VVV E) VFF

04. Dado un rectángulo ABCD, se traza una

semicircunferencia de diámetro AD tangente a

BC , cuyo arco interseca a AC en P y se traza

PQ perpendicular plano de dicho rectángulo,

tal que el diedro entre las regiones ABCD y DQCmide 71º30’. Calcule la medida del diedro quedeterminan las regiones ABCD y AQB.

A)3arc Tg5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) 53º

C) 37º

D) 26º 30’ E) 14º

05. En la figura mostrada 1 2yL L son alabeadas;

calcule la medida del ángulo que determinan lasmismas, si R = 5u y MN = 3u.

L1

L2

R

M

N

A) 53º B) 37º

C) 45º

D) 36º E) 74º

66

06. En un triángulo equilátero ABC de lado 3u,por su circuncentro O, se traza la perpendicular

OD al plano del triángulo de modo que

AD = AC. Calcular la distancia entre AD y BC .

A) 2 u B) 2 2 u

C)3 2 u2

D)2 u

2E) 3 u

07. Desde el centro M de un cuadrado ABCD de lado

1u se traza la perpendicular MP al plano delcuadrado. Calcular la longitud de MP si ladistancia de P a uno de los vértices es 3u.

A) 17 u B)17 u2

C) 34 u

D)34 u2

E) 29 u

08. En un hexágono regular ABCDEF de lado 4m

y centro “O”, se traza la perpendicular OS alplano del hexágono de modo que al unir S con A

y B se forma un diedro AB de 60º. Calcular ladistancia de “O” al plano ABS.

A) 2 m B) 3 m

C) 4 m

D) 2 3 m E) 2 2 m

09. Se tiene el diedro AB que mide 150º formadopor los semiplanos M y N, se ubica el punto P

sobre su semiplano bisector y se trazan PQ y

PS perpendiculares a M y N respectivamente.Calcular QS

Si: PQ = 1m

A) 3 2 m− B)2 3 m

2−

C) 2 3 m−

D) 5 3 m− E) 3 1 m−

10. En un triángulo ABC, inscrito en una circunfe-

rencia, por M punto medio del arco BC setraza una perpendicular al plano del triángulohasta un punto D. Calcular la distancia delpunto D al baricentro del triángulo ABC.

Si: (AD)2 – (AC)2 = 36 u2.

A) 4 u B) 5 u

C) 6 u

D) 7 u E) 8 u

11. En un hexaedro regular ABCD – EFGH calculela medida del ángulo entre la recta que une los

centros de las caras ABCD y HGCD y AF .

A) 75º B) 60º

C) 45º

D) 120º E) 90º

67

12. En un tetraedro regular V–ABC se ubica en AVel punto P tal que PA = 2(VP). Siendo G elbaricentro de la cara ABC, calcule el área de lasuperficie del tetraedro si el área de la regióntriangular AGP es 24 u2.

A) 272 6 u B) 224 3 u

C) 2108 6 u

D) 272 3 u E) 236 6 u

13. En el gráfico, AE es perpendicular al plano quecontiene al cuadrado de centro O. Si: EO = 2u yAD = 2(DL) = 2u. Calcular EF

A

B C

D L

E

F

O

H

A) 4 2 u B) 2 3 u

C) 4 5 u

D) 2 2 u E) 4 3 u

14. Se traza AP perpendicular al plano que contie-ne al triángulo isósceles ABC (AC = AB = 8u).

Si PC 5 2 u= , calcule la m∠BPC cuando elárea de la región triangular ABC sea máxima.

A) 82º B) 90º

C) 120º

D) 106º E) 74º

15. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero Ges baricentro de la región triangular ABC si

LE = AE y AC = 6u. Calcule LC y si EF // AC y

LE es perpendicular al plano del triángulo ABC.

A C

E

L B

GF

A) 5 2 u B) 8 u

C) 4 2 u

D) 2 10 u E) 12 u

16. En la figura, LO P⊥ , OH = HB, HM = MA si

ML 2 7 u= y R = 4u. Calcular la medida del

ángulo entre ML y el plano P.

R M A

B

H

P

L

O

A) 30º B) 37º

C) 45º

D) 53º E) 60º

68

17. En el tetraedro regular V–ABC cuya arista mide12u, calcular la distancia de B al segmentoque une los baricentros de los caras de ABC yBCV.

A) 6 2 u B) 6 u

C) 2 37 u

D) 2 11 u E) 37 u

18. Según el gráfico, A y B son puntos de tangencia,

OE en un segmento perpendicular al plano quecontiene a la circunferencia. Si m∠ACB = 60º,

EF = 4u y R 2 3 u= .

Calcule AE

R

B

E

O

C

A

F

A) 5 u B) 4 5 u

C) 2 10 u

D) 3 5 u E) 4 2 u

19. En un poliedro se cumple que el número decaras es igual al número de vértices, la razónentre el número de aristas y el número de caras

es 127 . Calcule la suma de los números de

caras, aristas y vértices.

A) 26

B) 52

C) 36

D) 24

E) 30

20. En un tetraedro regular P–ABC, en PB seubica el punto Q tal que QB = 2(PQ). Si la

distancia de Q a la cara ABC es 6 u .

Calcule el área de la superficie tetraédrica.

A) 29 2 u

B) 227 3 u2

C) 263 u2

D) 276 5 u5

E) 281 3 u4

69

CAPÍTULO XVIVolúmenes Prisma–Pirámide–Cilindro–Cono

01. Calcule el volumen del paralelepípedo mostradosi R = 5 u y PQ = 1 u.

R

P

Q

A) 900 u3 B) 600 u3

C) 300 u3

D) 400 u3 E) 200 u3

02. Calcule la razón entre los volúmenes de los

cilindros de revolución mostrados si mAB 60= °siendo O centro del arco AB.

A)27 B)

19

C)18

D)13 E)

118

03. Dado un prisma hexagonal regular ABCDEF–

A’B’C’D’E’F’ tal que AC y G 'D forman un án-gulo de 60º y el área de la superficie lateral del

prisma es 26 2 u . Calcule el volumen de lapirámide P–AEC; siendo P un punto de la baseA’B’C’D’E’F’.

A) 35 3 u8

B) 3 u3

C) 33 u2

D) 2 u2 E) 36 u4

04. Se tiene un cono de revolución de vértice V ycentro de su base O; en el plano de la base se

ubica el punto P y se traza PT y PQ tangentes ala circunferencia que limita a su base tal queVP = 10u y m∠TPQ = m∠VPT = 53º. Calcule elárea de la superficie que limita a dicho uno.

A) 45π u2 B) 36π u2

C) 33π u2

D) 41π u2 E) 35π u2

05. En una pirámide cuadrangular V–ABCD el trián-gulo VAC es equilátero cuya superficie lateral

tiene un área de 216 7 u . Calcule el volumendel cilindro cuyas bases estan contenidas en labase de la pirámide y la otra esta inscrita ala región MNPQ; siendo M, N, P y Q puntosmedios de las aristas laterales.

A) 35 uπ B) 32 6 uπ

C) 6π u3

D) 36 uπ E) 3π u3

70

06. En el gráfico se muestra un cono de revolución,calcule la longitud del menor recorrido para irde B a M a través de la superficie lateral del cono,si g = 3R = 4u y VM = MB.

A) 2 7u B) 2u

C) 5u

D) 10u E) 2 6u

07. Dado el prisma recto ABC–EFG; m∠ABC = 90º

M y N son puntos medios de AC y EG respec-tivamente tal que las regiones MNFB y FBCGson equivalentes y el área de la región cuadradaEABF es 12 u2. Calcule su volumen.

A) 24 u3 B) 12 u3

C) 8 u3

D) 312 2 u E) 6 u3

08. En un prisma regular ABCD–MNPQ,m∠MBP = 37º y (MC)2 + (QC)2 = 44 u2.

Calcule el volumen de dicho prisma.

A) 14 u3 B) 16 u3

C) 18 u3

D) 20 u3 E) 25 u3

09. Calcular el área total de un cilindro de revolu-ción, en el cual la diagonal axial mide 17u y ladistancia de un punto de la circunferencia de una

base al centro de la otra es 241 u .

A) 164π u2 B) 148π u2

C) 152π u2

D) 172π u2 E) 156π u2

10. En un cilindro de revolución se inscribe elprisma recto ABCD–EFGH, m∠ADC = 120º;

AB BC 3 3 u= = y DH = 8u. Calcule el volu-men de dicho cilindro.

A) 30π u3 B) 36π u3

C) 60π u3

D) 72π u3 E) 8π u3

11. Según el gráfico, el cilindro circular recto y elcono circular recto parcial son equivalentes. Cal-cule la razón de los volúmenes entre el cono par-cial y el cono total.

A)2564 B)

2764

C)9

16

D)36

125 E)14

71

12. Calcular el volumen de un cono de revolución,si un punto de la superficie lateral dista 6u, 16uy 10u de la altura, la base y el vértice respectiva-mente.

A) 3120π u2 B) 2400π u3

C) 1690π u3

D) 3240π u3 E) 1800π u3

13. Calcular el volumen del sólido que se forma alunir los puntos medios de las aristas de un cubode volumen V.

A)V2 B)

5 V3

C)3 V5

D)6 V5 E)

5 V6

14. Calcular el volumen de un tronco de prismarecto, cuyas bases son un triángulo equiláteroFED y un triángulo rectángulo isósceles ABC.Además una cara lateral es un rectángulo de la-dos 3 2 u y 6u, siendo los mayores lados lasaristas laterales.

A) 35,5 u3 B) 31,5 u3

C) 36 u3

D) 48 u3 E) 72 u3

15. Se tiene un cilindro de revolución cuyo radio enla base es 40u y la altura es 30u. Se traza unplano paralelo al eje y que pasa a 24u del eje.Calcular el área de la sección que se obtiene enel plano.

A) 10 u2 B) 15 u2

C) 20 u2

D) 30 u2 E) 50 u2

16. Calcular el área lateral de un tronco de prismarecto que tiene por aristas básicas segmentos de8u, 12u y 6u las aristas laterales opuestas a estoslados miden 15u, 5u y 10u respectivamente.

A) 16 u2 B) 70 u2

C) 27 u2

D) 12 u2 E) 100 u2

17. La altura de un prisma recto es 5u y ladiagonal del rectángulo que resulta dedesarrollar la superficie lateral mide 13u.Calcular el volumen del prisma si la base es untriángulo equilátero.

A) 320 2 u B) 320 3 u

C) 310 3 u

D) 320 5 u E) 10 u3

18. Calcular el volumen de un cilindro de revolu-ción circunscrito a un rectoedro regular de 8 m2,de volumen.

A) 3π m3 B) 4π m3

C) 5π m3

D) 6π m3 E) 7π m3

19. Calcular el área lateral de un prisma regular debase triangular si la altura es el doble del lado dela base y el volumen es V3.

A) 232 12 V B) 232 36 V

C) 23 36 V

D) 23 18 V E) 23 10 V

20. El desarrollo de la superficie lateral deun prisma recto regular tiene por diagonal 8m

y por altura 4 3 m. Calcular el área total delprisma.

A) 2151 3 m B) 2152 3 m9

C) 2141 3 m

D) 2131 3 m E) 2150 3 m9

72

CAPÍTULO XVIIEsfera – Pappus

01. Del gráfico P, Q y T son puntos de tangenciaR = 3u el volumen del cono de revolución es

15π u3 y OT 15 u= . Calcule el área de la su-perficie esférica de centro O1.

A) 16 u2 B) 12 u2

C) 8 u2

D) 4 u2 E) 3 u2

02. Si la circunferencia de centro O1 está contenidaen el punto P; T es punto de tangencia

OO1 = 1u; PT = 4u y 1O P 2 6u= ; calcule elvolumen de la esfera.

PP

T

O

O1

A) 54π u3 B) 36π u3

C) 27π u3

D) 42π u3 E) 45π u3

03. Si ABCD es un cuadrado calcule la diferenciaentre los volúmenes de los sólidos que generanlas regiones sombreadas cuando giran 360º alre-

dedor de AD .

3

A

B C

D

360°

A) 45π u3 B) 9π u3

C) 18π u3

D) 27π u3 E) 36π u3

04. Calcule el volumen de la esfera inscrita en uncono equilátero cuya superficie lateral tiene unaárea de 25π cm3.

A) 340 cm3π

B) 332 cm5π

C) 332 cm3π

D) 364 cm3π

E) 38 cm3π

73

05. Si P es el punto más elevado de la esfera; VPforma 30º con el plano P; VP = 6m; R = 3m y elvolumen del cono de revolución es 21π m3 cal-cule el volumen de la esfera.

P

P

V

R

A) 36π m3 B) 16π m3

C) 364 m3π

D) 332 m3π

E) 38 m3π

06. Del gráfico mostrado calcule el área de lasuperficie generada por el arco PB al girar 360º

alrededor de L si R = 3r = 6u.

A B

Rr

P

L

A) 2 212 3 uπ B) 2 224 3 uπ

C) 224 3 uπ

D) 2 224 2 uπ E) 224 2 uπ

07. Dado un cono de revolución cuyo desarrollo esun sector circular de radio 10 cm y tiene un áreade 60π cm2. Calcule el área de la superficieesférica inscrita en dicho cono.

A) 36π cm2 B) 27π cm2

C) 45π cm2

D) 18π cm2 E) 40π cm2

08. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro,si el área de la superficie esférica más el áreatotal del cilindro es 31,40u2. Calcular el volu-men de la esfera.

A) 39 u4π

B) 38 u3π

C) 32 u3π

D) 34 u3π

E) 310 u3π

09. La altura y diámetro de un cono de revoluciónson iguales al radio de una esfera de 4 cm3 devolumen. Calcular el volumen del cono.

A) 31 2 cm5 B) 31 cm

5

C) 31 cm4

D) 31 cm8 E) 31 cm

10

74

10. Calcular el área de una superficie esférica ins-crita en un cubo que a su vez esta inscrita en unaesfera de superficie igual a 18 u2.

A) 3 u2 B) 4 u2

C) 5 u2

D) 6 u2 E) 8 u2

11. Una esfera de radio igual a 1,5 u tiene el mismovolumen que un cono circular recto cuyo radiode la base es 0,75u. Calcular la altura del cono.

A) 30 u2 B) 25 u

C) 24 u

D) 32 u E) 36 u

12. El volumen de un sólido de revolución por larotación de un cuadrado de 6m de lado alrede-dor de una de sus diagonales es:

A) 33 3 mπ B) 336 2 mπ

C) 330 3 mπ

D) 336 3 mπ E) 332 2 mπ

13. Un cubo y una esfera tienen igual área que2,4 m2, el volumen del cubo es al volumen de laesfera como:

A) 2π

B) 6π

C)3π

D) 6π

E) π

14. Se inscribe uno cono circular recto a dos esferastangentes exteriormente de radio 2 y 6m. Calcu-lar la altura del cono.

A) 18 m B) 17 m

C) 15 2 mD) 12 m E) 20 m

15. Calcular el volumen de la semiesfera si la basedel cono circular recto de volumen V esconcéntrica con el círculo máximo y las regio-nes en dicho círculo son equivalentes.

A) 2V B) 4VC) 3VD) 6V E) 8V

16. Del gráfico, calcular el área de la superficie es-férica, si el área de la superficie lateral del cilin-dro es S’.

A)3 S4 B)

2 S3

C)4 S3

D)3 S2 E)

1S3

75

17. Calcular el volumen de una esfera inscrita en uncono equilátero si la superficie lateral del troncode cono determinado es 54π u2.

A) 318 3 uπ

B) 324 3 uπ

C) 32π u2

D) 332 3 uπ

E) 64π u2

18. Calcular el volumen del sólido generado al girar

360º la región sombreada alrededor de L siABCD es un cuadrado si BM = 3u y DN = 21u;AE = BE y AF = FD.

N

A

F

E

BM

C

D

L

A) 1200π u3

B) 1600π u3

C) 1800π u3

D) 2400π u3

E) 3600π u3

19. Del gráfico. Calcular la razón de los volúmenesde los sólidos generados al girar 360º alrededor

de 1 2yL L respectivamente.

L1

L2

37°

A)23 B)

12

C)32

D)43 E)

14

20. Del gráfico, calcular el área de la superficie

generada al girar 360º en torno a L si2(R)(CD) 3 2 u= y mAB 90= ° .

R

A

B

L

C

D

A) 2π u2 B) 3π u2

C) 23 2 uπ

D) 4π u2 E) 6π u2