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Mecánica 1: EstáticaIng. Juan Carlos Cárdenas A.
Ing. Manuel Enrique Roldán S.
Unidad 3:Cuerpos Rígidos: Sistemas
Equivalentes de Fuerzas
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Fuerzas Externas e Internas
• Hay 2 grupos de fuerzas que
actúan en los cuerpos rígidos:
- Externas
- Internas
• Fuerzas Externas se muestran en
el diagrama de cuerpo libre (DCL)
• Cada fuerza externa puede transmitir movimientos de traslación, de
rotación, o ambos.
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Principio de Transmisibilidad:
Fuerzas Equivalentes
• Principio de Transmisibilidad -
Las condiciones de equilibrio o
movimiento no varían por la
transmisión de una fuerza a lo largo de
su línea de acción.
Nota: F y F’ son fuerzas equivalentes.
• Mover el punto de aplicación de F
a la parte posterior del camión, no
afecta el movimiento o las otras
fuerzas actuando en el camión.
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Producto Vectorial de 2 vectores
• El producto vectorial de 2 vectores P y Q se define
como el vector V que satisface:
1. La línea de acción de V es perpendicular al
plano que contiene P y Q.
2. La magnitud de V:
3. La dirección de V: Regla de la mano derecha.
sinQPV
El pulgar determina el signo
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Producto vectorial:
Componentes Rectangulares
• Producto vectorial de vectores unitarios,
0
0
0
kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii
• Producto vectorial en términos de
coordenadas rectangulares:
kQjQiQkPjPiPV zyxzyx
zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
V
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Producto vectorial: momento
de una fuerza en un punto
• El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido depende del punto de aplicación.
• La magnitud de MO indica la tendencia de la fuerza a causar rotación de un
cuerpo rígido sobre el eje que pasa a lo largo de MO.
FdrFMO sin
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Momento de una Fuerza sobre
un Punto
• El momento de F en el punto O
está definido por:
FrMO
• El vector de posición r siempre
inicia en el punto donde se
quiere calcular MO y finaliza
en cualquier punto a lo largo
del eje de la fuerza F.
• El momento de una fuerza sobre un punto equivale a
realizar el producto vectorial o producto cruz entre 2
vectores.
• El vector momento MO es perpendicular
al plano que contiene O y la fuerza F.
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Momento de una Fuerza sobre
un Punto
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Momento de una fuerza en un
punto: 2 interpretaciones
CONCLUSION:
2 formas de calcular momento de F respecto a punto A.
Trabajando en forma escalar,
usando el concepto de brazo de
palanca, es decir:
FdrFMO sin
Trabajando en forma vectorial,
usando el concepto Vector posición
del pto.de giro x su fuerza aplicadas
decir: FrMO
Mejor en 2D Mejor en 3D
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Ejemplo resuelto 3.1
Una fuerza vertical de 100-lbf se aplica al final de la
palanca, la cual está fija por medio de un pasador
el punto O.
Determine:
a) Momento en O,
b) La fuerza horizontal en A que produciría el mismo
momento.
c) La fuerza mínima en A que produciría el mismo
momento.
d) Ubicación de una fuerza vertical de 240-lbf que
produciría el mismo momento.
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a)
in. 12lb 100
in. 12
60cosin.24
O
O
M
d
FdM
in lb 1200 OM
Ejemplo resuelto 3.1
b)
in. 8.20
in. lb 1200
in. 8.20 1200
in. 8.20
60sinin. 24
F
F
FdM
d
O
lb 7.57F
c)
in. 42
in. lb 1200
in. 42 1200
F
F
FdMO
lb 50F
d)
in. 5cos60
in. 5
lb 402
in. lb 1200
lb 240lb 1200
OB
d
d
FdM O
in. 10OB
12
a)
Ejemplo resuelto 3.1
b) c) d)
Cabe indicar que aunque todas las fuerzas en b), c), y d)
producen el mismo momento que en a), ninguna tiene la
misma magnitud y dirección, o están en la misma línea
de acción. Por lo tanto ninguna de las fuerzas es
equivalente a la de 100 lb.
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Ejercicios
1. Calcule la menor fuerza posible P que produce un momento en
sentido horario de 250 lb.in, si se aplica sobre el punto B.
14
Ejercicios
2. Calcule el valor de la fuerza F necesaria
para prevenir que el poste de 5 metros se
mueva. Distancias en metros.
15
Ejercicios
3. La fuerza de tensión en el cable
AB es de 400lb. Calcule el
momento que se genera en E
debido a esta fuerza.
16
Ejercicios
4. Calcule el momento sobre el
punto D debido a una fuerza
de 150 N que transmite el
cable AB. Las dimensiones
están dadas en metros.
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Teorema de Varignon
• El momento sobre un punto dado O, de la
resultante de fuerzas concurrentes, es igual a
la suma de los momentos de cada fuerza
concurrente sobre el mismo punto O.
• Este teorema permite reemplazar el cálculo
directo del momento de una fuerza F por los
momentos de 2 o más fuerzas, componentes
de F.
2121 FrFrFFr
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Componentes Rectangulares
del Momento de una fuerza
El momento de F sobre O,
kFjFiFF
kzjyixrFrM
zyx
O
,
kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
kMjMiMM
xyzxyz
zyx
zyxO
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El momento de F, aplicada en el punto A, sobre cualquier punto B,
FrM BAB
/
kFjFiFF
kzzjyyixx
rrr
zyx
BABABA
BABA
/
Componentes Rectangulares
del Momento de una fuerza
donde:
zyx
BABABAB
FFF
zzyyxx
kji
M
Finalmente:
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El plato rectangular está soportado
por ménsulas en A y B y un cable CD.
Si este tiene una tensión de 200 N,
calcule el momento en A, debido a la
fuerza ejercida por el cable en C.
SOLUCIÓN:
El momento MA de la fuerza F ejercida
por el cable, se obtiene evaluando el
producto vectorial,
FrM ACA
Ejemplo resuelto 3.4
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SOLUCIÓN:
12896120
08.003.0
kji
M A
kjiM A
mN 8.82mN 8.82mN 68.7
kirrr ACAC
m 08.0m 3.0
FrM ACA
kji
kji
r
rFF
DC
DC
N 128N 69N 120
m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
Ejemplo resuelto 3.4
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Cuadro resumen:
Producto vectorial, M y FConcepto
matemáticoFórmula
Concepto en
MECÁNICAFórmula en MECÁNICA
Producto vectorialMomento de F sobre
un punto O, en 2D
Producto vectorialMomento de F sobre
un punto O, en 3D
Componentes
rectrangulares de
un vector
Componentes rectang.
de Fuerza y Momento
sinQPV FdrFMO sin
O
M r FV P Q
x y zF F i F j F k O x y zM M i M j M k
x y zF F i F j F k
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Ejercicios
4. (3.4) Se aplica una fuerza P a la palanca, tal como se indica. Calcule la
magnitud y dirección mínima de P para generar un momento de 25.0
lb·in en sentido anti-horario respecto al punto A.
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Ejercicios
5. (3.11) Para tensar el cable al poste CD, hay que aplicar una fuerza
que produzca un momento de 1152 N·m respecto a D. Si el
malacate AB tiene una capacidad de 2880 N, indique el valor
mínimo de d para lograr ese momento, suponiendo que a = 0.24 m
y b = 1.05 m
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Ejercicios
6. (3.26) El puntal de madera AB
sostiene temporalmente el techo
mostrado. Si ejerce una fuerza
de 250 N dirigida a lo largo de
BA, determine el momento de
esta fuerza respecto a D.
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Mecánica 1: EstáticaIng. Juan Carlos Cárdenas A
Ing. Manuel Eneique Roldán S.
Unidad 3:Cuerpos Rígidos: Sistemas
Equivalentes de Fuerzas
Fin
