C1 Sistemas Señales y Modelos 2015

8/17/2019 C1 Sistemas Señales y Modelos 2015

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Apuntes de Teoría de Control Sistemas, señales y modelos

MI. Guillermo Hermida Saba MMXV Página 1

Capítulo 1

Conceptos generales.

En este capítulo estudiaremos los conceptos de sistema, señal y modelo con el objeto de

establecer un marco conceptual que nos permita hacer clasificaciones y acotar el área de estudio.

1.1 Sistema.

El concepto de “sistema” tiene muchas connotaciones, de ahí que existan varias maneras de

definirlo, estas son algunas formas:

• Conjunto de entes o cosas arreglados de manera ordenada para realizar un fin o trabajo

específico.

• Conjunto de dos o más elementos interrelacionados de cualquier especie que buscan un

objetivo común.

• Entidad que procesa una o más señales para producir nuevas señales.

• Conjunto de elementos físicos o abstractos, interdependientes e interactuantes, que

forman un todo organizado y cuya operación es más compleja, que la operación

independiente de cada uno de sus elementos.

Figura 1.1 Concepto de sistema.

Ejemplos:

• Automóvil -- Sistema electromecánico

• Televisión -- Sistema electrónico.

• Nido de Hormigas -- Sistema biológico, ecológico.

• País de México -- Sistema político, económico.

• Proceso químico – Sistema térmico, hidráulico, etc.


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1.2 Señal.

El concepto de “señal” está asociado directamente al concepto de sistema y lo podemos definir

como:

Función del tiempo que representa una variable física asociada con un sistema.

Función de una o más variables que transportan información acerca de la naturaleza de un

fenómeno.

Ejemplos. Variables físicas como:

• Voltaje, corriente.

• Posición, velocidad, aceleración.

• Presión, flujo, nivel.

• Etc.

Los sistemas y sus respectivas señales pueden ser representados convenientemente por medio de

diagramas de bloques:

SalidaSistema

Entrada

Excitación Respuestay(t)r(t)

Figura 1.2 Sistema con entrada y salida.

Dónde: la entrada ( )r t y la salida ( ) y t son señales.

Ya que la entrada y la salida son de manera general funciones diferentes del tiempo, se puede

decir que el sistema procesa la señal de entrada para producir una señal de salida. Es importante

notar que el concepto de sistema depende del punto de vista del diseñador o analista, es decir, un

sistema complejo puede estar formado por muchos subsistemas, y dependiendo de cuál sea

nuestro objeto de estudio, es que determinamos cual es el sistema a estudiar. Ejemplo:

Proceso Quimico

Sistema de Control

Amplificador

Opamp

Figura 1.3 Sistema y subsistemas.


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La interacción de los componentes en el sistema genera señales observables. Las señales

observables que son de nuestro interés son usualmente llamadas salidas. El sistema está también

afectado por estímulos externos las señales externas que pueden ser controladas son usualmente

llamadas entradas, mientras que las que no pueden ser controladas son llamadas

perturbaciones. Las perturbaciones suelen dividirse en aquellas que pueden medirse

directamente y aquellas que se ponen en evidencia sólo a través de su influencia en las salidas, es

decir:

SalidaSistema

Entrada

Perturbación

Figura 1.4 Sistema con entrada, salida y perturbación.

1.3 Modelo matemático.

Representación cuantitativa que define el comportamiento de un sistema físico con cierto grado

de exactitud. (MM)

1.4 Clasificación de los si stemas

La clasificación de un sistema al igual que el análisis de los aspectos del mismo es un proceso

subjetivo, depende del objetivo que se persigue y de las circunstancias particulares en las cuales

se desarrolla. En este punto se dan lineamientos generales sobre las diferentes clases de sistemas

con el objeto de acotar sus métodos de estudio, sin perder de vista que podemos extender dichas

clasificaciones:

1.4.1 Sistemas estáticos y dinámicos.

Estático: Es aquel en el cual su salida o respuesta en un instante determinado depende

solamente del valor presente de la entrada o excitación. Ejemplo:

• Circuitos Eléctricos que no contienen elementos almacenadores de energía es decir solo

poseen resistencias.

Dinámico: Es aquel en el cual su salida o respuesta en un instante determinado depende del

presente y del pasado de la señal de entrada. Por lo que también se llaman sistemas con

memoria. Ejemplos:


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• Circuitos Eléctricos que contienen elementos almacenadores de energía es decir

capacitancias e Inductancias.

• Arreglos mecánicos que asocian resortes e inercias.

Los sistemas dinámicos se describen o modelan a través de ecuaciones diferenciales. Si las

salidas de un sistema dinámico dependen del pasado, presente y futuro de las entradas, se dice

entonces que tenemos un sistema No-Causal o Anticipatorio. Estos sistemas solo se visualizan

hipotéticamente y no son físicamente construibles Si las salidas de un sistema dinámico solo

dependen del pasado y presente de las entradas el sistema es Causal.

1.4.2 Sistemas lineales y no lineales.

Lineal. Es aquel que satisface el principio de superposición, el cual implica las propiedades

matemáticas de aditividad y homogeneidad. Es decir:

Sistema lineal y(t)u(t)

Figura 1.5 Sistema lineal.

)(u L y =

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L u u L u L u y L Au A L u A+ = + = ∀ ∈ℜ

1 2 1 2( ) ( ) ( ) L A u Bu A L u BL u∴ + = +

No lineal: Es aquel que contiene por lo menos un elemento no-lineal en su estructura. Es decir no

satisface el principio de superposición. Ejemplos:

)(2 t u ydt

dy=+ 02101 =+

x xa

dy

dxa

0

0

0

01

2

01

2

1

01

=+

=+

=+

xea

dt

dxa

xadt

dxa

xadt

dxa

Los sistemas físicos reales son en esencia no lineales, pero es conveniente utilizar aproximaciones

lineales de los mismos, ya que existe un gran número de herramientas matemáticas para su

análisis y síntesis.


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1.4.3 Sistemas variantes e Invariantes en el tiempo.

Se dice que un sistema es Invariante en el tiempo o estacionario si los parámetros del sistema se

mantienen constantes al transcurrir el tiempo, es decir no cambian con el tiempo. Un sistema es estacionario

si su salida es siempre la misma cada vez que se aplique la misma entrada; sin importar el momento en que

esto se realice. En caso contrario el sistema es Variante en el Tiempo.

Ejemplos: ( )

( ) ( ) invarianteeneltiempo. , constantes.dy t

a by t f t a bdt

+ = → =

( )( ) ( ) ( ) ( ) variante en el tiempo. , funciones de

dy t a t b t y t f t a b t

dt + = → =

1.4.4 Sistemas determinísticos y estocásticos.

Determinístico : Es aquel en el cual tanto el sistema como las entradas al sistema son conocidos de maneraexacta. Para tal sistema, la salida para una entrada dada, puede ser determinada para todo tiempo futuro, si

todas las condiciones iniciales o estados son conocidos.

Estocásticos: Es aquel en el cual los parámetros del sistema o las entradas no se conocen de una manera

precisa, es decir solo se pueden describir en un sentido probabilístico o estadístico.

1.4.5 Sistemas de parámetros concentrados y dist ribu idos.

Parámetros concentrados: Es aquel en el cual las dimensiones físicas reales del sistema son mucho

menores que la longitud de onda de las señales con las que operan. Estos sistemas se describen a través de

ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s) y satisfacen que:

y = c

d f

λ λ


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1.4.6 Sistemas continuos y discretos

Si las señales que procesa el sistema están definidas en un intervalo continuo de tiempo el sistema es

denominado sistema en tiempo continuo. Por otra parte, si el sistema procesa señales que están definidas

únicamente en instantes particulares de tiempo generalmente equiespaciados, el sistema es llamado sistema

en tiempo discreto. Un sistema híbrido es uno en el que coexisten señales en tiempo continuo y en tiempo

discreto. Es decir:

( ) .

( )

g t Sistema continuo

g kT Sistema discreto

→

→

1.4.7 Sistemas monovariables y mul tivariables.

Los sistemas con una sola entrada y una sola salida se denominan escalares o monovariables, en ingles son

conocidos como sistemas SISO debido a sus siglas en ingles. (Single Input Single Output).

SISO y(t)u(t)

Figura 1.6 Sistema monovariable (SISO).

Los sistemas con multiples entradas y multiples salidas se denominan multivariables o MIMO por sus siglas en

ingles. (Multiple Input Multiple Output).

MIMO

y1(t)u1(t)

u2(t)

u3(t)

y2(t)

y3(t)

Figura 1.7 Sistema multivariable (MIMO).

La clasificación de los sistemas puede ser extendida a sus formas de representación matemática,es decir los modelos matemáticos los clasificamos de la misma manera que los sistemas, como se

muestra en La figura 1.8.


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Figura 1.8 Clasificación de los modelos matemáticos.

En esta asignatura estudiaremos a los sistemas o modelos: causales, dinámicos,

determinísticos , de parámetros concentrados, lineales, invariantes en el tiempo y continuos ,los cuales se modelan mediante ecuaciones diferenciales, lineales, ordinarias y de

coeficientes constantes.


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1.5 Clasificación de señales.

Las señales son funciones de una o más variables. Generalmente la variable independiente es el

tiempo y la señal representa una cantidad física que varía con respecto al tiempo, como por

ejemplo un voltaje ( )v t , o una corriente ( )i t . Sin embargo, puede haber señales como la

luminancia de una imagen que es función de 2 variables espaciales (Horizontal y Vertical). Lasseñales se pueden clasificar como sigue:

1.5.1 Señales continuas y discretas.

Señal continua en el tiempo o señal analógica: Es aquella que está definida para todos los

instantes del tiempo en un intervalo de tiempo especificado, es decir para cualquier valor de tiempo

en el intervalo continuo (a,b), donde a y b son reales y pueden tomar valores desde −∞ a ∞ .

Matemáticamente, estas señales pueden ser descritas por funciones de una variable continua.

Ejemplos:

• El sonido.• La luz.

• Voltajes. ( )v t

• Fuerzas. ( ) f t

• etc.

Nota: Esto no implica continuidad desde el punto de vista matemático.

( ) y t

t

1t

A

Figura 1.9 Función continua en el tiempo, con una discontinuidad

1t t =


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Señal Discreta en el Tiempo. Es una señal discontinua que está definida para todos los puntos deun intervalo determinado del conjunto de los números enteros. Es decir, solo está definida paraalgunos instantes discretos de tiempo. Ejemplo.

( ) x kT

t

T 2T kT

Figura 10. Señal discreta.

( ) ( ) x n donde n kT x kT = ⇒ ; 1, 2, 3, 4k es un entero k → =

intervalo de tiempo de muestreo.T →

Ejemplos de señales discretas.

tan 125 . (8000 / .)

var .

T cons te telefonia digital micro seg Veces seg

T iable promedio del Dow Jounes por semana ó Mes

→ →

→ →

( ) X kT puede ser cuantizada→

Desde este punto de vista podemos establecer 4 tipos de señales:

Analógicas ( ) x t Amplitud y Tiempo continuos

Muestreadas ( )s x n Tiempo Discreto, Amplitud continua

Cuantizada ( )q

x t Tiempo Continuo, Amplitud discreta.

Digital ( )q x n Tiempo y Amplitud discretos


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1.5.2 Señal periódica y aperiódica.

Señal Periódica: Una señal continua en el tiempo ( ) x t se dice periódica sí y solo sí.

( ) ( ) ( , ) x t T x t t + = ∀ → −∞ ∞

El valor positivo más pequeño para el cual se cumple la igualdad anterior, es llamado el periodo de

la señal. Ejemplo: Señal periódica

)2cos()( φ π += t f At x

Donde , , A f y ϕ son constantes

.)/(

)(

.

segradianesFase

segundosr pociclosó HertzenFrecuencia f

Amplitud A

→

→

→

φ

La frecuencia angular en radianes por segundo está definida por:

1 22 f T

f

π

ω π

ω

= ⇒ = =

Para una señal discreta:

),()()( ∞−∞→∀=+ nn X N n X

Ejemplos

Señal senoidal

2( ) , ( )

2 2( ) ,

n x t A sen t x n Asen

N

kT x kt Asen

N N

π ω

π π

= =

= Ω =

Señal Aperiódi ca: No cumple con la igualdad para la periodicidad.

t t Diente de Sierra Tren de Pulsos

x(t)x(t)


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1.5.3 Señales determinísticas y aleatorias.

Determinista: Es aquella que se define completamente a través de una ecuación (expresión

analítica), por lo tanto todos los valores futuros pueden ser preservados a través de esta ecuación.

Ejemplo:

( ) senSeñal senoidal y t A t ω =

Aleato ria: Es aquella en la cual su valor no puede ser determinado con certidumbre. Estas señales

se describen solo en términos de funciones probabilísticas ( variancia, media, funciones de

distribución). Ejemplo:

( ) n t Voltaje de ruido en un Amplificv ador =

1.5.4 Señales o funciones Singulares.

Estas señales forman un conjunto o familia de señales de prueba de uso estándar para el análisis y

la síntesis de sistemas dinámicos.

a.- Función Impulso. (Delta de Dirac) [ ])()(0 t ót u δ

11; ( ) 0 0 ( ) 1 0 A d t cuando t y t dt cuando t

d δ δ

∞

−∞

= = = ≠ = =

∫

1

d

2

d −

2

d 0

)(t f

0

( )t δ

(1)

t

0 0T

∞→⇒→ alt 0δ

(K)

( )K t T δ −


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b.- Función escalón un itario. [ ])()( 1 t uót u −

01)(,00)( ≥=


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Es decir nos interesa excitar a un sistema lineal e invariante en el tiempo con una señal de prueba

estándar conocida del tipo impulso, escalón, rampa o parabólica para poder predecir su respuesta.

Ejemplos:

1.- Se desea construir el pulso de amplitud 4 presente entre t=1 y t=2.

2.- Se desea construir el diente de sierra mostrado en la figura.

SLIT

( )

( )

( )

( )

t

u t

r t

p t

δ

?


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Bibliografía.

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9. Rodríguez A. J. E. “Introducción a la Ingeniería del Control Automático” McGraw-Hill,

Primera Edición, 1998.

510

( ) ( 2) ( 2) ( 5) ( 5) 3 ( 5) x t r t u t r t u t u t ⇒ = − − − − − − −

( ) x t

t

( 2) ( 2)r t u t ⇒ − −

( 5) ( 5)r t u t ⇒ − − −

3 ( 5)u t ⇒ − −

2

3

-3

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