MICROECONOMÍA IEJERCICIOS RESUELTOS

Profesor Francisco Javier De la Fuente M. & Ayudante Rodolfo Ignacio Salazar A.

Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Industrias, Economía & Negocios

1

Índice

I INTRODUCCIÓN 3

1. AYUDANTIA I 3

1.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. PREGUNTA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. AYUDANTÍA II 8

2.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. AYUDANTIA III 10

3.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4. PREGUNTA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II TEORÍA INTERMEDIA DE LA DEMANDA 14

4. AYUDANTÍA IV 14

4.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4. PREGUNTA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. AYUDANTIA V 17

5.1. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. AYUDANTIA VI 20

6.1. PREGUNTA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.2. PREGUNTA II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.3. PREGUNTA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

Parte I

INTRODUCCIÓN

1. AYUDANTIA I

1.1. PREGUNTA I

Nos encontramos en las Galias en tiempos del Imperio Romano. Después de tantas guerras contra los romanos Asterix yObelix son los únicos habitantes galos que quedan. En esos tiempos solo se podían hacer dos cosas: cazar jabalíes o hurtargallinas a los romanos. Asterix puede cazar 4 jabalíes por hora o hurtar 10 gallinas por hora. Obelix, sin embargo, puedecazar 8 jabalíes por hora o hurtar 11 gallinas por hora. Disponen de 15 horas al día para llevar a cabo estas actividades.

1. Grafique la Frontera de posibilidades de producción de Asterix.

2. Grafique la Frontera de posibilidades de producción de Obelix.

3. Calcule el coste de oportunidad para Asterix de robar una gallina romana.

4. Calcule el coste de oportunidad para Obelix de robar una gallina romana.

5. ¿Cuál debería especializarse en cazar jabalíes y cuál en hurtar gallinas?

SOLUCIÓN

Para las preguntas 1 y 2, se asume que las funciones de producción son lineales pues las horas “no tienen especialización”y que los interceptos de tales funciones vienen dados por la producción máxima de cada bien. Gráficamente se puede verque:

Figura 1: Fronteras de Posibilidades de Producción Asterix y Obelix.

donde las funciones de producción de Obelix está por sobre la función de producción de Asterix en el primer cuadrante(Ventaja Absoluta). La producción de ambos puede ser representada por:

3

Asterix:

15 =J

4+G

10

Obelix:

15 =J

8+G

11

En cuanto a la pregunta 3, el costo de oportunidad de Asterix de robar una gallina romana equivale a 1/10 de hora, quese traduce en dejar de producir 4/10 de Jabalí.

En cuanto a la pregunta 4, el costo de oportunidad de Obelix de robar una gallina romana equivale a 1/11 de hora, quese traduce en dejar de producir 8/11 de Jabalí.

Dado que el costo de oportunidad de Asterix de cazar gallinas es menor al costo de oportunidad de cazar gallinas deObelix, el primero debería especializarse en cazar Gallinas Romanas y por lo tanto, Obelix debería especializarse en cazarJabalíes. (El reciproco de los costos de oportunidad conlleva al mismo resultado)

1.2. PREGUNTA II

Considere una nación que produce dos bienes representativos, x e y, donde la Frontera de Posibilidades de Producciónestá determinada por:

2x2 + φy2 = 225

Donde φ = 1 Determine algebraicamente la Relación Marginal de Transformación; ∂y/∂x. ¿Qué indica la RMT para losvalores de x = 10 e y = 5? ¿Que podría decir del costo de producir una unidad más de y? ¿y de producir una más de x?Suponiendo que φ = 0, 5, ¿qué podría decir que ha sucedido a la producción de y? ¿Qué puede decir de la nación, si anteesta nueva situación mantienen una producción de x = 10 e y = 5?

SOLUCIÓN

Por derivación implicita, se obtiene la expresión,

2(2x) + 2ydy

dx= 0

TMT = −dydx

=2x

y

cuando x = 10 y y = 5, un punto que vive sobre la curva de FPP, se tiene que TMT = 4, esto indica que paramantener una condición de producción eficiente, un aumento de 1 unidad de producción de x equivale a dejar de produciraproximadamente 4 unidades de y. Análogamente, esto equivale a decir que para producir una unidad más de y se deberenuncia a 1/4 de unidad de x.

Al tener φ = 0, 5, se aprecia que este cambio es una mejora tecnológica de la producción de y, gráficamentese apreciaesto en la figura 1.1, puesto que con al cota de recursos de 225, gracias a ese factor de eficiencia, la cantidad máxima deproducción de y aumenta. Notar que la cantidad máxima de producción de x no se ha modificado. Dadas las condicionesde producción anterior, con la nueva tecnología, se tiene que 2(102) + 0,5(52) = 212, 5 < 225, por lo tanto, la combinaciónde producción constituye un punto ineficiente de producción.

4

Figura 1.1: Cambio tecnológico en y

1.3. PREGUNTA III

Suponga un mercado perfectamente competitivo, donde la demanda se encuentra bien modelada según la función dedemanda inversa

p(y) = a− by

considerando que a, b ∈ R+ son parámetros de la función. Supongamos además 3 casos posibles para modelar la ofertadescritos según:

A: La elasticidad precio punto de la oferta es igual a cero.

B: La elasticidad precio punto de la oferta tiende a infinito

C: La función es lineal y además se sabe que (y0, p0) = (0, 0), (y1, p1) = (20, 10) son puntos de la curva de oferta.

Suponiendo además que el equilibrio de las tres situaciones enfrentadas a la curva de demanda es el mismo.

1. Obtenga las expresiones de la curva de oferta para los casos A, B y C, y determine el equilibrio en función de losparámetros a, b. Se recomienda graficar.

Solución

1. Si se sabe que todas las funciones tienen el mismo equiibrio, y ademas la función en la situación C al ser lineal seráy = 2p. De ello, el equilibrio de mercado será y∗ = 2a

1+2b , p∗ = a

1+2b , con ello la función de oferta en A es totalmenteinelástica al precio y por tanto descrita por y = 2a

1+2b . Análogamente, la función de oferta de la situación B serátotalmente elástica al precio, y con ello se describe según la expresión p = a

1+2b . Gráficamente se tiene la forma acontinuación.

5

Figura 1.2: Situaciones A, B, C del mercado.

2. En el caso A todo el impuesto será imputado al productor y por tanto, el precio de equilibrio se mantendrá y seráp∗ = a

1+2b . En el caso B se tendrá que todo el impuesto será imputado a los consumidores y por lo tanto el preciodel comprador será el precio del productor, constante, más el impuesto, o sea, p∗ = a

1+2b + t. En el caso C ambosagentes sufriran los efectos del impuesto, según

p∗ = t+ pvendedor

ycomprada = yvendida

dicho sistema tiene como equilibrio p∗ = a+2bt1+2b .

3. En el caso A, la PIE = 0 puesto que no se reduce el nivel de producto transado. En el caso B la PIE = t2

2b . En elcaso C se tendrá una PIE = t2

1+2b .

4. En conocimiento de que en el caso A, la función de oferta toma todo el impuesto, el precio del comprador no varía,por lo tanto ∂p∗(a,b,t)

dt = 0. En el caso B se sabe que la funciónp∗(a, b, t) = a1+2b + t, y por lo tanto ∂p∗(a,b,t)

dt = 1, locual es lógico, puesto que en este caso, todo el impuesto será adjudicado al consumidor, y por tanto, un aumento deun peso en el impuesto es, en efecto, un aumento de un peso en el precio del comprador p∗.

1.4. PREGUNTA IV

En el mercado de los motocicletas de la Ciudad de Santiago de Chile, las curvas de oferta y demanda se detallan acontinuación:

yo = 1750 + PMotocicleta − 50 ∗ PCombustible

yd = 1500− PMotocicleta + 0, 25I2

Actualmente, se puede decir que el ingreso, I, del mercado es de 100 u.m. Además el Precio del combustible, PCombustibleestá a 35 u.m. el litro.

1. Determine el equilibrio actual de mercado.

2. Determine la elasticidad punto de la oferta y la demanda en el equilibrio. Concluya al respecto.6

3. En las noticias, se comunica un alza en el precio de los combustibles, dado un problema en Medio Oriente, ¿Quérepercusiones puede traer esto al mercado? Justifique.

4. Encuentre una expresión para la Elasticidad Ingreso, en función del Precio de las Motocicletas y del Ingreso. ¿Existealguna relación entre PMotocicletas e I, donde el bien se vuelva inferior?

Solución

1. Por ceteris paribus, se tiene que las funciones de demanda y oferta serán

yd = PM

yo = 4000− PM

dado que el equilibrio será donde yd = yo, se obtiene el equilibrio en P ∗M = 2000, y∗ = 2000.

2. La Elasticidad precio punto de la oferta será

Eo =∂yo∂PM

P ∗M

y∗o= 1

La elasticidad precio punto de la demanda será

Eo = − ∂yd∂PM

P ∗M

y∗d= 1

con lo anterior se puede decir que en el equilibrio, un aumento de un 1% en el precio, provoca un aumento de un1% en la cantidad ofertada, y una disminución de un 1% en la cantidad demandada. Es interesante notar que parala oferta, esta situación no depende del punto, pues es lineal y parte desde el origen.

3. Un alza en el precio de los combustibles, dado que este está modelado como un factor subyacente de la oferta, pro-vocará una contración de la curva de oferta, puesto que ∂yo

∂PC< 0 pues la dependencia es lineal y se signo negativo.

Gráficamente se tiene lo descrito por la figura 1.

Figura 1.3: Equilibrio y Repercusión de Variaciones en el precio del combustible

4. Se expresa de la siguiente forma, digamos,

EI =∂yd∂I

I

y∗d=

0, 5I2

1500− PM + 0, 25I27

de lo anterior, el numerador será siempre positivo, por lo tanto, si se desea una elasticidad negativa, el denominadordebe ser negativo, por lo tanto,

1500− PM + 0, 25I2 < 0

PM > 1500 + 0, 25I2

mientras la condición anterior se cumpla, el comportamiento de las motocicletas será normal.

2. AYUDANTÍA II

2.1. PREGUNTA I

Suponga una función de demanda de la forma:

Qd =1000

P 2

1. ¿Esta curva cumple con la ley de la demanda?

2. Determine la expresión de Elasticidad Precio de la Demanda.

3. ¿Para qué valor del Precio, la Elasticidad Precio será unitaria?

Solución

1. Para que cumpla la ley de la demanda, ∀P,Q ∈ R+, ∂Q∂P 6 0. Con ello, se pude ver que:

∂Q

∂P= −2000

P 3

lo cual es negativo para cualquier P > 0.

2. La expresión se puede obtener en base a las funciones 1.1 y 1.2 según,

∂Q

∂P

P

Q= −2000

P 3

P1000P 2

= −2

3. De la ecuación, se puede decir por tanto, que la Elasticidad nunca será unitaria, pues no depende del Precio.

2.2. PREGUNTA III

Usted como asesor gubernamental del Ministerio de Salud, se le comunica la preocupación por el actual consumo dealcohol, determinado por un estudio que entrega la siguiente información.

Q = 2000− 2P

Q = 2P − 800

Se le requiere determinar:

1. Excedente del Productor y del Excedente del Consumidor.El ministerio le ofrece como herramienta de control la implementación de un impuesto específico “t”, tal que laRecaudación Fiscal sea igual a la Pérdida Irrecuperable de Eficiencia.

2. Establezca el valor del impuesto “t” que puede implementar.

3. Con este impuesto “t”, determine el Precio del Comprador, el Precio del Vendedor, la Cantidad Demandada, y laCantidad Ofertada.

4. Cuantifique Variación del Excedente del Productor, Variación del Excedente del Consumidor, Recaudación Fiscal yPérdida Irrecuperable de Eficiencia, con el valor de “t”.

8

Solución

1. Para obtener ambos excedentes, se requiere del valor del equilibrio (Q∗, P ∗) = (600, 700), dado por la condición deequilibrio donde se vacía el mercado. Con ello, se tendrá que los excedentes son:EC = (1000−700)∗600/2 = 90,000,EP = (700− 400) ∗ 600/2 = 90,000.

Figura 2.1: Condición del Mercado

2. Dado que el impuesto máximo a utilizar debe cumplir que la Recaudación Fiscal sea igual a la Pérdida Irrecuperablede Eficiencia, se tendrá que:

RF = PIE

tQt = (Q∗ −Qt)t

2

Donde Qt es la cantidad transada en el mercado ante la existencia del impuesto. Eliminando t a ambos lados, setiene que Qt = 200. Evaluando Qt en las funciones de demanda y oferta se tendrá que PC = 900, PV = 500 y por lotanto, el impuesto será t = 400.

3. En base al punto 2, se tiene que el precio del comprador es PC = 900, el del vendedor PV = 500, y la cantidaddemanda y a la vez ofertada será QO = QD = Qt = 200.

4. De los resultados del punto anterior, se tiene que:

RF = 400 ∗ 200 = 80,000

PIE = (600− 200) ∗ 400

2= 80,000

4EC = (1000− 900) ∗ 200/2− 90,000 = 10,000− 90,000 = −80,000

4EC = (500− 400) ∗ 200/2− 90,000 = 10,000− 90,000 = −80,000

Nótese finalmente que la suma de los excedentes iniciales es igual a la suma de la recaudación fiscal, la PIE y losexcedentes despues de impuesto. Este resultado confirma el proceso y sirve como un buen checkpoint en la realizacióndel análisis.

RF + PIE + ECt + EPt = 180,000 = EC + EP9

3. AYUDANTIA III

3.1. PREGUNTA I

Suponga el mercado de automóviles donde la demanda nacional esta determinada por y = 200p−1,2 y la oferta nacionalesta dada por y = 1, 3p. En el largo plazo los equilibrios muestran que p∗ = 9, 87 y y∗ = 12, 8. Suponga que el preciointernacional de automóviles es de 9.

1. Determine gráficamente y explique la situación actual, en cuanto a los excedentes percibidos por cada agente.

2. Suponga que el gobierno implementa un arancel de 0,5. determine gráfica y cualitativamente los efectos. Comente.

Solución

1. Gráficamente, se tiene la situación de mercado mostrada en la figura 6.1, donde los excedentes de consumidor seránrepresentados sobre el área bajo la curva de demanda, pero sobre el precio mundial p = 9, los excedentes del pro-ductor nacional, están representados por el área sobre la curva de demanda, pero bajo el precio mundial p = 9. Esinteresante notar que la situación actual considera un consumo por sobre la cantidad de producida nacionalmente,donde yd = 14, 32, mientras yo = 11, 7, con ello las importaciones son de yimp = yd − yo = 2,62.

Figura 3.1: Situación del Mercado de Automóviles

2. Si el gobierno implementa un arancel la situación de mercado será descrita como la figura 6.2, ocurre que la cantidaddemandada disminuira a yd = 13, 42 y la cantidad ofertada aumentará a yo = 12, 35, con ello la cantidad importadatiene un valor de yimp = 1, 07, lo cual es esperable dado que un arancel desincentiva las importaciones. Considerandolo anterior, el excedente del consumidor disminuye, ya que su precio de compra es de p = 9, 5, en vez de p = 9., elexcedente del productor aumenta, dado que venden más unidades a mayor precio. Se puede cuantificar la ecaudaciónfiscal como RF = 0, 5∗1, 07 = 0, 535. Finalmente, se puede determinar que aquella área del excedente del consumidorque se ha perdido, y no ha sido tomada por los productores ni el recaudador fiscal, será una pérdida irrecuperablede eficiencia.

10

Figura 3.2: Situación del mercado con arancel

3.2. PREGUNTA II

El mercado de Café en Grano es un mercado altamente estable durante el año. En general, se puede asumir que sucomportamiento está en base a los supuestos de competencia perfecta. Finalmente, después de un largo estudio, se logrodeterminar que el mercado se comporta de manera tal que:

A. La Demanda se comporta como una función lineal, descrita por:

Qd = 5000− 2PCafe + PT e − 0, 5PAzucar

B. La Oferta se comporta como una función lineal donde en un punto (Qo, P ) = (1500, 750), la Elasticidad Precio de laOferta toma una Valor de Epo = 1, 50

Si actualmente, PT e = 800, PAzucar = 600.

1. Caracterice las funciones de Oferta y Demanda en Ceteris Paribus, en función del precio de mercado. Grafíque.

2. Obtenga el Equilibrio de Mercado.

3. Obtenga los Excedentes del Consumidor y del Productor.

Solución

1. La función de Demanda se describe por:

Qd = 5000− 2PCafe + PT e − 0, 5PAzucar = 5500− 2PCafe

La función Oferta tiene la propiedad de ser lineal, y por tanto:

Epo =∂QoPCafe

PCafeQo

= m ∗ 750

1500= 1, 5

En consecuencia, m = 3, y con ello la función de oferta es:

Qo = 3PCafe − 75011

2. Por condición de Equilibrio:Qo = Qd

5500− 2PCafe = 3PCafe − 750

PCafe = 1250, Q∗ = 3000

3. Los excedentes del consumidor y del productos vienen dados según lo siguiente:

EC = (2750− 1250) ∗ 3000 ∗ 0,5 = 2250000

EP = (1250− 250) ∗ 3000 ∗ 0, 5 = 1500000

3.3. PREGUNTA III

Dadas las condiciones descritas en la Pregunta 3.2, y por normativas asociadas a un programa de desarrollo gubernamental,se ha decidido imponer al mercado un impuesto específico de 500.

1. Cuántifique las pérdidas irrecuperables de eficiencia, la recaudación fiscal y la cantidad transada en el mercado, bajoesta nueva situación.

2. ¿Qué parte del mercado soporta de mayor manera el impuesto, en términos de “Excedente Perdido”?

Solución

1. Por condición de Equilibrio:Qo = Qd

PComprador = PV endedor + 500

5500− 2PComprador = 3PV endedor − 750

5500− 2(PV + 500) = 3PV − 750

4500− 2PV = 3PV − 750

PV endedor = 1050, PComprador = 1550, Q∗Transada = 2400

La pérdida irrecuperable de eficiencia será determinada por:

PIE = (3000− 2400) ∗ 500 ∗ 0, 5 = 150000

La recaudación fiscal tiene ua magnitud de:

RF = Q∗Transadat = 2400 ∗ 500 = 1200000

2. Para responder se debe calcular que parte de los excedentes se cede al mercado:

Agente EXC → PIE EXC → RF TOTALDemanda 90.000 720.000 810.000Oferta 60.000 480.000 540.000

En consecuencia, quien entrega más excedente es el consumidor.12

3.4. PREGUNTA IV

Dadas las condiciones descritas en la Pregunta 3.2, y por normativas asociadas a un programa de desarrollo gubernamental,se ha decidido imponer un precio máximo de 1100.

1. Cuántifique las pérdidas irrecuperables de eficiencia y la cantidad transada en el mercado, bajo esta nueva situación.

2. Explique cuantitava y cualitativamente por qué esta medida tiene efectos peores para los productores que para losconsumidores.

Solución

1. Como se sabe que el precio de equilibrio de mercado actualmente es mayor al precio máximo, la implantación de lapolítica tiene efectos en la industria y el mercado, de manera que:

Qo(PMax) = 2550

Qd(PMax) = 3300

Claramente la cantidad demanda no podrá ser satisfecha, por lo que la cantidad transada será la cantidad ofertada,Qo = QTransada

PV endedor = PComprador = PMax = 1100, Q∗Transada = 2550

Además de lo anterior, PDemanda(QTransada) = 1475, con estos datos, se puede obtener la pérdida irrecuperable deeficiencia determinada por:

PIE = (3000− 2550) ∗ (1475− 1100) ∗ 0, 5 = 84375

2. Cualitativamente, la implantación de un precio máximo, provoca una PIE que afecta a ambos agentes del mercado,pero, dado que el precio establece una cota fija, parte del excedente del productor pasará a manos del consumidor,dado que aunque hay una menor cantidad del bien, la demanda accede a el a un precio menor al inicial. Cuantita-tivamente, se puede determinar que el consumidor incluso aumenta su excedente, mientras que el productor lo vefuertemente reducido, como confirma la tabla a continuación:

Agente ∆EXC

Demanda 331875Oferta -416250

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Parte II

TEORÍA INTERMEDIA DE LA DEMANDA

4. AYUDANTÍA IV

4.1. PREGUNTA I

1. Establezca los supuestos principales de la teoría del consumidor y las curvas de indiferencia.

2. Explique como se determina la expresión del Principio de Equimarginalidad, y describa su significado conceptual.

3. Describa 3 situaciones donde la forma de las curvas de indiferencia puede derivar en soluciones de esquina.

4. Explique porque las curvas de Leontief no encuentran un óptimo de esquina, ni tampoco uno que cumpla con elprincipio de equimarginalidad. Fundamente gráficamente.

Solución

1. Completud, Transitividad, Monotonicidad o No saciedad.

2. Por el método de Lagrange. Conceptualmente significa que la utilidad a obtener por el siguiente peso gastado en unbien, debe ser la misma para todos los bienes, según

∂U

pi∂Xi= ... =

∂U

pj∂Xj= λ

3. Sustitutos, Preferencias de un solo bien o indiferencia ante uno (curvas verticales u horizontales), curvas que tocanel eje.

4. No cumplen con el principio de equimarginalidad, puesto que las curvas de complementos perfectos no son diferen-ciables en su vértice. No tiene soluciones de esquina, dado que las curvas no tocan los ejes. Las soluciones siemprese encuentran en el vértice.

4.2. PREGUNTA II

Un consumidor posee la siguiente función de utilidad por los bienes X, Y y Z:

U(X,Y, Z) = X0,5Y 0,5(1 + Z)0,5

Los precios de los bienes son px, py y pz, y el ingreso monetario del individuo es I.

1. Plantee el problema de maximización de utilidad del consumidor.

2. Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución de Y por X (ceteris paribus).

3. Encuentre las soluciones óptimas de X, Y , Z, en función de los parámetros precios e ingreso.

4. ¿Es Z un bien normal o un bien inferior?14

Solución

1. Dada la función de utilidad, se tendrá el problema de maximización dado por:

maximizeU(X,Y, Z) = X0,5Y 0,5(1 + Z)0,5

s.a. pxX + pyY + pzZ − I = 0

donde se define la funcion L de Lagrange,

L = X0,5Y 0,5(1 + Z)0,5 − λ(pxX + pyY + pzZ − I)

donde para el óptimo se tendrá∂L

∂X= 0, 5X−0,5Y 0,5(1 + Z)0,5 − λpx = 0

∂L

∂Y= 0, 5X0,5Y −0,5(1 + Z)0,5 − λpy = 0

∂L

∂Z= 0, 5X0,5Y 0,5(1 + Z)−0,5 − λpz = 0

∂L

∂λ= pxX + pyY + pzZ − I = 0

de los sistemas anteriores, podemos obtener las relaciones,

pxX = pyY

pyY = pz(Z + 1)

reemplanzado en la restricción presupuestara se tiene que

I = 3pxX − pz

I = 3pyY − pz

I = 3pzZ + 2pz

finalmente se obtienen los consumos óptimos dados por

X∗ =I + pz

3px

Y ∗ =I + pz

3py

Z∗ =I − 2pz

3pz

2. La TMS de renunciar a Y por más de X es

TMS = −dYdX

=UXUY

=0, 5X−0,5Y 0,5(1 + Z)0,5

0, 5X0,5Y −0,5(1 + Z)0,5=Y

X

3. Citadas al final del punto 1.

4. ∂Z∂I = 1

3pz, donde dado que el precio de Z es siempre positivo, la tasa de cambio de Z óptimo ante variaciones en el

ingreso es siempre positiva. Por lo tanto el bien es normal.15

4.3. PREGUNTA III

Francisco consume de los bienes B y F . Las preferencias de Francisco se pueden representar por la siguiente función deutilidad:

U(B,F ) = (B−φ + F−φ)−1/φ

donde φ = 2. El ingreso monetario de Francisco es $I por mes y los precios de B y F son pB y pF . Responda las siguientespreguntas:

1. Confirme que el comportamiento de la función de utilidad es convexa desde el origen para el valor de φ = 2.

2. Determine la situación cuando φ = −1, ¿que puede decir ante esta nueva situación?

3. Encuentre óptimos para la situación descrita en 1. y la situación descrita en 2. Suponga que pB = 2pF .

Solución

1. La TMS,

TMS = −dBdF

=(−0, 5)(−2)F−3(B−2 + F−2)−3/2

(−0, 5)(−2)B−3(B−2 + F−2)−3/2 =B3

F 3

debe tener magnitud decreciente, por lo tanto, ∂TMS∂F = −3B

3

F 4 < 0, siemrpe que B y F están en R+.

2. Ante tal cambio de parámetro, se tiene que U(B,F ) = B + F , representando una situación de sustitutos perfectos.

3. De acuerdo a la situación 1. , por igualación de pendientes se tendrá que B3

F 3 = pFpB

, y dado que pB = 2pF ,

F = 21/3B

con ello,I = pBB + 2−121/3pBB

B =I

(1 + 2−2/3)pB

I = (2)(2−1/3)pFF + pFF

F =I

(1 + 22/3)pB

En caso de la situación 2., la TMS = 1, y por tanto, dado que pB = 2pF , se puede decir que la solución será deesquina y solo se consumirá el bien

F = I/pF

4.4. PREGUNTA IV

Considere la función de utilidad de la forma:

U(X,Y ) = X3/4 ∗ Y 1/4

Donde el precio de X es 100 y el precio de Y es de 50. Su ingreso I es de 1.000. Ante el aumento del precio de Y en 20%,responda:

1. Óptimo previo, y posterior, al cambio de precios. ¿La situación de equilibrio conlleva a una mejora en la satisfaccióndel individuo?

2. Verifique el cumplimiento de monotonicidad y no saciedad del individuo en los bienes X e Y .

3. Determine la como se relacionan X e Y , ¿existe alguna relación de complementariedad o sustitución?16

Solución

1. Por equimarginalidad,UXpx

=UYpy

(3/4)X−1/4Y 1/4

px=

(1/4)X3/4Y −3/4

py

con ello,3pyY = pxX

Finalmente, evaluando en la restricción, I = 4pyY , I = (4/3)pxX, obteniendo como óptimos,

Y ∗ =I

4py

X∗ =3I

4px

evaluacion antes del precio se tendrá queY ∗1 = 5, X∗

1 = 7, 5. Después de cambio de precio, Y ∗2 = 4, 16, X∗

2 = 7, 5

2. Para verificar no saciedad, o sea mayor consumo implica mayor utilidad, y monotonicidad, o sea, siempre el com-portamiento anterior, se tiene que determinar UX > 0 en X, UY > 0 en Y , con ello, UX = (3/4)X−1/4Y 1/4 > 0,para todoX > 0, y UY = (1/4)X3/4Y −3/4 > 0, para todoY > 0. Con ello, se verifica.

3. No, no existe pues dYdpx

= 0, y dXdpy

= 0, de hecho, el cambio de precios en Y no tuvo ningún efecto en el consumoóptimo de X.

5. AYUDANTIA V

PREGUNTA I

Responda las siguientes preguntas, bajo un marco teórico adecuado y fundamentado.

1. Es evidente que el consumo de productos que otorgan mayor utilidad marginal debe ser preferido ante productosque otorgan menor utilidad marginal, por lo que el consumo debe concentrarse en los primeros. Comente.

2. Para cualquier situación de elección de canastas de bienes, la solución óptima cumplirá con la igualdad entre RMSy la Relación de Precios. Comente.

3. Cada vez que se le pregunta a Dante si está satisfecho, el dice que ya tiene mucho, por lo tanto para el es suficiente.Comente.

Solución

1. Esta afirmación carece de una parte fundamental: la utilidad marginal de los bienes deber ser ponderada por sucosto de adquisición, en general, su precio. Por lo tanto esta afirmación no es cierta. Como base se debe considerarel principio de equimarginalidad, el cual postula:

UXpX

=UYpY

= ... = λ

2. Esto es falso para los casos de sustitutos perfecto, complementos perfectos, bienes neutrales, y curvas cuasilinea-les. En general, estos problemas ocurren cuando las curvas de indiferencia no son suaves, causando problemas dediferenciación, y por ende, en el uso del método de Lagrange.

3. Falso, puesto que se tiene como supuesto general el de monotonicidad, en que dUdx > 0, para todo x ≥ 0. Bajo un

problema de maximización de la utilidad, siempre se querrá tener más.17

5.1. PREGUNTA II

Carmen define sus curvas de indiferencia de la siguiente forma, en base a una ecuación del tipo Cobb-Douglas como lavista en 5.1

U(C,F ) = Cα · F β (5.1)

donde C son chocolatitos y F son flores. Usted al ver que un chico le ha regalado siete chocolatitos y tres flores, ella lecomenta que estaría dispuesta a entregar un chocolatito por una flor más. Su mejor amigo, que está loco por Carmen,también quiere regalarle Chocolatitos y Flores, y le comenta que tiene $8.000 para comprarlos, en una tienda que ofrecechocolatitos a $700 y flores a $1.200. Ayude a su amigo a conseguir el corazón de Carmen.

1. Determine la expresión de la curva de indiferencia de Carmen, junto al valor de α y β. ¿Qué bien impacta más en lafelicidad de Carmen?

2. Dados los gustos de Carmen y el presupuesto de su mejor amigo, aconseje la combinación de chocolatitos y floresque hará más feliz a Carmen. Ante la situación, Carmen le comenta a Ud. que saldrá con el chico que la hizo másfeliz con su regalo. ¿Es su mejor amigo quien saldrá con Carmen? Argumente.

Solución

1. Asumiendo que la función de utilidad es Cobb Douglas, homogénea de grado 1, se tendrá que α + β = 1. En casode que (C,F ) = (7, 3), se postula que la RMS = −∆C

∆F = 1. Por lo tanto, se puede establecer que la RMS es de laforma:

RMS(C,F ) =UFUC

=β

α

C

F

en el punto donde la RMS = 1, se tiene la condición RMS(7, 3) = βα

73 = 1, por lo que 3α = 7β. Del sistema entre la

ecuación anterior, y la condición impuesta por Cobb Douglas, se tiene que: α = 710 , β = 3

10 . Finalmente la funciónde utilidad de Carmen se representa por:

U(C,F ) = C0,7F 0,3

donde el bien C tiene mayor ponderación sobre la curva.

2. Si m = 8000, pC = 700, pF = 1200, entonces la condición de equimarginalidad indica que

RMS(C,F ) =UFUC

=β

α

C

F=pFpC

3

7

C

F=

1200

700

C = 4F

y bajo las condiciones de la recta presupuestaria 8000 = 700C+1200F , se tiene la solución óptima (C∗, F ∗) = (8, 2).La pregunta busca responder si su amigo otorga mayor felicidad a Carmen. Por tanto, comparese:

U(8, 2) = 5, 28

U(7, 3) = 5, 43

Finalmente, su amigo no gano el corazón (o interés) de Carmen. Note que a pesar de que la canasta de su amigotiene una mayor cantidad de Chocolates, que impacta de mayor forma en la Utilidad, no otorga mayor utilidad. Estecaso confirma el postulado sobre los consumidores, quienes prefieren canastas equilibradas.

18

5.2. PREGUNTA III

Suponga las curvas de indiferencia determinadas por las ecuaciones 5.2 y 5.3.

U(x, y) = min{αx, βy} (5.2)

U(x, y) = γx+ δy (5.3)

La primera es una curva de Leontief que representa dos bienes complementarios y la segunda es una curva que representabienes perfectamente sustitutos entre si; con parámetros de forma α, β, γ, δ > 0.

1. La expresión de la curva de demanda de un individuo para ambas preferencias.

2. Muestre que sus curvas de demanda son homogeneas de grado 0 en px, py, I.

3. Suponga que el bien x sufre la implementación de un impuesto t > 0. ¿Cómo influye en el caso de preferenciasLeontief?¿En el caso de las preferencias como la ecuación 5.3, existe alguna cota para la demanda de x?

Solución

1. Para el caso de las curvas de Leontief, su curva de expansión de la renta se encuentra en los vértices de la curvade indiferencia cuandopx, py > 0. Con ello, se tiene como condición de optimalidad que αx = βy. Dada una rectapresupuestaria m = pxx+ pyy, se tendrá que las curvas de demanda vienes dadas por:

x(px, py,m) = βm

αpy + βpx

y(px, py,m) = αm

αpy + βpx

Para el caso de las curvas de sustitutos perfectos, la canasta óptima siempre será una solución de esquina, donde sedeterminará la curva según la pendiente de la relación de precios y de la curva de sustitutos perfectos. Con ello sedetermina que:

x(px, py,m) =

0 px

py> γ

δ

Indefinido pxpy

= γδ

mpx

pxpy< γ

δ

y(px, py,m) =

mpy

pxpy> γ

δ

Indefinido pxpy

= γδ

0 pxpy< γ

δ

2. Es simple mostrar que para un escalar positivo h,

x(hpx, hpy, hm) = h0x(px, py,m) = x(px, py,m)

y(hpx, hpy, hm) = h0y(px, py,m) = y(px, py,m)

Se deja al lector corroborar en las ecuaciones del punto 1, que el postulado anterior se cumple.

3. Para el caso de las curvas de Leontief, se tiene que la aplicación de un impuesto por unidad a x, se modelará comoun precio ptx = px + t. Con lo anterior, se tendrá que:

x(ptx, py,m) = βm

αpy + β(px + t)

y(ptx, py,m) = αm

αpy + β(px + t)

Con ello, se concluye que la aplicación del impuesto a un bien afecta el consumo de ambos bienes.En el caso de las curvas de sustitutos perfectos, la aplicación de un impuesto t tendrá efectos siempre que la condición

19

inicial indique x(px, py,m) > 0, o sea que la solución de esquina sea (x, y) = (0, mpy ). En el caso contrario, donde siexiste consumo de x, se tendrá que el nuevo consumo será:

x(ptx, py,m) =m

px + t

siempre que se sostenga la condición para la función de demanda:

ptxpy

<γ

δ

Si se desea una cota para t, con tal de que se disminuya el consumo de x, pero sin que se comienze a consumir y,entonces la condición anterior se debe mantener:

px + t

py<γ

δ

t <γpy − δpx

δ= θ∗

Manteniendo la magnitud del impuesto en t < θ∗, se podrá controlar el consumo sin caer en el consumo de y. En elcaso contrario, t > θ∗, todo el consumo se volcará al bien y.

6. AYUDANTIA VI

6.1. PREGUNTA I

Su amigo, le pregunta a Ud., si el efecto ingreso y el efecto sustitución siempre están presentes ante cambios de precio. ¿Quépuede decirle a su amigo? En caso de existir casos en que alguno de ello no este presente, muestra gráfica y analíticamentesu afirmación.

Solución

Ver Varian, Microeconomia Intermedia , págs. 150 -151. Casos de Complementos Perfectos y Sustitutos Perfectos.

Figura 6.1: Efecto Renta y Efecto Sustitución en Curvas de Complementos y Sustitutos Perfectos. Fuente: Varian, H.,INTERMEDIATE MICROECONOMICS, 8th Edition.

El efecto renta puede estar presente en Sustitutos Perfectos, si la solución inicial está en el mismo eje que la solución final.20

6.2. PREGUNTA II

Ya conocemos la adicción de Don Pepe Lota al consumir maní y cerveza durante los partidos de futbol, y por ello, seprepara para el partido Chile - Paraguay. Como sabemos, su función de utilidad es igual a:

U(M,C) = M2 ∗ C2

El ingreso nominal disponible de Don Pepe es de $1.000. El precio de cada bolsa de maní era de $10 y el de las cervezasde $20. Ahora, el maní experimento una baja de 50% en su precio.

1. Determine la Curva de Engel de Don Pepe.

2. Obtenga el efecto Renta y el efecto sustitución de la variación en el precio, por medio de Hicks y Slutsky. ¿Qué puededecir de los resultados obtenidos?

Solución

1. El principio de equimarginalidad permite obtener las relación:

pMM = pCC

que muestra todos los óptimos. Para algún nivel de renta m, se tendrá la recta presupuestaria:

m = pCC + pMM

En base a las dos ecuaciones anteriores, se tendrá que las curvas de demanda de ambos bienes son:

M(pM ,m) =m

2pM

C(pC ,m) =m

2pC

La representación de estas curva frente a una variable independiente m, representan las curvas de Engel de ambosbienes.

2. Bajo las condiciones iniciales, se sabe que la solución es M1(10, 1000) = 50, C1(20, 1000) = 25, mientras que a losnuevos precios la solución es M2(5, 1000) = 100. Lo que resta saber es el efecto sustitución y el efecto renta. SegúnSlutsky, se debe buscar algún nivel de renta, donde a los nuevos precios p

′

M , pC sea posible consumir la canastaantigua (no necesariamente de forma óptima). Con ello:

m′

= p’MM

1 + pCC1 = 5 ∗ 50 + 20 ∗ 25 = 750

Dado que la canasta M1, C1 no es óptima (porque la función es convexa), existe algún punto sobre la recta pre-supuestaria de poder adquisitivo constante, m

′= p

′

MM + pCC, de forma que se obtenga un óptimo. La funciónde demanda marshalliana de M sigue siendo válida, por lo que la solución óptima en la recta de poder adquisi-tivo constante con los nuevos precios será MS(5, 750) = 75. Finalmente según Slutsky, el efecto sustitución sera∆MS

S = MS −M1 = 25, y el efecto sustitución será ∆MSR = M2 −MS = 25.

Según Hicks, se tiene que lo que se desea obtener es una renta m′′que, bajo los nuevos precios, indique una canasta

óptima que mantenga el nivel de utilidad previo al cambio de pM . Con ello, se puede decir que bajo un problemadual de minimización de costo, la condición de optimalidad sigue siendo válida, pero se tendrá que la restricción es:

U(50, 25) = M2C2 = 12502

mientras por optimalidadpCC = p

′

MM

si se multiplica por M , se tienepCMC = P

′

MM2

si MC = 1250, pC = 20 y p′

M = 5, se tendrá que MH = 50√

2 ≈ 70, 7. Finalmente, el efecto sustitución será∆MH

S = MH −M1 = 20, 7, mientras el efecto renta será ∆MHR = M2 −MH = 29, 3. En terminos comparativos,

∆MHS < 4MS

S .21

6.3. PREGUNTA III

Dante es un sibarita amante de la buena mesa y el aire libre. El ama la Cerveza Artesanal, con un maridaje de CharquiEquino. Mes a mes, el dispone de un Ingreso de 3000 u.m., que gasta en estos dos bienes. Una botella de 500cc de buenacerveza cuesta 3 u.m y una porción de Charqui de Pura Sangre cuesta 6 u.m. Dante expresa que no vale la pena consumirun bien sin el otro, y de hecho, su combinación perfecta es de 2 botellas de Cerveza (B), con 1 porción de Charqui (D).

1. Determine la restricción presupuestaria de Dante, y grafique su curva de indiferencia. ¿Cuál es la relación de losbienes de Dante?

2. Encuentre el consumo óptimo de Cerveza y Charqui.

3. ¿Cuál es el efecto renta y el efecto sustitución dado por la variación de estos bienes?

Solución

1. La recta presupuestaria está dada por 3000 = 3B + 6D. Su curva de indiferencia está dada por un relación decomplementos perfectos, donde la relación es:

D

B=

1

2

B = 2D

con ello, la función que representa sus preferencias será:

U(B,D) = min{B, 2D}

Gráficamente, la relación es igual a la de las curvas mostradas en Varian, Microeconomía Intermedia, pág. 81.

Figura 6.2: Complementos Perfectos, Ejemplo. Fuente: Varian, H., INTERMEDIATE MICROECONOMICS, 8th Edition.22

2. Bajo esta situación, el óptimo de consumo está en el vértice de las curvas de indiferencia. Dado 3000 = 3B + 6D yB = 2D, con lo que la solución es D = 250,B = 500.

3. Dado que son complementos perfectos, el efecto sustitución siempre será cero. Por lo tanto, se sabe que la curva dedemanda de ambos bienes será:

D(pD, pB ,m) =m

2pB + pD

B(pB , pD,m) =2m

2pB + pD

por lo tanto, ante un cambio de precio, supongamos en pB , el efecto renta será el cambio en B, o sea, B(p′

B , pD,m)−B(pB , pD,m). Desarrollando, se llega a la identidad:

∆B =−2m ∗ 2∆pB

(2p′B + pD)(2pB + pD)

Un buen ejercicio sería preguntarnos, ¿Que ocurre si el cambio en ∆pB → 0? Este análisis se deja al lector.

23