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Control cálculo
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DMCC
TERCER CONTROL DE EJERCICIOS, Algebra I, fila A, tarde
Santiago, 12 de diciembre de 2013
1) En el conjunto { }1= RG se define la ley de composicin interna por abbaba ++=
a) Demuestre que el par ),( G es un grupo b) Considere la ecuacin 1)57()53( = x , definida en el grupo
donde el inverso del elemento a se denota 1a . Existe solucin? En caso afirmativo determine tal x
2) Considere los grupos [ ] )),,2((y ),( 2 ++ RMxR y la funcin [ ] ),2(: 2 RMxRH definida por
+
+=++
cbacba
cbxaxH20
027)( 2
a) Demuestre que H es un homomorfismo b) Determine )(HKer c) Es H un monomorfismo? Justifique
Pregunta 1: 3,0 puntos, Pregunta 2: 3,0 puntos
Pauta de correccin
1 a) Debemos demostrar i) es asociativa ii) existe neutro e en G iii) cada elemento x de G tiene inverso 1x
i) Se debe cumplir Gcbacbacba = ,, )()( Como
abcbcaccabbacabbacabbaabbacba ++++++=++++++=++= )(c )()(y adems
abcacabbccbabccbabccbabccbacba ++++++=++++++=++= )()()(entonces es asociativa (0,8 puntos)
ii) Queremos determinar Ge tal que Gxxxeex == 0)1( =+=++= xexxeexxex de donde Ge = 0 , por otro lado
xxxe == 0 (0,8 puntos) iii) Dado Gx queremos determinar Gx 1 tal que xxxx == 11 0
xxxxxxxxx =+=++= )1(00 1111 de donde Gx
xx
+
=
11
Por otro lado 01 = xx (0,8 puntos)
1 b) 111 4723)3557()1553()57()53( =++=++= xxx
48472323 =++ xx de donde
152.1151.1
=x (0,6 puntos)
2 a) Debemos demostrar: ))(())(())()(( xqHxpHxqxpH +=+ [ ]xRxqxp 2)(),( Si fexdxxqcbxaxxp ++=++= 22 )(,)( entonces
fcxebxdaxqxp +++++=+ )()()()( 2 de donde
++++
++++=+ )()()(20
0)(2)(7))()(( fcebdafcebda
xqxpH
+
++
+
+= fed
fedcba
cba20
02720
027= ))(())(( xqHxpH +
(1,0 puntos)
2 b) Si )()(,)( 2 HKerxqcbxaxxp ++= entonces
=
0000))(( xpH , desde aqu
obtenemos
=
+
+
0000
20027
cbacba
y el sistema lineal que se produce es
=+
=+
02027
cbacba
Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos 09 = ba de donde ab 9=
y Rc , por lo tanto { }RcacaxaxxpHKer ++== ,/9)()( 2 (1,0 puntos)
2 c) Claramente H no en un monomorfismo (1,0 puntos)