ca se s n o v IES PAU CASESNOVES e se s p a u ca se s n o v e s ... TEMA 1. Teorema de Pitàgores i proporcionalitat geomètrica Continguts: Teorema de Pitàgores. Plànols, mapes

2 /MATEMÀTIQUES n ESO SETEMBRE

IES PAU CASESNOVES

Fonts on pots trobar informació i repassar: - llibre de text de 2n d'ESO d'editorial Santillana o qualsevol altre llibre de text de

matemàtiques- apuntes marea verde: http://www.apuntesmareaverde.org.es/- http://proyectodescartes.org/EDAD/mat_2eso_cat.htmPer jugar: http://matematico.es/competicion/mapa/inicio/?nivel=2Vídeos a “unicoos”Problemes resolts- http://www.masquemates.com/eso.htm

1

i n c a

i e

s p

a u c a s e s n o v e s

http://www.apuntesmareaverde.org.es/

http://www.masquemates.com/eso.htm

http://matematico.es/competicion/mapa/inicio/?nivel=2


TEMA 1. Teorema de Pitàgores i proporcionalitat geomètrica

Continguts: Teorema de Pitàgores. Plànols, mapes i maquetes. Escales. Semblança. Teorema de Tales.1) Completa la taula de les unitats de longitud:

Kilòmetre (km)

decímetre (dm)

2. Quina creus que és la mida real de cada instrument? (Encercla-la)

15 mm 15 cm 15 m 560 m 560 cm 560 mm 3 mm 3 cm 3 dm

3. Per arreglar una via de ferrocarril necessitam dos rails que amiden 120 dm i 35 dm respectivament. Quants metres en necessitam? Si cada metre val 3´50 €, quant costarà?

4. Expressa en la unitat demanada les mesures següents:a) 34 cm = .......... mb) 452 km = .........m

c) 342 m = .............cmd) 43,56 m = ..........cm

e) 12.000 mm =.........mf) 89 cm = ................m

g) 32,45 km =......cm h) 0,1 hm = .........cm

TEOREMA DE PITÀGORES (necessitaràs un regle)5. Dibuixa en el teu quadern un triangle rectangle de costats 3 cm, 4 cm i 5 cmCom és aquest triangle?

6. En base a les dades anteriors, marca d’un mateix color els dos catets i de color vermell la hipotenusa del triangle que has dibuixat anteriorment.Quin és el costat més llarg?

7. Prenent com a base els diferents costats del nostre triangle, construeix tres quadrats aferrats als mateixos.

8. Calcula la superfície de cadascun dels quadrats i escriu el resultats dins dels mateixos.

Observes cap relació entre els catets i la hipotenusa?

9. En un triangle rectangle, els catets fan 6 cm i 8 cm cadascun. Calcula la longitud de la hipotenusa.

10. Diguès el valor de la hipotenusa en els següents casos: 2h = 169; 2h = 81 + 144 2h = 22 1216 +

En un triangle rectangle, denominem hipotenusa al costat oposat a l’angle recte. Els altres dos costats s’anomenen catets.

Per tant, la hipotenusa és el costat més.............d’un triangle rectangle i sempre es troba oposat al angle.........

2


11. Usant la calculadora, calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle els catets del qual mesuren 2,7 cm i 3,6 cm.

12. Una conseqüència del teorema de Pitàgores és que podem trobar la longitud d'un catet si coneixem la hipotenusa i l'altra catet. Com ho faries?

PER PRACTICAR:

1) Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle de 15 cm i 8 cm de catets

2) Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle de 12 cm i 35 cm de catets

3) Calcula la diagonal d’un rectangle de 16 cm de longitud i 12 d’amplària

4) Determina el llarg d’un rectangle de 3 cm d’ample i 22 de diagonal.

5) Calcula els costats d’un rombe les diagonals del qual fan 12 i 18 cm.

6) Quins són els triangles equilàters?

Què és l'altura d'un triangle?

Calcula l'altura d'un triangle equilàter de costat 7 cm.

7) Què és un hexàgon regular?

Què és l’apotema d’un hexàgon regular?

Calcula l'apotema d'un hexàgon regular de 4 cm de costat.

8) Quins són els triangles isòsceles?

Calcula l’altura d’un triangle isòsceles de 6 cm de base i 8 cm dels costats iguals.

9) Calcula el costat d’un triangle equilàter de 12 cm d’altura.

10) Calcula el costat d’un hexàgon regular de 10 cm d’apotema.

Recorda: hip2=cat2+cat2

cat2=hip2- cat2 Ep! però només per triangles rectangles

3


PLÀNOLS, MAPES I MAQUETES. ESCALESAquell que es disposa a comprar o a llogar una casa l’estudia amb deteniment. Aquest estudi, el solem fer sobre el plànol.El plànol d’una casa és una imatge fidel de la realitat. Té la mateixa distribució, la mateixa forma de la casa real però amb les dimensions reduïdes segons una escala. És a dir, la planta de la casa i el plànol són figures ......................Si quan consultam un plànol o un mapa ens interessen les distàncies en la realitat necessitam conèixer l’escala, que ens indica la relació que hi ha entre les dimensions reals i les del plànol.

Per exemple, si tenim un plànol fet a escala 1:200 això significa que 1 cm damunt el plànol són 200 cm en la realitat.

Indica quines són les dimensions reals del següent plànol d’una casa:

1) Un mapa està fet a escala 1: 800.000

a) què significa?............................................................................................

...........................................................................................................................

b) Quina serà la distància real entre dos pobles que estiguin separats 4 cm al mapa? Expressa-ho primer en centímetres, després en metres i finalment en Km.

2) En un mapa fet a escala 1:400000, la distància que separa dues ciutats és de 8 cm. A quina distància real es troben ambdues ciutats?

3) La distància real entre dos pobles és de 26 km. Quina serà la distància en un mapa a escala 1 : 400 000?

4) Cerca un mapa o atles que tengueu per casa. Escriu l'escala 4 distàncies que te cridin l'atenció (per exemple d'un mapa de la península Ibèrica, la distància entre Cadis i Gijón).Explica com ho has fet.

4

L’escala és el quocient entre cada longitud en la reproducció i la longitud corresponent en la realitat.


SEMBLANÇAObserva aquestes figures:

Quina relació hi ha entre aquestes figures?

Quina diferència hi ha entre elles?

Quina relació hi ha entre la longitud dels costats?

Ara anem a veure diferents mètodes per construir figures semblants:

Mètode de la quadrículaPasses: 1. Traçar una quadrícula sobre la imatge original2. Construir una quadrícula de quadrats més grans o més petits, depenent de si es desitja ampliar o reduir la imatge original3. Es dibuixa la imatge adaptada a la nova quadrícula

Ara aplicarem aquest mètode per ampliar la figura següent: (ho pots fer al teu quadern)

a) Dibuixa sobre aquesta figura una quadrícula de 0’4 cm b) Construeix una nova quadrícula de 0’8 cmc) Dibuixa l’estrella a la nova quadrícula

Mètode de la projeccióDibuixarem una figura semblant a aquest polígon. Com que té 5 costats es tracta d'un ____________ i com que té els costats diferents és un__________________________

.O

5

3 cm

2 cm

3 cm

3’5 cm2 cm

6 cm

6 cm

4 cm

7 cm

4 cm

Dues figures són semblants quan tenen la ........................... forma i els costats .................................

AB

CD

E


Passes:1. Traça rectes que partint de O passin pels vèrtexs d’aquesta figura

2. Mesura la distància entre O i cada vèrtex

OA = .......... cm OB = ............ OC = ...........OD = .............. OE = ............

3. Multiplica per 3 les longituds anteriors

OA’ = ........x 3 =........ OB’ = ................. OC’ = ................OD’ = .................. OE’ = .................

4. Marca els punts A’, B’, C’, D’ i E’ sobre les rectes que parteixen de O, utilitzant les distàncies que has calculat a l’apartat 3.

5. Uneix aquests punts i obtendràs la nova figura.6. Aquests dos triangles són semblants. Calcula la longitud del costats que falten

TEOREMA DE TALESFixa’t en el següent dibuix. Està format per dues rectes secants que són tallades per 3 rectes paral·leles.

Al creuar-se aquestes rectes apareixen punts i segments (un segment és un tros de recta entre dos punts). Els punts on les rectes es tallen els hem designat amb lletres majúscules: A, A’, B, B’, C, C'. El símbol per a indicar la distància entre els punts A i B és : AB .

Indica com anomenarem les distàncies següents:

Entre els punts B i C Entre els punts B’ i C' Entre els punts A i C Entre els punts A’C' Entre els punts A’ i B’

Activitat 1 : Mesura les distàncies AB , AC , BC , A ´ B ' , A ´ C ' i B ´ C ' , i col·loca-les sobre el dibuix.

6

A

B

C

A’

B’

C'

Rectes secants

Rectes paral·leles


Activitat 2 : Fes els quocients següents:

ABA ' B '

= ACA ' C '

= BCB ' C '

=

Hi veus cap relació?

Creus que és una casualitat?

Activitat 3: Dibuixa tu dues rectes secants i tres paral·leles com les d’abans. Fes les mateixes mesures i calcula :

ABA ' B '

=

ACA ' C '

=

BCB ' C '

=

Ja has comprovat que, en cada cas, les tres divisions coincideixen. Això no és casualitat, sinò que ocorre gràcies al...

El teorema de Tales s’empra per averiguar quant mesura un segment desconegut sabent els altres tres. Mira el següent dibuix:

No coneixem AB, però sí els altres tres segments. Segons el teorema de Tales: AB

A' B '= BC

B' C '

7

TEOREMA DE TALESSi unes rectes paral·leles tallen a dues secants, els segments que determinen són proporcionals:

ABA' B '

= ACA' C '

= BCB ' C '

2 cm

1 cm1’5 cm

A A’

B B’

C C'


Col·loca tu les quantitats corresponents:

AB= AB =

Activitat 4: Troba quant mesura el costat B ´ C ' en la figura següent, amb el teorema de Tales.

Activitat 5: Troba el costat BC de la figura següent:

Triangles en posició de Tales

Fixa’t en les següents figures. Juntem les rectes secants fins que es troben en un sol punt. Llavors apareix la següent figura:

Quants triangles s’han format?

8

A A’

B B’

C C’

4’5 m

3 m

2 m

C

C'

B’

B

A’

A

3’5 m1’3 m

1’17 m


Pinta de blau el triangle gran i remarca el triangle petit que hi ha dins.

Aquests dos triangles, el gran i el petit que hi ha dins, es diu que estan en posició de Tales:

Activitat 6: Observa que els triangles ABB’ i ACC’ es troben en posició de Tales. Calcula, a més, la longitud x=BC , amb l’ajuda del teorema de Tales.

Activitat 7: Utilitza el teorema de Tales per trobar la longitud del costat x = AB ´ .

Activitat 8: Troba el costat desconegut BC .

PER PRACTICAR MÉS1.- Calcula el valor de x i y en aquesta construcció:

9

A

B B’

C C'

6 m 4 m

9 mx

A

B B’

C C'12 m 10 m

30 m x

C

C'B’

B

A14’3 m

25 m11 m

3cm2cm

x 3cm 7cm

y


2.- Si sabem que les rectes a, b, c i d són paral·leles, calcula la longitud de x i y:

3.- Observa la figura i contesta:a) Quins dos triangles estan en posició de Tales? b) Que mesura el costat CN ?c) Què mesura el costat MN ?

4.- Calcula l'alçada del autobús:

5.- Calcula l'alçada de una catedral que projecta una ombra de 42m a la mateixa hora que un arbre de 2,5m projecta una ombra de 3m.

10

4,5m1,2m

0,85m

3cm2cm

x 3cm 7cm

y

14cm

16cm

10cm4cm

C

BA

M N


TEMA 2. Sistema SexagesimalContinguts: Unitats de mesura del temps i dels angles. Canvis d’unitat de mesura. Operacions i problemes.

Objectius Resoldre problemes de temps i/o angles.

EXERCICIS (trets del llibre de Santillana de 2n ESO)1.- Un angle recte fa 90º. Expressa-ho amb minuts i segons. Fes el mateix amb l'angle pla (180º) i amb un complet (360º)

2.- Un angle fa 59º 32´, quant li falta perquè mesuri 60º?

3.- Calcula la teva jornada diària a l'institut. Expressa aquest temps amb minuts i segons.

4.- Escriu el temps que has dedicat a dormir la passada nit i expressa aquest temps amb minuts i després amb segons. Ho podem posar en comú i extreure conclusions.

5.- En Jordi va estudiar dissabte al matí 2 hores i mitja i a l'horabaixa tres quarts d'hora. Quants minuts va estudiar més al matí que a l'horabaixa.

6.- Un ciclista ha invertit 1h 15 min 18 s per arribar a la meta i un altre 23458 s. Quin dels dos s'ha estorbat més?

7.- El guanyador d'una carrera ha arribat a la meta a les 14 h 26 min 47 s, i el segon, 17 min 52 s després. A quina hora ha arribat el segon?

8.- En una prova contrarrellotge, els temps de dos ciclistes han estat 1h 1min 7s i 59min 43s, respectivament. Calcula la diferència que hi ha entre tots dos.

9.- Una rentadors d'una industria tèxtil funciona diàriament 7h 20min 40s. Quant temps funciona de dilluns a divendres?

10.- Una teleoperadora ha parlat per telèfon de dilluns a divendres, un total de 22h 49 min 32 s. Quina mitjana de temps al dia ha estat parlant.

11.- Un autocar surt de l'estació a les 9h 26min i arriba a l'estació de destí a les 13h 14 min. Quant dura el trajecte?

12.- Un pintor ha pintat una sala en 3 hores i quart el matí i 2 hores i mitja a la tarda.a) Quant de temps ha invertit en total?b) Quant de temps ha treballat més al matí?c) Si cobra 19,20 €, quant ha guanyat pintat la sala?

13.- En Damià cobra el dissabte 8€/h i el diumenge 9,50 €/h. Aquest mes ha fet feina tres dissabtes i 4 diumenges. Els dissabtes ha fet feina 5 hores i mitja i els diumenges 3 hores i 3 quarts. Quant cobrarà al final de mes?

14.- Un rellotge s'endarrerix 1min 20s cada dia. Quant de temps s'endarrerix en una setmana? I el mes d'octubre?

11


TEMA 3. Figures planes. Àrees.

Continguts: Polígons. Polígons regulars i irregulars. Àrees dels principals polígons, del cercle, del sector circular i de la corona circular. Angles en els polígons. Angles en la circumferència.

Objectius: Reconèixer les figures planes més importants (triangles, quadrilàters, hexàgon, cercle...). Conèixer les seves característiques i elements principals.Saber calcular el perímetre i l’àrea de les principals figures planes (cercle, triangle, paral·lelograms, trapezis i polígons regulars) aplicant correctament les fórmules respectives. Reconèixer i calcular la l'àrea de figures circulars.

ANGLES I RECTES1.- Escriu la definició i fer un dibuix de- Recta..........................................................................................................................- Semirecta....................................................................................................................- Segment....................................................................................................................

2.- Completa la següent taula indicant quan dues rectes són: SecantsParal·lelesCoincidentsPerpendiculars

3.- Defineix i dibuixa un angle indicant el vèrtex i els costats.

4.- Completa la taula dels tipus d'angles indicant com es diuen i fer un dibuix

Segons la posició dels costats

Segons l'obertura

5.- Defineix i dibuixa angles complementaris i angles suplementaris

6.- A) Indica, en cada cas, si els angles A i B són suplementaris o complementaris:i) Â = 106º i B = 74º iii) Â = 68º i B = 112ºii) Â = 60º i B = 30º iv) Â = 57º i B = 33º

B) Troba els angles complementari i suplementari de:a) 38º 50´ 3´´ b) 75º 10´ 30´´

7.- Dibuixa un segment de 5 cm i, amb el regle i compàs, traça’n la mediatriu.8.- Dibuixa un angle recte i construeix-ne la bisectriu amb regle i compàs.

12


POLÍGONS I CIRCUMFERÈNCIES9.-- Defineix què és un polígon i quins són els seus elements.

10.- Completa la taula de tipus de polígons fent un dibuix i escivint la definició: Segons els angles convex concau

Segons els angles i costats regular irregular

11.- Classifica aquests polígons segons el número de costats ( triangle, quadrilàter...) i si són regulars o irregulars.

12.- Cerca què sumen els angles d'un polígon convex de n costats.

13.- Completa la següent taula:

Nom del polígon Número de costats

Suma dels angles interiors

Nom del polígon Número de costats

Suma dels angles interiors

n 180º · (n-2)

Triangle OctàgonQuadrilàter EneàgonPentàgon DecàgonHexàgon HendecàgonHeptàgon Dodecàgon

14.- Classifica cada un d'aquests triangles segons els seus costats i els seus angles.

SEGONS ELS ANGLES SEGONS ELS COSTATS

TRIANGLE 1

TRIANGLE 2

TRIANGLE 3

15.- Digués el nom dels triangles segons les següents característiques:1. Té un angle obtús d) Té els tres costats iguals2. No té cap costat igual e) Té un angle recte3. Té els tres angles aguts

16.- Completa la taula amb la definició i el dibuix dels següents triangles:

13


Equilàter Isòsceles Escalè

Rectangle Acutangle Obtusangle

17- Escriu el teorema de Pitàgores.

18.- Completa el següent esquema dels quadrilàters amb el dibuix i una mica de descripció:

Quadrat

Rectangle

Paral·lelograms Rombe

Romboide

Rectangle

Quadrilàters Trapezis Isòsceles

Escalè

Trapezoides

19.- Escriu què és una circumferència i dibuixa'n una amb els seus elements principals.

20.- Contesta: a) què és el perímetre d'una figura plana?b) Què és l'àrea d'una figura planac) En quines unitats es dóna el perímetre?d) I l'àrea?

14


EXERCICIS D'ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES

21.- Completa la següent taula

Nom de la figura Dibuix (Indica les parts) Completa la fórmula Calcula l’area amb les dades indicades.

Àrea =base x ___________

___

Àrea = ________x altura

Àrea=

Àrea =

Àrea =

Àrea =

Àrea = π x radi x radi

(Indicació: noms que has d’escriure a les etiquetes: base, altura, apotema, base major, base menor, diagonal major, diagonal menor i radi).

15

6 c

m

Perímetre x ______________

Diagonal major x ______________

2’3

m

2’5

cm

2’2 m

(Base Major +__________) x altura

3 m

1’5cm

2 cm

5 m

2 m

4 cm

4’5 m

2’2 cm

5 cm

2 cm


22.- Escriu el nom de les següents figures i troba el perímetre del polígon i la longitud de la circumferència:

a) b)

23.-Identifica cada figura i troba'n el perímetre i l'àrea.

a) b) c)

24.- Troba el perímetre i l'àrea l'àrea de les següents figures. Indica també quina figura és.

a) b)

c) d)

25.- Troba l'àrea de les següents figures:

a) b)

16

8cm

4,5cm 4cm

5 cm

8 cm

6 cm


c) d)

e) f)

26.- Troba l'àrea i el perímetre de les següents figures:

a) b)

27.- Troba el perímetre i la superfície d'un cercle de 14 cm de diàmetre.

28.- Aquí tens el plànol d'un parc. A la zona pintada s'hi ha sembrat gespa, als cercles de dintre s'hi han sembrat roses i la part ratllada està enrajolada.

a) Calcula l'àrea total on s'ha sembrat gespa.b) Calcula l'àrea total on s'han sembrat roses.c) Calcula l'àrea total que està enrajolada.

29.- Troba l'àrea i el perímetre de les següents figures:Troba el perímetre i l'àrea de les figures:

a) b)

6,5m

17

12 m

16 m

7 m8 m

8,2 m

12 m

10 cm8m

6,5m 6,5m

35m

13,5m 9m

4,2m 2,4m

10 m4 m

8 m

18 m

4m

8 m

7 m 7 m

8cm

4,5cm 4cm

8,2m


c) d)

e) d)

7 m

18

8 m

12 m

17 m8 m

3,5 m

7m

12 m

8,2 m

12 m

16 m


REFORÇ. EXERCICIS AMB SOLUCIÓ

1. Troba l'àrea i el perímetre de les següents figures:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

9 m

10 m3 m

4 m

8 m

4 cm

7 cm

9 m

15 m

19

8,5 m

8 cm

10 cm4 cm

12 cm

8,5 m


g) h)

2. Determina l'àrea pintada:

a)

c)

d)

Solucions:

1. a) Perímetre = 33,75cm i Àrea = 46,41cm2

b) Perímetre = 24,24m i Àrea = 32,96m2

c) Perímetre = 30m i Àrea = 40m2

d) Perímetre = 16cm i Àrea = 13,55cm2

e) Perímetre = 41m i Àrea = 95,4m2

f) Perímetre = 48cm i Àrea = 166,32cm2

g) Perímetre = 30 cm i Àrea = 61,8cm2

h) Perímetre = 75,4 cm i Àrea = 452,39cm2

2. a) Àrea = 5,34cm2

b) Àrea = 77,41cm2

c) Àrea = 161,32m2

d) Àrea = 81,85m2

20

6 cm

24 cm

10 m

2m3,5

m18 m

13m

6cm

2,8cm

50º

3,5 cm

5,1c

m

26,7 m

20 m

5,5 m


TEMA 4. Cossos geomètrics.

Continguts: Políedres, poliedres regulars. Prismes i piràmides. Cossos de revolució. Cilindre, con i esfera. Superfície i volum del prisma, piràmide, cilindre, con i esfera..

Objectius: Distingir entre poliedres i cosso de revolució. Conèxier els poliedres regulars i les seves característiques. Calcular la superfície i el volum dels poliedres (prismes i piràmides) i dels cossos de revolució (cilindres, con i esfera) aplicant les fórmules corresponents i, si s’escau, el teorema de Pitàgores per trobar qualque dada necessària.

Poliedres. Poliedres regulars.1.- Cerca i escriu la definició de poliedre. Posa exemples de la vida quotidiana.2.- Dibuixa un poliedre (per exemple un prisma de base quadrada). 3.- Marca els seus elements: cares, arestes, vèrtex i diagonals. 4.- Escriu la definició de angle diedri i angle poliedre.5.- Investiga:a) Què és un poliedre regular?b) Quants n'hi ha?c) Quins són?6.- Emplena la fitxa 1 que trobaràs al final del treball.

Prismes i piràmides.7.- Cerca i escriu la definició de prisme.8.- Dibuixa un prisme (per exemple un prisme de base hexagonal) 9.- Marca els seus elements: vèrtex, bases, aresta bàsica, aresta lateral, cara lateral, altura.7.- Cerca i escriu la definició de piràmide.8.- Dibuixa una piràmide (per exemple una piràmide de base quadrada) 9.- Marca els seus elements: vèrtex, base, aresta bàsica, aresta lateral, cara lateral, altura.10.- Explica amb les teves paraules com calcularies la superfície d'un prisme i d'una piràmide.11.- Explica amb les teves paraules què és el volum d'un cos.12.- Quines unitats es fan servir per mesurar el volum d'un cos?13.- Cerca les fórmules que permeten calcular el volum d'un prisma i el d'una piràmide.14.- Emplena la fitxa 2.15.- Emplena la fitxa 3.

Cossos de revolució.16.-Cerca i escriu què és un cos de revolució. Posa exemples de la vida quotidiana.17.- Quins són els cossos de revolució més importants?18.- Cerca i escriu la definició de cilindre19.- Dibuixa un cilindre i marca els seus elements: eix de gir, altura, generatriu, base, superfície lateral, radi.20.- Escriu les fórmules de l'area i el volum d'un cilindre.21.- Cerca i escriu la definició de con.19.- Dibuixa un con i marca els seus elements: eix de gir, altura, generatriu, base, superfície lateral, radi.20.- Escriu les fórmules de l'area i el volum d'un con.21.- Cerca i escriu la definició d'esfera19.- Dibuixa una esfera i marca els seus elements: eix de gir, centre, radi.20.- Escriu les fórmules de l'area i el volum de l'esfera.21.- Emplena les fitxes 4 i 5.22.- Dissenya i emplena una fitxa sobre l'esfer semblant a les que has fet fins ara.

21


FITXA 1. POLIEDRES REGULARS.

DEFINICIÓ Un poliedre ÉS REGULAR si...........................................................................................

Exemple de políedre no regular :

Encara que las sis cares són triangles equilàters idèntics, aquest políedre no és regular perquè en uns vèrtexs concorren tres cares i en d’altres, quatre.

Observa aquests políedres. Indica per què són regulars, completa les taules i dibuixa el desenvolupament esquemàticament:

NOM DEL

POLIEDRE

Nre . DE CARES

Nre . DÁRESTES

Nre . DE VÈRTEXS

Nre . DE CARES PER

VÈRTEX

NOM DEL

POLIEDRE

Nre . DE CARES

Nre . DÁRESTES

Nre . DE VÈRTEXS

Nre . DE CARES PER

VÈ RTEX

NOM DEL

POLIEDRE

Nre . DE CARES

Nre . DÁRESTES

Nre . DE VÈRTEXS

Nre . DE CARES PER

VÈ RTEX

NOM DEL

POLIEDRE

Nre . DE CARES

Nre . DÁRESTES

Nre . DE VÈRTEXS

Nre . DE CARES PER

VÈRTEX

NOM DEL

POLIEDRE

Nre . DE CARES

Nre . DÁRESTES

Nre . DE VÈRTEXS

Nre . DE CARES PER

VÈRTEX

22

FITXA 2. PRISMES

Un prisma és un políedre limitat per dos polígons iguals i paral·lels, denominats bases, i uns quants paral·lelograms que formen les cares laterals. Les arestes laterals d'un prisma són segments iguals i paral·lels entre sí.

Series capaç de construir-ne un a partir de la definició? Fes-ho i assenyala les seves parts.

L'altura del prisma és la distància entre les bases. Dibuixa l'altura del teu prisma.

Podem classificar els prismes de diferents maneres. Si ho fem atenent a

• les cares : trobem prismes rectes, quan aquestes són rectangulars i, per tant, també perpendiculars a la base; o prismes oblics, quan les cares laterals no són perpendiculars a les bases.

• les bases: tindrem prismes triangulars, quadrangulars, pentagonals, etc., segons tinguen bases formades per triangles, quadrats, pentàgons, etc. Però, a més, si aquestes bases són polígons regulars els denominarem prismes regulars

Segons el que acabem de llegir, dibuixa un prisma oblic, un prisma recte regular triangular i un prisma irregular quadrangular:

Imagina un prisma recte, dibuixa'l tal i conforme quedaria si el tallem, l'obrim i posem les cares i les bases sobre el pla que forma aquest full:

Digues què faries per calcular la seva superfície:

Superfície d'un prisma recte = 2 x Superfície + Superfície

Un prisma recte té 6 dm d'altura i bases són pentagonals amb 2,1 dm d'apotema i 3 dm de costat. Intenta dibuixar-lo i calcular la superfície de la base, la lateral i, per últim, la total.

Les bases d'un prisma recte són triangles rectangles els catets dels quals tenen 12 dm i 5 dm. L'altura del prisma és 6 dm. Dibuixa el desenvolupament del prisma en el pla i després calcula:

• La Superfície lateral; tenint en compte que les cares són quadrilàters l'altura dels quals coincideix amb la del prisma, i que les bases dels mateixos es corresponen amb la mesura dels catets o de la hipotenusa de les bases de la piràmide.

• La Superfície d'una base• La Superfície total

Les bases d'un prisma recte són rombes les diagonals dels quals tenen 8 cm i 6 cm. L'altura del prisma és de 10 cm. Dibuixa el desenvolupament i calcula:

• L'àrea de la base; recordant que puc saber la superfície d'un rombe fent

• L'àrea lateral; tenint en compte que necessite saber què mesuren els costats del rombe que forma la base i, per això hem tindré que valdre de les diagonals i del teorema de Pitàgoras

• L'àrea total

Per calcular el volum d'un prisma recte hem de multiplicar la Superfície de la base per l'altura: V = Sbase x a

Utilitza aquesta informació per calcular el volum de les figures dels tres problemes anteriors.

Diagonal x diagonal2

FITXA 3. PIRÀMIDES

Una piràmide, en general, és com un prisma, només que les seves cares laterals (costats) acaben ajuntant-se en un punt que s’anomena el vèrtex de la piràmide.

El polígon que queda baix de la piràmide s’anomena base de la piràmide.

Activitat 1: Dibuixa una piràmide i identifica la base, la cara lateral, l’aresta i el vèrtex.

Segons quin polígon forma la base, una piràmide rebrà un nom o un altre. Per exemple:

Base = Triangle Piràmide triangular.Base = Quadrat Piràmide quadrangular.Base = Pentàgon Piràmide pentagonal.

Activitat 2: Classifica les següents piràmides segons el polígon de la base.

Desenvolupament d’una piràmide regular

Una piràmide és regular quan el seu vèrtex queda just damunt del centre de la base. O sigui, quan no està torta.Si tallem al llarg d’algunes arestes d’una piràmide regular, l’obrim i n’estenem les cares sobre el pla, obtenim:

Fixa’t que al dibuix hi apareixen quatre lletres. Vegem què significa cada una:

• h Altura de la piràmide (en la del faraó Kefren,la imatge inicial, h val 136 metres).

• l Costat de la base.• a Apotema de la piràmide.• a' Apotema de la base.

Aquestes quantitats ens permetran calcular tant la superfície de la piràmide com el seu volum.

Activitat 3: Assenyala l’altura (h), l’apotema de la piràmide (a), l’apotema de la base (a’) i un costat de la base (l) de la piràmide següent. Indica, a més, quin tipus de piràmide és:

Superfície d’una piràmide regularPer saber la superfície hme de calcular la de la base i la de les cares laterals, i sumar-les.

Exemple: Sabries calcular la superfície d’una piràmide pentagonal (com l’anterior) d’altura h = 10m, costat de la base l = 2m, apotema a = 10’4m i apotema de la base a’= 3m?

h

1. En primer lloc escrivim les dades rellevants de la piràmide:

h =l =a =a’ =

2. En segon lloc calculem la superfície de la base. Dibuixa la base en el requadre, indicant les mesures dels costats (l) i l’apotema (a’).

Quin polígon forma la base?

Quin nom rebrà aleshores la piràmide?

Quina fórmula emprem per a calcular la superfície d’un polígon, conegut el seu apotema a’?

Quant val el perímetre del polígon?

Quant val la superfície de la base?

3. A continuació calculem la superfície d’una de les cares laterals. Quin tipus de polígon forma les cares laterals?

Quina fórmula emprem per calcular l’àrea d’un .....................................?

Quant val la superfície d’una de les cares laterals?

4. Per acabar, sumem les superfícies de la base i de les cares laterals:

Superfíciepiràmide =

Àrea =

Perímetre =

Activitat 4: Anem a calcular la superfície lateral d’una piràmide regular amb les següents característiques:

f

h = 160 m

Col·loca al costat de cada mesura el que representa (altura, costat de la base, apotema, apotema de la base). Segueix els mateixos passos que abans per calcular la superfície:

1. Escriu les dades rellevants de la piràmide:

h =l =a =a’ =

2. Dibuixa la base en el requadre, indicant les mesures dels costats (l) i l’apotema (a’).

Quin polígon forma la base?

Quin nom rebrà aleshores la piràmide?

Quina fórmula emprem per a calcular la superfície d’un polígon, conegut el seu apotema a’?

Quant val el perímetre del polígon?

Quant val la superfície de la base?

3. Calcula la superfície d’una de les cares laterals. Quin tipus de polígon forma les cares laterals?

h = 160 m

a = 200 m

l = 240 m

a’ = 120m

Àrea =

Perímetre =

Quina fórmula emprem per calcular l’àrea d’un .....................................?

Quant val la superfície d’una de les cares laterals?

4. Per acabar, suma les superfícies de la base i de les cares laterals:

Superfíciepiràmide =

Activitat 5: La base d’una piràmide regular és un pentàgon de 16 dm de costat i 11 dm d’apotema. L’altura de la piràmide és de 26,4 dm i l’apotema de la piràmide és 28’6 dm. Col·loca aquestes mesures sobre el dibuix i calcula la superfície total seguint els passos habituals.


h =l =a =a’ =

2. Calcula la superfície de la base de la piràmide:

3. Calcula la superfície d’una de les cares laterals:

4. Suma les superfícies de la base i de les cares laterals:

Activitat 6: Calcula la superfície total d’un piràmide regular la base de la qual és un quadrat de 10 cm de costat i l’altura de la qual és de 12 cm. L’apotema de la piràmide és a = 13 cm.


h =l =a =a’ =

2. Calcula la superfície de la base de la piràmide:3. Calcula la superfície d’una de les cares laterals:

4. Suma les superfícies de la base i de les cares laterals:

Volum d’una piràmide

Recorda que el volum d’un cos geomètric és l’espai que queda dins d’ell. En les següents activitats treballarem el càlcul de volums de piràmides. La fórmula és:

Volum =Àrea de la base · altura

3

Activitat 7: La base d’una piràmide és un quadrat de 5 cm de costat. L’altura és de 9 cm.

Quant val l’àrea de la base?

Quin és el volum de la piràmide?

Activitat 8: Calcula el volum d’aquesta piràmide hexagonal regular:

Base : costat = 30 cm apotema = 26 cm

Altura: h = 50 cm.

FITXA 4. CILINDRE

Àrea del cilindre

Calcula l’àrea lateral i total d’un cilindre de 4 cm de radi i d’altura el doble del radi.

Calcula l’àrea d’un cable cilíndric de 2mm de diàmetre i 100 000 mm de llarg.

Volum del cilindre

Recorda:Volum prisma = .......................................... x .......................

Calcula el volum d’un cilindre de 10 dm de radi de la base i 20 dm d’altura

Quin és el volum d’un cilindre de 15 cm d’altura i 14 cm de diàmetre de la base?

Quin és el volum d’un cable cilíndric de 4 mm de diàmetre i 1000000 de llarg? Si cada mil·límetre cúbic pesa 5,5 grams, quant pesa en el cable en total?

Per tant, el volum del cilindre = ......................................... x .........................= = .......................

FITXA 5. CON Calcula l’àrea d’un con el radi i la generatriu del qual mesuren 4 i 7 cm respectivament.

Calcula l’àrea d’un con de 10 cm de radi i 8 cm d’altura.

La teulada d’una torre té forma de con de 4’5 m de generatriu. La resta de la torre és cilíndrica i fa 24’5 m d’altura i 3’5 m de diàmetre. Calcula l’àrea que ocupen la façana i la teulada.

Volum del con

Suposem que s’han construït un cilindre i un con d’igual altura i de bases també iguals. El cilindre està obert per una base i el con també està obert per la base.Si omples de sorra el con i desprès aboques la sorra en el cilindre, pots comprovar que has d’abocar tres cops el con ple de sorra per poder omplir una vegada el cilindre. Això ens indica que el volum del cilindre és .................. vegades el volum del con o que el volum del con és ................ el volum del cilindre.

Calcula el volum d’un con de 10 cm de radi i 14 cm d’altura.

Calcula el volum d’un con de 10 cm de diàmetre i 12 cm d’altura.

El següent cos està format per dos cons i un cilindre que tenen la mateixa base i la mateixa altura. El radi comú mesura 12 cm i l’altura de cada cos és el doble del diàmetre. Quin és el volum total d’aquest cos?

Per tant, el volum del con =............ ¿ volum del ...........................= =..............................................

TEMA 5. Nombres enters.

Continguts: Significació. L’oposat d’un nombre enter. Suma, resta multiplicació i divisió de nombres enters. Potència i arrel quadrada de nombres enters. Operacions amb potències. Jerarquia de les operacions. Divisibilitat entre nombres enters.

Objectius: Conèixer el significat dels nombres enters i utilitzar-los de forma adequada en les situacions reals on apareixen. Operar correctament les expressions on intervenen enters aplicant de forma adequada la jerarquia d'operacions. Resoldre problemes on intervenen nombres enters.

1. NOMBRES ENTERS. INTRODUCCIÓ

Ja coneixem els nombres naturals que servien per contar: tenc tres caramels, ahir anàrem vuit amics a un fogueró, etc…

Ara coneixerem i treballarem amb uns altres nombres, aquests reben el nom d’ENTERS.

Si tenim en el banc 2000 € en la nostra llibreta d’estalvis posarà: 2000 €. Però si tenim un deute amb el banc de 2000 € com ho apuntaran a la nostra llibreta d’estalvis? És a dir, com diferenciem una situació d’un altra?

Coneixes alguna situació semblant a l’anterior?

Alguna vegada hauràs pujat a un ascensor molt gran amb un panell de control semblant a aquest:

+6+5+4+3+2+10-1-2-3

Que creus que volen dir tots aquests números?

Escriu dins el requadre per què creus que serveixen els nombres enters

Cerca quina és la definició de nombres enters i escriu-la

Els nombres enters serveixen

Quina és la major temperatura que pot registrar aquest termòmetre? I la mínima?

En una setmana d’hivern les temperatures enregistrades pel termòmetre de la “caseta metereològica” d'un institut foren les indicades a la taula:

DIA T. MÀXIMA T.MÍNIMADillunsDimartsDimecresDijousDivendresDissabteDiumenge

15161310141720

-14-7-6026

Quin dia va fer més calor?I més fred?Quants graus varià la temperatura el dimarts? I el dijous? La temperatura mínima del dimecres, va ser mes alta o més baixa que la del dijous? Del dilluns al dimarts, puja o baixa la temperatura màxima? I la mínima?

La temperatura a l’interior d’un congelador és de -18ºC, però desprès d’una tallada de llum puja 9ºC. Quina serà la temperatura després d’aquesta pujada?

Un termòmetre marca -4ºC. Quina temperatura llegirem a aquest termòmetre si:a) la temperatura baixa 6ºC ________________b) i llavors puja 3ºC _______________________

Si la temperatura inicial és de 4ºC i baixa 15ºC. Quina és la temperatura final?

Aquí tens la temperatura mínima i màxima que s’ha donat al mes de Gener a diferents ciutats europees.ºC Min MàxOslo -9 3Moscou -18 -1Paris -1 12Londres -2 11Madrid 0 17Atenes -2 18

a) On va fer més fred?

b) En quina ciutat o ciutats la temperatura no va davallar del zero?c) On va fer més fred, a Paris o a Londres?

Si te n’adones els nombres enters es poden ordenar …-3<-2<-1<0<+1<+2<+3… però no tenen ni principi ni fi.

Com es pot saber les hores dels altres països? Qui dorm quan jo som a l’IES?

Escriu les següents temperatures de més a menys fredes:

a. 5ºC, -11ºC, 7ºC, -10ºC, -5ºC, 0ºC __________________________

b. -18ºC, -32ºC, 37ºC, -1ºC, 0ºC, -20ºC ________________________

Escriu les següents temperatures de més a menys calentes:

c. 20ºC, -15ºC, 7ºC, -20ºC, -3ºC, 60ºC ________________________

d. -38ºC, -32ºC, 22ºC, -4ºC, 7ºC, 15ºC ________________________

Ordena aquests nombres de major a menor:- +3, -8, +6, 0, +9,-2

- -9, +1, +3, -1, +4

- –4, +6, +3, -1, +7

- +2’8, -2’3, +5, -3’4, +5’1

Escriu aquests parells de nombres posant el més petit davant:a) Menys cent vint-i-dos – menys seixanta-quatre ____________________b) Quatre-cents - menys dos mil quaranta-dos ____________________c) Menys tres - menys set-cents seixanta-tres _____________________

Escriu aquests parells de nombres en paraules posant el major davant:

a) -32, -54 ___________________________________________

b) -1700, -903 _________________________________________

c) -2009, -3010 ________________________________________

d) 0, -8076 ___________________________________________

Subratlla “vertader” si penses que la comparació és correcte i “fals” si creus que no és correcte.a) -100 > -900 Vertader fals

b) 99 < -10 Vertader fals

c) 404 > -202 Vertader fals

d) 0 > -2 Vertader fals

e) -25 > 98 Vertader fals

f) -59 < -45 Vertader fals

g) -3’759 < 3’79 Vertader fals

h) -3 < 3 Vertader fals

2. NOMBRES ENTERS-SUMA I RESTA DE NOMBRES ENTERS

En un joc de bolles, na Margalida té 5 bolles a la butxaca, però en deu 3 a en Joan. Quantes bolles tendrà na Margalida després de pagar el seu deute?

En Joan ha cobrat les 3 bolles de na Margalida, però en devia 7 a en Pere. Quantes bolles té en Joan després de pagar el deute?

Per a resoldre aquest problema ens ajudarem de la recta numèrica.

Si et fixes, l’operació que estam fent és (+3) + (-7), per a fer-la hem situat el primer nombre sobre la recta numèrica, el segon nombre és el nombre de caselles que ens hem de moure, ja sigui cap a la dreta, si és positiu, o cap a l’esquerra, si és negatiu.

D’aquesta manera el resultat és (+3) + (-7) = -4.

Activitat 1 Efectua de forma gràfica les operacions següents:

a) (+4) + (+3) =

b) (+4) + (-2) = c) (-5) + (-2) =

d) (-10) + (+12) =

e) (+10) + (-12) =

Activitat 2 Efectua les operacions següents:

a) (+5) + (+4) =

b) (+5) + (-4) =

c) (-5) + (+4) =

d) (-5) + (-4)=

Per a sumar dos nombres enters es segueix el següent criteri.o Si els dos nombres tenen el mateix signe es sumen.o Si els dos nombres tenen distint signe es resten.

El signe es correspon amb el signe del major sumand.Exemples

(+2) + (+3) = +5 Ja que els signes són iguals, hem sumat.(+2) + (-3) = -1 Ja que els signes són distints, hem restat. (-2) + (+3) = +1 Ja que els signes són distints, hem restat.(-2) + (-3) = -5 Ja que els signes són distints, hem sumat.

En tots els casos, el signe es correspon amb el del 3, que és el nombre major.

37

0 +3-4

-7

+3

0

Activitat 3 Calcula les sumes de nombres enters sense utilitzar la representació gràfica:a) (-3) + (-4) = b) (-4) + (+2) =c) (+6) + (-3) = d) (+9) + (+2) =e) (+6) + (-7) = f) (-9) + (-1) =

Seguint amb els problemes anteriors, en Pere té les 7 bolles d’en Joan, però en un cop de mala sort, en perd 3 amb en Lluís. Quantes bolles té ara en Pere?

Quina operació has realitzada? ________________________________.

Si ens fixem, el resultat és el mateix que el del següent problema:

En Pere té 7 bolles però en deu 3 a en Lluís. Quantes bolles té en Pere?

Quina operació has realitzada? ________________________________.

Per tant és el mateix fer una resta de dos nombres enters, que sumar canviant el signe del segon.

A l’hora de fer una resta, el primer que farem serà convertir-la en una suma del primer més el segon amb el signe canviat.

Exemples(+2) - (+3) = (+2) + (-3) = -1(-2) - (-3) = (-2) + (+3) = + 1

Activitat 4 Efectua les restes següents, tot convertint-les en sumes:a) (+2) - (+4) = (+2) + (-4) = b) (+10) - (+5) = c) (-14) - (+2) = d) (-13) - (-2) = e) (+17) - (+9) = f) (+1) - (-12) =

Activitat 5 Efectua les sumes i restes següents:a) (+5) + (-2) = b) (+4) - (-2) = c) (+7) - (+4) = d) (-8) - (-5) = e) (-8) + (+4) = f) (+22) + (-11) =g) (-4) – (-10) = h) (+4) – (-16) = i) (+22) + (+8) = j) (-30) – (+10) =

Per sumar més de dos nombres enters hem de...

Activitat 1 Hem recollit en una taula, el resultat de les bolles que ha guanyat i ha perdut cada un dels participants.

Joan Margalida Pere Lluís ResultatJoan +3 -5 +7Margalida -3 +4 +3Pere +5 -4 +2Lluís -7 +3 -2


38

a) (+2) + (-2) + (+3) =

b) (-2) + (+4) + (-5) + (-7)=

c) (+2) + (-3) + (-7) + (+8) =

d) (-4) + (-5) – (+4) – (-2) =

e) (-2) + (-4) – (-5) + (+7) =

f) (+3) – (+2) – (-3) + (-4) =

Com hem vist sempre convertim les restes en sumes, i això ens produeix un munt de signes + entre els parèntesis. Per no haver d’escriure tant, eliminarem aquests signes i els parèntesis corresponents.

Vegem-ho amb un exemple:(+3) + (-2) + (-3) + (-5) + (+3) = +3 – 2 – 3 – 5 + 3.

Activitat 3 Elimina els signes davant cada parèntesis i operaa) (+2) + (-2) + (+5) =

b) (+2) + (-3) + (+4) + (-5) =

c) (-3) + (-4) + (-2) + (-5) =

d) (+4) – (+7) – (+2) – (-3) =

e) (-6) + (-2) + (-5) – (-2) =


a) +2 – 3 + 4 – 5 = b) –3 + 2 – 5 + 7 =

c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = d) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 =

e) –5 – 4 – 3 – 2 – 1 = f) –5 + 4 – 3 + 2 – 1 =

Activitat 5 En una parada de bus pugen 5 persones, en la següent pugen 7 persones i en baixen 5, a la tercera parada en pugen 5 i en baixen 8, a la última en pugen 3 i no en baixa cap. Quanta gent queda al bus?

Activitat 6 El termòmetre del departament s’ha tornat boig. A primera hora del matí, marcava 3 graus sota zero. A les nou del matí havia pujat la temperatura 5 graus. Cap a les deu havia pujat 8 graus més. A les onze ha baixat 20 graus de sobte, per després recuperar-ne 12 a les dotze. Quina temperatura marca el termòmetre a les dotze?

39

Activitat 7 En una certa zona del mar, la temperatura baixa 1ºC per metre dels 0m als 5m de profunditat; i mig grau per metre dels 6m als 20m de profunditat. Si la temperatura a la superfície és de 12ºC, quina és la temperatura a 18m de profunditat?

Activitat 8 La següent taula mostra l’altura (positiva si és per sobre del nivell el mar i negativa si és per sota el nivell del mar) d’alguns pics i foses marines:

PICS FOSESTeide Everest Almanzor Marianes Mindanao Java

Altura 3.718 8.848 2.592 -11520 -11524 -7450

Calcula en metres la diferència d’altura que hi ha entre:• L’Everest i la fosa de les Marianes.• L’Everest i la fosa de Mindanao.• El Teide i la fosa de Java.

Quina és la major diferència en altura entre aquests punts de la Terra? I la menor?

A l’hora d’efectuar sumes i restes de nombres enters amb parèntesis s’han de seguir les passes següents:

Pas 1: Fem les operacions de dins els parèntesis, sempre començant amb els parèntesis més petits.

Pas 2: Escrivim els nombres de forma abreujada, és a dir, amb només un signe i sense els parèntesis.

Pas 3: Sumam els nombres positius i sumam els nombres negatius.Pas 4: Restam.

Vegem-ho amb un exemple:3 – (5 – 4) – [3 – (2 – 3)]

3 – ( 1 ) – [3 – ( -1 )] Pas 1: Hem operat els dos parèntesis més petits.

3 – 1 – [3 + 1] Pas 2: Escrivim de forma abreujada.

3 – 1 – [4] Pas 2: Hem operat el parèntesi que quedava.

3 – 1 – 4 Pas 3: Escrivim de forma abreujada.

3 – 5 Pas 2: Agrupam els positius i els negatius.

-2 Pas 5: Hem acabat.

Per tant 3 – (5 – 4) – [3 – (2 – 3)] = -2.

Activitat 1 Calcula:a) (2 – 3) – (2 – 6) + (4 – 1) = b) 5 – (2 – 3) + (4 – 8) =

c) (4 – 3) + (3 – 5) + (2 – 1) = d) (3 – 5 + 4) – (2 – 2 + 5) =

e) 3 – (7 – 5 + 1) – (9 – 3 – 1) = f) 10 - ( 8 - 4 – 7) - (-30 + 15 -7)=

40

Activitat 2 Calcula:a) 2 – [4 – 3 + (5 – 4)] =

b) –[2 – 5 + (4 – 2) – (1 – 5)] =

c) 7 – (5 – 2) – [3 – (3 – 7)] =

d) –(3 – 6) + [(3 – 2) – 3] =

e) 8 – [3 – (7 – 1)] + (2 – 5) =

f) f) (-3 + 2) – [4 – 5 + (2 –1) + (3 – 2)]

3. NOMBRES ENTERS-MULTIPLICACIÓ D’ENTERS

A l’hora de multiplicar enters positius ho farem de la mateixa forma que quan vam aprendre a operar d’aquesta manera amb naturals, fraccions o decimals:

(+5) · (+7) = 5 · 7 = (+ 25 ) · (+ 3

2 ) =

(+0’4) · (+12) = (+57 ) · (+130) =

Per tant, quan multiplicam dos nombres enters positius obtindré com a resultat

Dia 30 de gener del 2003 van enregistrar al monestir de Lluc una temperatura mínima de –2º C. Al dia següent vam patir o gaudir, segons es miri, una gran nevada a tota la illa i la mínima al mateix termòmetre ens indicava que va arribar a fer el triple de fred que el dia anterior. Quina operació faràs per calcular la temperatura de dia 31?Quina temperatura mínima van enregistrar els monjos aquell dia?

En conclusió, deduïm que per multiplicar un nombre positiu per un negatiu ( o al inrevés) hem de

Després de saber el que hem de fer per multiplicar dos enters positius i, també, el que farem quan tenen diferent signe, només ens queda tenir en compte que:

Quan multiplicam dos nombres enters negatius obtindrem com a resultat un nombre positiu producte de multiplicar els altres dos.

Segur que ja ets capaç de completar la següent taula que resumeix la regla dels signes en la multiplicació d’enters:

Si multipliquem dos nombres amb el mateix signe resulta un nombre____________

41

Si multipliquem dos nombres amb signe diferent obtindrem un nombre_____________

Reforça el que has après:

(+4) · (+10) = (+25) · (-10) = (-0’4) · (+100) =

(-2) · (-10) = (+5) · (-22 ) =

5 · −8 2 · 4 =

(+4) · (+10) =12 · −8 −9 · 4 =

−2 · −63 · 1 =

4.NOMBRES ENTERS-DIVISIÓ D’ENTERS

Els pares d’en Miquel han decidit repartir 30€ entre els seus tres fills. Quina quantitat els hi correspon a cadascun si el repartiment es fa equitativament?Analitza la resposta escrivint primer l’operació d’enters que has fet i després el resultat que et dona:

(+30) : ( ) = ( )

Per tant, si dividim dos enters positius obtindrem com a resultat

Ara posem per cas que durant un dels mesos d’abans de l’estiu, quan encara estem en temporada baixa, els dos socis d’un negoci després de fer la comptabilitat de les despeses i els ingressos, se’n adonen que han perdut 842€. Quina quantitat deurà d’aportar cada un d’ells si volen tancar el mes sense dèficit?Escriu l’operació d’enters que has de fer i fixat en el resultat obtingut:

( ) : (+2) = ( )

Deduïm, doncs, que si dividim dos nombres enters amb diferent signe obtenim

Per últim, has de saber que:

Quan dividim dos nombres enters negatius obtenim com a resultat un enter positiu resultat de dividir els altres dos.

Aplica el contingut del requadre anterior en els següents quocients:

a) (-32) :(-4) = b) (-28) :(-7) =

c) (+24) : (+8) = d) (+25) : (-10) =

ERCICIS D’ENTERS

42

Activitat 1 Efectua les sumes i restes següents:

a) (+4) + (-8) = b) (+7) - (-8) = c) (+6) - (+12) = d) (-8) - (-8) = e) (-7) + (+9) = f) (+3) + (-7) =g) (-8) – (-1) = h) (+6) – (-16) = i) (+2) + (+15) = j) (-3) – (+6) =


a) (+3) + (-3) + (+3) = b) (-6) + (+6) + (-9) + (-2)=c) (+5) + (-1) + (-4) + (+8) =d) (-2) + (+5) – (-7) – (-3) = e) (-1) + (-7) – (-2) + (+5) = f) (+10) – (+8) – (+5) - (-4) =


a) +7 – 10 - 5 +8 = b) –3 + 4 – 7 + 9 = c) 7 + 2 - 3 + 4 - 5 = d) 1 -7 - 3 – 4 + 5 – 6 = e) –2 – 7 – 1 – 5 – 3 = f) –7 + 9 – 1+ 7 – 8 =

Activitat 4 Calcula:

a) (6 – 9) – (4 – 10) + (6 – 2) =b) 3 – (7 – 2) + (6 – 3) = c) -(7 – 9) + (6 – 9) + (8 – 12) = d) (1 – 6 + 4) – (6 – 6 + 3) = e) 7 – (4 – 3 + 2) – (2 – 6 – 4) =

Activitat 5 Calcula:

a) 5 – [3 – 5 + (2 – 6)] = b) –[3 – 4 + (6 – 5) – (2 – 3)] = c) 1 – (6 – 9) – [4 – (2 – 9)] = d) –(3 – 7) + [(1 – 6) – 9] = e) 3 – [7 – (8 – 9)] + (7 – 10) = f) (-4 + 5) – [8 – 3 + (5 –3) + (6 – 9)]=

Activitat 6. Realitza les operacions següents:

a) (+12) : (-4) = e) (+3) · (+20) =

b) (-100) : (-25) = f) (-55) · (-10) =

c) (-65) : (+100) = g) (-12) · (+100) =

d) (-7) : (+10) = h)−10 · −65· −4

43

Activitat 7. Completa els següents buits de forma que, per passar d’una casella a la següent, tingam que sumar o restar sempre la mateixa quantitat.

4 -2

-2 -6

-25 -5

-11 +9

-3 +3

-11 +1

Activitat 8. Contesta:

Quin nombre sumat a –3 dona 1?Quin nombre sumat a –2 dona –4?Quin nombre sumat a 4 dona –7?Quin nombre sumat a -7 dona 4?

Activitat 9. Cerca el nombre que multiplicat per:

(-2) dona –6(-3) dona 97 dona –21(-7) dona –21(-1) dona 1(-6) dona 30

Activitat 10. Resol completant aquestes operacions:

3+ (-2) · (-4) =

3 · (-5) + 4 · (-3)=

Activitat 11. Indica els valors que tenen aquestes lletres en la recta numèrica:

Activitat 12. Indica les valors de A, B,C i D en els següents casos:

a) Si B= 0 b) Si C= +9 c) A= -3

Activitat 13. Calcula:

44

CA 0D B E

DCBA

a) (+3) – (+3) – (-2) =b) (+6) – (-3) + (-9) =c) +6-3+8+7-8=d) +9-9-9+6+3+2e) –8+6+5+3-9=

Activitat 14. Fes un problema que es resolgui mitjançant les següents operacions:

+9 –6 +3 =

Activitat 15. Calcula:

• +9 –8 +6=• (-6) – (+6) + (-29) – (+1) =• (-15) + [(12-9) +4] =• (-9+6) + (+3-8+2) – (+6-2) =• [5 – (8-9) – (+6 –8)] +3 =• (+3-9) – [6 + (-9+3+2) – (+6-7)] +3 =

Activitat 16. Calcula:a. (+6) · (-3)=b. (-25) : (-5)=c. (-9) · (+6)=d. (+6) · (+3)=e. (-54) : (-6)

45

Potència d’exponent positiu

Una potència és una forma abreviada d’expressar un producte de factors iguals.

a⋅a⋅a⋅a⋅a=a5

El factor repetit s’anomena base i el nombre de vegades que es repeteix s’anomena exponent.

1.- Escriu en forma de potència:a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = d) - 6 · 6 · 6 · 6 · 6 =

b) 4 · 4 · 4 = e) 27⋅2

7⋅2

7⋅2

7⋅2

7⋅2

7⋅2

7=

c) (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = f) 6 =

2.- Desenvolupa les següents potències i calcula el seu valor:a) 54= d) −55=b) −43= e) −72=

c) −3 4= f) 32

3

=

g) 81= h) −15

4

=

Potència d’exponent zero o negatiu

Si a és un nombre racional distint de zero, a0=1

Si n és un nombre enter positiu, a−n= 1an i en conseqüència a

b −n

= ba

n

NOTA: Aquestes definicions s’explicaran més endavant.

Calcula les següents potències:a) 50=b) −4 0=c) −50=d) 3−4=e) −2−5=f) −7 −2=

g) −5−4=

h) 25

−3

=

i) 52

−4

=

j) 13

−3

=

k) −53

−2

=

l) − 110

−4

=

PropietatsPotència d’un productea⋅b n=a n⋅bn

Exemple: Per una banda = 7776 i per l'altre 25⋅35=32⋅243=7776 . El resultat és el mateix!

Base

Exponenta5

Potència d’un quocient

ab

n

= an

bn

Exemple: Per una banda 62

2

=62

22 =364=9 i per l'latre 6

2 2

=32=9 . El resultat és el mateix!

TEMA 6. FraccionsConcepte i representació

1. Escriu la fracció que representa la part pintada:

a) b) c) d) e)

2. Escriu la fracció que representa la part pintada amb una fracció impròpia i amb un nombre mixt:

a) b) c) d)

3. Representa amb un dibuix les següents fraccions i nombres mixts:

a) 25 b)

38 c)

14 d)

74 e)

146 f) 11

2g) 42

3

h) 134

i) 2 35

j) 7

10 d) 103 e)

88 f) 2 1

4g) 13

8

4. Passa les següents fraccions impròpies a nombre mixt:

a) 53 b)

232 c)

145 d)

73 e)

175 f)

298 g)

129

5. D'una pizza en Mateu n'ha agafat 28 parts i en Lluc

38 . Quina fracció de pizza queda?

6. En un forn tenien 10 pastissos de poma. Havien fet 16 trossos iguals de cada pastís i han venut un total de 135 trossos. a) Expressa amb una fracció impròpia i amb un nombre mixt la quantitat de pastís que s'ha venut.b) Expressa amb una fracció impròpia i amb un nombre mixt la quantitat de pastís que ha quedat sense vendre.

7. Un dipòsit conté aigua fins 3

10 parts de la seva capacitat. Expressa amb una fracció la part del dipòsit que

està buida. 8. N'Aina ha duit tres coques amb verdura per una festa. Ha dividit cada coca en 24 trossos ben iguals. En una

de les coques han sobrat 4 trossos, a una altra 8 i l'altra s'ha acabat tota.a) Expressa amb una fracció la quantitat de coca amb verdura que ha quedat.b) Expressa amb una fracció impròpia i amb un nombre mixt la quantitat de coca amb verdura que s'ha consumit.

Fracció d'un nombre

9. Calcula:

a) 12

de 26= b) 23

de 15= c) 34

de 20= d) 310

de 80=

e) 35

de 85= f) 76

de 432= g) 85

de 95= h) 54

de 12=

10. En Tomeu i en Pep es reparteixen 360€. En Tomeu es queda 23 parts d'aquesta quantitat i en Pep la resta.

Quina quantitat es queda cada un?

11. En una capsa hi havia 52 bombons. Ens hem menjat una quarta part dels bombons. Quants en queden?

12. En un aparcament hi ha 424 vehicles. Les tres quartes parts són cotxes i la resta motos. Quants cotxes i quantes motos hi ha?

13. He sortit de casa amb 36 €. He gastat les5

12 per dinar i, del que quedava, 23 al supermercat.

a) Què m'he gastat per dinar? I al supermercat?b) Quants doblers me queden?

Fraccions equivalents

14. Esbrina si són equivalents les següents parelles de fraccions:

a) 23

i 45

b) 26

i 39

c) 65 i

43 d)

73 i

146

15. Completa les fraccions de manera que siguin equivalents:

a) 2 = 820

b) 43

8 = c)

2054 = d)

1476 =

Relació entre percentatges i fraccions

16. Escriu com a fracció els següents percentatges:a) 20% b) 15% c) 32% d) 8% e) 70%f) 27% g) 10% h) 25% i) 85% j) 36%

17. Completa:

a) 1 = 50100

b) 20100

= 1 c) 320

=100

d) 100

= 35

18. Escriu el percentatge que representen les fraccions:

a) 15 b)

34 c)

310 d)

45

e) 14 f)

710 g)

125 h)

320

19. Calcula:a) 40% de 250 b) 15% de 300 c) 10% de 150 d) 25% de 160e) 45% de 360 f) 10% de 80 g) 20% de 335 h) 12% de 725

Simplificació de fraccions

20. Simplifica les fraccions fins a obtenir la fracció irreductible:

a) 2436

b) 2842

c) 10860

d) 48360

e) 6421

f) 24144

21. Escriu la fracció simplificada que representen els següents percentatges:a) 40% b) 25% c) 42% d) 80% e) 15%f) 10% g) 36% h) 75% i) 35% j) 50%

Comparació de fraccions

22. Ordena de menor a major les fraccions:

a) 47 , 4

5 , 411 , 4

6 , 49 b)

59 ,

512 ,

56 ,

58

23. Ordena de menor a major les fraccions: 49 , 5

12 , 16 , 2

5

24. Tres germans que fan feina junts s'han repartit una feina. El gran ha fet 2/3 parts de la feina, el mitjà ¼ , i el petit 1/12. Qui ha fet més feina i qui menys?

25. En Miquel, en Pere i na Carme es volen repartir una quantitat de doblers. Decideixen que en Miquel

es queda una tercera part, en Pere una quarta part i na Carme 5

12 . Qui hi surt guanyant més i qui hi surt

perdent?

Operacions amb fraccions

26. Calcula (simplifica sempre que sigui possible):

a) 231

2 b)233

4− 5

12 c) 3

104 d)

74−5

8

e) 25 1

10 f)34−1

85

6 g) 2−38 h)

79−1

6


a)563

41

2−2

3 b)195

61−2

3 c) 58 7

12−1

9


a) 23

· 12 b)

34

· 29 c)

78

·10 d) 45

· 76

29. Calcula i simplifica si és possible

a)65

: 810 b)

103

: 56 c)

103

:6 d) 3 : 92 e) 1: 5

2 f) 53

: 16 g) 3 : 1

6

Operacions combinades

Atenció: Recorda la jerarquia de les operacions (la mateixa que vam donar pel tema 1) per resoldre aquests exercicis!

30. Opera i simplifica si és possible

a) 32

· 45+ 7

5 b)23+ 1

4· 53 c)

12

· 35+ 5

4· 35 d) 3+ 5 · 1

4 e) 2+ 7 · 32+ 5

3· 1

2

31. Opera i simplifica si és possible.

a) 32

·(4+3· 15) b) ( 2

3− 5

12) : 32 c) 15

8−( 7

4− 2

3 ) d) 27

·(2+3: 14)

32. Opera i simplifica si és possible:

a)43

·( 56−2 · 1

3) b)92

·( 56−1

4)+5· 34 c)

32

·( 56−2

3· 14)+1+2 · 5

8

d) 324

+ 38

·(2+13) e) 2

3·( 7

4−1

6)+5· 38 f) 5

28+ 3

2:(1+ 3

4)+(1−47)

Més problemes

33. Dels alumnes matriculats a 1r d'ESO,25 ha elegit l'optativa d'alemany i

14 ha agafat taller de

matemàtiques.a) Quina fracció representa del total dels alumnes els que han elegit aquestes optatives?b) Si la resta ha elegit Processos de Comunicació, quina fracció representa els que han elegit aquesta

altra optativa? c) Si tenim 80 alumnes matriculats a 1r d'ESO, quants alumnes han triat cada optativa?

34. Quants litres de taronjada tenim amb 20 llaunes de 1/3 de litre de taronjada?

35. En Pau agafa 2/9 parts d'una pizza i en Miquel 2/5 parts del que ha agafat en Pau, quina fracció ha agafat en Miquel?

36. Tenim 50 litres d'aigua. Quants tassons de ¼ de litre podrem emplenar? 37. Tenim 10 llaunes de 1/3 de litre de llimonada cadascuna. Amb aquesta quantitat de llimonada, quantes llaunes de ½ litre podrem emplenar?

38. En Tomeu ha llegit un llibre de 120 pàgines. El primer dia va llegir 14 , el segon dia

23 i el tercer

dia va acabar el llibre.a) Quantes pàgines ha llegit cada dia? b) Quina fracció ha llegit el darrer dia ?

39. Na Maria té un full amb exercicis de matemàtiques per resoldre en un dia. El matí ha resolt 25 dels

exercicis proposats i a la tarda ha fet els 12 exercicis que li quedaven.a) Quants d'exercicis té el full? b) Quants n'ha resolt el matí?

40. A una granja hi ha 1/4 part de conills, 3/5 parts de gallines, i la resta són coloms. En total hi ha 240 animals, quants n’hi ha de cada classe?

41. En Toni ja ha llegit les 58 parts d'un llibre. Si li queden per llegir 120 pàgines, quantes pàgines té el

llibre en total?

42. Na Maria es compra un ordinador de 900€ i el paga en tres mesos de la manera següent:El primer mes, paga ¼ del valor total.

El segon mes, paga 35 parts del que queda.

El tercer mes, paga la resta.a) Quan paga el tercer mes?b) Quina fracció del total li queda per pagar el tercer mes?

TEMA 7. Nombres decimals.

Continguts: Operacions amb decimals. Problemes. Càlcul d’arrels quadrades.

Objectius: Resoldre problemes de la vida quotidiana on intervenen nombres decimals.

Recorda el que ja saps

Fins ara hem vist els nombres naturals,enters i les fraccions. A la vida però hi ha altres tipus de nombres que també són necessaris i en cal la seva introducció:• Nota d’ un examen: 7,6; 6,75...• La temperatura del cos humà: 37,5; 36,5...• El preu d’ un determinat producte: 34,5 Euros,

Aquest conjunt de nombres formats per un conjunt de xifres que inclouen una coma s'anomenen nombres decimals. Un nombre decimal està format per dues parts: a l’ esquerra de la coma hi ha la part entera; mentres que a la dreta hi ha la part decimal.. Així,per exemple:

Nombre decimal Part entera Part decimal34,521 34 52123,42 23 42123,56 123 56

Observem, també, que tota fracció es pot posar com nombre decimal. Només cal dividir el numerador entre el denominador.

25= 0,4 2

3= 0,6666666 3

4= 0,75

Suma i resta de nombres decimalsEls nombres decimals són uitilitzats quotidianament i sovint s’ hi han de fer operacions. Així per exemple:En un supermercat hem comprat pomes i taronges. Les pomes ens han costat 23,45 € i les taronges 34,23 €.a) Quin és el preu de la compra?

b) Si paguem amb 58 Euros. Quin canvi ens hauran hagut de tornar?a) El preu de la compra serà :23, 45 + 34, 23 = 57, 68 €b) El canvi que ens tornaran serà 58 − 57, 68 = 0, 32 €

Així, doncs, de la mateixa manera que per sumar o restar nombres naturals cal sumar o restar les unitats amb les unitats, les desenes amb les desenes, les centenes amb les centenes...en el cas dels nombres decimals caldrà, a més a més que sumem o restem les dècimes amb les dècimes, les centèsimes amb les centèsimes....

Per tal de sumar nombres decimals cal seguir els següents passos:1. Situar els nombres un a sota de l’ altre amb les comes alineades. 18 (coma davall coma) 2. Sumar entre elles les xifres del mateix ordre.3. Posar la coma en el resultat alineada amb la dels nombres sumats.

Per tal de restar nombres decimals cal seguir els següents passos:1. Situar els nombres un a sota de l’ altre amb les comes alineades. (coma davall coma)

2. Afegeix els zeros que calgui a un dels dos nombres perquè tingui el mateix nombre de xifres decimals que l’ altre3. Restar-los com en el cas dels nombres naturals4. Posar la coma en el resultat alineada amb la dels nombres restats.

Multiplicació de nombres decimalsPer multiplicar nombres decimals cal que segueixis els següents passos:1. Multiplicar els nombres sense tenir en compte la coma.2. Posa la coma en el resultat deixant tantes xifres decimals com xifres decimals tenim en els nombres que multipliquem.

Exemples.3, 28・5,3=17,3842, 13・4,51=9,606328, 3・13,5=382,05

Divisió de nombres decimals

A) Per dividir un nombre decimal entre un nombre natural cal que segueixis els següents passos:

1. Fer la divisió.2. Posa la coma en el moment en què treballis amb la part decimal del dividend.

B) Per dividir un nombre decimal entre amb un altre nombre decimal cal que segueixis els següents passos:1. Multiplica el divident i el divisor per 10 elevat al nombre de xifres decimals del divisor.2. Cas anterior.

Arrodoniment de nombres decimalsSi utilitzem la calculadora per calcular √2 dona 1,4142135 la pregunta que ens formulem, aleshores, és cal prendre totes les xifres decimals? En general no i el mètode que s’ utilitza per tal d’ aproximar aquest nombre decimal a una altre demenys xifres decimals és el métode d’ arrodoniment. Aquest métode consisteix en tallar per la xifra decimal que ens diuen, si la següent és major o igual que 5 sumem 1 a la xifra per on hem tallat. En cas contrari tot ho deixem igual.Exemple 1. Calcula 3,1415634567 amb 2 xifres decimals, amb 3 xifres decimals.• Amb dues xifres decimals: 3,141 → 3,14.

• Amb tres xifres decimals: 3,1415 → 3,142.

En aquests cassos és evident que cometem un error. que és la resta o diferència entre el valor exacte i l’ aproximat.

Representació i ordenació

1. Situa a la recta numèrica els decimals que s'indica:

a) 2'4, 0'7, 1'3, 0'5 i 2'1

b) 2'03, 2'24, 2'08, 2'15, 2'13 i 2'29

2. Ordena els decimals:a) 12'8, 12'72, 13, 12'532, 12, 12'09, 12'68, 12'9

b) 45'3, 45'12, 45'202, 45'7, 45'39, 46, 45'65, 45'233

c) 0'751, 0'9, 0'0004, 0'1135, 0'728, 0'1089, 0'82

d) 2’67, 2’8, 2’625, 2’45, 2’68, 26’75

3. Escriu el símbol <, = o > segons convengui:

a) 6'34 ....... 6'157 b) 83'666 ..... 83'8 c) 0'45 ....... 0'45000

d) 20'14 ....... 20'5 e) 5'67 ....... 5'444 f) 7 ....... 7'00

O peracions

4.- Calcula: a) 8’54 + 67 b) 72’725 – 2’44 c) 233 – 38’99

d) 508’273 – 4’87 e) 346’8 – 0’556 f) 13’89 – 5 + 568’9

5.- Calcula: a) 48’26 · 2’3 b) 57’8 · 0’204 c) 42’14 · 35

d) 732'6 · 45’2 e) 7’4 · 1'06 f) 4'372 · 100

g) 2'4 · 1.000 h) 8’23 · 100.000 j) 0'005 · 1.000

6.- Calcula (en cas de que sigui necessari, extreu fins a 3 decimals):

a) 58’96 : 2 b) 372 : 0’6 c) 24’14 : 1'5 d) 568’3 : 0’09

e) 726 : 3’2 f) 7’4 : 0'45 g) 18’24 : 5'7 h) 437'2 : 100

i) 2'4 : 1.000 j) 823 : 100 k) 0’523 : 10 l) 34'5 : 1.000

2'1 2'3

3

2

0

2'2

1 2

Problemes

1. Un estant pot aguantar fins a 15 kg de pes. Hi hem posat una escultura que pesa 5’6 kg i una torre de música de 4’83 kg. Quant pes pot suportar més sense que caigui o es rompi?

2. Uns pantalons valen 30’25 € i una camisa val 12 €. Quant me costaran 5 camises i dos pantalons?

3. Compram al mercat 4,3 kg. de pomes. Cada kg val 2,86€. Si pagam amb un bitllet de 10€ i un de 5€, quant ens tornaran de canvi?

4. En Toni té 48 llaunes de taronjada de 0,33 litres cadascuna. Quants litres de taronjada té en total?

5. Una associació benèfica reparteix 47’82 kg d’arròs entre 6 famílies a parts iguals. Quina quantitat d’arròs li correspondrà a cada família?

6. En Jaume vol tallar una corda de 24,75 m amb trossos de 0,75m cadascun. Quants trossos podrà fer?

7. Al mercat, hem comprat 2.5kg de pomes i 540g de cireres. El preu de les pomes era de 1.20€/kg i el de les cireres: 4.90€/kg. Quin ha estat el preu total de la compra?

8. Gastam 0’75m de paper per embolicar paquets petits i 1’8 m per embolicar paquets grans. Disposam de 25 metres de paper i volem utilitzar la meitat per embolicar paquets petits i l’altra meitat per embolicar paquets grans. Quants paquets de cada tipus podrem embolicar? Ens sobrarà paper? (Si la resposta és afirmativa, indica quina quantitat).

9. Quantes ampolles de llet de 0,75 l es poden omplir amb la llet d’un bidó de 24,75 l ?

FRACCIONS I DECIMALS. NOMBRES DECIMALS.CLASSIFICACIÓPer a convertir una fracció en nombre decimal hem de ................. el numerador entre el denominador. Per exemple:12=

Recodam que els nombres que queden a la dreta de la coma s’anomenen xifres decimals i el que queda a l’esquerra s’anomena part entera.

Aquesta taula l'has de completar tenint aplicant el que ja saps:

Observa el que passa quan dividim el nombre 1234 per 10, 100, 1000, etc.

123410 = 1234

100= 1234

1000= 1234

10. 000=

Fracció ab Equivalent decimal Part entera Com

a (,) Part decimal

34 0'75 0 , 75

91675

Sabries enunciar una regla per a dividir un nombre per 10, 100, 1000, etc., ràpidament i sense emprar la calculadora? ...........................................................................Transforma les següents fraccions en nombres decimals i anota quantes xifres decimals surten en cada cas:

Fracció

ab Nombre decimal Nombre de xifres

decimals

94789

162499

En què es diferencia l’últim quocient dels tres primers?

Transforma les següents fraccions en decimals i indica si són exactes o periòdics:

29= 19

90= 4

10=

2599

= 2320

= 23415

=

Hi ha dos tipus de nombres decimals periòdics. A continuació tens un de cada tipus; fes la divisió i digues en què es diferencien:89= 1

15=

Calcula l’expressió decimal de cada fracció i classifica-la:

Fracció Expressió decimal classificació2527

Els tres primers nombres decimals tenen un nombre exacte de xifres decimals, per això s’anomenen decimals exactes. 2’25, 0’875, 0’5625 són nombres decimals exactes.

En canvi, el quocient 2499 té com a resultat un grup de xifres decimals que es van repetint

periòdicament fins a l’infinit. Per això es diu que és un nombre decimal periòdic.

Com que és impossible, i una mica avorrit, escriure infinites xifres, s’ha inventat una manera senzilla de representar un nombre periòdic. Consisteix en escriure les primeres xifres només fins que comencen a repetir-se, i després dibuixar una línia corba, anomenada període, sobre elles. Per exemple: 24

99=0 ' 24242424 .. .=0 ' 24

Els nombres decimals com 0 ' 8 , en els quals totes les xifres decimals es repeteixen infinitament immediatament després de la coma s’anomenen nombres decimals periòdics purs. Els nombres decimals com 0 ' 06 , en els quals hi ha alguna xifra entre la coma i el període s’anomenen nombres decimals periòdics mixtes.

445

4936

7225

5111

PROBLEMES DE LES PROVES D'ACCÉS A CICLES DE GRAU MITJÀ ON INTERVENEN NOMBRES DECIMALS

1. A la secció d'embotits d'un supermercat ofereixen un pernil dolç de marca pròpia. a) El propietari ha adquirit tres peces de pernil de 7,85 kg, 7,70 kg i 8,25 k. Si la primera ha costat 37,84 €, què li costaran les altres dues peces juntes? b) De cada peça només se n'arriba a vendre el 93 %. Si el kg de pernil es ven a 10,99 €/kg, quin benefici net obté el propietari de la primera peça?

2.- En Ricard compra a la peixateria tres quarts de quilo de calamars a 8,60 €/Kg i un lluç de 650 grams a 5,80 €/Kg.a) Quant li tornaran si paga amb un bitllet de 20 €?b) Si s’ha gastat el 20% dels doblers que duia, amb quants de diners ha sortit de casa?

3.- El Gran Premi de F1 d'Austràlia consisteix a fer 58 voltes al seu circuit, que té una longitud de 5.303 m. Fernando Alonso ha rodat a un ritme de 1 min i 32 s per volta, i cada aturada al box ha suposat una pèrdua de temps de 27 s. D'altra banda, el consum mitjà del seu cotxe és de 69 l/100 km, i el cost actual de la benzina és de 1,562 €/l. a) Calcula quin temps ha estat Fernando Alonso per fer el recorregut total,,sabent que ha fet tres aturades a boxes. Expressa-ho en hores, minuts i segons. b) Calcula el cost de la benzina que ha necessitat el cotxe d’ Alonso en aquesta cursa.

4.- En Marc cobra els dissabtes 12 € per cada hora de feina, i els diumenges, 14,50 €. El mes d’abril ha treballat tres dissabtes i quatre diumenges. Cada dissabte ha fet feina 5 hores i mitja, i cada diumenge, 3 hores i tres quarts.a) Quant ha cobrat a final de mes?b) Si el mes de març només va treballar un dissabte 5 hores i 40 minuts i dos diumenges, 6 hores i quart cada un, quants euros menys va guanyar el mes de març respecte del mes d’abril?

5.- Una ONG ha recollit diners amb els quals ha preparat un carregament d’ajuda humanitària per enviar a un camp de refugiats. Hi ha 580 caixes d’arròs de 25 kg cada una, 675 caixes de llet en pols de 20 kg cada una, 380 caixes amb altres queviures de 35 kg cada una i 480 sacs de farina de 30 kg.a) El transport es farà amb avions que poden dur fins a 20 tones de càrrega. Quants se’n necessitaran?b) S’envien també 180 garrafes de clor de 5 litres per eliminar els microorganismes de l’aigua. Si s’han de posar 0,06 mil·lilitres de clor per cada litre d’aigua, quanta aigua es pot clorar?

6.- En un centre escolar hi ha 45 inodors. La cisterna de cada inodor té una capacitat de 6litres. Cada cisterna es buida al llarg d’un dia una mitjana de 51 vegades.a) Quants de camions cisterna de 8,5 quilolitres de capacitat es poden omplir amb l’aigua que es gasta en els inodors d’aquest centre en una setmana?b) Les cisternes tenen la possibilitat de només fer mitja descàrrega, o sigui, 3 litres. Quanta d’aigua s’estalviaria en una setmana si 2/3 de les descàrregues només fossin mitges?

TEMA 8. Proporcionalitat numèrica.

Continguts: Magnituds directa i inversament proporcionals.

Objectius: Resolució de problemes amb regles de tres simples. Càlcul de percentatges. Càlcul d’augments i disminucions percentuals.

Dues magnituds estan en proporció directa o són directament proporcionals si quan una augmenta (o disminueix), l’altra també augmenta (o disminueix) de manera que, quan una es multiplica per un nombre, l'altre també queda multiplicada pel mateix.

Dues magnituds estan en proporció inversa o són inversament proporcionals si quan una augmenta (o disminueix), l’altra disminueix (o augmenta), de manera que quan una es multiplica per un nombre, l'altre queda dividida per aquest.

7. Indica quins parells de magnituds són directament proporcionals i quins inversament proporcionals:1. El nombre de persones que van en un autobús i el sou de cada persona.2. La quantitat de pinso que gasta un granger a la setmana i el nombre de vaques que té.3. El nombre de pàgines d’un llibre i el seu preu.4. El pes d’un llibre i el nombre de pàgines que té.5. Els litres d’aigua per minut que raja una font i el temps que tarda en omplir una garrafa de 20

litres.6. El nombre de fills d’una família i el nombre de dies que tenen de vacances.7. El temps que tenim col·locada una garrafa en una font i la quantitat d’aigua que recollim. 8. La velocitat d’un tren i el temps que tarda en recorre una certa distància.9. La velocitat d’un cotxe i la distància que recorre en un temps determinat.10. El pes, en quilograms, de fruita que comprem i el preu total.

8. En distribuir un camió ple de postals, 36 carters han tardat 4 dies. Quant tardaran en fer el mateix

treball només 10 carters?.

9. En una recepta de cuina, per a fer un pastís per a 8 persones hem de posar 200 Kg de sucre. Quant sucre haurem de posar per fer el mateix pastís per 10 persones?

10. 3kg de taronges valen 3’90 €. Quants quilograms de taronges em donaran per 10 €?

11. Dues aixetes omplen una piscina en 10 hores. Quant temps caldrà per omplir-la si fem servir 5 aixetes?

12. El lloguer d’un pis el paguen entre tres amics, a 150 € cadascú. Si s’ajuntessin cinc amics, quant pagaria cadascú?

13. Na Júlia i n’Andreu reparteixen propaganda. Els 5 paquets que duu na Júlia pesen 6 kg. Quant pesaran els 8 paquets que duu n’Andreu?.

14. Un corredor dona 3voltes a una pista en 12 minuts. Si segueix al mateix ritme, quan tardarà en donar 5 voltes?.

15. Deu obrers arreglen la façana d’un edifici en 8 dies. Quant temps invertirien en fer el mateix treball, 16 obrers?

16. Un taller de confecció, si treballen 8 hores diàries, tarda 5 dies en fer una comanda. Quant de temps tardarà en servir la comanda si treballen 10 hores diàries?

17. Per a fer 16 galetes necessitam 225g de farina. Quina quantitat de farina necessitarem per a fer 90 galetes?

18. Tres pintors triguen 20 hores a enllestir un pis. Quantes hores trigaran a pintar el mateix pis 5 pintors?

19. Un cotxe recorre cert trajecte en 90 minuts a una velocitat de 60Km/h. A quina velocitat haurà de recórrer el mateix trajecte per tardar 50 minuts?

20. Al menjador de l’escola es consumeixen 96 barres de pa en 4 dies. Calcula les barres de pa que es necessiten per als 21 dies en que hi ha menjador.

21. Si una aixeta que vessa 3’5 litres d’aigua per minut omple un recipient en 20 minuts, en quant de temps l’omplirà una aixeta que vessi 4’5 litres per minut?

PercentatgesQuant ens referim a un tant per cent d'una quantitat volem dir que de cada 100 parts iguals d'aquesta n'agafam el “tant” indicat. S'indica amb el símbol %.Per calcular-ho ho podem considerar com:a) La fracció d'un nombre.b) Una proporció. Regla de tres directa.c) El producte d'un nombre decimal per la quantitat.

Exemple: Calcula el 25% de 480

a) 25

100de 480 = 25 · 480

100= 120

b) 25

100= x

480⇒ x = 25 · 480

100= 120

c) 25

100de 480 = 0,25 · 480 = 120

16.- Calcula:a) 20% de 1240 d) 12% de 175 g) 7% de 420b) 87% de 4000 e) 95% de 60 h) 15% de 4000c) 13% de 2400 f) 7% de 250 i) 90% de 1900

17.- Pensa i completa:a) Quan multiplicam per 0,25 es calcula el ............%b) Quan multiplicam per 0,02 es calcula el ............%c) Quan multiplicam per 0,75 es calcula el ............%d) Quan multiplicam per 1,50 es calcula el ............%e) Quan multiplicam per 2 es calcula el ............%

18.- (llibre)Troba el valor de x sabent que: a) 30% de x és 20 c) 25% de x és 289b) 4,5% de x és 152 d) 30% de x és 725

19.- (llibre) En Carles paga d'impostos un 22% del seu sou. Si aquest any els seus ingressos són de 25500 €, quant haurà de pagarà d'impostos? Quina quantitat neta ha cobrat?

20.- (llibre) En la carta d'un restaurant, els preus no inclouen el 7% de l'IVA. Un client s'ha menjat una ensalada que val 3,16 €, un lluç el preu del qual és 6,25 € i unes postres de 4,78 €. Quant pagarà el client en total?

21.- (llibre) Na Carme es gasta el 26% del sou en menjar i el 35% en el lloguer. Si guanya 1500 € al mes, quant es gasta en cada concepte? Quin percentatge li queda per les altres despeses?

22.- (llibre) Una ciutat de 135 000 habitants ha perdut els últims anys el 8% de la població. Calcula els habitants que té en l'actualitat?

23.- (llibre) El 18% de la collita de lletugues és igual a 10 800 kg. De quants de quilos és la collita?

24.- (llibre) Un vestit val 280 €. Si pugen el preu un 12%, quant valdrà?

25.- Quants dotbers duia en Joan si els 15 € que ha gastat a la fruiteria suposa el 20 %?26.- Dos germans compren un baló que costa 42 €. El més gran paga el 60% del total. Quin percentatge paga el petit?Quina quantitat paga el germà petit?

27.- Fa un any vaig comprar un cotxe que em costà 8 000€. Si el vengués ara em donarien un 35% menys del seu valor inicial. Quin és el preu actual del cotxe?

28.- N’Elena tenia en el seu compte 5 000 € i ha comprat un televisor per 750 €. Quin percentatge dels seus estalvis s’ha gastat?

29.- N’Alexandre vol comprar una bicicleta que costa 360 €. Son pare es compromet a pagar-ne el 50%, i la seva padrina, el 30%. Quant pagarà n’Alexandre?13.- En una sessió de cine, s’ha venut un 65% de les 840 localitats disponibles. Quants seients buits hi ha? (294 seients)

30.- En un examen de Matemàtiques han aprovat 22 alumnes, la qual cosa suposa el 88% del total de la classe. Quants d’alumnes hi ha a la classe? (25 alumnes)

31.- En un estudi sociològic, de 1232 homes enquestats, 924 declaren que col·laboren activament en les feines de la casa. Quin és el percentatge d’homes que treballa a casa? (75%)

32.- Na Paula ha pagat 76,5 € per un jersei que costava 85 €. Quin tant per cent li han rebaixat? (10%)

33.- En un supermercat cau una caixa que conté 360 ous i se’n trenquen 48. Quin tant per cent dels ous s’han trencat? (12,5%)

34.- N’Ignasi ha pagat 63 € per una camisa que estava rebaixada un 10%. Quant costava la camisa abans de la rebaixa? (70€)

35.- S'està construint una autopista i s'ha d'excavar un túnel dins la muntanya. Està planificat que 2 màquines excavadores facin l'obra en 90 dies. Si volem que l'obra estigui acabada en 20 dies, quantes màquines fan falta?

36.- Una màquina fabrica 400 perns en 5 hores. Quants en fabricarà en 24 hores?

37.- Un tren amb una velocitat de 130 km/h tarda 30 minuts per anar de Narbona a Carcassonne. Si volem que el tren faci el trajecte en 20 minuts, a quina velocitat haurà d'anar?

38.- Es prepara una Gimcana pels 120 alumnes de 2n d'ESO d'un institut. El 45% dels alumnes ja s'han apuntat, un 30% encara s'ho està pensant i la resta dels alumnes no hi podran participar perquè seran de viatge. Contesta:a) Quants alumnes s'han apuntat ja a la Gimcana?b) Quants alumnes s'ho estan pensant?c) Quants alumnes no podran participar?d) Quin percentatge d'alumnes no hi poden participar?

39.- L'any passat em varen posar una multa per excés de velocitat. Era de 120 € però com que no la pagàrem dins el termini que tocava ens varen afegir un 15 % de recàrrec. Quants diners vaig haver de pagar?

40.- Dels 1585 € que va guanyar n'Aina, en va pagar el 17% a hisenda. Quants diners li varen quedar a n'Aina ?

41.- En Pere va comprar un Ipad que estava rebaixat un 30 %. Si va pagar 950 €, quant valia l'Ipad sense la rebaixa.

TEMA 9. El llenguatge algebraic.

Continguts: El llenguatge algèbric. Expressions algebraiques. Operacions amb monomis i polinomis. Productes notables. Treure factor comú.

Pots trobar informació a: http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/1ESOMATEMATICAS.htmhttp://www.amolasmates.es/segundo%20eso/mat2eso4.html

Llenguatge algebraic.Amb el llenguatge algebraic traduim la informació a un llenguatge matemàtic on emplearem lletres, números i operacions. Les lletres representen nombres dels quals no en coneixem el valor.

1. Escriu amb llenguatge algebraic:a) L’edat de’n Pau és el doble de l’edat de’n Pere: Edat de’n Pere: x Edat de’n Pau: _____

b) Un bolígraf val 2 euros més que un llàpis: Preu d’un llàpis: x Preu d’un bolígraf: ______

c) Na Maria ha marcat 3 gols menys que na Catalina: Gols marcats per na Catalina: x Gols marcats per na Maria: ________

d) En Miquel té 3 euros més que en Jaume i en Carles en té els mateixos que en Miquel i enJaume junts. Miquel: _______ Jaume: x Carles: _______

e) En Toni té el triple de llibres que n’Aina: Llibres de’n Toni: _____Llibres de n’Aina: ___________Llibres que tenen entre els dos: __________Diferència entre el nombre de llibres de’n Toni amb el nombre

de llibres de n’Aina:___________

f) El costat d'un quadrat mesura x cm. L'àrea d'aquest quadrat és ________

d) El llarg d'un camp de futbol és 8 m més que l'ample. Ample___________ Àrea___________

Expressions algebraiques.

Una expressió algebraica és una expressió on només intervenen lletres i números que estan units pels símbols de les operacions matemàtiques. En els exercicis anteriors hem fet servir expressions algebraiques.

2.- Escriu una situació real que pugui correspondre a les expressions algebraiques següents:a) 4x b) x+y c) c/2 d) e+10

El valor numèric d'una expressió algebraica per uns determinats valors és el resultat que obtenim quant substituim les lletres pels valors corresponents i realitzades les operacions que s'indiquen a l'expressió.

3.- Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents pels valors de les variables indicats (les variables són les lletres)a) 3x+5 a.1) per x=1; a.2) per x=-2; a.3)per x=4

b) c2 b.1) per c=3; b.2)per c=-4; b.3) per c=-10

c) a·b c.1) per a=57 i b=2 c.2) per a=-7 i b=-8 c.3) per a=9 i b= -30

http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/1ESOMATEMATICAS.htm

4.- Calcula el valor numèric de l'expressió algebraica 3x−y

zper x=4 y=-3 z=-5

Monomis i operacions

Un monomi és l'expressió algebraica més simple. Està formada només per productes de lletres (que poden dur un exponent natural) i un nombre. El nombre és el coeficient. La part formada per totes les lletres es diu part literal. El grau és la SUMA de tots els exponents de les lletres que hi ha a la part literal. IMPORTANT: SI UNA LLETRA NO TÉ EXPONENT, PENSA QUE HI ÉS I QUE ÉS1.

5.- Completa la taula següent:

Monomi Coeficient Part literal grau-5x2yz -5 x2yz 410x3x2

3ab-7x2y25a4

6.- Escriu tots els monomis que han aparegut fins aquí. Indica el coeficient, la part literal i el grau.

Operacions amb monomis

Suma i resta. Per sumar o restar monomis han de ser SEMBLANTS, és a dir tenir la mateixa part literal. El resultat és un altre monomi amb coeficient la suma (o la resta) dels coeficicents i amb la la mateixa part literal.Multiplicació i divisió. Per multiplicar o dividir monomis NO cal que siguin semblants. Per multiplicar, multiplicarem els coeficients i la part literal. Per dividir, dividirem els coeficients i la part literal.

Recorda:per multiplicar potències de la mateixa base, s'escriu la mateixa base i se SUMEN els exponents.per dividir potències de la mateixa base, s'escriu la mateixa base i se RESTEN els exponents.

7.- Completa: “només es poden sumar o restar els monomis.................................,que són els que tenen la .........................................part literal”.

Segons això escriu el resultat quan sigui possible. Si no ho és, deixeu indicat.

a) 5xy+10xy=............................ c) 4ab2 +3 a2b2=.......................

b) 4a2 b2 - 3 a2b2=....................... d) 5xy – 10x =...........................

8.- Escriu el resultat de les operacions entre monomis:

a) 2x3 · 6x4 b) −3x · 5x2 c) 8x5 :2x3 d) 14x7 :−2x

e) 12

x7 · 65

x2 f) −13

x5 : 37

x2 g) x · 19

x5 h) −8x : −106

x

Polinomis i operacions

Un polinomi és la suma de dos o més monomis. Si n'hi ha de semblants (amb la mateixa part literal) podem REDUIR el polinomi sumant-los.El grau del polinomi és el major dels graus dels monomis que el formen.És adequat treballar amb els polinomis reduits i ordenants segons el grau dels seus monomis.

IMPORTANT: SI UNA LLETRA NO TÉ EXPONENT, PENSA QUE HI ÉS I QUE ÉS1.

9.- Completa la taula següent:

Polinomi Polinomi reduit i ordenat grau

6x4- 8x3+3x-1 4x4- 8x8x3+3x-16x5

6y4-8y3+3y-1y10 -125a4 -25a4-8a3+3a-1

10.- Fixa't amb el següent tipus d'exercici:

“Donat el polinomi P(x)=6x4-8x3+3x-1, troba P(2)

Solució: P(2)=6·(2)4-8·(2)3+3·(2) -1=6·16-8·8+3·2-1=96-64+6-1=37”

Dedueix i explica amb les teves paraules què hem fet.

11.- De forma anàloga troba els valors numèrics de cada polinomi pels nombres indicats. Utilitza la notació de l'exemple. a) Q(x)= x4-8x per a.1) x= 1 a.2) x= -1

b) R(x)= 8x3+3x-16x5 per b.1) x= 2 b.2) x= -2 b.3) x=3

c) S(y)= 6y4-8y3+3y per c.1) y= 1 c.2) y= 2 c.3) y=-2

d) P(y) =y10 -1 per d.1) y= -1 d.2) x= 1

e) Q(a)=25a4 -25a4-8a3+3a-1 per a=-1

Operacions amb polinomis

SUMA

La suma de dos o més polinomis és un altre polinomi que obtenim sumant tots els monomis semblants dels polinomis sumands.

12.- Donats els polinomis:Px =−7x46x 26x5 , Q x=3x5−2x22 , R x =−x5x33x2

Calcula:

a) P(x)+Q(x) b) Q(x)+R(x) c) P(x)+R(x) d) Q(x)+R(x)+P(x) e) R(x)+P(x)

RESTA

Per restar dos polinomis sumam al primer l'oposat del segon.

13.- Cerca i escriu que són polinomis oposats....

14.- Donats els polinomis:

Px =−7x46x 26x5 , Q x=3x5−2x22 , R x =−x5x33x2

Calcula:

a) P(x)-Q(x) b) Q(x)-R(x) c) P(x)-R(x) d) Q(x)+(R(x)-P(x)

MULTIPLICACIÓ

Per multiplicar dos polinomis multiplicam tots els monomis del primer factor per tots els monomis del segon factor i reduim els monomis semblants. El grau del polinomi que en resulta és la suma dels graus del polinomis que multiplicam. SI UNA LLETRA NO TÉ EXPONENT, PENSA QUE HI ÉS I QUE ÉS1 I QUE QUAN EL COEFICIENT ÉS 1 TAMPOC SE SOL ESCRIURE.

15.- Donats els polinomis:

Px =6x2−7x5 , Q x=2x23 , R x =x3−3x2

Calcula:

a) P(x)·Q(x) b) Q(x)·R(x) c) P(x)·R(x)

d) Q(x) (P(x)+R(x)) e) R(x)·Q(x)-P(x)

PRODUCTES NOTABLES

16.- Tenint en compte que el quadrat de qualsevol expressió és multiplicar dues vegades la mateixa,

calcula: a) (5 + b)2 =

b) (a + 4)2 =

c) (3a + 7)2 =

Completa: (IMPORTANT!!!!).

Primera igualtat notable

El quadrat d'una suma és igual...

17.- Tenint en compte que el quadrat de qualsevol expressió és multiplicar dues vegades la mateixa,

calcula: a) (5 - b)2 =

b) (a - 4)2 =

c) (3a - 7)2 =

Completa: (IMPORTANT!!!!)

Segona igualtat notableEl quadrat d'una resta és igual...

18.- Calcula:

a) (1 + x) · (1 – x) =

b) (x – 200) · (x + 200) =

c) (3x + 12) · (3x – 12) =

Completa: (IMPORTANT!!!!)

Tercera igualtat notableUna suma per una diferència és igual...

TEMA 10. Equacions de primer i segon grau

Continguts: Equació de 1r grau. Solució d’una equació de 1r grau. Equació de 2n grau. Formes general i reduïdes.

Objectius: Ser capaços de resoldre equacions de 1r grau senzilles, amb parèntesis i amb denominadors. Diferenciar les equacions de 2n grau completes i les incompletes. Resoldre aquestes equacions mitjançant el procediment més adequat. Resoldre problemes plantejant una equació de 1r grau.

Definició: Una equació és una igualtat algebraica que només és certa per alguns valors de les lletres. Les lletres s'anomenen incògnites. El nombre o nombres que fan certa la igualtat són les solucions de l'equació. El símbol = separa l'equació en dos membres.

Resolució d'equacions de 1 r grau senzilles

RESOLDRE una equació vol dir aplicar tota una sèrie de tranformacions. Amb aquestes transformacions obtenim equacions equivalents que vol dir que tenen la mateixa solució. En el darrer pas trobarem aquell nombre tal que si substituim la incògnita per aquest nombre la igualtat és certa. És la SOLUCIÓ de l'equació. Quan feim aquesta darrera acció deim que comprovam la solució. Una equació és de 1r grau si el major grau dels monomis que apareixen és 1.

1.- Resol les equacions:

a) 60 – 5x = x – 12 b) 7 – 3x = 14 + x

c) 3x + 5x + 1 = x + 15 d) 3 + 3x = - 10x – 10

e) 3x + 2x – 10 = 25 f) 4x – 4 = 5x – 23

Regla 2Regla 1

Fixa't en les passes que feim per resoldre una equació de 1r grau

1. Allò que està sumant en un membre passa restant a l’altre, i viceversa.

x8=15 x=15−8 x=7

2. Allò que està multiplicant a tot un membre passa dividint a l’altre, i viceversa.

3x=24 x=243 x=8

Ara les aplicaràs a la vegada per a resoldre equacions més complexes:

10 x−5=25 10 x=255 10 x=30 x=3010 x=3

Sovint la incògnita (x) apareix als dos membres de l’equació. Per exemple:

5x – 1 = 2x + 8

Aleshores hem de passar totes les x a un costat i tots els nombres que no duen x a l’altre:

5x – 2x = 8 + 1 El 2x era positiu a la dreta i passa restant a l’esquerra.L’1 estava restant a l’esquerra i passa sumant a la dreta.

3x = 9

x=93=3

Solució: x=3

2.- Resol aquestes equacions:

a) x + 9 = 1 + 2x b) 5x = 4x + 3 c) 60 – 5x = x – 12

d) 7 – 3x = 14 + x e) 3x – 2 + 5x + 3 = x + 15 f) 3 – x + 4x = - 10x – 10

g) 3x + 2x – 10 = 25 h) 8 + 4x – 12 = 5x – 23 i) 32 – 10 = 2 + 2x

j) 5x + 3 = 2 + 4x k) 5 + 9x + 1 = 5x + 6 + 4x l) 2x – 6 = 15x + 20


A les equacions, ens podrem trobar algun parèntesi que conté una x. Com que no podrem fer l'operació del parèntesi perquè desconeixem el valor de x, haurem de resoldre la situació depenent del que tinguem al davant del parèntesi. Veim alguns exemples:

• Si tenim un “+” davant el parèntesi podem suprimir el parèntesi deixant el que tenim dintre ben igual:2 + (3x – 4 ) = x + 8 (llevam el parèntesi): 2 + 3x – 4 = x + 8 i acabam l'equació com feiem abans.

• Si tenim un “-” davant el parèntesi podem suprimir-lo però canviant tots els signes del que tenim dintre d'aquest parèntesi: 2 – (3x – 4 ) = x + 8 (llevam el parèntesi canviant signes): 2 – 3x + 4 = x + 8 i acabam l'equació com feiem abans.

• Si tenim un nombre davant el parèntesi hem de multiplicar aquest nombre pel que tenim dintre d'aquest: 2(3x – 4 ) = x + 8 (multiplicam el nombre per l'interior del parèntesi): 6x – 8 = x + 8 i acabam l'equació com feiem abans.

a) 3(x-2) = x + 10 b) 3x + 7 = 2(x + 6)


a) 4x – 3 = 2(3 + 2x) – 9 b) 4x – (x+4) = 3 – 2(3-2x)

c) 4(x+3) = 19 d) 3(x+2) + 5(x-3) = 7(x-8)

e) 2(x-1) = 3x + 4x f) 3(x-6) = 4(x+3)

g) 4(x-5) + 2x = 3x + 8 h)12 – 5(2-x) = 12 + 6x

EQUACIONS AMB DENOMINADORS

Quan en una equació s’inclouen fraccions, la transformam en una altra d’equivalent sense denominadors com a pas previ a la resolució.

Per fer això en primer lloc hem d’aconseguir que tots dels termes de l’equació tinguin el mateix denominador.

Recorda que quan teníem que sumar un parell de fraccions, també havien de tenir el mateix denominador i en aquell cas que fèiem ?

Ara hem de fer el mateix.

Exemple : 5x8−3−4x

6=2x-3

127

8

PRIMER: Hem de trobar el m.c.m. dels denominadors ( en aquest cas 8, 6 i 12)

8 2 4 2 2 2 1

8 = 23

6 2 3 3 1

6 = 2·3

12 2 6 2 3 3 1

12 = 22·3

m.c.m.(8,6,12) = 23·3 = 8·3 = 24

SEGON: hem de substituir cada terme de l’equació per un altre en forma de fracció, on el denominador sigui el m.c.m. que hem trobat ( dividint el mcm pel denominador de la fracció i multiplicant el numerador pel resultat obtingut )

3·5x24

−4 ·3−4x 24

=2·2x-3 24

3 · 724

15x24

−12−16 x24

=4x-624

2124

TERCER: una vegada que tots els termes tenen el mateix denominador el poden eliminar, però hem d’anar molt alerta si davant d’una fracció hi ha un signe menys. Per no equivocar-se sempre podem posar un parèntesi.

15x – (12 – 16x) = 4x – 6 + 21 15x – 12 + 16x = 4x – 6 + 21

QUART: Hem de posar tots els termes amb x a l’esquerra de la igualtat i tots els nombres a la dreta i resoldre les operacions:

15x + 16x = – 6 + 21 + 12

31x = 27. La solució és x = 2731


a) 2x3=6 b)

3x2= x4

c) 3x220=25x d) x−10=5

9 x−6

e) 8 x53 =2x12 f)

1−3x2

=2−2x

g) x5 x

2=14 h)

3x4−12=1− x

3

i) 5x−2

81−2x

4=3x2

8−4−3x

2 j) 3−4x

5−3x−5

10−2−3x

2= 9

10

k) 3 2x1

4−35x

64x1x

3=151

12 x l)

3x−12

− x35

=23 x−2110

− x−1

m) x1

3−1−2x

4=20−x

123x−5

4 n) 4 1−x −3

5−1−x

3=2x2 x−3

4

EQUACIONS DE SEGON GRAUUna equació de segon grau és una expressió algebraica que pot ser reduida a la forma

ax2bxc=0 on a és un nombre diferent de zero.

Per resoldre aquestes equacions hem d'aplicar la següent fórmula que convé memoritzis:

x=−b±b2−4ac2a

1.- Resol les equacions: a) 2x2−4x−6=0

b) x2+6x+5=0

c) 3x2+2x+6=0

d) x2−16=0

e) 3x2−12=0

f) 2x2+6x=0

g) 3x2−x=0

h) 2x2−x−1=0

i) x2−6x+8=0

j) 4x2+26=0

Solucions: a. x = 3 i x = - 1; b. x = - 1 i x = - 5; c. No té solució; d. x = 4 i x = - 4; e. x = 2 i x = - 2; f. x = 0 i x = - 3; g. x = 0 i x = 1/3 ; h. x = 1 i x = -1/2; i. x = 4 i x = 2; j. No té solució.

2.- Algunes de les equacions anteriors són equacions incompletas. Identifica-les i troba'n la solució sense aplicar la fórmula.

TEMA 1 1 . Sistemes de 2 equacions amb dues incògnites

1.- Resol per substitució els sistemes següents:

a) 4x+ y=165x−3y=3} b) x−2y= 8

7x+3y=5}

2.- Resol per reducció els sistemes següents:

a) 4x+3y=254x−2y=10} b) 3x−5y= 7

4x+3y=19}

3.- Resol els sistema 3x− y=172x+3y=4 } pel mètode que vulguis.

Resol els següents problemes plantejant un sistema de dues equacions i dues incògnites. Apunta les dades i especifica què representen les incògnites.

4.- Un hotel té habitacions dobles (2 llits) i senzilles (1 llit). En total té 47 habitacions i 79 llits. Quantes habitacions té cada tipus?

5.- A una llibreria en Joan ha comprat 3 bolígrafs i 1 quadern per 3’90 € i na Maria 4 bolígrafs i 2 quaderns per 6’80 €. Què val cada bolígraf i cada quadern?

Documents

ca se s n o v IES PAU CASESNOVES e se s p a u ca se s n o v e s ... TEMA 1. Teorema de Pitàgores i proporcionalitat geomètrica Continguts: Teorema de Pitàgores. Plànols, mapes