Cables de acero ANSYS

7/25/2019 Cables de acero ANSYS

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Vol. VIII, No 1, Mayo (3004)Matematicas: 1??

Matematicas:

Ensenanza Universitaria

cEscuela Regional de MatematicasUniversidad del Valle - Colombia

Validacion de la formulacion numerica del analis estructural de

un cable suspendido utilizando ANSYS

Wilson Rodrguez Calderon, Myriam Roco Pallares Munoz

Recibido 29.09.2004 Aceptado 30.09.2004

AbstractThe weight of a cable, subjects it to a load evenly distributed in all its longitude. The form assumed by thecable is called catenarie, and the tension varies in all its longitude. With the present work, the structuralanswer of a cable subject to its own weight and suspended between two fixed supports located at different level,is characterized. With the developed formulation, the problem consists of the resolution of a non lineal systemof two equations with two variables in terms of the vertical and horizontal reactions in one of the supports. It ispossible to formulate Newton-Raphson method easily, for this specific problem, since the lineal system obtained

in the formulation of the method is 2 2, that which allows approaching the solution in an explicit way. Withthe purpose of demonstrating the validity and importance of the numerical formulation, a comparison with theanalytic formulation of cables with supports located at same level, is made, for this, it is appealed some ofthe results found in the numerical exercise, like they are, the tension in the lowest point (H) and the horizontalcoordinate (x(s)) in this point, since these, are beginning parameters of the analytic formulation. Also, an identicalmodel is made with an educational version of the commercial program of finite elements, ANSYS. Finally, somegraphs that present the geometry of the cable and the values of tension in each one of the equally spaced pointsare schematized for the three formulations.

Keywords: catenarie, tension, Newton-Raphson

AMSC(2000): 00A72, 74G15

ResumenEl peso de un cable, lo somete a una carga uniformemente distribuida en toda su longitud. La forma asumida porel cable se denomina catenaria, y la tension vara en toda su longitud. Con el presente trabajo se caracteriza

la respuesta estructural de un cable sometido al efecto de su peso propio y suspendido entre dos apoyos fijossituados a distinto nivel. Con la formulacion desarrollada, el problema se reduce a la resoluci on de un sistemano lineal de dos ecuaciones con dos incognitas en terminos de las reacciones vertical y horizontal en uno de losapoyos. Es posible formular facilmente el metodo de Newton-Raphson para este problema especfico, dado queel sistema lineal obtenido en el planteamiento es 2 2, lo cual permite abordar la solucion de manera explcita.Con el fin de demostrar la validez y la importancia de la formulaci on numerica, se efectua una comparacion conla formulacion analtica de cables con soportes localizados a igual nivel, para lo cual, se recurre a algunos de losresultados encontrados en el ejercicio numerico, como son, la tension en el punto mas bajo del cable (H) y lacoordenada horizontal (x(s)) en este punto, ya que estos, son parametros de partida de la formulacion analtica.Tambien, se realiza un modelo de identicas caractersticas con una version educativa del programa comercial deelementos finitos ANSYS. Finalmente, se esquematizan unas graficas donde se presentan la geometra del cable ylos valores de tension en cada uno de los puntos equiespaciados, para las tres formulaciones.

Palabras y frases claves: catenaria, tension, Newton-Raphson

1. Descripcion del problema fsico

Desde el punto de vista del analisis estructural, los cables son elementos con unadimension sensiblemente mayor que las otras dos (su longitud), incapaces de resistir es-fuerzos de flexion y/o de compresion, pero que, en cambio, presentan una gran resistenciaa la traccion. Bajo una determinada ley de cargas, inclinadas respecto al eje longitudi-nal del cable, este se deforma de modo que los esfuerzos de traccion generados resistanla carga aplicada. Segun Merritt (1992), la eficiencia estructural del cable se debe a launiformidad de estos esfuerzos de traccion (denominados habitualmenteesfuerzos de ten-sion)en la seccion transversal del cable y a que su variacion a lo largo del eje longitudinal

de este es pequena. Dado que la magnitud de estos esfuerzos depende en gran medida dela deformacion experimentada por el cable y puesto que estas deformaciones no suelen


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2 Wilson Rodrguez Calderon, Myriam Roco Pallares Munoz

ser despreciables, las ecuaciones que describen el comportamiento estructural del cableacostumbran a ser no lineales. A modo ilustrativo, en este trabajo se plantea la resolucionde un problema clasico de la teora de cables, conocido como problema de la catenariaelastica1 El enfoque utilizado es el propuesto por Irvine (1992).

(a) (b)

Figura 1: Catenaria elastica con soportes situados a distinto nivel, (a) Geometra y definicion del problema;(b) equilibrio estatico de un segmento deformado de cable.

En referencia a la figura 1a, se considera un cable de longitud inicial L0, suspendidoentre dos apoyos fijosA y B situados a distinto nivel. La distancia horizontal entre ambosapoyos es l, mientras que su diferencia de nivel es h. La curva descrita originalmentepor el cable en ausencia de cargas (es decir, cuando el cable no se ha deformado), puedeparametrizarse en coordenadas cartesianas por una coordenada lagrangiana s. Para unpunto Psobre el cable no deformado, esta coordenada s se define como la longitud del

segmento de cable comprendido entre el apoyo A (origen de coordenadas) y el punto Pen cuestion.Bajo los efectos del peso propio, el cable se deforma y el punto Ppasa a ocupar una

nueva posicion. La curva deformada puede parametrizarse en coordenadas cartesianas poruna nueva coordenada. Para el punto P, esta coordenada se define como la longitud deltramo de cable deformado comprendido entre el apoyoA y el punto sobre la geometra de-formada que correspondera al punto Pen la geometra original. Esta definicion introduceuna primera ecuacion, ya que ha de satisfacerse la relacion geometrica

dx

d2

+ dz

d2

= 1 (1)

que equivale a exigir que la coordenada sea parametro arco de la geometra deformada.Por otra parte, con base en la figura 1b, el equilibrio est atico del segmento de cable de-

formado comprendido entre el apoyoA y un punto generico de coordenada, proporcionalas ecuaciones,

T()dx

d =H (2)

T()dz

d =V W s()

Lo (3)

1 La palabra catenaria(en latn, cadena) se debe a que los primeros problemas de la teora de cablesse ocupaban de la forma que deba adoptar una cadena bajo el efecto de su peso propio.


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Validacion de la formulacion numerica del analis estructural de un cable suspendido utilizando ANSYS3

para 0 < < L, donde T() es la tension del cable (descrita segun la coordenada ), Ves la reaccion vertical en el apoyo A, H es la correspondiente reaccion horizontal, queademas coincide con la componente horizontal (constante) de la tensi on T() del cable2,Wes el peso total del cable y, por ultimo, L es la longitud total del cable deformado. Laecuacion (2) corresponde al equilibrio horizontal de fuerzas, mientras que la ecuacion (3)es la asociada al equilibrio vertical e incorpora ademas la condicion de conservacion demasa del cable. En cuanto a la ecuacion de equilibrio de momentos, segun Irvine (1992),puede demostrarse que es redundante, ya que las ecuaciones (2) y (3) garantizan que dichaecuacion se satisface automaticamente.

De acuerdo con la practica habitual en analisis estructural, se admite la hipotesis deelasticidad lineal para el material del cable. La correspondiente ecuacion constitutiva(leyde Hooke) puede expresarse como

T(s) =EAo dds

1 (4)donde E es el modulo de Young del cable y Ao es el area (supuesta constante) de suseccion transversal en la geometra no deformada. Se hace observar que la relacion (4)caracteriza la tension del cable en terminos de la coordenada material s y no segun lacoordenada.

En principio, las ecuaciones de equilibrio (2) y (3), combinadas con la ecuacion con-stitutiva (4) y sujetas a la relacion geometrica (1) y a unas condiciones de contornoapropiadas, pueden integrarse, obteniendo la tension T() en el cable, las reacciones ver-ticalV y horizontalHen el apoyo A, y la parametrizacion en coordenadas cartesianas dela geometra deformada. Las condiciones de contorno en cuestion son

x= 0, z= 0, para s= 0, = 0 (5)

x= l, z=h, para s = Lo, = L (6)

que equivalen a exigir que los dos apoyos Ay B del cable son fijos.En realidad, a efectos practicos, no interesa obtener las variables del problema parame-

trizadas por la coordenada, sino que conviene expresarlas segun la coordenada materials, mucho mas intuitiva. Para ello, se elevan al cuadrado las ecuaciones de equilibrio (2) y(3) y se substituyen en la relacion geometrica (1), obteniendo la siguiente expresion para

la tension del cable:

T(s) =

H2 +

V W s

Lo

21/2(7)

para 0 < s < Lo. Por otra parte, para determinar la parametrizacion en coordenadascartesianas del cable sin deformar (segun la coordenada s), es preciso aplicar la regla de lacadena, que permite relacionar las derivadas respecto a la coordenada con las derivadasrespecto a la coordenada s; es decir,

dx

ds =

dx

d

d

ds (8)

2 El hecho de que la componente horizontal de la tension del cable sea constante es consecuenciadirecta de la ausencia de cargas horizontales.


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dz

ds=

dz

d

d

ds (9)

Teniendo en cuenta que la derivada de respecto a s viene dada como funcion dela tension T(s) del cable por la ley de Hooke (4) y substituyendo T(s) por su expresionsegun (7), las ecuaciones de equilibrio (2) y (3) se pueden reescribir como

dx

ds =

H

EAo+H

H2 +

V W s

Lo

21/2(10)

dz

ds=

1

EAo

V W s

Lo

+

V W s

Lo

H2 +

V W s

Lo

21/2(11)

es decir, dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, del tipo variables sepa-

radas, que pueden integrarse analticamente junto con las dos condiciones de contornocorrespondientes al apoyo A, dadas por (5). El resultado es

x (s) = Hs

EAo+

H Lo

W

sinh1

V

H

sinh1

V

H W s

HLo

(12)

z(s) = W s

EAo

V

W s

2Lo

+

HLo

W

1 +

V

H

21/2

1 +

V

H W s

HLo

21/2

(13)

para 0< s < Lo.La solucion del problema no esta todava completa, ya que tanto en la expresion (7)

para la tension del cable, como en las expresiones (12) y (13) que definen la geometrano deformada, aparecen las reacciones vertical V y horizontal H en el apoyo A, queson incognitas adicionales del analisis. Sin embargo, en el desarrollo de las expresionesanteriores no han intervenido las condiciones de contorno correspondientes al apoyo B,dadas por (6). Si se exige ahora que las expresiones (12) y (13) satisfagan adem as esascondiciones de contorno, se obtiene un sistema no lineal de ecuaciones definido por unaecuacion trascendente y una ecuacion algebraica en terminos de las reacciones H y V.Este sistema es de la forma

l= f(H, V) (14)

h= g(H, V) (15)

con

f(H, V) =HLo

EAo+

HLo

W

sinh1

V

H

sinh1

V W

H

(16)

g(H,V) =WLo

EAo

V

W 1

2

+HLo

W

1 +

V

H

21/2

1 +

VWH

21/2 (17)

Una vez resueltas las ecuaciones no lineales (14) y (15), los valores H y V obtenidos

pueden substituirse en las expresiones (7), (12) y (13), de modo que la respuesta estruc-tural del cable queda completamente caracterizada.


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2. Problema numerico

Se trata entonces de determinar, la tensionT(s) del cable y representarla graficamentejunto con la geometra no deformada del mismo, definida por las coordenadas cartesianas

x(s) yz(s). Los datos relevantes del problema se proporcionan en la tabla 1.

Cuadro 1: Datos del problemaParametro Valor Parametro Valor1 20 m Ao 2 x 104 m2

h 8.5 m E 1.5 x 107 kN/m2

Lo 28 m w 0.85 kN/m

En la resolucion del problema se tuvieron en cuenta lo siguientes aspectos:

1. La matriz jacobianaJ(H, V) del sistema no lineal de ecuaciones definido por (14) y(15), puede calcularse analticamente (Irvine, 1992) as:

J(H, V) =

f

H

f

V

g

H

g

V

(18)

donde:

f

H=

Lo

EAo+

Lo

W

sinh1

V

H

sinh1

V W

H

LoW

V

H

1 +

V

H

21/2

(V W)H

1 +

V W

H

21/2

(19)

f

V

=Lo

W

1 +

V

H

2

1/2

1 +

V W

H

2

1/2

(20)

g

H=Lo

W

1 +

V

H

21/2

1 +

VWH

21/2

LoW

V

H

2 1 +V

H

21/2

VWH

2 1 +VWH

21/2

(21)

g

V = Lo

EAo +Lo

W

V

H

1 +VH

21/2

VWH 1 + VWH 21/2 (22)


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2. Muchas de las operaciones que intervienen en las expresiones (19) a (22) son repet-itivas. Este hecho se tiene en cuenta en la implementaci on, de cara a minimizar elcosto computacional.

3. A efectos de calculo, para evaluar la funcion sinh1(x), para x 0, se utiliza suexpresion logartmica (Abramowitz y Stegun, 1972; Press et al., 1992),

sinh1(x) = ln

x+

1 +x2

(23)

mientras que para x 0, el valor deHpuede estimarse mediante la expresion

H W2

6

l

Lo

l

Lo l (27)

3. Planteamiento de la solucion numerica

El desarrollo de la solucion se presenta en tres fases, inicialmente se hace el plantea-

miento del metodo de Newton Raphson, adaptado al problema de la catenaria del cable,despues se describe la solucion explcita del sistema lineal de ecuaciones encontrado en laformulacion del metodo iterativo, y finalmente se establecen los criterios de convergencianecesarios para determinar el fin de este proceso.

3.1. Planteamiento del metodo de Newton-Raphson, adaptado al problemade la catenaria

El primer paso consiste en definir el vector de incognitas x,

x=

H

V

(28)


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Como se puede observar en (14 y 15) el sistema de ecuaciones no lineal, es de dos incognitas(H = Reaccion Horizontal en A y V = Reaccion Vertical en A), con obviamente, dosecuaciones. Por tanto, no es un sistema robusto, lo que mas adelante da ventajas para lasolucion explcita del sistema de ecuaciones lineal asociado al Metodo de Newton-Raphson.

Seguidamente se toman valores de inicio de acuerdo a la version del problema decatenaria planteada por Irvine en 1992. Esta version propone como valores iniciales lossiguientes:

x0 =

W

2

6

l

Lo

l

Lo l

W

2

=

=

x1

x2

=

=

H

V(29)

la matriz Jacobiana esta definida por:

J

xk

=J

H

V

k =

f

H

f

V

g

H

g

V

(30)

y el vector de funciones no lineales,

f

xk

=

f(H, V) l

g(H, V) h =

0

0 (31)

A partir del sistema de ecuaciones lineales clasico del metodo de Newton Raphson, puedeobtenerse el vector de correcciones xk+1, utilizando la ecuacion,

J

xk

xk+1 = f

xk

(32)

El sistema de ecuaciones lineales de la ecuacion (32) es 2 2, por tanto la solucionexplcita es totalmente viable y as se resuelve mas adelante en el apartado 4.2.

El vector de correcciones xk+1, tiene la forma,

xk+1 =

H

V

k+1

(33)

Tomando (30), (31) y (33), y remplazando en (32), el sistema de ecuaciones linealqueda planteado de la siguiente forma:

f

H

f

V

g

H

g

V

H

V

k+1

= f(H, V) l

g(H, V) h (34)


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Del sistema (34) se obtiene el vector de correcciones xk+1, pudiendose plantear lafuncion vectorial de iteraciones, como sigue:

H

V

k+1

=

H

V

k

+

H

V

k+1

(35)

Por supuesto la ecuacion (35) requiere de criterios de convergencia que permitan fi-nalizar satisfactoriamente el proceso iterativo. Estos criterios se describen en el apartado4.3.

3.2. Solucion explcita del sistema de ecuaciones lineales del algoritmo deNewton-Raphson

Desarrollando la ecuacion (34), se encuentra:

f

HH+

f

VV = f(H, V) +l (36)

g

HH+

g

VV = g(H, V) +h (37)

Despejando H de la ecuacion (36) se obtiene:

H=f(H, V) +l f

VV

fH

(primera formulacion) (38)

Reemplazando (38) en (37), se encuentra:

g

Hf

H

f(H, V) +l f

VV

+

g

VV = g(H, V) +h (39)

Tomando la ecuacion (39), y multiplicandola por df /dH, se tiene que:

gH

f(H, V) + gH

l fV

gH

V + gV

fH

V = fH

g(H, V) + fH

h (40)

Despejando de (40) se halla la siguiente expresion para V:

V =

g

Hf(H, V) g

Hl f

Hg(H, V) +

f

Hh

fV

g

H+

g

V

f

H

(primera formulacion) (41)

Si se realiza el proceso de sustitucion de manera inversa, es decir, despejando Hde la ecuacion (37) y reemplazando su expresion en (36), se obtiene la misma expresion

para V, con un cambio de signos en el numerador y en el denominador que no alteransu resultado, sin embargo, la expresion para H es diferente y presenta un problema


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numerico si tenemos en cuenta que el denominador esdg/dH, y este se anula para el valorV = W/2, escogido como valor de prueba inicial. Este inconveniente puede solucionarsesi se escoge un factor arbitrario por ejemplo 0.4 aplicado a W/2, as:

x0 =

W

2

6

l

Lo

l

Lo l

0,4

W

2

=

=

x1

x2

=

=

H

V(42)

Es importante tener en cuenta que en un problema con apoyos situados al mismo nivel,esta formulacion definitivamente fallara, dado que la solucion paraV es exactamenteW/2.

A continuacion, se presenta el desarrollo para las expresiones de Hy V siguiendoel procedimiento planteado anteriormente:

Despejando Hde la ecuacion (37) se obtiene:

H=g(H, V) +h g

VV

g

H

(segunda formulacion) (43)

Reemplazando (42) en (36), se encuentra:

f

H

gH

g(H, V) +h g

VV

+

f

VV = f(H, V) +l (44)

Tomando la ecuacion (44), y multiplicandola por dg/dH, se tiene que:

fH

g(H, V) +f

Hh f

H

g

VV +

g

H

f

VV = g

Hf(H, V) +l (45)

Despejando de (45) se halla la siguiente expresion para V:

V =

f

H

g(H, V)

f

H

h

g

H

f(H, V) +g

H

l

fH

g

V +

g

H

f

V

(segunda formulacion) (46)

3.3. Criterios de convergencia de la solucion

Se establecen dos criterios de convergencia, aplicando la norma eucldea a los vec-tores obtenidos. Como los vectores son solo de dos terminos, la norma eucldea puedeimplementarse explcitamente.

La norma eucldea se determina como:

x = 2

i=1

x2i

(47)


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La formulacion del primer criterio sobre el error relativo del vector soluci on es:

rK =

xK xK+1

xK+1

tolx (48)

donde, la tolerancia tolx debe escogerse adecuadamente dependiendo de la precisionde la maquina y de las variables.

El segundo criterio de convergencia se aplica a la funci on de ecuaciones no lineales,as: fxK tolf (49)

Donde, la tolerancia tol fdebe escogerse con el mismo criterio mencionado para tol x.

4. Planteamiento de la solucion analtica

Si se supone que sobre el cable actua una carga distribuida que somete cada elemento

dsde su longitud a una fuerzawds, dondewes constante, es posible considerar el diagramade cuerpo libre de la figura 2.

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre. Equilibrio estatico de un segmento de cable deformado por su propiopeso.

El diagrama de cuerpo libre de la figura 2, se obtiene al cortar el cable en su puntomas bajo y en un punto a una distancia s.Hy Tson las tensiones en el punto mas bajoy en s, respectivamente. La carga distribuida ejerce una fuerza wshacia abajo. El origen

del sistema de coordenadas se halla en el punto mas bajo. Siz(x) es la funcion de la curvadescrita por el cable en el plano x z, el objetivo es determinar z(x) yT.

Del diagrama de cuerpo libre de la figura 2, se obtienen las ecuaciones de equilibrio,

Tsen = w y Tcos = H (50)

De la division de estas dos expresiones,

tan = w

Hs= as, (51)

donde, la constante a=w

H, y, la pendiente del cable

dz

dx= tan , por lo que,

dz

dx=as. (52)


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La derivada de la ecuacion (52) con respecto a xes,

d

dx dz

dx =ads

dx, (53)

y por la relacion, ds2 = dx2 + dy2, es posible escribir la derivada de s con respecto a xcomo,

ds

dx=

1 +

dy

dx

2=

1 +2, (54)

donde se define como la pendiente. Con la ecuacion (54) es posible escribir la ecuacion(52) como,

d1 +2

=adx, (55)

La pendiente es = 0 en x= 0. Si se integra la expresion (55), 0

d1 +2

=

x0

adx, (56)

se determina la pendiente en funcion de x,

=dy

dx=

1

2

eax eax = senh ax. (57)

Integrando la ecuacion (57) con respecto a x, se obtiene la curva descrita por el cable

(catenaria),z=

1

2a

eax +eax 2 =1

a(cosh ax 1) . (58)

Con base en la ecuacion (50) y la relacion dx = cos ds, se obtiene la tension en elcable,

T = H

cos =H

ds

dx. (59)

Sustituyendo la ecuacion (54) en la expresion (59) y utilizando la ecuacion (57), seobtiene la tension en el cable en funcion de x,

T =H

1 +

1

4(eax eax)2 =Hcosh ax. (60)

De la ecuacion (51) la longitud del cable (s) es,

s=1

atan =

a, (61)

y sustituyendo la ecuacion (57) en la ecuacion (61), se obtiene una expresion para lalongitud s del cable en el intervalo horizontal desde su punto mas bajo hasta x,

s= 12a

eax eax =senh ax

a . (62)


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5. Formulacion de la solucion con Ansys3

En este apartado se presentan algunas definiciones basicas de la formulacion matricialdel elemento finito con el que se modela el problema.

5.4. Elemento LINK10 (solo tension o compresion)

Es un elemento tridimensional en el que la matriz de rigidez es bilineal lo que resultaen un elemento de solo tension uniaxial (o solo compresion). Con la opcion de solo tension,la rigidez es removida del elemento si el elemento entra a compresion (simulacion de lacondicion de cable suspendido). El elemento es no lineal y requiere una solucion iterativa.

Figura 3: Elemento finito LINK10 Figura tomada del manual de elementos de ANSYS

5.5. Datos de entrada y salida del elemento

La geometra, localizacion de los nodos y sistema de coordenadas se presentan en lafigura 3. El elemento se define por medio de dos nodos (I y J), el area de la secciontransversal (A), una deformacion inicial (in), y las propiedades isotropicas del material(modulo de elasticidad, E, y densidad, ). El eje X se orienta a lo largo del elementodesde el nodo Ihacia elJ. En la tabla 2 se presenta un resumen de los datos de entradadel elemento.

Cuadro 2: Datos de entrada del elementoNombre del elemento LINK10Nodos I, JGrados de libertad UX, UY, UZPropiedades del material Modulo de elasticidad, Densidad

La deformacion inicial en el elemento (in), esta dada por/L, dondees la diferenciaentre la longitud del elemento, 1, y la longitud de deformacion cero, Lo (ver datos en latabla 1). La deformacion inicial es negativa e indica la condicion de suspension en el cable.En la formulacion numerica del elemento se tiene en cuenta una rigidez muy pequena

3 Para la implementacion del modelo de elementos finitos se utilizo la version educativa del programaAnsys.


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(AE 106/L) con el fin de prevenir porciones no restringidas o de libre flotaci oncuando el cable esta suspendido.

Los datos de salida del elemento son:

desplazamientos nodales

fuerza axial, esfuerzos y deformaciones

5.6. Funciones de forma

Las funciones de forma empleadas para la interpolacion de la variable principal (des-plazamiento) son,

u=1

2(uI(1 s) +uJ(1 +s)) (63)

v= 12

(vI(1 s) +vJ(1 +s)) (64)

w=1

2(wI(1 s) +wJ(1 +s)) (65)

donde, u,v,w = componentes de desplazamiento en cualquier punto del elementos = coordenada natural en direccion axial

5.7. Definicion de las matrices de rigidez, masa, rigidez al esfuerzo y vectorde carga

Las matrices y los vectores de carga se generan en el sistema de coordenadas delelemento y se convierten despues al sistema de coordenadas globales.

La matriz de rigidez del elemento es,

[Kl] =AE

L

C1 0 0 C1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

C1 0 0 C1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

donde,

A = area de la seccion transversal del elemento

E = modulo de elasticidadL = longitud del elemento

C1 = coeficiente de rigidez =

1,0 en tension

1,0 106 en compresionLa matriz de masa del elemento condensada se define por,

[Ml] =AL (1 in)

2

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1


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donde, = densidad

in = deformacion inicialLa matriz de rigidez al esfuerzo del elemento es,

[Sl] =F

L

0 0 0 0 0 00 C2 0 0 C2 00 0 C2 0 0 C20 0 0 0 0 00 C2 0 0 C2 00 0 C2 0 0 C2

donde: F =

para la primera iteracion: AE in

para las siguientes iteraciones: la fuerza axial en el elemento

C2 = coeficiente de rigidez al esfuerzo =

1,0 en tension

AE

F106en compresion

La deformacion inicial se usa en el calculo de la matriz de rigidez al esfuerzo para laprimera iteracion. La rigidez al esfuerzo proporciona estabilidad numerica en este tipo deproblemas.

El vector de carga aplicado al elemento es,

{Fl} =AEinC1 0 0 C1 0 0 T

6. Resultados obtenidos de la formulacion numerica

En la figura 4 se observa la geometra del cable y los puntos de menor y mayor tension,los cuales corresponden al nodo mas bajo y mas alto de la geometra, respectivamente. Elapoyo de mayor tension es el superior, dado que este asume en mayor proporcion el peso.


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Cuadro 3: Resultados de la for-mulacion numerica

s[m]

x(s)[m]

z(s)[m]

Tension[kN/m]

0 0 0 17.172

2 0.765 1.86 15.6

4 1.61 3.683 14.058

6 2.552 5.457 12.557

8 3.61 7.163 11.112

10 4.811 8.77 9.751

12 6.184 10.231 8.513

14 7.754 11.475 7.459

16 9.529 12.397 6.676

18 11.469 12.878 6.268

18.8 12.269 12.925 6.229

20 13.467 12.831 6.308

22 15.384 12.266 6.788

24 17.125 11.279 7.625

26 18.66 9.991 8.716

28 20 8.5 9.98

Resultados del punto mas bajo(punto de tension mnima)s* = 18.820 mx* = 12.269 mz* = 12.925 mT* = 6.229 KN

H = 6.299 KNV = 16.003 KN

Figura 4: Solucion numerica con soportes situados a distinto nivel. Resultados de tension y geometra deformada del cable

7. Resultados obtenidos de la formulacion analtica

Es posible realizar una comparacion de los resultados obtenidos del planteamientonumerico, empleando la formulacion del problema de cargas uniformemente distribuidasen cables referenciado en el apartado (4). No obstante, se hace necesario recurrir a algunosde los resultados encontrados en el ejercicio numerico, como son, la tension en el puntomas bajo del cable (H) y la coordenada horizontal (x(s)) en este punto, ya que estos, sonparametros de entrada de la formulacion analtica. Los resultados de geometra y tensionen el cable se ilustran en la figura 5.


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Cuadro 4: Resultados de la for-mulacion numerica a = wH =0,136458501

s[m]

x(s)[m]

z(s)[m]

Tension[kN/m]

Porcion

de

cable

(1)

0 12.269 12.905 17.198

2 11.504 11.043 15.616

4 10.659 9.219 14.065

6 9.717 7.443 12.556

8 8.659 5.739 11.107

10 7.458 4.134 9.743

12 6.085 2.675 8.503

14 4.515 1.435 7.449

16 2.740 0.518 6.669

18 0.800 0.044 6.266

18.8 0.000 0.000 6.229

Porcion

de

cable

(2)

20 1.198 0.098 6.312

22 3.115 0.672 6.800

24 4.856 1.669 7.647

26 6.391 2.968 8.752

28 7.731 4.470 10.029

Origen de coordenadas, para elplanteamiento analtico.

x(s) analtico =x x(s)i(hacia adelante y hacia atras de x)

Nota: las coordenadas x sediferencian analtica y numeri-camente, dado que el origen delsistema de referencia no es el mismo(ver figuras 1 y 2).

Figura 5: Solucion analtica con soportes situados al mismo nivel, (a) Resultados de tension y geometra deformada de laprimera porcion del cable; (b) Resultados de tension y geometra deformada de la segunda porcion del cable.

8. Resultados obtenidos de la formulacion de AnsysEn la figura 6 se presenta el desplazamiento del cable en direcci on X . Los resulta-

dos de la geometra deformada en esta direccion equivalen a la suma algebraica entre lascoordenadas iniciales de los puntos y el desplazamiento respectivo. Estos resultados sepresentan en la tabla 5 y se observa que coinciden de manera importante con los valoresobtenidos de la formulacion numerica de Irvine presentados en la tabla 3. Los desplaza-mientos mnimo y maximo del cable se senalan en la figura 5 con la siglas MN y MX,respectivamente.


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Cuadro 5: Resultados de desplazamien-to horizontal de la formulacion de Ansys

Coordenada x Ux x(s)

0 0 01.42857143 -0.66335 0.76522143

2.85714286 -1.24660 1.61054286

4.28571429 -1.73340 2.55231429

5.71428571 -2.10320 3.61108571

7.14285714 -2.33080 4.81205714

8.57142857 -2.38730 6.18412857

10 -2.24640 7.75360000

11.4285714 -1.90060 9.52797143

12.8571429 -1.39050 11.4666429

13.4285714

-1.16250

12.2660714

14.2857143 -0.82264 13.4630743

15.7142857 -0.33384 15.3804457

17.1428571 -0.02060 17.1222571

18.5714286 0.08658 18.6580086

20 0 20

Punto mas bajo del cablex = 12,266m

PLOT NO. 1

NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =16TIME=1UX (AVG)RSYS=0PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =12.961SMN =-2.391SMX =.08658

MN MX

WX

WY

WZ X

Y

Z

ZV =1DIST=11XF =10YF =-6.454Z-BUFFER

Figura 6: Resultados de desplazamiento en direccion X utilizando elementos finitos

En la figura 7 se presenta el desplazamiento del cable en direccion Y. Los resultados dela geometra deformada en esta direccion (coordenadas verticales) se presentan en la tabla6 y se observa que coinciden significativamente con los valores obtenidos de la formulaci onnumerica de Irvine presentados en la tabla 3. Las pequenas variaciones en los resultadoscorresponden a la diferencia entre los dos algoritmos. El punto mas bajo en el cable sesenala en la figura 7 con la sigla MN.

En la figura 8 se ilustra la tensi on a lo largo del cable. Los resultados se presentanen la tabla 7 y se observa que concuerdan con los valores obtenidos de la formulacionnumerica de Irvine presentados en la tabla 3. El punto de menor tension en el cable sesenala en la figura 8 con la sigla MN.


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Cuadro 6: Resultados de de-splazamiento vertical de laformulacion de Ansys

s [m] z(s) Ansys [m]

0 0.0000

2 1.8561

4 3.6763

6 5.4475

8 7.1504

10 8.7548

12 10.214

14 11.456

16 12.378

18 12.860

18.8 12.907

20 12.816

22 12.254

24 11.271

26 9.9873

28 8.5000

Punto mas bajo del cablez = 12,907m

PLOT NO. 1NODAL SOLUTIONSTEP=1SUB =16TIME=1UY (AVG)RSYS=0PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =12.961SMN =-12.907

MN

MX WX

WY

WZ X

Y

Z


Figura 7: Resultados de desplazamiento en direccion Y utilizando elementos finitos

Cuadro 7: Resultados de Tensionde la formulacion de Ansys

s [m] Tension Ansys [kN/m]

0 17.106

2 15.536

4 13.996

6 12.497

8 11.058

10 9.7022

12 8.4721

14 7.429716 6.6636

18 6.2759

18.8* 6.2449*

20 6.3098

22 6.7660

24 7.5844

26 8.6631

28 9.9174

Punto mas bajo del cablez = 12 ,907m

PLOT NO. 1ELEMENT SOLUTIONSTEP=1SUB =16TIME=1SMIS1DMX =12.961SMN =6.245SMX =17.106

MN

MX WX

WY

WZ X

Y

Z


Figura 8: Resultados de Tension utilizando elementos finitos


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9. Comparacion entre los resultados de las formulaciones numerica y de An-sys

En la tabla 8 se reunen los resultados obtenidos de las formulaciones numerica y de

Ansys, con el fin de realizar una comparacion y establecer la validacion del algoritmonumerico que resuelve el problema de la catenaria elastica para soportes localizados adistinta altura.

Cuadro 8: Comparacion de resultados de las dos formulacionesz(s) Numerico [m] z(s) Ansys [m] Tension Numerico [kN/m] Tension Ansys [kN/m]

0.000 0.0000 17.172 17.1061.860 1.8561 15.6 15.5363.683 3.6763 14.058 13.9965.457 5.4475 12.557 12.4977.163 7.1504 11.112 11.0588.770 8.7548 9.751 9.7022

10.231 10.214 8.513 8.472111.475 11.456 7.459 7.429712.397 12.378 6.676 6.663612.878 12.860 6.268 6.2759

12.925* 12.907* 6.229* 6.2449*12.831 12.816 6.308 6.309812.266 12.254 6.788 6.766011.279 11.271 7.625 7.58449.991 9.9873 8.716 8.66318.500 8.5000 9.98 9.9174

10. Conclusiones

El sistema no lineal del problema de la catenaria es realmente pequeno, ya quecuenta solo con dos incognitas (H y V). Factor determinante para la formulacionexplcita del sistema lineal del Metodo Newton-Raphson y de la norma eucldea delos vectores.

La solucion explcita del sistema lineal de Newton Raphson, se lleva a cabo porsustitucion. Dicha sustitucion puede efectuarse de dos maneras (expresiones 38, 41,43 y 46 del apartado 3.2). No obstante, una de ellas genera una expresi on para H

que se indetermina, si se tiene en cuenta que el termino del denominador (dg/dH) seanula para V =W/2 . Esta particularidad, lleva a que la formulacion falle numeri-camente para problemas de catenaria donde los apoyos se encuentran localizados almismo nivel, dado que la solucion para V es exactamente W/2 . Por este motivo, serecomienda utilizar la primera formulacion explcita obtenida para la solucion delsistema lineal de Newton-Raphson (expresiones 38 y 41), ya que, esta se constituyeen una forma generalizada que funciona para apoyos localizados a igual y a diferentenivel.

La utilizacion de la segunda formulacion (expresiones 43 y 46), requiere de un factormultiplicador paraW/2 (por ejemplo 0.4). Esto permite inicializar V sin indetermi-

nar la expresion para H. Esta formulacion solo funciona para apoyos con distintonivel, no obstante, si se emplea para apoyos de igual nivel, es necesario introducir


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condicionales que bifurquen el algoritmo y solucionen los inconvenientes creados porla indeterminacion. En este caso, la formulacion analtica para apoyos a igual niveles mas apropiada.

De acuerdo con los resultados de la formulacion numerica presentados en la grafica3, se confirma que el punto de menor tensi on en el cable corresponde al nodo masbajo (solo actua la componente horizontal de la tension,H), y que el apoyo dondese presenta la mayor tension es el punto mas alto, ya que este asume en mayorproporcion el peso.

La solucion del problema numerico es iterativa, por lo que se requieren de criteriosde convergencia aplicados a traves del calculo del error relativo de la solucion y laevaluacion de la funcion no lineal vectorial evaluada en el vector solucion en cadaiteracion. Dado que el vector solucion consta tan solo de dos terminos, la norma

eucldea se plantea explcitamente.La formulacion analtica para cables situados al mismo nivel, permite validar laformulacion numerica generalizada del problema de catenaria elastica cuando losapoyos se encuentran localizados a diferente nivel. No obstante, para implementarla solucion analtica, es necesario hacer uso de algunos de los resultados encontradosen el ejercicio numerico, como son, la tension en el punto mas bajo del cable (H) yla coordenada horizontal (x(s)) en este punto.

Los resultados obtenidos del modelo de elementos finitos realizado con el programaAnsys coinciden de manera importante con los obtenidos de la formulaci on de Irvine.

Esto, demuestra una vez mas la importancia de los metodos numericos cuando sonllevados al computador.

Referencias

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