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AutorÁngel Luna

Caja Pitagórica1° de Primaria

Base de datos03-2009-121509452700-01

Dibujo03-2009-121510031900-14

Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.

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INICIANDO CON LOS NATURALES,CONOCIENDO A PITÁGORAS

Ángel Luna

PRIMARIA 1

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Índice

Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducción •Propósitosgenerales •Antecedentes •Justificación •Objetivosgenerales •Estrategiasdidácticas

Actividades con números naturalesActividad1 •OrdenActividad2 •ConteoActividad3 •SumaryrestarActividad4 •ComparaciónActividad5 •ConteoporasociaciónActividad6 •SímbolosActividad7 •LaposicióndelascifrasActividad8 •MediciónActividad9 •ConstruyendoaPitágorasActividad10 •AparecePitágorasActividad11 •ProbandoaPitágorasActividad12 •JugandoconPitágorasActividad13 •OtravezPitágorasActividad14 •¿ElrecíprocodePitágoras?Actividad15 •CortandoyconstruyendoaPitágorasActividad16 •NosiemprecortoparaobtenerPitágoras

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Actividad17 •TeselasActividad18 •Ejercicioslibres

El cuadrado mágicoIntroducciónCuadradomágico,eljuegoclásico •AplicacionesActividad19 •EjerciciosElcuadradoperfectoElcuadradodelcaballo

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Lista de materiales de la

Caja Pitagórica

1 Tablero de 8×8 casillas

1 Tablero de 10×10 casillas

1 Triángulo pitagórico

100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1

1 Tablero de 6×6 casillas

3 Acetatos de 18×18(compás)

3 Acetatos de 18×18 (ruleta)

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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes

10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1

14 Tabletas de 10×10×1

10 Regletas de 2×1×1

25 Fichas azules 25 Fichas blancas

64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes

122 Fichas numéricas

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75 Tarjetas comodines 3 Compáses

36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)

12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º

3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores

1 Abanico pitagórico

1 Dado dodecaedro

* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica

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Las matemáticas son el resultado del intento de hallar soluciones a problemas concretos. Los alumnos de primer grado de primaria construyen su conocimiento matemático a partir de experiencias concretas. El éxito en el aprendizaje de esta disciplina descansa en el diseño de actividades que promuevan la construcción de conceptos con base en dichas experiencias. En estas actividades, las matemáticas deben ser funcionales y flexibles, de forma tal que les permitan resolver los problemas que se les planteen.

El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las mate-máticas le permiten resolver problemas diversos, tanto de naturaleza científica, técnica y artística como de la vida cotidiana.

El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresión que la es-cuela proporciona permite la comunicación y comprensión de la información matemáti-ca presentada a través de medios de distinta índole.

En el primer grado de primaria es donde se da el paso del pensamiento pre-lógico al lógico en las matemáticas. Es la edad en que empiezan a establecerse relaciones con los objetos y símbolos.

Los juegos1 forman parte de la vida cotidiana de todas las personas, en todas las culturas. En el caso de los alumnos, los juegos son un componente fundamental de su vida real. Algunos juegos pueden desarrollarse con pocos conocimientos, pero incor-porando diversas modificaciones y dinámicas; los mismos exigen que se construyan estrategias que implican mayores conocimientos.

El reto es entonces descubrir o construir actividades que sean realmente juegos para los alumnos y que a la vez propicien en ellos el aprendizaje de las matemáticas2.

1 Se ha comprobado que el juego es un recurso eficaz en el proceso de enseñanza-aprendizaje.2 Por ello se han incluido dinámicas cuyo objetivo o propósito principal es que el alumno aprenda de manera ame-

na y, al mismo tiempo, se convierta en promotor de su aprendizaje.

Introducción

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Propósitos generalesEn la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate-máticas y desarrollar:

• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, planteary resolver problemas.• La capacidad de anticipar y verificar resultados.• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.• La imaginación espacial.• La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones.• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.• El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.

AntecedentesUna de las motivaciones de incluir el estudio del Teorema de Pitágoras en primer grado de primaria, es su utilidad en actividades cotidianas, es decir las aplicaciones indirectas de dicho teorema. Para ello, expongamos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a situaciones como la que se plantea a continuación): coloquemos a un niño en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Le pedimos que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos observar que la mayoría de las veces la trayectoria que aproxi-madamente seguirá (salvo casos excepcionales) es la trayectoria que describe la diagonal; de forma inconsciente el menor hace uso, de manera implícita, de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras: “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y más aún en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento, según sea el caso, obtendríamos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarían. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿Conocen estos animales el Teorema de Pi-tágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario, nuestra respuesta es: no. Lo que sucede es que la desición de moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia, adquirida de manera empírica, de cuánto tiempo requerimos para desplazarnos de un lugar a otro3. Por lo tanto, la decisión de tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin embargo, si nosotros utilizamos a una rata en el experimento anterior, obser-varemos que se desplaza por las paredes la mayoría de las veces. ¿Por qué sucede esto?

Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con, al menos, una situación de carácter real que involucra una situación de distancia4 (aplicaciones en geo-metría, física, etc.), la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.

3 Aplicación del concepto distancia-tiempo.4 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.

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JustificaciónAclaremos que los alcances del Teorema de Pitágoras no se limitan a una aplicación como la mencionada en el párrafo anterior, sus alcances y aplicaciones son tales que introducirlo de manera informal5 facilitará al alumno el uso de conceptos matemáticos relacionados con el mismo en cursos posteriores.

La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos de primer grado de primaria, trabajar de manera implícita con dicho teorema. Esto es posible porque éste expone de manera aritmética y geométrica el resultado (no se requiere su representación algebraica).

Parte del propósito del material es estimular las áreas cognoscitivas y lúdicas de los alumnos de este nivel. Esto se realiza utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, lo cual permite al alumno relacionar aspectos aritméticos y geomé-tricos, bajo ciertas dinámicas de procedimientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, medida y forma

Este material permite trabajar el aspecto concreto-abstracto, estimulando áreas de creatividad, destreza, razonamiento deductivo, etc.; además se aborda el aspecto abstracto-concreto, con el objetivo de que los alumnos puedan aplicar, en caso de ser posible, un aspecto teórico a situaciones concretas, estimulando nuevamente el razonamiento deductivo.

Por otro lado, debido a la naturaleza del material didáctico, el maestro puede diseñar e implementar actividades adicionales con el mismo e incorporar tales actividades según le convenga.

Objetivos generalesEn el primer grado de primaria se pretende que el alumno, al interactuar con su realidad, sea capaz de construir algunas nociones básicas de las matemáticas y adquiera el lenguaje propio de éstas. Esto le permitirá desarrollar los procesos cuantitativos y relacionales, y aplicarlos a la solución de ciertos problemas cotidianos.

La construcción de nociones matemáticas es guiada por el maestro, considerando los objetivos siguientes:

1.- Etapa objetiva: Se estimula al alumno para que realice intensamente la manipulación de objetos como fichas, canicas, etc.; a partir de ello, inicia la elaboración de nociones y lenguaje matemático.

2.- Etapa gráfica: Se estimula al alumno para que elabore sus propias representaciones gráficas, fortaleciendo permanentemente su creatividad, para un mejor acercamiento a la representación gráfica formal.

5 Nos referimos a que podemos trabajar con el Teorema de Pitágoras, sin referirnos a él por su nombre.

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3.- Etapa simbólica: Se inicia con el manejo del lenguaje matemático en forma gradual a partir de las representaciones propuestas por el alumno, hasta llegar a los símbolos convencionales propios de esta ciencia.

Estrategias didácticas:El aprendizaje de las matemáticas posibilita a los alumnos la adquisición de instrumentos y métodos propios de esta asignatura, a fin de que los utilicen en la solución de problemas de la vida cotidiana presente y futura, así como el conocimiento del mundo y el aumento de su capacidad de análisis.

Dicho aprendizaje contribuye también a que los alumnos desarrollen los procesos cuantitativos, cualitativos y relacionales del pensamiento.

El maestro debe promover en los alumnos las habilidades siguientes:

• Flexibilidad y reversibilidad del pensamiento• Memoria generalizada• Clasificación completa• Estimación• Imaginación espacial

La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.

Las actividades deben aplicarse a alumnos de primer grado, ya que para su realización se requiere el manipuleo de piezas y el conteo básico.

Para facilitar la com-prensión del uso de la Caja Pitagórica, se re-comienda consultar al final de esta guía, los ejes temáticos plantea-dos en cada una de las actividades.

Observación:

Maestro:

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Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipulación, com-paración, conteo y estimulación de los procesos de razonamiento. El alumno realizará comparación entre objetos, también podrá quitarlos o agregarlos, etc. Además se abor-dan temas relacionados con geometría. Con estos conocimientos básicos obtendremos construcciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importante recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar las actividades.

Orden

Cuando se inicia el estudio de los números naturales, el alumno desarrolla la habilidad de contar y ordenar, utilizando el proceso de repetición de una serie numérica, a la cual se le asocia un símbolo (debemos tener en consideración que puede enumerarse sin requerirlo inicialmente para ello), como por ejemplo: uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), y así suce-sivamente hasta llegar al diez (10). En este caso, el orden de la serie numérica se relaciona con las leyes de tricotomía (comparar el tamaño o medida entre objetos).

1.- Vamos a establecer la relación de ta-maño entre un objeto y otro, para lo cual utilizaremos los conceptos de igual, menor y mayor, sucesor y antecesor, al diferenciar visualmente cuando un objeto es mayor, me-nor o igual que otro (no debemos relacionar esto con enumerar objetos). Proporcione a cada equipo de tres alumnos las tres piezas distintas de los cuadriláteros, e indique que el nombre refiere que esta es una pieza plana con cuatro lados rectos. Solicite que las inter-cambien entre ellos.

Actividades connúmeros naturales

Actividad 1

Ejercicios:

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2.- El siguiente ejemplo muestra a las piezas en orden ascendente (tamaño), además se asocia un número a cada pieza.

Ordenen en forma descendente e indiquen la nueva disposición de los números.

Intercambie el orden, como se muestran a continuación:

Preguntas:

• ¿De qué color es cada pieza?• ¿Cuántos tamaños hay?• ¿De qué color es la de mayor tamaño?• ¿De qué color es la mediana?• ¿De qué color es la menor?• ¿Existe alguna similitud entre las mismas?• ¿Dónde has observado piezas similares?

Preguntas:

• ¿Cuál orden es más práctico?• ¿Cuál consideran más natural?• ¿Existe alguna relación del orden con el tamaño de los objetos comparados? • ¿Esto último facilita la interpretación de ordenar números?

Preguntas:

• ¿Cambia la disposición de los números?• ¿Es ascendente?• ¿Es descendente?

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3.- Considere la disposición: 1, 2, 3. En este caso, decimos que el 1 es el antecesor del 2 y el 3 es el sucesor del 2; luego decimos que la pieza pequeña es el antecesor de la pieza mediana, mientras que la pieza grande es el sucesor de la pieza mediana. Ahora, reemplace el papel del 1, 2 y 3 por los valores 4, 5 y 6, respectivamente; en este caso el 4 es el antece-sor del 5 y el 6 es el sucesor del 5. El maestro propone otros valores para tres cantidades consecutivas, pero debe mencionar que el orden de colocación es ascendente.

Podemos utilizar los tres triángulos isósceles diferentes del tangram para efectuar esta actividad.

Conteo

El conteo oral es un recurso valioso para el trabajo con cantidades y es un antecedente necesario para iniciar el aprendizaje de la representación simbólica de los números. Para contar se necesita, además de conocer la serie verbal de los números, establecer una correspondencia uno a uno entre la serie verbal y los objetos que se van contando.

La actividad plantea ejercicios con numeraciones orales distintas, con el propósito de que los maestros puedan analizar mejor algunas de las dificultades que enfrentan los alumnos en el proceso de aprender a contar, así como las condiciones didácticas que los pueden ayudar en este proceso.

Aunque los alumnos sólo sepan contar hasta el 10, pueden realizar interesantes activi-dades de comparación con cantidades mayores (agrupación utilizando decenas), siempre y cuando se les proporcionen las colecciones.

Si el problema es claro para ellos, por sí mismos crearán recursos para resolverlo, como la correspondencia uno a uno. El conteo oral se puede poner en práctica con los cubos.

• ¿Cuántos elementos hay en cada línea?• ¿En cada columna?

Actividad 2

Preguntas:

3.2

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1.- Realizar con los cubos de 1×1×1 el conteo y la representación:

a) Los números del 11 al 15.b) Los números del 16 al 19.c) Los números del 20 al 39.

2.- Solicite a los alumnos, una vez familiarizados con el conteo del 1 al 10, que tomen los cubos de tamaño 1×1×1 y formen colecciones de 10 unidades (10 piezas), o explique que puede utilizarse el término de decena para indicar que se tienen 10 unidades. Para formar tales agrupaciones, el alumno estimula la psicomotricidad fina, refuerza los aspectos de conteo y estimula las cuestiones espaciales al separar las colecciones. Puede solicitar que coloquen las piezas una seguida de otra en forma horizontal y comparar la figura obtenida con la regleta de tamaño 10×1×1. Al formar ambas una figura igual, una puede reemplazar a la otra, con la ventaja de que esta última puede manipularse más fácil-mente. Debe recalcar que ambas representan lo mismo y una reemplaza a otra y vicever-sa, pero que está última la manejaremos como una decena y a las otras como unidades.

Continuando con este conteo, es decir agregando unidades (cubos de tamaño 1×1×1) a las 10 unidades o la regleta, obtenemos al 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y al llegar al 20, tenemos nuevamente 10 unidades y las reemplazamos de nuevo por una regleta, obtenemos así 2 decenas o 20 unidades.

Continuando el proceso se obtienen 21, 22, 23, y así sucesivamente hasta llegar al 100. Para ello se requieren 10 regletas de tamaño 10×1×1. A partir de éstas construya un cuadrado de 10 uni-dades de lado y sustitúyalo por la tableta de tamaño 10×10×1. Esta última representa una centena que es igual a 10 decenas o 100 unidades. Más aún, una centena se puede representar con 9 decenas y 10 unidades.

El alumno puede concluir que la utilización del ma-terial didáctico facilita la operación con números na-turales (enteros positivos), pero esto no expresa ningu-na relación numérico-espacial (número-forma). Ésta se asocia en función de la naturaleza de un problema, es decir, medidas longitudinales, áreas, etcétera.

Ejercicios:

• ¿Qué dificultad se tiene al utilizar los cubos?• ¿Qué facilitaría este conteo?

Preguntas:

d) Los números del 40 al 69.e) Los números del 70 al 99.

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3.- Utilice el material didáctico para distinguir algunas de sus características. Solicite que agrupen objetos iguales, separen las colecciones y coloquen las mismas utilizando distintas disposiciones, por ejemplo, como muestra la figura:

Preguntas:

• ¿Qué forma tiene el objeto?• ¿De qué color es?• ¿Cuál es el más pequeño?• ¿Cuál es el más grande?• ¿En dónde han visto objetos parecidos a estos?, etcétera.

Se les debe indicar, en caso de ser necesario, que las figuras representan cubos, regletas o tabletas; el color que corresponde a cada pieza; cuál es la más pequeña; cuál es la más grande (comparación entre objetos), y en el salón, qué objetos se parecen a estas piezas, etcétera.

Observación:

Para desarrollar esta actividad, el alumno hace uso de sus habilidades y capacidades visuales de comparación entre objetos, además de nociones numéricas, espaciales, etc. Esto le permite estimular los procesos de razonamiento, lo cual le facilita establecer relaciones con los objetos y entre los objetos, y así establecer criterios de comparación, medida, conteo, etcétera.

Podemos agregar lo siguiente a la actividad: de las tres colecciones, indíqueles que tomen solamente dos y muestren todas las disposiciones que puedan encontrar (en este caso sólo hay 2), repita lo mismo, pero ahora considerando tres colecciones (debe de hallar 6 disposiciones distintas).

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Sumar y restar

Los procedimientos usuales para sumar y restar pueden ser construidos poco a poco por los alumnos, a partir de sus conocimientos sobre conteo en el sistema de numeración decimal. Esta actividad plantea una secuencia de situaciones que llevan a la construcción de estos procedimientos.

1.- Escribe los números y suma:

2.- La resta se puede escribir de dos formas:

Los alumnos pueden concluir que en la actividad 2 se aborda el conteo (agregar objetos). Esto es una suma de uno en uno, pero hacerlo de uno en uno es poco práctico6. La resta es sólo quitar objetos, pero también es poco práctico hacerlo de uno en uno.

Actividad 3

• ¿Qué podemos hacer para facilitar ambas operaciones?

Ejercicios:

6 Debemos considerar cuando se opera con cantidades de dos o más cifras.

3.- Resolver las siguientes sumas:a) 2 + 1 =b) 3 + 5 =c) 4 + 4 =

4.- Resolver las siguientes restas:a) 5 - 2 =b) 6 - 3 =c) 9 - 8 =

Preguntas:

1.3

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Actividad 4

Comparación

Los alumnos realizan inicialmente, de manera espontánea, actividades de comparación, las cuales establecen en relación con la cantidad de objetos (tengo muchos, tengo pocos)y la magnitud (es más grande que, es más chico que). Son este tipo de actividades en las que el alumno utiliza un criterio de orden, mismo que le permite ordenar conjuntos de objetos, por ejemplo, con respecto a la cantidad de elementos que tiene cada colección.

1.- Realizar con el material didáctico los ejercicios siguientes:

a) Observar los componentes que contiene este material y ordenar de pequeño a grande.

b) Ordenar de largo a corto.

c) Ordenar de delgado a grueso.

Ejercicios:

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2.- Realicen adicionalmente los siguientes ejercicios:

• Utilizando los componentes de este material, haga uso de las palabras arriba, abajo, atrás, adelante y entre; colocando por ejemplo: una regleta sobre una tableta y encima

de la regleta una ficha.

• Con las tabletas, regletas y fichas realizar ejercicios de ubicación que utilicen los térmi-nos: izquierda y derecha. Por ejemplo, los objetos que están a la derecha o están a la izquier-da.

• Las palabras muchas, pocas y nada también se ponen en práctica con los componentes de este material realizando varios ejercicios con las fichas, cubos, regletas y tabletas.

Como ejemplo, poner treinta fichas, cinco fichas y no poner nada.

Preguntas:

• ¿Qué cosas hay arriba de la tableta?• ¿Qué cosas están debajo de la ficha?

Preguntas:

• ¿Quién tiene más?• ¿Quién tiene menos?

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Conteo por asociación

El conteo nos permitir abordar temas matemáticos más complejos. El alumno de primer grado desarrolla de manera más formal la habilidad de contar. Lo siguiente le permitirá determinar entre dos colecciones cuál tiene más, menos o si tienen la misma (igual) cantidad de objetos. Esto sin la necesidad de saber contar o enumerar. Para ello sólo basta asociar los elementos de un grupo con los del otro. Sin embargo, el asociar a estos elementos términos de series numéricas (enumerar) facilita conclusiones.

1.- Forme equipos de cuatro niños y pida que se subdividan en parejas. Asignen un nombre para cada subequipo, entregue a cada uno ellos cantidades diferentes de cuadriláteros y pida que los depositen sobre la mesa. Antes o después de repartir las piezas, forme dos disposiciones diferentes de cuadriláteros, por ejemplo, como se muestra a continuación:

• A la primera disposición de figuras asocie el nombre de colección A y a la otra disposi-ción el de colección B. Tome, por ejemplo, un elemento de la colección A y apílelo sobre un elemento de la colección B, de forma tal que uno cubra a otro completamente (puede realizarlo con orden o sin orden). Reproduzca el paso anterior hasta utilizar todos los elementos de la colección A. En este caso, como lo muestra la siguiente imagen, la colección A tiene menos elementos que la colección B, pues los elementos de A se ter-minaron y no cubrimos a todos los elementos de B.

• El segundo caso que se ilustra muestra que ambas colecciones tienen los mis-

Actividad 5

Ejercicios:

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mos elementos, pues los elementos de A nos permiten cubrir a los elementos de B, y no hay piezas sobrantes en ninguna de las colecciones.

• Finalmente, ilustramos el último caso y obtenemos que hay más elementos en A, pues cubrimos a todos los elementos de B y nos sobran elementos de A.

Hemos así analizado los tres casos posibles. Esto facilitará más adelante abordar los conceptos de mayor que, menor que o igual, además de visualizar que sólo es posible que ocurra una y sólo una de las situaciones anteriores.

Podemos modificar la actividad anterior. Por ejemplo, considere piezas de diferentes tamaños, arme dos grupos y pregunte ¿cuál grupo tiene más? ¿El tamaño de las piezas modifica la respuesta? Recuerde al alumno que se está considerando solamente el número de piezas en cada grupo, y no se refiere a la característica de las piezas.

Indique además que proporcionen numéricamente el total de piezas en cada caso. ¿Se modifican las conclusiones obtenidas previamente? Al utilizar el valor numérico, ¿qué criterio se usa para obtener la conclusión? La ordenación en una serie numérica . ¿Qué aplicación tiene en este caso?

Debemos hacer énfasis en que los números utilizados en esta actividad son números naturales.

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Símbolos

La comparación de cantidades por medio de símbolos se considera esencial para el inicio del lenguaje matemático. En esta actividad podemos representar los primeros tres símbolos convencionales que ilustran comparaciones de cardinalidad o número de elementos u objetos que constituyen las colecciones.

Los símbolos =, < y > sirven para comparar cantidades. El símbolo = se lee “igual que”, < se lee “menor que” y > se lee “mayor que”.

1.- Comparar otras cantidades:

5 < 6

8 > 3

2 = 2

2.- Aplique los símbolos utilizados en esta actividad en la actividad anterior.

Actividad 6

Ejercicios:

Pregunta:

• ¿Qué ventaja se tiene al utilizar los símbolos?

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La posición de las cifras

El propósito de esta actividad es que el alumno amplíe sus conocimientos sobre el sistema de numeración decimal.

Construiremos colecciones de objetos que requieren el uso de unidades y decenas. Para ello, utilizaremos las regletas y cubos de 1×1×1 de nuestro material didáctico, ya que nos facilitarán trabajar con el valor posicional en base diez. Veamos el ejemplo que se muestra a continuación:

1.- Representar las decenas y unidades siguientes con lo cubos de 1×1×1:

a) 1 decena y 6 unidades b) 1 decena y 4 unidades c) 1 decena y 1 unidad

2.- Agrupar y desagrupar cada decena de cubos como el ejemplo siguiente:

Actividad 7

Ejercicios:

Preguntas:

• ¿Cuántas decenas de cubos hay?• ¿Cuántos cubos sobran?• ¿Cuántos cubos hay en total?

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Medición

Esta actividad permite reflexionar acerca de lo que significa medir, y deja clara la relación entre el proceso de medición y el sistema de medida utilizado.

Los aspectos relacionados con la medición ocupan un lugar relevante en la educación primaria, ya que constituyen una herramienta para abordar otros temas. La estimación, el uso de unidades de medida arbitrarias y, en general, el uso de procedimientos informales para resolver problemas, ocupan un lugar importante en el desarrollo de diversas actividades.

La comparación es un aspecto importante en la medición.

1.- Se deben observar algunos componentes de este material didáctico para, posteriormente, describir una relación de comparación de medida entre el cubo de 1×1×1, la regleta y la tableta.

a) Con los componentes del material didáctico de la Caja Pitagórica comparen parejas de objetos y describan una relación de comparación en cada pareja. Por ejemplo, conside-rando los tableros del Triángulo Pitagórico, se coloca el tablero de menor área con el de mayor área. También se utilizan las tabletas de 10×10×1 para verificar que, en efecto, uno de los tableros es más pequeño que otro. Los alumnos deben observar que no es necesario obtener un resultado exacto, sino que se pueden aproximar al número de table-tas que cubren a uno y al otro, y así aplicar una desigualdad a los números obtenidos.

b) Se solicita a los alumnos que midan las longitudes de diversos objetos utilizando medidas arbitrarias, por ejemplo, la cuarta de la mano, algún cordón de sus tenis o zapatos, etc.; esto antes de usar las unidades convencionales. También se pueden considerar algunas de sus propiedades o cualidades como el inicio del conocimiento de figuras geométricas básicas (cuadrados, triángulos).

Actividad 8

Ejercicios:

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Preguntas:

• ¿Cuál es la figura con mayor superficie?• ¿Cuál es la figura con menor superficie?• ¿Cuánto miden sus contornos?

2.- Tomen los tres cuadriláteros de diferentes tamaños o los tres triángulos distintos (isósceles) del tangram, coloquen uno sobre otro en forma descendente (es decir de mayor a menor) tal como se muestra en la figura:

c) En las siguientes construcciones con los cubos de 1×1×1, determinar cuántos cuadrados de superficie tiene cada modelo.

Ahora, ordenen las piezas, considerando la longitud o tamaño longitudinal del lado común de las piezas; para esto asocie al mismo el valor numérico del entero más próximo a dicha longitud. Pueden utilizar una regla graduada en centímetros o los cubos de tamaño 1×1×1, los cuales tienen un centímetro en cada lado del cuadrado (o tabletas, según requiera). Ordenen en forma ascendente y luego descendente.

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Actividad 9

Preguntas:

• ¿El orden ascendente, en función del valor numérico, correspondería al orden se-gún el tamaño visual de la pieza?• Si realizamos lo mismo para los demás lados comunes de las piezas ¿la disposición es la misma?• Si no consideramos la relación de los lados comunes, sino que realizamos todas la diversas combinaciones posibles ¿obtenemos algunas otras disposiciones?En caso afirmativo, muestre dichas disposiciones.

Construyendo a Pitágoras

1.- Solicite a los alumnos que tomen cuatro cuadriláteros del mismo tamaño, o proporcio-ne los mismos a equipos de dos integrantes. Se les debe indicar que armen dos cuadrados, uno hueco y el otro no. Tal como se muestra en la figura siguiente:

Ejercicios:

También se puede utilizar un cordón que cubra el contorno o perímetro de cada figura y usar la comparación visual para obtener el resultado solicitado. Claro es que, independientemente del método de comparación utilizado, la conclusión no se modifica. ¿Por qué? Justifique su respuesta.

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Recuerde a los alumnos que la pieza armada recibe el nombre de cuadrado. Pida que cada miembro del equipo arme uno de ellos. Por ejemplo, puede solicitar que

armen los tres tamaños de cuadrados en orden ascendente o descendente.

Haga lo mismo con los cuadrados huecos. Solicite que unos armen un cuadrado con hueco y otros uno sin hueco, y pida que los coloquen según se les indique.

2.- Solicite al alumno que arme otro tipo de figuras y las muestre a sus compañeros.

a) Con cuatro cuadriláteros iguales construya el cuadrado sin hueco correspondiente; a partir de estas piezas, construya otras figuras. ¿Qué características tienen dichas figuras? ¿Las áreas que cubren son las mismas? Justifique su respuesta.

b) Solicite armen el cuadrado con hueco y que respondan lo siguiente: ¿Qué forma tiene el hueco?

c) Considere todos los cuadriláteros. Forme los tres grupos distintos en función de su tamaño. Responda lo siguiente: ¿Qué grupo tiene más? Justifique su respuesta.

Preguntas:

• ¿Qué forma tienen las figuras que armaron?• ¿Qué otras disposiciones proponen?• ¿Qué sucede si se agregan más piezas al grupo de piezas originales? • ¿Con cinco piezas iguales puede construir un cuadrado?• ¿Con seis piezas iguales puede construir un rectángulo?

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Aparece Pitágoras

Utilizaremos los dos tangrams (permita a los alumnos manipular las piezas de uno). Soli-cite que mencionen el nombre de cada una de las piezas.

a) Con el primer tangram construyan un cuadrado.

b) Con el otro, construyan dos cuadrados del mismo tamaño (mencione que para armar uno de los dos cuadrados se utilizan dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?

Ahora solicite a cada equipo que armen los cuadrados mostrados. En caso de dificultad, el maestro debe apoyar al alumno.

Actividad 10

Ejercicio:

Preguntas:

• ¿Cuál cuadrado es más fácil de armar?• ¿Cuál es el más difícil?• ¿Qué te parece la actividad?• ¿Qué figuras planas constituyen al tangram?• ¿Puedes armar un rectángulo utilizando todas las piezas del tangram?

a)

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Probando a Pitágoras

Para efectuar la actividad utilizaremos los treinta y seis cuadriláteros. Solicite a los alumnos que los separen en grupos del mismo tamaño (o color). Independientemente del criterio de selección que se haya solicitado (color o tamaño), cada grupo contiene 12 piezas iguales. El alumno debe concluir, de esta manera, que en ocasiones existen objetos que pueden elegirse con diversos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común).

Actividad 11

Ejercicios:

Solicite que construyan sus propias figuras a partir de las piezas de un tangram, o que utilizando las tarjetas, armen las figuras sugeridas. ¿El área de cualquier figura

armada utilizando el tangram, es la misma? Justifique su respuesta. Construya o dibuje figuras donde el área sea mayor o menor al área que cubren las piezas del tangram.

El problema de comparar la superficie de dos figuras por superposición y recubri-miento permite al alumno de primaria estudiar de manera indirecta el Teorema de Pitágoras. ¿Cuántas veces hemos oído mencionar la siguiente frase? “Pitágoras no se equivocó”. Sin referirnos de manera explícita al resultado como tal, el teorema lleva su nombre porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teorema del triángulo rectángulo que enuncia lo siguiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Como se menciona en un párrafo anterior, el problema de comparación entre super-ficies nos va a permitir hallar algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras, las cuales descansan en esa idea geométrica. Reiteramos que no es necesario mencionar el teorema, pues el alumno a partir de tales actividades podrá obtener sus propias conclusiones, equi-valentes a lo que enuncia el teorema.

Preguntas:

Utilizando los cuadriláteros y las piezas del tangram, ordénelos primero enfunción de la longitud y después del área de menor a mayor.• ¿Cuántas piezas tienen la misma longitud? • ¿Cuántas la misma área?

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1.- Tome ocho piezas iguales y arme los cuadrados de la actividad 9, utilizando cuatro piezas para cada armado.

Comente al alumno que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro, no lo es el área que cubren. Esta última es la misma. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anteriormente expuesto.

2.- Con las 24 piezas (ocho de cada tamaño) pidamos que obtengan tres cuadrados huecos y tres no huecos. Una vez cumplido el objetivo, subdividan en dos grupos los cuadrados obtenidos, uno formado por los cuadrados huecos y el otro no. Pida que los ordenen en forma ascendente o descendente, tal como lo muestra la figura:

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Finalmente, pida al alumno que separe la figura formada por los dos cuadrados y for-me los dos cuadrados sin hueco. Debe ordenarlos por tamaño adjuntando el otro cuadra-do en cuestión. Podremos concluir que al agregar o sumar los dos primeros cuadrados obtenemos el otro y además que esta es la única combinación posible que satisface tal situación.

Una variante de esta actividad es solicitar que los alumnos tomen cuatro piezas del mis-mo tamaño de cada grupo de doce y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco (deben obtener nueve cuadrados en total). Además se les debe indicar que es posible construir otro cuadrado pero hueco. Una vez obtenido esto se debe tomar un cuadrado de cada tamaño y ordenar de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de me-nor tamaño y, a partir de estás, construyan un cuadrado. Con esta actividad se desarrollan habilidades como las que se refieren a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no implica una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstá-culo para el objetivo del alumno (sin embargo, es importante puntualizar que se estimula el razonamiento ya que, a partir de ciertas condiciones, debemos determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo).

Una vez logrado el propósito se solicita a los alumnos que coloquen una de las piezas sobre la otra. Si el maestro lo desea, puede facilitar el procedimiento, ya que él puede efectuar toda esta actividad solicitando que miren con atención el armado y desarmado, para realizarlo ellos posteriormente.

Solicitamos a los alumnos que comenten acerca de la actividad desarrollada (estamos estimulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como resultado la obtención de una conclusión).

Hemos probado aquí el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.

Observación:

Preguntas:

• En ambos grupos existen piezas que son del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no) ¿Equivalentemente, abarcan las mismas áreas? (no la cubren). En caso afirmativo sepárelas del resto del grupo.• Indique que del grupo de figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en una pieza hueca y cubrir el hueco. En caso afirmativo separe y complete la pieza.

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Jugando con Pitágoras

1.- Utilizaremos en esta actividad dos tan-grams. Solicite que con el primer tangram construyan un cuadrado y con el otro cons-truyan dos cuadrados del mismo tamaño, como previamente se obtuvieron en la actividad 10.

Ahora, con uno de los lados de cada cuadrado construyamos un triángulo, el cual tiene la par-ticularidad de tener dos lados del mismo tamaño. Men-cione que un triángulo con tales características se llama isósceles.

2.- Se pueden construir las siguientes variantes del Teore-ma de Pitágoras. Utilicemos las piezas del tangram.

Solicite a los alumnos que tomen los dos cuadrados o los cuatro triángulos isósceles pequeños o un cuadrado y dos triángulos isósceles pequeños. Agregue a cualquiera de las colecciones anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles medianos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse, tal como se muestra en la siguiente figura:

Verifiquen que el área total que cubren los dos cuadrados peque-ños es igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los cuatro triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, solicite que construyan el triángulo isóceles correspondientes a partir de las piezas que satisfacen lo previamente solicitado.

Actividad 12

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3.- Ahora, reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores uti-lizando para ello cuatro triángulos medianos y dos grandes. Nuevamente verifi-

camos Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza, si consideramos piezas del tangram gigante.En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para dupli-

car áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras:

Actividad 13

Preguntas:

• Consideren el cuadrado más pequeño. ¿Cuál es el cuadrado más grande que se puede construir utilizando un solo tangram? Si utiliza ahora el tangram gigante, de-terminen el cuadrado más grande que se puede construir.• Si iniciamos con el cuadrado más pequeño, determinen el número de veces que cabe el mismo en el cuadrado más grande que se indica en el inciso anterior. • ¿Utilizando dos cuadrados es posible construir, a partir de ellos, siempre un cuadrado?

Otra vez Pitágoras

Solicite a los alumnos que utilicen los acetatos con las piezas adecuadas. Construyan las figuras que se muestran a continuación:

Ejercicio:

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Pregunte al resto del grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de medición (comparación) directa, donde puede hacer uso de las regletas o un cordón. Tome ahora el triángulo rectángulo que se utiliza para efectuar este ejercicio, muéstrelo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.

Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cuadrado, situándolos sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos con-cluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido se solicita al alumno que retire los triángulos del cuadrado, y ahora los coloque en el otro cuadrado, siguiendo las mismas indicaciones que para el primero. Finalmente, pedimos que nos expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.

Preguntas:

• ¿Qué figuras son las que no se cubren con los triángulos?• ¿Cuántos cuadrados hay en el primer dibujo?• ¿Cuántos en el segundo?• ¿Por qué son cuadrados? • Puede utilizar otros cuatro triángulos rectángulos para cubrir el área respectiva del otro cuadrado. ¿Las áreas no cubiertas son iguales?

Actividad 14

¿El recíproco de Pitágoras?

La parte interesante de esta actividad es que haremos la prueba del recíproco del Teorema de Pitágoras7. Utilizaremos los cuadriláteros de la actividad 9 y construiremos los cuadra-dos correspondientes. Solicitemos que utilicen un lado de cada cuadrado y que, a partir de ellos, construyan un triángulo. Utilizaremos ahora una escuadra y mencionaremos que ésta forma la figura plana del menor número de lados rectos: un triángulo, pero con la particularidad de que éste puede colocarse de tal forma que un par de sus lados puede estar cada uno en contacto al mismo tiempo, uno con el piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamar de manera particular a este triángulo rectángulo, es decir, posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados que utilizamos en la actividad 12 es un triángulo rectángulo.

7 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.

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Actividad 15

En función de esto, podemos entonces decir que los triángulos utilizados en la segunda parte de la actividad 12 son todos triángulos rectángulos.La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de

Pitágoras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.

En la actividad 11, hemos así obtenido una demostración formal del Teorema de Pitágoras que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que es suficiente con realizar un corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se reduce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permite obtener dicho corte.

Preguntas:

• ¿Los triángulos del tangram son rectángulos?• ¿Los ángulos del cuadrado son rectos?

Cortando y construyendo a Pitágoras

Indique al alumno que debe tomar los cuatro triángulos rectángulos isósceles (triángulos con un ángulo recto y tres lados desiguales). A partir de ellos, solicite que construyan una figura, de tal forma que sea posible obtener el cuadrado que se obtiene con base en los cuadriláteros de tamaño mediano. La figura que obtendrían debe ser como la que se muestra a continuación. Observará el alumno que el corte resulta relativa-mente simple a partir de dicha construcción.

Solicite que utilizando regla graduada, lápiz y transportador indiquen las características parti-culares del cuadrilátero construido a partir de esta técnica.

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No siempre corto para obtener a Pitágoras

Efectuaremos la actividad anterior pero utilizando las piezas del tangram, es decir haremos uso de triángulos isósceles. Observaremos que para este ejemplo, a diferencia del anterior, no se requiere hacer ningún tipo de corte, es decir, no se construye ningún cuadrilátero, sino que, en el caso de triángulos isósceles, ellos mismos funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:

Teselas

Aquí se trabajan figuras planas de cuatro lados. Si observamos a nuestro alrededor, veremos la importancia de las mismas. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, nuestros libros y cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la forma de cuadrilátero. Esto es debido a que estas figuras se hacen fácilmente y también se unen fácilmente sin dejar huecos (ocurre algo similar con los triángulos).

1.- En esta actividad utilizaremos el tangram. Solicite a los alumnos que construyan con las piezas los siguientes cuadriláteros: el cuadrado, el rec-tángulo, el paralelogramo, el rombo y el trapecio, tal como se muestran a continuación:

Actividad 16

Actividad 17

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Ejercicios:

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2.- Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Los azulejos en las casas son ejemplos de teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embonan sin importar su forma. A continuación se muestran ejemplos de teselas utilizando cuadriláteros:

Solicite que construyan las siguientes figuras:

a) b)

Preguntas:

• ¿Qué relación hay entre las figuras?• ¿Se parecen?• ¿Hay huecos?

El maestro tiene la decisión de aplicar las actividades en el orden que el considere pertinente, omitir alguna o realizar la implementación simultanea de ellas. Ade-más, cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta cuatro alumnos.

Observación:

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Ejercicio libre 1

Considere los siguientes tres cuadrados

Coloque de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) y color. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cuadriláteros.

• Aplique a los cuadrados: solicite que proporcionen otro criterio de comparación para obtener la misma colocación de piezas, según se haya indicado.

Sugerencia: utilice tres cordones de diferente tamaño, tales que el contorno de cada pieza se cubra totalmente. Aplique lo mismo para cada cuadrilátero.

Tome dos colecciones y coloque primero una de las colecciones de cuadriláteros de me-nor a mayor; enseguida la otra colección de mayor a menor. Solicite que dibujen el eje de simetría de la figura resultante.

Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes en el ejercicio, así como en las preguntas.

Actividad 18

Los siguientes ejercicios pueden modificarse a criterio del maestro.

Observación:

a)

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Pregunta:

• Considerando los 36 cuadriláteros ¿cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño se forman?.

eje de simetría

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Ejercicio libre 2

Considere cada uno de los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble, respectivamente. Puede sugerir al alumno construir un triángulo rectángulo isósceles. Más aún, es po-

sible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble del anterior.

Ejercicio libre 3

Construya los tres cuadrados de interior hueco, complete cada uno de ellos y complete el triángulo rectángulo correspondiente en cada caso.

Ejercicio libre 4

Para probar que las figuras de cuatro lados siem-pre embonan, solicite que dibujen el cuadrilá-tero que deseen, apilando 12 hojas. La hoja superior debe tener la figura. Luego que cor-ten las hojas para obtener 12 piezas iguales. Por último, usen los recortes para hacer el patrón y obtener las teselas correspon-dientes.

Construyan teselas utilizando triángu-los, rombos, paralelogramos, etcétera.

pequeño mediano grande

cuadrilátero

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El cuadrado

mágicoIntroducción

Una de las actividades más recreativas, pero además de gran importancia en el proceso de aprendizaje para alumnos de diversos niveles, corresponde al llamado cuadrado mágico, un pasatiempo matemático que involucra las operaciones básicas8. En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece el dibujo de un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser suma-dos en filas, columnas o diagonales dan el mismo resultado. A continuación se muestra el grabado donde aparece el cuadrado mágico hallado por el pintor alemán.

8 Únicamente trabajaremos la actividad relacionada con la operación básica de la suma.

Melancolía del pintor alemán Albrecht Dürer.

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Este cuadrado satisface, además, la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34. Dürer logró, asimismo, introducir en las columnas centrales

del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año en el que realizó el cua-dro). Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que era entretenido e

interesante para ser estudiado. El propio Benjamin Franklin creó uno conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por cierto, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado más adelante también).

Puede incorporarse el estudio del cuadrado mágico en el primer grado de nivel primaria, ya que permite al alumno estimular y reforzar los métodos de conteo. Involucra, además, aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos de tal forma que se obtenga lo deseado.

Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma y comenzar la enseñanza de la multipli-cación (este punto se refiere a realizar la suma sobre el mismo cuadrado mágico como se describe más adelante). Uno puede encontrar en la literatura un sinfín de información sobre este interesante juego, que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Nosotros estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico. Utilizaremos algunos procedimientos elementales para poder observar que la aplicación de éste tiene un mayor alcance.

Objetivos

Debido a la naturaleza del cuadrado mágico, éste nos permite cumplir los objetivos siguientes de manera muy general:

• Estudiar los primeros números naturales, series numéricas, relación de orden, leyes de tricotomía, valor posicional, sucesor, antecesor.

• Reforzar los métodos de conteo, estimular el cálculo mental.• Reforzar el concepto de horizontal, vertical y perpendicular, y relacionarlos con los

conceptos de renglón y columna en un tablero (matriz), así como introducir el concepto de diagonal.

• Introducir los conceptos de sucesión, serie, tablero cuadrado (matriz cuadrada, ya que hay dos tipos de matrices: unas cuadradas y otras no), sistema de referencia.

• Estimular el razonamiento matemático.

En muchos casos, no es necesario conocer de manera formal un concepto matemático, sino sólo familiarizarse con él o intuirlo para poder utilizarlo (relación número-opera-ciones). Por ejemplo, los tableros incluidos en el material didáctico pueden permitir la in-troducción del concepto de matriz (haciendo énfasis al alumno que la figura representa en particular a este ente matemático) o simplemente llamarlo tablero. Esto nos permite manejar los conceptos de renglones, columnas, horizontales, verticales, perpendiculares, diagonales, así como diferenciar los conceptos de vertical y perpendicular. Por ejemplo, si es vertical es perpendicular, pero, si es perpendicular no necesariamente es vertical (el recíproco no es cierto). Para ello, basta poner el tablero en posición vertical y perpendi-cular (con respecto uno del otro) para observar la diferencia. Permite además utilizar un

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sistema de referencia (posición) para establecer que un objeto y otro están colocados en distintos lugares o en el mismo (como en el ajedrez).

Utilizaremos el cuadrado mágico para obtener la suma de cierto tipo de series de números. Abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3.

La implementación del cuadrado mágico en esta forma tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algunos temas en este nivel.

Cuadrado mágico, el juego clásico

Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la siguiente situación:

Considere los números del 1 al 9, utilice la matriz cuadrada de tamaño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que al realizar la suma en las direcciones horizontal, perpendicular (renglones, columnas) y en ambas diagonales sea 15. Se puede verificar que una solución es:

Más adelante, podemos garantizar que además esta solución es única, salvo rotaciones y reflexiones.

Observación:

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Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecua-ciones lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):

La pregunta natural que surge es ¿cuántos cuadrados mágicos hay?. En el caso de considerar que los valores que se pueden utilizar son números reales,

la respuesta es: una infinidad. El siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado má-

gico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método que utilizaremos es el de la aplicación de sistemas de ecuaciones li-neales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, además se abordan algunos métodos de solución) y del método de eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incógnitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal), es sin duda el más po-derosos método para resolver sistema de ecuaciones lineales, además su implementación computacional es la más eficiente.

Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero suponga que deseamos encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la condición esti-pulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n, tenemos la siguiente situación:

Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:

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a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n

Sistema de ecuaciones 1

Obtenemos así un sistema de ocho ecuaciones en nueve incógnitas. La teoría que se refiere a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir, con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluímos entonces que hay una infinidad de cuadrados mágicos. Aplicando el método de eliminación gaus-siana a la matriz que describe el sistema y reduciendo la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución del mismo queda descrito por el siguiente sistema de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones 2

Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i; si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado má-gico, que se muestra al inicio de la discusión en esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permi-ten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números

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Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutati-va) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma ob-tenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15. La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimiento que aplicaremos a continuación:

• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma ascendente, es decir:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Subdividamos los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque debe ser 15. Obtenemos así los siguientes dos casos:

1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15

Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Luego estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso, tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única, salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presentada al inicio de esta sección.

del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1

al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras soluciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste los números del 1 al 9.

Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones. Obtenemos:

a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n

Sistema de ecuaciones 3

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Aplicaciones

Analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar diferentes series de números naturales. Sin embargo, con lo anteriormente discutido el espacio de ejemplos es infinito.

Un sencillo planteamiento basado en el análisis anterior nos permite concluir porque no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la so-lución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estudiarlo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n=15 co-rresponde a que todas las variables sean iguales a 5).

Podemos concluir además que si nosotros consideramos a n=15 en el sistema de ecua-ciones y a las variables h e i les asignamos cualquier otro valor, obtenemos diferentes solu-ciones para cada pareja de números que se den. Por ejemplo si h=8 e i=6, puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:

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Actividad 19

Las actividades que a continuación se enlistan, están expuestas en forma gradual, con la intención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.

Ejercicio 1

1.- Considere las siguientes fichas:

2.- Elija un grupo de más de 12 fichas, que incluyan las fichas del 1 al 9, colóquelas y solicite a los alumnos que tomen los números del 1 al 9. Una vez realizado esto, solicite que las ordenen en forma ascendente o descendente. En este punto, aprenderán a dife-renciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura:

3.- Solicite que las separen en grupos de tres fichas, de tal manera que al sumar cada blo-que de su suma sea 15 (aplicación de cálculo metal). Después de ello indíqueles que colo-quen las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en la forma en que se les indique (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Posteriormente, pídales que coloquen los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indicarles un número en el bloque, para que lo tomen como referencia y puedan efectuar lo que se les indica). Por último, deben colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considera-do previamente. Luego considere todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto aplique cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución que es equivalente a la mostrada al inicio de la discusión:

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Ejercicio 2

Solicite al alumno que elija entre los siguientes números {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}.Una vez proporcionado el número, el maestro realiza la división de dicho número entre 3, para obtener n. Dado el número, solicite que extraiga del grupo de las 25 fichas, los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro consecutivos siguientes a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, etc.)

Ahora separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente. En este ejercicio, seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica.

Veamos un ejemplo: para n=21, obtenemos el valor de 7, luego lasfichas requeridas son:

Considere las fichas de la 1 a la 17. Si tomamos como condición que el núme-ro solicitado sea múltiplo de tres y tomando en consideración las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permite obtener 9 cuadrados mágicos diferentes.

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Ejercicio 3

Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n= 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 34, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construcción nueve enteros consecutivos.

Ejercicio 4

Obtenga dos cuadrados mágicos distintos para n= 21, 27. Usted proporcione los nú-meros necesarios para obtener los mismos.

Ejercicio 5

Construya dos cuadrados mágicos distintos. Coloque uno seguido del otro. Considere colocar uno sobre otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas). El alumno obtiene como resultado un cuadrado mágico.

El cuadrado mágico correspondiente es:

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Ejercicio 6

El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alum-nos. La dificultad de los mismos está en función del nivel de enseñanza de aquéllos.

Ejercicio 7

Considere nueve números que deban satisfacer la condición de determinar un cuadra-do mágico, colóquelos en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9; con ambos juegos de fichas forme dos líneas respetando el orden indicado en lo números (ascendente), reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico por el número que se localiza por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la posición de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta completar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido, despúes de realizar este proceso, es mágico?Obr

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Ejercicio 8

Complete los siguientes arreglos de números y obtenga las sumas en las direccio-nes horizontales, verticales, diagonales y perpendiculares.

Ejercicio 9

Obtenga las sumas de los siguientes arreglos, ya sea horizontalmente, verticalmente, diagonalmente. Extraiga los números localizados en diversas posiciones y ordénelos.

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Benjamín Franklin4 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila suma 260; y que deteniéndose a la mitad de cada una da 130. Trazando una línea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.

4 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de Ámerica junto con Thomas Jefferson y John Adams.

El cuadrado perfecto

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El cuadrado del caballo

Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra arriba y que utiliza los primeros 64 números naturales. Con base en lo previamente discutido, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es 260.

Este cuadrado mágico tiene además la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal, el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empieza sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en orden numérico.

Puede utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!

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Relaciones entre bloquestemáticos y actividades

En las nuevas reformas educativas (únicamente se han renovado los planes de 1ero. y 6to. de primaria), los planes y programas de estudio de primer grado de primaria, cuentan con bloques temáticos que facilitan la exposición de temas durante el año lectivo. El trabajo se desarrolla de forma más específica además de permitir abordar los siguientes contenidos: eje, tema, subtema, conocimientos y habilidades. Las actividades contenidas en la guía se diseñaron en forma progresiva y en función de la naturaleza de los materiales didácticos, complementan y refuerzan contenidos específicos. Para facilitar la relación de la actividad con los bloques temáticos se añadió anotaciones numéricas y abreviaturas que permiten establecer la relación.

La siguiente figura muestra la lectura del encabezado de cada actividad.

Se enlistan a continuación la relación de las actividades con los bloques temáticos, se consideró y estableció sólo una relación de uno a uno, pero el maestro o el lector puede establecer en función de su experiencia y habilidad didáctica más relaciones si es que lo considera conveniente, además las modificaciones que implementen a las actividades le permitirán establecer más relaciones con los bloque temáticos.

Actividad1.4

eje temáticoconocimiento y habilidad número de actividad

Actividad 1 Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 1.4 Recitar la serie numérica oral, ascendente y des-cendente de 1 en 1 a partir de cualquier número.

Actividad 2Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 3.2 Ampliar el conocimiento de la serie oral y escrita de números hasta al menos 100. Ordenar números de al menos 2 cifras.

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Actividad 3Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 1.3 Deter-minar el resultado de agregar o quitar ele-mentos de una colección, juntar o separar colecciones, buscar lo que le falta a una cierta cantidad para llegar a otra.

Actividad 4Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Medida.Subtema: Nociones.Conocimiento y habilidad: 3.9 Compa-rar longitudes en forma directa y utilizan-do un intermediario.

Actividad 5Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de los números.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 1.3 Organi-za una colección numerosa en subcolec-ciones (agrupamientos, configuraciones) para facilitar el conteo de sus elementos o la comparación con otras colecciones.

Actividad 6 Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de las operaciones.Subtema: Problemas aditivos.Conocimiento y habilidad: 2.5 Expre-sar simbólicamente las acciones realiza-das al resolver problemas de suma y resta usando los signos +, -, =.

Actividad 7Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Estimación y cálculo mental.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 5.4 Desarro-llar procedimientos de cálculo mental para sumar decenas.

Actividad 8Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Medida.Subtema: Unidades.Conocimiento y habilidad: 3.11 Medición y comparación de longitudes utilizando unidades de medida arbitrarias.

Actividad 9Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 2.6 Formar rompecabezas. Analizar la relación entre el todo y sus partes.

Actividad 10Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 2.6 Formar rompecabezas. Analizar la relación entre el todo y sus partes.

Actividad 11Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Medida.Subtema: Conceptualización.Conocimiento y habilidad: 4.9 Compa-rar la superficie de dos figuras por super-posición o recubrimiento.

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Actividad 12Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 2.6 Formar rompecabezas. Analizar la relación entre el todo y sus partes.

Actividad 13Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Medida.Subtema: Conceptualización.Conocimiento y habilidad: 4.9 Compa-rar la superficie de dos figuras por super-posición o recubrimiento.

Actividad 14Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 2.6 Formar rompecabezas. Analizar la relación entre el todo y sus partes.

Actividad 15Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 3.6 Repro-ducir e identificar patrones.

Actividad 16Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 3.6 Repro-ducir e identificar patrones.

Actividad 17Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 3.6 Repro-ducir e identificar patrones.

Actividad 18Eje: FEM (Forma, espacio y medida.)Tema: Figuras.Subtema: Figuras planas.Conocimiento y habilidad: 3.6 Repro-ducir e identificar patrones.

Actividad 19Eje: SN y PA (Sistema numérico y pensa-miento algebraico.)Tema: Significado y uso de las operaciones.Subtema: Números naturales.Conocimiento y habilidad: 5.1 Estable-cer relaciones entre las operaciones arit-méticas y la serie numérica.

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