1. Título:

Costo de materiales para la construcción de un tanque elevado mediante integrales dobles y diferencial total-

2. Autores: 3. Tipo de Investigación: Aplicativa – Explorativa

Morales Rojas, Jim Alexander Marín de la Cruz, Ángel Aldair

4. Localidad e Institución4.1 Localidad: Puente Piedra4.2 Institución: Universidad Privada del Norte

5. Cronograma de Actividades:

II

Contenido del anteproyecto

1. Selección del problema:

1.1 Identificación de variables de estudio:

El problema más común que se presenta en nuestro campo de la Ing. Civil es que no podemos determinar de forma directa el volumen y área superficial de ciertos objetos, y así obtener un costo con menor error posible, normalmente se utilizan software específicos que calculan de forma directa, por otro lado

N° Nombre de la Actividad Fecha de Realización

1 Selección del problema: Identificación de variables de estudio. Elaboración de objetivos.

2 Fundamento Teórico Conceptos y definiciones básicas Marco Teórico

2 Modelación Toma de datos: Elaboración de gráficos (de dispersión o tablas) Planteamiento matemático del problema

(Formulación matemática)

3 Resolución del problema (aplicación de métodos matemáticos)

4 Elaboración de resultados y Conclusiones

5 Redacción final

daremos a conocer nuevas alternativas para resolver dicho problema con algunos conceptos de Integral Doble y el Diferencial Total.

1.2 Elaboración de Objetivos:Brindar conocimientos sobre la Integral Doble y el Diferencial Total en sus características como variables, ecuaciones y saber en qué situación utilizarlos, como tal es el caso de aproximar el volumen de concreto, área superficial de un tanque elevado, para así poder obtener un presupuesto con mayor precisión.

2. Fundamento teórico:

2.1 Conceptos y definiciones básicas: INTEGRALES:

Es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

INTEGRALES BOBLES:

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y)está dado en términos:

z= F(x, y); F (xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite proporciona un volumen exacto.

La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales iteradas:

"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales:

DIFERENCIAL TOTAL:

Corresponde a una combinación lineal de diferencial es cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

En cálculo diferencial, el diferencial total de una función se puede representar de la siguiente manera:

Función de dos variables:

df=fx ( x , y ) . dx+fy (x , y ) . dy

∂w∂r

= ∂w∂x. dxdr

+ ∂w∂ y. dydr

2.2 Marco teórico:

Primero desglosaremos nuestra figura para analizar y determinar qué tipo de funciones poseemos y que tendremos que aplicar para resolver el problema.

Conjuntamente usaremos el programa AutoCAD para analizar y tomar puntos con dichas figuras desglosadas ubicándolas en el origen.

Luego sacaremos los volúmenes y áreas de las regiones que poseemos a través de la Integral Doble y el Diferencial Total.

Después realizaremos una simple multiplicación para determinar el costo de nuestro tanque.

3. Modelación:3.1 Toma de datos:

3.2 Elaboración de gráficos:

RADIO MAYOR (cúpula superior)

RADIO MENOR (cúpula inferior)

4. Resolución del problema:

Hallamos los volúmenes para cada caso:

Para el primer volumen:

Para el primer caso encontramos una figura con forma de cascaron esférico, el cual tiene un espesor de 0.10m y radio r = 9.84m.Para este caso usaremos el diferencial total para hallar el volumen.

Volumen del cascarón esférico es:V= π h2

3(3r−h)

Para el segundo volumen:

Para el segundo caso encontramos un cilindro de espesor de 0.25m, un radio R=6m y altura h= 5m. En este caso utilizaremos el diferencial total para hallar el volumen.

Volumen del cilindro es: V=π . r2 .h Necesitamos solo la variación del volumen:

Para el tercer volumen:

Para el tercer caso encontramos una figura con forma de cono truncado de espesor de 0.25m, radio R=6m y r=4m. En este caso también utilizaremos el diferencial total para hallar el volumen.

Volumen del cono truncado: V=13π .h .(R2+r2+R . r)

Para el quinto volumen:

Para el quinto caso encontramos un cilindro de espesor de 0.25m, un radio r=4m y la altura h= 14m. En este caso utilizaremos el diferencial total para hallar el volumen.

Volumen del cilindro es: V=π . r2 .h