ClculoPara otros usos de este trmino, vase Clculo (desambiguacin).Para clculo infinitesimal (diferencial o integral), vase Clculo infinitesimal.Para el estudio de los nmeros reales, los complejos, los vectores y sus funciones, vase Anlisis matemtico.En general el trmino clculo (del latn calculus = piedra)1 hace referencia al resultado correspondiente a la accin de calcular o contar. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una accin previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.No obstante, el uso ms comn del trmino clculo es el lgico-matemtico. Desde esta perspectiva, el clculo consiste en un procedimiento mecnico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.ndice [ocultar] 1 Clculo como razonamiento y clculo lgico-matemtico2 Historia del clculo2.1 De la Antigedad2.2 Renacimiento2.3 Siglos XVII y XVIII2.4 Siglos XIX y XX2.5 Actualidad3 Clculo infinitesimal: breve resea4 Clculo lgico4.1 Sistematizacin de un clculo de deduccin natural4.1.1 Reglas de formacin de frmulas4.1.2 Reglas de transformacin de frmulas4.2 Esquemas de inferencia4.3 El lenguaje natural como modelo de un clculo lgico5 Vase tambin6 Referencias6.1 Bibliografa6.2 Enlaces externosClculo como razonamiento y clculo lgico-matemtico[editar]Ejemplo de aplicacin de un clculo algebraico a la resolucin de un problema segn la interpretacin de una teora fsicaLa expresin del clculo algebraico y = xt, indica las relaciones sintcticas que existen entre tres variables que no tienen significado alguno.Pero si interpretamos y como espacio, x como velocidad y t como tiempo, tal ecuacin modeliza una teora fsica que establece que el espacio recorrido por un mvil con velocidad constante es directamente proporcional a la velocidad con que se mueve y al tiempo que dura su movimiento.Al mismo tiempo, segn dicha teora, sirve para resolver el problema de calcular cuntos kilmetros ha recorrido un coche que circula de Madrid a Barcelona a una velocidad constante de 60 km/h durante 4 horas de recorrido.240 kilmetros recorridos = 60 km/h x 4 hLas dos acepciones del clculo (la general y la restringida) arriba definidas estn ntimamente ligadas. El clculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El clculo lgico natural como razonamiento es el primer clculo elemental del ser humano. El clculo en sentido lgico-matemtico aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.Por lo tanto, podemos distinguir dos tipos de operaciones:Operaciones orientadas hacia la consecucin de un fin, como prever, programar, conjeturar, estimar, precaver, prevenir, proyectar, configurar, etc. que incluyen en cada caso una serie de complejas actividades y habilidades tanto de pensamiento como de conducta. En su conjunto dichas actividades adquieren la forma de argumento o razones que justifican una finalidad prctica o cognoscitiva.Operaciones formales como algoritmo que se aplica bien directamente a los datos conocidos o a los esquemas simblicos de la interpretacin lgico-matemtica de dichos datos; las posibles conclusiones, inferencias o deducciones de dicho algoritmo son el resultado de la aplicacin de reglas estrictamente establecidas de antemano.Resultado que es:Conclusin de un proceso de razonamiento.Resultado aplicable directamente a los datos iniciales (resolucin de problemas).Modelo de relaciones previamente establecido como teora cientfica y significativo respecto a determinadas realidades (Creacin de modelos cientficos).Mero juego formal simblico de fundamentacin, creacin y aplicacin de las reglas que constituyen el sistema formal del algoritmo (Clculo lgico-matemtico, propiamente dicho).Dada la importancia que histricamente ha adquirido la actividad lgico-matemtica en la cultura humana el presente artculo se refiere a este ltimo sentido. De hecho la palabra, en su uso habitual, casi queda restringida a este mbito de aplicacin; para algunos, incluso, queda reducida a un solo tipo de clculo matemtico, pues en algunas universidades se llamaba "Clculo" a una asignatura especfica de clculo matemtico (como puede ser el clculo infinitesimal, anlisis matemtico, clculo diferencial e integral, etc.).En un artculo general sobre el tema no puede desarrollarse el contenido de lo que supone el clculo lgico-matemtico en la actualidad. Aqu se expone solamente el fundamento de sus elementos ms simples, teniendo en cuenta que sobre estas estructuras simples se construyen los clculos ms complejos tanto en el aspecto lgico como en el matemtico.Historia del clculo[editar]De la Antigedad[editar]Reconstruccin de un baco romano.Un baco moderno.El trmino "clculo" procede del latn calculus, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituan el baco romano que, junto con el suanpan chino, constituyen las primeras mquinas de calcular en el sentido de contar.Los antecedentes de procedimiento de clculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los gemetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximacin de restos cada vez ms pequeos, a una medida de figuras curvas; as como Diofanto precursor del lgebra.Se considera que Arqumedes fue uno de los matemticos ms grandes de la antigedad y, en general, de toda la historia.2 3 Us el mtodo exhaustivo para calcular el rea bajo el arco de una parbola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximacin extremadamente precisa del nmero Pi.4 Tambin defini la espiral que lleva su nombre, frmulas para los volmenes de las superficies de revolucin y un ingenioso sistema para expresar nmeros muy largos.La consideracin del clculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en todos los mbitos del conocimiento se debe a Aristteles, quien en sus escritos lgicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos categricos (silogismos). Este trabajo sera completado ms tarde por los estoicos, los megricos, la Escolstica.Los algoritmos actuales del clculo aritmtico, utilizados universalmente, son fruto de un largo proceso histrico. De vital importancia son las aportaciones de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX;5En el siglo XIII, Fibonacci introduce en Europa la representacin de los nmeros arbigos del sistema decimal. Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con valor posicional. La escritura antigua de nmeros en Babilonia, en Egipto, en Grecia o en Roma, haca muy difcil un procedimiento mecnico de clculo.6El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo.El concepto de funcin por tablas ya era practicado de antiguo pero adquiri especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV.7 La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars MagnaA fin de lograr una operatividad mecnica se confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se poda generar un algoritmo prcticamente mecnico. Este sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las tablas de logaritmos, o las funciones trigonomtricas; las tablas venan a ser como la calculadora de hoy da; un instrumento imprescindible de clculo. Las amortizaciones de los crditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicacin de la informtica en el tercer tercio del siglo XX.A finales de la Edad Media la discusin entre los partidarios del baco y los partidarios del algoritmo se decant claramente por estos ltimos.8 De especial importancia es la creacin del sistema contable por partida doble recomendado por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el Renacimiento.9Renacimiento[editar]El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, el cual fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesa renacentista.El desarrollo del lgebra (con la introduccin de un sistema de smbolos por un lado, y la resolucin de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes matemticos de la poca renacentista como Tartaglia, Stevin, Cardano o Vieta y fue esencial para el planteamiento y solucin de los ms diversos problemas que surgieron en la poca como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso cientfico que surgir en el siglo XVII.10Siglos XVII y XVIII[editar]Pgina del artculo de Leibniz "Explication de l'Arithmtique Binaire", 1703/1705.En el siglo XVII el clculo conoci un enorme desarrollo siendo los autores ms destacados Descartes,11 Pascal12 y, finalmente, Leibniz y Newton13 con el clculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorcin, el nombre de clculo.El concepto de clculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicacin al mundo de lo real14 adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia fsica que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulacin tradicional filosfica, por el rigor y seguridad que ofrece el clculo matemtico. Cambia as el sentido tradicional de la Fsica como filosofa de la naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.A partir de entonces el propio sistema de clculo permite establecer modelos sobre la realidad fsica, cuya comprobacin experimental15 supone la confirmacin de la teora como sistema. Es el momento de la consolidacin del llamado mtodo cientfico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teora de la Gravitacin Universal y las leyes de la Mecnica de Newton.16Siglos XIX y XX[editar]George Boole.Durante el siglo XIX y XX el desarrollo cientfico y la creacin de modelos tericos fundados en sistemas de clculo aplicables tanto en mecnica como en electromagnetismo y radioactividad, etc. as como en astronoma fue impresionante. Las geometras no euclidianas encuentran aplicacin en modelos tericos de astronoma y fsica. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partculas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuracin o espacio de fases de n dimensiones que fsicamente se hacen consistentes en la teora de la relatividad, la mecnica cuntica, la teora de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo fsico.La lgica asimismo sufri una transformacin radical.17 La formalizacin simblica fue capaz de integrar las leyes lgicas en un clculo matemtico, hasta el punto que la distincin entre razonamiento lgico-formal y clculo matemtico viene a considerarse como meramente utilitaria.En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalizacin de todo el sistema matemtico, Frege, y de matematizacin de la lgica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalizacin del concepto como clculo lgico. Se lograron mtodos muy potentes de clculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como objeto conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los nmeros transfinitos de Cantor.Mediante el clculo la lgica encuentra nuevos desarrollos como lgicas modales y lgicas polivalentes.Los intentos de axiomatizar el clculo como clculo perfecto por parte de Hilbert y Poincar, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatizacin, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostracin de Gdel de la imposibilidad de un sistema de clculo perfecto: consistente, decidible y completo en 1931, de grandes implicaciones lgicas, matemticas y cientficas.Actualidad[editar]En la actualidad, el clculo en su sentido ms general, en tanto que clculo lgico interpretado matemticamente como sistema binario, y fsicamente hecho material mediante la lgica de circuitos electrnicos, ha adquirido una dimensin y desarrollo impresionante por la potencia de clculo conseguida por los ordenadores, propiamente mquinas computadoras. La capacidad y velocidad de clculo de estas mquinas hace lo que humanamente sera imposible: millones de operaciones por segundo.El clculo as utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigacin cientfica por las posibilidades que ofrece para la modelizacin de las teoras cientficas, adquiriendo especial relevancia en ello el clculo numrico.Clculo infinitesimal: breve resea[editar]Artculo principal: Clculo infinitesimalEl clculo infinitesimal, llamado por brevedad "clculo", tiene su origen en la antigua geometra griega. Demcrito calcul el volumen de pirmides y conos considerndolos formados por un nmero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeo). Eudoxo y Arqumedes utilizaron el "mtodo de agotamiento" o exhaucin para encontrar el rea de un crculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polgonos regulares inscritos de cada vez mayor nmero de lados. En el periodo tardo de Grecia, el neoplatnico Pappus de Alejandra hizo contribuciones sobresalientes en este mbito. Sin embargo, las dificultades para trabajar con nmeros irracionales y las paradojas de Zenn de Elea impidieron formular una teora sistemtica del clculo en el periodo antiguo.En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el lgebra para encontrar el rea y las tangentes (integracin y derivacin en trminos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenan la certeza de que ambos clculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del rea y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del clculo.Leibniz es el creador del simbolismo de la derivada, diferencial y la s estilizada para la integracin, en vez de la I de Bernoulli. Us el nombre de clculo diferencial y el nombre de clculo integral propuso Juan Bernoulli, que sustituy al nombre de 'clculo sumatorio' de Leibniz. La simbologa de Leibniz impuls el avance del calculus en Europa. 18 continentalEl descubrimiento de Newton, a partir de su teora de la gravitacin universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicacin an provoca controversias sobre quin de los dos fue el primero. Newton utiliz el clculo en mecnica en el marco de su tratado "Principios matemticos de filosofa natural", obra cientfica por excelencia, llamando a su mtodo de "fluxiones". Leibniz utiliz el clculo en el problema de la tangente a una curva en un punto, como lmite de aproximaciones sucesivas, dando un carcter ms filosfico a su discurso. Sin embargo, termin por adoptarse la notacin de Leibniz por su versatilidad.En el siglo XVIII aument considerablemente el nmero de aplicaciones del clculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, as como la intuicin geomtrica, causaban todava confusin y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la nocin de lmite, central en el estudio del clculo, era an vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus crticos ms notables fue el filsofo George Berkeley.En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos slidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisin los conceptos de lmite en trminos de psilon_delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los nmeros reales. Fue el periodo de la fundamentacin del clculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recprocos son falsos. En el siglo XX, el anlisis no convencional, legitim el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparicin de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del clculo.Actualmente, el clculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carcter disciplinario en la formacin de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este mbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina cientfica que ha desembocado en mbitos tan especializados como el clculo fraccional, la teora de funciones analticas de variable compleja o el anlisis matemtico. El xito del clculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al clculo de vectores, al clculo de variaciones, al anlisis complejo y a las topologa algebraica y topologa diferencial entre muchas otras ramas.El desarrollo y uso del clculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las reas de la vida moderna: es fundamento para el clculo numrico aplicado en casi todos los campos tcnicos y/o cientficos cuya principal caracterstica es la continuidad de sus elementos, en especial en la fsica. Prcticamente todos los desarrollos tcnicos modernos como la construccin, aviacin, transporte, meteorologa, etc. hacen uso del clculo. Muchas frmulas algebraicas se usan hoy en da en balstica, calefaccin, refrigeracin, etc.Como complemento del clculo, en relacin a sistemas tericos o fsicos cuyos elementos carecen de continuidad, se ha desarrollado una rama especial conocida como Matemtica discreta.Clculo lgico[editar]Artculo principal: Clculo lgicoEl clculo lgico es un sistema de reglas de inferencia o deducir un enunciado a partir de otro u otros. El clculo lgico requiere un conjunto consistente de axiomas y unas reglas de inferencia y su propsito es poder deducir algortmicamente proposiciones lgicas verdaderas a partir de axiomas vlidos. La inferencia es una operacin lgica que consiste en obtener una proposicin lgica como conclusin a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicacin de reglas de inferencia.19Informalmente interpretamos que que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V. Sin embargo, en el enfoque moderno del clculo lgico no es necesario acudir al concepto de verdad, para construir el clculo lgico.Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empricos -supuestamente verdaderos y vlidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, segn las leyes de la lgica natural.20La lgica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformacin de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusin es necesariamente verdadera.Al aplicar las reglas de este clculo lgico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolizacin adecuada de frmulas o expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo. En ese contexto, las reglas de formacin de frmulas definen una sintaxis de un lenguaje formal de smbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintcticas entre los smbolos para la construccin de frmulas bien formadas (fbf), as como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologas. Un lenguaje formal que sierva de base para el clculo lgico est formado por varias clases de entidades:Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeracin, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cundo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.Un conjunto de reglas de formacin de expresiones bien formadas(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cundo una expresin pertenece al sistema y cundo no.Un conjunto de reglas de transformacin de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresin bien formada del clculo podremos obtener una nueva expresin equivalente y bien formada que pertenece al clculo.Cuando en un clculo as definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomtico. Un clculo as definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Clculo Perfecto:Es consistente: No es posible que dada una expresin bien formada del sistema, f, y su negacin, no-f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradiccin entre las expresiones del sistema.Decidible: Dada cualquier expresin bien formada del sistema podemos encontrar un mtodo que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresin es o no es un teorema del sistema.Completo: Cuando dada cualquier expresin bien formada del sistema, podemos establecer la demostracin matemtica o prueba de que es un teorema del sistema.La misma lgica-matemtica ha demostrado que tal sistema de clculo perfecto "no es posible" (vase el Teorema de Gdel).Sistematizacin de un clculo de deduccin natural[editar]Reglas de formacin de frmulas[editar]I. Una letra enunciativa (con o sin subndice) es una EBF.II. Si A es una EBF, A tambin lo es.III. Si A es una EBF y B tambin, entonces A \land B; A \lor B; A \rightarrow B; A \leftrightarrow B, tambin lo son.IV. Ninguna expresin es una frmula del Clculo sino en virtud de I,II,III.Notas:A, B,... con maysculas estn utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposicin, atmica (p,q,r,s....) o molecular (p/\q), (p\/q)...A, B,... son smbolos que significan variables; , \land, \lor, ?, \leftrightarrow, son smbolos constantes.Existen diversas formas de simbolizacin. Utilizamos aqu la de uso ms frecuente en Espaa.21Reglas de transformacin de frmulas[editar]1) Regla de sustitucin (R.T.1):Dada una tesis EBF del clculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del clculo, ser tambin una tesis EBF del clculo. Y ello con una nica restriccin, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.Veamos el ejemplo:1 \left [ \left ( p \land q \right ) \lor r \right ]\rightarrow t \lor sTransformacin2 A \lor r \rightarrow B donde A = \left ( p \land q \right ) ; y donde B = \left ( t \lor s \right )3 C \rightarrow B donde C = A \lor r O viceversa1 C \rightarrow B Transformacin2 A \lor r \rightarrow B donde A \lor r = C 3 \left [ \left ( p \land q \right ) \lor r \right ]\rightarrow t \lor sdonde (p \land q) = A ; y donde (t \lor s) = B 2) Regla de separacin (R.T.2):Si X es una tesis EBF del sistema y lo es tambin X \rightarrow Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.Esquemas de inferencia[editar]Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:[A \land B \land C....\land N]\rightarrow Ylo que constituye un esquema de inferencia en el que una vez conocida la verdad de cada una de las premisas A, B,...N y, por tanto, de su producto, podemos obtener la conclusin Y con valor de verdad V, siempre y cuando dicho esquema de inferencia sea una ley lgica, es decir su tabla de verdad nos muestre que es una tautologa.Por la regla de separacin podremos concluir Y, de forma independiente como verdad.Dada la poca operatividad de las tablas de verdad, el clculo se construye como una cadena deductiva aplicando a las premisas o a los teoremas deducidos las leyes lgicas utilizadas como reglas de transformacin, como se expone en clculo lgico.El lenguaje natural como modelo de un clculo lgico[editar]Naturalmente el clculo lgico es til porque puede tener aplicaciones, pero en qu consisten o cmo se hacen tales aplicaciones?Podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemos someterlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C.22Para ello es necesario someter al lenguaje natural a un proceso de formalizacin de tal forma que podamos reducir las expresiones lingsticas del lenguaje natural a EBFs de un clculo mediante reglas estrictas manteniendo el sentido de verdad lgica de dichas expresiones del lenguaje natural. Esto es lo que se expone en clculo lgico.Las diversas formas en que tratemos las expresiones lingsticas formalizadas como proposiciones lgicas dan lugar a sistemas diversos de formalizacin y clculo:Clculo proposicional o clculo de enunciadosCuando se toma la oracin simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como una proposicin atmica, como un todo sin analizar.Clculo como lgica de clasesCuando se toma la oracin simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del anlisis de la oracin como una relacin de individuos o posibles individuos que poseen o no poseen una propiedad comn determinada como pertenecientes o no pertenecientes a una clase natural o a un conjunto como individuos.Clculo de predicados o cuantificacionalCuando se toma la oracin simple significativa del lenguaje natural con posible valor de verdad o falsedad como resultado del anlisis de la misma de forma que una posible funcin predicativa (P), se predica de unos posibles sujetos variables (x) [tomados en toda su posible extensin: (Todos los x); o referente a algunos indeterminados: (algunos x)], o de una constante individual existente (a).Clculo como lgica de relacionesCuando se toma la oracin simple significativa con posible valor de verdad propio, verdado o falso, como resultado del anlisis de la oracin como una relacin "R" que se establece entre un sujeto y un predicado.La simbolizacin y formacin de EBFs en cada uno de esos clculos, as como las reglas de clculo se trata en clculo lgico.Vase tambin[editar]AritmticaClculo lgicoalgoritmo de EuclidesLenguaje formalizadoLenguaje formalLgica proposicionalLgica de primer ordenSistema formalSilogismoClculo de la raz cuadradaCifra (matemtica)Puerta lgicaTabla de valores de verdadTeora de conjuntosHistoria del hardware de computadorRegla de clculoSistema de numeracinTeora de nmerosMatemticas en el Antiguo EgiptoNumeracin egipciaNumeracin griegaNumeracin romanaacarreoPotenciacinRadicacinLogaritmacinlgebralgebra elementalModelo cientficoReferencias[editar]Volver arriba ? La palabra castellana clculo se deriva del latn calculus que significa piedra, ya que se utilizaban guijarros para auxiliarse en la resolucin de los problemas de clculo aritmtico, para contar y realizar las operaciones aritmticas elementales. En medicina las piedras de la vescula o del rin se llaman clculosVolver arriba ? Calinger, Ronald (1999). A Contextual History of Mathematics. Prentice-Hall. p. 150. ISBN 0-02-318285-7. Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287212 B.C.), the most original and profound mathematician of antiquity.Volver arriba ? Archimedes of Syracuse. The MacTutor History of Mathematics archive (January de 1999). Consultado el 09-06-2008.Volver arriba ? O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. (febrero de 1996). A history of calculus. University of St Andrews. Consultado el 7-8-2007.Volver arriba ? la palabra algoritmo se introdujo en matemticas en honor a este matemtico rabe.Volver arriba ? Muy interesante la descripcin de este proceso en Cifra (matemtica)Volver arriba ? Ver lgica empricaVolver arriba ? Sacrobosco, Algoritmos 1488; Georg von Peurbach, Algorithmus, 1492; Luca Pacioli; Summa de Arithmetica proportioni et porportionalita, 1494. Muy interesante y divertida exposicin de esta guerra en Cifra (matemtica)Volver arriba ? Sombart W.: El burgus:Contribucin a la historia espiritual del hombre econmico moderno. 1979. Madrid. AlianzaVolver arriba ? La brjula y las grandes rutas martimas, con el descubrimiento de Amrica; la transformacin de la guerra por la aplicacin de la plvora, que suscita el inters por el estudio del movimiento de los proyectiles Tartaglia;la aceptacin del prstamo con inters y la creacin de las sociedades por acciones que iniciaron el primer gran capitalismo; la nuevas tablas astronmicas sustituyendo las tablas alfonsinas (Tycho Brahe); y el copernicanismo que rompe la imagen medieval del mundoVolver arriba ? Que llega a concebir el mundo como racional sometido a una mathesis universal, la extensin, que convierte el mundo material en un inmenso mecanismo, teora mecanicista, perfectamente calculable segn un orden matemtico que surge del anlisis concebido como mtodo de investigacin.Volver arriba ? Clculo de cnicas, estudio mecnico de las presiones, principio de Pascal de enorme importancia en la hidroesttica, y finalmente en el clculo de probabilidades.Volver arriba ? Con su famosa polmica acerca de la invencin del clculo infinitesimal de tanta importancia y que parece comprobado ser producto independiente de cada uno de ellosVolver arriba ? Clculo de movimientos como el de cada libre de los graves, Galileo,; trayectoria de los planetas, Kepler; trayectoria de proyectiles para la artillera; medidas astronmicas y geogrficas; presiones, Torricelli y Pascal; y todas las aplicaciones prcticas de estos clculos para la prctica de la navegacin y la naciente industria: bombas de vaco, prensa hidrulica, electricidad, magnetismo etc.Volver arriba ? Vase en Lgica emprica su aplicacin por Galileo al movimiento de cada libre de los graves.Volver arriba ? El modelo de Newton se basa en una geometra analtica espacial de tres dimensiones inmutables como espacio absoluto y una sucesin constante e inmutable en una direccin de tiempo absoluto en los que una infinidad de partculas materiales masas se mueven segn un principio universal la Gravitacin Universal G={m*m' \over r^2}, y unas leyes dinmicas que rigen el movimiento: Principio de inercia; Principio de accin y reaccin; y Principio fundamental de la dinmica, f=m*aVolver arriba ? La Lgica de Aristteles se mantuvo prcticamente como tal a lo largo de los siglos. Kant, a finales del siglo XVIII, opinaba que la Lgica aristotlica no haba sufrido modificaciones sustanciales durante tanto tiempo por tratarse de una ciencia a priori y analtica y, por tanto, constituirse como un lenguaje formal; consideraba que haba dado de s todo lo que poda ofrecer. Kant. Prlogo a la Crtica de la Razn Pura.Volver arriba ? Hofmann: Historia de la mtemticaVolver arriba ? La deduccin suele definirse como una inferencia en la que a partir de verdades universales se concluye verdades particulares. Este criterio no se acomoda bien a la lgica actual, pues se prefiere la idea de inferencia como transformacin conforme las reglas establecidas; en cualquier caso dichas reglas, que necesariamente se basan en tautologas, pueden considerarse como principios universales o generales, sobre los cuales se construye una deduccin; por ello la distincin no deja de ser una matizacin tcnica de poca importancia.Volver arriba ? La habilidad peculiar del Sr.HolmesVolver arriba ? Desgraciadamente la representacin grfica de los smbolos no est normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretacin.Volver arriba ? Cuando en un Clculo C, se establece una "correspondencia" de cada smbolo con elementos determinados individuales distinguibles entre s, de un Universo L, real, (tal universo L no es un conjunto vaco, por las mismas condiciones que hemos establecido) ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.Bibliografa[editar]BERGAD, D. (1979). La matemtica renacentista. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. ISBN 84-320-0842-7.BLACKBURN, S. (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofa. Madrid. Editorial Tecnos. ISBN 84-309-3699-8.BUNGE, M. (1972). Teora y realidad. Barcelona. Ariel. ISBN 84-344-0725-6.COPI, IRVING M. (1982). LGICA SIMBLICA. Mxico 22 D.F: EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V. ISBN 968-26-0134-7.DEAO, ALFREDO (1974). INTRODUCCIN A LA LGICA FORMAL. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2064-5.GARRIDO, M. (1974). LGICA SIMBLICA. MADRID. EDITORIAL TECNOS S.A. ISBN 84-309-0537-5.HONDERICH, T. (Editor) (2001). Enciclopedia Oxford de Filosofa. Trd. Carmen Garca Trevijano. Madrid. Editorial Tecnos. ISBN 84-309-3699-8.MITCHELL, D. (1968). INTRODUCCIN A LA LGICA. BARCELONA: EDITORIAL LABOR.NAVARRO, C. Y NADAL, B. (1982). Aspectos de la Matemtica en el siglo XX. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. ISBN 81-320-0840-0.PERELL I VALLS, C. (1979). El clculo en los siglos XVII y XVIII. Historia de la Ciencia. BARCELONA.ED.PLANETA. ISBN 84-320-0842-7.QUINE, W.V. (1981). FILOSOFA DE LA LGICA. MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2043-2.STEWART I. (1977). Conceptos de matemtica moderna. Madrid. Alianza Universidad. ISBN 84-206-2187-0.Tablas de Aritmtica. Ed.EDIVAS S.L. Ref. 25. Zamudio. Espaa.Trueta i Raspall, J. et alii. (1977). Historia de la Ciencia. I. BARCELONA.ED.PLANETA. ISBN 84-320-0841-9.Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards (1995). CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA. Volumen 1 quinta edicin. McGRAW-HILL/ INTERAMERICANA DE ESPAA, S.A. ISBN 84-481-1768-9.Enlaces externos[editar]Ver el portal sobre Matemtica Portal:Matemtica. Contenido relacionado con Matemtica. Wikiquote alberga frases clebres de o sobre Clculo.Weisstein, Eric W. Calculus (en ingls). MathWorld. Wolfram Research. Consultado el 29 de mayo de 2010.Clculo de funcioneshttp://www.cenidet.edu.mx/dda/docs/aplicacionteoriaactividad.pdf.Introduccin a la lgica de clasesClculos financierosClculos Diferencial en una variable - Libro Gratis