Departamento Física Aplicada

LaboratorioTermodinámica

2o DE FISICAS. CURSO 2005/06

PROBLEMAS DE TERMODINAMICACalculos aproximados. Logaritmos y potencias

Resumen

Por principio, un fısico debe ser capaz de llevar a cabo cual-quier tipo de calculo numerico con suficiente aproximacion y sinnecesidad de utilizar calculadoras. El uso de los logaritmos y de laspotencias de 10 son la clave de este tipo de actividad calculıstica.

Constantes universales

En Fısica hay muchas magnitudes que son constantes universales–aparecen involucradas en muchos fenomenos diferentes– y su conoci-miento permite realizar calculos sencillos sobre muchos procesos fısicos.En la Tab. 1 se proporcionan algunas constantes universales ası comosus valores redondeados en orden de magnitud. Para mejor recordarlas,se han redondeado 1 a multiplos de 3 o de 6.

Calculos. Logaritmos y potencias

1. Principio de Wheeler. En primer lugar debe recordarse lo que JohnArchibald Wheeler 2 denomina primer principio moral de un fısico:

Nunca se debe hacer un calculo sin conocer antes el re-sultado.

Aunque esta afirmacion parezca un oxımoron, pues se supone queuno hace el calculo precisamente para conocer el resultado, lo quese quiere decir es que antes de cualquier calculo numerico precisose deben hacer consideraciones y estimaciones sencillas, posible-mente incluso aproximaciones crudas, que permitan conocer apro-ximadamente la solucion 3. Si esto no se hace de forma sistematica,

1Steven D. Doty and Sandra L. Doty, Dielectric breakdown of air as order-of-magnitude physics, Phys. Teach. 36, 6 (1998)

2El inventor del nombre black hole (hoyo o agujero negro)3Enrico Fermi y Lev Landau son conocidos por su especial habilidad para hacer

esto en las situaciones mas variadas.

1

Nombre Sımbolo Valor SI AproximacionConstante Gravitacion Universal G 6, 67×10−11 6×10−11

Gravedad terrestre g 9,81 10Constante de Boltzmann k 1, 38×10−23 10−23

Numero de Avogadro NA 6, 63×10−34 6×10−34

Constante de los gases R 8, 31 6Constante de Planck h 6, 02×1023 6×1023

Velocidad de la luz en vacıo c 2, 99×108 3×108

Carga del electron e 1, 6×10−19 10−19

Masa del electron me 9, 11×10−31 10−30

Pi π 3,14 3e e 2,72 3

Cuadro 1: Algunas constantes universales, sus valores en el SI y susaproximaciones en orden de magnitud.

la probabilidad de equivocarse al hacer calculos tiende a uno coninusitada rapidez. Una revision de las dimensiones de las magni-tudes empleadas y de la coherencia dimensional de las expresionesa las que se ha llegado suele ser una buena forma, y rapida, dedetectar posibles errores.

El punto anterior esta directamente relacionado con el uso indis-criminado de calculadoras de bolsillo en la resolucion numerica deproblemas. Debe recordarse aquı que las calculadoras funcionanbien si se aprietan las teclas adecuadas, lo que no siempre sucede.Trabajar sistematicamente con numeros expresados en forma depotencias de 10 ayuda mucho en los calculos, sobre todo a la ho-ra de simplificar expresiones complejas. Estas estimaciones debenproporcionar al menos el orden de magnitud del resultado busca-do. En este mismo sentido es importante intentar conservar hastael final las variables en forma literal, sin sustituirlas por sus valoresnumericos cada vez que aparecen, y solo sustituirlas en la expre-sion final. De esta forma se tarda menos tiempo en el calculo, puesmuchos pasos intermedios se evitan al simplificarse entre sı, y hayque hacer muchos menos calculos.

1. Segundo principio moral de un fısico:

Nunca se debe hacer un experimento sin conocer antesel resultado.

La idea es que solo puede haber una sorpresa al realizar un experi-mento si previamente se ha desarrollado una teorıa y se espera unarelacion numerica concreta. Si esta se obtiene dentro del intervalode error, se disena otro experimento. Si no se obtiene el resulta-do esperado, hay que revisar toda la instalacion. Solo cuando uno

2

esta completamente seguro de que el resultado es genuino puedeempezar a suponer que se encuentra con un efecto no previsto yque tiene una posibilidad de avanzar en el conocimiento.

1. Logaritmos

1.1. Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos son una herramienta matematica muy util a la horade llevar a cabo calculos numericos. Dado un cierto numero, a, y unacierta base b, se dice que el numero c es el logaritmo de a en base bcuando se tiene que

a = bc ,

y se notac = logb a .

Del mismo modo, a es el antilogaritmo de c en base b.Los logaritmos simplifican los calculos debido a que transforman los

calculos de productos, divisiones, elevar a potencias y calcular raıcescuadradas en calculos de sumas y restas. Esto se debe a las propiedadesde las potencias, y de los logaritmos:

bcbd = bc+d;(bc)d = bcd .

Los exponentes pueden ser tanto positivos, b3 = bbb, como negativosb−2 = 1/b2 o fraccionarios b3/2 =

√b3. Dada la definicion de logaritmo,

no es difıcil demostrar las siguientes propiedades de los mismos:

logb(a1a2) = logb a1 + logb a2 ;

logb

a1

a2= logb a1 − logb a2 ;

logb(a)n = n logb a .

Si hay que multiplicar dos numeros, n1 y n2, se elige una mismabase, b, y se obtienen los logaritmos de cada uno de ellos en esa base,

n1 = bc1 : n2 = bc2 ,

de tal forma quen1n2 = bc1+c2 .

Se calcula ahora el antilogaritmo de c1 + c2 en base b y ası se obtieneel producto de los dos numeros. Aunque parece que no se gana muchocon esta forma de realizar el calculo, cuando hay muchas operacionesimplicadas, se consigue ahorrar mucho tiempo.

Una base de logaritmos importante 4 es 10 y existen tablas de logarit-mos decimales calculados con gran precision. Otras bases de logaritmos

4N. David Mermin, Logarithms!, Am. J. Phys. 46, 101 (1978)

3

importantes son 2 y el numero e, base de los logaritmos naturales. Da-do que los logaritmos de un mismo numero en dos bases diferentes setransforman utilizando un factor fijo, solo se necesita una tabla de lo-garitmos. Ası, si se quiere obtener el logaritmo en base 2 de 7 y se sabeque el logaritmo en base 10 de 7 es 0,85, entonces, como

7 = 100,85 = 2c ,

tomando logaritmos en base 10, se tiene que

0, 85 = c log10 2 ,

y como se sabe que log10 2 = 0, 30, se tiene finalmente que

log2 7 =1

0, 30log10 7 ≈ 2, 81 .

Luego para transformar un logaritmo en base 10 en un logaritmo en base2 solo es necesario multiplicarlo por 3,32. Una transformacion semejantese puede obtener para cualquier otra base.

Una base muy importante es e = 2, 7188282..., la base de los loga-ritmos neperianos5. El logaritmo en base 10 de este numero se puedeestimar haciendo

e2 ≈ 7 → log10 e ≈ log10 72

= 0, 43 ,

que se aproxima al valor real log e = 0, 4342945... A su vez, el logaritmoneperiano de 10 sera

ex = 10 → x = ln 10;x log e = 1 → ln 10 =1

log e= 2, 30 ,

que se compara muy bien con el valor real ln 10 = 2, 302585. Con

loge 10 = 2, 302 ,

log1 0e =1

2, 30= 0, 434 ,

un numero A se puede poner como A = 10a = eq, de donde q = a0,434o a = q2,30.

1.2. Calculos con logaritmos

Para realizar practicamente todos los calculos que se necesitan essolo necesario recordar un numero:

log10 2 = 0, 301030

que es el logaritmo decimal de 2, es decir, que 100,301030 = 2, 000005Ian Bruce, Napier’s logarithms, Am. J. Phys. 68, 148 (2000)

4

Pero recordando que log10 2 ≈ 0, 30 (un error de 1 en 300) se consi-gue casi lo mismo. Para obtener este resultado, se puede considerar losiguiente. Puesto que

210 = 322 = 1024 ≈ 1000

y103 = 1000 ≈ 210

se tiene que

10 log10 2 = 3 → log10 2 = 0, 30; 100,3 ≈ 2, 0

.Se pueden recordar otros numeros, pero hay algunas reglas para re-

cordarlos. Por ejemplo, que log10 3 ≈ 0, 48 se puede recordar conside-rando que 32 = 9 y que 23 = 8, por lo que el logaritmo de 3 debeser un poco mas de 3/2 del logaritmo de 2. Como 4 = 22, su loga-ritmo es 0,60. Como 5 = 10/2, entonces 5 = 10log 5 ≈ 10/100,30 ylog 5 = 1 − log 2 ≈ 0, 70. Como 6 = 3×2, log 6 ≈ 0, 78. los logarit-mos de 8 y 9 son 3 log 2 ≈ 0, 90 y 2 log 3 ≈ 0, 96, respectivamente. Ycomo 72 ≈ 50, entonces log 7 ≈ (1 + log 5)/2 ≈ 0, 85.

¿Que valores podemos esperar para 100,10 o para 100,20. Puesto que√2 ≈ 1, 41, entonces 100,15 ≈ 1, 4. En cualquier caso es bueno recordar

que 100,10 ≈ 1, 25 y que 100,20 ≈ 1, 6

Numero log10 Numero log10

1 0 7 0,851,25 0,10 8 0,901,6 0,20 9 0,962 0,30 10 1,02,72 0,43 e 0,4343 0,48 100 2,04 0,60 106 3,05 0,70 1/100 -26 0,78 1/6 -0,78

Cuadro 2: Valores aproximados de los logaritmos decimales de algunosnumeros.

1. Calcular la raız cuadrada de 487.

Una forma aproximada –el metodo asirio– de calcular raıces cua-dradas es encontrar un numero aproximado, y aproximar como487 = 202 + x, se puede aproximar

487 = (20 + x)2 ≈ 400 + 40x + · · ·

5

de donde x ≈ 87/40 ≈ 2, 2. Por tanto√

487 ≈ 22, 2.

Puesto que 487 ≈ 72 · 10, su logaritmo debe estar proximo a2×0, 85 + 1 = 2, 7. Dividiendo este numero por 2, se tiene 1,35.Su antilogaritmo es 100,35 · 10, que debe ser del orden de 21 o 22.El valor correcto es

√487 = 22, 07.

2. Calcular la raız quinta de 487 (A = 4871/5).

Ahora el metodo asirio es algo mas difıcil de aplicar. Pero tomandologaritmos, se tiene que

log 4871/5 ≈ 2, 75≈ 0, 54 ,

por lo que su antilogaritmo debe ser del orden de 3,1 o 3,2. El valorcorrecto es 4871/5 = 3, 45.

Con el metodo asirio 487 = 35 + 5 · 34x, de donde x = 0, 6.

3. Calcular

297(

234751

)1/1,2

Aproximando se tiene que

A = 297(

234751

)1/1,2

≈ 3 · 102(

250050

)1/1,2

,

de donde

log A ≈ (2 + 0, 48) +1

1, 2(1 + 0, 70) ≈ 2, 5 + 1, 4 = 3, 9 ,

yA ≈ 100,90 · 103 ≈ 8 · 103

El resultado correcto es 7220.

4. Calcular P a partir de

lnP

760= −36740

8, 31

[1

273 + 21− 1

273 + 78

]Aproximando

≈ 37 · 103

8, 31

[60

300 · 370

]≈ 4 · 103

[6 · 10

3 · 3, 7104

]≈ 2 · 4

3, 7≈ 2

Por tanto

P ≈ 760 exp(−2)

Como ln 10 = 2, 30, e−2 ≈ 10−2/2,3 ≈ 10−0,8 ≈ 1/6 ≈ 0, 16. Portanto P ≈ 122. El resultado correcto es 141.

6

Aproximacion de funciones

En ocasiones hay que realizar calculos aproximados de funciones. Enesos casos resulta muy util tener en cuenta los siguientes resultados:

1. (1 + x)−1

11 + x

= (1 + x)−1 = 1− x + x2 − x3 + x4−

Si x � 1, entonces (1 + x)−1 ≈ 1 − x y (1 − x)−1 ≈ 1 + x. Porejemplo

11, 1

= 0, 909;1

0, 9= 1, 11 .

2. ln(1 + x)

ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− x4

4−

Si x� 1, entonces ln(1 + x) ≈ x y ln(1− x) ≈ −x Por ejemplo

ln 1, 1 = 0, 095; ln 0, 9 = −0, 105 .

3. ex

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

Si x� 1, entonces ex ≈ 1 + x y e−x ≈ 1− x Por ejemplo

e0,1 = 1, 11; e−0,1 = 0, 905 .

4. sen x

sen x = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+

Si x� 1, entonces sen x ≈ x y sen (−x) ≈ −x Por ejemplo

sen 0, 1 = 0, 0998; sen −0, 1 = −0, 0998 .

5. cos x

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

Si x� 1, entonces cos x ≈ 1. Por ejemplo

cos 0, 1 = 0, 995.

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