Cá lculo de lá inversá de uná Mátriz

Sea una matriz queremos saber como calcular su inversa .

Sabemos que .

Cálculo por el determinante Para poder obtener la inversa de una matriz con éste método, debemos primero definir algunos

elementos:

Determinante de una matriz: Definiremos el mismo para matrices de orden 1, 2 y 3.

Orden 1: Sea entonces el determinante de se escribe | | | | .

Orden 2: Sea [

] entonces el determinante de es:

| | |

|

Orden 3: Sea [

] entonces el determinante de queda definido mediante la

regla de Sarrus de la siguiente manera:

| | |

|

Matriz Adjunta o de cofactores: Sea una matriz cuadrada definimos a su matriz de adjunta o de cofactores tal que:

Debido a que de esta definición no podemos calcular directamente la matriz de cofactores, la

definiremos mediante la siguiente fórmula. Sea un elemento de se define para cada y

la matriz como la matriz de orden obtenida a partir de eliminando la fila

y la columna . Y se define la cantidad:

Luego los componentes de la matriz de adjuntos o cofactores son los elementos

Por ejemplo sea [

] entonces la matriz de cofactores [

].

Inversa de una matriz mediante el cálculo de su determinante Sea una matriz cuadrada y su matriz adjunta. Definimos:

| |

Como ejemplo del método utilizaremos las matrices y que definimos al principio.

Comencemos con:

B=

2 3

1 2

Calculemos el determinante de la matriz B

det B = 1

Determinante de la matriz B es distinto de cero, entonces la matriz invertible B-1 existe.

Para resolver una matriz invertible calculemos los menores y cofactores de la matriz B

Calculemos un menor 1,1 y cofactor C1,1 de A1,1. En la matriz B eliminemos la

fila 1 y columna 1.

1,1 = 2

= 2

C1,1 = (-1)1+1

1,1 = 2

Calculemos un menor 1,2 y cofactor C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la

fila 1 y columna 2.

1,2 = 1

= 1

C1,2 = (-1)1+2 1,2 = -1

Calculemos un menor 2,1 y cofactor C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la

fila 2 y columna 1.

2,1 = 3

= 3

C2,1 = (-1)2+1

2,1 = -3

Calculemos un menor 2,2 y cofactor C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la

fila 2 y columna 2.

2,2 = 2

= 2

C2,2 = (-1)2+2

2,2 = 2

Apuntemos una matriz de cofactores:

C =

2 -1

-3 2

Transpuesta de la matriz cofactores:

CT =

2 -3

-1 2

Resolvamos una matriz invertible.

B-1

= C

T

= det B

2 -3

-1 2

Observamos que los 2 métodos nos entregan la misma matriz .

Calculemos ahora utilizando éste método.

A=

1 2 1

0 1 1

0 2 1

Calculemos el determinante de la matriz A

det A = -1

Determinante de la matriz A es distinto de cero, entonces la matriz invertible A-1 existe.

Para resolver una matriz invertible calculemos los menores y cofactores de la matriz A

Calculemos un menor 1,1 y cofactor C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la

fila 1 y columna 1.

1,1 = 1 1

2 1

= -1

C1,1 = (-1)1+1 1,1 = -1

Calculemos un menor 1,2 y cofactor C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la

fila 1 y columna 2.

1,2 = 0 1

0 1

= 0

C1,2 = (-1)1+2

1,2 = 0

Calculemos un menor 1,3 y cofactor C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la

fila 1 y columna 3.

1,3 = 0 1

0 2

= 0

C1,3 = (-1)1+3 1,3 = 0

Calculemos un menor 2,1 y cofactor C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la

fila 2 y columna 1.

2,1 = 2 1

2 1

= 0

C2,1 = (-1)2+1 2,1 = 0

Calculemos un menor 2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la

fila 2 y columna 2.

2,2 = 1 1

0 1

= 1

C2,2 = (-1)2+2 2,2 = 1

Calculemos un menor 2,3 y cofactor C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la

fila 2 y columna 3.

2,3 = 1 2

0 2

= 2

C2,3 = (-1)2+3

2,3 = -2

Calculemos un menor 3,1 y cofactor C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la

fila 3 y columna 1.

3,1 = 2 1

1 1

= 1

C3,1 = (-1)3+1

3,1 = 1

Calculemos un menor 3,2 y cofactor C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la

fila 3 y columna 2.

3,2 = 1 1

0 1

= 1

C3,2 = (-1)3+2 3,2 = -1

Calculemos un menor 3,3 y cofactor C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la

fila 3 y columna 3.

3,3 = 1 2

0 1

= 1

C3,3 = (-1)3+3 3,3 = 1

Apuntemos una matriz de cofactores:

C =

-1 0 0

0 1 -2

1 -1 1

Transpuesta de la matriz cofactores:

CT =

-1 0 1

0 1 -1

0 -2 1

Resolvamos una matriz invertible.

A-1

= C

T

= det A

1 0 -1

0 -1 1

0 2 -1

Observamos que éste método nos entrega la misma que el método de Gauss-Jordan