Clculo de la inversa de una MatrizSea una matriz queremos saber como calcular su inversa .Sabemos que . Clculo por el determinantePara poder obtener la inversa de una matriz con ste mtodo, debemos primero definir algunos elementos:Determinante de una matriz: Definiremos el mismo para matrices de orden 1, 2 y 3. Orden 1: Sea entonces el determinante de se escribe .Orden 2: Sea entonces el determinante de es:

Orden 3: Sea entonces el determinante de queda definido mediante la regla de Sarrus de la siguiente manera:

Matriz Adjunta o de cofactores:Sea una matriz cuadrada definimos a su matriz de adjunta o de cofactores tal que:

Debido a que de esta definicin no podemos calcular directamente la matriz de cofactores, la definiremos mediante la siguiente frmula. Sea un elemento de se define para cada y la matriz como la matriz de orden obtenida a partir de eliminando la fila y la columna . Y se define la cantidad:

Luego los componentes de la matriz de adjuntos o cofactores son los elementos Por ejemplo sea entonces la matriz de cofactores .Inversa de una matriz mediante el clculo de su determinanteSea una matriz cuadrada y su matriz adjunta. Definimos:

Como ejemplo del mtodo utilizaremos las matrices y que definimos al principio.Comencemos con:

B=23

12

Calculemos el determinante de la matrizB

detB= 1

Determinante de la matrizBes distinto de cero, entonces la matriz invertibleB-1existe. Para resolver una matriz invertible calculemos los menores y cofactores de la matrizB

Calculemos un menor 1,1y cofactor C1,1de A1,1. En la matrizBeliminemos la fila 1 y columna 1.1,1=2

=2

C1,1= (-1)1+11,1=2

Calculemos un menor 1,2y cofactor C1,2de A1,2. En la matrizAeliminemos la fila 1 y columna 2.1,2=1

=1

C1,2= (-1)1+21,2=-1

Calculemos un menor 2,1y cofactor C2,1de A2,1. En la matrizAeliminemos la fila 2 y columna 1.2,1=3

=3

C2,1= (-1)2+12,1=-3

Calculemos un menor 2,2y cofactor C2,2de A2,2. En la matrizAeliminemos la fila 2 y columna 2.2,2=2

=2

C2,2= (-1)2+22,2=2

Apuntemos una matriz de cofactores:

C=2-1

-32

Transpuesta de la matriz cofactores:

CT=2-3

-12

Resolvamos una matriz invertible.B-1=CT=

detB

2-3

-12

Observamos que los 2 mtodos nos entregan la misma matriz .

Calculemos ahora utilizando ste mtodo.A=121

011

021

Calculemos el determinante de la matrizA

detA= -1

Determinante de la matrizAes distinto de cero, entonces la matriz invertibleA-1existe. Para resolver una matriz invertible calculemos los menores y cofactores de la matrizA

Calculemos un menor 1,1y cofactor C1,1de A1,1. En la matrizAeliminemos la fila 1 y columna 1.1,1=11

21

=-1

C1,1= (-1)1+11,1=-1

Calculemos un menor 1,2y cofactor C1,2de A1,2. En la matrizAeliminemos la fila 1 y columna 2.1,2=01

01

=0

C1,2= (-1)1+21,2=0

Calculemos un menor 1,3y cofactor C1,3de A1,3. En la matrizAeliminemos la fila 1 y columna 3.1,3=01

02

=0

C1,3= (-1)1+31,3=0

Calculemos un menor 2,1y cofactor C2,1de A2,1. En la matrizAeliminemos la fila 2 y columna 1.2,1=21

21

=0

C2,1= (-1)2+12,1=0

Calculemos un menor 2,2y cofactore C2,2de A2,2. En la matrizAeliminemos la fila 2 y columna 2.2,2=11

01

=1

C2,2= (-1)2+22,2=1

Calculemos un menor 2,3y cofactor C2,3de A2,3. En la matrizAeliminemos la fila 2 y columna 3.2,3=12

02

=2

C2,3= (-1)2+32,3=-2

Calculemos un menor 3,1y cofactor C3,1de A3,1. En la matrizAeliminemos la fila 3 y columna 1.3,1=21

11

=1

C3,1= (-1)3+13,1=1

Calculemos un menor 3,2y cofactor C3,2de A3,2. En la matrizAeliminemos la fila 3 y columna 2.3,2=11

01

=1

C3,2= (-1)3+23,2=-1

Calculemos un menor 3,3y cofactor C3,3de A3,3. En la matrizAeliminemos la fila 3 y columna 3.3,3=12

01

=1

C3,3= (-1)3+33,3=1

Apuntemos una matriz de cofactores:

C=-100

01-2

1-11

Transpuesta de la matriz cofactores:

CT=-101

01-1

0-21

Resolvamos una matriz invertible.A-1=CT=

detA

10-1

0-11

02-1

Observamos que ste mtodo nos entrega la misma que el mtodo de Gauss-Jordan