Calcular potencias de base racional Representar, modelar

1. Representa como una potencia cada multiplicación iterada.

a. 13

• 13

• 13

• 13

= b. (–2,5) • (–2,5) = ( )

c. – 32 • –

32 • –

32 • –

32 =

d. 0,6 • 0,6 • 0,6 • 0,6 = ( ) 2. Calcula el valor de cada potencia.

a. 23 3

b. – 32

4

c. 65 3

d. – 14

2

3. Escribe en cada cuadrado las potencias 103, 302, 82, 15, 32, 102 y 62 de forma tal que luego de resolver la operación indicada resulte el número central del rectángulo.

100

• –

:+

Tema 2: Potencias

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Aprender Aprender

Unidad 1: Números

39

4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.

El volumen (V) de un cubo es V = a3.

a

a

a

Calcula el volumen (V) de cada cubo dada la medida de una de sus aristas (a).

a. a = 1113

cm

b. a = 2,6 cm

c. a = 3,5 cm

d. a = 73

cm

• ¿Qué situaciones de la vida o de otras asignaturas puedes relacionar con el uso de las potencias? Da un ejemplo.

5. Completa con los números que corresponden según la regla deducida y luego responde.

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

21

1 = 13

3 + 5 = 8 = 23

7 + 9 + 11 = 27 = 33

13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43

¿Cuánto sumarán los números de la fila 10?

Matemática 1o Medio

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Tema 2: Potencias

Resolver problemas

6. Observa el prisma de base rectangular y luego responde.

1,52 m

1,5 m1,53 m

a. ¿Cuál es el volumen (V) del prisma expresado como una potencia de base 1,5?

Respuesta:

b. ¿Cuál es el área total expresada como una potencia de base 1,5?

Respuesta:

7. Completa cada igualdad.

a. 35 = 9

25

b. 4 = 0,0256

c. 3

= 12564

d. 0,5 = 0,125

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Aprender Aprender

Unidad 1: Números

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8. Observa la siguiente secuencia y luego desarrolla las actividades.

34 1

, 34 2

, 34 3

, 34 4

, 34 5

, …

a. ¿Cuál es el sexto término de la secuencia? Escríbelo como una potencia. u

b. Calcula el valor del séptimo término de la secuencia.

9. Calcula el valor de las siguientes potencias.

a. 20

b. (–4)4

c. 2,3–2

d. – 12

–5

Argumentar y comunicar

10. Analiza la siguiente situación y luego responde.

Se quiere comprar un terreno en el que el área sin construir sea mayor que el área construida. A continuación se muestra el plano de una propiedad que está a la venta.

12

km

13

km

2–2 km

e13o

2

km

e13o

2

km

e13o

2

km

Superficie construida.Superficie sin construir.

¿Cumple el terreno con las características requeridas? Justifica tu respuesta.

Matemática 1o Medio

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Tema 2: Potencias

11. Escribe >, < o = según corresponda.

a. 35 0

– 35

0

b. (4,5)2 45 3

c. (2,1)4 (1,9)3

d. 15 –3

15 –4

e. 5–3 153

f. (–1)–1 –1

Representar

12. Representa las siguientes potencias en potencias con exponente positivo.

a. d25n

–6

= b. d– 79n

–4

= c. (–2,4)–3 =

13. Representa las siguientes potencias en potencias con exponente negativo.

a. 3,412 = b. d– 1

12n

5

= c. d6

11n

7

=

14. Resuelve las siguientes operaciones.

a. 33 – 3–2

b. 2–6 + 4–3 + 8–2

c. 4–1 • 4 – 40 + 1 – 320

d. 0,54 + (–0,25)3

e. 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25

f. 12 –1

+ 2 • – 54

–2

=

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Aprender Aprender

Unidad 1: Números

43

15. Representa cada expresión con una potencia cuyo exponente sea un número natural.

a. (–10)–4 • (–10)–3 • (–10)–1

b. 35 2

• 35 –5

• 35 7

c. (–1,6)5 : (–1,6)–6

d. – 13

–11

: – 13

4

: – 13

–12

e. ((–3)4)–3

f. – 95

–3

2–4

g. 1,252 • 54 3

2

h. – 108

6

• – 25

4

• 25 2

Argumentar y comunicar

16. Analiza la siguiente situación y luego responde.

Daniela

Marcos

Para resolver 56 • 56, la multiplicación se

puede expresar como 56 + 6.

Yo creo que se debe expresar como (5 • 5)6.

¿Quién está en lo correcto? ¿Por qué?

Matemática 1o Medio

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Tema 2: Potencias

Resolver problemas

17. Calcula el valor de cada expresión aplicando las propiedades de las potencias.

a. 32

5 :

32

5

b. 3,272 : 3,272

c. – 12

3

: 52 3

d. 0,32 : 13 3

e. 73 –4

• 73 4

f. 27 2

: 72 –2

5

• ¿Cuál(es) de las siguientes propiedades de las potencias aplicaste para resolver las operaciones? Remarca el (los) recuadro(s).

an • am = an + m ab n

= an

bna–n =

1an

(an)m = an • m

18. Analiza la siguiente información y luego responde.

Las siguientes figuras muestran un cuadrado en el que

el área de la zona pintada corresponde a 14

del área

pintada del cuadrado anterior.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a. Si el área de la figura original es de 10 cm2, ¿cuál es el área de las figuras 5 y 10?

b. Si el área inicial es de 1 cm2, expresa como una potencia el área de la figura 100.

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Aprender Aprender

Unidad 1: Números

45

19. Resuelve los siguientes problemas.

a. Las figuras están formadas con cuadrados de 2,5 cm de lado. ¿Cuál es la suma de las áreas de las figuras? Expresa tu respuesta con potencias de base 2,5.

Respuesta:

b. Se organizaron algunos documentos en un computador. Para ello, se abrieron tres carpetas: A, B y C. Después, para cada una de estas, se abrieron otras 3: a, b y c, y dentro de cada una se guardaron 9 archivos.

A

a b c a b c a b

B C

c

¿Cuántos archivos se guardaron en total? Expresa tu respuesta como una potencia de base 3.

Respuesta:

Matemática 1o Medio

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Taller de desarrollo de habilidades disciplinares

Representar potencias de base racional y exponente natural

Pamela analiza el grado de descomposición de un alimento. Para ello, considera que el alimento está contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es igual a 128 o más. Si en un comienzo hay una bacteria por milímetro cuadrado y esta se reproduce dividiéndose en dos cada 10 min, ¿cuánto tiempo tardará el alimento en estar descompuesto?

Paso 1: Identifica qué se representará.

Paso 2: Elige una representación.

Paso 3: Utiliza la representación según la situación.

Paso 4: Escribe la respuesta.

La habilidad de representar se desarrolla al:

• elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas y simbólicas para enunciados y situaciones en contextos diversos (tablas, gráficos, recta numérica, entre otros).

• Recuerda que puedes revisar las representaciones que utilizaste en esta unidad.

• Para apoyar tu resolución, revisa la actividad modelada en tu Libro Web.

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Aprender Aprender

Unidad 1: Números

Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial Modelar

1. Analiza la siguiente información. Luego, desarrolla las actividades.

Una especie de microorganismo que se reproduce en un laboratorio se triplica cada 1 hora. Al comenzar se tiene 1 microorganismo.

a. Completa la tabla con la cantidad de microorganismos según las horas transcurridas y con la potencia que corresponda.

Hora 0 1 2 3 4

Cantidad de microorganismos 1 3 9

Potencia

b. Completa el siguiente gráfico a partir de los datos de la tabla.

0

10

3020

5060708090

100

40

Can

tidad

de

mic

roor

gani

smos

Reproducción de un microorganismo

1 32 4 Hora

c. ¿A qué hora habrá más de 2.000 microorganismos?

Respuesta:

d. Si el experimento hubiese comenzado con 2 microorganismos, ¿cuántos habría después de 4 h?

Respuesta:

47Matemática 1o Medio

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Tema 2: Potencias

2. Una comunidad escolar se ha visto afectada por la rápida propagación de una enfermedad muy contagiosa. Cada enfermo contagia a dos personas al día y al comienzo hay uno.

a. Considerando la información anterior, completa la siguiente tabla y luego haz el gráfico correspondiente.

Personas contagiadas

DíaCantidad de personas que

se contagian al día

1

2

3

40

2468

101214161820

Can

tidad

de

pers

onas

Personas contagiadas

1 2 3 4 Día

b. Escribe la expresión que modela la situación. u

3. Analiza la siguiente información. Luego, desarrolla las actividades.

La temperatura (en grados Celsius) de cierto objeto a los t minutos está dada por la expresión 1.024 • 2–t.

a. Completa la tabla con la temperatura según corresponda.

Minutos transcurridos 3 6 9 12

Temperatura del objeto (°C)

b. ¿Cuál es la razón entre la temperatura a los 9 min y a los 6 min?

Respuesta:

• ¿Qué entiendes por crecimiento exponencial? ¿Y por decrecimiento exponencial?

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Aprender Aprender

Unidad 1: Números

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4. Un cultivo de bacterias se reduce a la mitad cada día debido al efecto de sustancias químicas incorporadas al líquido de cultivo. En un comienzo, hay 580.000 bacterias por cada mL de este líquido.

a. ¿Cuántas bacterias habrá al finalizar el cuarto día?

Respuesta:

b. ¿Cuántos días han transcurrido si ya hay menos de 5.000 bacterias por cada mL de líquido?

Respuesta:

5. Una sustancia se desintegra a medida que transcurre el tiempo. De este modo, luego de media hora queda la mitad de la cantidad inicial. Al principio se tienen 64 g de la sustancia.

a. ¿Cuántos gramos quedarán después de 1 hora? Expresa el resultado como una potencia.

Respuesta:

b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para tener 1 g de sustancia?

Respuesta:

• ¿Qué pasos seguiste para resolver las actividades anteriores? Escríbelos.

Matemática 1o Medio

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Preguntas tipo PSU resueltas

A continuación se presenta el análisis de 2 preguntas tipo PSU del eje Números.

Resolución:

Francisca tenía $ 720.000 y gasta 25

de ese dinero en un artículo electrónico, lo que corresponde a:

25

• 720.000 = 1.440.000

5 = 288.000

Como gasta $ 288.000 en el artículo, le quedan $ (720.000 – 288.000) = $ 432.000. Luego gasta 14

de ese dinero en vestuario, lo que equivale a:

14

• 432.000 = 432.000

4 = 108.000

Entonces, a Francisca le quedan $ (432.000 – 108.000) = $ 324.000.

Al calcular la fracción de dinero, respecto del total, que le queda a Francisca se obtiene lo siguiente:

324.000720.000

= 9

20

Por lo tanto, a Francisca le quedan 9

20 del dinero que tenía inicialmente.

Respuesta:

1. B C D EA

1. Francisca gastó 25

del total de su dinero al comprar un artículo electrónico y 14

de lo que le

quedó en vestuario. Si inicialmente tenía $ 720.000, ¿cuál es la fracción de dinero, respecto

del total, que le queda a Francisca?

A) 9

20

B) 7

20

C) 3

20

D) 25

E) 12

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51

Aprender Aprender

Unidad 1: Números

Resolución:

Si se considera la información entregada en (1), no se puede asegurar que la potencia xp es siempre igual a –1, ya que si p corresponde a un número par, el valor de la potencia será positivo.

Al considerar la información entregada en (2), se tiene que la expresión 2n – 1 representa un número impar, por lo que el valor de la potencia xp será positivo si x es positivo y será negativo si x es un número negativo.

Como no se entrega mayor información acerca del valor de x, la información (2) no es suficiente para calcular el valor de la potencia xp.

Luego, al utilizar ambas informaciones, (1) y (2), se tiene que la base de la potencia (x) corresponde a un número negativo y que el exponente (p) es un número impar, por lo que el valor de la potencia xp será negativo. Y, como se sabe que x = –1, se podrá calcular el valor de la potencia xP.

Respuesta:

2. A B C D E

2. El valor de la potencia xp es –1 si:

(1) x = –1

(2) p = 2n – 1, con n +.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

51Matemática 1o Medio

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Marca la alternativa que consideres correcta.

1. Una viga de madera mide 0,7 m de largo. Si luego de 16 horas, por los cambios de temperatura, aumentó en una centésima parte de su longitud, ¿cuál es su medida?

A) 0,71 m

B) 0,701 m

C) 0,707 m

D) 0,771 m

E) 0,7007 m

2. Si m y n son números enteros consecutivos tales que m < n, entonces siempre se cumple que:

I. m + n ≠ 0 II. m : n = n – 1 III. m • n = m2 + m

A) Solo I.

B) Solo II.

C) Solo III.

D) Solo I y III.

E) I, II y III.

3. El agua de una piscina ocupa los 23

de la capacidad de esta. Luego de 4 horas se pierden 200 L, por lo que el

agua ocupa ahora 7

11 de ella. ¿Cuál es la capacidad máxima de la piscina?

A) 2.000 L

B) 2.600 L

C) 3.500 L

D) 6.000 L

E) 6.600 L

4. ¿Cuál es la representación decimal de la fracción 8

90?

A) 0,8

B) 0,08

C) 0,08

D) 0,08

E) 0,88

5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I. – 14

2

> 1

II. 0,0005 < 10–3

III. 9 • 0,1–1 = 90

A) Solo I.

B) Solo II.

C) Solo III.

D) Solo I y II.

E) I, II y III.

Preguntas tipo PSU propuestas

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53

Aprender Aprender

Unidad 1: Números

6. El resultado de la expresión 64 –2

• 0,5–3 + 13 2

es:

A) 311

B) 113

C) – 109

D) – 3112

E) 499

7. Si x , ¿x < 0?

(1) x3 es negativo. (2) –x es positivo.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

8. Sea a, b , a ≠ 0, b ≠ 0. La fracción ab

es un número entero positivo si:

(1) a y b tienen el mismo signo. (2) a > 0, y b es un múltiplo positivo de a.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

A B C D E1

A B C D E3

A B C D E2

A B C D E4

A B C D E5

A B C D E7

A B C D E6

A B C D E8

Respuestas

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