Calculo I - Notas de AulaMarciaFederson e
GabrielaPlanas2005Sumario1 OsN umerosReais 41.1 OsN umerosRacionais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2
OsN umerosReais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 71.3 ModulodeumN umeroReal . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 81.4 *LimitacaodeSubconjuntosde R. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Funcoes 162.1
NocoesGerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 162.2 OperacoescomFuncoes . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 DenicoesAdicionais . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Fun
coesTrigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 222.5 Fun coesExponenciaiseLogartmicas . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 252.6 *Seq uencias . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.1
LimitedeumaSeq uencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 283 LimiteeContinuidade 343.1 NocaoIntuitiva . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Denicoes .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 363.3 PropriedadesdoLimite. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 403.4 LimitesLaterais. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5
PropriedadesdasFuncoesContnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 453.6 LimitesInnitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 483.7 LimitesnoInnito . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.8
LimitesInnitosnoInnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 543.9 ON umeroe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 573.10
OutrasPropriedadesdasFuncoesContnuas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 583.11 *LimitedeFuncoeseSeq uencias . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 604 ADerivada 644.1 MotivacaoeDenicao . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2
FormulaseRegrasdeDerivacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 684.3 ARegradaCadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 704.4
DerivacaoImplcitaeDerivadadaFuncaoInversa . . . . . . . . . . . . .
. . 7214.5 DerivadasdeOrdensSuperiores . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 744.6 MaximoseMnimos . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7
OTeoremadoValorMedioesuasConseq uencias . . . . . . . . . . . . . .
. 764.8 ConcavidadeePontosdeInexao . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 794.9 RegrasdeLHospital . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 824.10 Assntotas . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.11
EsbocodeGracosdeFuncoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 875 AplicacoesdaDerivada 885.1 VelocidadeeAceleracao . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2
TaxasdeVariacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 895.3 TaxasRelacionadas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4 RetaTangenteeRetaNormal . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5
AproximacoesLineareseDiferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 935.6 PolinomiosdeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 955.7 ProblemasdeMnimoseMaximos. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 AIntegral 996.1
AIntegraldeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 996.2 PropriedadesdaIntegral . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3
OPrimeiroTeoremaFundamentaldoCalculo . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1046.4 AntiderivadasouPrimitivas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1066.5 OSegundoTeoremaFundamentaldoCalculo
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.6
OLogaritmoDenidocomoumaIntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1087 TecnicasdeIntegracao 1117.1
MudancadeVariavelouRegradaSubstituicao . . . . . . . . . . . . . .
. . 1117.2 IntegracaoporPartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1147.3 SubstituicaoInversa . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.4
IntegraisTrigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 1177.5 PrimitivasdeFuncoesRacionais . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.5.1
DenominadoresRedutveisdo2oGrau . . . . . . . . . . . . . . . . .
1217.5.2 DenominadoresRedutveisdo3oGrau . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1227.5.3 DenominadoresIrredutveisdo2oGrau. . . . . . . . . .
. . . . . . . 1237.6 ASubstituicaou=tg(x/2) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1258 AplicacoesdaIntegral 1278.1
CalculodeAreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1278.2 DeslocamentoeEspacoPercorrido . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1318.3 VolumedeSolidodeRevolucao .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.3.1
SeccoesTransversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1338.3.2 CascasCilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1358.4 ComprimentodeArco . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13628.5AreadeSuperfciedeRevolucao. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 1378.6 Trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.7 CentrodeMassa . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419
IntegraisImproprias 1459.1 IntervalosInnitos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.2
TestesdeConvergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1479.3 IntegrandosDescontnuos . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1493Captulo1OsN umerosReais1.1 OsN
umerosRacionaisIndicamospor N, Ze Qosconjuntosdosn
umerosnaturais,inteiroseracionaisrespectiva-mente. AssimN = {0, 1,
2, 3, . . .},Z = {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .},Q =_ab;a, b
Z,b = 0_.Asomaeoprodutoem Qsaodados,respectivamente,por:ab+cd:=ad +
bcbdab cd:=acbd .Chamamos adicao a operacao que a cada par (x, y)
QQ associa sua soma x+y
Qechamamosmultiplicacaoaoperacaoqueacadapar(x, y)
QQassociaseuprodutox y Q.Aterna(Q, +, ),ouseja, Qmunidodasoperacoes
+e satisfazaspropriedadesdeumcorpo.
Istoquerdizerquevalemaspropriedadesseguintes:(A1) (associativa)(x +
y) + z= x + (y + z),paraquaisquerx, y, z Q;(A2) (comutativa)x + y=
y + x,paraquaisquerx, y Q;(A3) (elementoneutro)existe0 Qtalquex + 0
= x,paratodox Q;(A4) (oposto)paratodox Q,existey Q (y= x),talquex +
y= 0 ;(M1) (associativa)(xy)z= x(yz),paraquaisquerx, y, z Q;(M2)
(comutativa)xy= yx,paratodox, y Q;4(M3) (elementoneutro)existe1
Q,talquex1 = x,paratodox Q;(M4) (elemento inverso) para todo x Q, x
= 0, existe y Q,_y=1x_, tal que x y= 1 ;(D)
(distributivadamultiplicacao)x(y + z) = xy + xz, x, y, z
Q.Apenascomestas9propriedadespodemosprovartodasasoperacoesalgebricascomocorpo
Q. Vamosenunciaralgumasedemonstraroutrasaseguir.Proposicao1.1.
Oelementosneutrosdaadicaoedamultiplicacaosao unicos.Proposicao1.2.
Oelementoopostoeoelementoinversosao
unicos.Proposicao1.3(LeidoCancelamento). Em Q,valex + z= y + z =x =
y .Prova.x + z = y + z+(z)=(x + z) + (z) = (y + z) + (z)(A1)=x + (z
+ (z))= y + (z + (z))(A4)=x + 0 = y + 0(A3)=x = y .
SeguedaleidocancelamentoqueProposicao1.4. Paratodox Q,x 0 =
0.Proposicao1.5. Paratodox Q, x = (1)x.Diremosqueab Q
e_nao-negativo,sea b Npositivo,sea b Nea = 0ediremosqueab Q
e___nao-positivo,seabnaoforpositivonegativo,seabnaofornao-negativo.Sejamx,
y Q. Diremosquex emenordoqueyeescrevemosx < y,seexistirt
Qpositivotalquey= x + t.Nestemesmocaso, poderemosdizerqueyemaior
doquexeescrevemosy>x. Emparticular,x > 0sexforpositivoex <
0sexfornegativo.Sex xouy= x,entaoescreveremosy xe,nestecaso,lemos
yemaiorouigual ax . Escreveremosx 0sexfornao-negativoex
0sexfornao-positivo.Aquadrupla( Q,+, ,
)satisfazaspropriedadesdeumcorpoordenado,
ouseja,alemdaspropriedadesanteriores,tambemvalemaspropriedadesseguintes:5(O1)
(reexiva)x x,paratodox Q;(O2) (anti-simetrica)x y e y x =x =
y,paraquaisquerx, y Q;(O3) (transitiva)x y , y z =x
z,paraquaisquerx, y, z Q;(O4) Paraquaisquerx, y Q, x y ou y x;(OA)
x y =x + z y + z ;(OM) x y e z 0 =xz yz .Proposicao1.6.
Paraquaisquerx, y, z, wnocorpoordenado Q,valem(a)x yz w_=x + z y +
w.(b)0 x y0 z w_=xz yw.Prova. Vamosprovaro tem(b).0 x y0 z
w_(OM)=xz yzyz yw_(O3)=xz yw
Outraspropriedades:Sejamx, y, z, w Q. Entaovalem x < y x +
z< y + z;z> 0z1> 0;z> 0z< 0;Sez> 0,entaox < y
xz< yz;Sez< 0,entaox < y xz> yz;0 x < y0 z<
w_=xz< yw;0 < x < y 0 1728 4ousejax >17284 .Exemplo1.2.
Qualeosinal dex + 11 xemfuncaodex?O numerador e positivo quando x
> 1, negativo quando x < 1 e zero quando x = 1. Odenominador
e positivo quando x < 1, negativo quando x > 1 e zero quando
x = 1. Portantoafracaoserapositivaquando 1 < x <
1,negativaquandox < 1oux > 1ezeroquandox = 1.Exerccio:
Resolvaainequacao4x + 13 x 4.1.3 ModulodeumN umeroRealDenicao1.1.
Sejax R. Omoduloouvalorabsolutodexedadopor|x| =_x, x 0x, x <
0.8Seguedadenicaoacimaque |x| 0e |x| x,paratodox R.Exemplo1.3.
Mostreque |x|2=x2, ouseja, oquadradodeumn umeroreal
naomudaquandosetrocaseusinal.SeguedoExemplo1.3que |x| =x2,isto
e,x2= |x|Exemplo1.4. Aequacao |x| = r,comr
0,temcomosolucoesoselementosdoconjunto{r,
r}.OresultadodoExemplo1.4podesergeneralizadocomonoexemploseguinte.Exemplo1.5.
Aequacao |ax b| = r,comr 0ea =
0,temcomosolucoesoselementosdoconjunto_b + ra, b ra_.Exemplo1.6.
Resolvaaequacao |2x + 1| = 3.Temos2x + 1 = 3ou2x + 1 =
3,oquenosleva`asolucaox = 1oux = 2.SejamP e Qdois pontos daretareal
de abscissas xe y respectivamente. Entaoadistancia de Pa Q (ou de x
a y) e dada por |xy|. Assim |xy| e a medida do segmentoPQ.
Emparticular,como |x| = |x 0|,entao |x|
eadistanciadexa0.Oproximoexemplodizqueadistanciadexa0emenor doquer,
comr >0, seesomentesexestiverentre rer.Exemplo1.7. Sejacomr >
0.Entao |x| < r r < x < r.Suponhamosque |x| <
r.Analisandoosinaldex,temosx 0 =r > |x| = x,x < 0 =r > |x|
= x =r < x.Portanto r < x < r.Agorasuponhamosque r < x
< r.Entao,x 0 = |x| = x < r,x < 0 =x = |x| <
r.Portanto, |x| <
r.Aseguintegurailustraosignicadogeometricodoexemplo.9|x| <
r_rr_r 0xEAgora,vamosgeneralizaroExemplo1.7.Exemplo1.8.
Resolvaainequacao |ax b| < rnavariavel x,comr > 0ea = 0.De
forma similar ao exemplo anterior, r < axb < r. Somando b aos
termos da inequacaoobtemosb r < ax < b + r.Logo,a > 0 =b
ra< x 0 tal que | x| L,paratodox A.Proposicao1.9. UmconjuntoA
Rseralimitadose,esomentese,existir L > 0 talqueA [L,
L].Exemplo1.13.(a) A = [0,
1]elimitado(b)Nnaoelimitado(seramostradomaistarde)(c) B=_2n12n: n
N_elimitado11(d) C=_2n 1n: n N_elimitado.Denicao1.4. UmconjuntoA
Rseraditoilimitado,seelenaoforlimitado.Proposicao1.10. UmconjuntoA
Rserailimitadose, esomentese, paratodoL>0,existirx Atal que | x|
> L.Denicao1.5. SejaA R.
DiremosqueAseraditolimitadosuperiormente, seexistirL R tal que x L,
paratodox
A.Nestecaso,LserachamadolimitantesuperioroucotasuperiordeA.Aseraditolimitadoinferiormente,seexistir
tal que x ,paratodox
A.Nestecaso,serachamadolimitanteinferioroucotainferiordeA.Segundoadenicaoacima,podemosnotarqueA
Rseralimitadose,esomentese,
Aforlimitadosuperiormenteeinferiormente.Exemplo1.14.(a) ConsidereA
= [0, 1). Entao2 e 0 saolimitantesinferioresdeA;1,e101
saolimitantessuperioresdeA.(b)Nnaoelimitadomaselimitadoinferiormentepor0,pois0
x,paratodox N.(c) B= {x Q: x 2}naoelimitado,
maselimitadosuperiormenteporL, ondeL 2.Denicao 1.6. Seja ARlimitado
superiormente (respectivamente limitado inferior-mente),A = .SeL
Rforcotasuperior(resp.
cotainferior)deAeparatodacotasuperior(resp.cotainferior)LdeA,tivermosL
L(resp.L L),entaoLserachamadosupremo(resp.nmo)deA.
Nestecaso,escreveremosL = sup A(resp.L = inf A).Se L=sup AA, entao
Lseramaximo(resp. mnimode A). Neste caso,escreveremosL = max
A(resp.L = min A).12Proposicao1.11. SejaA Rlimitadosuperiormente, A
= . EntaoL=sup Ase, esomentese,valeremaspropriedadesseguintes(a)
LecotasuperiordeA.(b) Paratodo > 0,existea Atal quea > L
.AnalogamentetemosProposicao1.12. SejaA Rlimitadoinferiormente, A =
. EntaoL=inf Ase, esomentese,valemasseguintespropriedades(a)
LecotainferiordeA.(b) Paratodo > 0,existea Atal quea < L +
.Exemplo1.15.(a) SejaA = (0, 1] . Entao0 = inf A e 1 = max A.(b)
SejaB= N. Entao0 = min N.(c) SejaC= {x Q: x22} . Entao2 =sup C e 2
=inf C . Note que2,2/ C.Axioma1.1(daCompletezaoudoSup). SejaA R, A
= . SeAfor limitadosuperiormente,entaoexistiraL = sup
A.Proposicao1.13. SeA
Rforlimitadoinferiormente(superiormente),entaooconjuntoA= {x: x
A}seralimitadosuperiormente(inferiormente) einf A= sup(A)(resp. sup
A = inf(A)).Corolario 1.1. Seja AR, A=. Se Afor limitado
inferiormente, entao existiraL = inf A.Corolario1.2. SejaA
Rlimitado,A = . EntaoAadmite
nmoesupremo.Teorema1.1(PropriedadeArquimedianade R). Sejax =0.
EntaooconjuntoA={nx : n N}eilimitado.Prova. Suponhamos,
primeiramente, quex>0esuponhamos, porabsurdo, queAsejalimitado.
EntaoexistiraL=sup ApoisA = (porque?). Logo, dadom N, existirax R
tal que Lx < mx (veja a Proposicao 1.11). Portanto L < (m+1)x
o que contradizasuposicao.Ocasox < 0seguedemodoanalogo.
Corolario1.3. Oconjuntodosn
umerosnaturaisnaoelimitadosuperiormente.13Corolario1.4. Paratodo
> 0,existen Ntal que1n< .Corolario1.5. SeA =_1n: n
N_,entaoinf A = 0.Denicao1.7. Umavizinhancadea
Requalquerintervaloabertodaretacontendoa .Exemplo1.16.O conjunto
V(a) := (a ,a+),onde > 0, e uma vizinhanca de a R.Denicao1.8.
SejamA R e b R. SeparatodavizinhancaV(b)debexistira V(b) A,coma =
b,entaobseraditopontodeacumulacaodeA.Exemplo1.17.(a) SejaA = (a,
b). EntaooconjuntodospontosdeacumulacaodeAe[a, b].(b) SejaB= Z.
EntaoBnaotempontosdeacumulacao.(c) Qualquersubconjuntonitode
Rnaoadmitepontosdeacumulacao.Exerccio: Mostre que se um conjunto A
R tiver um ponto de acumulacao,entao A
seraumconjuntocominnitoselementos.Denicao1.9. SejaB R. Umpontob
Bser aditoumpontoisoladodeB,seexistir> 0tal
queV(b)naocontempontosdeBdistintosdeb.Exemplo1.18.(a) SejaB= {1,
1/2, 1/3, . . .}. EntaooconjuntodospontosdeacumulacaodeBe
{0}eoconjuntodospontosisoladosdeBeoproprioconjuntoB.(b) Oconjunto
Zpossuiapenaspontosisolados.Observacao: Podem haver conjuntos
innitos que nao possuem pontos de acumulacao (porexemplo Z).
Noentanto,
todoconjuntoinnitoelimitadopossuipelomenosumpontodeacumulacao.Pelapropriedadearquimedianade
R,podemosprovaraproposicaoseguinte.Proposicao1.14.
Qualquerintervaloabertonao-vaziocontemumn
umeroracional.Da,seguequeCorolario1.6.
Qualquerintervaloabertonao-vaziocontemumn umeroinnitoden
umerosracionais.14Proposicao1.15. Oconjuntodospontosdeacumulacaode
QeR.Exerccios:(a) Mostre que se r for um n umero racional nao nulo,
entao r2 sera um n umero irracional.(b)
Mostrequetodointervaloabertocontemumn umeroirracional.(c)
Mostrequetodointervaloabertocontemumn umeroinnitoden
umerosirracionais.(d) Mostrequequalquer n umeroreal
epontodeacumulacaodoconjuntodos n
umerosirracionais.15Captulo2Funcoes2.1 NocoesGeraisDenicao2.1.
DadosdoisconjuntosA, B = , umafuncaof deAemB(escrevemosf : A B
)eumalei ouregraqueacadax A, associaum unicoelementof(x)
B.TemosAechamadodomniodef ;Bechamadocontra-domniodef
;oconjuntoIm(f) = {y B ;y= f(x), x A} .echamadoimagemdef
.Notacoesalternativas. Sejaf: A Bumafuncao. PodemosdenotarDf= D(f)
= Aparaodomniodef;f(Df) :=
Im(f)paraaimagemdef.Tambempodemosdescreveraacaodefpontoapontocomox
Af(x) B .Denicao2.2. Sejamf: A BumafuncaoeA, B R. OconjuntoG(f) =
Gf= {(x, f(x)) : x A}echamadogracodef .Decorre da denicao acima que
G(f) e o lugar geometrico descrito pelo ponto (x, f(x)) R
R,quandoxpercorreodomnioDf.16Denicao2.3. Sejamf : A BeD A.
Denotamos por fDarestricaodef aosubconjuntoDdeA. EntaofD(x) = f(x),
paratodo x D.Exemplo2.1. Sejaf: R R. Temos(a) funcaoconstante: f(x)
= k;(b) funcaoidentidade: f(x) = x;(c) funcaolinear: f(x) = ax;(d)
funcaoam: f(x) = ax + b;(e) funcaopolinomial: f(x) = a0 + a1x +
a2x2+ + anxn=n
i=0aixi;emparticular,sen = 2,f(x) = ax2+ bx +
ceumafuncaoquadratica,sen = 3,f(x) = ax3+ bx2+ cx + deumafuncaoc
ubica;(f ) funcaopotencia: f(x) = xa,
ondeaeumaconstante;emparticular,sea =1n, f(x) =
x1/n=nx,ondeneuminteiropositivo,eumafuncaoraiz;(g) funcaoracional:
f(x) =p(x)q(x), ondep(x)eq(x)saofuncoespolinomiais. NotequeDf= {x
R;q(x) = 0};(h) funcaoalgebrica: funcaoconstrudausandooperacoes
algebricas comecandocompolinomios;porexemplo,f(x) =x2+ 1, g(x) =(x
4)x5+2x3x + 1.Observacao: SejaD R. DenotaremosporID:D
DafuncaoidentidadedenidaporID(x) = xparatodox D.Exemplo2.2.
Funcaodenidapor partes:
denidadeformadiversaemdiferentespartesdeseudomnio;porexemplo,(a)f(x)
=_1 x sex 1,x2sex > 1;(b)g(x) = |x| =_x sex 0,x sex <
0.Exerccio: Esboceogracodef(x) = |x 1| + 3.Exerccio: Sejaf(x)= x2+
2x + 3. DesenheogracoGfdef eestudeavariacaodosinaldef.172.2 Operac
oescomFuncoesDenicao2.4. Dadasfuncoesf: Df Reg: Dg Redadox Df Dg,
podemosdeniralgumasoperacoescomfuncoes:soma: (f+ g)(x) = f(x) +
g(x);produto: (fg)(x) = f(x)g(x);quociente:_fg_(x) =f(x)g(x),seg(x)
= 0.Exemplo2.3. Sef(x)=7 xeg(x)=x 2, entaoDf=(, 7],Dg=[2, +)eDf Dg=
[2, 7].Temosque,(a) (f+ g)(x) =7 x +x 2 2 x 7,(b) (fg)(x) =7 xx 2
=_(7 x)(x 2) 2 x 7,(c)_fg_(x) =7 xx 2=_7 xx 22 < x 7.Denicao2.5.
Dadasfuncoesf : Df Reg: Dg R, comImf Dg, denimosafuncaocompostah :
Df Rporh(x) = g(f(x)), paratodo x Df.Nestecaso,escrevemosh = g
f.Exemplo2.4. Sef(x) = 2x + 1eg(x) = x2+ 3x,entao(a) g f(x) = g(2x
+ 1) = (2x + 1)2+ 3(2x + 1) = 4x2+ 10x + 4,(b) f g(x) = f(x2+ 3x) =
2(x2+ 3x) + 1 = 2x2+ 6x + 1.Observacao: Emgeral,f g = g f.Exerccio:
Sef(x) = xeg(x) =2 x,encontreedetermineodomniodasfuncoes:(a)f g
(b)g f (c)f f (d)g g.182.3
DenicoesAdicionaisNoquesegue,consideraremosf: Df
Rumafuncao.Denicao2.6. Diremosquefeparse,esomentese,f(x) =
f(x),paratodox Df;fe mparse,esomentese,f(x) = f(x),paratodox
Df.Observacao: Osignicadogeometricodeumafuncaopar equeseugraco
esimetricoemrelacaoaoeixoyedeumafuncao mpar equeseugraco
esimetricoemrelacao`aorigem.Exemplo2.5. f(x) =
x2epar;afuncaoidentidadeI(x) = xe mpar;f(x) = 2x x2naonemparnem
mpar.Exerccio: Determineseafuncao epar,
mparounenhumdessesdois.(a)f(x) = x5+ x, (b)f(x) = 1 x4, (c)f(x) =
3x2+ 2x2+ 1.Denicao2.7. Seja =0. Entaof
seraditaperiodicadeperodoou-periodicase,esomentese,tivermosf(x) =
f(x + ), paratodo x Df.Emparticular, seexistirummenor0positivotal
quef seja0-periodica,
entaodiremosque0seraoperodomnimodef.Proposicao2.1. Sejamc =0 =.
Sef: R Rfor-periodica, entaoseraovalidasasarmacoes:(a)
fen-periodicaparatodointeironaonulon.(b) g: R Rdenidaporg(x) =
f(cx)e/c-periodica.Exemplo2.6.(a) f(x) = x[x],onde[x] = max{n Z : n
x} eafuncao maior inteiro, e1-periodicaeoperodomnimodefe1.
Noteque[x + 1] = [x] + 1.(b) f(x) =_1, sex Q0, sex R\Qe
r-periodicaparacadarQ\{0}. Entaof naotemperodomnimo.Denicao2.8.
Diremosquef: Df Bfesobrejetorase,esomentese,Im(f) =
B.19feinjetorase,esomentese,f(x1) = f(x2) = x1= x2, paraquaisquer
x1, x2
Df.febijetorase,esomentese,fforinjetoraesobrejetora.Observacao:
Notequefserainjetorase,esomentese,x1 = x2= f(x1) = f(x2),
paraquaisquer x1, x2 Df.Exemplo2.7. Afuncaomodulof(x) =
|x|naoeinjetorapois,porexemplo, | 1| = |1|e1 =
1.fnaoesobrejetorapoisIm(f) = R+ R.Agora,considerandofR+: R+
R+afuncaoserabijetora.Observacao: SetomamosB=
Im(f)entaofsempreserasobrejetora.Denicao 2.9.Uma funcao f: A Bsera
dita invertvel, se existir g: B A (denotadaporf1)tal queg f= IAef
g= IB.Proposicao2.2. Umafuncaof: A Bserainvertvel
se,esomentese,fforbijetora.Nestecaso,afuncaoinversaestadenidaporf1(y)
= x f(x) = y, y B.Exemplo2.8. Afuncaof(x) =
x3einjetoraeasuainversaef1(x) = x1/3.Observacao:
f1(x)naosignica1f(x)= [f(x)]1.Paraacharafuncaoinversa:1. Escrevay=
f(x).2. Resolvaessaequacaoparaxemtermosdey.3.
Troquexpory.Exemplo2.9. Calculef1paraafuncaof(x) = 1 +
3x,.Escrevemosy=1 + 3x. Resolvemosparax, ouseja, x=1 y3.
Esubstituindoyporx,obtemosf1(x) =1 x3.Exerccio:
Determineafuncaoinversade:(a)f(x) = x2; (b)f(x) = x3+
2.20Observacao: NotequeG(f1) =_(y, f1(y)) : y B_ = {(f(x), x) : x
A}.Comisto,cafacilvericarqueG(f1) eareexaodeG(f)emtornodaretay=
x.Exerccio: Esboceosgracosdef(x) =x 1edesuafuncaoinversa.Denicao
2.10.Diremos que fe limitada se, e somente se, o conjunto Im(f) for
limitado.Casocontrario,afuncaofseraditailimitada. SeA1
A,entaofseralimitadaemA1se,esomentese,arestricaof|A1forlimitada.Observacao:
SeguedaDenicao2.10queseexistir L > 0 talque|f(x)| L, paratodo x
Df,ou,equivalentemente,seexistiremL,l Rtaisquel f(x) L, paratodo x
Df,entaofseralimitada.Exemplo2.10.(a) f(x) =x|x|elimitada;(b) f(x)
=x4x4+ 1elimitada;(c) f(x) =1xeilimitada.Denicao2.11. Denimossup(f)
= sup{f(x) : x Df}.inf(f) = inf{f(x) : x
Df}.Sesup(f)=f(x0)paraalgumx0 Df,
entaodiremosquef(x0)eomaximodefouovalormaximodef.
Opontox0serachamadopontodemaximodef.Seinf(f) = f(x0)paraalgumx0
Df,entaodiremosquef(x0)eomnimodefouovalormnimodef.
Opontox0serachamadopontodemnimodef.Denicao2.12.
DenimosSevaleraimplicacaox < y= f(x) <
f(y),entaofseraestritamentecrescente.Sevaleraimplicacaox < y=
f(x) f(y),entaofseracrescente.21Sevaleraimplicacaoxf(y), entaof
seraestritamentedecres-cente.Sevaleraimplicacaox < y= f(x)
f(y),entaofseradecrescente.Denicao2.13. Sef: A
BsatiszerumadascondicoesdaDenicao2.12,diremosquefeumafuncaomonotonaoumonotonica.Exemplo2.11.
f(x)=x2eestritamentecrescenteparax>0eestritamentedecrescenteparax
< 0.Exemplo2.12. f(x) =x + 1xeestritamentedecrescente.2.4
FuncoesTrigonometricasSabemos que em um triangulo retangulo de
hipotenusaae angulos agudos Be
Copostos,respectivamente,aoscatetosbec,temoscbaBCcos B=ca, cos
C=ba,sen B=ba, sen
C=ca.Estasrelacoesdenemosenoecossenodeumanguloagudo,
poistodoanguloagudoeumdosangulosdeumtrianguloretangulo. Noteque sen
Be cos Bdependemapenasdoangulo
Benaodotamanhodotriangulo.SeguedoTeoremadePitagorasquea2= b2+ c2=
a2sen2B + a2cos2B= a2(sen2B + cos2B).Logo1 = sen2B + cos2B.
(2.1)Eclaroqueosenoeocossenodeumanguloagudosaon
umeroscompreendidosentre0e1.A relacao (2.1) sugere que para todo
angulo , os n umeros cos e sen sao as
coordenadasdeumpontodacircunferenciaderaio1ecentronaorigemdeR2.
Usaremos
istoparaestenderasfuncoescossenoesenoparaangulosforadointervalo(0,
/2).Observacao: Semprequefalarmos das funcoes senoecossenoos
angulos seraosempremedidosemradianos.Se considerarmos a
circunferencia unitaria centrada na origem do R2e marcarmos, a
par-tir do eixo x, um angulo t, entao poderemos denir sen t ecos t
de forma que as coordenadasdopontoPsejam(cos t, sen
t).22&%'$
rddP= (cos t, sen t)rtQ = (cos , sen )1 1ETAssim, sen t ecos t
coincidem com a denicao original se 0 < t < /2e pode ser
estendidaparaqualquer t R, se marcarmos angulos positivos
nosentidoanti-horarioe
angulosnegativosnosentidohorario.Proposicao2.3(Propriedades).(a)
Osenoepositivonoprimeiroesegundoquadrantesenegativonoterceiroequartoquadrantes.(b)
Ocossenoepositivonoprimeiroequartoquadrantesenegativonosegundoeterceiroquadrantes.(c)
Osenoecossenosaofuncoes2-periodicascomimagemnointervalo[1, 1].(d)
Ocossenoeumafuncaopareosenoeumafuncao mpar.(e) sen t = cos_2 t_e
cos t = sen_2 t_.(f ) sen t = cos_2+ t_e cos t = sen_2+ t_.(g) sen
t = sen( t) e cos t = cos( t).(h) sen t = sen( + t) e cos t = cos(
+ t).(i) sen(0) = cos_2_ = 0 e cos(0) = sen_2_ =
1.Proposicao2.4(FormulasdeAdicao).(a) cos( + ) = cos() cos()
sen()sen().(b) sen( + ) = sen() cos() + sen() cos().Trocandopor
eutilizandoaparidadedasfuncoestemos(c) cos( ) = cos() cos() +
sen()sen().(d) sen( ) = sen() cos() sen()
cos().23ApartirdasformulasdeadicaodeduzimosProposicao2.5(ArcoDuplo).(a)
cos(2) = cos2() sen2().(b) sen(2) = 2 sen()
cos().Apartirdasformulasdoarcoduploedaidentidadecos2 + sen2 =
1deduzimosProposicao2.6(ArcoMetade).(a) cos() = _1 + cos(2)2.(b)
sen() = _1
cos(2)2.ApartirdasformulasdeadicaoobtemosProposicao2.7(TransformacaodeProdutoemSoma).(a)
cos() cos() =12 cos( + ) +12 cos(
),[somando(a)e(c)daProposicao2.4].(b) sen()sen() =12 cos( + ) 12
cos( ),[subtraindo(a)e(c)daProposicao2.4].(c) sen() cos() =12 sen(
+ ) 12 sen(
)[subtraindo(b)e(d)daProposicao2.4].Proposicao2.8(TransformacaodeSomaemProduto).(a)
sen () + sen () = 2sen_ + 2_cos_ 2_.(b) cos() + cos() = 2 cos_ +
2_cos_ 2_.Prova. (a) Escreva = + 2+ 2e = + 2 2e utilize (b) e (d)
da
Proposicao2.4.(b)Escrevaecomonaparte(a)eutilize(a)e(c)daProposicao2.4.
DemaneiraanalogatemosProposicao2.9(TransformacaodeSubtracaoemProduto).(a)
sen () sen () = 2sen_ 2_cos_ + 2_.24(b) cos() cos() = 2sen_ +
2_sen_ 2_.Denicao2.14. Denimostg() =sen()cos(), D(tg) = { : cos =
0}cotg() =cos()sen(), D(cotg) = { : sen = 0}cosec() =1sen(),
D(cosec) = { : sen = 0}sec() =1cos(), D(sec) = { : cos =
0}Exerccio:
Deumsignicadogeometricoparatg(),cotg(),sec()ecosec().Exerccio:
Esboceosgracosdasfunc oestg,cotg,sececosec.Exerccio:
Classiqueasfuncoestrigonometricasempar, mpar,periodica,limitada.2.5
FuncoesExponenciaiseLogartmicasDenicao2.15. Sejaa > 0,a = 1.
Afuncaof(x) =
axechamadafuncaoexponencialdebasea.Vejamosoqueissosignica.Sex =
n,uminteiropositivo,entaoan= aa a. .nvezes.Sex = 0,entaoa0= 1.Sex =
n,onden euminteiropositivo,entaoan=1an.Sex
=pq,ondepeqsaointeiroseq> 0,entaoap/q=qap= (qa)p.Sexforunn
umeroirracional,entaoaxeo unicon
umerorealcujasaproximacoesporfaltasaoaspotenciasar, comrracional
menordoquexecujasaproximacoesporexcessosaoaspotenciasas,
comsracional maiordoquex. Emoutraspalavras, nocasodea >
1,axsatisfazaseguintepropriedade:r < x < s, com r,s Q =
ar< ax< as.Desta forma, se olhamos o graco da funcao axonde x
racional, os buracos correspon-dentesaosvaloresirracionaisdex,
forampreenchidosdeformaaobterumafuncaocrescenteparatodososn
umerosreais.25Proposicao2.10(Propriedades). Sejamaebn
umerospositivosexeyn umerosreaisquaisquer,entao(a) ax+y= axay,(b)
(ax)y= axy,(c) (ab)x= axbx,(d) Se a >1afuncaoexponencial e
estritamente crescente, ouseja, se x ay.Exerccio:
Esboceogracodafuncoesexponenciaisf(x) = 2xef(x)
=_12_x.Comoafuncaoexponencial
eoucrescenteoudecrescente,existeafuncaoinversa.Denicao2.16.
Afuncaoinversadafuncaoexponencial
echamadafuncaologartmicacombaseaedenotadaporloga .Assim,loga x = y
ay= x.Observacao: Notequeloga xestadenidoparax > 0,a > 0ea =
1.Alemdissosatisfazloga(ax) = x,x R e aloga x= x,x >
0.Proposicao2.11(Propriedades). Sejama>0,a =1,b>0,b =1.
Entaosaovalidasasseguintespropriedades(a) loga xy= loga x + loga
y,(b) loga xy= y loga x,(c) logaxy= loga x loga y,(d) Se a
>1afuncaologartmicae estritamente crescente, ouseja, se x loga
y,(f ) (Mudancadebase)loga x =logb xlogb a.26Exerccio:
Esboceogracodafuncoeslogartmicasf(x) = log2 xef(x) =
log12x.Afuncaoexponencial debaseeondee 2, 718281,f(x)=ex,
desempenhaumpapelimportantenocalculo.Denicao2.17.
Afuncaologartmicacombaseeechamadalogaritmonaturaledeno-tadaporloge
x = ln x.Observequecomoln(ex) = x,tomandox = 1temosqueln e =
1.Havariasformasdeintroduziron
umeroe.Nocaptuloseguinteodeniremoscomoumlimite.
Maisadiantevamosdenirologaritmonatural utilizandointegrais,
nessecaso, on umeroeserao unicon umerosatisfazendoln e = 1.2.6 *Seq
uenciasNestasecao,consideraremosumcasoparticulardefuncoesquesaoasseq
uencias.Denicao2.18. Umaseq uenciaeumafuncaodenidanoconjuntodosn
umerosnaturaisecomvaloresreais,ouseja,f: N R.Notequecadan
umeronatural elevadoemum unicon umerorealNf R1 f(1)2 f(2)3
f(3)......Se denotamosf(n) por xn, entao a seq uencia festara
unicamente determinada pela lista den umeros {x1, x2, x3, . .
.}ou,abreviadamente,por {xn}. Destaforma,adotaremosanotacao{xn}ou
{x1, x2, x3, . . .}pararepresentarumaseq uencia. On
umeroxnechamadoelementode uma seq uencia e o conjunto imagem de f,
Im(f), e chamado conjunto dos valores de umaseq uencia.Comoumaseq
uenciaeumafuncaoparticular, entaoestaodenidas as operacoes
desoma,multiplicacaoporescalar,produtoequocientedeseq
uencias.Exerccio: Escreva as denicoes de soma, multiplicacao por
escalar, produto e quociente deseq uencias.Exemplo2.13. Temos(a) f:
N Rdadaporf(n) = nou {n}ou {0, 1, 2, 3, . . .} eumaseq
uenciacujoconjuntodosvalorese N.27(b) f: N Rdadaporf(n)=1n + 1ou_1n
+ 1_ou_1, 12, 13, 14, . . ._eumaseq
uenciacujoconjuntodosvalorese_1, 12, 13, 14, . . ._.(c) f: N
Rdadaporf(n)=(1)nou {(1)n}ou {1, 1, 1, 1, . . .}eumaseq
uenciacujoconjuntodosvalorese {1, 1}.(d) f: N Rdadaporf(n)=nn +
1ou_nn + 1_ou_0, 12, 23, 34, . . ._eumaseq
uenciacujoconjuntodosvalorese_0, 12, 23, 34, . . ._.(e) f : N
Rdadapor f(n) =rnou {rn}ou {1, r, r2, r3, . . .}eumaseq
uenciacujoconjuntodosvalorese {1, r, r2, r3, . . .}(
progressaogeometrica).2.6.1 LimitedeumaSeq uenciaNotequeaseq
uencia_0, 12, 23, 34, . .
._temapropriedadedequequantomaiorforavariaveln,maisproximoovalordaseq
uenciaemn,nn + 1, cade1. Nestecaso, diremosqueolimitedaseq
uencia_nn + 1_e1easeq uenciaeditaconvergentecomlimite1.Eprecisodar
umadenicaomais precisadanocaodelimitedeumaseq uencia.Denicao2.19.
Umaseq uencia {xn}ser aditaconvergentecomlimitese,dado >
0,existirumnatural N= N()tal que| xn| < , n
N.Nestecaso,escreveremoslimnxn= eleremos
olimitedexnquandontendeparainnito e.Exemplo2.14. Mostrequeaseq
uencia_1n_econvergentecomlimite0.Dado >
0,pegueumnaturalNquesejamaiordoque1/. Todoelementodaseq
uencia,apartir doN-esimo, teradistanciamenor quede0. E,
comoistopodeser feitoparaqualquerpositivo,aseq
uenciaconvergeparazero.Exemplo2.15.
Mostreque,paraquaisquerconstantesk1ek2positivas,aseq uencia_n + k1n
+
k2_econvergentecomlimite1.28ParaencontrarmosN,tentaremosresolverainequacao1
k1k2(1 ). (2.3)Desenvolvendoapartedireitade(2.2),obtemosn >
k1k2(1 + )e,portanto,n >k1k2(1 + ).
(2.4)Estesresultados((2.3)e(2.4))indicamquepodemossatisfazeradenicaodeconvergenciapegandoumNnaturalquesejamaiorqueambosk1k2(1
)ek1k2(1 + ).Exerccio: Seja {xn}umaseq uenciaconvergentecomlimite.
Mostrequeaseq uencia{cos xn}seraconvergentecomlimitecos .O proximo
resultado diz que, se uma seq uencia for convergente, entao o
limite sera unico.Proposicao2.12. Seja {xn}umaseq
uenciaconvergente. Selimnxn= 1e limnxn= 2,entao1= 2.Exerccio:
Mostrequeaseq uencia_nsen1n_ econvergentecomlimite1.Denicao2.20.
Umaseq
uenciaseraditadivergente,seelanaoforconvergente.29Denicao2.21. Se h
: N R foruma funcaoestritamentecrescentee f: N R forumaseq
uencia,entaoafuncaof h : N Rseraditaumasubseq
uenciadef.Exemplo2.16.(a) Sejamh(n)=2ne {xn}umaseq uencia. Entao
{x2n}eumasubseq uenciade {xn}chamadasubseq uenciadospares.(b)
Sejah(n) = 2n+1e {xn}umaseq uencia. Entao {x2n+1} eumasubseq
uenciade {xn}chamadasubseq uenciados mpares.(c) Sejah(n)=n + p, p
N, e {xn}umaseq uencia. Entao {xn+p}eumasubseq uenciade {xn}.(d)
Asubseq uenciadospares(mpares)daseq uencia {(1)n} easeq
uenciaconstante {1}(resp. {1}).Proposicao2.13. Se {xn}forumaseq
uenciaconvergentecomlimite, entaotodasub-seq uenciade
{xn}seraconvergentecomlimite.A Proposicao 2.13 e importante pois
implica no seguinte criterio negativo de convergenciaque
ebastanteutilizado.Proposicao2.14. Seumaseq uenciapossuirduassubseq
uenciasconvergentescomlimitesdistintos,entaoaseq
uenciaseradivergente.Exemplo2.17. Aseq uencia
{(1)n}edivergente.Denicao 2.22.Uma seq uencia sera dita limitada se
o seu conjunto de valores for limitado.Casocontrario,aseq
uenciaseraditailimitada.Observacao: Note que a Denicao 2.22 e
coerente com a denicao de funcao limitada
dadaanteriormente(Denicao2.10).Exemplo2.18.(a) Aseq uencia_nn +
1_elimitada.(b) Aseq uencia {(1)n}elimitada.(c) Aseq
uencia_cos1n_elimitada.(d) Aseq uencia
{n}eilimitada.Proposicao2.15. Todaseq
uenciaconvergenteelimitada.30Observacao: Note que, apesar de toda
seq uencia convergente ser limitada, nemtodaseq uencia limitada e
convergente (por exemplo, {(1)n} e limitada, mas nao e
convergente).Proposicao2.16. Seja {xn}umaseq uencia. Entao
{xn}seraconvergentecomlimite0se,esomentese,
{|xn|}forconvergentecomlimite0.Observacao:
Mostraremosmaistardequese {xn} econvergentecomlimiteentao
{|xn|}econvergentecomlimite || masnaoeverdadequese
{|xn|}econvergenteentao {xn}econvergente(bastaveroqueocorrecomaseq
uencia {(1)}n).Exemplo2.19. Considereaseq uencia {rn}. Temos(a)
{rn}econvergentecomlimite0,se | r| < 1;(b)
{rn}econvergentecomlimite1,ser = 1;(c) {rn}edivergente, ser = 1ou |
r| >1. Sugestao: Mostrequese | r| >1, entao{|
r|n}serailimitada.Proposicao2.17. Se {xn}forconvergentecomlimite0e
{yn}forlimitada,entao {xnyn}seraconvergentecomlimite0.Exemplo2.20.
Aseq uencia_1n cos n_econvergentecomlimite0.Proposicao2.18. Todaseq
uencia
{xn}crescente(respectivamentedecrescente)elimitadaeconvergentecomlimite
sup{xn: n N}(resp. inf{xn: n N}).Exerccio: Mostrequeaseq uencia
{xn}dadaporx1=2, xn= 2 + xn1, n 2,
econvergenteeencontreoseulimite.Proposicao 2.19
(Propriedades).Sejam {xn} e {yn} seq uencias convergentes com
limites
1e2respectivamenteesejac R. Entao(a) {cxn +
yn}econvergentecomlimite c1 + 2(b) {xnyn}econvergentecomlimite1
2(c) {xn/yn}econvergentecomlimite1/2,sempreque2 =
0.Proposicao2.20. SejamB Reb RumpontodeacumulacaodeB.
Entaoexisteumaseq uencia {bn}combn B,bn = be limnbn=
b.Proposicao2.21.Se {xn} for uma seq uencia convergente e xn 0,para
todo n N,entaolimnxn 0.31Prova. Suponhaque limnxn= . Entaodado >
0,existeN Ntalque < xn 0,sejaN Ntalque xn zn yn + , n
N.Entaovale |zn| < paratodon Ne,portanto, limnzn= .
Istoconcluiaprova. Vamosconsiderartrestiposdeasseq
uenciasdivergentes:aquelasquedivergempara+,aquelasquedivergempara
,aquelasquesaolimitadasmasnaosaoconvergentes.Vejamos.Denicao2.23.Diremosqueumaseq
uencia {xn}divergepara+se, dadoR>0, existirN Ntal quexn>
R,paratodon N. Nestecaso,escrevemos limnxn= +.Diremosqueumaseq
uencia {xn}divergepara se, dadoR>0existirN Ntal quexn<
R,paratodon N. Nestecaso,escrevemos limnxn= .Diremos que uma seq
uencia {xn} oscila, se ela nao for convergente e nao divergir
para+oupara .32Exemplo2.21.(a) {2n}divergepara+,ouseja, limn2n=
+.(b) {n}divergepara ,ouseja, limnn = (c) {1 + sen n}e
{(2)n}oscilam.33Captulo3LimiteeContinuidade3.1
NocaoIntuitivaVamosestudarocomportamentodeumafuncaof(x)paravaloresdexproximosdeumpontop.Consideremos,porexemplo,afuncaof(x)
= x + 1.Paravaloresdexproximosde1,f(x)assumeosseguintesvalores:x x
+ 1 x x + 11, 5 2, 5 0, 5 1, 51, 1 2, 1 0, 9 1, 91, 01 2, 01 0, 99
1, 991, 001 2, 001 0, 999 1, 999 1 2 1 2
ETx1r2rquandoxtendea1f(x)tendea2f(x) = x +
134Databelavemosquequandoxestiverproximode1(dequalquerladode1)f(x)estaraproximo
de 2. De fato, podemos tomar os valores de f(x) tao proximos de 2
quanto quisermostomandoxsucientementeproximode1.
Expressamosissodizendoqueolimitedafuncaof(x) = x +
1quandoxtendea1eigual a2.Denicao3.1(Intuitiva). Escrevemoslimxpf(x)
= Ledizemos olimite de f(x), quandoxtende ap, e igual aLsepudermos
tomarvalores def(x) arbitrariamenteproximos
deLtomandoxsucientementepr oximodep,masnaoigual ap.Observacao:
Aoprocurarolimitequandoxtendeapnaoconsideramosx=p.
Estamosinteressadosnoqueaconteceproximodepeafuncaof(x)nemprecisaestardenidaparax
= p.Consideremososeguinteexemplo.Exemplo3.1. Encontrelimx1x21x 1
.Observequef(x) =x21x 1naoestadenidaquandox = 1.Temosqueparax =
1,x21x 1=(x 1)(x + 1)x 1= x +
1.Comoosvaloresdasduasfuncoessaoiguaisparax =1,
entaoosseuslimitesquandoxtendea1tambem. Portanto,limx1x21x 1=
2.Exemplo3.2. Sejaf(x) =___x21x 1sex = 10 sex =
1.Determineolimitequandoxtendea1.Observe que para x = 1 a funcao
f(x) e igual `a funcao do exemplo anterior, logo limx1f(x) =
2,oqual naoeovalordafuncaoparax=1. Ouseja,
ogracodestafuncaoapresentaumaquebraemx =
1,nestecasodizemosqueafuncaonaoecontnua.Denicao3.2.
Umafuncaofecontnuaemp sef(p)estadenida, limxpf(x)existe, limxpf(x)
=
f(p).35Sefnaoforcontnuaemp,dizemosquefedescontnuaemp.Exemplo3.3.(a)
Afuncaof(x) = x + 1econtnuaemx = 1.(b) Afuncaof(x) =x21x
1naoecontnuaemx = 1poisnaoestadenidanesseponto.(c) Afuncaof(x)
=___x21x 1sex = 10 sex = 1naoecontnuaemx = 1poislimx1f(x) = 2 =0 =
f(1).3.2 DenicoesNestasecaovamosadaradenicaoprecisadelimite.
Consideremosaseguintefuncaof(x) =_2x 1 sex = 16 sex =
1.Intuitivamentevemosquelimx3f(x)=5.
Quaoproximode3deveraestarxparaquef(x)dirade5pormenosdoque0,1?Adistanciadexa3
e |x 3|eadistanciadef(x)a5 e |f(x) 5|,logonossoproblemaeacharumn
umerotalque|f(x) 5| < 0, 1 se |x 3| < , mas x = 3.Se |x 3|
> 0entaox = 3.Logoumaformulacaoequivalente eacharumn
umerotalque|f(x) 5| < 0, 1 se 0 < |x 3| < .Notequese0 <
|x 3| 0existeum> 0tal que0 < |x p | < = |f(x) L| <
.Interpretacaogeometricadolimite.limxpf(x) = LETL + LL p p p +
fxblimxpf(x) = L = f(p)brTx p p p + L LL + f(p)fE37limxpf(x) = L =
f(p)ETL + L = f(p)L p p p + fx x
pf(p)rbfNaoexisteolimitedefempETExemplo3.4. Provequelimx2(3x 2) =
4.Devemos fazer uma analise preliminar para conjeturaro valor de .
Dado > 0, o problemaedeterminartalque|(3x 2) 4| < sempreque 0
< |x 2| < .Mas |(3x 2) 4| = |3x 6| = |3(x 2)| = 3|x
2|.Portanto,queremos3|x 2| < sempreque 0 < |x 2| < ou|x 2|
0, escolha=3. Se0< |x 2| 0existeumn umero> 0,tal que|x p |
< = |f(x) f(p)| < ,ouseja,seesomentese,limxpf(x) =
f(p),Diremos que fe contnua em A Df, se ffor contnua em todo ponto
a A.
Diremossimplesmentequefecontnua,sefforcontnuaemtodopontodeseudomnio.Exemplo3.5.(a)
Afuncaof(x) = 3x 2econtnuaemp = 2.(b) Afuncaoconstantef(x) =
kecontnuaparatodop.(c) Afuncaof(x) = ax +
becontnua.Aseguintepropriedadesera
utilparadeterminarlimites.Proposicao3.1. Sejamfegduasfuncoes.
Seexister > 0tal quef(x) = g(x), p r < x < p + r, x = p,
eseexiste limxpg(x) = L,entaoexistelimxpf(x) e limxpf(x) =
L.Exemplo3.6. Calculelimx2x24x 2 .Observequeparax = 2x24x 2=(x 2)(x
+ 2)x 2= x + 2.Sabemosquelimx2x + 2 =
4.Logo,pelaproposicaoanteriorlimx2x24x 2= 4.Exemplo3.7.
Veriquesef(x) =___x24x 2, x = 23 , x = 2econtnuaemx = 2
.Comolimx2x24x 2= 4 = 3 = f(2),afuncaonao econtnuaemx = 2.393.3
PropriedadesdoLimiteSuponhaquelimxpf(x) = L1e limxpg(x) = L2.
Entao: limxp_f(x) + g(x)_ =limxpf(x) + limxpg(x) = L1 + L2.
limxpkf(x) = k limxpf(x) = k L1 ,onde k = constante. limxpf(x) g(x)
=limxpf(x) limxpg(x) = L1 L2.
limxpf(x)g(x)=limxpf(x)limxpg(x)=L1L2, se L2 = 0
.Utilizandoapropriedadedoprodutorepetidamenteobtemos:limxp[f(x)]n=_limxpf(x)_n=
Ln1, onden
euminteiropositivo.Paraaplicaressaspropriedadesvamosusaroslimites:limxpx
= p e limxpk = k, kconstante.Exemplo3.8. limxpxn=
pn,ondeneuminteiropositivo.Exemplo3.9. Calcule limx2(5x38),[R :
32].Exemplo3.10. Calcule limx1x3+ 1x2+ 4x + 3, [R : 1/4].De forma
mais geral temos as seguintes propriedades. Seja n e um inteiro
positivo, entao limxpnx =np ,senforparsupomosquep > 0.
limxpn_f(x) =n_limxpf(x),senforparsupomosquelimxpf(x) >
0.Exemplo3.11. Calculelimx3x 3x 3,[R : 1/23].Exemplo3.12.
Calculelimt0t2+ 9 3t2,[R :
1/6].Osproximostresteoremassaopropriedadesadicionaisdelimites.40Teorema3.2(Teste
daComparacao). Sef(x) g(x)
quandoxestaproximodep(excetopossivelmenteemp)eoslimitesdefegexistemquandoxtendeap,entaolimxpf(x)
limxpg(x).Teorema3.3(doConfronto). Sejamf, g,
hfuncoesesuponhaqueexister > 0 tal quef(x) g(x) h(x), para 0
< |x p | < r.Selimxpf(x) = L =limxph(x)entaolimxpg(x) =
L.Exemplo3.13. Mostrequelimx0x2sen1x= 0.Como 1 sen1x1,
multiplicandopor x2temos x2x2sen1xx2. Sabemos quelimx0x2= 0
=limx0x2.Entao,peloTeoremadoConfronto, limx0x2sen1x= 0.Exemplo3.14.
Sejaf: R Rtal que |f(x)| x2, x R.(a) Calcule,casoexista,
limx0f(x).(b) Veriquesefecontnuaem0
.SeguedoTeoremadoConfrontoaseguintepropriedade:Corolario3.1.
Suponhaque limxpf(x) =0eexisteMRtal que |g(x)|
Mparaxproximodep.Entaolimxpf(x)g(x) = 0 .Exemplo3.15.
Calculelimx0x2g(x),ondeg: R Redadaporg(x) =_1, x Q0, x Q.Exerccio:
Calcule(a) limx0x sen1x; (b)
limx0x2cos1x2.Teorema3.4(daConservacaodoSinal). Suponhaquelimxpf(x)
= L. SeL > 0, entaoexiste> 0tal queparatodox Df,0 < |x p|
< =f(x) > 0 .Analogamente,seL < 0,entaoexiste> 0tal
quepatatodox Df ,0 < |x p| < =f(x) < 0 .41Exerccio:
Provequelimxpf(x) = 0 limxp|f(x)| = 0.Exerccio: Provequelimxpf(x) =
L limh0f(p + h) = L.3.4 LimitesLateraisConsidereaseguintefuncaof(x)
=_ 1, x < 01, x 0
.11ETxf(x)aq0Quandoxtendea0pelaesquerda,f(x)tendea
1.Quantoxtendea0peladireita,f(x)tendea1. Naohaumn umero
unicoparaoqual f(x) seaproximaquandoxtendea0.Portanto,
limx0f(x)naoexiste.
Porem,nestasituacaopodemosdeniroslimiteslaterais.Denicao3.5(Intuitiva).Escrevemoslimxpf(x)
= Ledizemosqueolimitedef(x) quandoxtendeappelaesquerdaeigual
aLsepudermostomarosvaloresdef(x)arbitrariamenteproximosdeL,
tomandoxsucientementeproximodepexmenordoquep.Escrevemoslimxp+f(x) =
Ledizemos queolimite de f(x) quandox tende ap peladireitae igual
aLsepudermostomarosvaloresdef(x)arbitrariamenteproximosdeL,
tomandoxsucientementeproximodepexmaiordoquep.42ETLp x x
f(x)limxpf(x) = Lx pLf(x)fET xlimxp+f(x) =
LDenicao3.6(LimiteLateralEsquerdo).limxpf(x) = Lseparatodo >
0existeum> 0tal quep < x < p =|f(x) L| <
.Denicao3.7(LimiteLateralDireito).limxp+f(x) = Lseparatodo >
0existeum> 0tal quep < x < p + =|f(x) L| <
.Exemplo3.16. Proveque limx0+x = 0.Seja > 0.Queremosacharum>
0talque|x 0| < sempreque 0 < x < ,ouseja,x < sempreque
0 < x < ,ouelevandoaoquadradox < 2sempreque 0 < x <
.Istosugerequedevemosescolher= 2.Veriquemosqueaescolha ecorreta.
Dado > 0,seja= 2.Se0 < x < ,entaox 01, x <
0.Portantolimx0+|x|x=limx01 = 1 e limx0|x|x=limx01 =
1.Seguedasdenicoesdelimiteslateraisoseguinteteorema.Teorema3.5.limxpf(x)
= L limxp+f(x) =limxpf(x) = L.Corolario3.2.
SeguedoTeorema3.5quesefadmitelimiteslateraisemp,elimxp+f(x)
=limxpf(x),entaonaoexistelimxpf(x);sefnaoadmiteumdoslimiteslateraisemp,entaonaoexistelimxpf(x).Exemplo3.18.
Veriqueseolimitelimx0|x|xexiste.Peloexemploanterior(Exemplo3.17),limx0+|x|x=limx01
= 1 e limx0|x|x=limx01 = 1.Portantonaoexistelimx0|x|x.Exerccio:
Calculeoslimites,casoexistam.(a) limx0|x|; (b) limx3[x]; (c)
limx4f(x), ondef(x) =_ x 4 se x > 4,8 2x se x < 4.443.5
PropriedadesdasFuncoesContnuasSeguemdaspropriedadesdolimite,asseguintespropriedadesdasfuncoescontnuas.
Sejamfegfuncoescontnuasempek = constante. Entao:f+ g econtnuaemp
.kf econtnuaemp .f g econtnuaemp .fgecontnuaemp ,se g(p) =
0.Exemplo3.19. f(x) = xn,onden N,eumafuncaocontnua.Exemplo3.20.
Todafuncaopolinomialecontnua,poisesomadefuncoescontnuas.Exemplo3.21.
Todafuncaoracional
econtnuaempseodenominadornaoseanularemp,poisumafuncaoracionalequocientededuasfuncoespolinomiais.Teorema3.6.
Asfuncoestrigonometricassaocontnuas.Prova. Assumamosprimeiroque0
< x
