Calculo 2 Prof. Esperanza MAC

7/26/2019 Calculo 2 Prof. Esperanza MAC

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Antecedentes del ClculoLas matemticas aplicadas han existido desde tiempos remotos. La

aritmtica en el comercio, la geometra en construccin ya estabanbien desarrolladas para el siglo 14 a.C. Poco a poco, las personas se

fueron dando cuenta de que los hechos matemticos sencillos se

pueden interrelacionar de formas no obvias y que vala la pena

estudiar esas interrelaciones. El campo del clculo estudia el

comportamiento de funciones numricas, las cuales representan

realidades, una tasa o rapidez de cambio. El clculo permite tener unlenguaje para expresar leyes de la naturaleza que van desde los

ncleos atmicos hasta los ciclos de vida de las estrellas.

La mayora de las ideas que son antecedentes del clculo surgieron

en el siglo XVII. Algunos personajes que forman parte de eso son

Euclides y otros escritores clsicos. Newton y Leibniz conformaron el

tema en una teora coherente.

En su obra Principia Mathematica, Newton demostr que sistemas

fsicos complicados se pueden modelar muy bien usando las

matemticas puras.

Por ms de un siglo, el clculo se us sin fundamentos axiomticos

adecuados. Newton escribi que se podra basar en el concepto de

lmite (valor al que tiende una funcin cuando se acerca a determinado

punto), pero nunca detall sus ideas. Durante el siglo XVII muchosmatemticos utilizaron la idea de lmite pero sin una definicin clara.

Fue Cauchy quien, alrededor de 1820, demostr que los limites se

pueden definir de manera rigurosa mediante desigualdades.


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Por qu estudiamosClculo?

Lo estudiamos por su enorme aplicabilidad, su utilidad se muestra en

todas las reas del conocimiento por ejemplo, por medio del Clculo

se pueden resolver problemas como:

En el presente, es el lenguaje natural con el que podemos conocer y

desentraar nuestro entorno, esto se debe a que permite modelar

fenmenos sociales, fsicos, qumicos, etc., al relacionar las variables

del problema con sus razones de cambio (derivadas).

Es importante saber que el Clculo Diferencial se ha desarrollado a lo

largo de la historia, el concepto del Clculo no surge como tal como lo

conocemos actualmente; en sus inicios los griegos clsicos mostraron

inters en determinar una recta tangente que pasara por un punto

especfico de una curva (300 a.C.). En la Francia del siglo XVII

Descartes y Fermat desarrollaron mtodos algebraicos y usaron

geometra analtica para resolver problemas de la misma ndole. Sin

embargo fue hasta el siglo XVIII cuando en Gran Bretaa, Newton

desarrollara su teora de las fluxiones y en Alemania, Leibnitz su teora

de las diferenciales que el Clculo empez a formalizarse y no fue sino

hasta que en 1821 el francs Augustin Cauchy escribi

Toursdanalyse que el Clculo tom un carcter ms formal; con estoen el siglo XIX los alemanes Weierstrass y Dedekind lograron con sus

trabajos fundamentar debidamente esta materia.


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LA INTEGRAL DEFINIDA


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Sumatorias.

El smbolo de las sumatorias es y representa una suma.

n

i

Se lee como la sumatoria desde i hasta n.

Ejemplo:

5

1 2 3 4 5

1

i

i

a a a a a a

Teoremas:

0

n

i

c nc

cconstante

Sea nun nmero entero positivo y sean 1 2 3{ , , ,..., }na a a a y 1 2 3{ , , ,..., }nb b b b dos

conjuntos de nmeros reales, entonces:

0 0 0

n n n

i i i i

i i i

a b a b

0 0

n n

i i

i i

ca c a

1

( 1)1 2 3 4 ...

2

n

i

n ni n

2 2 2 2 2 2

1

( 1)(2 1)1 2 3 4 ...

6

n

i

n n ni n

2

3 3 3 3 3 3

1

( 1)1 2 3 4 ...2

n

i

n ni n

24

1

( 1)(2 1)(3 3 1)

30

n

i

n n n n ni


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reas por sumatorias

Una aplicacin de las sumatorias es, el clculo de las reas.

0( )

xA lm f x x

Ejemplos

1. Resolver la sumatoria

3

0

3 4 3(0) 4 3(1) 4 3(2) 4 3(3) 4i

i

4 7 10 13 34

2. Sea 3( )f x x . Calcular la regin bajo la grfica de la funcin entre 0 y b.

0

1

2

0

2

i

n

x

x x

x x

x i x

x n x

b

x n

b

xi i n

3

0xA lm x x

3

n

b blm i

n n

33

3n

b blm i

n n

4

3

4n

blm i

n

43

4n

blm i

n

24

4

( 1)

2n

b n nlm

n

4 2 2

4

( 2 1)

4n

b n n nlm

n

4 4 3 2

4

2

4n

b n n nlm

n

4 4 4 3 4 2

4

2

4n

b n b n b nlm

n

4 4 4 4

24 2 4 4n

b b b blm

n n


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Ejercicios

1. Resolver la sumatoria:

2 2

1 1

1 1( 1)

n n

i i

ii

n n

21 1

11

n n

i i

in

2

1 ( 1)

2

n nn

n

2

2

1 3

2

n n

n

3

2

n

n

2. Sea2

( ) 16f x x . Calcular la regin bajo la grfica de esta funcin entre 0 y 3.

0

1

2

0

2

.

.

.

.

.

.

3

i

n

X

X x

X x

X i x

X n x

3x

n

3ix i

n

0( )

xA lm f x x


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2

0(16 )

xA lm x x

Sustituyendo los valores:

2

0(16 )

xA lm x x

0x implica n

23 3

16n

iA lm

n n

2

2

9 316

n

iA lm

n n

2

3

48 27

n

ilm n n

3

( 1)(2 1)27

648

n

n n n

lmn

3 2

3

54 81 2748

6n

n n nlm

n

2

27 2748 9

2 6nlm

n n

239A u


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Clculo de reas a travs de rectngulos inscritos y circunscritos.

Para calcular el rea debajo de la curva primero debe marcarse el intervalo.

En este caso podramos decir: [2,4]

Y se hacen rectngulos inscritos


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O rectngulos circunscritos

Donde el rea es igual a: ( )( )A b h

La base de cada rectngulo es un incremento de x denotado por x . As que elrea que est debajo de la curva se puede encontrar sumando las reas de todos

los rectngulos, y la frmula nos queda:( )( ( ))A x f x

Se hace el clculo de la suma de un nmero infinito de rectngulos para hacer lomenor posible el error en el rea.

Definicin.

Sea funa funcin continua no negativa en el intervalo [ , ]a b , siendo a un

nmero real y ( )if u el valor mnimo de f en el intervalo 1[ , ]i ix x .

0( )

xA lm f x x

Significa que para toda 0 existe una 0 tal que 0 x esto es:

( ) | ( ) |T i i T A f x x f x x A


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Ejemplos

1. Sea

2( ) 3 5f x x encontrar el rea bajo la curva en el intervalo

[1,4]

.

42

1 (3 5)A x dx

4 42

1 13 5x dx dx 4

3

1

3 53

xx

4

3

15x x

3 3(4) 5(4) (1) 5(1)

278A u


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2. Calcule el rea de la regin sobre el eje x , a la derecha de la recta 1x y la

curva2

4y x .

Para sacar los lmites de integracin:

24 0x

24x

4x

2x

22

1(4 )A x dx

2 22

1 14 dx x dx

23

1

43

xx

25 3

A u


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Ejercicios

1. Determine el rea de la regin limitada por3y x y

22y x x

Para calcular los lmites de integracin:

3 22x x x

3 2 2 0x x x

2( 2) 0x x x

1

2

3

0

2

1

x

x

x

1 0

2 3 3 2

0 2(2 ) 2A x x x dx x x x dx

1 03 4 4 3

2 2

0 23 4 4 3

x x x xx x

5 8

12 3

237 12

A u


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Suma de Riemann

Propone particionar el rea en rectngulos de diferente tamao

Sea f una funcin definida en [ , ]a b y sea Puna particin de [ , ]a b . Una suma

de Riemann

( , ( ))x f x

paraP

es una expresin:( )P i iR f u x

Donde iu es un nmero en 1[ , ]i ix x , i va de 1 a n .

Sea f una funcin definida en [ , ]a b . La integral definida de f entre a y b se denota por:

|| || 0

( ) ( )n b

ia

P i

lm f u x f x dx


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Definicin de Integral Definida

Sea f una funcin definida en un intervalo cerrado [ , ]a b y la integral definida

de ( )f x entre a y b se denota por:

|| || 0( ) ( )

n b

iaP

i

lm f u x f x dx

Si el lmite existe

La integral definida nos da como resultado un escalar.


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Propiedades de la Integral definida

1. La integral de:

( ) ( )b

a

cf x dx c b a

2. Si f es integrable en el intervalo [ , ]a b y c es un nmero real arbitrario

entonces ( )cf x es integrable en [ , ]a b y la integral de:

( ) ( )b b

a a

cf x dx c f x dx

3. Si f y gson integrables en el intervalo cerrado [ , ]a b entonces f g y

f g son integrables en el intervalo cerrado [ , ]a b :

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

4. Si a c b y f es integrable en el intervalo [ , ]a c y en [ , ]c b entonces f es

integrable en el intervalo [ , ]a b :

( ) ( ) ( )

b c b

a a cf x dx f x dx f x dx

5. Si f es una funcin integrable en un intervalo cerrado [ , ]a b y , ,a b c son

tres nmeros del intervalo, entonces:

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Que tambin se puede escribir

( ) ( ) ( )b a b

a c c


6. Si f es integrable en el intervalo [ , ]a b y ( ) 0f x para toda x en elintervalo [ , ]a b entonces:

( ) 0b

a

f x dx


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Ejemplos

1. Calcule2

0

senxdx

2

0 0

2senxdx senxdx

02( cos )x

2 cos( ) ( cos(0))

2(1 1) 4

2. Resolver 3

2

x x dx

3

2

x x dx

0 3

2 0

x x dx x x dx

0 3

2 0

x x dx x x dx

1 0 1 2 3

2 1 0 1 2

x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx

1 0 1 2 3

2 1 0 1 2

2 0 2xdx xdx xdx xdx xdx

1 0 2 32 2 2 2

2 1 1 2

2 22 2 2 2

x x x x

1 11 4 2 9 42 2

3

3. Resolver2

0

( 1)(3 1)x x dx

23 4 1x x


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2

( 1)(3 1) 3 4 1x x x x

Por propiedades del valor absoluto

a) 2 23 4 1 3 4 1 0x x x x

b) 2 23 4 1 (3 4 1) 0x x x x

De donde1

2 1 232 2 2

10 0 13

( 1)(3 1) (3 4 1) ( 3 4 1) (3 4 1)x x dx x x dx x x dx x x dx

1 1 23 2 3 2 3 23

10 13

2 2 2x x x x x x x x x

3 2 3 2

1 21 1 1 1 1 12 1 2(1) 1 23 3 3 3 3 3

3 2 3 22 2(2) 2 1 2(1) 1 1 2 1 1 2 1

1 2 1 8 8 2 1 2 127 9 3 27 9 3

1 6 9 1 6 9 54 62

27 27 27 27 27 27 27 27


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Ejercicios

1. Calcule 2

2

0

12 4cosx x dx

2 2 22 2

0 0 012 4cos 12 4cosx x dx x dx xdx

2 2

2

0 0

4 3 4 cosx dx xdx

3 2 200

4 4x senx

2. Evalese

52

3

1x dx

5 5

2 2

3 3

1 2 1x dx x x dx

5 5 5

2

3 3 3

2x dx xdx dx

5

3

8dx

55 22 2

3 3

1

[5 ( 3) ] 82 2

x

xdx

5

52 3 3 3

33

1 1 152[5 ( 3) ]

3 3 3x dx x

5

2

3

152 1281 2(8) 8

3 3x dx


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3. Calcular el rea acotada por3 2 2y x x x

donde 2,1x

0 1

3 2 3 2

2 0

2 2x x x dx x x x dx


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0 14 3 4 3

2 2

2 04 3 4 3

x x x xx x

8 1 1 8 5 1014 4 1

3 4 3 3 12 12


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Teorema del Valor Medio para Integrales

Teorema del valor medio

Si f es continua en un intervalo [ , ]a b tal que:

( ) ( )( )b

a

f x dx f c b a

El nmero c no es necesariamente nico sin embargo el teorema garantiza que laigualdad se satisface para algn nmero c .

Nota: Al nmero c se le llama punto crtico.

Teorema del valor promedio

Sea f continua en un intervalo [ , ]a b el valor medio promedio de f es:

1( ) ( )

b

a

f med f x dxb a

Ejemplos

1. Calcular

3

2

0

x dx con el teorema de valor medio.3

2

0

( )(3 0)x dx f c

2(3)c

Esto implica que29 (3)c

23c

3c

Por lo tanto 3c satisface la conclusin del teorema

2. Encuentra el valor promedio dek

k

senxdx

cosk

k

k

k

senxdx x

cos cosk k


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cos cos 0k k 1

( ) ( )b

a

f med f x dxb a

1( ) (0)

2

sen c

k

1(0)c sen

0c

3. Encuentre el valor medio de la siguiente funcin 1

2 2( ) 1f x x x

1

12 2

0

1x x dx

1 13 3

2 22 21 12 2

0

0 0

2 1 11 12 1

2 2 3 3

x xx x dx

32

1 1 1(2) (2 2 1)

3 3 3

1

12 2

0

1 ( )(1 0)x x dx f c

1

2 21 (2 2 1) 13

c c

1

22 21 (2 2 1) 13

c c

2

2 2(2 2 1)1

9c c

(2 2 1)0.609475708

3c

22(2 2 1) 9

9c


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2(2 2 1) 90.628539361

9c

(2 2 1)

3c

es el valor medio de la funcin

Ejercicios

1. Calcule el punto crtico con el teorema del valor medio de4

2

1

x dx

54 32

1 1

64 1 65

3 3 3 3

xx dx

2 65(5)3

c

2 13

3c

13

3c

Como13

3 no pertenece al intervalo

13

3c

2. Encontrar el valor promedio de2

2

0

sen xdx

2 1 1 22 4

sen udu u sen u c 22

2

00

1 12

2 4sen xdx x sen x

1 1(0) 0 (0)

4 4

2 1 ( )2

sen c

2 1

2sen c

1

2senc

1 1

2c sen


24/128

El valor de c con el teorema del valor promedio es4

c

3. Encontrar el punto crtico con el teorema del valor medio de1

cos2

xdx

1

cos 22 2

x

xdx sen

22 2

sen sen

2[1 ( 1)] 4

cos ( ) 42

c

2 cos 42

c

2cos2c

12cos2

c

1 22cosc

1.761378371c


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Teorema fundamental del Clculo

Teorema fundamental del Clculo

a) Si f es continua en un intervalo [ , ]a b :

( ) ( )x

a

G x f t dt [ , ]x a b

Entonces G es una antiderivada de f en [ , ]a b .

b) Si F es cualquier antiderivada de f en el intervalo [ , ]a b entonces:

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a

Demostracin:Para probar la primera parte se debe verificar que si x esta en [ , ]a b entonces

'( ) ( )G x x es decir:

0

( ) ( )( )

h

G x h G xlm f x

h

Si x y x h estn en [ , ]a b , entonces usando la definicin G resulta:

( ) ( ) ( ) ( )x h x

a a

G x h G x f t dt f t dt

Sabemos que si c d entonces:

( ) ( )b c

c d

f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) ( )x h a

a x

G x h G x f t dt f t dt

Si a c b y f es integrable en [ , ]a c y en [ , ]c b entonces f es integrable en

[ , ]a b

( ) ( ) ( )b c b

a d c



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( ) ( ) ( )x h

x

G x h G x f t dt

Por lo tanto si h es diferente de cero

( ) ( ) 1( )

x h

x

G x h G xf t dt

h h

Para 0h

Entonces por el Teorema del Valor Medio, este un nmero z en el intervaloabierto ( , )x x h tal que

( ) ( )x h

x

f t dt F z h

Y por tanto

( ) ( )( )

G x h G xf z

h

Como x z x h de la continuidad de f se deduce que

0( ) ( ) ( )

h z xlm f z lm f z f x

Y as

0 0

( ) ( )( ) ( )

h h

G x h G xlm lm f z f x

h

Si 0h se puede demostrar de manera anloga que

0

( ) ( )( )

h

G x h G xlm f x

h

Los dos lmites unilaterales anteriores implican que

0

( ) ( )'( ) ( )

h

G x h G xG x lm f x

h

Para probar la segunda parte, sea F cualquier antiderivada de f y sea G la

antiderivada especial definida anteriormente.

F y G difieren en una constante; es decir, existe nmero Ctal que [ , ]x a b

( ) ( )G x F x C

Entonces de la definicin de G


27/128

( ) ( )x

a

f t dt F x C [ , ]x a b

Si se toma x a y se usa el hecho

( ) 0

a

a f t dt

Se obtiene 0 ( )F a C . Por lo tanto ( ) ( ) ( )x

a

f t dt F x F a

Como esta es una identidad para x en [ , ]a b , se puede sustituir x por b y a

hacerlo se obtiene

( ) ( ) ( )b

a

f t dt F b F a

Sumando ( )F b a ambos lados de esta ecuacin y reemplazando la variable tpor

x , se obtiene la conclusin de la segunda parte.

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a


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LA INTEGRAL INDEFINIDA


29/128

Antiderivada Inmediatas

La integral

( ) ( )f x dx F x c

Donde ( )F x es la antiderivada y c una constante arbitraria.

Antiderivadas inmediatas

1

1

nn uu du

n

du u c

ln

du

u cu

x xe dx e c

ln lnxdx x x x c

cossenxdx x c

cosxdx senx c

tan ln cosxdx x c

2sec tanxdx x c

2csc cotxdx x c

2sec tan secx xdx x c

csc cot cscx xdx x c


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Ejemplo

1. Resolver

2

cos3xdx

2

cos3xdx

2

1cos3

3

xdx

2

13

3sen x

1 33

3 2sen sen

1 1(0 ( 1))

3 3

2. Evaluar la siguiente integral 2 20

adx

a x

2 2

00

1arctan

aadx x

a x a a

1 1arctan(1) arctan(0)

a a

4a

3. Evaluar

3

2

2

2

1

tdt

t

3

32

2 22

2ln 1

1

tdtt

t

ln(10) ln(5)

10ln

5

ln(2)


31/128

Ejercicios

1. Resolver3

3 4

0

1x x dx

3

3 4

0

1x x dx 3

13 4 2

0

14 1

4

x x dx

3

34 2

0

11

342

x

3 3

4 42 21 11 3 1 06 6

3 3

2 21 1

82 16 6

82 82 1

6

2. Resolver 2

0

cossenx x senxdx

2

0

cossenx x senxdx

2

2

0

cossen x xdx

3 20

1

3sen x

3 31

03 2

sen sen

3 31 1(1 0 )3 3

3. Calcular

116 4

12

01

x dx

x

Supngase que 4x z

Entonces 34 ,dx z dz 1

22 ,x z 1

4 ,x z adems para cambiar los lmites

observamos que cuando

0x 0z

16x 2z

Por lo tanto


32/128

116 2 2342

1 2 22

0 0 0

4 14 1

1 11

x dx z z dzz dz

z zx

22 2 2 32

2

0 0 0 0

44 4 4 4 4arctan( )

1 3

dz zz dz dz z z

z

84arctan (2)

3g


33/128

Integracin de funciones trigonomtricas mediante la aplicacin

de Identidades Trigonomtricas.

Para resolver integrales con funciones trigonomtricas en ocasiones estas puedencambiar de forma, aplicando identidades trigonomtricas o igualdades

trigonomtricas, por ejemplo:

122 tcostsen

tcsctcot 221

tsecttg 221

tcostsen 12

12

tcostcos 12

12

Ejemplos

1. xdxsen5 senxdxxsen

22

Utilizando la identidad: xcosxsen 22 1

senxdxxcos2

21

senxdxxcosxcos 42

21

dxxcossenxxcossenxsenx 422

xdxcossenxxdxcossenxsenxdx 422

Cxcosxcosxcos 535

1

3

2

2.

xdxcos2

Utilizando la identidad: xcosxcos 212

12

xdxcos2 xdxcosdx 22

1

2

1


34/128

xdxcosx 221

2

1 sea: xu 2 y 2du

Completando la integral con2

1

xsenxxdxcos 22

121

212 Cxsenx 2

41

21

3. xdxsecxtan 53 xdxsecxtanxsecxtan 42

Utilizando la identidad: 122 xsecxtan

xdxsecxsecxsecxtan 42 1

dxxsecxsecxsecxtan 46

dxxsecxsecxtanxsecxsecxtan 46

57

57 xsecxsec

Ejercicios

1. xdxxsencos 43

Utilizando la propiedad: 122 xcosxsen

xdxxsencosxsenxdxxsencos 4243 1

dxxxsencosxxsencos 64

xdxxsencosxdxxsencos 64

xsenxsen 75

7

1

5

1


35/128

2. xdxsecxtan 42

Utilizando la identidad: xtanxsec 22 1

xdxsecxtan 42 dxxtanxsecxtan

222 1

dxxtanxtanxsec 422

xdxtanxsecxtanxsec 4222

xsenxsen 75

7

1

5

1

3. xdxsec4

Utilizando la identidad: 122 xcosxsen

dxxsenxdxsec2

24

dxxcos 2

2

21

xcosxcos 222141 2

Utilizamos: xcosxcos 42

1

2

122

dxxcosxcosxdxsen

4

2

1

2

1221

4

14

dxxcosxcos

4

2

122

2

3

4

1

Cxsenxsenx

432

1

24

1

8

3


36/128

Integrales en las cuales se expresan Expresiones Cuadrticas

Con frecuencia, las integrales con expresiones cuadrticas en el denominador sepueden reducir a formas estndar completando el cuadrado.

Recuerde que: bxx 2

Se transforma en el cuadrado perfecto al sumarle:2

2

b

Ejemplos

1. dxxx 2567

2

Completando el trinomio cuadrado perfecto.

dxxx

dxxx 25996

7

256

722

dxxx 1696

17

2

Reescribiendo

dxx

22 43

17

Cx

tan

4

3

4

7 1

2. dxxx

x

32

342

Para tener u y du completamos multiplicando por uno de la siguiente forma:

dxxxx

3234

22

2

Completando la integral sumamos 0 como +2 -2:

dxxx

x

32

222

32

22


37/128

Ordenando: dxxx

x

32

2

722

22

Separando las integrales: dxxxdxxxx

32

2

7

232

22

2 22

Nuevamente completando el trinomio cuadrado perfecto.Descomponiendo 3 en 1+2

dxxx

dxxx

x

32

2

7

2212

222

22

dxxx

xxlog 2121

73222

2

Escribiendo como binomio:

dxx

xxlog

21

17322

2

2

Que se puede escribir como:

dxx

xxlog

22

2

21

17322

Cuyo resultado es:

Cx

tanxxlog

2

1

2

7322

12

Finalmente el resultado es:

dxxx

x

32

342

C

xtanxxlog

2

12

2

27322 12

3. dxxx

22

4

1

Completando el trinomio cuadrado perfecto

dxxx

444

12


38/128

dx

xx

444

12

dx

x

424

12

Por substitucin trigonomtrica:

Cx

arcsen

2

2

Ejercicios

1. dxxx 228

1

xxxx 2828 22

1218 2 xx

219 x

dx

xdx

xx 22 19

1

28

1

Tomando 1xu y 1xu

C

usendx

x

3191 1

2

Regresando a la variable original.

Cx

sendxxx

31

28

1 12

2. dxxx6 dxxx 62

Completando el trinomio cuadrado perfecto dxxx6 dxxx 9962


39/128

dxx 239

Por substitucin trigonomtrica

dxxx6 C

xarcsenx

x

3

3

2

939

2

3 2

3. dxxx

x

136

122

91396136 22 xxxx

43 2 x

dxxx

x

136

122

dxx

x

43

122

Haciendo

dudx

ux

xu

3

3

4

1322u

u

duu

u

4

522

Cutanuln 22

54 12

Regresando a la variable original

Cxtanxxln 2

3

2

5136 12


40/128

Integracin por Substitucin Trigonomtrica

Cuando en una integral tenemos suma o resta de cuadrados podemos utilizarsustitucin trigonomtrica

Expresin Substitucin Identidad Figura

22 xa senax

22

1 22

cossen

a

x

22 xa

22 xa tanax

22

1 22

sectan 22 xa

x

a

22 ax secax

20

1 22

tansec

x

22 ax

a

Ejemplos

1. dxxa 22 asenx dcosadx

a 22 xa 22222 senaaxa

x 22 1 sena

Substituyendo 221 cossen

22 1 sena 22 cosa


41/128

22 cosa

cosa

dxxa 22 dcosacosa

dcosa 22

Como : 212

12 coscos

dcos

adxxa 212

222

dcosa

2

2

2

Csena

2

2

1

2

2

Utilizando: cossensen 22 Csena

22

1

2

2

Regresando: Ccossena

22

1

2

2

a

xsen

a

xacos

22

a

xarcsen

Csenadxxa

22122

22

Ca

xa

a

x

a

xarcsen

a

222

2


42/128

Ca

xax

a

xarcsen

a

2

222

2

2. dxx 2236

1

tanx 6

22 xa x 26secdx

a

222 363636 tanx

22136 tan

Utilizando la identidad

221 sectan

22

2236

36

1secdx

x

4236 sec

dsecsec

2

42 6

36

1

dsecdsecsec 22

42

1

216

16

36

1

dcos2

2161

Utilizando:

212

12 coscos


43/128

dcos

21

2

1

216

1

Csen

2

2

1

432

1

dx

x 2236

1 Csen

2

2

1

432

1

Utilizando: cossensen 22

Ccossen

22

1

432

1

Ccossen 432

1

Regresando a x el resultado anterior:

6

xarctan

236 x

xsen

236

6

x

cos

C

xx

xxarctandx

x

2222 36

6

366432

1

36

1

C

x

xxarctan

2236

6

6432

1

Cx

xx

arctan

236

6

6432

1


44/128

Ejercicios

1. dxx 239 senx 33 dcosdx 3

a x 22222 3333 senx

22 13 sen

Usando : 221 cossen

2222 313 cossen

coscos 33 22

cos3

dcoscosdxx 3333 22 dcos

29

Usando: 212

12 coscos

dcosdcos 2129

9 22

Csen

2

2

1

2

9

Usando : cossensen 22

Ccossendcos

22

1

2

99 2


3

3

xsen

3

39 2

x

cos

22 xa


45/128

3

3xarcsen

Finalmente:

dxx 2

39

C

xxx

arcsen

3

39

3

3

3

3

2

9 2

C

xxxarcsen

9

393

3

3

2

9 2

2.

dxx24

1

tanx 2

2

2secdx

22 xa x 22 444 tanx

a 214 tan

212 tan

22 124 tanx

Utilizando identidad:

22 1 tansec

22 sec

sec2

dsec

sec

dx

x

2

22

2

1

4

1

dsecdsecsec22

1

Ctansecln

Regresando el resultado anterior a la variable x:


46/128

2

xtan

2

4 2xsec

Cxx

lndxx 22

4

4

1 2

2

Cxx

ln

2

4 2

Clnxxln 24 2

3.

dxx 2

32 1

1 secx

dtansecdx

x 22 ax

23

22

32 11 secx

23

2tan

3tan

Utilizando identidad: 22 1 tansec

dtansec

tandx

x

3

2

32

1

1

1

dsencos

cosd

tansec

2

2

2 1

dsen

cos

sen

1

dcotcsc

a


47/128

Ccsc

Ccscdx

x

2

32 1

1

Regresando a la variable x:

12

x

xcsc

C

x

xdx

x

11

12

2

32

1. dxx 239 senx 33 dcosdx 3

a x 22222 3333 senx

22 13 sen

Usando : 221 cossen

2222 313 cossen

coscos 33 22

cos3

dcoscosdxx 3333 22 dcos

29

Usando: 212

12 coscos

dcosdcos 21299 22

Csen

2

2

1

2

9

Usando : cossensen 22

22 xa


48/128

Ccossendcos

22

1

2

99 2


3

3

xsen

3

39 2

x

cos

3

3xarcsen

Finalmente:

dxx 239 Cxxxarcsen

339

33

33

29

2

C

xxxarcsen

9

393

3

3

2

9 2

2.

dxx24

1

tanx 2 22secdx

22 xa x 22 444 tanx

a 214 tan

212 tan

22 124 tanx

Utilizando identidad:

22 1 tansec

22 sec


49/128

sec2

dsecsec

dxx

2

22

2

1

4

1

dsecdsecsec

221

Ctansecln

Regresando el resultado anterior a la variable x:

2

xtan

2

4 2xsec

Cxx

lndxx 22

4

4

1 2

2

Cxx

ln

2

4 2

Clnxxln 24 2

3.

dxx

2

32 1

1 secx

dtansecdx

x 22 ax

23

22

32 11 secx

23

2tan

3tan

Utilizando identidad: 22 1 tansec

a


50/128

dtansec

tandx

x

3

2

32

1

1

1

dsen

cos

cosd

tan

sec

2

2

2

1

dsen

cos

sen

1

dcotcsc

Ccsc

Ccscdx

x

2

32 1

1

Regresando a la variable x:

12

x

xcsc

C

x

xdx

x

11

12

2

32


51/128

Integracin por Partes

Frmula de integracin por partes.

La frmula se obtiene de la derivada del producto de dos funciones. Si f y g son

funciones diferenciables, entonces.

x'fxgx'gxfxgxfDx

x'fxgxgxf

Al integrar cada miembro de la ecuacin se obtiene.

dxx'fxgdxxgxfDdxx'gxf

x

dxx'fxgdxxgxfdxx'gxf

Por lo tanto

xfu dxx'fdu

xgv dxx'gdv

Ejemplos

1. dxxe x2

xu dxedv x2

dxdu xev 22

1

dxeexdxxe xxx 222

2

1

2

1

Ceex xx

22

4

1

2

1

vduuvudv

vduuvudv


52/128

2. xdxcosex

xeu xdxcosdv

dxedu x senxv

dxsenxesenxexdxcose xxx

senxedxsenxexdxcose xxx

senxedxsenxe xx 2

Csenxedxsenxe xx 21

Ejercicios

1. xdxsecx 2

xu xsecdv 2

dxdu xtanv

xdxtanxtanxxdxsecx 2

Cxcoslnxtanx

2. xdxln

xlnu dxdv

dxx

du

1 xv

dx

xxxlnxdxxln 1

Cxxlnx


53/128

Integracin de Funciones Racionales

Si q es una funcin racional, entonces,( )

( ) ,( )

f xq x

g x donde ( )f x y ( )g x

son polinomios.

Llamaremos descomposicin en fracciones parciales de( )

( )

f x

g x a la suma de

1 2 ... rF F F donde cada rF se llama fraccin parcial.

Para obtener la descomposicin en fracciones parciales de( )

( )

f x

g x , sta se

debe usar slo si ( )f x tiene grado menor que ( )g x . Si no es as, hay que dividir

un polinomio entre otro hasta llegar a la forma apropiada.

Pasos para obtener la descomposicin en funciones parciales de ( )( )

f xg x

:

1.- Si el grado de ( )f x no es menor que el de ( )g x , dividir los polinomios para

obtener la forma apropiada

2.- Expresar ( )g x como un producto de factores lineales px q o formascuadrticas irreducibles 2ax bx c .

Y agrupar los factores repetidos para que ( )g x quede expresado como un

producto de factores distintos de la forma ( )mpx q o bien con m y n enteros no negativos.

3.- Aplicar las siguientes reglas:

a) Por cada factor de la forma ( )mpx q con 1m la descomposicin en

fracciones parciales contiene una suma de m

1 2

2 ...

( ) ( )

m

m

AA A

px q px q px q

kA R

b) Por cada factor2( )nax bx c

, 1n donde2( )nax bx c es irreducible, la

descomposicin de fracciones parciales contiene la suma de n fracciones

parciales de la forma1 1 2 2

2 2 2 2...

( ) ( )

n n

n

A x BA x B A x B

ax bx c ax bx c ax bx c

,k kA B R


54/128

Ejemplos

1.2

3 2

4 3 9

2 3

x x

x x xdx

3 2 22 3 ( 2 3) ( 1)( 3)x x x x x x x x x

1 3CA B

x x xdx dx dx

24 3 9( 1)( 3) 1 3x x CA B

x x x x x xdx dx dx dx

24 3 9( 1)( 3) 1 3x x CA B

x x x x x x

24 3 9( 1)( 3) 1 3

( 1)( 3) x x CA Bx x x x x x

x x x

24 3 9 ( 1)( 3) ( )( 3) ( )( 1)x x A x x B x x C x x

1x

24(1) 3(1) 9 (0)(1 3) (1)(4) (1)(0)A B C

2 4 1/ 2B B

Para 0x

9 ( 1)(3) (0)(3) (0)( 1)A B C

9 3 A=3A

3x

18 ( 4)(0) ( 3)(0) ( 3)( 4)A B C

18 12 C=3/2C

24 3 9 3 31( 1)( 3) 2( 1) 2( 3)x x

x x x x x xdx dx dx dx

1 3

3ln ln( 1) ln( 3)2 2x x x C

312 23ln ln( 1) ln( 3)x x x C

32

12

3lnln( 3)

ln( 1)

xx C

x


55/128

32

12

3ln ( )( 3)

ln( 1)

x xC

x

3 3( 3)

ln1

x xC

x

2

3 2

3

3 18 29 4

( 1)( 2)

x x x

x xdx

3 2

3 2 3

3 18 29 41 2( 1)( 2) ( 2) ( 2)

x x x CA B Dx xx x x x

dx dx dx dx dx

3 2

3 2 3

3 18 29 4

1 2( 1)( 2) ( 2) ( 2)

x x x CA B D

x xx x x x

3 2

3 2 3

3 3 18 29 41 2( 1)( 2) ( 2) ( 2)

( 1)( 2) x x x C A B D

x xx x x xx x

3 2 3 23 18 29 4 ( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)x x x A x B x x C x x D x

2x

3 2 3 23(2) 18(2) 29( 1) 4 (0) (3)(0) (3)(0) (3)A B C D

6 3 D=2D 1x

3 2 3 23(2) 18(2) 29( 1) 4 ( 3) (0)( 3) (0)( 3) (0)A B C D

54 27 A=2A

3 2 3 2 2 23 18 29 4 ( 6 12 8) ( 1)( 4 4) ( 2) ( 1)x x x A x x x B x x x C x x D x

3 2 3 2 2( 6 12 8) ( 3 4) ( 2) ( 1)A x x x B x x C x x D x

3 2( ) ( 6 3 ) (12 ) ( 8 4 2 )A B x A B C x A C D x A B C D

3 33 ( )x A B x

2 218 ( 6 3 )x A B C x


56/128

29 (12 )x A C D x

4 ( 8 4 2 )A B C D

1B

3C

3 2

3 2 3

3 18 29 4 32 1 21 2( 1)( 2) ( 2) ( 2)

x x xx xx x x x

dx dx dx dx dx

1 22ln( 1) ln( 2) 3( 2) ( 2)x x x x C

2

2

3 1ln( 1) ln( 2)

2 ( 2)x x C

x x

2

2

3 1ln ( 1) ( 2)

2 ( 2)

x x C

x x

32

3 2

21

2 8 4

x x

x x xdx

3 2 22 8 4 (2 1) 4(2 1)x x x x x x

2( 4)(2 1)x x

2

2 2

21

2 1( 4)(2 1) 4

x x Ax B C

xx x xdx dx dx

2

2 2

212 1( 4)(2 1) 4

x x Ax B Cxx x x

2

2 2

2 212 1( 4)(2 1) 4

( 4)(2 1) x x Ax B C

xx x xx x

2 221 ( )(2 1) ( 4)x x Ax B x C x

1/2x

85 17 C 5

4 4C

2 2 221 2 2 4x x Ax Ax Bx B Cx C

2(2 ) ( 2 ) ( 4 )A C x A B x B C


57/128

2 1 3A C A

2 1 B 1A B

4 21 C 5B C

2

2 2

21 3 1 5

2 1( 4)(2 1) 4

x x x

xx x x

dx dx dx

2

2 2 2

21 3 512 1( 4)(2 1) 4 4

x x xxx x x x

dx dx dx dx

2 13 1 5ln( 4) tan ln(2 1)

2 2 2 2

xx x C

Ejercicios

1

3 2

2 2

5 3 7 3

( 1)

x x x

xdx

3 2

2 2 2 2 2

5 3 7 3

( 1) 1 ( 1)

x x x Ax B Cx D

x x xdx dx dx

3 2

2 2 2 2 2

5 3 7 3

( 1) 1 ( 1)

x x x Ax B Cx D

x x x

3 2

2 2 2 2 2

2 2 5 3 7 3

( 1) 1 ( 1)( 1)

x x x Ax B Cx D

x x xx

3 2 25 3 7 3 ( )( 1) ( )x x x Ax B x Cx D

3 2Ax Ax Bx B Cx D

3 2 ( ) ( )Ax Bx A C x B D

3 35 5x Ax A

2 23 B 3x Bx

7 ( ) C 2x A C x

3 ( ) D 0B D

3 2

2 2 2 2 2

5 3 7 3 5 3 2

( 1) 1 ( 1)

x x x x x

x x xdx dx dx

2 2 2 2

5 3 2

1 1 ( 1)

x x

x x xdx dx dx


58/128

2 1

2

5 1ln( 1) tan

2 1x x C

x

2

3

2

3 2x x

x x dx

3

2

3 2 2 2( 1)

1x x x

x xx xdx x dx

2 2( 1)

( 1) x

x xx dx dx

2 2( 1) 1x A B

x x x xdx dx dx

2 2( 1) 1x A B

x x x x

2 2( 1) 1

( 1) x A Bx x x x

x x

2 2 ( 1) ( )x A x B x

1x

2(1) 2 (0) (1)A B

4 B=4B

0x 2 2A A

3

2

3 2 2 41

( 1)x x

x xx xdx x dx dx dx

2

2 ln 4 ln( 1)2

xx x x C

3

2

5 12

4

x

x xdx

2 4 ( 4)x x x x

2

5 1244

x A Bx xx x

dx dx dx


59/128

5 12( 4) 4x A B

x x x x

5 12( 4) 4

( 4) x A Bx x x x

x x

5 12 ( 4) ( )x A x B x

0x

12 4A

3A

4x

8 4B

2B

2

5 12 3 244

xx xx x

dx dx dx

3ln 2ln( 4)x x C

3 2ln ln( 4)x x C

3 2ln ( 4)x x C

4

37 11( 1)( 2)( 3)

xx x x

dx

37 11( 1)( 2)( 3) 1 2 3

x CA Bx x x x x x

dx dx dx dx

37 11( 1)( 2)( 3) 1 2 3

x CA Bx x x x x x

37 11( 1)( 2)( 3) 1 2 3

( 1)( 2)( 3) x CA B

x x x x x xx x x

37 11 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)x A x x B x x C x x

2x

15 (0)( 1) (1)( 1) (1)(0)A B C

15 15B B


60/128

3x

4 (1)(0) (2)(0) (2)(1)A B C

4 2 C 2C

1x

26 ( 1)( 2) (0)( 2) (0)( 1)A B C

26 2 13A A

37 11 13 15 2( 1)( 2)( 3) 1 2 3

xx x x x x x

dx dx dx dx

13ln( 1) 15 ln( 2) 2 ln( 3)x x x C

13 15 2ln( 1) ln( 2) ln( 3)x x x C

132

15

( 1)ln ln( 3)

( 2)

xx C

x

13 2

15

( 1) ( 3)ln

( 2)

x xC

x


61/128

Sustituciones Diversas

Como conclusin de las tcnicas de integracin, algunas situaciones tiles para laevaluacin de ciertas integrales requieren de la aplicacin de diversassustituciones (equivalencias) que facilitan el manejo de estas integrales.

Aplicando teorema...

Si un integrando es una expresin racional en senx y cosx , las siguientessituaciones lo transforman en una expresin racional de u .

donde

2

2

1

usenx

u

2

2

1cos

1

ux

u

2

2

1dx du

u

tan2

xu

Ejemplos

1

1 cosdx

senx x 2

21

22 12 21 1

1 cos1

du

u

u u

u u

dxsenx x

2

du

u u

( 1)du

u u Por fracciones parciales

( 1) 1du A B

u u u u


62/128

1( 1) ( 1)

( 1) 1

A Bu u u u

u u u u

1 ( 1)A u Bu

1 ( )A B u A

0A B

1A

1B

1 1( 1) 1du

u u z z du

1

du du

u u

1 2ln ln 1u c u c c

1 2ln ln 1u u c c

1 2ln1

uc c

u

1

212

tanln

tan 1

xc

x

1 2c c c

Ejercicios

1

secxdx

cossec dx

xxdx

2

2

1 1sec

cos 1

ux

x u


63/128

2

2

1

dudx

u

2

2 2

1 2

1 1sec u du

u uxdx

2

2

1

du

u

2(1 )(1 )

duu u

2

(1 )(1 ) 1 1

A B

u u u u

2(1 )(1 ) (1 )(1 )

(1 )(1 ) 1 1

A Bu u u u

u u u u

2 (1 ) (1 )A u B u 2 ( ) ( )A B u A B

0A B

2A B

2 2A

1, 1A B

2 1 1(1 )(1 ) 1 1du

u z u u du

1 21 1 (ln 1 ) (ln 1 )du du

u u u c u c

1 2ln 1 ln 1u u c c

1 2ln (1 )(1 )u u c c

2ln 1 u C

2 2ln 1 tan x C

2


64/128

4 3cosdx

senx x

221

22 12 21 1

4 3cos4 3

du

u

u u

u u

dxsenx x

2

2

3 8 3

du

u u

2(3 1)( 3)

duu u

315 3 5 3 1

du duu u

1 11 25 5(ln 3 ln 3 1u c u c

1 2

1 1 1 1ln 3 ln 3 1

5 5 5 5u u c c

1 2

1 3 1 1ln

5 3 1 5 5

uc c

u

2

2

tan 31ln

5 3tan 1

x

xC

2

2

4 3cos

tan 31ln

5 3 tan 1

x

x

dxsenx x

C


65/128

INTEGRALES IMPROPIAS Y

APLICACINDE LA INTEGRAL

DEFINIDA E INTEGRALES

IMPROPIAS


66/128

Integrales con Lmites de Integracin Infinitos

1. Si fes continua en el intervalo [a, ) entonces:

= lim

2. Si fes continua en el intervalo (-, a] entonces:

= lim

3. Sea funa funcin continua para toda x si aes un nmero real entonces:

=

+

Siempre y cuando converjan las dos integrales impropias del lado derecho de laigualdad.

Ejemplos

1

11

0 xdx

1( )f xx

0x

1

0

1ln

ttlm dx x

x

1 11ln txt

dx x

ln1 ln t

1ln

t

0

1ln

tlm

t

Diverge


67/128

2

23

3

0 ( 1)

dx

x

2 23 3

3

0( 1) ( 1)1 1

tdx dx

tx xt tlm lm

13

23( 1)

( 1)dx

xx

13

230 0( 1)

( 1)

ttdx

xx

1 13 3( 1) ( 1)t

13( 1) 1t

132

3

33

( 1)( 1)dx

t txx

1 13 3(3 1) ( 1)t

3 1

3( 1)2 t

31 13 3

11( 1) 1 ( 1)2

ttt tlm lm

321

32 1

dx

x

2 2

0

1 10

tdx dx

x xtt tlm lm

1

2 1tandx

xx

0

1 1

2

0

1tan tan

t

dx

xtx t

0

1 1

2 10tan tan

t

tdx

xx t

1 1tan tanx xlm t lm t


68/128

2 2

Ejercicio1

2( 1)2

dx

x

2( 1)2

limt

dx

xt

1( 1)

12

limt

x

t

1 1lim

1 2 1t t

0 ( 1) 1

2( 1)21dx

x

2

12

dx

x

12

limt

dxx

t

2

lim ln 1 t

tx

ln( ) ln(2)

31xe dx

1

lim xtt

e dx

e e


69/128

0e

1xe dx e

41

xe dx

1lim xt

e dx

1lim( )tt

e e

1e e

e

1

xe dx


70/128

Integrales con integrandos discontinuos

Si f es continua en [a,b) y discontinua en b:

= lim

Si f es continua en (a,b] y discontinua en a entonces:

= lim+

Si ftiene una discontinuidad en cun nmero en el intervalo [a,b] entonces:

()

=

+

Siempre y cuando converjan las dos integrales impropias que estn al ladoderecho de la igualdad si ambas convergen el valor de la integral impropia es lasuma de los dos valores.

Ejemplos

1. Calcular el rea de la regin dada por 21

( )( 1)

f xx

entre 0x y 2x .

La funcin no es continua en 1x .

Entonces

2 2

1 2

( 1) ( 1)0 1

dx dx

x xS

2 2

1 2

( 1) ( 1)0 10 0

dx dx

x xlm lm

1 2

0 00 1

1 1

1 1lm lm

x x

0 0

1 11 1lm lm


71/128

Ejercicios

1

3

1

( 3)4

dz

z

3 3 3

1 3 1

( 3) ( 3) ( 3)4 4 3

dz dz dz

z z z

3( )

( 3)

dzf x

z

4,1

33 ( 3)z

dzlm

z

Entonces

3 3 3

1 1

( 3) ( 3) ( 3)4 43 3

tdz dz dz

z z zst slm lm

1

2 23 3

4

1 1 1 1

2 ( 3) 2 ( 3)

t

t ss

lm lmz z

2 2 2 23 3

1 1 1 1 1 1

2 ( 3) ( 4 3) 2 (1 3) ( 3)t slm lm

t s

2 23 3 3 3

1 1 1 1 11

2 ( 3) 2 16 ( 3)t t s t lm lm lm lm

t s

1 1 1( 1)2 2 16


72/128

2

21

dx

x

2 2

1

1 11

dx dx

x x

2 2

1

1 11lim lim

tdx dx

x xtt t

1

1lim arctan( ) lim arctan( )

t

tt tx x

arctan( ) arctan(1) arctan(1) arctan( )

arctan( ) arctan(1) arctan(1) arctan( )

2 4 4 2

21

dx

x

3

2

3

7

2 1

dx

x

2 2 2

3 3 3

7 7

2 21 1 11 1

tdx dx dx

tx x xt tlm lm

3 33 31 1

3 1 3 2 1 3 7 1 3 1 1t tlm t lm

9


73/128

Clculo de reas en Coordenadas Cartesianas: Bajo la Curva yLimitada por Varias Funciones

Sify gson continuas yf(x) g(x) para todaxen el intervalo [a, b] entonces el rea

Ade la regin acotada por las grficasf(x) y g(x): ( ) ( )b

a

A f x g x dx

Ejemplos

1. Encuentre el rea de la regin limitada por xy e ,por y x y a los lados por

0x y 1x .

Sabemos que ( ) ( )b

aA f x g x dx

Tenemos como datos:

( ) xf x e Funcin que est ms alejada del eje x

( )g x x Funcin que est ms cerca del eje x

0a 1b

Solucin

1

0( )xA e x dx

1

2

0

1

2

xe x

11

2e 2

3

2e u


74/128

2. Encuentre el rea de la regin limitada por las funciones 2 4 0y x y 2 4y x

.

Solucin

Hallamos los puntos de interseccin de las funciones 214x y y 1 22x y

21 1 24 2

y y

22 8y y

2 2 8 0y y

( 4)( 2) 0y y

de modo que las funciones se intersectan cuando: 4y y 2y .

42

2

1 12

2 4A y y dy

4

2 3

2

1 12

4 12y y y

16 24 8 1 4

3 3

29 u


75/128

3. Encuentre el rea de la regin limitada por las funciones 3y x y 22y x x .

Solucin

Hallamos los puntos de interseccin de las funciones3 2

2x x x

3 22 0x x x

2 2 0x x x

( 2)( 1) 0x x x

de modo que las funciones se intersectan cuando: 0x , 2x y 1x

Definiendo

1 2TA A A

1A si 2 0x

2A si 0 1x


76/128

Por lo tanto

0

3 2

12

2A x x x dx

0

4 2 3

2

1 1

4 3x x x

8

0 4 43

8

3

1

2 3

20

2A x x x dx 1

2 3 4

0

1 1

3 4

x x x

1 1

1 0

3 4

5

12

8 5

3 12TA

237

12u

Ejercicios

1. Encuentre el rea de la regin encerrada por las funciones 2y x y 22y x x

Solucin

Hallamos los puntos de interseccin de las parbolas

2 22x x x

2

2 2x x 2x x 2

0x x

( 1) 0x x

de modo que las funciones se intersectan cuando: 0x y 1x


77/128

1

2 2

02A x x x dx

12

02 2x x dx

12

02 x x dx

12 3

0

22 3

x x

1 12

2 3

21

3u

2. Calcule el rea de la regin acotada por las funciones 3x y y y 41x y

Solucin

Hallamos los puntos de interseccin de las funciones

3 41y y y 3 41 0y y y

3 1 1 0y y

de modo que las funciones se intersectan cuando: 1y y 1y

1

4 3

11A y y y dy

1

5 4 2

1

1 1 1

5 4 2y y y y

1 1 1 1 1 11 1

5 4 2 5 4 2

28

5u


78/128

3. Calcule el rea de la regin acotada por las funciones seny x , cosy x , 0x y

/ 2x

Solucin

Los puntos de interseccin estn donde sen cosx x esto es, cuando / 4x en el

intervalo a trabajar.

En este intervalo en particular notar que las funciones se comportan de la

siguiente manera:

cos senx x cuando0 / 4x

sen cosx x cuando / 4 / 2x

Por lo que calcularemos el rea del primer caso 1A y se la sumaremos al rea del

segundo caso 2A .

/2

1 20cos senA x x dx A A

/4 /2

0 /4cos sen sen cosx x dx x x dx

/4 /2

0 /4sen cos cos senx x x x

1 1 1 10 1 0 1

2 2 2 2

22 2 2 u


79/128

Slidos de Revolucin Mtodo de Secciones, de Arandelas oRodajas y de Envolventes Cilndricas

Slidos de revolucin

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b] y seaRla regin acotada por la

grfica def, el ejexy las rectasx=ay x=bel volumen V del slido de revolucingenerado al girarRalrededor dexes:

2 2

0( ) ( )

b

aPV lm f x x f x dx

Si la figura est acotada por dos funciones, entonces el rea de la regin es elradio exterior menos el radio interior:

2 2 2 2

0( ) ( ) ( ) ( )

b

aPV lm f x g x x f x g x dx

Envolventes cilndricas

La siguiente figura muestra un cascarn cilndrico con radio interior 1r , radio

exterior2r , y altura h. Calculando su volumen restando el volumen 1V (del

cilindro interior) del volumen 2V (del cilindro exterior):

2 1V V V 2 2

2 1( ) ( )r h r h 2 2

2 1( ) ( )r r h

1 2 12

( )( )r r hr r 22 1

2 ( )2

r rh r r


80/128

Sean 2 1r r r (el espesor de la pared del cascarn) y 2 11

( )2

r r r (el radio

promedio del casarn); entonces, esta frmula para calcular el volumen de uncascarn cilndrico se transforma en 2V rh r .Por consiguiente, el volumen del cuerpo de la figura que se obtiene al giraralrededor del eje y la regin debajo de la curva y= f (x) desde ahasta b, es

2 ( )b

aV x f x dx .

Ejemplos

1. Sea 2( ) 1f x x , calcular el volumen del slido de revolucin que se genera al

girar la regin bajo la grfica de fentrex = -1 y x = 1 alrededor del ejex.

Slido generado


81/128

Solucin

12 2

1( 1)V x dx

14 2

12 1x x dx

1

5 3

1

1 2

5 3x x x

1 2 1 21 1

5 3 5 3

28 28

15 15

356 15

u

2. Calcule el volumen del slido generado por las funciones2 1y x , 3y x

entrex = -1 yx = 2 alrededor del eje x.


82/128

Slido generado

Solucin

2 22 2

13 1V x x dx

2 2 4 2

16 9 2 1x x x x dx

2

2 4 2

16 9 2 1x x x x dx

24 2

16 8x x x dx

2

5 3 2

1

1 13 8

5 3x x x x

5 3 5 32 22 2 ( 1) ( 1)3(2) 8(2) 3( 1) 8( 1)

5 3 5 3

284 67

15 15

351

15

3117

5

u

3. Calcule el volumen del slido obtenido al girar la regin acotada por y x ,2y x entrex = 0,x = 1 alrededor de la recta y=2.


83/128

Slido generado

Solucin

radio interior 2y x

radio exterior 22y x

2 22( ) 2 2A x x x

1

0

( )V A x dx 1 2 22

0

2 2x x dx

1

4 2

0

5 4x x x dx 1

5 3 2

0

1 52

5 3

x x x

38 15

u

4. Emplee envolventes cilndricas para calcular el volumen del slido que seobtiene girando la regin limitada por 0y 2 32y x x entre x = 0 y x = 2alrededor del eje y.


84/128

Slido generado

Solucin

22 3

0(2 ) 2V x x x dx

23 4

02 2x x dx

2

4 5

0

1 12

2 5x x

322 8

5

316 5

u

Ejercicios

1. Calcule el volumen del slido generado por las funciones 2 2y x ,1

1

2

y x

entrex = 0 y x = 1 alrededor del ejex.


85/128

Slido generado

2

1 22

0

12 1

2

V x x dx

1

4 2 2

0

14 4 1

4

x x x x dx

14 2 2

0

14 4 1

4x x x x dx

14 2

0

153

4x x x dx

1

5 3 2

0

1 15 13

5 12 2x x x x

1 15 1

3 05 12 2

379

20u


86/128

2. Halle el volumen del slido que se obtiene girando la regin limitada por y x y2y x entrex = 0 yx =1 alrededor de la rectax = -1.

Slido generado

Solucin

radio interior 1x y radio exterior 1x y

2 2

( ) 1 1A y y y


87/128

1

0( )V A y dy

21 2

01 1y y dy

12

02 y y y dy

13

2 32

0

4 1 1

3 2 3y y y

31 2

u

3. Emplee envolventes cilndricas para calcular el volumen del cuerpo generado algirar la regin bajo la curva limitada por y x y 2y x entrex = 0 yx = 1alrededor del eje y.

Slido generado

Solucin

1 2

0(2 )V x x x dx

1 2 3

02 x x dx

1

3 4

0

1 123 4

x x

31 6

u


88/128

Longitud de Arco y Superficies de Revolucin

Longitud de arco

Seafuna funcin suave en [a,b] la funcin longitud de arco sde la grficafen[a,b] est definida por:

2

( ) 1 '( )x

as x f t dt para toda a x b .

Sea f alisada en el intervalo [a,b] y sla funcin longitud de arco de la grficay=f(x):

2

1 '( )ds f x dx

En (a,b) si dxy dyson las diferenciales de x y y, entonces:2 2 2( ) ( ) ( )ds dx dy

rea de una superficie de revolucinSeafalisada y no negativa en [a,b] entonces el reaSde la superficie generada algirar la grficafalrededor del ejexes:

2

2 ( ) 1 '( )b

aS f x f x dx

Ejemplos

1. Encuentre la longitud de arco de la curva2 3

( 1)y x entre A (1,0) y B (2,1).

Solucin

2 3( 1)y x

3

2( 1)y x


89/128

21

22

1

31 ( 1)

2L x dx

2

1

91 ( 1)

4x dx

2

1

9 91

4 4x dx

2

1

9 5

4 4x dx

2

1

19 5

2x dx

2

1

1 19 5(9)

2 9x dx

2

3

2

1

9 51

318

2

x

3 3

2 21

9(2) 5 9(1) 527

3

21

13 827

13 13 8

27

2. Encuentre el rea de la superficie de revolucin de la funcin 24y x de

1 1x .

Solucin

24y x 24

dy x

dx x

21

2

212 4 1

4

xS x dx

x

2 21

2

21

42 4

4

x xx dx

x

2 2

12

21

42 4

4

x xx dx

x

1

12 4dx

1

12 2dx

1

14 dx

1

14 x

4 1 ( 1) 4 (2) 8

24y x 1 1x


90/128

Ejercicios

1. Encuentre la longitud de arco de la curva2

33 10y x entre A(8,2) yB (27,17).

Solucin2

33 10y x 3

2dy

dx x

227

38

21L dx

x

27

3 28

41 dx

x

3 227

3 28

4xdx

x

273 2

38

14x dx

x

273 2

38

3 2 14

2 3x dx

x

27

3

23 2

8

43

32

2

x

27

3

23 2

8

4x

3 3

2 23 32 227 4 8 4 3 3

2 29 4 4 4 13 13 8 8 13 13 16 2

2. Encuentre el rea de la superficie de revolucin de la funcin x y del punto

(1,1) al (2,4).

Solucin

x y

1

2

dx

dy y


91/128

2

4

1

12 1

2S y dy

y

4

1

12 1

4y dy

y

4

1

4 12

4

yy dy

y

4

1

1 4 12

2

yy dy

y

4

14 1y dy

4

1

1(4) 4 1

4y dy

4

3

2

1

4 11

34

2

y

4

3

2

1

1 24 1

4 3y

3 3

2 21

4(4) 1 4(1) 16

3 3

2 21

17 56

17 17 5 5

6

x y 1 4y


92/128

SERIES INFINITAS


93/128

Sucesiones Infinitas

Una sucesin infinita es una funcin cuyo dominio es el conjunto:{1,2,3,4,,n,}

de todos los nmeros enteros positivos. Los nmeros del contradominio de unafuncin sucesin se denominan elementos.

Una sucesin consiste de los elementos de una funcin sucesin listados enorden. Una sucesin infinita arbitraria normalmente se denota por:a1a2,a3,,an,

Definicin:Una sucesin tiene el lmiteLo converge aL, lo cual se denota por: n

nlm a L

Si para todo 0 existe un nmero positivoNtal que:| |na L siempre que n>N.Si tal nmeroLno existe, la sucesin no tiene lmite o diverge.

Definicin:La notacin

nnlma

Significa que para todo nmero real Pexiste un nmeroN tal que an>Psiempreque n > N.

Teorema:Sea {an} una sucesin infinita y sea ( ) nf n a donde ( )f x existe para todo nmeroreal 1x

i)Si ( )

xlm f x L

entonces ( )

nlm f n L

ii)Si ( )xlm f x

o bien ( )

xlm f x

entonces ( )

nlm f n

o bien ( )

nlm f n

.

Teorema de intercalacin para sucesiones infinitas.Si {an}, {bn} y {cn}son sucesiones infinitas tales que an>bn>cn para todo n, y si

n nn nlm a L lm c

Entonces

nnlmb

Teorema.Sea {an} una sucesin.Si 0n

nlm a

Entonces0n

nlma


94/128

Ejemplos

1. Sea ( ) 1,2,3,...2 1

nf n n

n

Calcular la sucesin cuando 1,2,...,5n

1(1)

2(1) 1f

1

3

2(2)

2(2) 1f

2

5

3(3)

2(3) 1f

3

7

4(4)

2(4) 1f

4

9

5(5)

2(5) 1

f

5

11

2. Escriba los cuatro primeros trminos y el dcimo trmino de la siguiente

sucesin:

( ) 2 (0.1) 1,2,3,...nf n n

1

2

3

4

10

(1) 2 (0.1) 2 0.1 2.1

(2) 2 (0.1) 2 0.01 2.01

(3) 2 (0.1) 2 0.001 2.001

(4) 2 (0.1) 2 0.0001 2.0001

(10) 2 (0.1) 2 0.0000000001 2.0000000001

f

f

f

f

f


95/128

Ejercicios

1. Determine si la sucesin es convergente o divergente.

2

2

4( ) 1,2,3,...

2 1

nf n n

n

Se desea determinar si

2

2

4

2 1nn

lmn

existe.

Se considera

2

2

4( )

2 1

xf x

x

y se investiga ( )

xlm f x

Planteando y resolviendo el lmite tenemos:

2

2

4

2 1x

xlm

x 2

4

12

xlm

x

2

La serie es convergente.

2. Determine si la sucesin es convergente o divergente.

( ) 1,2,3,...f n nsen nn

Se desea determinar sinlm nsen

n

existe.

Se considera ( )f x xsen

x

y se investiga ( )

x

lm f x

Como ( )f x puede escribirse como1

senx

x

Planteando y resolviendo el lmite tenemos:

1x

senxlm

x

1

x

x

lm senx

lmx

0

0

Puede aplicarse la regla de LHpital a fin de obtener:

( )xlm f x

2

2

cos

1xx xlm

x

cosxlm

x

Por lo tanto la serie es convergente.


96/128

Series Infinitas.

Si na es una sucesin y 1 2 3n nS a a a a

Entonces nS es una sucesin de sumas parciales denominada serie infinita y se

denota por: 1 2 31

n nn

a a a a a

Los nmeros 1 2 3, , , , ,na a a a son los trminos de la serie infinita.

Definicin de la suma de una serie infinita.

Considere que

1

n

n

a

denota una serie infinita dada para la cual nS es la

sucesin de sumas parciales.

Si nnlm S

existe y es igual a S, entonces la serie es convergente y S es la suma

de la serie.

Si nnlm S

no existe entonces la serie es divergente y la serie no tiene suma.

Teorema.

Si la serie infinita1

nn

a

es convergente entonces 0n

nlm a

NOTA: Si 0nnlm a

no significa que1

nn

a

converja.

Ejemplos

1. Sea la serie infinita 1 1

1

1n

n n

an n

a) Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesin de sumas parciales

nS


97/128

Como

1n n nS S a

Entonces:

1 0 1 01 1 1

01 1 1 2 2S S a S

2 1 2 11 1 1 2

2 2 1 2 6 3S S a S

3 2 3 21 2 1 3

3 3 1 3 12 4S S a S

4 3 4 31 3 1 4

4 4 1 4 20 5S S a S

b) Determine una frmula para nS en trminos de n

Como

1

1na

n n

se tiene mediante fracciones parciales

1 1

1na

n n

Por tanto

1

11

2

a

2

1 1

2 3a

3

1 1

3 4a

1

1 1

1na

n n

1 11

nan n

De esta forma

1 2 3 1n n nS a a a a a


98/128

1 1 1 1 1 1 1 1 11

2 2 3 3 4 1 1nS

n n n n

Al eliminar los parntesis y reducir los trminos semejantes se obtiene.

1

1 1nS n

Esta serie es conocida como la serie telescpica o retrctil.

Ejercicios

1. Sea la serie infinita2

1

1

4 1n n

a) Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesin de sumas parciales

nS 1

1

2 1 2 1n n n

11 1

1 3 3S

21 1 1 1 1 6 2

13 3 5 3 5 3 5 5

S

32 1 1 1 1 15 3

25 5 7 5 7 5 7 7

S

43 1 1 1 1 28 4

37 7 9 7 9 7 9 9

S


1 2 3 4

, , , , , ,3 5 7 9 2 1nn

S n

c) Determine si la serie converge o diverge.

1 1

12 1 22

n n

nlm lm

n

n


99/128

La serie converge y la suma es1

2

2. Sea la serie infinita1n

n

a) Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesin de sumas parciales nS

1 1S

2 1 2 3S

3 3 3 6S

4 6 4 10S


1

1,3,6,10, , ,2

n

n nS


1

2n

n nlm

La serie diverge.

3. Sea la serie infinita1

ln1n

n

n

a) Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesin de sumas parciales nS

1

1ln

2S

2

1 2 1ln ln ln

2 3 3S

3

1 3 1ln ln ln

3 4 4S


100/128

4

1 4 1ln ln ln

4 5 5S


1 1 1 1 1ln , ln , ln , ln , , ln ,2 3 4 5 1nS

n


1

ln ln 01n

lmn

La serie diverge

4. Dada la sucesin de sumas parciales nS obtenga la serie infinita en trminos

de n .

2

3 1n

nS

n

Para:

1n 12

4a

2n

22 2 2 1

3 2 1 4 14a

n n 1n n na S S

2 12

3 1 3 1 1n

nna

n n

2 2 2

3 1 3 2nn n

a n n

2

3 1 3 2na

n n

Por lo tanto la serie infinita es:


101/128

2 11 2 2

2 3 1 3 2 3 1 3 2n nn n n n


102/128

Criterios de Convergencia para Series Infinitas

Teorema.

Sea c cualquier constante diferente de cero.

1) Si la serie1

nn

a

es convergente y su suma es S entonces la serie

1n

n

ca

tambin es convergente y su suma es cS

2) Si la serie1

nn

a

es divergente, entonces la serie

1n

n

ca

tambin es

divergente.

Teorema.

Si1

nn

a

y

1n

n

b

son series infinitas convergentes cuyas sumas son S y T

respectivamente, entonces:

i. 1

n nn

a b

es una serie convergente y su suma es S+T

ii. 1

n nn

a b

es una serie convergente y su suma es S-T

Teorema.

Si la serie1

nn

a

es convergente y la serie

1n

n

b

es divergente.

Entonces:

La serie 1

n nn

a b

es divergente.


103/128

Teorema.

Si1

nn

a

y

1n

n

b

son dos series infinitas que difieren nicamente en sus

primeros m trminos, es decir, si k ka b para k m .

Entonces:

Las dos series son convergentes o ambas son divergentes.

Ejemplos

1. Demuestre que la serie converge o diverge.

2

21

1 5 10 172

4 9 16n

n

n

2 2

2

11

11 0

1n

n n n

n nlm a lm lmn

Entonces la serie es divergente.

2. Demuestre que la serie converge o diverge.

1

1

1 3 3 3 3 3n

n

1

1 3n

nn nlm a lm

No existe.

Este tipo de series se llaman series oscilantes, siendo siempre series divergentes.


104/128

Ejercicios

1. Encuentre todos los nmeros enteros k para los cuales 1 8k es cuadrado

perfecto.

Recuerda que un nmero entero w es un cuadrado perfecto si existe un nmeroentero z tal que: 2w z

Entonces:

21 8k z Si:

0k

2

1 1 1k

29 3

3k 2

25 5

6k 249 7

10k 2

81 9

15k 2121 11

21k 2169 13

Podemos expresar k como:

10,1,3,6,10,15,21,...,

2

n nk

Serie Armnica, Geomtrica e Hiperarmnica.

La serie armnica es:

1

1 1 1 1 11

2 3 4n n n

Esta serie siempre diverge.


105/128

La serie geomtrica.

Sea 0a entonces la serie geomtrica es:

2 1na ar ar ar

i. Es convergente y su suma es1

a

rsi 1r

ii. Es divergente si 1r

La serie hiperarmnica o serie p.

1 1 11

2 3p p pn

i. Converge si 1p

ii. Diverge si 1p

Ejemplos

1. Exprese 0.3333 como una fraccin comn.

Podemos escribir:

3 3 3 3 30.3333...3...

10 100 1000 10000 10n

Reconocemos esta serie como la geomtrica en la cual 3

10a y

1

10r .

Como 1r se deduce que la serie converge.

Entonces la suma es:

1

a

r


106/128

31100.333...

1 31

10

Por lo tanto: 1

0.333... 3

2. Determine si la siguiente serie converge o diverge.

1

1 1 1 1 1 1

4 4 8 12 16 4n n n

1 1

1 1 1 1 1 1 1 114 4 2 3 4 4n nn n n

1

1

n n

es la serie armnica divergente.

Por lo tanto1

1

4n n

diverge.

3. Demostrar que la siguiente serie converge y calcular su suma:

11

7 2

1 3n

n n n

1

17

1n n n

Reconocemos la telescpica con suma=(7)(1)=7

1 11

2 2 2 2 22

3 9 273 3n n

n

Es la serie geomtrica con: 2a y1

3r

Suma = 3


107/128

Por lo tanto: 11

7 2

1 3n

n n n

converge.

Suma: 7 3 10

4. Determinar si la siguiente serie es convergente o divergente.

2 2 2

1 1 11

2 3 n

Si calculamos2

10

nlm

n este resultado no nos dice nada.

La serie2

1

nvemos que es la serie p.

Con 2 1p Por lo tanto la serie converge.

Ejercicios

1. Exprese 0.272727 como una fraccin comn.

2 7 2 7 2 70.272727

10 100 1000 10000 100000 1000000

La descomponemos en dos series, la primera es una serie geomtrica:

2 2 2

10 1000 100000

2

10a

1

100r

22010

1 991

100

suma

La segunda serie tambin es una serie geomtrica:


108/128

7 7 7

100 10000 1000000

7

100

a 1

100

r

77100

1 991 100

suma

La suma de las dos series es:20 7 27 3

99 99 99 11

Por lo tanto: 3

0.27272711

2. Determine si la siguiente serie converge o diverge:

5 71 1

1

sin cosn

n

n nne

Escribiendo la serie de otra forma nos queda: 5 1

7 1

1

sin 1cos

nn

nn

ne

1

n

Es la serie armnica divergente.

Por lo tanto toda la serie diverge.

3. Determine si la siguiente serie converge o diverge:1

1 e

n n

Simplificando la Serie:1 1

1 1e

e en nn n

Es la serie P con 1p e Por lo tanto la serie converge.


109/128

Serie de Trminos Positivos.

Sea na una serie de trminos positivos. Si existe un nmero M tal que

nS M para toda n , entonces la serie converge y tiene por suma S M .Si tal

nmero M no existe, entonces la serie diverge.

Criterio bsico de la comparacin.

Sean na y nb dos series de trminos positivos.

i. Si nb converge y n na b n entonces na es convergente.

ii. Si nb diverge y n na b n entonces na es divergente.

Criterio de la comparacin por lmite.

Si na y nb son dos series de trminos positivos y si 0n

n n

alm k

b

entonces las dos series convergen o las dos divergen.

Criterio de D Alembert o de la razn.

Sea na una serie de trminos positivos tal que:1n

n n

alm La

i. Si 1L la serie es convergente.

ii. Si 1L o bien 1nn n

alm

a

la serie es divergente.

iii. Si 1L hay que aplicar otro criterio. La serie puede ser convergente o

divergente.

Criterio de Cauchy o de la raz.

Sea na una serie de trminos positivos tal que: n nnlm a L

i. Si 1L la serie es convergente.


110/128

ii. Si 1L o bien n nnlm a

la serie es divergente.

iii. Si 1L hay que aplicar otro criterio. La serie puede ser convergente o

divergente.

Criterio de la Integral.

Si una funcin f es continua decreciente y toma valores positivos en 1x

entonces la serie infinita:

i. Converge, si 1

f x dx

es convergente.

ii. Diverge, si

1f x dx

es divergente.

Ejemplos

1. Determine si la serie1

4

3 1n

n

es convergente o divergente por el criterio

bsico de la comparacin.

La serie dada es:4 4 4 4 4

4 10 28 82 3 1n

Al comparar el n-simo trmino con el n-simo trmino de la serie geomtrica.

4 4 4 4 4

3 9 27 81 3n

Como: 1

13

r la serie converge.

4 4

3 1 3n n

Para cada nmero entero positivo n.

Por el criterio bsico de comparacin la serie dada es convergente.


111/128

2. Determinar si la serie converge o diverge.1

1

2 5n

n

Para todo 1n 1 1 1

52 5 5

n

n n

Como1

5

n

es una serie geomtrica y de acuerdo al criterio bsico de la

comparacin la serie es convergente.

3. Determinar si la serie converge o diverge.2

3

1n n

La serie hiperarmnica1

n diverge y por lo tanto tambin la que se obtiene

suprimiendo el primer trmino1

1.

Como:3 1

21

nn n

Se deduce que la serie dada es divergente.

4. Determine si la serie1

4

3 1n

n

es convergente o divergente por el criterio de

comparacin por lmite.

La serie dada es:4 4 4 4 4

4 10 28 82 3 1n

Sea:

4

3 1n n

a

El n-simo trmino de la serie dada.

4

3n n

b El n-simo trmino de la serie geomtrica convergente.


112/128

Por tanto:

4

3 13 1 14 3 1 1 3

3

nnn

n nn n n nnn

alm lm lm lm

b

En consecuencia por el criterio de la comparacin por lmite, la serie dada esconvergente.

5. Determine si la serie es convergente o divergente.1

3

!

n

n n

Aplicando el criterio de la razn tenemos:

11

1

1 3 ! 30

1 ! 13

nn

n nn n n nn n

a nlm lm a lm lm

a a n n

Como 0 1 la serie es convergente.

6. Determine si la siguiente serie converge o diverge con el criterio de Cauchy.

1

1 1 1 11

4 27n nn n n

Por el criterio de la raz obtenemos:

1 1

01 1 1 10

n nn

n nn n nn

lm lm lmnn

n

Por lo tanto la serie converge 0 1 .

7. Usar el criterio de la integral para demostrar que la serie armnica es

divergente.

1 1 112 3 n

Si definimos 1

f xx

entonces f es una funcin continua y decreciente que

toma valores positivos para 1x .


113/128

1

1 1

1 1ln ln ln 1

tt

t t tdx lm dx lm x lm t

x x

Por lo tanto la serie diverge.

Ejercicios

1. Determine si la siguiente serie converge o diverge por el criterio bsico de

comparacin.

1

1 1 1 1 1

2 8 242 2

n n

n n n

Como: 1 1

2 2n nn

Determinamos la convergencia de:1

1 1 1 1 1

2 4 82 2n nn

Es la serie geomtrica con: 1

2a

1

2r

La serie es convergente porque: 1 12

r

Por lo tanto tambin converge la serie:1

1

2n

n n

2. Determine si la siguiente serie converge o diverge por el criterio de la razn.

1

1 1 1 1 1

2 8 242 2n nn n n

Obtenemos:

1

1 1 12

22 2 21 2 2

n

nn n n

nlm n lm lm

nnn

11

2 Por lo tanto la serie converge.


114/128

3. Determine si la siguiente serie converge o diverge.2

1

n

n

ne

Definimos

2xf x xe

f Es continua y toma valores positivos para 1x .

Como: 2 2 2

2 22 1 2 0

x x xf x x e e e x

f Es decreciente en 1, .

Aplicamos el mtodo de la integral:

2 2 2

2

1 1 1

1 1 1 1 1

2 2 2

ttx x x

tt t txe dx lm xe dx lm e lm e ee

La serie converge.

4. Determine si la siguiente serie converge o diverge.2

1

cos

3n

n

n

Por el criterio de la raz obtenemos:

22

coscos 1 13 33

nnnn n

nnlm lm

Por lo tanto la serie converge.


115/128

Series Alternantes y Convergencia Absoluta

Si 0na para todos los enteros positivos n , entonces la serie.

1

11 2 3 4

1

1 ... ( 1)

n

nn n

n

a a a a a a

Y la serie

1 2 3 41

1 ... ( 1)

n

n

n n

n

a a a a a a

Se denominan series alternantes

Criterio de Abel de las Series Alternantes

Suponga que se tiene la serie alternante 1

1

1

n

n

n

a

o 1

1

n

n

n

a

donde 0na y 1n na a para todos los enteros positivos

Sinlm 0na

entonces la serie alternante es convergente.

Teorema

Si

1

1 1

n

nn a

, es una serie alternante tal que

1 0k ka a para todo numero positivoksi elnlm 0na

entonces el

errorEque se comete al estimar la suma Smediante la n-sima suma parcial

nS es menor que 1nS


116/128

Teorema de la convergencia absoluta

La serie infinita

1

n

n

a

es absolutamente convergente si la serie

1

n

n

a

es

convergente.

Una serie que es convergente pero no absolutamente convergente sedenomina condicionalmente convergente.

Criterio De La Razn Para La Convergencia Absoluta

sea

1

n

n

a

una serie infinita para la cual na es diferente de cero.

Si1

nlm 1n

n

aL

a

entonces la serie es

absolutamente convergente.

Si 1

nlm 1n

n

aL

a

o 1

nlm n

n

a

a

entonces la serie diverge.

Si1

nlm 1n

n

a

a

hay que aplicar otro criterio;

La serie puede ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente odivergente.

Definicin de una Serie Infinita

Una serie infinitana es absolutamente convergente si la serie


117/128

1 2 ...n na a a a Es convergente tambin.

Ejemplos

1. Demuestre que 1

1

11

n

n n

es condicionalmenteconvergente.

Por el criterio de las series alternantes, analizamos que es decreciente y que ellmite del n-simo termino es igual a cero.

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Calculo 2 Prof. Esperanza MAC