Proyecto
La deriva aplicada a la Fsica
El calculo de los arco iris
Unidad Educativa Salesiana Don BoscoProyecto de ClculoTema:
Aplicaciones de la DerivadaNombre: Alexi BombnCurso: 3ero Fsico
MatemticoFecha de Envi: Fecha de entrega: 04-05-2010
IntroduccinEl calculo de los arco iris mediante la derivada
Todos hemos visto alguna vez el arco iris, el vistoso y colorido
arco circular que algunos das se dibuja en el aire. Todos nos hemos
fijado que siempre lo vemos en das lluviosos o con niebla; tal vez
tambin en algn da soleado, pero con la condicin indispensable de
que el agua est presente, bien porque manejamos una manguera, bien
porque el agua salpique al caer de una fuente o una catarata. Sea
cual sea el caso siempre es necesario que el agua est presente,
como formando una pantalla en la que podamos ver el arco, slo que
no es una pantalla, es la mismsima fuente de la que el arco
surge.El arco iris o arcoris es un fenmeno ptico y meteorolgico que
produce la aparicin de un espectro de luz continuo en el cielo
cuando los rayos del sol atraviesan pequeas partculas de humedad
contenidas en la atmsfera terrestre. La forma es la suma de un arco
multicolor con el rojo hacia la parte exterior y el violeta hacia
la interior. Menos frecuente es el arco iris doble, el cual incluye
un segundo arco ms tenue con los colores invertidos, es decir el
rojo hacia el interior y el violeta hacia el exterior. Han
fascinado a la humanidad desde los tiempos ms remotos y han
inspirado intentos de explicacin cientfica desde el tiempo de
Aristteles. La primera teora sobre la formacin del arco iris se
debe a Aristteles. Para l simplemente era una reflexin especial de
la luz sobre las nubes, formando un ngulo fijo. Teodorico de
Freidera, monje alemn, propone que cada gota es responsable de la
formacin del arco iris. Esta teora es corroborada por Descartes
tres siglos despus.El arco primario se forma gracias a que la luz
se refracta al entrar en la gota y sale tras reflejarse en la cara
interna. El arco secundario sufre dos reflexiones. Al haber dos
reflexiones en el arco iris secundario, pierde luz respecto al
primario, por eso es ms dbil y ms raro de ver en la Naturaleza.En
este proyecto usamos las ideas de Descartes y de Newton para
explicar la forma y los colores de los arco iris al ser una
aplicacin de la derivada Pero Que es la derivada?Derivada es uno de
los dos conceptos centrales del clculo infinitesimal. El otro
concepto es la "anti derivada" o integral; ambos estn relacionados
por el teorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos
centrales del clculo estn basados en el concepto de lmite, el cual
separa las matemticas previas, como el lgebra, la Trigonometra o la
Geometra Analtica, del Clculo. Quiz la derivada es el concepto ms
importante del Clculo Infinitesimal.La derivada de una funcin en un
valor de entrada dado describe la mejor aproximacin lineal de una
funcin cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales
de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor
de la pendiente de la recta es un concepto que tiene variadas
aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir
la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situacin.
Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios Tambin
representa cmo una funcin cambia a medida que su entrada cambia.
Pobremente hablando, una derivada puede ser vista como cunto est
cambiando el valor de una cantidad en un punto dado El proceso de
encontrar una derivada es llamado diferenciacin
Objetivo General.- Demostrar y comprobar la aplicacin de la
derivada en El Calculo de Los Arco Iris, mediante la informacin
adquirida, y la consulta en otros medios para la realizacin de este
proyecto, el refuerzo de mis conocimientos y la adquisicin de
nuevos Objetivos especficos 1.- realizar el presente proyecto
mediante la informacin adquirida para la comprobacin de mis
conocimientos y mi capacidad de investigacin2.- Comprender y
explicar 0 el calculo de los arco iris mediante la realizacin del
proyecto y la exposicin del mismo para reforzar mis conocimientos
3. Aplicar la derivada en el calculo de los arco iris mediante la
informacin adquirida de distintos medios para realizar un buen
proyecto y por ende una buena exposicin JustificacinMediante la
realizacin de este proyecto es daremos las razones para la
explicacin mediante la derivada de Que?, Como? Y Por que? Que es un
arco iris? El como es que se producen los arco iris? Y el por que
de los arco iris? Pr que la gama de colores? Por que es que ciertas
veces en el cielo aparecen dos arcos y por que es que el uno es mas
fuerte que el otro En sntesis el por que es que se da el fenmeno,
este proyecto presenta una explicacin de las que se ha tratado de
dar a este fenmeno a lo largo del tiempo , el que es un arco iris
aunque la mayora de personas ya conocen lo que es un arco iris, aun
existe la incgnita de cmo es que este se forma, la mayora de
personas se quedan en un criterio de que es por que la luz solar
traspasa las pequeas partculas de agua que se encuentran despus de
una lluvia, y el por que es que en algunos casos existen dos arcos
en el cielo. Estos criterio dados no son errneos pero en el
presente proyecto se visualizada mas de fondo todas las respuestas
alas tres incgnitas El mismo esta estructurado para la demostracin
mediante las matemticas en especial la derivada y aspectos fsicos
cmo o es la demostracin de ngulos de incidencia y refraccin, la
ptica, la gama de colores, el como es que acta los rayos del sol
dentro de una gota de agua para que se de el fenmeno, el por que es
que actan de esta manera, el por que es que hay veces que se dan
dos arcos en el cielo por que uno es mas claro que el otro.Este
proyecto es realizado con la finalidad de reforzar mis propios
conocimientos de conocer ms sobre las aplicaciones de la derivada,
el de dar una explicacin entendible y concreta
Marco Terico.-El arco iris
Todos hemos visto alguna vez el arco iris, el vistoso y colorido
arco circular que algunos das se dibuja en el aire. Todos nos hemos
fijado que siempre lo vemos en das lluviosos o con niebla; tal vez
tambin en algn da soleado, pero con la condicin indispensable de
que el agua est presente, bien porque manejamos una manguera, bien
porque el agua salpique al caer de una fuente o una catarata. Sea
cual sea el caso siempre es necesario que el agua est presente,
como formando una pantalla en la que podamos ver el arco, slo que
no es una pantalla, es la mismsima fuente de la que el arco surge.
Hay otro hecho que suele pasar ms desapercibido entre la gente
(aunque algunos se dan cuenta, como es lgico). Cuntas veces nos ha
deslumbrado el Sol porque nos daba en los ojos cuando observbamos
el arco iris? Ninguna que nosotros recordemos, porque siempre que
miramos directamente al arco tendremos el Sol a nuestra espalda,
como bien saben los que se dedican a fotografiar fenmenos naturales
como este. Entonces, qu ocurre en el cielo para que nosotros seamos
capaces de ver el arco iris? Por el momento sabemos que el Sol,
nuestra fuente de luz principal, estar a nuestras espaldas, de algn
modo su luz interacta con las gotas que tenemos enfrente y vuelve
hacia nosotros, llegando a nuestros ojos en colores separadosLey De
Snell Antes de empezar con el calculo del arco iris primero veamos
herramientas que nos van a servir luego para el caculo del mismo
como lo es la leu de SnellLa ley de Snell es una frmula simple
utilizada para calcular el ngulo de refraccin de la luz al
atravesar la superficie de separacin entre dos medios de propagacin
de la luz n1 y n2 son los ndices de refraccin. De los materiales.
La lnea entrecortada delimita la lnea normal, la cual es la lnea
imaginaria perpendicular a la superficie. Los ngulos son los ngulos
que se forman con la lnea normal, siendo 1 el ngulo de la onda
incidente y 2 el ngulo de la onda refractada.Consideremos dos
medios caracterizados por ndices de refraccin y separados por una
superficie S. Los rayos de luz que atraviesen los dos medios se
refractarn en la superficie variando su direccin de propagacin
dependiendo del radio entre los ndices de refraccin y .Para un rayo
luminoso con un ngulo de incidencia sobre el primer medio, ngulo
entre la normal a la superficie y la direccin de propagacin del
rayo, tendremos que el rayo se propaga en el segundo medio con un
ngulo de refraccin cuyo valor se obtiene por medio de la ley de
Snell.Camino que recorre un rayo de luz en una gota Cuando la luz
recorre su camino y cambia del medio por el que se mueve a otro
sucede un hecho que todos conocemos: parte de la luz contina
viajando en el segundo medio y parte de la luz ``rebota'' al llegar
a la frontera y vuelve hacia atrsPara que podamos ver colores es
necesario que la luz recorra cierto tiempo la gota de agua, pero
claro, una vez que la luz entr en la gota... cmo hacemos que
vuelva? Pues no es necesario hacer que vuelva, porque una vez que
la luz est dentro del agua vuelve a encontrarse con un cambio de
medio, en este caso agua-aire, por lo que parte de la luz pasar de
largo y volver al aire y parte de ella volver hacia atrs, a travs
de la gota. Una vez hecho esto se volver a encontrar la frontera
agua-aire y por tanto parte de la luz que an queda saldr y podr
llegar hasta nosotros. Si nos fijamos bien, podemos ver que este
proceso se puede repetir tantas veces como queramos, y es cierto,
pero cada vez la intensidad de la luz que nos quede dentro de la
gota y la luz que vuelve hacia nosotros es menor, hasta que llega
un momento que se nos hace totalmente imperceptible (y de hecho se
puede considerar que ni hay luz). Por qu es un arco? Indudablemente
el arco iris es un arco de circunferencia, por qu esto es as fue
resuelto de un modo aproximado por Descartes Nosotros veremos una
justificacin similar a la dada por Descartes, para ello haremos dos
observaciones. * La primera es hacer notar que el hecho de que el
arco iris es un arco de circunferencia significa que si miramos
hacia el centro del mismo encontraremos que el arco iris est
situado siempre al mismo ngulo, tomndonos a nosotros como vrtices
de dicho ngulo.
* La segunda de las observaciones trata sobre la fsica del
asunto. Sabemos que los colores del arco iris no son ms que la luz
del Sol refractada en gotas de agua, pues bien, como el Sol es una
fuente de luz situada muy lejos podemos considerar que los rayos
que nos llegan del mismo vienen todos paralelos entre si, es lo que
se llama aproximacin paraxial hemos visto en la seccin anterior que
dependiendo del ndice de refraccin encontraremos que los rayos de
luz se desviarn ms o menos, pero esta desviacin no slo depende de
ese ndice, si miramos la ley de Snell podemos ver que el ngulo
refractado tambin va a depender del ngulo de incidencia . Cul es
este ngulo en el problema que nos atae? Pues como del Sol nos
vienen muchos rayos paralelos entre si tenemos exactamente un rayo
para cada ngulo que imaginemos (siempre entre y, como es natural).
Si hacemos una pequea simulacin en un ordenador para la luz roja
que incide sobre una gota de agua obtenemos lo siguiente:
Luz roja procedente del Sol.
Si nos fijamos en la figura anterior el ngulo que forman la luz
incidente del Sol y la luz que viene de vuelta tras refractarse,
reflejarse y volverse a refractar en la gota va creciendo a medida
que el ngulo aumenta, hasta llegar a un ngulo de desviacin mximo, a
partir del cual ese ngulo comienza a disminuir. Descartes demostr
que, tal y como se ve en el dibujo, hay una concentracin de rayos
de luz en esa zona, con lo que si esos rayos concentrados llegan a
nuestro ojo notaremos que predomina el color rojo en esa zona del
cielo. Para conocer el ngulo de desviacin mximo (que llamaremos)
fijmonos en el siguiente diagrama:
Diagrama para la resolucin del problema.
Donde hemos llamado a lo que antes llambamos y a lo que antes
era. Debido a que una esfera son y que la suma de los ngulos de un
tringulo son, tenemos que, es decir: En donde, si consideramos que
el rayo proviene del aire ( ) y tenemos en cuenta la ley de Snell:
. Ahora hemos de echar mano de las reglas del clculo infinitesimal
y encontrar el ngulo para el cual la desviacin es mayor. Para
encontrar dicho ngulo slo tenemos que derivar respecto a e igualar
a cero
Como vemos al final nos queda una frmula que nos permite conocer
qu ngulo de incidencia nos dar una desviacin mxima del rayo que a
nosotros nos interesa para cada ndice de refraccin. Si ponemos el
dato conocido de que para la frecuencia correspondiente al color
rojo entonces tenemos que
sen= ((4-n)/3)sen= ((4-(1.33)/3)sen=0.862380rojo= 59
Y para encontrar el Angulo mximo de desviacin Remplazamos en =
4sen- (sen (59)/ (1.33)) 2(59)= 4sen- (0.644866) 2(59)=40
Con lo que el ngulo de desviacin mxima queda en. Resumamos,
entonces, lo obtenido en este apartado. Al incidir los mltiples
rayos que provienen del Sol sobre una gota stos se reflejan y
refractan de modo tal que algunos de ellos se ``amontonan''
alrededor del ngulo de desviacin mxima, de modo tal que el color de
esos rayos ser predominante en esa zona. Adems hemos visto que para
el rojo ese ngulo mximo donde ese color ser el predominante es
aproximadamente. Por lo tanto lo que demostr Descartes es que para
observar el arco iris debemos mirar las gotas con un ngulo de
respecto a la lnea que une la fuente de luz (en este caso el Sol)
con las gotas. Adems, se puede ver fcilmente que el ngulo que
forman los rayos provenientes del arco iris y el rayo del Sol que
atravesara nuestro ojo forma ese mismo ngulo.
El espectro de colores
En la seccin anterior hemos visto que al encontrarse con una
frontera entre dos medios parte de la luz vuelve ``rebotada'' y
parte de la luz pasa al otro medio, pues bien, al primer fenmeno,
en ptica, se le llama reflexin y al segundo refraccin. Cuando nos
encontramos con un fenmeno de reflexin es muy fcil saber qu camino
seguir la luz: imaginemos la lnea perpendicular a la superficie que
hace de frontera entre un medio y el otro (en este caso la
superficie es una esfera y los medios son el aire y el agua),
entonces el ngulo que forma el rayo que incide con esa
perpendicular es el mismo ngulo que forma el rayo reflejado (una
vez que la reflexin ya tuvo lugar) con la perpendicular. En el caso
de que consideremos la refraccin la cosa es sencilla, pero no
tanto. En este caso la relacin de los ngulos que forman el rayo
incidente y el ngulo refractado se da mediante sus respectivos
senos y unas constantes dependientes del medio, de forma que la ley
que rige la refraccin es la ley de Snell:
Donde se denomina ndice de refraccin del medio y es el cociente
entre la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad de la luz en
el medio en cuestin. Por lo tanto vemos que en la seccin anterior
lo que se ha descrito es el caso en el que un rayo de luz se
refracta al pasar del aire al agua, despus se refleja en la
frontera agua-aire y se vuelven a refractar al pasar del agua al
aire, desvindose segn las leyes de la reflexin y refraccin antes
dadas. Sin embargo esto no basta para explicar el por qu vemos ese
espectro de colores en el arco iris, y es que an no lo hemos dicho
todo acerca del ndice de refraccin. Es cierto que en algunos casos
este ndice es una constante, pero en otros es una funcin de la
frecuencia de la luz, por lo que para cada frecuencia vamos a tener
una desviacin diferente. Este es el caso del agua, en donde tenemos
que para el rojo, el verde y el azul (tres colores diferentes no
son ms que tres frecuencias diferentes) los ndices de refraccin
correspondientes son, y . Por tanto, un simple anlisis matemtico de
la ley de Snell, a la vista de estos datos, nos lleva a la
conclusin de que el azul se desviar ms que el verde y ste ms que el
rojo, es decir, los diferentes colores se irn desviando y
separndose unos de otros en orden creciente de frecuencia.
Separacin del rojo, el verde y el azul dentro de la gota.
Es por esa razn, entonces, que la luz procedente del Sol, al
entrar y salir de las gotas de agua, se separa en colores. Ya
entendemos la palabra ``iris'' del nombre del arco iris.
Conclusiones:1.- He aprendido que la investigacin es una buena
opcin para el aprendizaje de los estudiantes en progreso 2.- He
aprendido que la derivada puede ser utilizada en muchas
aplicaciones y que he reforzado mis conocimientos al investigar
sobre el tema 3.- He aprendido que al investigar sobre un tema la
informacin se extiende y los conocimientos al mismo tiempo se
extienden tambin y para poder entender un tema avanzado se debe
tener claro varios temas anteriores Glosario:Fenmeno MeteorolgicoUn
fenmeno meteorolgico son los cambios climticos que hay en la tierra
como por ejemplo, la lluvia, la nieveEspectroEn fsica, aparecen
varios tipos de espectros:o Espectro electromagntico es el
resultado obtenido al dispersar un haz heterogneo de radiacin
electromagntica al hacerlo pasar por un medio dispersante y
transparente a dicha radiacin. Tambin se puede provocar la
separacin de las radiaciones de distintas frecuencias que componen
el haz al reflejarlo en una rejilla de dispersin de tallado
adecuado.o Espectro de frecuencias es el grfico que muestra cmo es
la descomposicin de una seal ondulatoria (sonora, luminosa,
electromagntica,...) en el dominio frecuencial.ReflexinEn fsica se
refiere al fenmeno por el cual un rayo de luz que incide sobre una
superficie es reflejado. El ngulo con la normal a esa superficie
que forman los rayos incidente y reflejado son iguales. Se produce
tambin un fenmeno de absorcin diferencial en la superficie, por el
cual la energa y espectro del rayo reflejado no coinciden con la
del incidenteRefraccinLa refraccin es el cambio de direccin que
experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Slo se
produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de
separacin de los dos medios y si stos tienen ndices de refraccin
distintos. La refraccin se origina en el cambio de velocidad que
experimenta la onda. El ndice de refraccin es precisamente la
relacin entre la velocidad de la onda en un medio de referencia
PropagacinSe llama propagacin al conjunto de fenmenos fsicos que
conducen a las ondas del transmisor al receptor. Esta propagacin
puede realizarse siguiendo diferentes fundamentos fsicos, cada uno
ms adecuado para un rango de frecuencias de la onda a
transmitir.Aproximacin paraxialLa aproximacin paraxial se utiliza
para el clculo de sistemas pticos, suponiendo que las trayectorias
de los rayos de luz forman ngulos pequeos con el eje ptico.En las
condiciones de la aproximacin paraxial se puede aproximar el seno
por el ngulo y el coseno por uno menos el ngulo.SimulacinEs la
experimentacin con un modelo de una hiptesis o un conjunto de
hiptesis de trabajo.Thomas T. Goldsmith Jr. y Estle Ray Mann la
define as: "Simulacin es una tcnica numrica para conducir
experimentos en una computadora digital. Estos experimentos
comprenden ciertos tipos de relaciones matemticas y lgicas, las
cuales son necesarias para describir el comportamiento y la
estructura de sistemas complejos del mundo real a travs de largos
perodos".Clculo infinitesimalEl clculo infinitesimal fue propuesto
inicialmente por Arqumedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y
Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Anlisis
matemtico moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George
Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl
Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definicin formal de
lmite matemtico, por lo que el clculo infinitesimal ya no era
necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales
fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular lmites
de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitsimos en la
bibliografa
rusa.Bibliografa:http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/%C3%93ptica/Teor%C3%ADa_completa_del_Arco_Irishttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snellhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n_paraxialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espectrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttp://www.mailxmail.com/curso-formulacion-proyectos-productivos/justificacion-proyecto-definicion-objetivos*Calculo:
Trascendentes tempranas Escrito por James Stewart*Calculo conceptos
y contextos Escrito por James Stewart*Calculo Diferencial e
integralEscrito por James Stewart*Arco Iris Diferente Escrito por
Pter Drucker, Enrique Mercad*El concepto de derivada y sus
aplicacionesEscrito por Gerardo Balabasquer
