calculo avanzado para ingenierias

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Este libro sigue el esquema bsico de la asigna-turatroncalFundamentosMatemticosdelaIn-geniera 2, que imparten los autores en la EUETIB, pero su contenido es perfectamente adaptable a cursos de clculo en varias variables de cualquier ingeniera.Eltextotienecomoobjetivoprincipal introduciralestudianteenlosconceptosbsi-cos del clculo de funciones de varias variables, anlisisvectorialyecuacionesdiferenciales,as comoenlateoradetransformadas.Losconte-nidosseestructuranendospartes.Laprimera est dedicada a las funciones de varias variables: nociones bsicas de lmite, continuidad y deriva-cin; clculo de extremos libres y condicionados; integralmltipleyanlisisvectorial.Lasegunda partetratadelasecuacionesdiferencialesyde lastransformadasdeLaplaceydeFourier.Alfi-nal de cada captulo, se incluye una recopilacin deproblemasresueltosypropuestos,juntoasu resolucin utilizando el programa de clculo sim-blico Maple.Los autores son profesores de la Escola Universitria dEnginyeria Tcnica Industrial de Barcelona (EUE-TIB) y desarrollan su actividad en el Departamento de Matemtica Aplicada III de la UPC. Irene Arias es Doctora en Ingeniera Mecnica, Jos Gibergans es Doctor en Fsica, Fayal Ikhouane es Doctor en In-geniera de Sistemas, y Nria Pars, Francesc Pozo, GiselaPujolyYolandaVidalsondoctoresenMa-temticas. Todos ellos tienen una amplia experien-cia en docencia e innovacin, concretamente en la implantacindelasnuevastecnologasenelaula, en mtodos cooperativos de trabajo, as como en la consecucindeproyectosdeinnovacindocente fnanciados por la propia UPC. 140Arias - Gibergans - IkhouanePars - Pozo - Pujol - Vidal 9 788483 017609AULA POLITCNICA/ MATEMTICAS Y ESTADSTICAEDI CI ONS UPCI. Arias - J. Gibergans - F. Ikhouane N. Pars - F. Pozo - G. Pujol - Y. Vidal Clculo avanzado para ingenieraTeora, problemas resueltos y aplicacionesClculo avanzado para ingenieraTeora, problemas resueltos y aplicacionesAULA POLITCNICA/ MATEMTICAS Y ESTADSTICAEDI CI ONS UPCI. Arias - J. Gibergans - F. Ikhouane, N. Pars - F. Pozo - G. Pujol - Y. Vidal Clculo avanzado para ingenieraTeora, problemas resueltos yaplicacionesPrimera edicin: febrero de 2008Diseo de la cubierta: Jordi Calvetlos autores, 2008 Edicions UPC, 2008Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 1-3, 08034 BarcelonaTel.: 934 137 540 Fax: 934 137 541Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esE-mail: edicions-upc@upc.edu ISBN: 978-84-9880-345-7Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o proce-dimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos.7ndice generalNotaciones matemticas 11Prlogo 131. Funciones vectoriales de varias variables reales 151.1. Introduccin y primeras deniciones: funciones vectoriales y funciones escalares . . . . . . . . . 151.1.1. Funciones escalares de varias variables reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Topologa, lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Lmite de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3. Mtodo prctico para determinar lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4. Continuidad de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.5. Funciones vectoriales de varias variables reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3. Derivadas parciales, diferencial total y matriz jacobiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4. Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5. Derivadas de funciones compuestas: regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6. Desarrollo en serie de Taylor de una funcin de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.1. Frmula de Taylor para funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.2. Frmula de Taylor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.3. Frmula de Taylor de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562. Extremos de funciones 592.1. Deniciones y teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.2. Clculo de extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.1. Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.2. Resolucin del problema de extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923. Integral mltiple y aplicaciones 933.1. Introduccin: Integral simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.1.1. Idea para aproximar el rea superiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.1.2. Idea para aproximar el rea inferiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.1.3. Integrable en el sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.1.4. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 los autores, 2005. Edicions UPC, 20058 Clculo avanzado para Ingeniera3.2. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.1. Idea para aproximar el volumen superiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.2. Idea para aproximar el volumen inferiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.3. Integral doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.4. Clculo de la integral doble en regiones rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.5. Clculo de la integral doble sobre regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3. Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.2. Clculo de integrales triples sobre regiones en forma de paraleleppedo . . . . . . . . . . 1013.3.3. Clculo integral triple sobre regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.4. Integracin por cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4.2. Cambio de variable en una integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.3. Cambio de variable en una integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.4. Cambios de variable usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5.1. Valor promedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.5.3. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.6. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244. Ecuaciones diferenciales ordinarias 1274.1. Ejemplo introductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.2.1. Primeras deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.2.2. Ecuaciones diferenciales de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.4. Problemas de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.3.1. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogneas con coecientes cons-tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3.2. Problemas de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.5. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565. Anlisis vectorial 1595.1. Curvas y trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.3. Divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4. Integrales sobre trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.5. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.6. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 los autores, 2005. Edicions UPC, 200596. Clculo operacional 2036.1. Transformada de Laplace. Transformada inversa. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.2. Transformada de la derivada. Resolucin de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.3. Transformada de Laplace de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.4. Traslacin en s, funcin escaln unitario, traslacin en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.4.1. Traslacin en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.4.2. Funcin escaln unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.4.3. Traslacin en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.5. Convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.7. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.8. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Bibliografa 227 los autores, 2005. Edicions UPC, 200511Lista parcial de notaciones matemticasAlfabeto griegoA alfa B beta gamma delta E , psilonZ zeta H eta , theta I iota K kappa lambda M mu N nu xi O o micron , pi P , ro , sigma T tau psilon , X ji psi omegaConjuntos importantes conjunto vacoN nmeros naturales 0, 1, 2, . . .Nnmeros naturales diferentes de cero 1, 2, . . .Z nmeros enteros . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . .Q nmeros racionales m/n : m Z, n N+R nmeros reales (, +)R+nmeros reales positivos [0, +)C nmeros complejos x +iy : x, y R (i verica i2= 1)Operadores lgicos para todo n N, n 0 existe n N, n 7! existe un solo !n N, n < 1 y (3 > 2) (2 > 1) o (2 > 3) (2 > 1) implica a, b R, (a = b) (a b) si, y slo si a, b R, (a = b) (b = a) negacin (2 > 3)otras notaciones para la negacin (2 > 3), 2 ,> 3Operadores aritmticos[ [ valor absoluto [x[ = x si x 0; [x[ = x si x 0

suma

iN+ 2i= 1

producto

ni=1i = n!! factorial 7! = 1234567 = 5040Operadores sobre conjuntos pertenece a a, b, c unin a, b, c a, d = a, b, c, d. . . sobre un conjunto indexado

iNSi= S0 S1 S2 interseccin a, b, c a, d = a. . . sobre un conjunto indexado

iNSi= S0 S1 S2 diferencia entre conjuntos a, b, c a, d = b, c contiene estrictamente Z N contiene N N est contenido estrictamente en N Z est contenido en N N2Apotencia de A si A = a, b, c,entonces 2A= , a, b, c, a, b, a, c, b, c, A los autores, 2005. Edicions UPC, 200513PrlogoEste libro es el reejo de la experiencia docente en asignaturas de clculo de siete profesores de la UniversitatPolitcnica de Catalunya. El texto sigue el esquema bsico de la asignatura troncal Fundamentos matemticos dela ingeniera 2, que imparten los autores en la Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial de Barcelona,pero su contenido es perfectamente adaptable para cursos de clculo en varias variables de cualquier ingeniera. Eltexto tiene como objetivo principal iniciar al estudiante en los conceptos bsicos del clculo de funciones de variasvariables, anlisis vectorial y ecuaciones diferenciales, as como en la teora de transformadas. Para el estudio deeste texto, se supone que el alumno ya ha adquirido nociones bsicas de matrices, as como suponemos un amplioconocimiento de los fundamentos de funciones de una variable, diferenciacin e integracin.Al ser un texto dirigido a estudiantes de ingeniera, se han cuidado los aspectos de aplicacin, justicando losconceptos introducidos mediante ejemplos prcticos y motivaciones de las ciencias fsicas tales como electricidad,electrnica y mecnica, en las que se aplican los conocimientos adquiridos.El libro, que consta de seis captulos, se puede dividir en dos partes. La primera parte est dedicada a lasfunciones de varias variables: nociones bsicas de lmite, continuidad y derivacin; clculo de extremos libresy condicionados; integracin mltiple y anlisis vectorial. La segunda parte trata las ecuaciones diferenciales deprimer orden y orden superior, la transformada de Laplace y la transformada de Fourier.Para ilustrar la teora, se presentan ejemplos aplicados a la ingeniera, as como problemas resueltos y proble-mas propuestos que permiten al lector vericar sus conocimientos. La experiencia en la docencia de esta materiamuestra que es preferible omitir algunas demostraciones tcnicas. En este sentido, hemos mantenido las que con-sideramos que, efectivamente, permiten una mejor comprensin de los aspectos tericos.Al nal de cada uno de estos captulos, junto a los listados de ejercicios, se encuentra una recopilacin deproblemas resueltos utilizando el programa de clculo simblico Maple. De esta manera, se presentan al estudi-ante todos los comandos y herramientas necesarios para la resolucin de problemas, con especial nfasis en lascapacidades grcas y de representacin de dicho programa.Queremos mostrar nuestro agradecimiento a la Universitat Politcnica de Catalunya y a la Escuela Universitariade Ingeniera Tcnica Industrial de Barcelona por acoger nuestro trabajo de estos aos, as como a Jos Rodellar,director del Departamento de Matemtica Aplicada III, por su apoyo y conanza. los autores, 2005. Edicions UPC, 2005151Funciones vectoriales de varias variables realesEn la primera parte de este primer captulo (Secciones 1.1 y 1.2) se presentan las nociones bsicas que permitendenir el concepto de lmite. Estos conceptos son los de producto escalar, norma y distancia. El lmite de unafuncin vectorial en un punto es un concepto fundamental, al igual que en el caso de funciones reales de variablereal, ya que nos permitir denir las derivadas direccionales y la diferenciabilidad. Se presenta asimismo un mtodoprctico para determinar lmites de funciones. La continuidad de funciones vectoriales de varias variables tambinse dene a partir de un lmite.En la segunda parte (Secciones 1.3 a 1.6) se denen las derivadas direccionales que en la direccin de losejes dan lugar a las derivadas parciales y el concepto de diferenciabilidad, con algunas diferencias destacablescon respecto a las funciones reales de variable real. Finalmente, se presenta el polinomio de Taylor para funcionesde varias variables reales, que permitir obtener aproximaciones locales polinmicas de funciones alrededor de unpunto.1.1. Introduccin y primeras deniciones: funciones vectoriales y funciones escalares1.1.1. Funciones escalares de varias variables realesConsidrese un sistema masa-resorte. La energa total del sistema viene dada por la expresinE1=12mv2+12kx2donde m representa a la masa, v la velocidad, k la constante del resorte y x su elongacin.En un circuito RLC, la energa almacenada esE2=12Cu2+12Li2dondeCrepresenta la constante del condensador,L la inductancia de la bobina,i la corriente elctrica yu elvoltaje a nivel del condensador.En ambos caso, E1 y E2 pueden considerarse como funciones de 2 variables: (v, x) en el primer caso y (u, i)en el segundo caso. De forma ms precisa, se puede escribirEj: R R Rdonde j= 1, 2.Ms generalmente se pueden denir funciones escalares de varias variables reales, es decir, denidas de RnR, y funciones vectoriales de varias variables reales de RnRm.1.2. Topologa, lmites y continuidadPara denir los conceptos de lmite y establecer la continuidad de funciones de varias variables, es necesarioestablecer algunas nociones acerca de la topologa del espacio Rn, como son el producto escalar, norma y distancia.1. Funciones vectoriales de varias variables reales los autores, 2005. Edicions UPC, 200516 Clculo avanzado para IngenieraDe esta manera, podremos hablar de Rncomo espacio eucldeo, en el que podremos calcular la distancia entre suselementos, que llamaremos vectores.Denicin 1 (Conjunto Rn). Se dene el conjunto Rndonde n N comoRn= x = (x1, x2, . . . , xn) [ xi R, i = 1, 2, . . . , nLos elementos de Rnse denotan por x para diferenciarlos de x, que generalmente representa un nmero real.Propiedad 1. El conjunto Rn, junto con las operaciones de suma de vectores + : RnRnRny producto porescalar: R RnRndenidas como(i) (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn)(ii) (x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn), Res un espacio vectorial sobre R de dimensin n.Para poder dotar al espacio Rnde una estructura geomtrica, es necesario introducir los conceptos de productoescalar, norma y distancia.Denicin 2 (Producto escalar). Un producto escalar en Rnes una aplicacin, ) : RnRnR(x, y) x, y)que a cada par de vectores (x, y) RnRnles asocia un nmero real x, y) R. Adems, esta aplicacin ha desatisfacer las siguientes propiedades:(i) x, x) = 0 x = 0(ii) x, y) = y, x) (simetra del producto escalar)(iii) x, y) = x, y), R(iv) x +y, z) = x, z) +y, z)Ejemplo 1. Un primer ejemplo de producto escalar es el que corresponde a la aplicacinx, y) =n

i=1xiyiPuede comprobarse fcilmente que esta aplicacin es, en efecto, un producto escalar.(i) x, x) = 0

ni=1xixi= 0

ni=1 x2i= 0 x2i= 0, i x =0(ii) x, y) =

ni=1 xiyi=

ni=1yixi= y, x)(iii) x, y) =

ni=1(xi)yi=

ni=1 xiyi=

ni=1 xiyi= x, y), R(iv) x +y, z) =

ni=1(xi +yi)zi=

ni=1(xizi +yizi) =

ni=1 xizi +

ni=1 yizi= x, z) +y, z)Denicin 3 (Norma). Una norma en Rnes una aplicacin|| : RnR+x |x|que a cada vector x Rnle asocia un nmero real no negativo |x| R+. Adems, esta aplicacin ha de satisfacerlas siguientes propiedades: los autores, 2005. Edicions UPC, 200517(i) |x| = 0 x = 0(ii) |x| = [[|x|, R(iii) |x +y| |x| +|y| (desigualdad triangular)Denicin 4 (Norma eucldea). Se dene la norma eucldea (o norma 2) de x Rncomo|x|2=_x21 +x22 + +x2nLa norma eucldea de un vector x Rnno es ms que la longitud del segmento que une el origen de coordenadas(0) de Rncon el punto x = (x1, x2, . . . , xn).Ejemplo 2. Veamos la norma eucldea de algunos vectores:(i) |(3, 4)|2 =32+ 42=25 = 5(ii) |(2, 1, 3)|2 =_22+ (1)2+ 32=14Nota 1. Pueden denirse muchas otras normas. Entre ellas, las ms conocidas son la norma 1 y la norma innito,denidas como|x|1 =n

i=1[xi[|x|= maxi=1,...,n[xi[Nota 2. De forma ms general, dado un producto escalar cualquiera, se puede denir una norma como sigue:|x| =_x, x)Denicin 5 (Distancia). Una distancia en Rnes una aplicacind : RnRnR+(x, y) d(x, y)que a cada par de vectores(x, y) Rnles asocia un nmero real no negativod(x, y) R+. Adems, estaaplicacin ha de satisfacer las siguientes propiedades:(i) d(x, y) = 0 x =y(ii) d(x, y) = d(y, x) (simetra de la distancia)(iii) d(x, z) d(x, y) +d(y, z) (desigualdad triangular)Denicin 6 (Distancia eucldea). Se dene la distancia eucldea d2(x, y) entre los vectores x, y Rn, comod2(x, y) =_(x1 y1)2+ + (xn yn)2La distancia eucldea de entre dos vectores x e y no es ms que la norma eucldea (o longitud) |xy|2 del vectordiferencia x y.Ejemplo 3. Veamos la distancia eucldea entre algunos pares de vectores:(i) d2((2, 1), (4, 2)) =_(2 4)2+ (1 2)2=4 + 1 =51. Funciones vectoriales de varias variables reales los autores, 2005. Edicions UPC, 2005592Extremos de funcionesEl estudio de maximizar o minimizar una funcin real de varias variables o campo escalary =f(x), conx=(x1, . . . , xn), se asemeja al clculo de extremos para una funcin real de una variable real. En este captulose extienden las tcnicas de estudio de los valores extremos de una funcin de una sola variable a funciones devarias variables, estudiando tres tipos de extremos: relativos, absolutos y condicionados. Los extremos relativosson aquellos puntos x0 tales que, para todo x sucientemente cercano a x0, la imagen f(x0) es mayor o menor quef(x). No se arma nada para x lejano a x. Ser extremo relativo es una propiedad local. Adems, dichos extremosno tienen por qu ser nicos y pueden no existir.En cambio, los extremos absolutos s que verican cierta propiedad global. Es decir, si se considera una regindadaD, vericando ciertas propiedades, resultax0es extremo absoluto enD si para todox D,f(x0) es elmayor o menor de todos los valores f(x), conx en D. Se ver qu tiene que vericar esta regin D para poderasegurar su existencia, y as calcularlos. Se demostrar que siempre existen este tipo de extremos en D y que si bienf(x0) es nica, pueden existir varios valores de x0 con la misma imagen (basta pensar en una funcin constante).Finalmente, los extremos condicionados son aquellos que si bien maximizan o minimizan una funcin f(x0)dada, estn sujetos a vericar cierta ecuacin g(x)=0. Dicha ecuacin g(x)=0 tambin se llama condicin oligadura, ya que impone una relacin entre las componentes de la variable x Rn.2.1. Deniciones y teorema principalEn esta seccin se explica cmo encontrar los extremos relativos, dando reglas o frmulas que permitan elclculo efectivo de estos extremos. Pero antes se necesitan ciertas deniciones.2.1.1. DenicionesSe presenta a continuacin las deniciones de extremos relativos y absolutos de una funcin escalar de variablesreales (ver gura 2.1).Denicin 23 (Extremos). Sea f:U RnR una funcin escalar dada. Se dice que x0 Ues un extremo(mnimo o mximo) de f si se verican una de las dos condiciones siguientes:1. Existe un entornoVUdex0tal que para todox V ,f(x) f(x0). En este caso, el puntox0sedenomina mximo relativo o local de f. Si esta desigualdad se verica por todo x U, se dice que el puntox0 es un mximo absoluto o global de f.2. Existe un entornoVUdex0tal que para todox V ,f(x) f(x0). En este caso, el puntox0sedenomina mnimo relativo o local de f. Si esta desigualdad se verica por todo x U, se dice que el puntox0 es un mnimo absoluto o global de f.Denicin 24 (Punto crtico). Sea f una funcin diferenciable en x0 Rn. Se dice que x0 es un punto crtico def si f(x0) = 0, es decir, si el gradiente de f se anula en x0.Denicin 25 (Punto de silla). Un punto crtico que no sea un extremo relativo se llama punto de silla.2. Extremos de funciones los autores, 2005. Edicions UPC, 200560 Clculo avanzado para IngenieraFigura 2.1. Ilustracin de extremos los autores, 2005. Edicions UPC, 200561Denicin 26 (Matriz denida negativa). Sea A una matriz simtrica n n. Se dice que A es denida negativa,y se nota por A < 0 si para todo x Rn, x ,= 0, se cumple que xTAx < 0.Denicin 27 (Matriz denida positiva). Sea A una matriz simtrica n n. Se dice que A es denida positiva, yse nota por A > 0 si para todo x Rn, x ,= 0, se cumple que xTAx > 0.2.1.2. Clculo de extremos relativosSe sabe, por el captulo 1, que una funcin f:U RnR diferenciable enx0 U, abierto de Rn, puedeser aproximada alrededor de este punto mediante un desarrollo de Taylor:f(x) f(x0) + f(x0)(x x0) (2.1)Si se supone que x0 es un mximo relativo de la funcin f, entonces se tiene que tener f(x) f(x0) para todopunto x cercano a x0. A partir de la ecuacin 2.1, para estos puntos x, f(x0)(x x0) 0. Se elige un valorparticularx=x0+ f(x0)Tdonde >0 es lo sucientemente pequeo para que la aproximacin 2.1 seavlida. Entonces se tiene que |f(x0)|2 0 siendo > 0. Esto puede ocurrir slo sif(x0) = 0 (2.2)El razonamiento es equivalente para un mnimo y conduce a la misma ecuacin 2.2. Por lo tanto, el extremo relativox0 tiene que ser un punto crtico (ver denicin 24). A continuacin se presenta un teorema con una condicinnecesaria para la existencia de extremos relativos.Teorema 13 (Extremos relativos). Seaf : U RnR diferenciable en U, abierto de Rn. Six0 Ues unextremo relativo def, entonces f(x0)=0. Es decir, los extremos relativos se producen solamente en puntoscrticos.Esta condicin es necesaria pero no es suciente. Resulta que hay otra clase de puntos x0, llamados puntos desilla, en los que f(x0) =0. Son puntos en los que segn una direccin son mximos, pero segn otra vericanla condicin de ser mnimos. Su nombre viene de que, localmente, la funcin ftiene forma de silla de montar acaballo, tal y como se muestra en la gura 2.2.Figura 2.2. El origen es un punto de silla: mximo en direccin y, mnimo en direccin xFalta encontrar un segundo criterio, en este caso condicin suciente, que permita distinguir de entre los puntoscrticos cules son mximos, cules mnimos, cules punto de silla y cules no son ni una cosa ni la otra. Por esose considera un desarrollo de Taylor de orden 2.Sea f: U RnR una funcin de clase (2. El desarrollo de Taylor de orden 2 de f en el punto x0 es:f(x) f(x0) +f(x0)(x x0) +12(x x0)THf(x0)(x x0) (2.3)2. Extremos de funciones los autores, 2005. Edicions UPC, 200562 Clculo avanzado para Ingenieradonde Hf(x0) es la matriz hessiana de f(x) evaluada enx0. Hay que notar que el smbolo (aproximacin) esnecesario, ya que se han desechado los trminos de orden superior a 2. Se ha mejorado as la aproximacin linealdada en la ecuacin 2.1, obteniendo una aproximacin cuadrtica.Como se supone quex0 es un extremo, por el teorema 13, se tiene que f(x0)=0 y la ecuacin 2.3 es dehecho:f(x) f(x0) +12(x x0)THf(x0)(x x0)es decir,f(x) f(x0) 12(x x0)THf(x0)(x x0) (2.4)Se consideran ahora tres posibles casos para el punto crtico x0: mximo, mnimo y punto de silla.x0mximoPor denicin, si f tiene un mximo en x0, resulta que para todo x cercano a x0 (que es justamente donde 2.4se cumple), se verica quef(x0) f(x) f(x) f(x0) 0 (2.5)De ah que usando la ecuacin 2.4, para que se verique la denicin 23 de mximo, tiene que cumplirse que12(x x0)THf(x0)(x x0) 0 (2.6)Esto ocurre si la matriz hessiana Hf(x0) de f tiene que denida negativa en x0:Hf(x0) < 0 (2.7)Por lo tanto, la funcin f tiene un mximo relativo en el punto crtico x0 si la matriz hessiana Hf(x0) es denidanegativa. Notar que la condicin 2.7 es suciente para que se cumpla la desigualdad 2.6, pero no es necesaria.x0mnimoDe manera anloga, f tiene un mnimo relativo en x0 si para todo x cercano a x0 se verica f(x0) f(x), olo que es lo mismo:f(x) f(x0) 0 12(x x0)THf(x0)(x x0) 0Esto ocurre si la matriz hessiana Hf(x0) de f tiene que denida positiva en x0:Hf(x0) > 0 (2.8)Por lo tanto, la funcin f tiene un mnimo relativo en el punto crtico x0 si la matriz hessiana Hf(x0) es denidapositiva.x0punto de sillaPor denicin, x0 es un punto de silla de f si es un punto crtico que no es un extremo. Se puede demostrar quex0 es un punto de silla de f si la matriz hessiana Hf(x0) no es ni denida positiva ni denida negativa, y ademssu determinante es diferente de cero._Hf(x0) no denida positiva ni negativadet(Hf(x0)) ,= 0(2.9) los autores, 2005. Edicions UPC, 2005933Integral mltiple y aplicacionesEnestecaptulo seaborda el temade laintegral mltiple ysusaplicaciones. La primera seccinconsisteen una introduccin a las integrales donde se repasan los conceptos bsicos de la integral simple. La segunda ytercera seccin se centran en la integral doble y triple respectivamente. En la seccin cuatro se estudia el cambiodevariable ynalmente enlaseccincincosevenalgunas aplicaciones detodos losconceptos del captulo.Como viene siendo usual en el libro, las dos ltimas secciones del captulo corresponden a problemas resueltos yejercicios propuestos respectivamente.3.1. Introduccin: Integral simpleAntes de introducir la idea de integral para una funcin de varias variables, se recuerda la denicin de integraldenida para una funcin de una sola variable. Dadaf : [a, b] R una funcin acotada y positiva, se quiere(a)rea bajo la grca de f(x) (b)rea elemental (c)Aproximacin del rea total.Figura 3.1. Idea de la integral en el sentido de Riemanndeterminar el rea, A, limitada por la grca de f, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x=a y x=b,como se indica en la gura 3.1 (a).Una primera idea para aproximar el rea consiste en efectuar una particin p del intervalo [a, b] en n subinter-valosa = x0< x1< x2 0, lmTesT= 0 y por tanto,F(s) =1spara todo s > 0 (6.6)El cuadro 6.1 recoge las transformadas de Laplace de algunas funciones usuales. En este cuadro, las funcionesf(t) estn denidas en R+. En R, el valor que toma f(t) no es importante, ya que la transformada de Laplacees una integral de cero al innito. En la gura 6.2 se presentan varias funciones que tienen la misma transformadade Laplace F(s) = 1/s. Para determinar transformadas de Laplace de funciones que no estn en dicho cuadro, seusan algunas propiedades de la transformada como la linealidad.2En la ecuacin 6.2, se considera habitualmente ques es un nmero complejo. En este curso, el estudio de la transformada de Laplace selimitar a s real. los autores, 2005. Edicions UPC, 2005205Figura 6.2. Ejemplo de funciones que tienen la misma transformada de Laplace. En el cuadro superior derecho, lafuncin no est denida en RTeorema 28. La transformada de Laplace es una operacin lineal; es decir, para cualesquiera funciones f(t) yg(t) cuyas transformadas de Laplace existan y para cualesquiera constantes a y b,L[af(t) +bg(t)] = aL[f(t)] +bL[g(t)] (6.7)Ejemplo 71. Sea la funcin f(t) = 2e5tsen(t). Encontrar L(f).Solucin. Usando la linealidad de la transformada de Laplace se obtieneL(f(t)) = 2L_e5t_L(sen(t)) (6.8)De la la 4 del cuadro 6.1 se obtieneL_e5t_=1s 5(6.9)De la la 6 del cuadro 6.1 se obtieneL(sen(t)) =1s2+ 1(6.10)Con lo cualL(f(t)) =2s 5 1s2+ 1(6.11)para s > 5.Ahora, sea Fla transformada de Laplace de la funcin f que est denida en R+. Puede existir otra funcingdenida enR+, diferente def, tal que L(g) =F? La respuesta es s. Por ejemplo, sifygdieren en unslo punto, se tiene L(f)= L(g). Ms generalmente, si fy g dieren en un conjunto que no afecta a la integral,entonces tienen la misma transformada de Laplace.3De esta manera se puede denir una relacin de equivalenciadonde dos funciones son equivalentes si tienen la misma transformada de Laplace. Dada una funcin f, la clase deequivalencia que contiene f es nica y se notaf.Denicin 55. La aplicacin que a la funcin Fasocia la clase de equivalenciafes la transformada inversa deLaplace y se nota L1. Es decir,f= L1(F).3La caracterizacin de este conjunto hace intervenir la teora de la medida, saliendo del marco de este curso.5. Anlisis vectorial los autores, 2005. Edicions UPC, 2005206 Clculo avanzado para IngenieraCuadro 6.1. Algunas funciones f(t) y sus transformadas de Laplace F(s)f(t) F(s) Nota1 11ss > 02 t1s2s > 03 tnn!sn+1n > 0 entero, s > 04 eat1s as > a5 cos(t)ss2+2s > 06 sen(t)s2+2s > 07 cosh(at)ss2a2s > [a[8 senh(at)as2a2s > [a[91(n 1)!tn1eat1(s +a)nn > 1 entero, s > a10n_1 2entsen_n_1 2t_2ns2+ 2ns +2n[[ < 1, n> 0, s > nEn general, dada una funcin F(s), es suciente hallar una funcin f(t) tal que L(f)=F(con la ayuda delcuadro 6.1, por ejemplo). Una vez se tiene f, se sobreentiende que la transformada inversa de Laplace de Fesf.Teorema 29. La transformada inversa de Laplace es una operacin lineal; es decir, para cualesquiera funcionesf(t) y g(t) cuyas transformadas de Laplace F(s) y G(s) existan y para cualesquiera constantes a y b,L1[aF(s) +bG(s)] = aL1[F(s)] +bL1[G(s)] (6.12)Ejemplo 72. Sea F(s) =s(s 1)(s + 3). Encontrar L1(F).Solucin. Primero se busca F(s) en la segunda columna del cuadro 6.1. Al no encontrarla, hay que expresar F(s)como suma de funciones que s salgan en el cuadro y aplicar entonces la linealidad de L1. CuandoF(s) esuna fraccin racional, se tiene que descomponer en elementos simples para encontrar la transformada inversa deLaplace. En este caso se obtienes(s 1)(s + 3)=As 1+Bs + 3=(A +B)s + 3AB(s 1)(s + 3)(6.13)Las constantes A y B tienen que vericarA +B = 13AB = 0 (6.14)Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, se obtiene A = 1/4 y B= 3/4. As, de la ecuacin6.13 se obtieneL1(F(s)) =14L1_1s 1_+34L1_1s + 3_=14et+34e3t(6.15)En la ecuacin 6.15 se han usado la linealidad de la transformada inversa de Laplace y la la 4 del cuadro 6.1. los autores, 2005. Edicions UPC, 2005