Embed Size (px)
Citation preview
i
FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
PROFISSIONALIZANTE EM ECONOMIA
Cálculo da volatilidade implícita sem o uso de
modelos de apreçamento de opções.
ANA LUÍSA DE SOUZA VILLAS BOAS GOMES
ORIENTADOR: PROF. DR. JOSÉ VALENTIM
Rio de Janeiro, 24 de maio de 2013.
ii
CÁLCULO DA VOLATILIDADE IMPLÍCITA SEM O USO DE MODELOS DE
APREÇAMENTO DE OPÇÕES
ANA LUÍSA DE SOUZA VILLAS BOAS GOMES
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado Profissionalizante em Economia
como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Economia.
Área de Concentração: Finanças
ORIENTADOR: JOSÉ VALENTIM
Rio de Janeiro, 24 de maio de 2013.
iii
CÁLCULO DA VOLATILIDADE IMPLÍCITA SEM O USO DE MODELOS DE
APREÇAMENTO DE OPÇÕES
ANA LUÍSA DE SOUZA VILLAS BOAS GOMES
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado Profissionalizante em Economia
como requisito parcial para obtenção do
Grau de Mestre em Economia.
Área de Concentração: Finanças
Avaliação:
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________________
Professor JOSÉ VALENTIM (Orientador)
Instituição: IBMEC RJ
_____________________________________________________
Professor OSMANI GUILLEN
Instituição: IBMEC RJ
_____________________________________________________
Professor GUSTAVO ARAÚJO
Instituição: PUC RJ
Rio de Janeiro, 24 de maio de 2013.
iv
G633
Gomes, Ana Luísa de Souza Villas Boas.
Cálculo da Volatilidade implícita sem o uso de modelos de
apreçamento de opções / Ana Luísa de Souza Villas Boas
Gomes. - Rio de Janeiro: [s.n.], 2013.
xi, 21 f. : il.
Dissertação de Mestrado profissionalizante em
Economia do IBMEC.
Orientador: José Valentim.
1. Opção. 2.Volatilidade Implícita. I. Título.
CDD 330
v
Dedicatória
Dedico este trabalho para minha mãe e meu noivo. Sem eles
eu não seria quem sou.
vi
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que me deram suporte emocional, material, financeiro e espiritual nestes
longos meses de estudo e trabalho.
A minha mãe, pelo tempo e dinheiro investidos em mim. Ao meu pai, pelo orgulho de ter uma
filha mestre. Ao meu padrasto por ter me buscado a noite nas aulas. Ao meu noivo pelo
constante incentivo em terminar esta tese. E ao meu orientador, por ter acreditado em mim.
vii
RESUMO
Este estudo tem como objetivo analisar se a volatilidade implícita calculada para opções, sem
o uso de um modelo de apreçamento, pode se um bom estimador da volatilidade futura. O
período de análise começa em janeiro de 2006 e vai até setembro de 2012. Os dados são preços
de compra e de exercício de opções de Petrobras, sem sobreposição. Os resultados apontam que
a volatilidade realizada não pode ser explicada pela volatilidade implícita.
Palavras Chave: opção, volatilidade implícita
viii
ABSTRACT
This study aims to analyze if the implied volatility calculated for options, without using a
pricing model, can be a good estimator of future volatility. The period begins in January 2006
and runs until September 2012. The data are calls and strikes of stock options of Petrobras,
without overlapping. The calculated regressions showed no favorable results, soon realized
volatility cannot be explained by the implied volatility.
Key Words: options, implied volatility
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Dados estatísticos da primeira regressão .................................................................. 14
Tabela 2: Testes estatísticos da primeira regressão .................................................................. 14
Tabela 3: Dados estatísticos da segunda regressão .................................................................. 15
Tabela 4: Testes estatísticos da segunda regressão .................................................................. 15
Tabela 5: Dados estatísticos da terceira regressão.................................................................... 16
Tabela 6: Testes estatísticos da terceira regressão.................................................................... 16
Tabela 3: Dados estatísticos da quarta regressão...................................................................... 16
Tabela 4: Testes estatísticos da quarta regressão...................................................................... 16
x
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Prêmio Normalizado Opções At-The-Money ........................................................... 7
Gráfico 2: Volatilidade Realizada ............................................................................................ 13
Gráfico 3: Volatilidade Anualizada .......................................................................................... 18
xi
LISTA DE EQUAÇÕES
Equação 1: Equações Black-Scholes .......................................................................................... 9
Equação 2: Volatilidade Realizada ............................................................................................. 9
Equação 3: Volatilidade Implícita (Model-Free) ..................................................................... 12
Equação 4: Primeira regressão ................................................................................................. 14
Equação 5: Segunda regressão ................................................................................................. 15
Equação 6: Terceira regressão .................................................................................................. 15
Equação 5: Quarta regressão .................................................................................................... 16
xii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1
2 BASE DE DADOS ............................................................................................................. 6
3 ABORDAGEM MODEL-FREE ........................................................................................ 8
4 RESULTADOS ................................................................................................................ 14
5 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 19
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 20
1
1 INTRODUÇÃO
Preços de opções refletem as expectativas dos participantes do mercado sobre os movimentos
futuros de seu respectivo ativo objeto, somado a um prêmio de risco. Com isso, a volatilidade
implícita dos preços de opções é considerada como um estimador mais eficiente de volatilidade
futura do que a volatilidade histórica do ativo objeto. O motivo deve-se ao pensamento de que
se as opções são instrumentos eficientes e o modelo de precificação de opção (usado para
calcular a volatilidade implícita) é correto, a volatilidade implícita deveria capturar todas as
informações contidas nas outras variáveis que explicam a volatilidade futura.
Esta estimação da volatilidade futura é importante para os financistas, pois desta forma eles
podem tomar decisões sobre qual atitude tomar sobre as posições alocadas nas ações atreladas
a estas opções, particularmente, decidir qual a melhor hora de comprar e de vender. Este seria
um diferencial entre os agentes de mercado, e traria uma performance positiva sobre suas
carteiras.
Estudos recentes mostram que a volatilidade implícita é um estimador viesado e não eficiente
da volatilidade futura e contém pouca ou nenhuma informação adicional em relação à
volatilidade histórica. Por exemplo, Canina e Figlewski (1993) estudaram os preços de
fechamento diários de opção de compra (call) do índice S&P 100 de 15 de março de 1983 a 28
de março de 1987 e concluíram que a volatilidade implícita não é um bom estimador em relação
2
às volatilidades realizadas do ativo objeto. Através de regressões, eles verificaram que a
volatilidade implícita praticamente não tem correlação com a volatilidade futura e parece não
incorporar as informações contidas na volatilidade histórica.
De forma diferente, estudos como os de Day e Lewis (1992), Lamoureux e Lastrapes (1993),
Jorion (1995) e Fleming (1998) reportaram evidências suportando a hipótese que a volatilidade
implícita tem poder de previsão da volatilidade futura. Como Canina e Figlewski (1993), Day
e Lewis (1992) também analisaram opções do S&P 100, porém por um período maior de tempo,
de 1983 a 1989. Eles observaram que a volatilidade implícita tem informações significantes
para dados semanais. Porém, as informações contidas na volatilidade implícita não são
necessariamente melhores do que as dos modelos de séries temporais padrões como
GARCH/EGARCH. Lamoureux e Lastrapes (1993) chegaram a uma conclusão similar
examinando a volatilidade implícita de opções de dez ações no período entre 19 de abril de
1982 e 31 de março de 1984. Usando preços de opções, Jorion (1995) observou que a
volatilidade implícita é melhor do que os modelos de média móvel e GARCH, como estimador
de volatilidade futura, apesar de que a volatilidade implícita pareça ser um estimador viesado
de volatilidade.
Estudos mais recentes sobre as informações contidas na volatilidade implícita tentam corrigir
os problemas metodológicos e de dados não utilizados nos estudos anteriores. Estes novos
estudos consideram séries de tempo mais longas e possíveis impactos da crise de outubro de
1987. Por exemplo, Christensen e Prabhala (1998) observaram que a volatilidade implícita de
opções de S&P 100 é um estimador não viesado da volatilidade futura e assume toda
informação contida na volatilidade histórica. Diferente de estudos anteriores, eles usaram um
período de tempo muito maior (de novembro de 1983 a maio de 1995) para incorporar possíveis
3
mudanças de regime em torno da crise de outubro de 1987, e uma amostra mensal não
sobreposta para assegurar a validade de testes estatísticos.
Variáveis instrumentais também são usadas para corrigir eventuais problemas de erros com
variáveis no modelo de volatilidade implícita de Black-Scholes. Ederinton e Guan (2000)
verificaram a volatilidade implícita de opções de futuros de índice S&P 500 e observaram que
aparentemente o viés e a ineficiência da volatilidade implícita de estudos anteriores eram devido
a erros de mensuração. Após corrigirem estes erros, eles observaram que a volatilidade implícita
de opções de futuros do S&P 500 é um eficiente estimador da volatilidade futura.
Para dados brasileiros, temos o trabalho de Gabe e Portugal (2004) que usaram dados
sobrepostos de opções de Telemar no período de 02 de outubro de 2000 a 15 de outubro de
2002. Eles observaram que a volatilidade estimada por modelos GARCH e EGARCH é um
estimador eficiente, não viesado e melhor do que a volatilidade implícita. Ao contrário, Tabak
e Chang (2006) mostram que a volatilidade implícita de opções cambiais é um melhor previsor
da volatilidade futura do que a obtida por GARCH.
Guedes e Vicente (2010) observaram a relação entre a volatilidade implícita e a realizada
analisando os mercados de ações e de opções de compra de Petrobras no período de janeiro de
2006 até dezembro de 2008. Através da análise de regressões com dados mensais e sem
sobreposição de opções in-the-money, at-the-money e out-of-the-money, observaram que a
volatilidade implícita das opções out-of-the-money contém mais informações sobre a
volatilidade futura do que a volatilidade histórica. Já as volatilidades implícitas in-the-money e
at-the-money apresentaram fraco poder explanatório da volatilidade futura. Nestes casos, ou o
premio de risco é alto ou o mercado apresenta ineficiência. Além disso, não foram encontradas
evidencias de que a volatilidade histórica possua correlação com a volatilidade futura.
4
Em suma, observamos que praticamente todos os estudos sobre as informações contidas na
volatilidade implícita focam no modelo de Black-Scholes de volatilidade. Os resultados são
potencialmente contaminados com erros de mensuração devido ao modelo mal especificado.
Desta forma, surgiu uma maneira livre de modelos de precificação para extrair a volatilidade
implícita de série de opções chamada de “model-free”. Britten-Jones e Neuberger (2000)
derivam a volatilidade implícita model-free, a partir da soma dos quadrados dos retornos
esperada sobre a medida neutra ao risco. Ao derivar esta nova volatilidade implícita, nenhuma
suposição é feita sobre o processo estocástico subjacente, exceto que o preço e volatilidade do
ativo não contêm saltos. A variação neutra ao risco do ativo subjacente é totalmente
especificada pelos preços de mercado de opções que estendem o horizonte correspondente.
Após Britten-Jones e Neuberger (2000), esta variância neutra ao risco será referida como a
variância implícita model-free e sua raiz quadrada à volatilidade implícita model-free.
Jiang e Tian (2003) implementaram um estimador de volatilidade implícita no model-free e
investigaram as informações contidas no índice de opções S&P 500. Seus resultados sugerem
que a volatilidade implícita model-free é um previsor eficiente para a volatilidade realizada
futura e assume todas as informações contidas no modelo de volatilidade implícita de Black-
Scholes e de volatilidades realizadas passadas. Também observaram que a volatilidade implícita
model-free é um estimador não viesado para volatilidade futura realizada. Estes resultados são
mostrados como robustos em relação a métodos alternativos de estimação e séries de
volatilidade sobre diferentes horizontes.
Decidimos, então, utilizar dados do mercado brasileiro para testar a volatilidade implícita
model-free. A série de dados são os preços de opções de compra de Petrobras (pn), entre o
período de 16 de janeiro de 2006 até 17 de setembro de 2012.
5
Interpolamos a base de dados para obter uma série maior de preços e strikes. A partir destes
dados, programamos fórmula para extrair a volatilidade de cada ponto. Com a série de
volatilidade implícita gerada, rodamos regressões para verificar se a volatilidade implícita da
série de opções explica a série de volatilidade realizada da ação.
Para a amostra estudada, a volatilidade implícita não explicou a volatilidade realizada, e
portanto, não é um bom estimador para a volatilidade futura das ações de Petrobras.
É importante observarmos que, embora exista uma estimativa de ponto único para a volatilidade
implícita model-free para um dado vencimento, a volatilidade implícita Black-Scholes pode ser
calculada para opções com preços de exercício (strike prices) diferentes. É advertido verificar
a relação entre a volatilidade implícita model-free e a volatilidade implícita Black-Scholes em
níveis diferentes de moneyness e vencimentos, embora uma estimativa de ponto único da
volatilidade implícita Black-Scholes de curto prazo e com liquidez imediata seja geralmente
usada na literatura empírica para representar o sorriso da volatilidade (volatility smile).
Na próxima seção, mostramos a base de dados utilizada e como geramos a série de volatilidade
implícita. Na terceira seção, discorremos sobre o modelo model-free. Em seguida, na quarta
seção, discorremos os resultado, e finalmente, na quinta seção, a conclusão.
6
2 BASE DE DADOS
Utilizamos os preços de fechamento das opções de compra da Petrobras (PETR4) entre o
período de Janeiro de 2006 até Setembro 2012. Os dados foram retirados do site da BM&F
Bovespa.
Fizemos uma série contínua, sem sobreposição, iniciando em 16/01/2006 e terminando em
17/09/2012. O primeiro ponto da série possui data de inicio em 16/01/2006 e data de
vencimento em 20/02/2006. O próximo ponto tem início na exata data em que o ponto anterior
terminou (20/02/2006), e assim até o último ponto com vencimento em 17/09/2012. Sendo
sempre uma série, em um dia, por mês. O número de meses observados foi 81.
A amostra contém 1.260 observações, com média de 15 opções por data e prazo médio de 30
dias. O menor prazo é de 21 dias e o maior de 40 dias. O preço médio encontrado foi R$ 2,74
com desvio padrão de R$ 3,91, sendo o máximo R$ 24,35 e o mínimo R$ 0,01. A média de
negociações dos papéis foi de 1.459 ao dia.
Com intuito de analisar o comportamento dos prêmios das opções, definimos uma opção como
sendo at-the-money para cada data. O critério foi escolher a opção que tivesse o preço de
exercício mais próximo do preço a vista da ação. Dividimos, então, o prêmio da opção pelo
preço a vista, para normalizar a série. O resultado pode ser visto no gráfico um.
7
Gráfico 1: Prêmio Normalizado Opções At-The-Money
O gráfico mostra alta volatilidade no prêmio das opções. Com média de 0,05 e desvio padrão
de 0,02 não encontramos tendência no comportamento dos prêmios. O ponto máximo não
coincide com o máximo das volatilidades implícita e realizada, apresentadas mais adiante no
gráfico três.
R$ 0,00
R$ 0,02
R$ 0,04
R$ 0,06
R$ 0,08
R$ 0,10
R$ 0,12
R$ 0,14
16
/01
/20
06
16
/05
/20
06
16
/09
/20
06
16
/01
/20
07
16
/05
/20
07
16
/09
/20
07
16
/01
/20
08
16
/05
/20
08
16
/09
/20
08
16
/01
/20
09
16
/05
/20
09
16
/09
/20
09
16
/01
/20
10
16
/05
/20
10
16
/09
/20
10
16
/01
/20
11
16
/05
/20
11
16
/09
/20
11
16
/01
/20
12
16
/05
/20
12
16
/09
/20
12
8
3 ABORDAGEM MODEL-FREE
A volatilidade de uma ação corresponde ao desvio-padrão de uma série de retornos desta ação,
i.e., representa a medida de incerteza sobre os retornos proporcionados pela ação. A volatilidade
futura de uma ação não é um dado disponível no mercado, e não existem métodos precisos para
calculá-la. Desta forma, os agentes de mercado utilizam das ferramentas disponíveis para tentar
chegar a uma previsão, como por exemplo, modelos estatísticos e regressões.
A importância de quantificar esta variável é de saber como o preço da ação vai se comportar no
futuro, determinar sua trajetória e então saber o momento de agir. Uma maneira de chegar a
uma proxy da volatilidade de uma determinada ação é observar o comportamento das opções
que a possuem como ativo objeto. O prêmio de uma opção é função direta da volatilidade do
ativo objeto. Como o prêmio é observável, podemos então utilizar a volatilidade da opção como
uma proxy da volatilidade da ação. Para isto, é necessário fazer uso de algum modelo de
apreçamento de opções.
Podemos apontar o modelo de volatilidade implícita de Black-Scholes (BS) como o mais
utilizado entre os agentes de mercado. O modelo BS tem como premissa que o preço da ação é
um passeio aleatório, que assume distribuição probabilística de uma log-normal.
Adicionalmente, o modelo também tem pressupostos que a volatilidade do ativo objeto e a taxa
de juros são constantes até o vencimento da opção e que o ativo objeto não paga dividendos
durante a vida da opção. Este modelo de apreçamento de opções consiste em equações que
visam obter o preço justo das opções europeias no dinheiro via argumentos de não-arbitragem.
𝑐𝑡 = 𝑆𝑡𝑁(𝑑1) − 𝐾𝑒−𝑟𝑓,𝜏𝑁(𝑑2)
9
𝑑1 =ln (
𝑆𝑡
𝐾) + (𝑟𝑓 +12 𝜎2) 𝜏
𝜎√𝜏
𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝜏
Equação 1: Equações Black-Scholes
Onde:
ct → valor teórico de uma opção de compra
St → preço do ativo-objeto
K → preço de exercício
τ = T-1 → tempo até o vencimento
σ → volatilidade implícita
rf → taxa livre de risco
N → função cumulativa normal padrão
A única variável não observada das fórmulas é justamente a volatilidade (sigma). Esta pode ser
mensurada a partir dos dados históricos dos preços da ação, ou seja, a partir da volatilidade
realizada.
𝑉𝑅𝑓 = √1
𝜏∑(𝑟𝑡+𝑖 − �̅�𝑖𝑇)2
𝑛
𝑖=1
Equação 2: Volatilidade Realizada
Onde:
n → número de dias entre t e T
rt+i → retorno diário no dia t + i
�̅�𝑖𝑇 → média dos retornos diários entre t e T
10
Outra forma de mensurar a volatilidade é partir da volatilidade implícita. Como não é possível
inverter a equação de BS onde temos o sigma, de forma que possa ser expresso em função das
outras variáveis, utilizamos do processo de procura interativa. A partir de um preço da opção,
vamos testando qual seria o valor de sigma para igualar a equação.
Como descrito por Hull (1997):
“as volatilidades implícitas podem ser utilizadas para monitorar a
opinião do mercado acerca da volatilidade de uma ação em
particular. Os analistas sempre calculam as volatilidades
implícitas para as opções ativamente negociadas, usando-as para
calcular o preço de uma opção, sobre a mesma ação, menos
negociada.”
A volatilidade implícita model-free é, conceitualmente, bem diferente da volatilidade implícita
de Black-Scholes. Esta última é obtida de uma única opção, apoiando a volatilidade do preço
de opção através da fórmula de Black-Scholes, enquanto que a primeira é independente de
qualquer modelo de preço de opção (model-free) e obtida, diretamente, dos preços de todas as
opções com vencimento em datas futuras relevantes. A abordagem model-free não possui
arcabouços teóricos, nem problemas de especificação. É simples, abrange toda a informação
contida nas variáveis e não possui sobreposição.
Jiang e Tian (2003) explicam da seguinte forma:
“Suponhamos que uma série inteira de opções de compra com
preços de exercício (K) e vencimentos (T) contínuos sejam
11
operados sob um ativo subjacente. O preço corrente da opção é
indicado por C(T, K), enquanto o preço corrente e futuro do ativo-
objeto são, respectivamente, S0 e St. O preço do ativo subjacente
segue uma difusão com volatilidade (determinística ou estocástica)
variável no tempo. Para simplificar, supõe-se, mais além, (e
atenuado, subsequentemente) que o ativo-objeto não realize
nenhum pagamento intermediário, tais como dividendos ou
rendimentos, e que a taxa de juros livre de risco seja zero. Com
base nessa configuração bem generalizada, Britten-Jones e
Neuberger (2000) demonstram que a soma esperada dos retornos
ao quadrado neutra ao risco entre duas datas arbitrárias (T1 e T2)
é totalmente especificada pela série de preços de opções expirando
nas duas datas:
𝐸0𝑄 [∫ (
𝑑𝑆𝑡
𝑆𝑡)
2𝑇2
𝑇1
] = 2 ∫𝐶(𝑇2, 𝐾) − 𝐶(𝑇1, 𝐾)
𝐾2 𝑑𝐾
∞
0
onde a expectativa é tomada sob a medida de probabilidade neutra
ao risco. Essa relação significa que a variância do retorno dos
ativos (ou volatilidade quadrada), ante a medida neutra ao risco,
pode ser obtida da série de preços de opção observada em um
único ponto no tempo. Por ser baseada nos preços de opção
observados e derivados sem qualquer pressuposto específico sobre
o processo estocástico subjacente, esse cálculo é entendido como
model-free.”
12
A partir de uma base dados, é extraída a volatilidade implícita das opções, sem assumir
hipóteses. Todos os dados são utilizados na análise, evitando o problema de sobreposição. Os
cálculos não partem de uma premissa, de um modelo. A volatilidade é encontrada através da
integral dos dados, desta forma nenhum dado é desperdiçado.
Como só temos alguns preços e strikes (dados limitados), precisamos usar um modelo de
interpolação para aumentar o número de observações na amostra. Para contornar este problema,
utilizamos o método de Spline para criar uma série contínua de preços e strikes. Ou seja,
construímos superfícies de volatilidade para cada dado da amostra.
𝑣𝑜𝑙 = 2 ∫𝑠𝑝𝑙𝑖𝑛𝑒(𝐾, 𝑐, 𝑘) − 𝑀𝐴𝑋[𝑆0 − 𝑘, 0]
𝑘2 𝑑𝐾
∞
0
Equação 3: Volatilidade Implícita (Model-Free)
Onde:
K → strike observado
c → preço da call
S0 → preço da ação no dia
k → strike calculado
Após a criação desta série contínua de preços e strikes, anualizamos as volatilidades para que
as mesmas pudessem ser comparadas com as volatilidades realizadas no mesmo período.
As volatilidades realizadas foram extraídas do preço de fechamento da ação de cada dia durante
o mês em questão. Desta forma, representa a volatilidade que a ação teve ao longo do mês.
Conforme o gráfico um, podemos observar que no período entre julho de 2007 e janeiro de
2009 a volatilidade oscilou muito, passando dos 250% e atingindo seu ponto máximo.
13
Gráfico 2: Volatilidade Realizada (% aa)
Esta oscilação ocorreu no período da crise do sub prime norte-americano, quando todos os
mercados ficaram instáveis. Já no meio de 2009 a volatilidade passou a apresentar dados mais
estáveis, abaixo de 50% ao ano.
0%
50%
100%
150%
200%
250%
300%
16
/01
/20
06
16
/07
/20
06
16
/01
/20
07
16
/07
/20
07
16
/01
/20
08
16
/07
/20
08
16
/01
/20
09
16
/07
/20
09
16
/01
/20
10
16
/07
/20
10
16
/01
/20
11
16
/07
/20
11
16
/01
/20
12
16
/07
/20
12
14
4 RESULTADOS
Testamos a hipótese de previsibilidade apresentada na seção anterior rodando regressão por
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), sendo a volatilidade implícita das opções como
variável independente e a volatilidade realizada como variável dependente. O modelo verifica
se a volatilidade implícita das opções explica a volatilidade realizada da ação.
O primeiro teste realizado foi o modelo mais simples de regressão: y = c + ax. Este modelo foi
o que apresentou o melhor resultado.
𝑣𝑜𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 = 0,2576655 + 0,9992254 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎
Equação 4: Primeira regressão
Variável Coeficiente Desvio Padrão Estatística t P-valor
Constante 0,2576655 0,1085638 2,3734003 0,0200546
Vol implícita 0,9992254 0,1981427 5,0429582 0,00000285
Tabela 1: Dados estatísticos da primeira regressão
Testes estatísticos
R² 0,2435227
R² ajustado 0,2339470
Desvio padrão da regressão 0,4814266
Soma do resíduo ao quadrado 18,3099588
Tabela 2: Testes estatísticos da primeira regressão
15
Com 95% de confiança, os regressores podem ser considerados significativos. Porém, o R² não
foi bom, pois o modelo explica apena 25% da série analisada. Ao realizar o correlograma dos
resíduos, o resultado também não foi favorável, pois apresentou auto-correlação. Isto quer dizer
que há informação no resíduo que não são explicadas pelo modelo.
Os demais testes apresentaram os mesmos resultados: coeficientes não significativos e
correlograma dos resíduos contendo auto-correlação.
𝑣𝑜𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 = 0,068729 + 1,670712 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 − 0,437092 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎²
Equação 5: Segunda regressão
Variável Coeficiente Desvio Padrão Estatística t P-valor
Constante 0,068729 0,223976 0,306859 0,759800
Vol implícita 1,670712 0,723836 2,308137 0,023600
Vol implícita² - 0,437092 0,453155 - 0,964554 0,337700
Tabela 3: Dados estatísticos da segunda regressão
Testes estatísticos
R² 0,252439
R² ajustado 0,233271
Desvio padrão da regressão 0,481639
Soma do resíduo ao quadrado 18,09414
Tabela 4: Testes estatísticos da segunda regressão
𝑣𝑜𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 = 1,008697 − 2,995513 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 + 5,83574 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎² −
2,345455 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎³
Equação 6: Terceira regressão
16
Variável Coeficiente Desvio Padrão Estatística t P-valor
Constante 1,008697 0,449833 2,242379 0,0278
Vol implícita -2,995513 2,07721 -1,442085 0,1533
Vol implícita² 5,83574 2,664239 2,190397 0,0315
Vol implícita³ -2,345455 0,982492 -2,38725 0,0194
Tabela 5: Dados estatísticos da terceira regressão
Testes estatísticos
R² 0,303955
R² ajustado 0,276837
Desvio padrão da regressão 0,467755
Soma do resíduo ao quadrado 16,84723
Tabela 6: Testes estatísticos da terceira regressão
𝑣𝑜𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 = 0,212114 + 0,895331 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 + 0,205418 𝑣𝑜𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎(𝑡−1)
Equação 7: Quarta regressão
Variável Coeficiente Desvio Padrão Estatística t P-valor
Constante 0,212114 0,119572 1,773937 0,08
Vol implícita 0,895331 0,253982 3,52517 0,0007
Vol implícitat-1 0,205418 0,250815 0,819002 0,4153
Tabela 7: Dados estatísticos da quarta regressão
Testes estatísticos
R² 0,253615
R² ajustado 0,234228
Desvio padrão da regressão 0,484259
Soma do resíduo ao quadrado 18,05705
Tabela 8: Testes estatísticos da quarta regressão
Os resultados encontrados não foram positivos nas três ultimas regressões. Podemos concluir
então que a volatilidade implícita calculada para as opções de compra de Petrobras não
explicaram a volatilidade realizada da ação.
17
Testamos estas quatro regressões para verificar se era possível diversificar os modelos,
mantendo um alto nível de significância. Nossa intenção não era encontrar um modelo que
explicasse perfeitamente o comportamento da volatilidade realizada através do uso da
volatilidade implícita. Queríamos testar se era possível deduzir um modelo simples, sem o uso
de ferramentas complexas, e muitos argumentos na regressão.
Algumas explicações para que nosso modelo não tenha tido sucesso são: os preços das opções
não estão nivelados com os preços justos, a amostra é não grande o suficiente, os preços são
viesados e o mercado é ineficiente.
O mercado brasileiro é razoavelmente novo, e devido ao cenário macroeconômico, pode não
conter amostras não viesadas e eficientes. Outro ponto a ser observado, é que não testamos
modelos intertemporais, porém este não era o foco do estudo.
O gráfico três ilustra o resultado obtido.
18
Gráfico 3: Volatilidade Anualizada
Como podemos observar no gráfico três, a volatilidade implícita não acompanha perfeitamente
a volatilidade realizada. Até a crise do sub prime americano, havia uma diferença entre a
volatilidade realizada e a volatilidade implícita. Em 19/10/2007, a volatilidade realizada da ação
atingiu seu máximo (275%), enquanto que a volatilidade implícita não acompanhou o
movimento, ficando em torno de 87%. A diferença entre as duas volatilidade apresentou a maior
disparidade neste período. Após 15/09/2008 as séries passaram a apresentar um comportamento
mais sobreposto.
A correlação das séries ficou em 0,49, indicando que as séries possuem uma correlação fraca.
A média da volatilidade implícita foi de 48% e o desvio padrão 27%. Para a volatilidade
realizada, os valores foram maiores, 73% e 55% respectivamente. Estas estatísticas estão de
acordo com o esperado, pois a ação não possui vencimento, enquanto que a opção possui.
0%
50%
100%
150%
200%
250%
300%
16
/01
/20
06
16
/07
/20
06
16
/01
/20
07
16
/07
/20
07
16
/01
/20
08
16
/07
/20
08
16
/01
/20
09
16
/07
/20
09
16
/01
/20
10
16
/07
/20
10
16
/01
/20
11
16
/07
/20
11
16
/01
/20
12
16
/07
/20
12
vol implícita vol realizada
19
5 CONCLUSÃO
Este estudo teve como objetivo analisar o comportamento da volatilidade implícita das opções
de compra de Petrobras e verificar se ela pode ser um bom estimador para a volatilidade futura.
Nossa conclusão foi de que para a amostra estudada, a volatilidade implícita não explica a
volatilidade realizada, e portanto, não é um bom estimador para a volatilidade futura das ações
de Petrobras.
20
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CANINA, L.; FIGLEWSKI, S. The Informational content of implied volatility. Review of
Financial Studies, 6, 659-681, 1993.
DAY, T.; LEWIS, C. Stock market volatility and the information content of stock index options.
Journal of Econometrics, 52, 1992.
LAMOUREUX, C. G.; LASTRAPES, W. Forecasting stock return variance: towards
understanding stochastic implied volatility. Review of Financial Studies, 6. 1993.
JORION, P. Predicting Volatility in the Foreign Exchange Market, Journal of Finance, 50, 507-
528, 1995.
FLEMING, J. The Quality of Market Volatility Forecast Implied by S&P 100 Index Option
Prices, Journal of Empirical Finance, 5, 317-345, 1998.
CHRISTENSEN, B. J.; PRABHALA, N. R. The Relation between implied and realized
volatility. Journal of Financial Economics, 50, 125-150, 1998.
EDERINGTON, L.H; GUAN, W. Is Implied Volatility an Informationally Eficient and Efective
Predictor of Future Volatility?, NBER working paper, University of Oklahoma and Delaware
State University, 2000.
21
GABE, J.; PORTUGAL, M. S. Volatilidade implícita versus volatilidade estatística: um
exercício utilizando opções e ações da Telemar S.A. Revista Brasileira de Finanças, 2, 1, 47-
73, 2004.
TABAK, B. M; CHANG, E. J. Are implied volatilities more informative? The Brazilian real
exchange rate case. Applied Financial Economics, 17, 569-576, 2006.
GUEDES, T. S; VICENTE, J. V. M. A Volatilidade implícita contém informações sobre a
volatilidade futura? Evidências do mercado de opções de ações da Petrobras, Brazilian
Bussiness Review, 7, 48-65, 2010.
BRITTEN-JONES, M.; NEUBERGER A. Option Prices, Implied Price Processes, and
Stochastic Volatility, Journal of Finance, 55, 839-866, 2000.
JIANG, G. J; TIAN, Y. S. Model-Free Implied Volatility and Its Information Content. York
University, 2003.
HULL, J. C. Options, futures and other derivatives. Upper Saddle River: Prentice- Hall Inc.,
1997.
BLACK, F.; SCHOLES, M. The Pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political
Economy, 1973.
