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8/18/2019 Cálculo de Áreas Por Polares
1/1
DLI.T
CÁLCULO DE ÁREAS
POR
COORDENADAS
POLARES
Si se buscacalcularÁ¡eas
de Regiones
irculares
o
de
partes
de
un
Círculo,
son adecuadas
as
Coor-
denadas
Polares,
or
tanto
debeefectuarse
na Transformación
estas
Coordenadas.
De acuerdoa las relaciones
entre
las
Coordenadas
Ca¡tesianas
Polares,
on
su
respectivo
acobiano:
rCos0
rSen0
Et 9.2 Á¡eaencerrada or: x2 * y2 = 32
La
Región
es un
círculo
de Radio
i;
su
Área
se
calculará
mediante
Coordenadas
olares.
Si: x
=
Y=
A
=
[f
_dy
dx
=
[f_,
(#l
dr
d0
=
[{_,r
dr
d0
R:
x2*y2
=32
+ R/:
r
=
j
A
=
f[_dvdx
=
If_,rdrda
rdrda
=
f ' "
Jo
q
12 "
dA
='01
=
2
1,,
=
[r,'" [,,t
=
{,,'"
t l 'ou
2
ln
2zn
=
9n
2
SC
2
2
Al
plantear
Extre-
mos,
el
ángulo
0 de-
be
cubrir
todo
el
círculo,
por
eso
va
desde
0
hasta
Zrc,
siempre
en
Radianes
A
su vez
el
radio (r),
para
llenar
todo el
círculo
prolonga
desde
l
Origen
hasta
3.
@l
iueAiante
Integrales
Dobles
en Coordenadas
Polares,
determinar
las
A¡eas
de:'
;
x
=
t/ly
;
x
;
y
=,11*
y
Región
R,
por
Coordenadas
olares.
Rt:
r
=
4
r=3
+
0
=Arctan\ l t7l=n/6
0
=
Arctan
$lt)
=
Tr,/3
A=f[-dydx=f-,rdrda=:: , 'L^rdrd0=:: , '+f ,*=
:: , '
b)
R:
x2
*
y2
=
22
;
x
x2*y2
=4x;
I
La
figura
así obtenida
se
lama
Lúnula.
Se
considera
solo
en
el
primer
Cuadrante.
Transformando
la
Región
R
a
R'
R:
x '*y '=
22
R/:
r
=
x '*y '
=
4x
=+
r
=
El
Ángulo
de intersección
entre
a) R:
x2*y2
=42
x2*y2=32
Transformando
a
R:
x2*y2
=
42
xr*yr=32
$Y-x
tlix
=
y
Zdo=
2
7,n
t2
dr
dA
en
Coordenadas
olares.
2
=+
0=
4Cos0 3
Curvas
está
en:
0
-
n/3
=
¡nlt ¡acoso
dr
do
Jo
Jz
A
=
{f
-dv
dx
=
f f*.,,
'¡
14
Cos
nn/3 _.1
dA
=
J,
71,
=
(20
+
4Sen0Cos0)
f
:'
g
cos2a
2t
do
2n
+
l, f l
ntt
l=
lo
La
gráfica
adjunta
muestra
además
de la
Región
R,
a la
nueva
Región
R'
que
se
obtiene
mediante
a Transformación.
Si
se
equiere
el
Á¡ea
total
de a Lúnula,
será
suficiente
con
duplicar o obtenido.
i/
x