Cálculo de Edades por el Método del Carbono 14

Libby ideó un método en el cual se usa carbono radiactivo para determinar la edad aproximada de los fósiles. El método se basa en que la semivida del C-14 radiactivo es de aproximadamente 5600 años. Usando este método resuelva el siguiente problema de determinación de la edad de un fósil.

Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de C-14. Determinarla edad del fósil.

SiC (t) es la Cantidad Original de Carbono14 del Fósil.Por hipótesis, sabemos que:

“La rapidez de desintegración del Carbono 14 es proporcional al Carbono 14 presente”

 Entonces este problema se puede modelar mediante la Ley Exponencial

d C/ d t = k C

Usando la Condición Inicial:

“ La cantidad inicial de Carbono 14 es Co” 

C ( 0 ) = Co

y la condición Posterior

“La Vida Media es de 5600 años” C ( 5600 ) = ½ Co El problema se modela matemáticamentemediante el siguiente Problema de Valor InicialLa Ecuación Diferencial esd C/ d t = k Ccon la Condición InicialC ( 0 ) = Coy la Condición PosteriorC (5600) = ½ CoPara contestar la pregunta, definimos la siguiente variable•Si

“Ƭ es el tiempo necesario para que la cantidad de Carbono sea de 1/1000 Co”entonces la pregunta se modela mediante la siguiente ecuaciónC (Ƭ ) = 1/1000 CoLa solución de la Ley Exponencial esC = Co(α/ Co¿t /Ƭ

C = Coϵ {[ln α (¿Co )]Ƭ / }t

donde

Co, α = ½ Co, Ƭ = 5600

sustituyendo estas constantes en “R” C = Co( 1 / 2)t/5600= 50e(t /5600)ln (1/2 )

Para contestar la pregunta

“El tiempo necesario para que la cantidad de Carbono sea de 1/1000Co.”Ƭ es el tiempo necesario para que lacantidad de Carbono sea de 1/1000 Co

”,Entonces C (Ƭ) = 1/1000 Co aplicando la condición en la ecuación”

C = Co( 1 / 2 )t/5600

Encontramos:

1/1000 Co= Co( 1 / 2  ¿Ƭ /5600

1/1000=( 1 / 2  ¿Ƭ /5600

1000 = 2Ƭ /5600

 aplicando logaritmo:

1000 = 2T /5600

 

ln 1000 = (Ƭ /5600) (ln 2)

despejando Ƭ:

Ƭ = [5600 ln1000]/ln2≈55808 años

es la Edad del Fósil.