Cálculo de esfuerzos y asentamientos [ahpe]

GRUPO ESTRUCTURISTAS

CÁLCULO DE ESFUERZOS Y ASENTAMIENTOS

1

© 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2015 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2014 Alex Henrry Palomino Encinas®

™

Se desea cimentar un tanque de agua rectangular de 6 m de ancho por 8 m de longitud, con base

flexible sobre la superficie de un depósito de arcilla dura de 18 m de espesor que reposa sobre

un lecho rocoso. El tanque ejerce una presión de 40 KN/m2 sobre el suelo.

a) Calcule el incremento en el esfuerzo vertical total en función de la profundidad en el

estrato de arcilla bajo el centro y bajo una esquina del tanque.

b) Calcule los asentamientos inmediatos bajo el centro y en una esquina Las propiedades de

la arcilla son E = 7200 KN/m2 y v = 0.50.

SOLUCIÓN

a) Incrementos de Esfuerzos verticales.

Los incrementos de esfuerzos verticales en función de la profundidad los determinaremos

utilizando el método de Newmark.

a.1) Bajo el centro del Tanque

La condición a solucionar se detalla en la Figura 1. El esfuerzo vertical 𝜎𝑧 que varía en función de

la profundidad Z, se calcula mediante la ecuación que plantea Newmark:

𝜎𝑍 = 4𝜉𝜎0 𝜎𝑜 =𝑃

𝐵𝑥𝐵𝑦

Donde 𝜉 es el coeficiente de influencia para áreas rectangulares, que depende de los valores de

𝑚 y 𝑛 los cuales se muestran a continuación:

𝑚 =𝐵𝑥/2

𝑍 ∧ 𝑛 =

𝐵𝑦/2

𝑍

Figura 1. Esquema principal para el cálculo de la variación de esfuerzos verticales en el centroide

de la cimentación del tanque.



2


™

El incremento de esfuerzos verticales en función de la profundidad se detalla en la Tabla 1, cuyo

grafico se variación de esfuerzos verticales se muestra a la derecha.

Los valores los coeficientes de influencia 𝜉 para cada valor de m y n se obtuvieron de la Tabla 2,

interpolando linealmente para valores intermedios.

Tabla 1. Variación de Esfuerzos Verticales en Función de la Profundidad Z.

Tabla 2. Coeficientes de Influencia ξ para áreas rectangulares.

z m n ξ σz

0 ∞ ∞ 0.250 4.079

0.5 8.00 6.00 0.249 4.065

1 4.00 3.00 0.245 3.997

1.5 2.67 2.00 0.237 3.861

2 2.00 1.50 0.223 3.638

3 1.33 1.00 0.189 3.076

6 0.67 0.50 0.100 1.637

9 0.44 0.33 0.056 0.908

12 0.33 0.25 0.034 0.560

15 0.27 0.20 0.023 0.381

18 0.22 0.17 0.016 0.269

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.2 1.5 2 2.5 3 5 10

0.1 0.005 0.009 0.013 0.017 0.020 0.022 0.024 0.026 0.027 0.028 0.029 0.030 0.031 0.031 0.032 0.032 0.032

0.2 0.009 0.018 0.026 0.033 0.039 0.043 0.047 0.050 0.053 0.055 0.057 0.059 0.061 0.062 0.062 0.062 0.062

0.3 0.013 0.026 0.037 0.047 0.056 0.063 0.069 0.073 0.077 0.079 0.083 0.086 0.089 0.090 0.090 0.090 0.090

0.4 0.017 0.033 0.047 0.060 0.071 0.080 0.087 0.093 0.098 0.101 0.106 0.110 0.113 0.115 0.115 0.115 0.115

0.5 0.020 0.039 0.056 0.071 0.084 0.095 0.103 0.110 0.116 0.120 0.126 0.131 0.135 0.137 0.137 0.137 0.137

0.6 0.022 0.043 0.063 0.080 0.095 0.107 0.117 0.125 0.131 0.136 0.143 0.149 0.153 0.155 0.156 0.156 0.156

0.7 0.024 0.047 0.069 0.087 0.103 0.117 0.128 0.137 0.144 0.149 0.157 0.164 0.169 0.170 0.171 0.172 0.172

0.8 0.026 0.050 0.073 0.093 0.110 0.125 0.137 0.146 0.154 0.160 0.168 0.176 0.181 0.183 0.184 0.185 0.185

0.9 0.027 0.053 0.077 0.098 0.116 0.131 0.144 0.154 0.162 0.168 0.178 0.186 0.192 0.194 0.195 0.196 0.196

1 0.028 0.055 0.079 0.101 0.120 0.136 0.149 0.160 0.168 0.175 0.185 0.193 0.200 0.202 0.203 0.204 0.205

1.2 0.029 0.057 0.083 0.106 0.126 0.143 0.157 0.168 0.178 0.185 0.196 0.205 0.212 0.215 0.216 0.217 0.218

1.5 0.030 0.059 0.086 0.110 0.131 0.149 0.164 0.176 0.186 0.193 0.205 0.215 0.223 0.226 0.228 0.229 0.230

2 0.031 0.061 0.089 0.113 0.135 0.153 0.169 0.181 0.192 0.200 0.212 0.223 0.232 0.236 0.238 0.239 0.240

2.5 0.031 0.062 0.090 0.115 0.137 0.155 0.170 0.183 0.194 0.202 0.215 0.226 0.236 0.240 0.242 0.244 0.244

3 0.032 0.062 0.090 0.115 0.137 0.156 0.171 0.184 0.195 0.203 0.216 0.228 0.238 0.242 0.244 0.246 0.247

5 0.032 0.062 0.090 0.115 0.137 0.156 0.172 0.185 0.196 0.204 0.217 0.229 0.239 0.244 0.246 0.249 0.249

10 0.032 0.062 0.090 0.115 0.137 0.156 0.172 0.185 0.196 0.205 0.218 0.230 0.240 0.244 0.247 0.249 0.250

m =

Bx/Z

n = By/Z



3


™

a.2) Bajo una esquina del Tanque

De manera similar que en el apartado anterior, utilizando el método de Newmark, las condiciones

del problema se detallan en la Figura 2. La ecuación que describe la variación de los esfuerzos

verticales tiene la forma mostrada.

𝜎𝑍 = 𝜉𝜎0

Los coeficientes de influencia se calculan de manera similar que en el anterior, con la variación

siguiente:

𝑚 =𝐵𝑥

𝑍 ∧ 𝑛 =

𝐵𝑦

𝑍

Figura 2. Esquema para el cálculo de la variación de esfuerzos verticales en una esquina de la

cimentación del tanque.

El resumen de los cálculos para diferentes niveles de profundidad se presenta en la Tabla 3, los

valores para ξ fueron calculados de la Tabla 2.

Tabla 3. Variación de Esfuerzos Verticales en una esquina de la zapata en Función de la

Profundidad Z.

z m n ξ σz

0 ∞ ∞ 0.250 1.020

0.5 16.00 12.00 0.250 1.020

1 8.00 6.00 0.249 1.016

1.5 5.33 4.00 0.248 1.010

2 4.00 3.00 0.245 0.999

3 2.67 2.00 0.237 0.965

6 1.33 1.00 0.189 0.769

9 0.89 0.67 0.139 0.567

12 0.67 0.50 0.100 0.409

15 0.53 0.40 0.074 0.302

18 0.44 0.33 0.056 0.227



4


™

b) Asentamientos Inmediatos.

Los asentamientos inmediatos mediante la fórmula de Schleider (1926), ofrecidas por Terzaghi

(1943), sobre un semiespacio de Boussinesq se muestran a continuación, para los casos que se

piden en el problema. Para los datos que se tienen:

𝐵 = 6.00 𝑚 𝐿 = 8.00 𝑚

𝑞𝑜 = 40 𝐾𝑁/𝑚2 𝐸𝑆 = 7200 𝐾𝑁/𝑚2

𝜈 = 0.50

b.1) En el Centro

𝑆 = 2 ∙ 𝑞𝑜 ∙ 𝐵 ∙1 − 𝜈2

𝐸𝑆

𝐼𝑃

𝐼𝑃 =1

𝜋[𝑚 ∙ 𝑙𝑛 (

√1 + 𝑚2 + 1

𝑚) + 𝑙𝑛 (√1 + 𝑚2 + 𝑚)] 𝑚 =

𝐿

𝐵=

8

6= 1.333

𝐼𝑃 = 0.64388

𝑆 = 2(40)(6) (1 − 0.502

72000) (0.64388)

𝑆 = 0.00322 𝑚 ≈ 3.22 𝑚𝑚

b.2) En una esquina

𝑆 = 𝑞𝑜 ∙ 𝐵 ∙1 − 𝜈2

𝐸𝑆

𝐼𝑃

𝑆 = (40)(6) (1 − 0.502

72000) (0.64388)

𝑆 = 0.00161 𝑚 ≈ 1.61 𝑚𝑚

Documents

Cálculo de esfuerzos y asentamientos [ahpe]