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trillas~

Serie S'.curso programado

Louis d'Hainaut

cálculo deincertidumbresen las medidas

Serie: curso programad~ 5

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Título de esta obra en francés:LES INCERTITUDES DE MESURE

Versión autorizada en español de laPlimera edición publicada en francés porC91970, Classiques Hachette,París, Francia

Primera edición en español, junio 1978La presentación y disposición en conjunto deCÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDIDASson propiedad del editor. Prohibida la reproduccióntotal o parcial de esta obra, por cualquier medio ométodo, sin autorización por escrito del editor

Derechos reservados en lengua española conforme a la ley© 1978, Editorial Trillas, S. A., ,Av. 5 de Mayo 43-105, México 1, D. F..

Miembro de la Cámara Nacional de laIndustria Editorial. Reg, núm. 158

Impreso en México

t,1

,Indice

de contenido

CAPITULO 1. LOS ERRORES DE MEDICI6N 17

CAPITULO 2. SERIES DE MEDICIONES 27

CAPITULO 3. INCERTIDUMBRE ABSOLUTA YRESULTADO DE UNA SERlE NOR-MAL DE MEDICIONES 38

CAPITULO 4. NOT ACIONES, UMITES E INTER-VALO DE CONFIANZA 47

CAPITULO 5. SERIES DE MEDICIONES IGUALES.IGUALDAD ENTRE LOS UMITESDE LAS INCERTIDUMBRES 55

CAPITULO 6. LA INCERTIDUMBRE RELATIVA 65

CAPITULO 7. CALCULO DE LA INCERTIDUM-BRE ABSOLUTA. REVISI6N GE-NERAL 74

CAPITULO 8. CALCULO DE INCERTIDUMBRES 84

CAPITULO 9. CALCULO DE INCERTIDUMBRES(continuaci6n) 93

CAPITULO 10. INTRODUCCI6N A LAS SERIESDE OPERACIONES 104

CAPITULO 11. M£.TODO DEL LIMITE SUPERIOR 110

CAPITULO 12. M£.TODO POR REDUCCI6N 118

CAPITULO 13. M£.TODO DIFERENCIAL 130

CAPITULO 14. COMPARACI6N Y EJERCICIOS DEREVISI6N 134

Resumen 1. Los errores de medicion, 137. Resu-men 2. Series de mediciones, 142. Resumen 3. Se-ries normales de mediciones, 148. Resumen 4. No-taciones, limites e intervalo de confianza, 151.Resumen 5. Series de mediciones iguales, igualdadentre los limites de las incertidumbres, 156. Resu-men 6. La incertidumbre relativa, 159. Resumen 7.C<Hculode la incertidumbre absoluta, 163. Res'lk-men 8. C<Hculode incertidumbres, 166. Resumen 9.Ccilculo de incertidumbres (continuacion), 169.Resumen 10. Introduccion a las series de operacio-nes, 174. Apendice 1. ,Como redondear un coefi-ciente numerico?, 178. Apendice 2. Demostraciones,180. Apendice 3. Errores y cllculo de errores, 182.Apendice 4. Compensacion de errores, 187. Apen-

dice 5. Las incertidumbres en las gclficas, 189.

Especificaciones

Este texto esta destinado a los alumnos del segundo ciclo de la ensenanza media ge-neral 0 tecnica. Ha sido disenado para ser facilmente seguido y comprendido poralumnos a nivel del primer grado de preparatoria 0 bachillerato, pero tambien serautil en las clases de estudios superio.res e incluso podran utilizarlo con provecho, atitulo de revision 0 de recuperacion, los estudiantes universitarios que comienzancon traha jos practicos de flsica.

Para abordar el curso, el alumno solamente debera poseer un vocabulario generaly cientifico correspondiente al de un estudiante promedio de tercer grado de secun-daria. Debera haber seguido (aunque no 10 haya hecho muy brillantemente) un cur-so de algebra de un ano.

1. Puede escoger entre dos vias diferentes:- La via normal, que Ie conducira a la adquisicion de conOClmlentos ajustados alos objetivos, progresivamente, sin dificultad y con la seguridad constante de tenerexito. Para seguir esta via, Ie bastara leer todo el texto.- La via "relampago", destinada a los alumnos que ya conocen la materia 0 que po-seen aptitud excepcional para el estudio. Si usted la sigue y si advierte que olvidalos temas anteriores, regrese a la via normal. Para seguir la via "relampago" co-mience por el resumen I, pagina 137, y lea, en el texto propiamente dicho, sololos cuadros acompanados del signo 72. ,Como dividir su traba jo?Si estudia en casa este curso sin haber recibido instrucciones especiales de su maes-tro, Ie recomendamos el siguiente plan de trabajo:• Via normal: un capitulo diario.• Via "relampago"; dos capitulos por dia.

Cuando se utiliza un curso program ado, hay que explicar a los alumnos que susrespuestas no van a servir como control para calificar y que no se daran notas porelIas, sino que estan destinadas a hacerles asimilar la materia; tratar de hacer tram-pa cuando se sigue un curso programado seria inutil y el alumno que mirase lasrespuestas antes de tratar de encontrarlas, no ganaria ni un punto por ella, no apren-deria y sufriria en la prueba final un fracaso significativo.El maestro puede utilizar el texto programado en clase 0 pedir a los alumnos quetrabajen con el en su propio domicilio; en este caso, a veces ocurre que alumnospoco motivados 0 debiles de caracter no siguen el curso y se conforman con co-piar las respuestas sin leer el texto; en la prueba final, el resultado sera muy infe-rior al promedio y su negligencia se descubrira claramente.El metodo que nos parece mas adecuado es la utilizacion mixta: al alumno se Ieinvita a llenar el texto alternadamente en clase y en su casa. Para este caso, reco-mendamos el siguiente plan de trabajo:

Primera clase: el maestro presenta y explica el metodo, los alumnos comienzan elcurso program ado y 10 continuan a domicilio hasta el capitulo 3 in-cluso;

Segunda clase: durante el primer cuarto de hora, el maestro interroga a los alum-nos sobre los dos primeros capitulos, provoca las preguntas y respon-de a ellas.Los alumnos empiezan entonces el capitulo 4 y son invitados a pro-seguir en casa hasta el capitulo 5 incluso;

igual desarrollo para los capitulos 6 y 7;

igual desarrollo para los capitulos 8 y 9;el mismo desarrollo para los capitulos 10 y 11, ejercicios 14.5 a 14.8;

prueba escrita durante el primer cuarto de hora. Esta prueba nodebe versar sobre los conocimientos verbales, sino sobre las aptitu-des adquiridas por el alumno; este, al finalizar el cursa, es capazde efectuar ejercicios que se refieran a los objetivos enunciados acontinuacion:

Tercera clase:

Cuarta clase:

Quinta clase:

Sexta clase:

Al terminar el curso, el alumno que ha seguido correctamente las instrucciones debeser capaz, con el 80% de exito, de.:

- Discriminar entre: medida bruta / medida corregida; error sistematico / errorfortuito; magnitudes afectadas de incertidumbre / magnitudes que no 10 estan;falta de observacion / error de medicion; efeetos y causas de errores fortuitos /efectos y causas de errores sistematicos.

Enunciar: bajo que condiciones una serie de mediciones puede ser consideradacomo serie normal:

• Entre que valores esta comprendida una magnitud medida;• Cual es el valor mas representativo del resultado.

Evalua?' la incertidumbre absolutaJ sin cifras inutiles:

• En una serie normal de mediciones cuyos resultados son ligeramente diferentes;• En una serie de mediciones en que todos los resultados son iguales;• A partir del limite superior y a partir del valor promedio;• A partir de los limites del resultado;• A partir de la incertidumbre relativa y del promedio;• En una suma, una diferencia, un producto, una patencia y una raiz.

- Evaluar la incertidumbre relativa en una serie de mediciones, en una suma,una diferencia, un producto, un cociente, una potencia y una raiz.

- Evaluar a partir de una serie normal de mediciones: la incertidumbre absoluta,la incertidumbre relativa, los limites del resultado; y la extension del intervalode confianza.

Transcribir:• EI resultado de una sene de mediciones suprimiendo las cifras inutiles;• EI intervalo de confianza;• Los simbolos de la incertidumbre absoluta, de la incertidumbre relativa, del

promedio y de los limites del resultado.

- Decidir:• Si dos magnitudes son iguales 0 diferentes entre los limites de las incerti-

dumbres;• Cual es la mas precisa de dos medidas de las cuales se conocen las incertidum-

bres relativas.

- Evaluar la incertidumbre absoluta sobre el resultado de una serie de operacio-nes (semiprogramado).

Instrucciones

Si sigue correctamente las instrucciones, APRENDERA. SIN SER

OBLIGADO A ESTUDIAR.

• Este curso esta constituido por' pequeiios parrafos apa-rentemente independientes, llamados CUADROS DE APREN-·

DIZAJE.

• Cada cuadro contiene, en genenlI, por 10 menos unalinea que debe llenar usted. -He aqui una ._(la palabra que hay queescribir es linea).

• No debe mirar la respuesta corretta (situada en la co-lumna de la derecha a la misma altura que la linea)antes de haber dado su respuesta.

• Para evitar ver anticipadamente la respuesta correcta,emplee la tira de cartulina que se adjunta en cada cua-demo. Utilicela como mascarilla, cubriendo completa-mente con ella la columna de la derecha, y haciendoladeslizar progresivamente hacia la parte inferior de lapagina.

• No debe descubrir la respuesta de la columna de la de-recha hasta haber escrito la suya en la linea.

• Si su respuesta es inexacta, RELEA el cuadro y trate devolver a encontrar la respuesta correcta.Cuando la respuesta del texto venga seguida, por ejem-plo, de la mencion "regIa (5) 7", busque primero elresumen (5), lea su regIa 7 y complete el ejemplo sihay alguno.

• No HA~A TRAMPA. Las respuestas se Ie ocurren a uno contanta faci1idad, que es inutil hacer nampa, 10 que re-dundaria finalmente en una perdida de tiempo, puestoque, desde el momenta en que mirase la respuesta, unlector dejaria de aprender, desperdiciaria su esfuerzo an-terior y comprometeria su aprovechamiento.

• No SE SALTE NINGUN CUADRO, excepto si recibe instruc-ciones de hacerlo.

• VELOCIDAD RECOMENDADA: de 50 a 100 cuadros diarios enuna 0 dos sesiones.

• Descanse si se siente fatigado 0 distraido; pero TODO CA-

PiTULO COMENZADO DEBE TERMINARLO EN EL MISMO DiA.

No interrumpa nunca el cursa mas de tres 0 cuatro diasseguidos.

• El signa rn indica los lugares donde puede interrumpirun capitulo muy largo. Al reanudarlo, relea el cuadroque esta seguido por el signa ~ .

Las NUEVE DECIMAS PARTES de 105alumnos que han seguidocorrectamente un buen curso programado aprueban conmencion de MUY BIEN en todo examen que se refiera al con-junto de los puntos estudiados.

Tabla 1: serie normal de medidas de la longitud de una turva,obtenidas con ayuda de unacuerda de cafiamo.

A: medidas en el orden en que fueron obtenidas:128 130 129 131 129 128 131 128 127 130 128 mm.

B: medidas colocadas por orden creciente:127 128 128 128 128 129 129 130 130 131 131 mm.

c: promedio aritmetico de las mediciones: 129 mm.

A B C D E

Medidas corregidas Medidas corregidas Promedio Separaciones Separacionesordenadas absolutas

kmjs kmjs kmjs kmjs kmjs

299793 1'10 299790 -2.5 2.5299795 2'10 299790 -2.5 2.5299792 3'10 299792 -0.5 0.5299794 4'10 299792 -0.5 0.5299792 5'10 299792 299792.5 -0.5 0.5299794 6'10 299793 0.5 0.5299790 7'10 299793 0.5 0.5299790 8'10 299794 1.5 1.5299792 9'10 299794 1.5 1.5299792 lQ'1o 299795 2.5 2.5

TODAS LAS MEDIDAS QUE SIGUEN ESTA.N CORREGIDAS Y SE SUPONEN EXENTAS DE CUALQUIER ERROR

SISTEMA. TICO.

A. Medidas ordenadas (el sfmbolo "mA" significa miliampere).8.19 8.22 8.26 8.27 8.30 8.31 8.32 8.36 8.36 8.36 8.40 8.42 mA.

B. Promedio de las medidas: 8.31 mA.

A. 16.2 16.4 16.1 16.1 16.3 16.2 16.2 16.4 16.1 16.0 16.2 s.B. Promedio aritmetico de las medidas: 16.2 s.

A. 310.2 310.7 310.6 310.3 310.7 310.7 310.6 310.3310.7 310.9 310.5 mg.B. Promedio: 310.6 mg.

A. 852 850 849 853 851 851 853 849 851 853 852 km.B. Promedio: 851.4 km.

A. 10.3 10.2 10.4 10.4 10.1 10.3 10.5 10.3 10.3 10.4 10.1 s.B. Promedio: 10.3 s.

A. 723 727 723 m 725 724 729 723 727 726 725 cm3.

B. Promedio: 725 cm3.

Los erroresde medicion

,. Se dice que la perfecci6n no es de este mundo. Los metodos de mediciones son cada vez masprecisos, pero ello no obsta para que el fisico, cada vez que efectua una medici6n, no pue-da esperar que va a alcanzar la perfecci6n.,Que confianza se podria tener en un fisico que dijera: "Esta Iamina tiene un espesor de2.53 mm"?Contrariamente al hombre de la calle que se equivoca, el fisico sabe que comete errores ydispone de un instrumento que Ie permite fijar limites a su error; dira, por ejemplo: "Elresultado de la medici6n del espesor de esta lamina es 2.53 mm y se puede afirmar, concerteza, que el espesor no es inferior a 2.51 mm ni superior a 2.55 mm."

El instrumento que permite al fisico evaluar la confianza que puede otorgar a sus medi-ciones es el cdlculo de las incertidumbres. Es el que usted va a estudiar y, en el capitulo 1,precisaremos primero 10 que se entiende por medida y magnitud) y despues trataremos dedescubrir la naturaleza y los efectos de los errores que se cometen al efectuar una me-dici6n.

Si sigue La via "reldmpago" ( ~ ) continue con el resumen 1; si sigue Lavia normal) pase alcuadro 1.1.

1.1. Tome una regIa graduada y mida la longitud de la lineasiguiente -------Respuesta: _

1.2. Medir una longitud es atribuirle un numero (26 porejemplo) y una unidad (mm por ejemplo). Se puede mediruna longitud, una duracion, un volumen. Llamaremos mag-nitud a TODO LO QUE SE PUEDE MEDIR: una longitud, una duoracion (0 un tiempo), un volumen ... son otras tantas mag-nitudes.,Podria uno razonablemente atribuir un numero y una uni-dad al amor de Jimena por Rodrigo? Evidentemente que no:el amor no es una magnitud.

SubTaye las magnitudes:

Et peso. . . la belleza .

El esplendor. . . la duracion .

de una mujer.

de un acontecimiento.

1.3. Generalmente se mide una magnitud con ayuda de uninstrumento y en el se lee un numero acompaiiado de unaullidad.Este numero, con su unidad, es la medida bruta de la mag-nitud. ,CmU era la medida bruta de la longitud en el cua-dro l.l? _

to Las partes encuadradas coLocadas bajo Las respuestas debenser leidas s610 por eL lector que ha dado una respuesta talsa() incompleta.

104. Cuando se leen las 9 horas en un reloj que se adelanta,la medida bruta es el numero leido: 9 horas; sin embargo, lahora exacta es distinta y se dice que la medida obtenida ESTA

AFECT ADA DE ERROR.

Alas 4 horas, el profesoT Girasol mira su reloj y dice erronea-mente que son las 5 horas. En este ejemplo, ,emU es la medidabruta? . ,Que puede afirmarse?

1.5. El error cometido con un reloj que se adelanta se debe auna IMPERFECCION DEL INSTRUMENTO, mientras que el errordel profesor Girasol es una FALTA DE OBSERVACION.

Cada uno de 10s errores siguientes A y B pertenecen a una 0a otra de esas dos categorias; precise a emU de ellas.

peso

duracion

Si ha contestado 26, recuerde, deahora en adelante, que la unidadforma parte de la medida.

5 horasQue esta afectada de error.

Si ha contestado 4 horas, relea elcuadro 1.3 y recuerde que la medidahruta es eI Ilumero Icldo en elaparato.

A. Un experimentador novato confunde Ia columna de mer-curio de un termometro con un reflejo del vidrio.

B. Un estudiante mide una Iongitud con una regIa de ma-dera que ha quedado sometida al calor y a Ia humedad.

1.6. Si el profesor Girasol se asombra de que ya sea tan tardey vuelve a consultar su reloj, se dara cuenta de su error. Sici experimentador novato repite su medida, no encontrara e1reflejo en el mismo Iugar y advertira tam bien su error.~Como se podran, pues, evitar las faltas de observacion?

1.7. Cuando se repite varias veces 1a medicion de una mismamagnitud, s~ efecrua una serie de mediciones. '*' Recuerde bienque el termino importante de "serie de medidas" designarasiempre EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS OBTENIDOS AL REPETIR

VARIAS VECES LA MISMA MEDIClON EN IGUALES CONDICIONES.

~En que casos de Ios siguientcs se obtiene "una serie de me-didas", en el sentido que acabamos de definir?

A. Pesar diez objetos diferentes con Ia misma balanza.B. Pesar diez veces el mismo objeto sumergido en el aire, en

el agua, en aceite ...C. Pesar diez veees el mismo objeto con la misma balanza.Respuesta: _

1.8. Cuando se repite varias veces Ia misma medicion se ob·tienen varios numeros aproximadamentt (0 a veces exactamen-te) iguales. He aqui una serie de medidas del espesor de unperno:

10.2 10.3Subraye la medida queatribuir la anomalia?

10.1 12.0 10.2 mm.Ie parezca anormal. ~A que puede,

1.9. Es poco verosimil que el profesor Girasol cometa cincoveces Ia misma falta a1 mirar su re10j cinco veces. Por 10contrario, si usted mira cinco veces la hora en un re10j quese adelanta, sus cinco medidas estaran afectadas del mismoerror. Haga que se correspondan correctamente Ias siguien-tes expresiones:

repitiendo (varias veces)la (misma) medicion

A fS falsa, porque una serie se ob~tiene rcpitiendo la m,isma mcdici6n(el mismo objeto).

B cs falsa. porque las condicionesrlcbcn seT las mismas.

una falta de observaci6no a un error de copia.

A. Una .falta de observacion. 1. Afecta generalmente a to-das las medidas.

B. Un defecto del instru- 2. Afecta generalmente a unamento. sola medida.

A. Puede ser seguida de __ B. Puede ser seguida de --' 2 1

1.10. UN ERRORQUESE REPRODUCEEN EL MISMOSENTIDOENTODASLASMEDICIONESDE UNASERlEse llama ERRORSISTEMA-TICO.

Un reloj que se adelanta hace que se cometa un error siste-matico. Otro caso importante es el error del cero en los ter·mometros: cuando son nuevos, estos instrumentos indican O°Cen el hielo en fusion; pero, despues de cierto tiempo de uso,dan una indicacion ligeramente distinta, por ejemplo, algu-nas fracciones de grado por encima de cero. En tal caso, todaslas indicaciones del termometro seran demasiado elevadas; lasmedidas quedaran afectadas de un error sistematico.Una balanza que marca un gramo en vado, ,provoca erroressistematicos? ,Por que? _

1.11. Si su reIoj se adelanta, encontrara usted un numero de-masiado elevado cada vez que lea la hora en el: sus medidasestaran afectadas de un error por exceso.Escoja las respuestas correctas:En una serie de mediciones, un error sistematicoA. Afecta a una sola medida.B. Afecta a algunas medidas.C. Afecta a todas las medidas.D. Las afecta en el mismo sentido!E. Las afecta unas veces en un sentido y otras en el opuesto.

1.12. Error de paralaje:

La senora de Garda esta senta-da al lado del senor Garda, queconduce un coche; advierte quesu esposo va demasiado rapido,que va a 110 km/h. El senorGarda afirma que, por 10 con-trario, su velocidad es de 100km/h.Cada uno mira varias veces elvelodmetro y, de buena fe,mantiene su opinion.

Fig. 1.aguja (detras de la graduaci6n)

90 100 110 120 130

SfEn cada pesada, indicara

un g de mas.

A Y B SQn falsas porque, ",or den-nici6n, un error sistematico afecta atodas las medidas,

E es"'falsa porque un error sistema-tico se repite en igual sentido entodas las mediciones.

Explicacion: la sefiora de Garda comete un error de lecturaporque ve la graduacion oblicuamente cuando esta se ha di-sefiado para ser leida de frente. Escoja las tres respuestas con-venientes:Su error A. Afecta a una sola medida de su serie;

B. Afecta a todas las medidas de su serie;C. Las afecta en el mismo sentido;D. Las afecta unas veces en un sentido y otras en

el opuesto;E. Es un error sistematico;

•. F. No es un error sistematico.

Nota. Si la aguja se encontrase delante de la graduaci6ln. como ocurre confrecuencia. la senora de Garda leeria un numero inferior.

Un termometro se gradua suponiendoque sera sumergido enteramente en unmedio cuya temperatura se mide. Enquimica, una buena parte del termo-metro se halla general mente fuera delaparato; si e1 medio exterior esta masfrio, esta parte del termometro estaramas fria y todas las mediciones queda-f<in afectadas de un error por defecto.El error de la columna emergente es unerror _

tcolumna

emergente

+

1.14. ,Cree usted que pueden evitarse los errores sistematicos?Cite un ejemplo: _

1.15. Si usted sabe que su reloj se adelanta 2 minutos, Iebastara restar 2 minutos de cada lectura: obtendni entoncesla medida corregida. Asi pues, cuando lea 9 hr 15 I?-in, sabraque en realidad son las 9 hr 13 min. En este ejemplo, la me-dida bruta es y la medida corregida es

1.16. UNA MEDIDA CORREGIDA ES UNA DE LA CUAL SE HAN EUMI-

NADO LOS ERRORES SISTEMATICOS.

SfError de paralaje: basta co-locarse bien enfrente de laaguja.Reloj que se adelanta: sepuede mandar arreglar.

9 hr 15 min9 hr 13 min

COil frecuencia, el adjetivo corregida se sobrentiende y sedice simplemente medida.La frase: la medida de la presion atmosferica es de 1 004 mili-bars*' significa que:I 004 milibars A. Es la medida bruta.

B. Es la medida corregida.C. Esta desprovista de error sistematico.D. Esta afectada de error sistematico.

Escoja las respuestas correctas: _

1.17. Un reloj, aun de excelente calidad, se adelanta 0 se re-trasa algunos segundos al meso Un metro se alarga 0 se con·trae bajo diferencias de temperatura; una balanza de carni-cero no reacciona cuando se coloca en ella un miligramo, yuna balanza de farmaceutico no se desvia cuando se Ie afiadeuna centesima de miligramo.,Puede citar un instrumento perfecto? _

1.18. Para medir una longitud de aproximadamente tres me·tros con un doble-metro) hay que medir primero 2 metros y,despues, volver a colocar el instrumento.En la segunda colocacion, no es posible evitar un error de al-gunas decimas de milimetro cuando menos: no solamente Losinstrumentos son imperfect os) sino que Los metodos de medi-cion tam bien lo son. El observador tampoco es perfecto:por ejemplo, para medir directamente la duracion de la caidade un cuerpo, con ayuda de un cronometro, un observadordeberia poner en marcha y parar el instrumento menos de1/100 de segundo antes 0 despues que el cuerpo empezara acaer 0 que llegara al suelo. Un hombre es incapaz de tal ha-zafia porque la duracion de sus reflejos es superior a tal cen-tesima.Cite tres causas de

.imperfeccion de una medicion:

2. _1. _

3.

1.19. Se Haman ERRORES FORTUITOS, LOS ERRORES DEBIDOS A LA

IMPERFECCION del instrumento empleado, del metodo 0 delobservador.La ligera diferencia entre el momenta de Hegada de un na·dador y el instante en que el juez maniobra el cronometro esun error fortuito; la pequefia cantidad (en mas 0 en menos)en que la balanza del camicero no es bastante sensible para re-velar es tambien un error fortuito.

• Milibar es la milcsima parte del bar, que a su vez es una unidad de pre-si6n atmosfel'ica. que equivale a un mill6n de dinas pOl' cm2. El milibarequivale a 3/4 del milimetro de mercurio. (N. del T.)

Explicacion: medida se sobrcnlien-de cMregida, es decir. dcsprovisla deerror sistematico.

NoNo existe

el instrumento el metodoel observador

Indique, para cada uno de los siguientes errores, si se trata deun error fortuito (F), de un error sistematico (S) 0 de unafalta de observaci6n (0):Pequefias irregularidades de un reloj, _Confusion entre la aguja de las horas y la de los minutos,

1.20. A. El carnicero no puede evitar que su balanza perm a-nezca inerte cuando se Ie afiade un miligramo; si la sustituyepor una balanza de farmaceutico, no podra impedir que seainsensible a una sobrecarga de 1/100 de miligramo. Se pue-den reducir los errores fortuitos, pero NO SE PUEDEN EVITAR.

B. Si se sabe que un reloj se adelanta 5 minutos, se puede co-rregir el error sistematico que de ello resulta. Por 10 contra-rio, no se conocen los valores de los errores fonuitos debidosalas pequefias irregularidades de funcionamiento; POR TANTO,

NO SE PUEDli;N CORREGIR.

Haga corresponder correctamente:A. Los errores fortuitos. 1. Pueden evitarse.B. Los errores sistematicos. 2. Pueden corregirse.

3. Son inevitables.4. No se pueden corregir.

1.21. Tome una cuerda delgada 0 bramante fino y una regIagraduada. Con ayuda de estos "instrumentos", trate de medir,con precision de medio milimetro, la longitud de la siguientecurva:

Efectue cinco mediciones, sin extrafiarse de encontrar cadavez una respuesta ligeramente distinta de las demas.Eseriba su serie de resultados:

Si ha contestado:AI relea eJ cuadro 1.20A,A2 reJea el cuadro 1.208,83 relea el cuadro 1.14.84 relea el cuadro I. I5.

________ mm mm mm lNo hay respuesta tipo.lSi sus mediciones han sido bien hechas,_______ mm mm. ehen estar comprendidas entre 12·1 mmy 128 mm; pero no todas seran iguales.

1.22. Acaba de obtener una serie de medidas. <Por que estasmedidas son ligeramente distintas?Trate de dar una respuesta tan precisa como sea posible: A causa de los errores

fortuitos

Si no sabe que contestarJ piense que sus medidas han sidoafectadas de errores y preguntese si estos tienen siempre e1mismo valor; relea la pregunta y trate de contestarla.

1.23. Cuando midio la longitud de la curva, cometio erroresfortuitos: en ciertos lugares coloco la cuerda un poco al inte- ,riar de la curva (error por defecto), mientras que en otrossitios la coloco algo al exterior (error por exceso) .En una serie de medidas, los errores fortuitos

A. Afectan a todas las medidas.B. Afectan a una sola medida.C. Tienen todos el mismo sentido.D. Tan pronto tienen un sentido como el otro.

Escoja las respuestas correctas: _

1.24. Atribuya una 0 dos de las expresiones siguientes a losejemplos que se proponen mas abajo:A. Afectan a todas las medidas de una serie.B. Afectan a una medida solamente.C. En el mismo sentido.D. En sentidos diferentes.

Ejemplo 1: errores del cero de un termometro (errores siste-maticos): _

Ejemplo 2: errores de apreciaclOn del momento preciso enque un objeto cae y toca el suelo (errores fortuitos):

1.25. Cuando se han eliminado 0 corregido los errores siste-maticos y las faltas de observacion de una medicion, se diceque esta medicion ha sido bien hecha.~Cual de las siguientes mediciones del punto de ebulliciondel alcohol esta bien hecha?A. Se sumerge el termometro en el alcohol y se lee la indi-cacion en el momenta en que el liquido hierve.B. Se colocan el alcohol y el termometro en un balon (reci-piente de vidrio de forma esferica) para que el instrumentoquede enteramente sumergido en el vapor (se evita asi el errorde la columna emergente), se calienta suavemente a bano deMaria y cuando el liquido hierve, se observa el nivel del mer-curio colocandose el observador de frente para evitar el errorde paralaje. Al terminar la operacion, se coloca el termometroen hielo en fusion, para determinar el error del cero que sededuce de la indicacion del termometro.

:bA/B

, La respuesta a cau.~a de Los ~rrOTesno es bastante predsa. _g

La respuesta a cmua de IDS eTTOrtjsislematicos es (aha pol'que un errorsistematico conducirla a medidas fal·sas, pero iguaJes todas.

B es falsa: una falta de observacionafecta llnicamente a una sola me-dida.

C e, falsa: si un error afecta a to-da, las medidas en e) mismo sentido,se trata de un error sistematico.

1.26. UNA MEDICIONPRECISAES UNAMEDICIONBIEN HECHAENQUE LOS ERRORESFORTUlTOSHAN SIDOREDUCIDOSTANTOCOMOES POSIBLE.Por ejemplo, una pesada efectuada con una balanza con £ric-ciones muy reducidas y colocada al abrigo de las corrientesde aire es una medicion precisa si la balanza marcaba cerocon los platillos vados. Para obtener una medida precisa detemperatura, es necesario un termometro sensible; pero tam-bien hay que corregir el error del cero.Se mide la temperatura de ebullicion de la acetona con untermometro con precision de una centesima de grado, se co-rrige el error del cero y no se tiene en cuenta el error de lacolumna emergente.

,El instrumento es preciso? _,La medicion ha sido bien hecha? _,La medicion ha sido precisa? ,,'

1.27. Se pueden efectuar pesadas muy precisas reduciendo 10mas posible las fricciones en las balanzas; pero es imposibleeliminarlas completamente. Se pueden reemplazar los crono-metradores por dispositivos eIectricos: el error, en vez de serde 1/10 de segundo, sera de 1/100 0 de 1/1 000, pero nuncasera nulo. En -ningun caso es posible eliminar completamentelos errores fortuitos; tam poco es posible corregirlos porque seignora su valor exacto.

Escoja las respuestas correctas:

A. Es imposible conocer el valor ex acto de una magnitudmedida.

B. Una medida es un numero exacto.C. Una medida es un numero afectado de incertidumbre.

1.28. Por tanto, las medidas estan generalmente afectadas deincertidumbre. Asi, cuar.J.do se determina con el maximo deprecision la velocidad de la luz, se halla 299792.5 km/s, perono se esta seguro de que la lHtima cifra sea exact a a causade los ~

1.29.-' Sin embargo, existe un tipo particular de medicionesque no son afectadas por errores fortuitos: si usted cuentacuatro monedas de un peso sin equivocarse, el numero obte-nido no esta afectado de error.La acci6n de contar se llama enllmeraci6n, y una ENUMERACIONNO ESTA.AFECTADADE INCERTIDUMBRE.Ponga una X en las casillas de las magnitudes que no estanafectadas de incertidumbre:

SiNo

NoUna medicion no es precisa si no haido bien efectuada.

errores de medida es bueno tambien;pero Ie falta precision.

La medidil de una temperaturaEI numero de alumnos de una claseEI numero de monedas y de billetes que se hall anen sus bolsillosLa suma de dinero que tiene en su carteraLa medida de la presion atmosferica.

1.30. UN NUMERO FIJADO ARBITRARIAMENTE NO ESTA TAMPOCO

AFECTADO DE INCERTIDUMBRE: el precio de un boleto del cine-matografo, el numero de segundos de una hora, no estan afec-tados de incertidumbre.La presion atmosferica (A) es una magnitud que se mide conayuda de un barometro, mientras que la presion atmostericanormal (N) es una presion fijada arbitrariamente en 760 mmde mercurio.Ponga una X en la respuesta correcta: A est:\. afettadade incertidumbre, Nesta afectada de incertidumbre,___ A y N estan afectados de incertidumbre.

1.31. En la lista siguiente, ponga una X en las magnitudesque estan afectadas de incertidumbre:La duracion de la caida de un cuerpo 00El numero de lados de un cuadrado 0La temperatura de ebullicion del alcohol ~EI precio de un coche 0La velocidad de un coche []EI numero de ruedas de un coche. 0

o~

fiJlElIZlI8lDO

enumeracionenumeracion

lEJooIltplicad6n: N es un numero fijluioaIbitIariamente.

I8lol2Jo[&Jo

Seriesde mediciones

7 2.1. LEA EL RESUMEN I; COMPLETE LOS EJEMPLOS.

Pase despues al cuadro siguiente.No hay respuesta.

'7 2.2. Los cuadros siguientes llevan la menClOn TEST. Tota-lice las faltas que cometa en ellos, y en cada error consulte laregIa indicada bajo la respuesta correcta en la columna deladerecha. La mencion (3)2 significa que debe revisal' el resu-men y leer el enunciado y los ejemplos de la regIa

7 2.3. lTEST! Se mide la duracion de la caida de una piedraal fondo de un abismo y se leen 4.3 segundos en un crono-metro que se adelanta 0.1 segundo pOl' minuto.

A. ~Cual es la medida bruta? _B. ~EI error debido al cronometro que se adelanta es for-

tuito 0 sistematico? _C. ~Se trata de un error pOl' exceso 0 pOl' defecto?

D. ~Se puede corregir este error? _E. ~Fue afectada la medicion pOl' otros errores? _F. ~Se pueden corregir todos los demas errores? _G. ~C6mo se llaman los errores que no se pueden evaluar y

que se deben a la imperfeccion de los instrumentos 0 alos observadores? '

7 2.4. lTEST! Se repite diez veces la medicion de la duracionde la caida de la piedra al fondo del abismo.

A. ~Afecta el error sistematico (adelanto del cronometro) atodas las medidas? ,

A. 4.3 segundos(I )2

B. sistematico(1)9 B

C. POl' exceso(1)4.

D.' Si(1)14.

E. Si(I) 13.

F. No(I )14.

G. Enores fortuitos(1)11.

B. ,Tiene el error sistematico el mlsmo sentido en todas lasmedicibnes? _

C. ,Afectan los errores fortuitos a todas las mediciones?

D. ,Las afectan en el mismo sentido? _E. ,Son los resultados de las mediciones rigurosamente igua-

les entre si? _F. ,Se llega a determinar la duraci6n de la caida exactamen-

te, sin la menor incertidumbre? _

~ 2.5. jTEST! Las enumeraciones y los valores fijados arbitra-riamente afectados pOl' errores, mientras que

son/no sonlas mediciones afectadas pOI' errores.

~ 2.6. jTEST! En la lista siguiente, ponga una X en los cua·dros que se refieren a las magnitudes que son afectadas deincertidumbre:

- El numero de lados de un hexagono- La altura de la torre Eiffel- La superficie de Mexico- El precio de un boleto de ferrocarril- La masa de un atomo de carbono fijada

arbitrariamente en 12 unidades- La temperatura de ebullici6n de la acetona.

~ 2.7. Halle el total de sus errores en los tests precedentes.

6 errores 0 mas: el test quiza Ie sorprendi6 0 usted no se adap-t6 bien al metodo. Ahora que ya Ie es familiar, repase elcapitulo 1, cuadro pOI'cuadro, diciendose que para saltar bien,a veces hay que retroceder.4 0 5 errores: esta bien, pero para seguir con exito el curso,debe releer el resumen 1, rehaciendo los ejemplos.Si sigue la via relampago) repase el capitulo 1 enteramente.1 0 3 errores: jesta muy bien!o errores: usted asimi16 excepcionalmente bien la matetia.jContinue asH

Usted ha visto que la medici6n de una magnitud esta afectadade errores que pueden ser eliminados, evaluados y corregidos(faltas de observaci6n, errores sistematicos); pero tambien estaafectada de errores imposibles de evitar 0 de determinal' (erro-res fortuitos.) A causa de estos ultimos, las medidas quedanafectadas de incertidumbre y cuando 'Se repite varias veces lamisma medici6n, se pueden obtener numeros ligeramente dis-tintos. ,Entre que limites esta la magnitud comprendida con

B. Sf(1)9 c.

C. Si(1)13 A.

D. No(1)13 B.

Eo No(I) 13.

F. No(I) 19.

no son(1)23.

son(1)20.

certeza?, ,cmil es la diferencia entre estos limites y cmil elpromedio de las medidas?Vamos a tratar de contestar a estas preguntas en el capitulo 3.Si sigue la via reldmpago '7 ,pase al resumen 2, si no,continue con el cuadro 2.8, que sigue inmediatamente.

2.8. Llamaremos valor a TODO NUMERO QUE SE ATRIBUYA A

UNA MAGNITUD.

Se puede estimar en 300 m la longitud del navio France; estenumero es un valor atribuido a la longitud de tal buque.A. El valor del pie ingles ha sido fijado arbitrariamente en

0.3048 m.B. La medici6n experimental de la velocidad del sonido en

el aire seco y a 0° C proporciona el valor: 331 m/s.

Ponga una X en el cuadro que contenga la respuesta correcta:

A. Es un valor afectado de incertidumbre 0I

B. Es un valor afectado de incertidumbre. (iJ

2.9. A causa de los errores fortuitos, toda medida esta alec-tada de incertidumbre; por tanto, no es posible conocer elvalor exacto de una magnitud.Hay, pues, que conformarse con NUMEROS OBTENIDOS EFECTUAN-

DO MEDICIONES BIEN HECHAS.

Estos numeros se Haman VALORES POSIBLES de la magnitud.Por ejemplo, una serie de resultados de mediciones bien he-chas de la temperatura de ebullici6n del alcohol da:

78.478.5

78.378.4

78.5 78.578.4") 78.6

78.478.5

78.678.4 ce.

Cada uno de estos numeros es un valor posible de la tempe-ratura de ebullici6n del alcohol. C6mo se podria hallar unvalor posible suplementario? Efectuando una medici6n

mas

2.10. ,Un valor posible de una magnitud:• esta afectado de incertidumbre? _• esta afectado de errores sistematicos? _• esta afectado de errores fortuitos? _

2.11. Si millones de ge6grafos midieran uno tras otro la lon-gitud del rio Nilo, obtendrian un gran numero de valoresposibles de esta longitud.Se podria imaginar que se repite esta medici6n un numero Hi-mitado de veces: la operaci6n se Hamada serie ilimitada demediciones.

Si U

No·Si U

• Un ,'alor posible se obtiene COiluna medicion bien hecha (ningullerror sistematico. sino errores for-luitos).

•• Un lalor posible se obliene conuna medkion y toda medicion (ex-cepto las cnurneraciolles) e5la afec-tada de errores fortuitos y, por con-siguiente, de incrftidumbrc.

Existen juegos (como la "petanque" en Francia) en 10s cualesgana el jugador que deja su bola mas pr6xima que la de suscontrincantes a otra mas chica, que hace de meta.Si varios de estos jugadores no se pusieran de acuerdo sobrequien ganaba, podrian efectuar una _de mediciones. Cada numero obtenido seria un valor posible:el conjunto de 10s numeros obtenidos en una serie ilimitadade mediciones es el conjunto de 10s dela magnitud medida.

2.12. ,Que es el conjunto de 10s valores posibles de una mag-nitud?

2.13. Supongamos que se efectt'la una serie ilimitada de me-diciones de la 10ngitud de un rio y que se encuentra una seriede numeros comprendidos entre 123 km y 127 km, ambosincluso. El conjunto de valores posibles esta formado con estosdos numeros y con todos 10s numeros intermedios.

Cite cuatro valores posibles:

2.14. Llamaremos LlMITES DE LOS VALORES POSIBLES al menory al mayor de 10s valores posibles.Asi, en el ejemplo precedente 10svalores posibles estaban com-prendidos entre 123 km y 127 km, ambos incluso.El limite inferior de 10s valores posibles era: _El limite superior de 10s valores posibles era: __ < '

2.15. Una serie ilimitada de mediciones bien hechas ha dadolos resultados siguientes:

131 mmlimitesuperior

Para obtener el limite 127, hay que restar al prome-dio. Para obtener el limite 131, hay que _al promedio.

127limiteinferior

129promedio

2.16. Serie ilimitada de mediciones desprovistas de erroressistematicos.

Limite superior61.8 s

O.3--l61.2 61.5

Lseparaci6n O.3.-J Lseparaci6n

Es el conjunto de 10s nu-meros obtenidos al efectuaruna serie ilimitada de me·diciones (bien hedIas) de lamagnitud.

Sl1 respuesta es correct a si los cuatro ni.eros estan comprendidos entre 123 k

• 127 km, ambos induso.

123 km127 km

2afiadir 2

El limite inferior y el limite superior estin separados del pro-medio en una cantidad _

2.17. En una serie ilimitada de mediciones, el numero quehay que afiadir 0 restar al promedio para obtener los limitesse llama incertidumbre absoluta.

127 128 129 130 131 mmlimite promedio limiteinferior IL superiorL__-2 ----l +2 I mm

2.18. Supongamos que una serie ilimitada de mediciones bienhechas de la velocidad del sonido en aire seco a 0° da, en

--cada caso, uno de los numeros siguientes como medida:

promedio331.2 331.3 331.4 331.5 331.6 331.7 mj&

El-_1I_m-_tEl valor promedio es m/s.Los dos limites son m/s y m/s.La incertidumbre absoluta vale m/s.

2.19. El numero que hay que sumar 0 restar al promedio deuna serie ilimitada de mediciones para obtener los limitesde 10s valores posibles se llama _

2.20. Si, en una serie ilimitada de mediciones, los limites son2.43' y 2.47 mm, esto significa que la longitud medida estacomprendida con seguridad entre mm y mm.

2.22. Serie ilimitada de mediciones.Promedio: 25.4 m/s.Incertidumbre absoluta: 0.3 m/s.El conjunto de los valores posibles de la magnitud esta com-prendido entre m/s y m/s incluso.

331.4331.1 331.7

0.3

incertidumbreabsoluta

Es el numero que hay quesumar a restar al promedio(de una serie ilimitada demediciones) para obtenerlos limites de los valoresposibles.

2.23. Para encontrar los limites entre los cuales esta segura-mente comprendida la magnitud que se mide, habria que efec-tuar una serie ilimitada de mediciones bien hechas. Practica-mente, esto no es realizable, pero el calculo estadistico hamostrado que una serie de 10 a 20 mediciones bien hechasproporciona una buena estimacion de los limites de los valo-res posibles y de la incertidumbre absoluta.Llamaremos SERlENORMALDE MEDICIONESA UNASERlEDE PORLO MENOSDIEZMEDICIONESEXENTASDE ERRORSISTEM4TICO.Indique en cual(es) caso(s) se trata de una serie nQrmal demedidones:__ Serie de 15 mediciones de la temperatura de fusion dela naftalina con un termometro al que no se Ie ha verificadoel cero.__ Serie de 3 mediciones de la velocidad de la luz segunun metodo que excluye los err ores sistematicos.__ Serie de 20 mediciones de la duracion de la oscilaci6nde un pendulo con un cronometro que no se adelanta ni seretrasa.

2.24. Dos condiciones deben cumplirse para que una seriede mediciones sea normal:1.

2.

2.25. Si no se comete error sistematico alguno cuando se mideuna magnitud, el valor que se obtiene es un valor posiblede la magnitud. ,Que puede dedI' de los numeros obtenidosal efectuar una serie normal de mediciones? _

2.26. Los numeros obtenidos al efectuar una serie normal demediciones de una magnitud se llaman MEDIDASde la mag-nitud.Midiendo 10 veces la temperatura de ebulliciOI:l de un liquido,se determina despues de la correccion de los errores siste-maticos:

63.463.7

63.563.4

63.463.6

63.663.1

63.563.2 DC.

Cada uno de estos numeros se llama, pues, _de la magnitud (temperatura de ebullici6n del liquido) .

2.27. En el ejemplo precedente, la mayor medida hallada fue63.7 °C; pero nada permite afirmar que si se efectuaran otras

o En una serie normal. las me-iciones deben eSiar exentas de erroristematico.

o Se necesitan 10 mediciones poo menos.

Se necesitan pOl' 10 menos10 mediciones.

ebe estar exenta de erroristematico.

on valores posibles de lamagnitud,IlOrque se obtienen con mediciones des-provistas de error sistematico.

mediciones bien hechas, no se encontraria para una de ellas63.8 °e.,Es necesariamente la medida mayor de una sene normal elmayor valor posible de la magnitud? _

2.28. En una serie ilimitada de mediciones, la mayor y lamenor son los limites de los valores posibles. ,Ocurre 10 mis-mo en una serie normal de mediciones? . ,Por que?

2.29. Sin embargo, si se mide una 0 dos decenas de veces lalongitud de la curva del capitulo 1 sin cometer ningun errorsistematico, se determina una serie de resultados que estantodos comprendidos entre 127 mm y 131 mm.,Hay muchas probabilidades de que una medici6n suplemen-taria de una medida inferior a 127 mm 0 superior a 131 mm?

2.30. En una serie normal de mediciones, es posible que unamedici6n suplementaria de un valor inferior a la menor delas medidas 0 superior a la mayor; pero es pro-bable. poco/bastante/muy

2.31. Recorte las paginas 15 y 16 siguiendo el punte,ado y con-servelas cuidadosamente; las necesitara hasta que acabe estecurso. Examine, de la tabla I, el cuadro A, que contiene losresultados obtenidos repitiendo II veces la medici6n de lalongitud de una linea curva semejante a la del capitulo 1.,Puede usted afirmar con certeza que 128 mm, por ejemplo, esel resultado que representa la_medida exacta? _

2.32. Ninguna de las mediciones de una serie normal repre-senta con seguridad el valor exacto de la magnitud porqueesta no puede conocerse a causa de los

2.33. Observe la tabla 1, cuadro B.Si entre los resultados, usted debiese escoger uno solo pararepresentar a la medida, ,cual escogeria de preferencia:127, 129 0 131 mm? _

131 mm

medidasuperior

medidainferior

NoUna medici6n stlplementa-ria podria dar un valormayor 0 .:tnenor.

1:'\0 e5 impo5iblc; pcro dcspues de dielmedkiones, es poco probable que lasiguiente sea mayor 0 menor que roda.as demas.

Si contestara 51, 10 mismo pod riadeeir de 130 rom. Pcro 13 longi!U9no puedc wetir a la veZ J 28 Y 130rom.

Si no pudo (Ontesrar () si rcspondi61270 131, no se inquiete;los cuadrossiguicotes Ie. expliearfm Ja sele{'d6"que baY que hacer.

De 1as tres medidas que Ie fueron propuestas para represen-tar el resultado, habia que escoger el _

2.35. Vamos a tratar de comprender 10 que conduce a esco-ger el promedio para representar el resultado de una seriede mediciones.

\\,"

fuera

Si usted ajusta una cuerda delgada sobre una linea curva, nopodra conseguirlo de una manera perfecta y se desbordara aveces un poco por el exterior de la curva: usted cometeraasi un error por . En otros 1ugares se

excesojdefectodesbordara un poco por el interior de la curva y cometera unerror por " En el extremo de 1a curva,podd sobrepasar ligeramente su trazo y cometer asi un errorpor 0, por 10 contrario, co1ocar 1a cner-da sin llegar al extremo exacto del trazo; en este caso come-ted un error por _cTienen los errores por defecto mas, menos 0 1as mismas pro-babilidades de producirse que los errores por exceso?

2.36. En la mayoria de los casos, los errores fortuitos por de-fecto tienen tantas probabilidades de producirse como loscrrores fortuitos por exceso.Ademas, en la mayoria de los casos, no hay razon para quelos errores por defecto sean mayores 0 menores que los erro-res por exceso.Por consiguiente, en la mayoria de los casos, los errores for-tuitos por defecto y los err ores fortuitos por exceso tienden a

2.37. Si los errores fortuitos por defecto y los errores fortui-tos por exceso tienden a equilibrarse, el valor exacto lmscadoen una serie de mediciones tiene mas probabilidades de que-dar proximo:

a la medida mayor,al promedio aritmetico,a la medida menor.

excesocl camino es mas largo, la longilud ob-tcnida es, pues, demasiado grande.

compensarse, destruirse,equilibrarse, igualarse,

valer igual.

no, porquc en este caso IDS erro-res por defeclo hubiesen sido masimportantes.

no, plies en cste caso 10s crrorcspor exceso hubiesen sido mas im-portante •.

2.38. Cuando los errores fortuitos tienden a .compensarse, e1promedio de las medidas de una serie normal

es el valor exacto de la magnitud,

esta proximo al valor exacto,

tiene muchas probabilidades de estar proximo al valorexacto.

2.39. Si se lanza cuatro veces al aire una moneda, no es deltodo improbable que se obtengan 3 caras y una cruz (rela-cion 3 a 1). Por 10 contrario, si se lanza 100 veces, es muchomas improbable que se obtengan 75 caras y 25 cruces (mismarelacion) .Escoja las respuestas exactas:__ Cuanto mayor sea la serie, mas se diferencia el numerode caras del de cruces.__ Cuanto mayor sea la serie, mas probabilidades hay deque las caras compensen aproximadamente las cruces.__ Cuanto mayor sea una serie de medidas, mas probabi-lidades hay de que los errores por defeeto compensen los erro-res por exceso.

2.40. En una serie de medidas, el valor que tiene mas pro-babilidades de estar proximo a la magnitud medida es el

Para que esto ocurra, es necesario que las mediciones estendesprovistas de error , que sehayan realizado en gran y que los erro-res fortuitos tiendan a

2.41. RECORDATORIO: Para calcular el promedio aritme-tico de una serie de medidas, hay que:- Sumar todas las medidas;-- dividir la sum a entre el m'tmero de medidas.

Ejemplo: Calculo del promedio aritmetico de las cinco medi-das siguientes:

suma de las medidasnumero de medidas24.5 + 24.2 + 24.3 +

no, porque no se esta segura deque 108 errores se bayan com·pensado.

sistematiconumero

compensarse

121.75

2.42. Calcule el promedio aritmetico de las medidas S1-

guientes:

suma de las medidasnumero de medidas

2.43. Lea la regIa (2)1l, complete el ejemplo que Ia acom-pafia y efectue despues el ejercicio siguiente:Calcule, mediante el procedimiento que juzgue mas camodo,el promedio de las medidas siguientes:

302301

304305

303 304302 304

304303 mm

2.44. Calcule el promedio aritmetico de las medidas S1-

guientes:

2.45. Calcule, como qUlera, el promedio de Ias medidas S1-

guientes:

52.352.5

52.152.2

52.252.4

52.252.4

52.352.6 m

2.46. En el ejemplo precedente, Ias medidas eran 52.1,52.252.6 myel promedio 52.32 m.Las medidas no tienen mas que una cifra decimal, mientrasque el promedio tiene 2.C:IH"~ Generalmente no es uti! queel promedio sea mas preciso que las medidas; asi pues, vamosa redondearlo suprimiendo Ia cifra decimal sobrante, 10 queda

Medidas: 304 304 303 302 ...Promedio: 303.2Promedio redondeado: _

103610

2.48. Hay que redondear el promedio al mismo orden quetenga La ultima cifra significativa de las medidas.

Medidas:Promedio:

1.241.25234

EI orden de la ultima cifra significativa de las medidas es elde las ; el promedio debera ser redondeadoal orden de las 10 que da l. 1. .I •

2.49. El promedio debe ser redondeado optimamente (es de-cir, por defecto si la primera cifra significativa suprimida esinferior a 5, 0 por exceso si es igual 0 superior a 5).

Medidas: 42.32 ... 564.... 2.15 ...Promedios: 42.3084 562.75 2.1653Promedios redondeados:

Medidas Promedios Promedios redondeados

624 627 ... °C 625.24 ° C 625 ° C216 215 .. . mm 217.21 mm --- mm .41.85 41.81 .. . s 41.8372 s --- s.

Si ha cometido mas de tres errores en los cuadros de test(principio del capitulo), lea el resumen 2, sin completar losejemplos.

centesimascentesimas 1.25

21741.84

Incertidumbre absolutay resultado

de una serie normalde mediciones

Atribuya correctamente dos de las proposiciones que siguen:

A. Afectan a todas las mediciones de una serie;

B. Se producen en el mismo sentido;

C. Se producen a veces en un sentido, a veces en el otro;a cada uno de los terminos siguientes:

An ACReglas: 0)7 a 0)13.

3.2. REVISI6N.Atribuya correctamente uno de los terminos siguientes: faItade observacion, error sistematico, error fortuito:

C. Mala apreciacion del extrema superior del mercurio enun termometro.

faIta de observacionReglas~0)7 a (1)13.

'7 3.3. Los cuadros que siguen llevan la mencion TEST.Totalice Ios errores que cometa en eHos y, a cada error, con-suIte la regIa indicada bajo la respuesta correcta. La mencion .(3)2 significa que debe usted consultar el resumen yleer el enunciado y los ejemplos de la regIa _

". 3.5. jTESTI Todos los valores que se podrian obtener efec-tuando una serie ilimitada de mediciones bien hechas de unamagnitud, forman el conjunto de los _' _de la magnitud medida.El menor valor que se obtendria en una sene ilimitada demediciones bien hechas, se llama _de los valores posibles, mientras que el mayor se llama

'1 3.6. iTEST! ,Que es la incertidumbre absoluta en una serieilimitada de mediciones?

Si no sabe que contestar) pase al cuadro 3.7 sin mirar la respues-ta exacta y despues regrese al cuadro 3.6; si todavia no acierta,cuentese un error y mire la respuesta.

'13.7. jTEST! Millones de observadores que miden una dura-cion con un cronometro exacto, obtienen alguno de los resul-tados siguientes:

Los limites de los valores posibles son y ,La incertidumbre absoluta vale:

". 3.8. jTEST! Valor promedio de una serie ilimitada de me·diciones: 427 mg. Incertidumbre absoluta: 2 mg. La magni-tud est;\.con seguridad comprendida entre y _que son, por tanto, los de los valores po-sibles.

'13.9. JTEST! Para que una serie de mediciones sea una senenormal, precisa de dos condiciones:

p-------------------------

'13.10. Si despues de haber efectuado una serie normal de me-diciones se efectua otra medicion suplementaria, ,es posible

Un nllmero que se puedeobtener al efectuar unamedicion bien hecha de lamagnitud.

() un valor que se puede obtener ...RegIa (2)5.

Es el numero que es pre-ciso sumar 0 restar al pro-

, medio para obtener 105 Ii-mites de los valores posi-bles.

24.3 s 24.7 s0.2 s

425 429regIa (2)11limitesregIa (2)7

P las mediciones deben sernumerosaso debc contener por 10 menos 10 me·diciones, D toda respucsta cqui\'3Iente.

2~ las mediciones deben es-tar exentas de error siste-

chico

que sehalle un numero inferior a la medida menor 0 superiora la mayor? _,Es probable?

~ 3.11. ,Puede usted designar, en una serie de mediciones, elvalor exacto de la magnitud? _' .,Por que?

~ 3.12. Si los errores fortuitos de una serie normal de medi-ciones se deben verdaderamente al azar, ,que se puede decirde los errores por defecto y de los errores por exceso? Tien·den a _,Cual es el numero que mejor representa el resultado de lamedicion? _,Es el valor exacto? _

,. 3.13. jTEST!

He aqui una serie de medidas:

36.436.4

36.336.6 mm

36.436.2

36.636.4

36.536.2

Caleule su promedio aritmetico: . _Redondee correctamente este promedio: _

,. 3.14. Totalice sus faltas en los cuadros de test.Si ha cometido:7 errores 0 mas: es preferible reiniciar el capitulo 2 leyendotodos los cuadros.4 a 6 errores: esta bien; pero para hacerlo mejor todavia:• Relea el resumen 2 y los ejemplos si sigue la via normal.• Reinicie el capitulo 2 por via normal si usted sigue la viareldmpago.3 errores 0 menos: esta muy bien, siga as!.Para hallar el valor de la incertidumbre absoluta en la me-dida de una magnitud haria falta, en principio, realizar unaserie ilimitada de mediciones y determinar el promedio de lasmedidas. La separacion 0 desviacion entre este promedio y lamedida menor hallada debe ser igual a la separacion entrela medida mayor y dicho promedio: representa la incertidum-bre absoluta. Sin embargo, hemos visto en el capitulo prece-dente, que una serie normal de medidas representaba aproxi-madamente el conjunto de valores posibles; en este capituloveri como, estudiando las desviaciones entre el promedio ycada medida, se puede estimar la incertidumbre absoluta; vera

SiNo

RegIa (2) 15

NoRegIa (2)li

Porque es imposible medirexactamente una magnitud.o a causa de 10s errores fortuitos, {) por·que loda. la. medicione. e.lan afecladasde enorcs.

el promedio (aritmetico)No

(porqne la compensaci6n de Ius erroresno c. perfeela, sino que se debe alalar) .

36.41 mmRegia (2)2136.4 mmRegIa (2)20

tam bien algunas propiedades de este nllmero, y finalmenteaprendera a expresar el resultado de una medici6n indieandoentre que limites puede uno eonfiar en el.

Si sigue la via reldmpago) pase al resumen 3) St no es asi)siga con el cuadro 3.15.

3.15. En una serie normal de medidas, se llama separacion 0

desviaci6n de una medida el resultado de restar esta medidadel promedio aritmetieo. He aqui dos medidas extraidas deuna serie normal: ... 38.8 s 38.7 s

Promedio de la serie: 38.6 s.La desviaci6n de la medida A es: 38.8 - 38.6La desviaei6n de la medida B es: _

3.16. La desviaci6n de una medida es un numero concreto,es decir, un numero aeompafiado de una _

3.17. He aqui algunas medidas de volumen de una serie nor-mal, euyo promedio es 120 em3, determine sus desviaeiones:Medidas: 123 em3 121 em:! 120 em3 122 em3•

Separaeiones:

3.18. Medida: 117 emS.Promedio aritmetico: 120 em3•

Desviaci6n: Medida Promedio:

3.19. Una sene normal de medidas tiene por promedio260 mg.

He aqui varias medidas: Busque sus desviaeiones:262 mg259 mg260 mg258 mg

3.20. RECORDATORIO: el m6dulo (Hamado tambien valorabsoluto) de un numero algebraieo es este numero, privadode su signo. La desviaci6n absoluta de una medida es el m6-dulo de su desviaci6n.Ejemplos: Desviaci6n: -2 mm; desviaei6n absoluta: 2 mm

Desviaei6n:, -1mm; desviaei6n absoluta:Desviaci6n: (+) 1 mm; desviaci6n absoluta: 1 mmDesviaci6n: (+) 2 mm; desviaci6n absoluta: _

117 em3 - 120 em:! =-3 em3

negativo

2 mg-1 mg

o mg-2 mg

3.21. He aqui alg-unas medidas de velocidad de una serienormal cuyo promedio aritmetico es 186 km/h. Cakule, paracada una de ellas, la desviacion y la desviacion absoluta.Medidas: 185 km/h 188 km/h 186 km/h 184 km/hDesviaciones:Desviaciones absolutas: _

3.22. La incertidumbre absoluta es el numero que hay quesumar 0 restar al promedio para obtener los limites de losvalores posibles, es decir, los valores entre los cuales la mag·nitud esta ciertamente comprendida.Esta proposicion es rig-urosamente cierta:En una serie normal de medicionesEn una serie ilimitada de medicionesEn ambos casos(Pong-a una X en la linea que conteng-a la circunstancia a lacual conviene la proposicion.)

3.23. Tiene listed razon, para encontrar la incertidumbre ab·soluta de una mag-nitud, en principio habria que efectuar unaserie ilimitada de mediciones.En la practica, tal cosa es imposible y habra que adoptar unasolucion aproximada.Recuerde que en una serie normal de medidas, es .fiuy pocoprobable que una medida suplementaria sea superior a la ma·yor medida obtenida 0 inferior a la menor y es aun menosprobable que esta medida -muy diferente de las demas- seala mas proxima al valor exacto.Asi pues, se puede considerar que en una serie normal de me·didas, el numero que hay que sumar 0 restar a (0 de) el pro-medio para obtener la medida que se separa mas, es una buenaestimaci6n de La incertidumbre absoluta.

3.24. Su respuesta no era totalmente exacta; la incertidum·bre absoluta ha sido definida para el caso de una serie ilimi-tada de mediciones y no para el caso de una serie normal demediciones.En efecto, para conocer de manera indiscutible los limites delos valores posibles, habria que hacer una serie ilimitadade mediciones, porque nunca se puede estar seg-uro de queuna medicion suplementaria no daria un resultado superioro inferior a los que ya se han obtenido. Sin embarg-o, si selleva a cabo una serie normal de mediciones (10 mediciones

I km/h 2 km/h 0 km/h2 km/h

-1 km/h 2 km/h 0 km/h-2 km/h

Si ha contestado:[gJ pase al cuadro 3.24.

[gJ pase al cuadro 3.23.

~ pase al cuadro 3.24.

por 10 menos), esta eventualidad es poco probable y todaviaes menos probable el que esta medida, muy diferente de lasdemas, sea la mas aproximada al valor exacto.Por tanto, se puede considerar que en una serie normal demedicionesJ el numero que hay que sumar 0 que restar al pro-medio obtenido, para obtener la medida que mas se separade ella, es una buena estimaci6n de la incertidumbre absoluta.

3.25. En una serie ilimitada de medidas, el numero que hayque anadir 0 que restar para obtener el valor que mas sesepara del promedio

la incertidumbre absoluta.En una serie normal de medidas, el numero que hay que ana-dir 0 restar para obtener la medida que se separa mas queninguna del promedio

3.26. Cuando usted dispone de una serie normal de medi-das, ~puede usted hallar:- El valor preciso de la incertidumbre absoluta? _- Una estimaci6n de la incertidumbre absoluta? _

3.27. He aqui una serie normal de medidas:

21.4 21.4 21.5 21.5 121.61 121.61

121.91promedio mm.

21.7 21.7 21.8medida que mas se desvia

Estimaci6n de la incertidumbre absoluta:

3.28.Medidas:Promedio:Desviac:ones: -0.2Desviacionesabsolutas: 0.2 0.1 0 0.1 0.1 0.3 mmLa incertidumbre absoluta es igual a , la mayordesviaci6n absoluta es igual a~Que comprueba usted?

21.7 21.721.6 mm

o +0.1

3.29. La desviaci6n absoluta es un numero aritmetico (es de-dr, sin signo) y concreto (es decir, provisto de una unidad).

Noe necesitaria una serie ilimitada de me·

didas.Sf

por(IUe el numero que hay que sumao restar al promedio para obtener la medida que se desvia mas, tampoco ecxacto.

0.3 mm0.3 mm

Que son iguales.

,Que puede usted decir de la incertidumbre absoluta (que esla mayor desviacion absoluta)?

que es tambien un nt'nnero___________________________ , aritmetico concreto.

3.30. La incertidumbre absoluta debe ser expresada en lamisma unidad que la magnitud. La incertidumbre en unalongitud expresada en mm debe tambien expresarse en mm;la incertidumbre en una duracion de segundos debe expre-sarse en

3.31. Consulte la tabla 2. El promedio de esta serie de me-didas vale _La mayor desviacion absoluta vale _La incertidumbre absoluta vale, pues, _

299 792.5 km/s2.5 km/s.2.5 km/s

3.32. Consulte la tabla 3.Promedio de las medidas: _Halle la medida que mas se desvia del promedio: _

8.19 mA0.12 mA0.12 mA

La mayor desviacion absoluta vale _La incertidumbre absoluta vale: _

3.33. En una serie normal de mediciones, la magnitud me-dida esta casi seguramente comprendida entre los dos valoressiguientes: promedio _

y promedio _

Si no lo entiende) relea el cuadro 3.25.

- incertidumbt"e absoluta+ incertidumbre absolllta

3.34. En la expresion I promedio ± incertidumbre absoluta I- una parte representa el valor que tiene mas probabilida-des de estar cercano a la magnitud medida: es el promedio

- una parte representa los limites entre los cuales esta caSlseguramente comprendida la magnitud; es + incertidumbre absoluta

3.35. La expreslOn I promedio ± incertidumbre absoluta Ie') un buen medio de representar el resultado de la medicion.Asi, si una serie normal de medidas ha dado pOl' promedio436 mm Y pOl' incertidumbre absoluta 2 mm, el resnltado que-dara expresado como: ± mm.

3.36. Promedio: 436 kg; incertidumbre absoluta: 3 kg.Resultado: _

3.37. Promedio: 78 km/h; incertidumbre absoluta: 0.5 km/h.Resultado: _

3.38. Consulte la tabla 2.Promedio: _Incertidumbre absoluta: _Resultado: _

3.39. Resultado de una serie normal de mediciones de unalongitud: 25.6 ± 0.2 mm.Esto significa que la longitud esta casi seguramente compren-dida entre y mm.

3.40. iATENCI6N! En 10 siguiente, trataremos con series decinco mediciones. ESTASSERIESNOSONSERIESNORMALESporqueno contienen bastantes mediciones, y si las tratamos como ta-les, es para no hacer pesada su tarea con dlculos demasiadolargos.Para hallar la incertidumbre absoluta de una serie de me-didas:

A. Determine el promedio aritmetico.B. Halle la medida mas pequeiia y la mas grande.C. Determine las desviaciones absolutas de estas dos medidas.D. La incertidumbre absoluta es igual a la mayor de estasdesviaciones.Duraci6n: 12.3 12.5 12.5 12.2 12.5 s.A. Promedio aritmetico: _B. La medida menor: . La mayor: _C. Desviaciones absolutas: _D. Incertidumbre absoluta: _

3.41. He aqui una serie de medidas de masa:34.2 34.5 34.1 34.5 34.3 mg.Busque la incertidumbre absoluta y escriba el resultado.- Determine primero el promedio (redondeelo correctamente):'

- Halle despues la desviaci6n absoluta de la medida menory la de la mayor (notara que tales desviaciones son iguales:una y otra representan la incertidumbre absoluta).Incertidumbre absoluta: _Resultado: _

3.42. Halle la incertidumbre absoluta y escriba el resultadode la serie siguiente de medidas:210 215 212 210 212 km/h.Incertidumbre absoluta: _Resultado: _

299 792.5 km/s2.5 km/s

299 792.5 ± 2.5 km/s

12.4 s12.2 s 12.5 s

0.2 s 0.1 s0.2 s

34.3 mgRegIa: (2)20 A.

0.2 mg34.3 ± 0.2 mg'

3 km/h212 ± 3 km/h

Si experimenta dificu1tadesJ aqui tiene alguna ayuda: calculeprimero el promedio, busque la medida mayor y la menor ycalcule la desviaci6n absoluta de cada una de ellas.

3.43. Consulte la tabla 8 (medida de un volumen).Resultado: _

Si ha cometido mas de tres errores en los cuadros de test, alprincipio del capitulo, lea el resumen 3 sin fijarse en losejemplos.

Notaciones,Ilmites e intervalo

de confianza

,. 4.1. REVISIoN.En la lista siguiente, ponga una X en las Hneas de las magni-tudes que estan afectadas de incertidumbre.• La distancia de Mexico, D. F., a Guadalajara. j2g• El numero de alumnos de una dase. 0• El precio de una cajetilla de cigarros. 0• La duracion de una carrera. ~• El numero de lados de un rombo. 0

f 4.2. REVISIoN.Si los resultados de una serie ilimitada de mediciones estantodos comprendidos entre 41.2 mg y 41.6 mg (induso), estosdos numeros son los de los valores po-sibles.

limitesRegIa: (2)7

f 4.3. REVISIoN.Para que una serie de medicionespreciso que las mediciones sean _ numerosas (10 por 10 me-

y nos; en numero de 10... )exentas de error sistema-tico.

,. 4.4. Lea el resumen 3, completando los ejemplos. Pase des-pues al cuadra siguiente.

,. 4.5. iTEST! La mejor determinacion hasta hoy de la velo-cidad de la luz en el vacio:Promedio aritmetico: 299 792.5 km/s.Incertidumbre absoluta: 0.2 km/s.Resultado de estas mediciones: _

299 792.5 ± 0.2 km/sRegia: (3)9

La velocidad de la luz esta ciertamente comprendida entre_______ km/s y km/s.

)- 4.6. jTEST! Medidas de una duraci6n:

25.4 25.1 25.4 25.5 25.3 S.

Promedio (redondeado): _

La serie no es normal (muy pocas mediciones); hemosquerido simplificarle los cdlculos.

)- 4.7. jTEST! Medidas de un espesor:

1.04 1.01 1.06 1.08 1.06 mm.

Pronaedio: _Menor medida: _Mayor medida: _Incertidumbre absoluta: _Resultado: _

La serie no es normal (muy pocas mediciones); hemos que-rido simplificarle los cdlculos.

)- 4.8. jTESTI Tabla 3 (hoja que usted ha desprendido).Incertidumbre absoluta _

Resultado: _cEntre que valores se puede considerar que esta comprendidacon certeza la magnitud? ' y _cQue se puede decir del valor 8.31 mA?, ces el valor exactode la magnitud medida?

4.9. Halle el total de sus errores desde el princlplO del test.Si ha cometido:5 errores 0 mas: para seguir el resto del curso sin dificultad,debe repasar el capitulo 3 leyendo todos los cuadros.

299792.3 299792.7RegIa. (3) III B.

QI -Q2 Ql Q2 -Q2sRegIa: (3) 4.

0.1 0.2 0.1 0.2 0.2 sRegia: (3}4.

0.2 sRegia: (3)6.

25.3 ± '0.2 sRegIa: (3)9.

1.05 mna1.01 mm1.08 mm0.04 mm

Regia: (3}8 DE.

1.05 ± 0.04 mmRegia: (3}9.

Medida que mas se desvia del pro-medio: 8.19. Su desviacion vale:

8.31 - 8.19 = 0.12.Regia: (3}8.

8.31 ± 0.12 mARegia: (3) 9.

8.19 8.4;~Regia: (3) 10 B.

NoEs el valor mas represen-tativo (0 eL mas probable).

Regia: (3)10 B.

3 0 4 errores: esta bien; mas para mantenerse a un nivel ele-vado, debe releer el resumen 3 con sus ejercicios si sigue lavia normal; repase el capitulo precedente por via normal sisigue la via relampago.2 errores 0 menos: es excelente; puede seguir adelante.

,. 4.10. Ya ha visto como puede determinarse la incertidumbreabsoluta en una serie normal de medidas.Con frecuencia, hay que utilizar el resultado de la medicionen ciertos calculos; entonces, se debe introducir tambien enesos calculos el valQr de la incertidumbre absoluta; sabe ustedque es ventajoso manejar los calculos utilizando simbolos envez de numeros; asi pues, aprendera a atribuir los simbolosadecuados alas nociones que acaba de aprender.Nos preguntaremos tambien que semejanza hay entre los va-lores obtenidos en una serie normal de mediciones y los limi-tes de los valores posibles.

Si sigue la via relampago) consulte el cuadro 5.1) si no es asi)pase al cuadro 4.11.

No hay respuesta.

4.11. Se acostumbra representar la incertidumbre que hayaen una magnitud por el simbolo Il (delta) colocado delantede la letra que representa la magnitud.Asi, la incertidumbre en la longitud L estara simbolizadapar ilL.La incertidumbre en la velocidad "v" sera simbolizada porIl _

La incertidumbre en la duracion "t" sera simbolizada por

4.12. ilL se lee delta (maytiscula) ele y significa incertidum-bre absoluta en la magnitud L.Ilt se lee y significa ___________ en la magnitud _

4.14. EI promedio aritmetico de una serie de medidas de lalongitud 1 se representa por 1m, es decir, por el simbolo 1 afec-tado del subindice m.De igual manera, el promedio aritmetico de una serie de me·didas de la temperatura t se representa por el simbolo _

delta teincertidumb1'e absoluta t

inceTtidumbre absolllla enla magnitud G.

4.15. El promedio aritmetico de una serie de medidas delpeso P de un objeto se representa por el simbolo _

4.16. Tabla 1 (medida de la longitud L de una linea).Lm = ------Halle AL. AL = ------

4.17. Tabla 4: duraci6n (simbolo t) de una caida.tm = . At = _Resultado de la medici6n: tm ± At =

4.18. El promedio aritmetico de una serie de medidas de lamagnitud G se representa por , la incertidumbre ab-soluta por y el resultado por _

4.19. Resultado de las mediciones de una distancia d = 76.4 ±± 0.1 m.__ = 76.4 m. = 0.1 m.

4.20. Se llama limite superior del resultado de una serie nor-mal de mediciones el promedio aritmetico aumentado de laincertidumbre absoluta.

LfMITE SUPERIOR DEL RESUL TADO: Gm + AGpromedio incertidumbre

ab",luta

Medida de una longitud: L = 129 ± 2 mm.Limite superior del resultado: 129 + 2 = 131 mm.Medida de una duraci6n: t = 16.2 ± 0.2 s.Limite superior del resultado:

4.21. 1m = 8.31 mA, AI = 0.12 mA.Limite superior del resultado: mA.

4.22. El limite superior del resultado se representa por elsimbolo de la magnitud afectado del subfndice "max".Asi, el limite superior del resultado de la medici6n:

-- De una longitud L se representa por Lm ••••

- De un volumen V se representa par Vmax,- De una altura H se representa par _

4.23. Medida de una duraci6n: t = 16.2 ± 0.2 s.tm = 16.2 s. tmax = _

129 mm2mm

RegIa: (5)8.

16.2 s 0.2 s16.2 ± 0.2 s

4.24. Medida de un volumen: V 312 ± 5 cm3

Vm = cm3• aV = cm3•

Vmax = cm3•

4.25. Se llama limite inferior del ,'esultado de una serie demediciones el promedio disminuido de la incertidumbre ab-soluta.I LIMITE INFERIOR DEL RESULTADO: Gm - toG

Lm = 129 mm, aL = 2 mm.Limite inferior del resultado: 129 mm - 2 mm = 127 mm.tm = 16.2 s at = 0.2 sLimite inferior del resultado: s.

4.26. Para hallar el limite inferior del resultado, hay que_________ la incertidumbre absoluta del promedio.Para hallar el limite superior del resultado, hay que _______ la incertidumbre absoluta al promedio.

4.27. Resultado: 186 ± 3 km.Los limites del resultado anterior son y

4.28. El limite inferior del resultado se representa pOI' elsimbolo de la magnitud con el subindice "min".Asi, el limite inferior del resultado de la medici6n:- de una duraci6n t se representa pOI' tm!n.- de un peso P se representa pOI' _

4.29. El limite inferior del resultado de la medici6n de unamagnitud cualquiera de simbolo G tendra pOI'simbolo ;su limite superior tendra pOI' simbolo _. _

4.30. Serie de mediciones de un volumen V.El promedio de 10s volumenes hallados tiene pOI' simbolo____ , la incertidumbre absoluta , el limite infe-rior del resultado y el limite superior _

4.31. Serie de mediciones de una magnitud cualquiera desimbolo G.EI promedio de las medidas halladas tiene par simbolo _la incertidumbre absoluta , el limite inferior del re-sultado y el limite superior _

4.32. Medida de una altura: H = 253 ± 2 mHm = 253 ill, AH ' m,

312 5317

restar(retirar, sustraer)sumar (afiadir)

183 km189 km

4.33. Para toda magnitud G: Gmax = Gm _

Gmin = Gm ------

4.34. El eonjunto de los valores eomprendidos entre los limi-tes del resultado (incluidos ambos Hmites) se llama intervalode confianza de la medida.

Ejemplo: medida de un volumen: V = 634 ± 3 em3•

Los limites del resultado son: Vmin = em3

y Vmax = em3•

El intervalo de eonfianza de esta medida es el eonjunto devalores eomprendidos entre y em3•

4.35. Medida de la velocidad de la luz:299 792.5 ± 2.5 km/s.El eonjunto de valores eomprendidos entre 299790 Y299 795 km/s se. llama _de la medida.

4.36. El menor valor del intervalo de confianza es el limiteinferior del resultado, mientras que el mayor valor es el______________ del resultado.

4.37. El intervalo de eonfianza puede senalarse eon la nota·cion siguiente: {Gm1n ... Gmax unidad }.AS1pues, el intervalo de eonfianza de la medida:48.5 ± 0.2s (Gm1n = 48.3 s; Gm"x = 48.7 s)se notara {48.3 ... 48.7 s }.De igual manera, el intervalo de eonfianza de la medida175 ± 3 m se notara _

4.38. Intervalo de eonfianza: {Gmin

v = 331 ± 1 m/sVmin = Vrnax

Intervalo de eonfianza:

4.39. V = 458 ± 5 em3

Intervalo de eonfianza: _

4.40. En una serie normal de medieiones, hay muy poeas pro-babilidades de que el valor real de la magnitud medida seamayor que el limite superior del resultado, 0 menor que ellimite inferior del resultado. Por tanto, se puede admitir queel intervalo de confianza es una buena estimaci6n del con·junto de los valores posibles.1 = 426 ± 2 mm.Intervalo de eonfianza: {424 ... 428 mm }.

631637

330 m/s 332 m/s{330 .. , 332 m/s }

Se puede estimar razonablemente que el conjunto de los va·lores posibles es {____ _ mm }.

4.41. S = 210 ± 4 cm2 (resuItado de una serie normal).Intervalo de confianza _Estime el conjunto de los valores posibles:

4.42. Se puede pensar razonablemente que el intervalo deconfianza de una serie normal de mediciones es una buenaestimacion del con junto de los valores posibles.Se puede estimar razonablemente que los limites de los valo-res posibles son aproximadamente iguales a los _

4.43. Llamaremos extension del intervalo de confianza a ladiferencia entre su limite superior y su limite inferior.

Intervalo de confianza Extension del intervalo de confianza{ 873 877 mm}{ 68.2 68.6 s}

4.44. Tabla I. Gmax= 131 mmGmin = 127 mm

Extension del intervalo de confianza:

4.45. Gmu = 152 s Gmin = 150 s.Intervalo de confianza:Extension del intervalo de confianza: _

4.46. Gmu = Gm + .6.G.Gmin = Gm - .6.G.

Reste:Gmax - Gmin = ------

4.47. Gmix - Gmin = 2.6.GLa extension del intervalo de confianza es igual al _de la _,4.48. Incertidumbre absoluta: 3 mm.Extension del intervalo de confianza: _

4.49. Extension del intervalode confianza

6 mm5 kmjs

Hmites del intervalo de con-fianza 0 limites del resul-tado

{ 150 .. , 152 s }2 s

Si contcst6 0, recuerde Que restarC<luivale a !umar camhiando 105 sig-nos: G m se transforma en - G m Y

-c.G en +c.G.

dobleincertidumbre absoluta

Extension del intervalode confianza

___ mg2 km

3 mgkm

4.51. Medida de un area:S: 3 726 3 725 3 728Sm: _

3728~S = _

Limite inferior del resultado: Smin =Limite superior del resultado: Smax =

Intervalo de confianza:

Extension del intervalo de confianza: _

Dado que esta serie contiene solo cinco medidas, ,se puededecir que el intervalo de confianza es una muy buena esti-maci6n del conjunto de valores posibles?,Por que? _

4.52. Consulte la tabla 5, que Ie da una serie normal de me-didas de una masa M.Mm = ~M =Resultado de la medicion: _

Limite inferior del resultado: _

Limite superior del resultado: _

Intervalo de confianza: _

Extension del intervalo de confianza: _

Se puede afirmar, con muy pocas probabilidades de equi-vocarse, que la magnitud medida esta comprendida entre------- y -------

Si. ha cometido mas de dos errores en los cuadros de test (prin-cipio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 4,del final del libro, sin leer ni completar los ejemplos.

3 726 mm2 3 mm2Regia: (2)22 RegIa: (~) II.

3726 ± 3 mm2

3723 mm2RegIa: (4)5.

3729 mm2Regia: (4)4.

{ 3 723 ... 3 729 mm2 }Regia: (4) 9.

6 mm2RegIa: (4)13 A.

NoEs una estimacion medio-cre, porque la serie no con·tiene bastantes medidaspara ser una serie normal.

310.6 mg 0.4 mgRegia: (3)8.

310.6 ± 0.4 mg

310.2 mgRegIa: (4)5.

31l.0 mgRegia: (4)4.

{310.2 .. , 311.0 mg}RegIa: (4)9.

0.8 mgRegia: (4) 13.

310.2 mg 311.0 mgRegia: (4) IIA.

Series de medicionesiguales. Igualdad entre

105 Ilmites delas incertidumbres

'1 5.1. REVISION.,Bajo que condicion el intervalo de confianza de una seriede mediciones es una buena estimacion del conjunto de valo-res posibles de la magnitud?

La serle de medicionesdebe ser normal (0 a con-dicion de que las medicio-nes sean numerosas y exen-tas de error sistematico) .7 5.2. LEA EL RESUMEN 4, AL FINAL DEL UBRO, COMPLETANDO LOS

EJEMPLOS.

Pase despues al cuadro siguiente.No hay respuesta.

7 5.3. JTEST! He aqui una serie de mediciones de un area s.S: 346 344 344 347 340 343 345 cm2

Sm: (redondee).Incertidumbre absoluta: as = _

344 cm2Reglas: (4}2 y (2}21.

4 cm2Regia: (5}8.

Limite inferior del resultado: _

Limite superior del resultado: _

Intervalo de confianza:

Extension del intervalo de confianza: _

344 ± 4 cm2Regia: (5}9.

340 cm2Regia: (4}S A.

348 cm2Regia: (4)4 A.

{340 ... 348 cm~ }Regia: (4) 9.

8 cm2

Regia: (4)15 A.

7 5.4. (fEST! En una serie de mediciones de un volumen V,se atribuye al promedio de las medidas el simbolo _ Vm

Regia: (4}2.aVRegia: (4) I. _~~_

_________ ; el limite superior del

resultado , y su limite inferior _

,. 5.5. jTEST! Medida de un volumen: V = 214 ± 2 m3

214 m3 2 m3

.,. 5.6. iTEST! Despues de una serie normal de mediciones, seencuentra que la temperatura de fusion de la plata es960.7 ± 0.2 DC.960.7 es el de las medidas afectadas.

0.2 es la _

960.5 es el del resultado.

960.9 es el _

El conjunto de los valores comprendidos entre 960.5 y 960.9es el y es una buena es·

timacion del conjunto de losla magnitud.

7 5.7. iTEST! Consulte la tabla 7, que representa una senenormal de medidas de una duracion (t). No olvide indicar launidad en sus respuestas.

tm = At

7 5.8. iTEST!Incertidumbre absoluta: 2 mm.Extension del intervalo de confianza: _

'7 5.9. jTEST!Limites del resultado de la medida de un volumen:724 cm3 y 730 em3•

Ineertidumbre absoluta: _

7 5.10. Cuente las faltas que hizo en los cuadros de test. Si haeometido:6 errores 0 mas: neeesita haeer una revision; pero si retrocedees para saltar mejor: repase el capitulo 4.

VmltxRegia: (4)48.

VmlnRegia: (4)5 B.

VmRegIa: (4)2.

AVRegia: (4)1.

VmJxRegIa: (4)4 B'.

Vn1lnRegia.: (4)5 B.

promedioRegia: (2) 19.

incertidumhre ahsolutaRegIa· (3)5.

limite inferiorRegia: (4)5 A.

limite superiorRegia: (4)4 A.

intervalo de confianzaRegia: (4)8.

valores posiblesRegia: (4)10.

10.3 s 0.2 sRegia: (4) 2. RegIa: (4) 1.

10.1 s 10.5 sRegia: (4)4. Regia (4)5.

{ 10.1 10.5s}Regia: (4)9.

4 mmRegIa: (4) 13.

3 cmSRel<'la: (4}13 B.

Si ha contestado 6 ems es que haconfnndido la extensiOn del interva-10 de confianza con Ja incertidumhreahsoluta.

727 ± 3 cm3Regia: (3)9,

3 a 5 errores: esta bien; pero para prosegulf con mejores reosultados:• Relea el resumen 4 al final del libro y los ejemplos si sigue

la via normal;• Repase el capitulo precedente 'por via normal si sigui6 la

via relampago.2 errores 0 menos: usted asimi16 la materia particularmentebien. Continue as!.

~ 5.11. Ocurre a veces, cuando se efectua una serie de medi-ciones, que se obtiene siempre el mismo resultado. ,Que debetomarse en este caso como incertidumbre absoluta? Podra com-probar que esta circunstancia se produce cuando se utiliza uninstrumento poco preciso e incluso llegara a preguntarse 10que es exactamente la precisi6n de un instrumento de medi-ci6n. Analizando el sentido de esta palabra, precisi6n, es comodescubriri la respuesta a la pregunta que usted se formu16.En fisica, con frecuencia se encuentra uno obligado a com-parar resultados de mediciones; por ejemplo, a preguntarse sirealmente dos resultados son iguales. ,C6mo podra decidircuando cada resultado esta afectado de incertidumbre? Al ter-minar este capitulo, podra contestar a esta importante pre-gunta.Si sigue la via relampago, consulte el cuadro 6.1, si no, paseal cuadro 5.12.

5.12. Para modificar el equilibrio de una balama, hay queafiadir 2 mg en uno de los platillos. La indicaci6n minima (0umbral) de esta balanza es 2 mg. Para modificar el equilibriode otra balanza, hay que afiadir 5 mg en uno de los platillos.El umbra 1 de esta balanza es _Nota. Con frecuencia se designa como sensibilidad el umbralde indicaci6n de una balanza; pero, con todo rigor, tal deno-minaci6n es impropia.

5.13. Cuando se miden dos objetos con una regIa graduadaen milimetros, se necesita, entre estos dos objetos, una dife-rencia de 0.5 mm para poder obtener dos medidas diferentes.EI umbra 1 de indicaci6n de la regIa es _

5.14. Para que un term6metro de dos indicaciones distintas,es necesario que este sumergido en dos medios cuyas tempe-raturas difieran, por 10 menos, en 0.5 DC.Se puede decir que 0.5 °C es el _del term6metro.

5.15. Tome una regIa graduada y mida cinco veces con todocuidado la altura de esta pagina, con precision de un mill·metro:

5.16. Cuando se efectua una serie de mediciones con un ins-trumento poco preciso, suele ocurrir que se encuentran re-sultados _

5.17. Si encuentra usted diez veces 240 g, utilizando una ba-lanza cuyo umbral de indicacion es de 0.5 g, puede estar se-guro de que la masa medida no sobrepasa g yque no es inferior a g.

240 240 240 240 2400241 241 241 241 241o 239 239 239 239 239

ig.uales

240.5239.5

En efe<:to, si la masa sobrepasara 240.5 Itla balanza euyo umbral es 0.5 g no hubiera indicado 240. sino un numero suoperior. Por ejemp]o. si la masa hubiersido 240.7 11', la balanza no hubiera illdieado 240 11', sino 241 g.

5.18. Por 10 contrario, si mide una masa con una balanza cuyoumbra 1 de indicacion es 0.5 g Y si halla 240 g, cpuede estarseguro de que esta masa no es de 240.2 g 0 de 239.7 g?____ No

l':1l efeeto, si la balaoza tielle por umbral.5 g. hay que coloear al mellOs 0.5 II'ara desviarla: eualldo se pollen 240.2 g,a balanza indica 240 porque los 0.2 II'ue sobrepasan los 240 son insuficientara haeer que el fiel de ]a balanza

desvie.5.19. Indicacion Indicacion Indicacion

precedente siguiente239.5 g 240 g 240.5 g

Los valores posibles estan comprendidos entre gy g.Se puede, pues, escribir que el resultado de la medicion esigual a ± g.

5.20. Mediciones con ayuda de una balanza:-- Umbral de indicacion: 0.5 g.- Incertidumbre absoluta de la medida: 0.5 g.En una serie de mediciones que dan todas el mismo resultado,la incertidumbre absoluta es igual al __________ del instrumento.

5.21. He aqui un fragmento de la gradua-cion de un termometro. Esta graduacione.'i.ci. (}'H.u.ada ~'{ \.'{am.,..

Llamaremos division al intervalo entre estostrazos.Asi, el intervalo entre el trazo 70 y el trazo71 es unaRaye la division entre 74 y 75.Cada division, en la figura, vale °C.

239.5240.5

5.22. Si no trata de leer entredica como longitud del objeto:

Fig. 7. I.•• 1

A: mm B: mm C: mm.Para que la regIa Ie indique 1 mm mas, es preciso que elobjeto sobrepase la mitad de la graduacion (0.5 mm): el um-bral de la regIa es mm.

5.23. Si se utiliza un instrumento provisto de una escala, sintratar de leer entre las gTaduaciones, el umbral de indicaciones igual al _

5.24. Un transportador esta graduado de grado en gTado. Sise utiliza sin tratar de leer entre las graduaciones, el umbralde indicae ion es igual a grado.

5.25. Si se utiliza un instrumento provisto de una escala,sin tratar de leer entre las graduaciones y si, en una serie demediciones, se encuentran resultados iguales, la incertidumbreabsoluta en esta serie de mediciones es igual a _

5.26. Serie de mediciones de la temperatura de una sala efec-tuada con ayuda de un termometro graduado en DC, de gradoen grado, sin leer entre los trazos:21°C 21 °C 21°C 21 °C 21°CIncertidumbre absoluta: _Resultado de la medicion:

5.27. Dos series de numeros tienen un valor comun 51 seencuentra el mismo numero en ambas series. Asi 4 9 6 8 Y7 5 6 3 tienen un valor comun que es 6.De igual manera, 82 83 84 85 Y 85 86 87 tienen un ___________ que es _

5.28. Considere el intervalo entre los numeros 7 y 10 Y elintervalo entre los numeros 9 y 12.~Tienen valbres comunes? _

valor de media division 0

a la mitad de una division,etc.

12 (0 0.5)

la mitad de una divisi()11(es aceptable decir la mitadde una graduacion).

0.5 °C21 ± 0.5 °C

valor comun85

5.29. Supongamos que se haya encontrado como resultado dela medicion de una longitud A: 64 ± 1 m y de una longi-tud B: 65 ± 1 m.(Es posible que B = 65 m? _(Es posible que A = 64 + 1 65 m? _(Es posible que A = B? _

5.30. A = 64 ± 1 m B = 65 ± 1 mEs posible que A = B, porque uno de 10s valores posiblesde A (65 m) es igual a otro valor posible de B (65 m).Dos magnitudes afectadas de incertidumbre pueden ser igua-les si dos de sus son _

5.31. El intervalo de confianza es una estimacion razonabledel conjunto de los valores posibles.(Como se podria saber si los valores posibles de dos magni-tudes tienen un valor comt'm? _

5.32. Dos resultados de mediciones son iguales entre los li-mites de las incertidumbres, si sus intervalos de confianza tie-nen por 10 menos un valor comlin.Resultados Intervalo de confianzaA = 129 ± 2 mm 127 . " 131 mmB = 128 ± 2 mm 126 . . . 130 mm

(Tienen los dos intervalos de confianza alglin valor comlin?~Son iguales Ios dos resultados entre Ios limites de Ias incer-tidumbres? _

5.33. A BcSe puede decir que 30 ± 2 = 33 ± 2 entre Ios limites deIas incertidumbres de medida?Valores posibles de A: 28. .. 29... 30... 31... 32Valores posibles de B: 31 ... 32 ... 33 ... 34 ... 35En Ios dos intervalos de confianza, se encuentran Ios valores___ y (y todos los valores intermedios). Los dosintervalos de confianza valores comunes;

5.34. Si no comprende la pregunta siguiente 0 si no puedecontestarla, pase directamente al cuadro 5.36.El conjunto de elementos que pertenecen al mismo tiempo aIos conjuntos A y B se llama de Ay de B y se representa por A B.

valores posibles iguales(0 comunes)

Viendo si sus intervalos deconfianza tienen un valorcomun (0 cualquier otra:respuesta equivalente.J·

Si ha for..testado no, escriba 105 va~lores entero. entre 127 y 131, de.-pu •• entre 126 y 130 Y yea si en-cuentra, sl 0 no, un mismo numcro.en la. dos serie •.

31 32tienen

interseccionn

5.35. G = G' entre 10s limites de las incertidumbres si, ysolamente si:

{ Gmin ... Gmax } { G'min ... G'max} :;C 0

Interval0 de signo Intervalo deconfianza de G conveniente confianza de G'

Fig. 8. Gm Gm + t1G

j I AIG~ EAr1

G'm - t1G' G'm

Gm Gm + t1G:-1 I A1G+ iGm - t1G' G'm

Gm Gm + t1G-r-1~ i

C G'm - t1G1 G'm

5.36. Examine 10s 3 casos A, B Y C, representados en la figu-ra 8 e indique en las lineas siguientes uno de 10s signos:

< (inferior);

En A: Gm + .6.G G'm - .6.G',En B: Gm + .6.G G'm - .6.G',En C: Gm + .6.G G'm - .6.G~

5.37. Examine 10s tres casos de la figura 8 en que Gm < G'm'Indique con una X, en las lineas, 10s casos de la figura 8 en10s que se puede decir que G y G' son iguales entre 10s limi·tes de las incertidumbres de medida (par 10 menos un valorcomlin):

5.38. Observe la figura 8.G = G' entre 10s limites de las incertidumbres de medidasi, y solamente si:Gm + .6.G G'm - .6.G' con G'm > Gm.

un .igno querepresente dospo.ibilidade.

5.39. G:::::;G' '" si, y solamente si:

Gm + AG ~ G'm - AG',

• Utilizamos el signo :::::;para representar la igualdad entre 105 Hmites delas incertidumbres.

5.40. Hemos considerado dos magnitudes G y G' con Gm << G'm y hemos encontrado que G :::::;G' si, y solamente si,Gm + AG + AG' ~ G'm'Dos magnitudes son iguales entre los limites de las incerti-dumbres de medida si, y solamente si, e1 promedio menor(Gm) aumentado en las dos incertidumbres absolutas (AG yAG') es 0 al promedio ma-yor (G'm)'

5.41. Para saber si dos magnitudes son iguales entre los limi·tes de las incertidumbres, primero hay que hallar el prome-dio menor.En 731 ± 2 y 729 ± 2, el promedio menor es 729.En 854 ± 2 y 857 ± 2, el promedio menor es _

5.42. En 48.2 ± 0.3 y 48.1 ± 0.4, las dos incertidumbres ab-solutas son 0.3 y 0.4.En 516 ± 2 y 518 ± 3, las dos incertidumbres absolutas son--y~-

5.43. En 425 ± 4 y 424 ± 3, las dos incertidumbres son___ y mientras que el promedio menor es _

5.44. Para decidir si dos magnitudes son iguales entre los Ii-mites de las incertidumbres de medida, es necesario:A. Sumar las dos incertidumbres al promedio menor;

B. Comparar la suma asi obtenida con el promedio mayor.

623 ± 2 :::::;625 ± 3? 425 ± 4 :::::;430 ± 5?mJnor t mlyor mJnor t mtyorpromedio promedioA. 623 + 2 + 3 = 628B. Hay que comparar

628 con 625

A. 425 + 4 + 5 = 434B. Hay que comparar

5.45. Si la suma hallada es igual 0 superior al promedio ma-yor, las dos magnitudes son iguales entre los Iimites de lasincertidumbres de medida.

434 430(0 430 cOn 434)

,623 ± 2 ;:::;625 ± 3?Suma: 623 + 2 + 3 = 628Promedio mayor: 625La suma es superior a1 pro-medio mayor

,425 ± 4 ;:::;430 ± 5?Suma: 425 + +Promedio mayor:La suma es

Por tanto, 1as dos magni-tudes son igua1es entre 10slimites de 1as incertidum-bres de medida.

al promedio mayor.Luego, 1as dos magnitudes_____ igua1es entre 10s

oon/no IOnlimites de 1as incertidumbrede medida.

5.46. ,Es 518 ± 2 ;:::;521 ± 3?El promedio menor es _Suma del promedio menor con 1as incertidumbres:

+ -- + -- = ------Promedio mayor: _La suma calculada es al promedio mayor;

inferior/ igual/ superior

luego ambas magnitudes iguales entre 10s

5.47. ,76.8 ± 0.3 ;:::;77.2 ± 0.3?Promedio menor: _Suma del promedio menor y de 1a5incertidumbres: _Promedio mayor: _Conclusion: 1as magnitudes iguales entre

lIOn/no lIOn10s limites de 1as incertidumbres.

5.48. ,27.1 ± 0.2 ;:::;26.6 ± 0.2?Suma: _Promedio mayor : _Conclusion: dentro de 105 limites de

igualdad/diferencia1as incertidumbres.

5.49. Cuando 1a suma del promedio menor y de 1as dos in-certidumbres es igua1 al promedio mayor, 1as dos magnitudesson tambien iguales entre 10s limites de 1as incertidumbresde medida.

,2.48 ± 0.03 ;:::;2.54 ± 0.()3?Promedio menor:Suma: _

4 5 434430

2 3521

supenor

76.877.4

77.2

2727.1

diferencia

2.482.54

Promedio mayor: _Conclusion:

incertidum bres.

2. ~igua1dad

5.50. Indique, en la tercera columna, "~" si a ~ b Y "~"en e1 caso contrario:

A B ~ 0 ~~

127 ± 2 129 ± 2 ~63.2 ± 0.3 63.7 ± 0.2 ~~

261 ± 1 265 ± 1 ~0.45 ± 0.01 0.47 ± 0.01 ~~

Si cometio>un error, relea el cuadro5.35 y yea todos 108 cuadros inter-medi08. Si no ha cometido ning(merror, pUede detenerse aqui.

Si cometio maS de tres errores en 10s cuadros de test (princi-pio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 5,a1 final del libro, sin leer ni completar 10s ejemplos.

La incertidumbrerelativa

'1 6.1. REVISION.,Bajo que condiciones una serie de mediciones proporcionauna serie normal de medidas?

f 6.2. REVISIoN.Examine la serie de medidas de la tabla 8. Escriba el resul-tado de la medicion:

'1 6.3. LEA EL RESUMEN 5, AL FINAL DEL LIBRO, COMPLETANDO LOS

EJEMPLOS.

Pase despues al cuadro siguiente.

- La serie debe contenerpor 10 men os 10 me-didas.

- Las mediciones deben es-tar desprovistas de errorsistematico.

725 ± 4 cm3Reglas: (8)8. (3) 11.

medida menor: 722 em'la mayor: 729 em'separaci6n mayor: 4 em'

Limite inferior: 721 cm:!Limite superior: 729 cmll

Regia: (4)6.

{721 ... 729 cm3 }Reglas: (4)8 (4)9.

-- que esta casi seguramen-te comprendida entre721 y 729 cm3,

- y que tiene mas proba-bilidades de estar proxi-ma a 725 cm3 que a cual-quier otro valor.

'f 6.4. jTESTl Se lee varias veces la velocidad de un coche enel medidor de velocidades.Cada vez se halla 80 km/h. Se acelera ligeramente y se com-prueba que hay que alcanzar la velocidad de 82 km/h paraque se mueva la aguja.,CmU es la incertidumbre absoluta sobre la medida?Justifique: _

7 6.5. jTESTI Se efectua una serie de mediciones y se obtienen.resultados iguales. ,Por que? _

~ 6.6. jTESTI Un termometro de qUlmlca esta graduado degrado en grado. Se Ie utiliza sin tratar de leer entre las gra-duaciones y se halla, midiendo el pun to de ebullicion delcloroformo, 62°C para cada medida (error del cero corre-gido). Incertidumbre absoluta: _

Resultado de la medicion:

., 6.7. jTEST! Indique si los resultados que se indican, de lasmediciones efectuadas, son iguales 0 diferentes entre los limi-tes de las incertidumbres de medida:86 ± 2 mm y 87 ± 2 mm _

iguales/difer<ntes573 ± 1 m y 575 ± 2 m _48.2 ± 0.5 m y 47.1 ± 0.4 m _19.8 ± 0.3 m y 20.4 ± 0.4 m _

~ 68. Cuente cuantos errores ha cometido desde el principiodel capitulo (cuadros de test). Si ha cometido:4 errores 0 mas: necesita hacer una revision; pero si retrocede,sera solo para saltar mejor; repase el capitulo 5.2 0 3 errores: esta bien; pero, para mejorar todavia mas:• Relea el resumen 5 y los ejemplos si sigue la via normal;• Repase el capitulo precedente por via normal si sigue la via

reldmpago.I error 0 ninguno: ha asimilado excepcionalmente bien lamateria anterior.• ,Como podremos evaluar la precision de una medicion?• ,Que es una medicion precisa, una medicion corriente y

una evaluacion rudimentaria?Aprendera a contestar estas preguntas.S.i sigue la via relampago, consulte el resumen 6, al final dellibro, si no, pase al cuadra 6.9.

2 km/hReglas: (5)1 a (5)3.

1a incertidumbre absolutaes igual al umbral de indi-cacion.o la aguja ha permanecido en 80 km/"wando se ha pasado por todas las V/."-locidades intermedias entre 80 v 82km/h; luego. no '"' puede estar seg-um.wando indica 80 km/h, de que la \'e-locidad no tiene uno de esos valoresintermedios.

POI-que el instrumento quese utiliza es poco preciso.

RegIa: (5 )2_

0.5 °CRegia: (5)4.

62 ± 0.5 "CRCKla: (3)11.

igualesReglas: (5)6 y (5)'1

igualesdiferentes

iguales

6.9.A. Velocidad de la luz (determinada por Froome en 1958):299 792.5 ± 0.2 km/s.

B. Duracion de un movimiento (determinada por un estu-diante en una sesion de trabajos practicos): 16.2 ± 0.2 s.,eual de estas determinaciones es la mas precisa? _

6.10. Dos medidas que ofrecen la misma incertidumbre abso-luta no son por fuerza igua1mente precisas. ,Basta la incer-tidumbre abso1uta para evaluar 1a precision de una medida?

6.11. Hemos examinado dos medidas que tienen 1a misma in-certidumbre absoluta:

De estas dos medidas, A es mucho mas precis a, porque 1a in-certidumbre absoluta (0.2) se refiere a un numero mucho ma-yor (299 792.5 en vez de 16.2).Por tanto, se puede decir que la incertidumbre en

es re1ativamente mas pequena.

Para evaluar 1a incertidumbre relativamente a 1a magnitudmedida, se podrci hallar el cociente de la incertidumbre abso-luta dividida entre el promedio.

A. 2990;~2.5 ;::::0.00000067 (medida precisa),

0.2 _ 0.01216.2 -

6.12. Se llama incertidumbre relativa de una medida al co-ciente de la incertidumbre absoluta dividida entre el pro-medio.

As!, la incertidumbre relativa en la medida 357 ± 2 mm es

l' 2e COClente357'

Igualmeme, la incertidumbre relativa en la medida 16.2 ± 0.2 s

ATnccrli<lumbrc absolma de 0.2 CII tercade 300000.

pequenogrande

0.216.2

Incertidumbre re1ativa(no elect"e el cllculo)

0.128.31

6.14. El cociente de la incertidumbre absoluta entre el pro-medio se llama de lamedida.

6.15. La incertidumbre re1ativa de la medida Gm ± AG esAG

el cociente ---.

6.17. RECORDATORIO: cuando se dividen dos numeros quemiden magnitudes de la misma naturaleza, e1 cociente se ex-presa por un numero sin unidad, es decir, por un numeroabstracto. Asi, si se dividen los numeros que expresan la lon-gitud (10 em) de un rectangulo y su altura (5 em), se obtieneun numero abstracto (2).Igualmente, si se divide el numero que expre-sa la incerti-dumbre absoluta de una 10ngitud (6 mm) entre esta 10ngitud(200 mm), se halla un numero abstracto _

6.18. La incertidumbre absoluta y el promedio estin expre-sados en la misma unidad.La ineertidumbre relativa, que es el cociente de ambos, esun numero _

6.19. La incertidumbre absoluta es un numero concreto, mien-tras que la ineertidumbre relativa es un numero _

2129

0.054.38

AGGm

5i contest';' 0.03 0000, recll<;rdequela incenidull1bre absoillra y'la mag·nilud eSllm eJl:presadasen la mistnaunidad: su coriente es un numeroabstracto, es dedr. sin unidad.

abstractoo sin unidad

6.20. d = 836 ± 2 mIncertidumbre absoluta: _

6.21. En los cuadros que siguen, designaremos a la incerti·dumbre relativa de la magnitud G, por RG•

La incertidumbre relativa en el volumen V sera designadapor _

6.22. En el simbolo RG que representa la incertidumbre re-lativa de una magnitud G, el simbolo que designa esta mag-nitud (G) se coloca como subindice, es decir

6.23.LongitudIncertidumbre absoluta de esta longitud: _Incertidumbre relativa de esta longitud: _

Simbolo1

6.25. Si nos ocupamos de cierta magnitud GaG

RG = GmRG es de la magnitud G.aG es de la magnitud G.Gm es de las medidas de la magnitud G.

6.26. Cuando se calcula una incertidumbre relativa, siemprehay que detenerse en la segunda cifra significativa.

Medida

129 ± 2 mm 2129 ;::.:;;0.016

0.356.7

6.27. Calcule (con la regIa):t = 14 ± 0.5 °C Rl = _

2836

. d 251 h3 contesta 0 836 ffi, \ucl\'a a leer

el cuadro 6.17.

I231

incertidumbre relativaincertidumbre absoluta

pr0medio

0.036 (0 0.035)Si cOOlest.O 0.035 7 0 0.035 71. lea laregia (6 •

6.28. Para que la incertidumbre relativa sea igual a 1, es ne·cesario que la incertidumbre absoluta sea igual a 1a magni-tud misma. Una medida tan burda es excepcional; genera1-mente, 1a incertidumbre abso1uta es menor que 1a magnitudy 1a incertidumbre re1ativa es que 1.

6.29. En 10s c:Hcu10s, es generalmente practico:

• Expresar la incertidumbre relativa con ayuda de un fac-tor 10-'1;

• Leer este factor as!: milesimas.

Una incertidumbre re1ativa de 0.024 se escribira: 24 X 1Q-ll;Y se leed.: 24 milesimas.Una incertidumbre relativa de 0.007 se expresara escribiendo:_______ y se 1eera: 7 X 1O~1

fi.30. Transcriba, utilizando e1 factor 10-'1:8 milesimas _21 mi1esimas _0.7 mi1esimas _

8 X 10-11

21 X 10-'10.7 X 1(}->1

6.31. 0.025 puede transcribirse6 X 1Q-'l puede 1eerse 6 _

25mi1esimas

6.32. 8.31 ± 0.12 APara hallar 1a incertidumbre re1ativa en mi1esimas, hay que:

• Multip1icar 1a incertidumbre abso1uta (0.12) por 1 000 10que da _

• Dividir entre e1 promedio (8.31), 10 que arroja:• Multiplicar par el factor 10-'1:

12014

14 X 10...;{

6.33. t = 62 ± 0.5 °C.CaIcule 1a incertidumbre re1ativa expresada en milesimas.

Si no sabe como hacer} lea la indicacion siguiente:Multiplique 1a incertidumbre abso1uta por 1000, divida e1producto entre el promedio y co10que el factor lQ-'l.

6.34. CaIcule la incertidumbre relativa, expresada en mi1esi-mas, de L = 28 ± 0.5 mm.RI. = _10 que se lee _

18 X 1O~118 milesimas

6.35. Rv = 1 000 .6.G X 1O~.Gm

Para hallar la incertidumbre relativa de una magnitud G, di-rectamente expresada en milesimas, hay que:

• Multiplicar la por 1 000; i.l1Ce.rti~ulllhTe.ab$Qluta

• Dividir entre el ptQlllediQ

Xl~

6.36.tnl =

Calcule la incertidumbre relativa en miIesimas:16.2 ± 0.2 s Rt

2.453 ± 0.001 g __ Rm = _12 X

0.41 X l~

6.37. La incertidumbre relativa permite evaluar la preeisi6nde una medida: si la incertidumbre relativa es muy pequeiia,la medida es muy _

6.38. La incertidumbre permite evaluarla preeisi6n de una medida, mientras que la incertidumbre_________ sola no es sufieiente.

6.39. Para determinar cuM de las dos medidas es la mas pre-eisa, primero hay que calcular la _La medida mas precisa es aquella cuya _es la mas _

incertid-qmbre relativa ~incertidumb:re relativa

or;.Plquena

6.40. He aqui dos medidas; determine cuM es la mas pre-eisa (calcule primero las incertidumbres relativas en miIesimas).

A = 250 ± 2 g Incertidumbre relativa:

2 000 l~ 8 X 10-3250

8 000 10~ = 6.7 X 10-31200

Bd.lculo respueSla

La mas preeisa es _

6.41. Determine cual de las dos medidas siguientes es la maspreeisa.

A: 3.27 ± 0.02 mm _

B: 410 ± 3 km _La mas preeisa es

RA = 6.1 X 1(}--'I

Ra= 7/5 X 1O~'IA

Comprendida entre I y 50 milesimas:Inferior a I milesima:Superior a 50 milesimas:

medida corriente,medida precisa,medida rudimentaria.

Califique correctamente las medidas siguientes:

A. Profundidad de un pozo: 35 ± 5 m (incertidumbre rela-tiva: 140 X IQ-3); medida _

n. Temperatura de la clase: 20 ± 0.5 DC (incertidumbre re-lativa: 25 X IQ-3); medida _

C. Velocidad del sonido: 331.36 ± 0.02 m/s (incertidumbrerelativa: 0.060 X IQ-3); medida _

D. Velocidad de la luz: 299792.5 ± 0.2 kmls (incertidumbrerelativa: 0.00067 X 10-3); medida

E. Velocidad de una corriente de agua: 0.48 ± 0.04 mls (in-certidumbre relativa: 83 X 10-3); medida _

F. Altura de la pagina: 240 ± I mm (incertidumbre relativa:4.2 X IQ-3); medida _

6.43. Habitualmente, se estima que una medida es rudimen-taria si la incertidumbre relativa es superior a _

6.44. Generalmente, se puede considerar que una medida esprecisa si la incertidumbre relativa es inferior a _

6.45. Temperatura de ebullici6n del alcohol: 78.5 ± 0.2 DC.Cali.fique la medida y justifique su decisi6n:

Si no sabe como hacerlo, calcule primero la incertidumbrerelativa.

6.46. Nota: Se puede expresar la incertidumbre relativa enporcentq.je: el porcentaje de incertidumbre es, por definici6n,igual a 100 veces la incertidumbre relativa.

Incertidumbre relativa0.0230.04

15 X IQ-320 X IQ-3

Porcenta je de incertidumbreVl%

50 milesimas(0 50 X IQ-3)

1 milesima(0 I X 10-3)

medida corrienteRt = 2.5 X IQ-3(I < 2.5 < 50)

6.47. m = 125 ± 2 mgIncertidumbre relativa en milesimas: Rm =Incertidumbre relativa en porcentaje: Rm = %.Califique la medida en cuanto a su precision: _

Si cometio mas de dos errores en los cuadras de test (principiodel capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 6, alfinal del libro, sin leer ni completar los ejemplos.

16 X 1<Hl1.6

medida corriente

Calculo dela incertidumbre

absoluta.Revision general

.; 7.2. ITESTI Calcule la incertidumbre relativa en la medidade una duraci6n de 24.8 s afectada de una incertidumbre ab-soluta de 0.3 s.

~ 7.1. Lea el resumen 6, completando los ejemplos. Pase des-pues al cuadro siguiente .

0.012Regia: (6)8.12 X lo--~

Si ha conlestado 0.012 I 0 12.1 XX 10-', relea la regia (6)6.Si ha conlestado 0.012 s 0 12 XX 10-' s. relea la regIa (6)5.

-) 7.3. ITESTI Cuando hablamos de una distancia d, el sim-bolo Ri significa: _en la distancia d.

incertidumbre relativaRegia: (6)3.

,. 7.4. ITESTI Determine y exprese en milesimas la incertidum-bre relativa del resultado de la siguiente medida:

5.7 X lQ-3Reglas: (6)9 y (6)8.

( 2 X I 000 lo--~)352 XAGGm

Regia: (6)4.

ARegia: (6) I I.

,. 7.5. (fESTI Si las mediciones de la magnitud G dan comorcsultado Gm ± AG, se puede escribir que RG = _

,. 7.6. ITES1'I ,CmH es la mas precisa de las dos medidas si-guientes?

A. 4 284 ± 12 m. RA

== 2.8 X 10~RB == 8.5 X I~

RA < RB

?- 7.7. jTESTlIncertidumbre relativa Calificacion -(en milesimas)

A. 2.412 ± 0.005

B. 9457 ± 1

• Utilice 10s terminos medida corriente 0 medida rudimentaria 0 medidaprecisa.

t 7.8. Cuente los errores que cometio desde el principio delcapitulo (cuadros de test). Si ha cometido:

4 errores 0 mas: necesita hacer una revision; pero si se retro-cede, solo es para mejorar. Repase el capitulo 6, releyendotodos los cuadros.

3 errores: esta bien; pero para proseguir con mas exito to-davia:

• Relea el resumen 6 y los ejemplos si sigue la via normal;

• Rehaga el capitulo precedente por via normal si sigue lavia reldmpago.

2 errores 0 menos: asimilo la materia anterior particularmentebien. Continue.

Suele ocurrir que conoce uno la incertidumbre relativa sobreun resultado y busca la incertidumbre absoluta.En este capitulo, vera como se puede conseguir; vera tambienotros medios de calcular la incertidumbre absoluta y comodebe anotar el resultado.Asi habra aprendido todo 10 que debe saber acerea de la in-certidumbre absoluta y la incertidumbre relativa. Este sera elmomenta de detenerse un poco y de lanzar una ojeada sobred camino recorrido: desde la cumbre se abarca mejor el pano-rama.Si sigue la via reldmpago) pase al cuadro 7.36, y siga todos 105cuadros marc ados con un relampago antes de consul tar el re-sumen 7.Si sigue la via normal, pase al cuadro siguiente.

No hay respuesta .

.AG7.9. G

m= Re,

luego .AG = X

2.1 X 10-:'3 (0 0.002 1)medida corriente

0.11 X IQ-:'3 (0 0.000 11)medida precisa

7.10. aG = RG X Gm

Para determinar la incertidumbre absoluta (aG) de una me·dida cuando se conoce la incertidumbre relativa (Ro) y elpromedio (Gm), basta con la incer-tidumbre relativa por el

7.11. Promedio: 25.0 s.Incertidumbre relativa: 20Incertidumbre absoluta: _

X 10-3.X

7.12. Cuando se ha calculado la incertidumbre absoluta, hayque expresarla en forma de numero ordinario (qui tar el fac-tor 10-3 Y dividir entre 1 000) .

500Asi, se ha encontrado 500 X 10-3 s = 1 000 = 0.5 s.

Si se hubiera hallado 2000 X 10-3 s, se tendria finalmente

7.13. Promedio: 1.25 em.Incertidumbre relativa: 8 X 10-3.Incertidumbre absoluta:

7.14. Para hallar la incertidumbre absoluta a partir de laincertidumbre relativa, hay que efectuar una _____ , mientras que para hallar la incertidumbre rela-tiva a partir de la incertidumbre absoluta, hay que efectuaruna

7.15. La incertidumbre absoluta debe ser afectada de la mismaunidad que el promedio de las medidas.Promedio de las medidas en el ejemplo precedente: 1.25 em.Ineertidumbre absoluta: 0.01 _

7.16. Promedio: 125 m. Ineertidumbre relativa: 60 X l~.Ineertidumbre absoluta: _

multipliearpromedio

25 X 20 X 10-3500 X 10-3 (0 0.5)

1.25 X 8 X 10-3

10 X 10-3

0.01

7.17. Cuando se calcula la incertidumbre absoluta, hay queredondear ados cifras significativas.Promedio de las medidas de una duraci6n: 35.43 s.Incertidumbre relativa: 6 X l<r'.Incertidumbre absoluta: _Resultado de la medici6n: _

7.18. Incertidumbre relativa: 2.5 X l<r'.Promedio: 682.3 mS•

Incertidumbre absoluta: _Resultado de la medici6n: _

7.19. Para anotar el resultado de una medida cuando se co-noce el promedio y la incertidumbre relativa, primero hayque determinar la incertidumbre absoluta.Promedio: 248 mm. Incertidumbre relativa: 2 X 10""".Resultado: ± _

7.20. Se encuentra, como resultado de un dlculo, que el pro-medio de una distancia es 526.345 62 .. , km y que la incer-tidumbre absoluta es de 1.5 km. Las ultimas cifras decimalesdel promedio son inutiles y es l6gico querer redondear hastala cifra del mismo orden que la de la incertidumbre abso-luta; vamos a ver que se debe tomar una precauci6n previa.Si dm = 526.34562 ... km y ~d = 1.5 kmdmh = 527.84562. " km.Esto significa que la distancia real es caSl seguramente infe-rior a 527.845 62 .. , km.Si dm = 526.3 (valor redondeado) y ~d = 1.5 kmdm"-x = 527.8 km.Esto significa que la distancia real es casi seguramente infe-rior a 527.8 km y que no puede ser igual a 527.82 km, mien-tras que este valor sl es posible si partimos de 105 numerosno redondeados (527.82 < 527.84562). Facilmente puedeeliminarse esta dificultad recordando que la incertidumbreabsoluta es una estimaci6n y que se puede aumentar un pocosin traicionar los resultados experimentales.Por tanto, vamos a modificar la estimacion de la incertidum-bre absoluta aumentando su segunda cifra en una unidad.dm = 526.345 62 km se convierte en d = 526.3 km,~d = 1.5 km se transform a en ad km.De esta manera dm.bc= 526.3 + = km.Afirmando que el valor medido es seguramente inferior a527.9 km, ~contradecimos el hecho de que es inferior a527.84562 km? _

0.22 s35.43 ± 0.22 s

1.7 mS

682.3 ± 1.7 mS

1.61.6 527.9

7.21. Cuando se anota un resultado, se obtiene a veees elpromedio por una divisi6n que no es exaeta.Entonees hay que:

A. Aiiadir una unidad a la segunda cifra signifieativa de laineertidumbre absoluta;

B. Redondear el promedio hasta la eifra del mismo orden quetal cifra.

Ejemplo: Promedio de un volumen: 124.236 ... emS.Ineertidumbre absoluta: 1.5 em3.

A. Hay que aiiadir 1 a la segunda cifra signifieativa de laineertidumbre absoluta, que se eonvierte en: _

B. La segunda cifra de la ineertidumbre absoluta es la delas decimas, por 10 que hay que redondear 124.236 ... em3

hasta las , 10 que da _Por tanto, el resultado es _

Am = 0.15 g____ B. mm

7.22. mm = 182.372 1... gA. Am (modifieado)Resultado _

7.24. Lm = 1.279 4 mm AL = 0.02 mmL= _gm = 9.8065 ... m/s2 Ag = 0.015 m/s2

g =

7.25. Aeabamos de ver e6mo se puede calcular la ineertidum-bre absoluta cuando se conoce la incertidumbre relativa y elpromedio de las medidas. Tambien se puede ealcular la in-certidumbre absoluta cuando se conoce el intervalo de eon-fianza: su extensi6n vale el doble de la incertidumbre abso-luta; por consiguiente: para hallar la incertidumbre absolutaa partir del intervalo de confianza, basta con _entre 2 su extensi6n.

Extensi6n del intervalode eonfianza

3 km0.4 s

decimas 124.2 cmll

124.2 ± 1.6 cm:{

0.16 g 182.37 g182.37 ± 0.16 g

7.26. Umites del resultado: 550 cm2 y 556 cm2•

Gmin GmaxExtension del intervalo de cohfianza:

___ cm2•

7.27. Umites del resultado: 4200 cm3 y 4216 cm3•

Incertidumbre absoluta: _

7.28. Para anotar el resultado cuando se conocen sus limites,hay que buscar primero la incertidumbre absoluta. Umitesdel resultado: 3 624 mg y 3 630 mg.Incertidumbre absoluta: _

7.29. Para anotar el resultado, hay que determinar el pro-medio.

Gmin = Gm - ~G,luego Gm Gm{n

promedio limite inferiorUmites del resultado: 3 624 mg y 3 630 mg.Incertidumbre absoluta: 3 mg.Promedio = _

7.30. Medida de una distancia.Umites del resultado: 273 km y 277 km.Resultado de la medida: _

Si necesita ayuda} lea 10 que sigue.

La incertidum bre absoluta es igual a _El prorrredio es igual a _Si todavia tiene dificultades, relea el cuadro 7.28.

7.31. Umites del resultado: 48.3 s y 48.9 s.Resultado: _

7.32. Por definicionluego ~G = Gmax

7.33. ~G = Gmax - GmEl limite superior del resultado de una longitud es 328 mm;la longitud promedio es 326 mm.La incertidumbre absoluta es igual a

7.34. Umite superior del resultado: 4.75 g.Promedio: 4.72 g.Incertidumbre absoluta: _

2 km275 km

Datos lncertidumbre Resultadoabsoluta

R1 - 2.4 X lQ-3 Al -- -1m = 62.5012 ... mm

tmax - 12.8 s At -- -tm1n = 42.2 s

Vmax = 1240 cm3 AV =Vm = 1234 cm3

(promedio)

[f] Le aconsejamos suspender aqui y reanudar este capitulodespues de un descanso.

f 7.36. REVISI6N.Si comete un error, no deje de consultar Ios resumenes parareleer Ia regIa indicada entre parentesis.

Ponga una X en las !ineas adecuadas.Falta.

de obser·vacion

Errore~sistema-

tico!

Se pueden corregir 0 evitar.Con frecuencia afectan s6Io auna medida.Afectan a todas las medidas deuna serie:• En el mismo sentido• Tanto en un sentido como

en otro.

7 7.37. Ponga una X en las casillas que se refieren a las mag-nitudes afectadas de incertidumbre:o Medida de una temperatura.o Enumeraci6n de Ios alumnos de una clase.o Numero fijado arbitrariamente.o Duraci6n de Ia caida de una piedra.

f 7.38. Los metodos de medici6n y Ios instrumentos no sonabsolutamente perfectos, de manera que cada medida quedaafectada por pequenos errores cuya magnitud y cuyo sentidovarian de una medici6n a otra. Son 10serrores _Ios que hacen que cada medida este afectada de __________ y que Ia medici6n de una magnitud reopetida varias veces de resultados Iigeramente _

D.l5 mm(:)2.50 ± 0.16 mRegIa: (7)3. (7)8.

0.3 sRegIa,:

42.5 ± 0.3 sy 6. :RegIa: (7)0,

6 tm$ 1 234 ± 6 cmll:RegIa: (7)7.

{2J (gJ 0 RegIa: (1)l'1.

fEJ 0 0 R.egla: (1)8.

0 fEJ (gJ RegIa: (l)O,(1)13

0 (gJ 0 :RegIa: (I )9.

0 0 18l Regia (1H3.

fortuitos 0 inapreciables:Regia: (l)U.

incertidumbre:RegIa.: (1) 9 Y .2(),

diferentes(es aceptable decir talsos 0erroneos)

7 7.39. Cuando se recomienza varias veces la medicion de lamisma magnitud, se obtiene una serie de mediciones. Paraque esta serie sea una serie normal de mediciones) son neee-sarias dos condiciones:

,. 7.40. He aqui una serie normal de mediciones de un volumen:21.3 21.4 21.3 21.2 21.221.5 21.3 21.5 21.1 21.2 cmll•

Calcule el promedio: _Halle la incertidumbre absoluta: _Anote el resultado: _

Los limites del resultado son y _Anote el intervalo de confianza: _La extension del intervalo de confianza: _La incertidumbre relativa vale:~Esta medicion es __ rudimentaria, __ eorriente __ precisa?

,. 7.41. He aqui una sene de mediciones de una distancia:433 431 432 431 434432 432 431 433 433 kmAnote el resultado de esta serie de medidas: _

El valor exaeto esta casi seguramente comprendido entre----y----Estime el conjunto de los valores posibles: _

,. 7.42. Se efectua una serie de diez pesadas de un objeto conuna balanza exacta y se obtiene siempre 3 124 mg.Se comprueba que hay que afiadir 0.5 mg a uno de 10s pla-tillos de la balanza para hacer que la aguja se desvie.Anote el resultado:Ineertidumbre relativa: _

Esta medicion es __ rudimentaria, __ corriente, __ precisa.

• El numero de medicio-nes debe ser igual 0 su-perior a 10.

• Las medieiones deben es-tar despro vistas de errorsistematico.

Regia: (2) 12.

21.3 em!!Regia.: (2)21 y 22.

0.2 em3Regia>: (3)f>. 6. 8.

21.3 ± 0.2 em3Regia: (3)9.

21.1 em3 21.5 cm3Regia.: (4)4. 5.

{21.1 .. , 21.5 em3 }Regia>: (4)8. 9.

0.4 cmllRegIa.: (4) 12. 13.

9.4 X 1<r~0 0.0094Regia.: (6)2. 5. 8.o ~ 0

Regia: (6)12.

432.2 ± 1.8 kmRegia: (3)11

Si contest" (432 ± 2 km) su respues-ta es igualmente buena.

Regia: (2)20 A Y B.430.4 km 434 km

(0 430 Y 434)Regia: (3)10B.

{ 430.4 ... 434 km }o {430 .. , 434 km }

Regia: (4)1I B.

4.2 X 1<r~0 4.6 X 1O~1RegIas: (6)2. 8.o ~ 0

Regia: (6) 12.

3 124.0 ± 0.5 mg(0 3 124 ± 0.5 mg)

RegIas: (5)1. 3.0.16 X 10--3RegIa.: (6)4. 9.o 0 ~

____ R.e.gla; 6 12.

~ 7.43. Se mide un voltaje con un vo1timetro provisto de unagraduacion cuyo interva10 entre dos trazos representa un volt.No se intenta leer entre dos graduaciones y se obtiene 218 volts.Resultado: _

'7 7.44. He aqui una serie de medidas de una duracion t:327.5 327.1 327.6 326.9 327.3 327.1327.2 327.5 327.1 327.4 327.1 327.6 s.E1 promedio de esta serie vale 327.283 s.Promedio correctamente redondeado: _

La magnitud esta comprendida casi seguramente entre _y----

'7 7.45. Incertidumbre re1ativa: 0.003 2 (3.2 X 10-a).Promedio: 141.534 2 mm.Incertidumbre absoluta: _

Redondee correctamente el promedio: _

Resultado: _

~ 7.46. Escriba e1 signo ::::::entre 10s resultados que son igua-les entre 10s limites de las incertidumbres de medida y elsigno "t:. entre los resultados que no 10 son.27.3 ± 2 27.6 ± 2.5.41 ± 0.03 5.36 ± 0.03.0.823 ± 0.02 0.829 ± 0.02.

77.47. Supongamos que se mide una magnitud cuyo simbo10cs G.Gm representa de las medidas.

aG representa _

RG representa _

Gmax representa _

Gmln representa _

{ Gmln ... Gmax} representa _

218.0 ± 0.5 volts(0 218 + 0.5 volts)

217.5 volt$ y 218.5 volts

327.3 S (0 327.28 s)Re{1a; (2) 20.

0.3t:S 0 0.4 s(medida mas baja 326.9; mayor separa·.,;16n; 0.01).

Regia; (3)8327.3 ± 0.4 s

032.7.28 ± 0.39 s326.9·s327.7 s

o 326.89 s 327.67 s

0.45 mmReglas: ~Vl,Q.

141.53Regia; (7)8.

141.53 ±·0.46 mmRegia; (7)8.

"t:.Reglas; (5)6, 8, 9.

el promedio Re~la; (4) 14.

Ja inc.ertidumbre absolutaRegia; (4)\ 4.

la incertidumbre relativaRegIa: (6)11.

ellimite sup.erior(del resultado) Rellla; (4)14.

ite inferiorado) Rellla: (4)14.

10 de confian'lade valores posi~ep.table)

'7 7.48. Si se mide un peso P, el promedio de las medidas es-tara representado por el simbolo , la incertidumbreabsoluta pol' , la incertidumbre relativa por , ellimite inferior del resultado por , el limite supe-rior del resultado por y el resultado mismo por

PmRegia: (4)2.AP Rp

RegIa: (4) I. P RegIa: (6)3.

mfnRegIa: (4)5 B.

Pmax Pm ± APRegIa: (4)4 B. RegIa: (4)3.

Calculo deincertidumbres

-f 8.1. Cuando se efectua una operacion con numeros que noestan afectados de incertidumbre, el resultado, evidentemen-te, tampoco esta afectado de incertidumbre.Por 10 contrario, si en una operacion un numero esta afectadode incertidumbre, el resultado estara tambien afectado de in-certidumbre.En 10s capitulos siguientes, usted aprendera a hallar la incer-tidumbre que afecta el resultado cuando se conoce la incerti-dumbre que afecta a cada dato. Si sigue la via relampagoJ

consulte el resumen 8; en caso contrario, pase al cuadrosiguiente (8.2).

8.2. 3 X (10 ± 0.2 mm) ?El resultado es A. 30 mm.

B. 29.4 mm.C. 30.6 mm.D. Uno de estos tres numeros.E. Uno de 10s numeros comprendidos entre

29.4 mm y 30.6 mm, ambos incluidos.

Escoja la mejor respuesta: _

8.3. Si su respuesta al cuadro precedente fue correcta, pasedirectamente al cuadro 8.4; en caso contrario, lea atentamen-te 10 que sigue.En la operaci6n 3 X (10±0.2 mm), el numero que se mul-tiplica por 3 puede ser 9.8 mm (= 10 - 0.2), 10.2 mm(= 10 + 0.2) 0 no importa que numero comprendido entre

estos dos limites. El resultado de esta operaclOn puede 'ier29.4 mm (= 3 X 9.8) 0 30.6 mm (= 3X 10.2) 0 cualquierotro numero comprendido entre estos dos limites.

No hay TeSpllesta.

8.4. El resultado de la operaclOn 3 X (10 ± 0.2 mm) puedeser cualquier numero comprendido entre 29.4 mm y 30.6 mm,ambos incluidos. Por tanto, el intervalo de confianza del re-sultado de esta operacion es {29.4 ... 30.6 mm} y la incer-tidumbre absoluta vale, por consiguiente: _Resultado de la operacion: 30 ± mm.

8.5. Operacion: 3 X (10 ± 0.2 mm).Resultado: 30 ± 0.6 mm.Cuando se efectuan operaciones con datos afectados de incer-tidumbre el resultado queda tambien afectado de incertidum-ble; pero esta incertidumbre no es, en general, la misma queafecta a 10s datos.El proposito del cdlculo de incertidllmbres es determinar laincertidumbre del resultado de una operacion a partir dela incertidumbre de cada dato.Asi, si se ca1cula el volumen de un cubo de 42 ± .05 mm delado, se encuentra 423 = 74088 mm3; pero se ignora la in-certidumbre absoluta que afecta tal resultado. Las reglas quenos permitira.n encontrarla constituyen el _

8.6. Si se mide la longitud de un rectangulo para ca1cularsu area, es posible que las causas fortuitas de error den unresultado muy pequeno.Cuando se mide la anchura del rectangulo, tambien es posi-ble que se cometa otro error por defecto; pero tambien esposible que se cometa un error par exceso: el hecho de quese haya cometido un error por defecto en la longitud no vaa influir en el error cometido en la anchura. En este caso,se dice que 10s errores son independientes.El ci1culo de incertidumbres se aplica solo en el caso de quelos err ores sean errores independientes.

No hay respuesta.

8.7.La figura 9A representa una barra rigida. En cada extremoesta suspendida una carga. Se determina, al tanteo, de quepunto hay que sostener la barra para que quede en equilibrioy se miden las distancias de este punto a cada extremo (L y L').Supongamos que el punto hallado queda demasiado a la iz-

0.6mmReglas: (7)5 y 6.

0.6

cilculo deincertidumbres

A L' (demasiado largo)I L (demasiado corto) I- -I

I .., .., Ij posicion exacta

B posicion (admitiendo quehallada se pudiera conocer)

quierda; L quedani entonces afectado por un error por de-fecto y L' par un error por (fig. B) .Inversamente, si L' quedara afectado por un error por exceso,L quedaria afectado por un error por _~Se pueden hacer figurar L y L' en un calculo de incerti·dumbre? _

prom,dio prom,dio8.8. X = a X b a = 1.5 ± 0.1 m b = 3.0 ± 0.2 mOperaci6n con los promedios = 1.5 X 3.0 = 4.5 m2•

EI resultado de la operaci6n con 10s promedios se llama re-sultado promedio; en el ejempl0 de que se trata, el resultadopromedio es _

8.9. X = m + n m = 12.0 ± 0.5 gn = 6.0 ± 0.5 g

El resultado promedio de esta suma es _

8.10. Ahora, trataremos de calcular las incertidumbres en elcaso de que la operaci6n sea una suma.He aqui una varilla de acero y otra de aluminio, colocadasextremo con extremo.

varilla de acero142 ± 0.5 mm

varilla de aluminio23.2 ± 0.1 mm

A causa de la incertidumbre en la 10ngitud de cada varilla,la 10ngitud del conjunto esta a£ectada de incertidumbre. Tra·taremos de calcular 10s limites del resultado de la 10ngitudtotal.Longitud maxima de la varilla de acero: 142 + 0.5 = 142.5milimetros.

No()r<puelas .incertidumbresde .1. y L'

son dependientes una de la (jtra.

18 g(suma de 10s promedios)

Longitud maxima de la varilla de aluminio:23.2 + 0.1 = 233 mm.Longitud maxima del conjunto: 165.8 mm.Longitud minima de la varilla de acero: _Longitud minima de la varilla de aluminio: _Longitud minima del conjunto: _Limites de la longitud del conjunto: 165.8 mm y

141.5 mm23.1 mm

164.6 mm164.6 mm

8.11. Limites de la longitud total: 164.6 y 165.8 mm.Incertidumbre absoluta en la longitud total: _

8.12. Compare las incertidumbres absolutas:de la longitud de la varilla de acero: 0.5 mm,de la longitud de la varilla de aluminio: 0.1 mm,de la Sllma de las longitudes (longitud total): 0.6 mm.La incertidllmbre absoluta de la suma de las longitudes esigual a la de las incertidumbres absolutas decada longitud.

8.13. Otros ejemplos 0 una demostracian mas general mos-trarian que LA INCERTIDUMBRE ~BSOLUTA DE UNA SUMA ES IGUAL

A LA SUMA DE LAS INCERTIDUMBRES ABSOLUTAS DE CADA TERMINO.

Asi, la incertidumbre absoluta de la suma de dos duraciones26 ± 0.2 S Y 10 ± 0.3 s es igual a 0.2 + 0.3 = s.Igualmente. la incertidllmbre absoluta de la suma de dos lon-gitudes 328 ± 0.5 mm y 128 ± 0.2 mm es igual a: ___ + __ 0.5

unidad

8.14. La incertidumbre absoluta de la masa de un carnian esde 100 kg; la incertidumbre absoluta de la masa de su cargaes de 200 kg; la incertidumbre absoluta de la masa del ca·mian cargado es igual a _

8.15. La longitud de un tramo de carretera, leida sobre unmapa, es 1400 ± 100 m; la longitud del tramo siguiente esigual a 3 500 ± 200 m.Resultado promedio: _Incertidumbre absoluta: _Resultado: ± _

4900 m300 m

4900 m 300 m

8.16. Ahora, vamos a buscar la incertidumbre absoluta deuna diferencia. Veamos primero un ejemplo:un recipiente lleno tiene una masa igual a 1 570 ± 20 mg;este recipiente vacio tiene una masa igual a 320 ± 5 mg.Masa del contenido (diferencia): 1 250 mg.Todavia no sabemos de que incertidumbre debemos afectarla.Determinemos primero los limites.

l\fasa maxima del recipiente Heno: I 570 + 20Masa minima del reClplente lIeno: I 570 20Masa maxima del recipiente vacio: _Masa minima del recipiente vacio:

1590 mg.1550 mg.

recipiente /lena

recipiente vacfo

325T contenido m(nim~.

contenido maximo

Vemos que el cantenido pesa COInOmInima:I 550 - 325 = I 225 mg, y como maxima:

____ mg.

8.18. Limites del contenida: mlnImo: I 225 mgmaximo: 1275 mg.

Extension del intervalo de confianza: mg.Incertidumbre absoluta: mg.Si recuerda que Ias incertidumbres absolutas de cada terminovalian 20 mg y 5 mg, comprobara que la incertidumbre abso-luta del contenido (la diferencia) es igual a la _(jatencion!) de las dos incertidumbres absolutas.

819. La incertidumbre absoluta de una diferencia es iguala la suma de las incertidumbres absolutas de cada termino.La incertidumbre absoluta de una longitud es igual a 0.5 mm,la incertidumbre absoluta de otra longitud e£ igual a 0.1 mm.La incertidumbre absoluta de la diferencia entre esas dos lon-gitudes es igual a _

8.20. Por la manana, un meteorologo mide la altura de lacolumna de mercurio del barometro con una incertidumbreabsoluta de 0.2 mm.Par la tarde, mide de nuevo la altura de mercurio con unaincertidumbre absoluta de 0.2 mm.Calcule la diferencia entre ambas medidas; su resultado que-dara afectado por una incertidumbre absoluta igual a _

8.21. Un cuerpa esta a la temperatura de 25 ± 0.2 °C.Se Ie calienta hasta que alcanza 135 ± 1°C.Su temperatura ha aumentado en ± _

320 + 5320 - 5

325 mg315 mg

8.22. Si S.6.S:;:: .6.a _

8.23. S:;:: a + b - c.a = 200 ± 3 m, b = 475 ± 1 m,.6.S = _S = _Incertidumbre relativa: Rs = _

8.24. Ahora intentaremos encontrar la incertidumbre absolu-ta en el peri metro de un cuadrado cuyo lado mide L = 123 ±± 0.5 mm.

p = 4Lperimelro longilud del lado

Esta formula puede disponerse bajo la siguiente forma:p=L+L+ __ +__ .

Illcertidumbre absoluta en el perimetro (en milimetros) :

--- + -- + --- +---

8.25. Formula del perimetro: p.6.p = __ X .6.L.2 mm 0.5 mm

8.26. El producto "4L" se compone de dos factores __ y _,'Uno de estos factores es un numero exacto: es ,.El otro factor es una magnitud afectada de incertidumbre:es

8.27. P = 4 L, .6.p = 4.6.L.Para hallar la incertidumbre absoIuta del producto de unamagnitud por un nllmero exacto, basta multipIicar Ia incer-tidumbre absoIuta de Ia magnitud por el numero exacto.Capacidad de un recipiente: V = 250 ± 0.8 cm3•

Incertidumbre absoIuta en la capacidad de 10 recipientes ab-solutamente identicos:Capacidad de Ios 10 recipientes: ± _

8.28. Longitud en milimetros: 25.4 X Iongitud en puigadas.En esta formula, 25.4 es un numero fijado arbitrariamentey, por tanto, no esta afectado de incertidumbre; es un factorexacto.Resultado de la medicion de una Iongitud: 12.5 ± 0.1 puI-gadas.Transformaremos este resultado a milimetros multipIicandopor el factor exacto 25.4.

6 m (3 + 1 + 2)622 ± 6 m

9.6 X lo-a 0 0.009 6(0.01 tambien es correcto)

0.5 0.5 0.5 0.52mm

4 L4

8 cm3 (0.8 cmil X 10). 2500 8 cmil

A. Longitud promedio en mm: 12.5 X 25.4 == 317.5 mm.B. Incertidumbre abso1uta en mm: X

redondee ado. cifra•.

C. Resultado expresado en mm: _

8.29. Longitud L = 123 ± 0.5 mm; RL = 4.1 X W-a.Perfmetro: P = 4L = 492 ± 2 mm; Rp = 4.1 X 1O-a.Otros ejemp10s conducen a 1a misma conclusion:La incertidumbre relativa de un producto de una magnitudpor un numero exacto es igua1 a 1a incertidumbre relativa de1a magnitud misma. *Capacidad de un recipiente: 250 ± 0.8 cm3•

IrJcertidumbre relativa:Incertidumbre Te1ativa en 1a capacidad de 10 recipientes:

• Puede tratar de demostrar esta proposici6n.Tesis: X = nex' a => Rx = Ra (se sabe que AX = nex Aa).

8.30. E1 producto de una magnitud por un numero exactoqueda afectado:• De una incertidumbre Telativa 1a incerti--------

dumbre relativa que afecta a 1a magnitud.• De una incertidumbre ABSOLUTA igua1 a1 _

de 1a incertidumbre ABSOLUTA que afecta a 1a magnitud pore1 ---------------

d 18.31. r = 2 puede escribirse r = 2 . d.

Dividir d entre e1 numero exacto 2 equivale a multip1icarlopor el numero exacta -. cComo hallar AT sf conoce Ad?

8.32. d

dr - 2'

214 ± 0.4 mm.

AdAr = - =2 -n-u-m-ero--un-id-a-d

8.33. Una mo1ecu1a de claro contiene 2 <homos y tiene unamasa de 70.90 ± 0.02 unidades.

70.90Masa de un choma de cloro: --2- = 35.45 unidades.

3.2 X 1O~1(0 0.003 2)

3.2 X 10-a (0 0.003 2)

3.2 X 10...,'l (00.0032)

Dividiendo Ad entre 2 (parque esto equiva1e a multi

p1icar par ~)

Incertidumbre ahsoluta en la masa de un atomo de cloro: 0.02-- 0.01operacion 2

Resultado: ± unidades. ::15.45 0.01

8.34. La incertidumbre relativa del producto de una magni-tud por un numero exacto es igual a la incertidumbre relativadt' la magnitud.De igual manera, la incertidumbre relativa del cociente deuna magnitud dividida entre un numero exacto, es igual a laincertidumbre relativa de la magnitud.

. potenciaDesarrollo comerClal: 4 .

Incertidumbre relativa de la potencia: 0.03.Incertidumbre relativa del desarrollo: _

8.35. cEn que operaciones, entre las siguientes, son validaslas reglas que acabamos de ver?Magnitud X magnitud,Magnitud X factor exacto,Magnitud magnitud,Magnitud ..;..numero exacto,Numero exacto -+ magnitud.

8.36. La incertidumbre relativa mide la preclSlon.Si se multiplica 0 si se divide una magnitud por un numeroexacto, cse modi fica la precisi6n?, cpor que?

d8.37. r - 2' 2

x =-.a

codente de unamagnitud entre un

Dumero ex acto

codente deun numeroex acto entre

una magnitud

AIR

CEn cuM de los casos la incertidumbre absoluta del resultadoes igual al cociente de dividir la incertidumbre absoluta enla magnitud entre el numero exacto? '

x = 25.2 ±y = 12.6 ±

aA = , A = _

0.5 mm0.2 mm

No, porque la inccrtidumbre relativa permaneceigual.

8.39. L = 4x x= 12.6 ± 0.2 mm Rx 16 X 1~~L ,L 0.8 mm 50.4 ± 0.8 mmRL = 16 X 10-'J (igual)

8.40. B=x-y x = 38.6 ± 0.2 sy = 14.1 ± 0.1 s

~B ,BRB .' cxplicaci611:

o.~ID

8.41. Qx

38.6 ± 0.2.s.- x Rx 5.2 X 10-'J2

.~Q - ,Q 0.1 s 19.3 ± 0.1 s-

RQ 5.2 X IQ-'J (igual)

8.42. En resumen, ,como se determina la incertidumbre ab-soluta?• ,De una suma? _ Se suman las incertidum-

bres absolutas en cada ter-• ,De una diferencia? mlno.

Se suman las incertidum-• ,Del producto de una magnitud por un numero exacto? bres absolutas de cada ter-

ino.Se multiplica la incertidum-

• ,Del cociente de una magnitud entre un numero exacto? hre absoluta de la magni-tud por el numero exacto.e divide la incertidumbre

absoluta de la magnitud en-8.43. ,En que operaciones la incertidumbre relativa del re- tre el numero exacto.sultado es igual a la incertidumbre relativa de la magnitud?

:Multiplicacion y divisionde la magnitud por un nu-

ero exacto.

Calculode incertidumbres

(continuQcion)

,. 9.1. REVISI6N.Promedio: Gm = 12.1321 ... mm.Incertidumbre relativa: RG = 20 X lQ-3.Incertidumbre abso1uta: _

,. 9.2. REVISI6N.He aqui dos resultados de mediciones:

583 ± 5 m 589 ± 5 m.cSon igua1es entreLea e1 resumen 8,cuadra siguiente.

No hay respuesta.

v10s limites de 1as incertidumbres? S\ "comp1etando 10s ejemplos. Pase despues al

,. 9.3. iTEST! Supongamos que se hagan dos pesadas sucesivasen el mismo recipiente cuya tara se conoce. Si esta qued6afectada por un error por defecto, el primer resultado (dife-rencia pesada - tara) quedara afectado de un error por exce-so, debido a1 valor demasiado pequeno de 1a tara restada. Elsegundo resultado tambien seri afectado de un error porexceso por identica razon. Los errores en la medida de unamagnitud (segunda pesada) estin 1igados a 10s errores de laol.ra magnitud (primera pesada).En este caso, cse pueden ap1icar 1as reglas ordinarias del caIeu-10 de incertidumbres? . cPor que? _

12.13(0 12.1

0.24 mmc()ntC$to:

( • !\C.

(3)7 D(7)3 CD(7)3 D

0.25 mm0.3 mm)

NoRegia: 8(4)

Los errores estin ligados

7 9.4. jTEST!S = a + b a = 81 ± 2 mm

b = 70 ± 1 mmIllcertidumbre abso1uta: AS = _Resultado: S =: ± _

'7 9.5. jTEST!D=a-b 324 ± 3 s

110 ± 2 sADDRD

~ 9.6. iTESTIL = L1 + L2 - La 130 ± 2 km

246 ± 4 km51 ± 1 km

~ 9.7. jTEST!Perimetro de un hexagono regular: 6 X 10ngitud de un lado.Longitud del lado: 25.4 ± 0.2 mm.Incertidumbre abso1uta del perimetro: _Incertidumbre relativa del 1ado: 7.9 X 10-3.Incertidumbre relativa del perimetro: _Perimetro: ± _

~ 9.8. jTEST! Cien objetos absolutamente identicos * pesan:246 ± 1 gramos.

246Masa de un objeto: 100 = 2.46 gramos.

Incertidumbre absoluta de 1a masa de un objeto:

• Es decir, mas exactamenlc, no se puede tlescubrir entre dlos diferencia aI-guna con un instrumento de medida mu)' sensible.

3 mmRegia: (8)6 A.

15-1 3 mm

20 X 10-3 0 0.02

5 sRegIa: (8)6 B.

214 ± 5 s23 X 10-3 0 0.023

o 0.02

7 kmRegia: (8)7

325 ± 7 km21 X 10-3 (00.021)

1.2 mmRegia: (8)8 A.

7.9 X 10~3 (0.007 9)Regia: (8)8 B.

152.4 1.2 mm

0.01 gramos4.1 X 10-3 04 X 1~'l

o 0.0044.1 X 10-3 0 4 X 1~'l

o 0.004Sf

Note, de pasada, que con una balanzasensihle a un gramo se ha obtenido lamisma precisi6n que si hubicra sidosensible a 0.01 gramos; pero los obje-fos eran absollll~dellticOS.

~ 9.9. CUENTE CUANTOS ERRORES HA COMETIDO EN LOS CUADROS

DF TEST. SI COMETIO:

7 errores 0 mas (excluyendo errores de caleulo): necesita haceruna revision; pera sin olvidar que si usted retrocede es solopara mejorar; repase el capitulo 8 releyendo todos Los cuadros.4 a 6 errores (excluidos los errores de dleulo): esta bien; perapara proseguir con mayor acieno todavia:• Relea el resumen 8 y los ejemplos si sigue la via normal;• Repase el capitulo precedente por via normal si sigue la

via reLdmpago.3 errores 0 menos (excluidos los errores de caleulo): ha asimi-lado la materia anterior panicularmente bien.

Ha estudiado como se ca1cula la incertidumbre absoluta enel resultado de una suma, de 'Una diferencia y de un productoo de un cociente por un numero exacto. Estas operaciones nosen las unicas de la aritmetica y Ie queda aun por aprendercomo se halla la incertidumbre absoluta en un producto, uncociente, una potencia 0 una raiz de magnitudes. Vera que,en este caso, primero hay que caleular la incertidumbre rela-tiva ... pero no nos anticipemos y pasemos al cuadra siguiente0, por la via reldmpago solamente, al cuadro 10.1.

9.10. Busquemos el area de una lamina de la que conocemoslas dimensiones:800 ± 2 mm de longitud y 200 ± 1 mm de anchura.Valor promedio de la longitud: 800 mm.Valor promedio de la anchura: 200 mm.

Valor promedio del area:Sm = 800 X 200 = 160000 mm2

Valor minimo de la longitud: 798 mm.Valor minimo de la anchura: mm.Valor minimo del area: Smln = X _

158802 mm2 ;:::; 158800 mm2

Valor maximo de la longitud: 802 mm.Valor maximo de la anchura: mm.Valor maximo del area: Smh = ____ X _

161 202 mm2 ~ 161 200 mm2

Intervalo de confianza del area: _Extension del intervalo de confianza _

Incertidumbre absoluta en el area: ,1SResultado: S =

199798 199

(0 199 X 798)

201802 . 201

(0 201 X 802){ 158800 ... 161 200 mm2 }

161 200 - 1588002400

1200 mm2

160000 ± 1200 mm2

9.11. Area = 10ngitud X anchura.Incertidumbres absolutas: 1 200 mm2, 2 mm y 1 mm.No se advierte facilmente una relacion entre la incertidumbreen el area por una parte (1 200 mm2) y las incertidumbres enla 10ngitud (2 mm) y en la anchura (1 mm) por otra. Puestoque las incertidumbres absolutas no revelan nada, calculemoslas incertidumbres relativas.

Incertid urnbresabsolutas

Incertidumbresrelativas

Longitud X anchura800 200

area160000 mm2

2RL = 800 Ra = -- Rs =

(bajo forma de fracci6n)

RL 2.5 X 10-3Ra = 5 X 10-3Rs =.7.5 X 10-3

Vea que la incertidumbre relativa del area (7.5 milesimas)es igual a la de las incertidumbres relativasde la 10ngitud (2.5 milesimas) y la anchura (5 milesimas).

9.12. Otros ejemplos nos conducirian a la misma conclusion:la incertidumbre relativa de un producto es igual a la _de las incertidumbres relativas de cada factor.Nota: Si tiene amplios conocimientos de matemdticas, trate dedemostrar esta proposicion:Tesis: P = a . b => Rp = Ra + Rb

Calcule primero Pmlx - PmiD> desarrolle y divida entre 2: ob-tendra ap. Divida despues 10s dos miembros entre P ab.Encontrara esta demostracion en el apendice 2.

9.13. La incertidumbre relativa de un producto es igual a lasuma de las incertidumbres relativas de 10s factores.

P = mg. Incertidumbre relativa de mIncertidumbre relativa de gIncertidumbre relativa de P

2 X 10-35 X 10-3

9.14. Si x = a' b,Si x = a + b,

Rx= Ra _

ax=aa _

9.15. La incertidumbre de un productoes igual a la suma de las incertidumbres _de 10s factores, mientras que la incertidumbre _de una suma 0 una diferencia es igual a la suma de las incer-tidumbres de cada termino.

1200

1200160000

relativarelativasabsoluta

9.16. Calcu1e 1a incertidumbre relativa del area de un rectan-gu10 cuyos lados (a y b) miden, respectivamente, 25 ± 0.5 mmy 15 ± 0.5 mm.S = a' b.Calcule primero 1as incertidumbres relativas de a y b.

R.Rb

Rs

9.17. Calcule la incertidumbre relativa de 1a distancia reco-rrida por un objeto que viaja a la ve10cidad constantev = 2.8 ± 0.1 m/s durante el tiempo t = 9.3 ± 0.2 s,d = v . t,

Rd = ---------

9.18. La incertidumbre relativa de un cociente es tambienigual a la suma de 1as incertidumbres relativas de los termi-

nos del cociente. Asi, si q = :' Rq = R. _

Nola 1. De hecho esta igua1dad es aproximada, pero la aproxi-macion es buena y muy inferior alas aproximaciones queafectan alas incertidumbres en si mismas, porque estas, no 10oJvidemos, son solo estimaciones.

Nola 2. Si usted tiene amplios conocimientos de matematicas,trate de demostrar esta proposicion:

Tesis: q = : => Rq ;::::;R. + Rb Y verificar su demostracion

con el apendice 2.

9.19. La potencia de una maquina esta dada por la formula

p = W. Si la incertidumbre relativa de W es igual a 0.03 yt

la incertidumbre relativa de t igual a 0.02, la incertidumbrert>lativa de P es igual a

M9.20. Calcule la incertidumbre relativa de p = V

M = 232 ± I g, V = 85.5 ± 0.5 cm3

Incertidumbres relativas: de M = _de Vde p = _

20 X l()-.'l (0 0.02)33 X 10-:) (0 0.033)53 X 10~ (0 0.053)

Ex/J/icfui(m:Rd = Rv + Rl

= 36 X 10'" + 22 X 10'"

4.3 X 10--15.8 X 10-a (0 5.9 X 10~)

10 X 10-3 0 0.01

9.21. Calcule la incertidumbre relativa de P.P'V'V

P' = 1 625 ± 5 gf/cm3, V' = 200 ±Rp• = Rv• = -----------Rv = Rp;::::: ----------

9.22. Se puede hallar fici1mente 1a incertidumbre relativa deun producto 0 un cociente.,Recuerda usted como se calcula la incertidumbre abso1uta apartir de 1a incertidumbre relativa? _

9.23. Trate de encontrar 1a incertidumbre abso1uta (.:1V)d

de v =-t

21.2 ±y t = 13.5 ±

0.1 mm0.2 s.v = 15.7 ±

;:::::0.005;:::::0.015mm/s.

• Determine primero 1a incertidumbre relativa de v:

Rv =------• Determine despues laresultado promedio (vmrelativa (Rv) . .:1v=

incertidumbre absoluta a partir del15.7 mm/s) y de 1a incertidumbre

____ X _

Si tiene dificultad, relea las reglas (7) 1 a (7) 3 Y efectue losejercicios que 1as acompafian. '-Resultado: v = 15.7 ± mm/s.

9.24. G = a . b; a = am ± .:1a, b bm ± ./lb.,.:1G?./lG = RG • Gm

1

! Para calcular .:1G,hace falta:I~ Calcular Gm. ,Como?

2~ Calcular sumando 1as incertidumbres relati-vas: RG = + _

3~'Por tanto, hay que calcu1ar primero y _

,Como? (Indique las formulas) _

3.1 X 10~~ 5 X 1O~"l3.3 X 10-3 11 X 1<rJ

(u 11.4 X 10-3)

Se multi plica la incertidUl11bre relativa por el resultado promedio.

Reglas: (7) I a (7)3.

0.02 15.7 0.32(y no 0.314)

Regia: (7)3 C.

multiplicando ampoT bm«apor b es aceptable) 0 muliplicando los datos.

R<,

9;25. Para hallar la incerti- Ejemplodumbre absoluta sobre un S = a bproducto, hay que: a = 50 ± 1 mm

b = 20 ± 0.5 mm

A. Determinar el resultado S - X- --- ----promedio. --B. Determinar la incertidum-bre relativa del producto:1. Calcul~r la incertidumbrerelativa de cada factor.2. Sumar las incertidumbresrelativas.

C. Determinar la incertidum-bre absoluta (producto delresultado y de la incertidum-bre relativa) .(Redondear a una 0 dos ci-fras y no olvidar la unidad) .

v V = 124 ± 2 m3

9.26. d = -.t t = 50 ± 0.5 s.

Calcule la incertidumbre absoluta de d.Resultado promedio: dm = m3Is.Incertidumbre relativa de d = _Incertidumbre absoluta de d = m3 Is.Escriba correctamente el resultado: _

3.21 ± 0.02 g1.36 ± 0.02 cm3

m9.27. p = V

unidad = g/cm3

Incertidumbre absoluta de p: _Resultado: _

Si tiene difiCtlltad, lea la regia (9)2.Si esta ayud(t no es suficiente, efectue el ejercicio siguiendoel sistema operatorio descrito en la regIa (9)5.

[f] Descanse un poco y prosiga ei curso a las p'Ocas horas.

9.28. Si C = a X a,Rc = + 2Por tanto, para hallar la incertidumbre relativa de un cua-drado, basta la incertidumbren'lativa de la magnitud.

50 201000 mm2

1Ra = 50 = 0.02

(0 20 X 10-.3)

R - 0.5 - 002J::b--- . ::>20 .(025 X 10-')

Rs = 0.045 (0 45 X 10-3)

2.4826 X 10-.3

0.0652.48 ± 0.065 m~Is

(0 2.48 ± 0.7 m3/s)RegIa: (7)8.

.049 g/cm3 ~o 0.05 g/cm3)

2.360 ± 0.05 g/cm3

9.29. C = x2 Incertidumbre relativa de x: 0.003.Incertidumbre relativa de C: _

Area de un cuadrado (5) cuyo lado es igual a:a = 25.2 ± 01 mm.Resultado promedio: a2 = (25.2)2 = 635.04 mm2.

Incertidumbre relativa de a = ~ = 4 X 10-3.25.2

Incertidumbre relativa de 5 a2:

Incertidumbre absoluta de 5 = a2: _

Resultado: 5 =9.30. x = 390 ± 1 kmC = x2 = 152 100 km2

m

AC = _

9.31. 5i K = a3 = a' a . a RK = __ + __ + _= __ Ra

5i Q = a4 = a' a . a . a RQ = __ Ra

Si P = an Rp = __ R •.La incertidumbre relativa de la potencia de una magnitud esigual a la incertidumbre relativa de esta magnitud multipli-cada por el de la potencia.

9.32. T = 200 ± 1 grados.Incertidumbre relativa de T: 5 X 10-3.Incertidumbre relativa de T4:

9.33. 5i no ha estudiado los exponentes fraccionarios, pasedirectamente al cuadro 9.34.Con un exponente fraccionario, va puede escribirse _5i x an Rx = n' R.

5i Y va = at Ry = _La incertidumbre relativa de y = va es igual a la _de la incertidumbre relativa de la magnitud a.

9.34. La incertidumbre relativa de la raiz cuadrada de unamagnitud es igual a la mitad de la incertidumbre relativa dela magnitud misma.r = VX Incertidumbre relativa de x = 0.06.

Incertidumbre relativa de r =

9.35. Numeros: a = 211.4 ± 0.8 X = vaIncertidumbres relativas: R. = 3.8 X 10-3;

Rx = --------,CmU de los dos numeros a y X es el mas preciso? _La raiz cuadrada de la magnitud es, pues, pre-

8 X Ilrl5.1 mm2

635.0 ± 5.2 mm2

RegIa: (7) BC

5.2 X 10-390 km2 152 100 ± 790km'

Regia: (7) 8.

Ra Ra Ra

34n

I"2 R.

mitad

1.9 X 10-3Regia: (9)7.

XRegia: (6) 10.

maS

Incertidumbres relativas: Ra = 2 x 10~ Rx = _,Cuat de 10s dos numeros a y X es el mas preciso? _El cubo de la magnitud es, pues, preciso que

9.37. La incertidumbre relativa del cuadrado de una rnagni-tud es veces que la incertidurnbre rela-tiva de la magnitud.El cuadrado es, pues, preciso que la rnagnitud.

mas/menosLa incertidurnbre relativa de la raiz cuadrada de una rnagni-tud es veces que la incertidurnbre rela-tiva de la rnagnitud.La raiz cuadrada es, pues, precisa que la rnag-

mas/menosnitud.

9.38.Incertidurnbre relativa de a = Ra = 2 X 1~Incertid urn bre relativa de b Rb = 4 X l~Incertidumbre relativa de p a·b Rp

Incertidurnbre relativa dea Rqq b

Incertid urn bre relativa de C 0' Rca-Incertid urn bre relativa de r va Rc

Incertid urn bre relativa de K a3 RK

9.39. X = Va a = 16 ± 0.2 cm2

Puede usted calcular facilmente la incertidumbre relativa dea y de X: trate, entonces de calcular la incertidumbre abso-luta de X (como 10 ha hecho en el casu de un producto) yanote e1 resultado final aqui debajo.Haga sus calculos, ordenadamente, en una hoja separada.X ± cm.

Si tiene clucla 0 dificultad, lea 10 que sigue:Calcule el resultado promedio Xm = y'll) =Trate de continuar solo; si no 10 consigue, he aqui algunacalcule la incertidumbre relativa de a:despues sobre x: _Trate de nuevo de continuar solo; si no puecle, calcule la incer-tidumbre absoluta (resultado promedio X incertidumbre rei a-tiva): em.

ayuda:------, y

6 X l(rla

menos

6 X l(rlReg]a: (9)3 A.

6 X l~Regla: (9)3 B.

4 X 1(rlRegia: (9)6.

1 X 1~Reg]a: (9)7.6 X 10--1Reg]a: (9)6.

12.5 X 1(}-'l (0 0.0125)6.25 X 1O~'l

9.40. X = a2 a = 4.10 ± 0.08Calcule la incertidumbre absoluta de X y anote el resultado:X=

• Haga sus calculos en hoja separada, redondeando las incer-tidumbres ados cifras significativas.Si no 10 consigue, he aqui la marcha a seguir (trate de uti·lizarla 10 menos posible):

• Calcule el resultado promedio.• Calcule la incertidumbre relativa de a.• Calcule la incertidumbre relativa de X (cubo).

'7 9.41. Se halla directamente la incertidumbre absoluta de unasuma 0 una diferencia, mientras que en un producto, un co-ciente, una raiz 0 una potencia de magnitudes, se halla direc-tamente la incertidumbre

9.42. Ponga una X en las lineas que se refieran alas opera-ciones en las cuales se halla directamente la incertidumbreabsoluta.

___ Suma de magnitudes.___ Producto de magnitudes.___ Producto de una magnitud por un numero exacto.

(iAtencion!)___ Raiz cuadrada de una magnitud.___ Diferencia de magnitudes.___ Cociente de una magnitud entre un numero exacto.___ Cociente de un numero exacto entre una magnitud.

(jAtencionl)

7 9.43. Ponga una X en las casillas que se refieran alas opera-ciones en las cuales, para hallar la incertidumbre absoluta,primero hay que determinar la incertidumbre relativa y mul-tiplicarla por el resultado promedio.

___ Elevar al cubo una magnitud.___ Diferencia de magnitudes.___ Producto de una magnitud por un numero exacto.___ Raiz cubica ~ una magnitud.___ Cociente de una magnitud entre un numero exacto.___ Cociente de un numero exacto entre una magnitud.

Cociente de dos magnitudes.

16.81 ± 0.69Si ha contestado:16.81 ± 0.7, lea la regIa(7) 8.Explicaritin:R =.!!!L x 10·' = 20 X 10·'

a 4.1R = 40 X 10·' (0 0.04)

xAX=R ·Xx= 40 X 10_' X 16.81

;:::::4 X 0.17;:::::0.68 -> 0.69 Regia: (7)8B

IZl RegIa. (9) 10 y (8)6.o -Regia: (9) 11 B.

IZl Regia: (9)12 A.

o Regia: (9) 1lB.

IZl Reglas: (9) 10 y (8)1i.

IZl Reglas: (9) 11 y (8) 10.o Regia: (1l)12.

IZl Regia: (9) II B.o Regia: (!J) 10 A.

o Regia: (9) 12 A.

IZl Regia: (9) II B.o Regia: (8) 12

IZl Regia: (8)12

X Regia: (9)11.

Sumando las incertidum-__________________________ , bres absolutas de 10s termi-

nos (0 cualquier otra).

,. 9.44, ~C6mo se halla la incertidumbre absoluta de una sum ao una diferencia?

,. 9.45, ~C6mo se determina la incertidumbre absoluta de unproducto 0 de un cociente de magnitudes? _

7 9.47. Descanse algunsiguiente:a = 40 ± 2 m,b = 16:0 ± 0.3 m,

0.05,0.02,

(50 X lQ-3).(20 X 10-a).

Incertidumbre lncertidumbreOpemci6n absoluta del relativa del Resultado

resultado resultado

X - a + b-

X - a- b-

X - 3a-

bX= -

2

X - ab-

bX=-

a sin unidad sin unidad

X = a2

X - Vb-unidad: m

tunidad: mt

1 •X - -- a unidad: m-1 unidad: m-1

Cualquiera que sea la via que usted sigue, reanude el trabajo(manana) con el cuadro 10.1.

• La incertidumbre del ntimero I es nula; trate este ejercicio como si fuerauna divisi6n.

Hallando primero la incertidumbre relativa (puedafiadir: y multiplicandolaJpor el resultado promedio ).Determinando primero 1incertidumbre absoluta ydividiendola e tre el resul-tado (promedio).

.3 m 0.041 56 ± 2.3(!!)IOA (9)IOB

2.3 m 0.096 24 ± 2.3(8)6 (9)10 B

6m 0.05 120 ± 6 m(9)12 A (9)12B

0.15 m 0.02 8 ± 0.15 m(!l)12A (9)12B

45 m:.? 0.07 640 ± 45 m2

(9)2/5 (9»)) A

0.028 0.07 0.40 ± 0.02(9)2/5 (9)11 A

60 m2 0.1 1600 ± 160 m:l9)11 B (9»)) A

(9)6t

0.04 m 0.01 4.00 ± 0.04 m(9)11 B (9)11 A/B

(9)7

.00125 m-I 0.05 0.025 ±(8)12 (9)3 0.0013 m-I

Introducciona las series

de operaciones

f 10.1. REVISI6N.x= a-b+c a 12.5 ± 0.2 s

b 7.3 ± 0.1 sc 3.4 ± 0.1 s

f 10.2. REVISI6N.Lado de un cuadrado: 7.2 ± 0.1 mmPeri metro de este cuadrado: -------------

f 10.3. REVISI6N.= m + m' m 103 ± 2 mg

25 ± I mgM= _Incertidumbre relativa en M: RM = _

.; lOA. Masa de 10 objetos identicos: MMasa de uno solo de esos objetos: mIncertidumbre relativa en MIncertidumbre relativa en m

.; 10.5. REVISI6N.Medida de una duraci6n t (tabla 4): t = ± _Medida de una duraci6n t' (tabla 7): t' = ± _

1. La suma T de las duraciones tm y t'm: _2. La incertidumbre absoluta en T: AT3. El resultado de la medici6n de T: T =4 El intervalo de confianza de T: _

8.6 ± 0.4 sR;egla: (S}6.

28.8 ± 0.4 mmRegIa: (8)8 A.

128 ± 3 mg23 X 10~RegIa: (8)6 •

73 ± 0.5 mg6.8 X !()-36.8 X 1()-3

16.210.3

0.2 s0.2 s

26.5 s0.4 s

26.5 ± 0.4 s{26.1 ... 26.9 s }--"-~ ..•

5. La medida de T es:___ una medida muy precisa.___ una medida de precision corriente,

una evaluacion rudimentaria.Justifique con un dlculo.

Lea eL resumen 9 compLetando Los ejempLos. Si sigue La viarcldmpago} pase aL cuadro siguiente.No hay respuesta.

,. 10.6. ITEST!S = a' b, a8mAS =Si tiene dificultad} Lea Lo que sigue: determine primero lasincertidumbres relativas.Si todavia encuentra dificultad} lea la regIa (9) 5 Y efectue elejercicio que la acompafia.

'7 10.7. jTEST!X = a2

Rx =

,. 10.8. ITEST!d

v =-t

126 ± 0.5 m60 ± 0.3 s

Explicaci6n:

Rd :::::;R

v -R _t

4 X 10"9 X 10.3

5 X 10.3

6\' = 2.1 X 9 X 10"= 19 X 10"

:::::; 0.019 mi.

,. 10.9. He aqui una serie de medidas de la arista de un cubo.Determine su volumen (V = a3).

12.3 12.1 12.2 12.0 12.5 12.4 12.2 12.2 12.3 12.4 mm.a = _

Si no sabe como proceder} reLea Las regLas (3)5 Y (3)6.Si continuan Las dificuLtades) reLea Las regLas (3)8 y (3)11.

HaIle ahora V a3•

V

Si nece.ita ayuda. lea 10 que .igue. pero trate de continuar solo de.pue. de cada in·dicacion.• Primero calcule el result ado promedio.• Despue. calcule la incertidumbre relativa de a (regia. (6)4 y (6)9).• Calcule la incertidumbre relativa de V (regIa (9)6).• Finalmente. calcule la incertidumbre absoluta de V (regIa (7)8).

o[ZJo

0.4RT = 26.5 :::::;15 X 10"-3

(comprendida entre 1 y 50 milesimas)regIa (8)12.

315 mm2

5 mm2

Si ha contestado:0.3 mm, lea la regIa (9) 1I.

F.xplkaci6n de 1a respuesta correcta:R ~9.() X 10-'

a""'"Rb :::::;6.7 X 10-'R - 16 X 10-"s ,......,6S :::::S . R == 315 X 16 X 10-'AS == 5'1i40 X 10-' :::::; 5.0 mm'

30 X 10"-3RegIa: (9)6.

R - 15 X 10'"a ,......,RX :::::; 30 X 10-"

2.1 m/s 0.019 (0 0.02 m/s)RegIa (12)5.

2.100 ± 0.019 m/s(02.10 ± 0.02)

12.26 ± 0.26o 12.3 ± 0.3 mm

1 843 ± 120 mm3

o 1 861 ± 140 mm:!o 1 840 ± 130 mm3

I 43 mm' <> I 861 mm'21 X 10"

<> 24 X 10"63 X 10"

<> 72 X 10"116 :::::; 120 mm'

<> 134 ;;::: 140 mm'

,. 10.10.

• Si ha cometido mas de 3 errores (que no sean errores decileulo), relea el capitulo 9 por entero .

• Si ha cometido 3 errores (que no sean errores de cileulo),relea el resumen 9.

• Si ha tenido 2 errores 0 menos, esta muy bien; icontinue!En fisica, a veces se efectuan operaciones senciHas como mul-tiplicaciones, divisiones 0 extracciones de rakes; sabemos como,en estos casos, se puede haHar la incertidumbre en el tesultado.Sin embargo, con mucha frecuencia, los cileulos que hay quehacer en fisica no son operaciones sencillas, sino series deoperaciones. Asi, por ejemplo, para aplicar la formula

T = 2Tt~ ~,

hay que hacer una division (L entre g), extraer la raiz cua-drada del cociente y, finalmente, multiplicar el resultado ob-tenido por 2 y por Tt. Conociendo las incertidumbres deL y g, ,como se puede, en este caso, hallar la incertidumbrede T?Es 10 que vamos a tratar de encontrar en el proximo capitulo.Esta parte esta semiprogramada, porque, para realizar un ver-dadero curso programado, hubiera sido necesario admitir queningun alumno comete errores en operaciones algebraicas 0prever la correccion de 10s errores de este tipo, todo 10 cualnos habria llevado a escribir otro curso ...

'7 10.11. TtRMINOS DE CRECIMIENTO Y DE DECRECIMIENTO.

A. He aqui una fraccion: A = ~.Si se reemplaza el numerador (3) por 4 (numero mayor), se

obtiene A' = 1:, A' es mayor que A. Cuando se sustituye el5

numerador de una fraccion por un numero mayor, la fraccionaumenta. Diremos que el numerador de una fraccion es untermino de crecimiento.

B. A = ~. Si reemplaza usted el denominador de esta frac-

3cion, (5), por 6 (numero mayor), obtendni A" = 6' A" es

menor que A.

Cuando se reemplaza el denominador de una fraccion por unnumero mayor, la fraccion disminuye. Diremos que el dena-minador de una fraccion es un termino de decrecimiento.

'7 10.12. En una serie de operaciones, llamaremos:A. TERMINOS DE CRECIMIEI'\TOa 10s terminos cuyo aumentotiene por efecto aumentar el resultado.B. TERMINOSDE DECRECIMIENTOa 10s terminos cuyo aumentotiene por efecto disminuir el resultado.

'7 10.13. Ejercicios:

Las letras replesentan mimeros positivos.

A. En la operacion X = a + b, a es un termino de creci-miento y b un termino de _

B. En la operacion X = a - b, a es un termino de _________ y b un termino de _

., X a+b 1 ' . d .,operaClon . = ---, os termlnos e creClmlentoc

son , mientras que el termino de decrecimiento es

a-bD. Operacion: X = ---

c+dTermino(s) de crecimiento: _Termino(s) de decrecimiento: _

E 0 ., X a-b. peraclOn: = --d-c-Terminos(s) de crecimiento: __ .Termino(s) de decrecimiento: _

. , ab(c - d)F. Operaclon: X = -----,

mx(y - z)Termino(s) de crecimiento: _Termino(s) de decrecimiento: _

(c > d)(y > z)

bcG. Operacion: X = a - d

Termino(s) de crecimiento:Termino(s) de decrecimiento:

'7 10.14. COMPENSACI6NDE LAS INCERTIDUMBRESIntroducci6n:A. Cuando se determina una densidad, hay que efectuar, con10s resultados de tres pesadas x, y, z, la siguiente serie de ope-

x-yraciones: d =

crecimientodecrecimieHto

a, bc

ab, c. d

haten autnentar ek denominadotantt:>,disminuir la fracei6n.

a, db, C

ha<:e disminuJr el denominadon lueaumenta Ia fra<:d6n.

a: b. zm, x, y, d

hare disminuir el denominador; Iue-hate aumellrar la fraccion.

a, db. c

hace disminuir el uirmino resrado;aumenla el result;ldo.

Si examina esta relaci6n, notara que la magnitud x figura ala vez en el numerador y en el denominador, sin que eUo sepueda evitar con una simplificaci6n.En el numerador, x es un termino de crecimiento, mientrasque en el denominador x es un termino de decrecimiento.

x-yB.d=--.x-zSupongamos que el valor de x esta afectado por un error porexceso. Este error tendd como resultado haeer aumentar d(porque x, en el numerador, es un termino de crecimiento);pero tambien had. disminuir d (porque x, en el denominador,es un termino de decrecimiento): las incertidumbres se com-pensan de manera que la incertidumbre que afecta a d es me-nor que si, en vez de x, figurara otra magnitud en el denomi-nador.

7 10.15. Nocion de compensaci6n de incertidumbres:A. En una serie de operaciones:1. Si la misma magnitud figura dos veees, sin que pueda sersimplifieada.2. Si ademas esta magnitud es un termino de erecimiento enuno de los dos lugares y un termino de decrecimiento en elotro lugar, hay compensaci6n de incertidumbres.

B. Cuando hay compensaci6n de incertidumbres, la aplica-ci6n de las reglas generales del calculo de incertidumbres con-duce a una incertidumbre demasiado grande en el resultado.

h = p(n n 1 )- En la relaci6n

• n figura en dos lugares sin que pueda ser objeto de Slm-plificaci6n,

• n es un termino. de crecimiento (en el numerador) y untermino de decrecimiento (en el denominador).

Hay compensaci6n de incertidumbres.

E 1 1·, '\ L-Lo- n a re anon I\, = ---,Lot

• Lo figura en dos lugares sin que se pueda simplifiear.• Lo es un termino de decrecimiento en un lugar (se resta en

el numerador) y tambien de decrecimiento en el otro lugar(en el denominador).

No hay compensaci6n de las incertidumbres.

..,. 10.16. Ejerddos:

A. Relacion Compemacionsilno

fD2 - d2

de D-4D

d' - y-xde--- ---

z-x

- M(x - t)de xc - m(T - x)

pp' de Pf -- p'- p de p'

Rrr'

de- ---- r + r'

MtTODOS DE EVALUACION DE LA INCERTIDUMBRE EN EL RESULTADO

DE UNA SERlE DE OPERACIONES

'7 10.17. Problema: ,Como hallar la incertidumbre absoluta 0

la incertidumbre relativa en el resultado de una serie de ope-Kmm'

raciones semejante al calculo de f en f = ---cl2 0 de c en

M(x - t)c = m(T _ x) si se conoce la incertidumbre absoluta en m,

m', K y d en el primer caso y M, m, x, t y T en el segundo?

Veremos que se puede resolver este problema de tres maneras:• Por e1 metodo del limite superior.• Por el metodo de reduccion.• Por el metodo diferencial.Los dos primeros metodos no son aplicables si hay compensa-cion de incertidumbres. £1 tercero es aplicable en este caso,pero resulta mas complejo y esta basado en el dlculo dederivadas.

Metododel limite superior

Gmlt

resultadopromedio

~G = Gmax

tincertidumbre limiteabsoluta superior

Por 10 tanto, para hallar la incertidumbre absoluta, vamos a buscar el limite superior delresultado (Gmax) y el resultado promedio (Gm).

,,11.2. ~Comohallar Gmix y Gm?A. El resultado promedio (Gm)

cion pOl' su promedio.a-b

Por ejemplo: si X =

100 - 50Xm = 20

B. El limite superior del resultado (Gmax) se obtiene reemplazando• Los terminos de crecimiento por su limite superior.• Los terminos de decrecimiento por su limite inferior.

a-bEn el ejemplo X = -- con

c

X . _ am"x - bm1nmax -

Cmin

a = 100 ± 2 mmb = 50 ± I mmc = 20 ± I mm

= 1021; 49 = 2.8 mm.

102 mm)49 mm)19 mm)

(bmin =(Cmin =

C. La incertidumbre absoluta se obtiene pOl' diferencia:AG = Gm", - Gm = 2.8 - 2.5 = 0.3 mm.

rA. El limite superior de f = F R es fmax

p'g- esp

Lp - es Rm~x

s

P-pC. El limite superior de V = KS-X-

p'g-p

12 ± 0.5 mm176 ± 4 mm92 ± 2 mm

p'maxg'max = gm~x ---

pmln

Pmlix - pm{nKmax Smax ----- Am1n

25 mm(12.5 x 180)

90

22.9 (023 mm)(12 x 176)

92

11.4. Para hallar la incertidumbre absolutaen el resultado de una serie de operaciones(y anotar el resultado de esta serie de ope-raciones):

I. Calcule el limite superior de cada termi-no de crecimiento.

2. Calcule el limite inferior de cada terminode decrecimiento.

B. Calcule el limite superior del resultado:

1. Reemplace los terminos de crecimientopor su limite superior.

2. Reemplace los terminos de decrecimien-to por su limite inferior.

3. Efectue el calculo.

C. Calcule el resultado promedio:

I. Reemplace cada magnitud por su pro-medio.2. Efectlle el d.lculo.

D. Calcule la incertidumbre absoluta:

1. Reste el promedio del limite superior.

2. Redondee a una 0 dos cifras significa-tivas.

E. Anote el resultado:

I. Redondee el resultado promedio (halla-do en C 2) al orden de la ultima cifra sig-nificativa de la incertidumbre absoluta (yaumente en 1 esta ultima cifra).

2. Anote el resultado: G = Grn ± aG.

Busquemos la incertidumbre absoluta en QQ = (M + m) (T - t)

M = 35 ± 2 g m = 212 ± 1 gT = 32.4 ± 0.2 °C t = 23.2 ± 0.2 °C

Terminos decrecimiento

Mrnax = 35 + 2 = 37mmax = 212 + 1 = 213T max = 32.4 + 0.2 = 32.6

Termino dedecrecimiento

Qrnax= (37 + 213) (32.6 - 23)Qmax= 250 X 9.6 = 2400 cal.

Qrn = (Mm + mm) (T m - tm)Qrn = (35 + 212) (32.4 - 23.2)Qrn = 247 X 9.2 = 2272.4 cal.

aQ = Qmax- Qrn.:1Q = 2400 - 2272.4 = 127.6 cal..:1Q :::::;130 cal.

Qm = 2 272.4 :::::;2 270 cal..:1Q = 130 ~ 140 RegIa: (7)8

-7 11.5. Q = cm(t' - t)

con c = 0.23 ± 0.01 cal/gt' = 120 ± 0.5 °C

410 ± 1 g20 ± 0.5 °C

I ,Qmax?I A. Determine 10s limites de 10s datos (limite m-

ferior de 10s terminos de decrecimiento, limite superior de losterminos de crecimiento):Los terminos de crecimiento son __ , __ , __ 'Los limites superiores son: cmax cal/g

mmh gt'max DC.

El termino de decrecimiento es:Su limite inferior es: tmln =

n. Determine el limite superior del resultado:Con letras: Qmax =Con 10s valores numericos: Qma:<= _

I ,Qm? I C. Qm = cal.

c m t'0.24

(0.23 + 0.01)411

(410 + I)120.5

(120 + 0.5)

0.24 X 411 (120.5 - 19.5)9963

9430~ = 0.23 X 410(120 - 20)

Qm 9963533 cal.

1 1,,11.6. C == (n - 1) R + R'

n == LPO ± 0.02 R == 0.80 ± 0.01 m R' == 1.20 ± 0.01 mHalle el resultado (la unidad sera la dioptria).A. Para hallar la incertidumbre absoluta, debe calcular dosmagnitudes: ccuales? y _

En efecto, AQ == _

B. Trate de calcular Cmax: Cmax == dioptrias.Si no 10 consigue) re1ea el cuadro 11.2, rehaga 10s ejercicios11.3 e intente de nuevo.

C. Determine Cm: Cm dioptrias.D. Determine AC dioptrias.E. Resultado: _

h7 11.7. f == P LP == 168 ± 2NAnote el resultado:

h == 125 ± 1 mmf ==

L == 500 ± 1 mm.N.

Si no sabe por donde empezar) lea 10 que sigue:Debe buscar la incertidumbre absoluta, que es igual a la diferen-cia entre el limite superior y el resultado promedio.Si todavia no acierta, he aqui 10 que hay que hacer:Calcule fmaxY fm·Si no sabe como hacerlo: relea el cuaderno a partir del cuadro 11.1.

Cmax y C(0 el limite superior y el resultadopromedio)

1.3058

Cm&x==(nmax-l)(Rl

. +R,I, )ffim rum

1.25000.055

1.250 ± 0.055 dioptriaso 1.25 ± 0.06 dioptrias

RegIa: (7)8

42.0 ± 0.9RegIa: (7)8

Explicacion:hmax

fmax==Pmax--L.ntn

126fmax== 170 X 499 == 42.9

_ hm _ 168 X 125-42m- Pm L.n - 500 -.

AI _ 42.9 - 42.0 == 0.9 N

-) ll.S. El metodo del limite superior es especialmente util para buscar la incertidumbre enel resultado de operaciones que contienen razones trigonometricas (sen, cos, tg ... ), 10garit-mos 0 funciones exponenciales (operaciones en las que las magnitudes figuran como ex-ponentes).

,,11.9. En ciertos casos, se encuentran simbolos que representan magnitudes negativas: en-tonces hay que recordar que de dos numeros negativos, el mayor es aquel que tiene elmenor m6dul0.

,,11.10. Ademas, en 10 concerniente alas razones trigonometricas, hay que poner muchaatenci6n, porque la raz6n trigonometrica no varia siempre en el mismo sentido que el an-gulo: asi, para angulos agudos, si e1 dngu10 aumenta) su seno y su tangente aumentan tam·bien, pero su coseno disminuye.

Angulo 26° 27° 28° 29° aumentatg 0.49 0.51 0.53 ---

aumental dlsminuv••COS 0.90 0.89 0.tl8 ---

aumenta/dismlnuye

0.55

0.87

)- 11.11. Recuerde, en la prcictica, que PARA ANGULOS AGUDOS:

A. • Si un seno 0 una tangente se hallan en un terminode crecimiento, el angulo es tambien un termino decrecimiento, e inversamente.

B. • Si un coseno se halla en un termino de crecimiento,el angulo es un termino de decrecimiento, e inversa-mente.

I I.l2. Ejemplos literales.A. En la formula f = P sen a,s('n a es un termino de crecimiento.a es un termino de crecimiento.

B. En la formula T = f L cos a,cos a es un termino de crecimiento,a es, pues, un termino de decrecimiento(a causa del coseno).

'7 11.13. Ejercicios:

A. Calculemos el limite superior de Ten:T = fL cos a

f 120 ± 2N L = 3.00 ± 0.01 m a

f L cos a a

crecimiento crecimiento crecimiento

2. Reemplacemos los terminos de crecimiento por su limitesuperior y los terminos de decrecimiento por su limite inferior.

decrecimiento(lI.lI B)

Lmh amln(porque a es un termino de deerec/omiento) (11.11 B)

3.01 m0.656

Pmllxsen amh2.01 260

2.01 0.43842 0.4226

N 0.8812 - 0.8452 = 0.036------ 0.845 ± 0.037 N

Regia: 7 8

sen i { i = 45n = sen r con r = 30

n es un numero sin unidad.

sen 1 i sen r r

crecimiento crecimiento decrecimien to

sen 460

sen

senCilculo del resultado promedio: nm = sen

___ ~ 0.118~ 0.12

C. Calcule la incertidumbre absoluta de:f = P sen a P 2.00 ± 0.01 N

a = 25 ± 10

Limite superior (en forma literal): fmb _

Pm~x= N. sen amax= sen = 0.4384numero de grado.

0.881 2 N0.8452 N

fmAx Xfm XAf

funidad

116

decrecimiento(11.11 A)

280

0.71930.4695

0.707 10.5

1.41 ± 0.13(0.13 Y no 0.12 porque el promedio ha

side redondeado)

D. Calcule la incertidumbre absoluta deX = xy cos ax = 120 ± 0.5 mm y = 80 ± 0.5 mm a

Terminode

xcrecimiento

Xm"x= X __ Y __ cos a _(indique el sublndice mal< 0 mln correcta.)

Xmax = X X cos\'alores numeriC05

Xm = X X cos

~X = mm2, X

F.. Halle el resultado de:

F va2 + h2 + 2 ab cos Aa = 6.2 ± 0.1 N b = 9.3 ± 0.2 N A

l.imite sus calculos a tres cifras significativas y utilice las ta-bIas que aparecen a continuaci6n:

angul0 56.5° 57° 57.5°

cos 0.552 0.545 0.537

Numero 6.2 6.3 9.3 9.5 13.7 14.0

Cuadrado 38.4 39.7 86.5 90.3 188 196

creci. creci. decrecimiento(ll.ll B)

120

200

80 60°

4 800 ± 200 mm2

13.70 ± 0.30 No 13.70 ± 0.31 N

Xmax= ya2max + b2max+ 2amaxbmaxcos Amm= Y6.32 + 9.5;! + 2 X 6.3 X 9.5 X 0.552:::::: 14.00

Xm= ya2m + b2m + 2ambm cos Am = Y6.22 + 9.32 + 2 X 6.2 X 9.3 X 0.545:::::: 13.70.

Metodopor reduccion

nlm'F= k--d~ ,

B. La mayoria de estas formulas se presentan bajo la forma de un producto 0 de una frac-cion y pueden ser representadas pOI' una formula general:

k· ua• xb .••

n . yO . Zd •..

en la que G representa una magnitud que se calcula a partir de las medidas u, x, y, z ... ,de los coeficientes numericos de k, n ... y de 10s exponentes positivos (enteros 0 fracciona-rios) a, b, c, d ...

C. Llamaremos expresiones asimilables a un producto '*' a las formulas que no contienensuma ni diferencia y que pueden ser represen tadas porIa expresion general (I).

• EI segundo miembro de la expresi6n (I) es un monomio. Se puede transformar facilmente en un producto;basta con utilizar expon~ntes negativos.

hI) --). -I - 10 IZI 0-- =-gt~, - --- ,

2 lot

1 1 I--f F~ 0 IZI- --:-,

f p' P R'

L f' 3m 1 ., 1E. a ormula p = -- es a expreslOn genera4'1tR3

G = ku·xb

..• en la que G ha sido reemplazada parn'fzd... ---

k por __ , u por __ , a por __n por __ , y por __ , c por __y el resto por __ .

INCERTIDUMBRE RELATIVA DE UNA EXPRESI6NASIMILABLE A UN PRODUCTO

A. Supongamos que hemos efectuado mediciones de diferen-tes magnitudes, cuyos resultados son: u ± .6.u; x ± .6.x;y ± dy; z ± .6.z;y que efectuamos con estas medidas la serie

ku·xb

de operaciones: G = -- en que la k y n son coeficientes nu-ny"zd

mericos afectados de una incertidumbre nula 0 insignificante(despreciable) y a, b, c y d son exponentes positivos.

B. Se puede demostrar que la incertidumbre relativa en elresultado es igual a:

IRe = aRu + bRx + cRy + dRz I

donde Re, Ru, R., Ry Y Rz significan incertidumbre relativade G, u, x, y, y z respectivamente y a, b, c y d son los expo-llentes de u, x, y y z.

.p3 m 14'1t R 3

1

712.4. Metodo a segu.ir pam aplicar la jot"mula de Las incerti- Ejemplo:dumbres relativas.

Para expresar 1a incertidumbre re1ativa del resultado deuna expresion asimilable a un producto:A. Reemplace las rakes por exponentes fraccionarios.B. Observe los exponentes de las magnitudes afectadasde incertidumbre (la ausencia de exponente indica quese sobrentiende el exponente 1).C. Escriba que la incertidumbre relativa en el resultadoes igual a la suma de 10s productos obtenidos multipli-cando la incertidumbre relativa de cada magnitud porsu exponente.

7 12.6. Ejercicios literalesA. W = r12t(r, I y t son magnitudes afectadas de incertidumbre).

Rw = Rr + R1 +I

B. E = -mv2

2(m y v son magnitudes afectadas de incertidumbre).

RE4

C. V = 31tX3 (X es la unica magnitud afectada de incerti-

dumbre). Rv

~B.~

X = AZ2y'U

clncertidumbre relativa deX?A, z Y u son magnitudesafectadas de incertidumbre.

Se calcula T, 21t esta afectado de una incertidumbre insignifi-cante; L y g son conocidos, pero afectados de incertidumbre.

t1. T = 21tL

tg

3. IR, = + Rd + R.j

2. magnitudes: L, gI I

exponentes: 2' 2

Se calcula F (k es un coeficiente afectado de una incertidumbreinsignificante); q, q' y d son conocidos, pero afectados de incer-tidumbre.1. 2. magnitudes

exponentesq, q', d1, 1, 2

,. 12.7. Ejercicios numericos:

A. Volumen de un cono: I V = 0.262' d2 • h Id = 30.6 ± 0.2 mm h = 78.3 ± 0.2 mm0.262 es un coeficiente numerico afectado de una incertidum-bre insignificante.Calcule la incertidumbre relativa de V.1. Aplique la formula de las incertidumbres relativas a laformula del volumen del cono:Ry = ----------2. Calcule Ri : Rd

(en milesimas)

4. Rv = 2 X _

Rv = ----------B. La masa pOl' unidad de volumen de una esfera puede calcu-

, mlarse poria formula p = 0.5236 d3

llJ = 36.2 ± 0.1 gramos d = 3.04 ± 0.02 cm0.5236 es un coeficiente numerico afectado de una incerti-dumbre insignificanteCalcule la incertidumbre relativa de p

Rp =

• Si no sabe pm" donde comenzar, y solamente en este caso, lea 10que sigue:Aplique la formula de las incertidumbres relativas a la expre-si6n de p: Rp = + _• Si no sabe como continuar, lea 10 que sigue:Calcule Rm = _

y~Rp = Rm + 3Rd = -------

M£TODO PARA HALLAR LA INCER TIDUMBREABSOLUT A DE UNA EXPRESION ASIMILABLEA UN PRODUCTO

,. 12.8. Principia: se busca la incertidumbre relativa mediantela fOrmula de las incertidumbres relativas (12.3 B, 12.4) y semultiplica la incertidumbre relativa hallada par el resultadopramedia:

I AG.= RG• Gm I regIa, (7)2 y (7)3.

2Rd + Rh

6.5 X 10-3Exf,licaci6n: 200 X 10-'

30.6RegIa: (6)8.

2.6 X 10-3E>:tJlicaci6n: 200 X 10-'

7URegIa: (8)8.

6.5 X 10-3 2.6 X lO-a]5.6 X 1O~'l (0 16 X 1O~'l)

23 X 10-3(0 22 X 10-3)

2.8 X 10-36.6 X 10-323 X 10-3

(0 22 X 10-"1)

A. Exprese primero, pOl' una formula, La in- Busquemos la incertidumbre absoluta encertidumbre reLativa en el resultado (aplican- volumen de un cono (vea ejercicio 12.7A)do la formula de las incertidumbres relati· V - 0.262· d2h d - 30.6 ± 0.2 mm- -vas) (vea 12.4). Rv = 2Rd + Rh h = 78.3 ± 0.2 mm

0.2 200Rd = -- = -- X 1<rJ ::::;6.5 X 10-3B. Calcule la incertidumbre relativa (en mi- 30.6 30.6

lesimas) de cada magnitud. 0.2 200Rh = -- = -- X 1<rJ ::::;2.6 X 10-3

78.3 78.3

C. Reemplace las incertidumbres relativas pOl' Rv - 2 X 6.5 X 10-3 + 2.6 X 10-3 -- -sus valores numericos y redondee ados cifras - 15.6 10-3-significativas. Rv - 16 X 10-3

Vm - 0.262 X (30.6)2 X 78.3D. Calcule el resultado promedio. -Vm - 19209 mm3

E. Multiplique la incertidumbre relativa delresultado pOl' el resultado promedio; encon- AV - Vm·Rv-trara la incertidumbre absoluta. AV - 19209 X 16 X 10-3 ::::;07 mm3-(AG = Gm· Rc).

F. Redondee ados cifras significativas y ex-prese la incertidumbre absoluta en las mismas AV - 310 mm3

unidades que el resultado promedio.

1. Busque la incertidumbre absoluta de pen:

mP = 0.5236 d3

m = 36.2 ± 0.1 g d = 3.04 ± 0.2 cm (p se expresa en g/cm3).

Siga paso a paso el camino marc ado en 12.9 y utilice los reosultados de los calculos del ejercicio 12.7B.A. Formula de la incertidumbre relativa:

Rp = -----B. Calculo de las incertidumbres relativas (vea 12.7B)

Rm = --------C. Calculo de Rp Rp = ..D. Calculo del resultado promedio (tres 0 cuatro cifras sign i-

ficativas)Pm

Rm + 3Rdi/

.8 X (10-3 ~ 6.6 X 10-a23 X 1()-3

2.46 0 2.461 g/cm:{

0.057 g/cm3

Rd2P = 0.785L

d = (1.23 ::!;: 0.02) 10-a m L = 40.21 ± 0.01 mR = 1.03 ± 0.02 0 (0 es el simbolo de una unidad de resis-tencia electrica). EI resultado se expresa en Om.

ap = _

Si no sabe par donde comenzar: aplique la formula de Las in-artidumbres relativas.

OPCIONAL: Aconsejamos al lector que tenga dificultad paraaplicar el metodo de reduccion 0 al que 10 halle complicado,pasar directamente al cuadro 13.1.

EXPRESIONES FACILMENTE REDUCIBLES A UNPRODUCTO

12.11. Ciertas formulas se asemejan a una expresion asimila-ble a un producto, pero contienen una suma 0 una diferencia.Por ejemplo: Q = cm(t2 - t1)

kM .. .0, g = (R + h)2' se parecen a expreslOnes aSlml·

lables a un producto.

12.12. Se pueden convertir estas formulas en expresiones asi-milables a un producto, reemplazando la suma 0 la diferenciapor una letra que represente el resultado de la operacionefectuada.Por ejemplo, Q = cm (t2 - t1) se convierte en una expresionasimilable a un producto, reemplazando t2 - tl por A (resul-tado de la diferencia: t2 - t1 = A): Q = cmA.

kMIgualmente, g = se transforma en una expresi6n

(R + h)2asimilable a un producto, estableciendo que R + h = B =>

kM=> g = 132'

12.13. Ejercicio: transforme las siguientes formulas en expre-siones asimilables a un producto (utilizando las letras A, B ... )

V-Vo

Vot

M(x - t)-----m(T - x)

I£xplicaci6n:Rp = RR + RL = 2R..i

= 19 X 10-3 + 0.25 X lQ-3 ••:+2X16«1()-3~51XI0 .~O·

0.785 X 1.03X(1.23 Xl()-;Cl)

40.21~ 3.042 X 10'-8 ."

p =51 X l0-6x 3.042X J{}-~ 1.55 X 1{}-~1

AVotMAmB

(A = V - Vo)

(A = x - t)B=T-x

Para hallar la incertidumbre absoluta de una Ejemplo: determinacion de la incertidumbreexpresion facilmente reducible a un pro- absoluta de c en:ducto.

A. 1. Si la expresion contiene una suma (0una diferencia), establezca que esta suma= A.2. Calcule A (valor promedio).3. Calcule AA.

, AA4. Calcule RA = A'

B. I. Si la expresion contiene otra suma (0diferencia), establezca que esta suma = B.2. Calcule B (promedio).3. Calcule AB.

AB4. Calcule RB = B'

C. 1. Transcriba la f6rmula reemplazandolas sumas 0 las diferencias por A, B ... ; asiobtendra la expresion "C1".

2. Calcule el resultado promedio reempla-zando cada magnitud por su valor promedio.

D. 1. Determine la incertidumbre relativaaplicando la formula de las incertidumbresrelativas:RG = aRu + bRx + ... a la expresion "C1".

M(x - t)c = unidad: cal/gm(T - x)

M = 380 ± 2 g, m = 115.3 ± 0.1 g,T = 100 ± I CC, t = 20.42 ± 0.02 cC,x = 21.50 ± 0.02 cC.

x-t=AAm = Xm tm = 21.50 - 20.42 = 1.08 (cC)t:.,A = Ax + At = 0.02 + 0.02 = 0.04 (cC)

0.04 40RA = 1.08 = 1.08 X 10~ :::::37 X 10~

T-x=BBm = Tm - Xm = 100 - 21.5 = 78.5 (cC)AB = AT + Ax = I + 0.02 = 1.02 (cC)

1.02 I 020RB = 78.5 = 78.5 X IO~ :::::13 X IO~

M(x - t)c = se convierte en c =m(T - x)Mm = 380 Am = 1.08mm = 115.3 Bm = 78.5

Cm = 380 X 1.08 = 0.04534 ...115.3 X 78.5

MAmB

MAExpresion "C1": c = mB

Magnitudes: c, M, A, m, BExponentes: I, I, I, IR: = Rm + RA + Rm + RB

AM 2 2000RM = M = 380 = 380 X IO~ :::::

:::::5.3 X I~RA::::: 37 X IO~ RB::::: 13 X I~

_ Am _ 0.1 _ I 000 IO~ ,.....Rm--------r,-X ,.....m 115.3 11:>.3 :::::0.9 X I~

Rc = 5.3 X 1O--a+ 37 X I~ + 0.9 XIO~ ++ 13 X IO~ = (5.3 + 37 + 0.9 + 13) XX IO~ = 56.2 X 10~ :::::56 X I~

E. Calcule la incertidumbre absoluta del re- Cm = 0.04534 Rc = 56 X 10-3sultado, aplicando: Ac = 0.04534 X 56 X 10-3

AG = R<;. Gm• ;:::;2.5 X 10-3 ;:::; 0.0025.y redondee ados cifras significativas.

F. Anote el resultado, redondeando el pro- 0.0025medio al orden de la ultima cifra significa- 0.04534tiva de la incertidumbre absoluta (y aiiada 1 c - 0.04534 ± 0.002 6 cal/g.-a esta cifra). No olvide la unidad.

'f 12.15. Ciertas formulas utilizadas en fisica representan unasuma (0 una diferencia) cuyos terminos estan constituidos poruna magnitud 0 un producto de magnitudes y aun por poten-cias de magnitudes ...

suma

Ejemplos: p = po -: pgfi,

Diremos que estas formulas son expresiones asimilables a unasuma.

12.16. Designe las expresiones asimilables a una suma:1

x a2 + b2 d = vot + --'-at2-- 2

nER+nr

~ 12.17. Una expreslOn asimilable a una suma tiene, de ma-nera general, la forma siguiente:

I S = nX ± n'Y ± .. ·1en la que n y n' son coeficientes numericos afectados de in-certidumbre nula 0 insignificante.X y Y son magnitudes 0 expresiones asimilables a un pro-ducto.

~ 12.18. La incertidumbre absoluta de una expresion asimila-ble a una suma es igual a:

I AS = nAX + n'AY + ... ,F6RMULA DE LAS SU~IAS

Para hallar la incertidumbre absoluta depen:

Para hallar la incertidumbre absoluta de unaexpresion asimilable a una suma.

A. Galeule la incertidumbre absoluta delprimer termino.Si este es una expresion asimilable a un pro-ducto:I. Llamelo X y caleule Xm•

2. Galeule Rx (incertidumbre relativa de X),aplicando la formula:

B. Galeule la incertidumbre absoluta del se-gundo termino (y el tercero ... ).

C. Aplique:aG = naX + n'aY

P = 1 154 ± 2 (kg/m3)

g = 9.806 ± 0.005 (m/s2)

h = 18.20 ± 0.01 mpo = 102000 ± 200 (pascals)*

• Unidad de presion que equivale a la ejercida poruna fuerza de 1 newton sobre una superficie planade 1 m2.

pgh = XXm = Pm X gm X hm

1 154 X 9.806 X 18.20_ 205 950 (pascals)_ 206 000 (pascals)

X = pghRx Rp + Rg + Rh

Rx

ap + ag + ahp g h2 0.005 0.01

1 154 + 9.806 + 18.20

(2000 5 10)

= Ti54 + 9.806 + 18.20 X 10-3

~ (1.7 + 0.51 + 0.55) X 10--3~ 2.8 X 10--3

liX = 2.8 X 10~"3X 206 000 = 576.8 ~~ 580 (pascals).

Aqui, la incertidumbre absoluta del segundotermino viene dada por:

lipo = 200 (pascals).

Recordemos que p = pgh + poP = X + po

lip liX + apoap 580 + 200 = 780 (pascals).

)- 12.19. Ejercicio:

v = Vo + at Vo = 23.4 ± 0.5 m/st = 8.4 ± 0.2 s.

Determine f:1v y anote el resultado siguiendo paso a paso el ca-mino 12.18.

A. Incertidumbre absoluta del primer termino.El primer termino es: . Llamemosle X.La incertidumbre absoluta de este termino es:f:1X = _

B. Incertidumbre absoluta del segundo termino.El segundo termino es: _1. Es un producto. Llamemosle Y. Y

f:1aRa=-=---

a

Rl =Ry = 42 X 10~ + _3. Calculemos f:1Y = RYYm

23.4 + 1.2 X 8.1 = 23.4 + 10.08 = 33.48 m/s.________ m/s.

VI) 0 : 23.4

0.5 m/s.(dato)

0.051.20

(;)6 X l£rl 10.080.67 (0 0.66 m/s)

24 X 1£rl (::~)24 X!£rl 66 X 1O~

( I.l 7 xedondeado ados dbas).,33.5 ± 1.3Re~la: (7)8 C.

12.20. Esquema de aplicacion de la formula de las sumas.EI camino a seguir 12.18 puede resumirse por un esquema.• Para aprender 0 comprender este esquema, lealo partiendo

de arriba y siguiendo hacia abajo.• Para aplicar este esquema, sigalo empezando por abajo.

en la que n y n' son coeficientes no afectados de incertidum·bre, hay que transformarla en G = nX + n'Y

estableciendo: X = ab, Y = df2.c

acR,=-Cm

7 12.21. Ejercicio:

1d = vot + -at2

2 Vo = 23.4 ± 0.5 ma = 1.20 ± 0.05 m/s2

t = 8.4 ± 0.2 s.

Determine ad y anote el resultado siguiendo el esquema 12.20.Reconstruya primero el esquema en su columna de la izquier-da, llenando las partes faltantes y yendo de arriba hacia abajo.Efectue despues los calculos de la columna de la derecha em-pezando por abajo. Ciertos calculos ya han sido efectuados enel cuadro 12.19. Consulte ese cuadro para ahorrarse calculosinutiles.

1dm = 196.6 + 284.7;:::: 238.9 ill

1+ 2-= 12.7 ;::::13 m

Rt = 0.2 = 24 X 10-38.4

Ry = ---- + ---- == 90 X 10-3

R. = ---1.20

R _ 0.2 _t - 8.4 -

239 ± 14(0 238.9 ± 13)

21Xl0-3 24Xl0-845 X 10-8

0.523.4

42 X 10-8 + 2 XX 24 X 10-8

Aa 0.05Ra 42 X 10-8

Metododiferencial

Si no ha aprendido a calcular la derivada de una funcion a si no contesta correctamente ala pregunta que sigue, pase directamente al capitulo 14.

Calcule la derivada de la funcwn y = X2~.5x + 3

Si h lla 5x2 + 6x - 5 2x(5x + 3) - (x2 + 1)5a (5x + 3)2 a (5x + 3)2 '

otra manera, pase al capitulo 14.

,. 13.2. Las formulas de fisica expresan generalmente que una magnitud (G, par ejemplo)es una funcion de otras magnitudes (x, y y z, par ejemplo).Estas magnitudes x, y y z. .. son generalmente variables independientes y la funcion sueleser derivable entre los intervalos de variacion de las magnitudes x, y y z. Esta situacion se

expresa resumidamente par: I G = f(x, y, z) I ; f derivable; x, y y z independientes.

,. 13.3. Se llama derivada parcial de la tuncion t con respecto a x el resultado obtenidocuando se deriva la funcion f considerando a x como variable y alas demas magnitudescomo constantes.

,. 13.4. La derivada parcial de la funcion f can respecto a x se designari par f:.. La derivada parcial de la funcion f con respecto a x se designani par f;.

,. 13.5. f: significani modulo (valor absoluto) de la derivada parcial ae t con respeclo a x.

7 13.6. Formula de la incertidumbre absoluta: con el ccilculo diferencial se establece que:

si I G = f (x, y, z) I ; si f es derivable, si x, y Y z son variables independientes, y si los

errores son independientes y muy inferiores alas medidas:

7 13.7. Para hallar la incertidumbre absolutaen el resultado de una expresion por el me-todo diferencial, se aplica:

I ~G = :f:! <1x + :f;! <1y + .. ·1

A. Calculo del primer producto:1. Calculo de la derivada parcial Hf:" en re-lacion con la primera magnitud: derivese laexpresion considerando la primera magnitudcomo variable y las demas como constantes.2. Coloque barras de modulo a esta derivadaparcial.3. Multiplique por la incertidumbre abso-luta de la primera magnitud: obtendra as! elprimer producto:

~~

B. Galcule el segundo producto de igual ma-nera:

~ (2) considerando la segun-

da magnitud como variable y las demas comoconstantes. Multiplique finalmente por la in-certidumbre absoluta de la segunda mag-nitud.

C. Calcule el tercer producto:

[33

FL cos aDeterminemos <1P en P =

t

L = 2.53 ± 0.01 mt = 18.4 ± 0.2 s

F = 125 ± 2 N72 ± 10

r-------I1 L cos a I1----11 t I•..._----_ ..."-y-----Jconstante

constanteL cos ap, =

F

P__FL cos a

= L· c1e

t

F cos at

FL cos aP -= = c1e

• cos at

P: = c1e (-sen a)

!1_Lco_tsa

\\-FLtSen a I Aa ITercer producto: •.•

E. Se obtiene la expresi6n de la incertidum-bre absoluta efectuando la suma de 10s pro-ductos obtenidos:

F. Puede efectuar directamente el calculonumerico de la incertidumbre absoluta; perose Ie ofrece la facilidad de preparar estecalculo:

1. Haciendo positivas las expresiones coloca-das entre las barras del m6dulo r suprimien-do estas.

No olvide que las incertidumbres absolutasde los angulos r 10s mismos angulos, si in-tervienen en las operaciones, deben expre-sarse en radianes.

G. Para inscribir el resultado, todavia hayque calcular el resultado promedio.

FL cos a cte

P= =-t t

cte -FL cos aP' - --t - t2 - t2

Cuarto producto: I-FLt~OS a I ~t (4)

~P = I L c:s a IAi + \ F c~s a I~L +

+ \-F\Sen a\ ~a + I-FL ~os a I ~t

F, L, t, cos a (a = 72°) son magnitudes po-sitivas, luego:

~P = L cos a ~F + F cos a ~L +t t

FL sen a FL cos a+ ~a + ~t.t t2

~P = + { cosa (UF + F~L) +

+ FL [(sen a) ~a + cos a ~t ]}

~p = -81

{0.309 (2.53 X 2 + 125 X 0.01) +1 .4

+ 125 X 2.53[ 0.951 X 0.017 + 0.309 X

X 1:.4 ]}1

~P = - [0.309 X 6.31 +18.4+ 316.25 (0.0162 + 0.00335) ] == 0.309 X 6.31 + 3.16 X 1.96 = 0.44

18.4 (wats)

Para obtener el resultado, falta efectuar to-davia:Pm = FL cos a = 125 X 2.53 X cos 72 =

t t

= 5.311 ('('vats)

P = 5.31 ± 0.45 wats.regIa (7)8

,. 13.8. Ejercicio: vamos a resolver el ejercicio 12.21todo diferencial.

1d = vot + -at2 Vo = 23.4 ± 0.5 m.

2a = 1.20 ± 0.05 m/s2 t = 8.4 ± 0.2 s.

Derivada parcial de d con respecto avo:d' =y() ---

Derivada parcial de d con respecto a a:d' =a ---

Sustituyamos las derivadas por sus valores:.Ad = t· .6.vo+ .Aa + ------Sustituyamos por los valores numericos:

1.Ad = 8.4 X 0.5 + 2__ 2 X 0.05 +

"+ (__ + X 8.4) __.Ad = 4.2 + 1.76 + __ X 0.2 = 12.66 ;::; 12.7 m,

;::; 13 m.

7 13.9. Ejercicio:y-x

D = -- X = Xm ± .AxZ-x

Calcule la expresion algebraica de .AD.D'= D'=

x ------- y ----------

y-xy-z

Z = Zm ± .Az

Determine la expresion algebraica de .6.D..AD = _

1 ~-t-2

d't = Vo + at

Id'al Id'tl.At

1t"'--

2

8.4

23.4 1.20 0.233.5

y-z---(z - x)~ z - x

x-y(z - xf

Iy - zi 1I . .Ax + ------.A Y+(z - x)~ iz - xl

+ jx_-_Y_I .Az(z - x)~

I -1 I I x - z I-- .Ax + ( )",.Ayy-z y-z-

I Y-~+ -- .Az(y - zf

= 1_1 I [.AX + I~I.AYy-z y-z+ I~ :/.Az}

Comparacion• ••y eJerclclos

de revision

'7 14.1. Disponemos de tres metodos para investigar la incertidumbre' absoluta en el resulta·do de una serie de operaciones. Los dos primeros son aplicables unicamente en el caso deque no haya compensaci6n de las incertidumbres en las operaciones, y ninguno de los treses aplicable si los err ores estan ligados unos con otros.

'7 14.2. EL M~TODO DEL LIMITE SUPERIOR

laG = Gmh - Gm IA. Este metodo exige pocos cilculos algebraicos y pocos cilculos numericos. De todas ma-neras, Gm debe ser calculado tan bien como 10 exige el hecho de que el metodo se reduceal cilculo de Gnulx y a una sustracci6n.

B. Es aplicable alas expresiones que contengan razones trigonometricas, exponenciales 0

logaritmos.

C. Es particularmente recomendable para las expresiones que contienen a la vez productos,cocientes y sumas.

D. Es el metodo mas sencillo y mas seguro, con la condici6n de que no se cometa ningunerror en el sentido de los terminos (crecimiento 0 decrecimiento).

E. Si no se siente muy apto en algebra, aplique de preferencia el metodo del limitesuperior.

~ 14.3. EL M~TODO POR REDUCCI6N

Si Gku'xb I RG dRz I--- = aRu + bRx + cRy +nyczd

Si G nX ± n'Y [AG ~ nAX + n'aY I134

A. Este metodo se aplica 10 mismo alas expresiones directamente asimilables a un produc-to que alas directamente asimilables a una suma.B. No es aplicable alas expresiones que contengan razones trigonometricas, 10garitmos 0exponenciales.C. Frecuentemente exige mas calculos.D. Es interesante si la expresion tiene la forma de un producto y si se busca la incertidum-bre relativa.

Si G = f(x, y, z) I~G;::: fix ~x + f; ~y + f: ~z I

A. Proporciona la expresion algebraica de la incertidumbre absoluta del resultado en fun-cion de las incertidumbres absolutas de las magnitudes.B. Se aplica a expresiones de cualquier tipo (con tal de que sean derivables y de que loserrores no esten ligados entre sf).C. Con frecuencia, exige dlculos algebraicos y calculos numericos mas largos.D. Contrariamente a los metodos precedentes, sigue siendo aplicable cuando la misma mag-nitud aparece a la vez en un termino de crecimiento y en uno de decrecimiento.

, 14.5. Ejercicios:

g = 41t2~T21.241 ± 0.002 m2.240 ± 0.004 s.

Anote el resultado utilizando el metodo de su eleccion.Para ahorrarle a listed calculos: gm = 9.764 m/s~

~fetodo por reduccion: Rg = RL + 2RT RL;::: 1.6 X 10~RT ;::: 1.8 X IO~1 Rg = 5.2 X 1~~g ;::: 9.8 X 5.2 X 10-a ;::: 51 X 10-3 ;::: 0.051

g = 9.764 ± 0.051 m/s2 (0 9.76 ± 0.06 m/s2)

) 14.6. Efectue el ejemplo 13.7 por el metodo del limite superior.

FLcosa F 125 ± 2 N L 2.53 ± 0.01 mP = t a = 72 ± lOt = 18.4 ± 0.2 s

FmAxLmaxcas amrn _ 127 X 2.54 X cos 71 _ 5771Pmax = , - 18 2 -. wa ts

tmm .

Pm = 5.31 wats ~P = 5.77 - 5.31 = 0.46 watsP = 5.31 ± 0.47 wats

'7 14.7. He aqui 10s resultados de las mediciones de la masa yde las dimensiones de un solido paralelepipedo. Calcule su

1 ,. m 3masa vo umetnea P = L. 1. h en gjem .

m = 88.3 88.4 88.4 88.5 88.4 88.4 88.3 88.5 88.4 88.5 g.L = 5.12 5.12 5.11 5.12 5.12 5.13 5.12 5.13 5.12 5.11 em,1 = 2.145 2.140 2.140 2.145 2.145 2.140 2.135 2.135 2.145

2.140 em,h = 1.030 1.035 1.035 1.025 1.025 1.030 1.030 1.035 1.025

1.030 em,7.830 ± 0.088 gjem3

o 7.83 ± 0.09 gjem3

m 88.41 ± 0.11 g L 5.12 ± 0.01 em= 2.141 ± 0.006 em h 1.030 ± 0.005 em

88.4 88.52Pm 5.12 X 2.141 X 1.030 PmAx 5.11 X 2.135 X 1.025III = Imax - 1m = 7.918 - 7.830 = 0.08 gjem3•

Otro metodo: reduecion.

14.8. Lea el apendiee 1, al final del libro, antes de efeetuar elsiguiente ejercicio. Una esfera tiene un diametro de 4.58 ±± 0.02 mm.

4Calcule su volumen por la formula V = 31tX3 = 4.188 790 ...

X3, en la que X es el radio y no el diametro de la esfera.Eseriba el resultado con la ineertidumbre absoluta.V = _

(D llD )

X = 2' llX = -2-: regIa 8.11 A

A . ., . 'd 13 X lQ-3 X 4 0005proximaelOn permitl a ::::::: 10 :::::::.

Coeficiente redondeado: 4.19

Vm = 4.19 X 2.293 :::::::50.318 mmS

llV :::::::50 X 13 X lQ-3 :::::::0.65 mms.

Por el metodo del limite superior: llV = 50.98 - 50.32 :::::::0.66 mms.

Resumenesyapendices

Un volumen es una magnitud, mientras que la curiosidad no es una magnitud, porque nose puede medir la curiosidad, ni se Ie puede atribuir un numero.

(1)2. A. Una medicion se realiza con ayuda de un instrumento que generalmente indi\caun numero concreto (es decir, un numero acompafiado de una unidad).

B. Este numero se llama medida bruta 0 indicaci6n del instrumento. \

El mercurio de un termometro se ha detenido frente a la graduacion 20 grad os Celsius.El numero concreto 20 grados Celsius se llama medida bruta de la temperatura.

(1)3. Se dice que se efectua una serie de mediciones cuando se repite varias veces la mis-ma medicion.

Si se repite diez veces la medicion de la temperatura de fusion de una muestra de naftalina,diremos que se efectua una serie de mediciones; pero no se dice tal cosa si se toma la tern·peratura de fusion de diez solidos diferentes.

,Es una longitud una magnitud? _,Es la belleza una magnitud? _Un reloj indica 14 hr 18 min 32 seg. Este numero es la________ de la hora.,En cmil de los siguientes casos diremos que se efectua unaserie de mediciones?A. Medir diez veces la duracion de la caida de una piedraque se suelta siempre desde la misma altura.B. Medir diez veces el tiempo que tarda en caer una piedrasoltada desde diferentes alturas. ~

A/B/AB

SiNo

(1)4. Los resultados de las mediciones, 0 sea las medidas, pueden quedar afectados de erro-res pOl' exceso (medida demasiado grande)o pOl' defecto (medida demasiado pequefia).

(1)5. Si dos errores son ambos pOl' exceso 0 ambos pOl' defecto, se dice que tienen el mis-mo sentido.

Un reloj que se adelanta hace que se cometa un error pOl'_______ , en tanto que un reloj que se atrasa haceque se cometa un error pOl' . _Estos dos errores tienen sentidos _

excesodefecto

opuestos

(1)7. Ciertos errores pueden valorizarse; se les llama errores apreciables.Hay dos clases de errores apreciables: las faltas de observacion y 10s errores siste-maticos.

(1)8. Las faltas de observacion:A. Son debidas a una desatencion del observador 0 a un incidente en la medicion

(pOl' ejemplo, una aguja que se atora),B. Frecuentemente afectan solo a una medida de una serie.

(1)9. Los errores sistematicos:A. Afectan a todas las medidas de una serie,B. Son debidos a un defecto del instrumento de medicion 0 al metodo de obser-

vacion,c. Se producen en el mismo sentido.

(1)10. Si la misma falta de observacion se reprodujera en todas las medidas de una serie,se transformaria en error sistematico.

Cuando se confunde accidentalmente la aguja de las horas conla de 10s minutos, se comete una falta de

observacionSi se evalua la hora con un reloj que se atrasa, se comete unerror que afecta _

exceso/defeCIOSi en todas las mediciones de una serie de pesadas se con-funden 10s decigramos con los centigTamos, se comete un_______________ ; si ocurre esta confusion error sistematico

£alta de observacion

Ciertos errores no pueden apreciarse porque son demasiado pequefios y porqueno se reproducen regularmente de una medicion a otra. Se les llama erroresfortuitos.

Los errores fortuitos se deben a la inevitable imperfeccion de 105 instrumentos, almetodo de medicioQ y a los sentidos del observador.

Los errores fortuitos:A. Afectan a todas las medidas de una serie,B. Unas veces se producen en un sentido y otras en el otro,C. No tienen el mismo valor en cada medicion, de manera que las medidas re-

sultantes de una serie son ligeramente distintas.

Cuando se mide con una regIa la longitud de un objeto, el traw "0" no coincide de mane-ra absolutamente exacta con un borde de tal objeto, y el traw que se lee tampoco coincidecon el otro borde del objeto. La coincidencia imperfecta puede deberse al grueso de lostraws, por ejemplo. Ademas, la longitud de la regIa varia ligeramente con la temperatura.De una medicion a otra, el traw "0" y el traw leido caeran un poco delante 0 un poco de-tras de los bordes, la regIa se contraera 0 se dilatara ligeramente y, si las mediciones son bas-tante precisas, se obtendnin resultados 0 medidas ligeramente distintas de una medicion aotra.

Cuando se pesa un objeto con una balanza sensible, se obtie-nen resultados que difieren entre SI en algunas decimas demiligramos.,A que clase de errores se deben estas diferencias? _

,Son necesariamente por exceso? _,Son necesariamente por defecto? _,Se producen: a) sobre determinada medida

o b) sabre todas las medidas?

NoNo

(fienen el mismo valor en cada medida?,Se pueden evaluar exactamente? .,A que causas se pueden atribuir? _

NoNo

A la imperfeccion de la ba~lanza, al metodo de pesar ya los sentidos del observa-dor.

A. Generalmente se pueden evitar 0 corregir los err ores apreciables (errores sis-tematicos y faltas de observacion).

B. No se pueden evaluar exactamente, ni evitar, ni corregir los errort;s fortuitos.

El error del cera de un termometro puede ser evaluado y corregido (basta colocar el termo-metro en hielo en fusion), mientras que el error de coincidencia del trazo "0" de una re-gIa no puede evitarse totalmente ni corregirse.La correccion del error del cera de un termometro es una operacion que esta afectada pOl'errores fortuitos debidos a la imperfecta apreciacion de la coincidencia del mercurio conuna graduacion.

(1)15. Una medida corregida:A. Es una medida de la que se han deducido los errores apreciables,B. Todavia queda afectada pOl' errores fortuitos,C. Con frecuencia se Ie llama medida (simplemente).

(1)16. Una medida bruta:A. Es una medida no corregida,B. Esta afectada pOl' errores apreciables y pOl' errores fortuitos,C. Se Ie llama tam bien indicaci6n.

(1)17. Una medida bien hecha es una medida ejecutada evitando los errores apreciables.y corrigiendo los que no se han podido evitar.

(1)18. Una medida precisa es el resultado de una medicion bien hecha, cuyos erroresfortuitos se han reducido cuanto ha sido posible.

EI mercurio de un termometro se detiene en 83°C.Este numero es la medida _En el hielo en fusion este termometro indica 2°C.tEsta la medida bruta 83°C afectada de error sistematico?___ , tY de errores fortuitos? _tEsta la medida corregida de 81°C afectada de errores for-tuitos? _tSe puede eliminar enteramente el error cometido al poneren marcha un cronometro? _Si se ha realizado una medicion sin come tel' error sistematiconi falta de observacion, se puede decir que esta medicion esta

Una pesada bien hecha, ejecutada con una balanza sensiblecalocada al abrigo de las corrientes de aire y reduciendo has-ta dande es posible los rozamientos, produce una medida

'*'

• Digamo5, para fijar las idel\s, que afiadir 0.1 mg a una masa de 5 g haceque la balanza oscile y quede inclinada.

A causa de los errores fortuitos (que no se pueden corregir ni eliminar), es im-posible conocer el valor rigurosamente exacto de las magnitudes que se miden.

La medida de una magnitud siempre esta afectada de incertidumbre.

Se ha medido y determinado que en el aire seco a 0 °C, el sonido recorre 331 360 mm pOl'segundo. Este valor no es perfectamente exacto: a causa de los errores fortuitos en las me-didas, la cifra de los milimetros no es conocida (se ha colocado un cera en su lugar que noes significativo). La distancia recorrida en un segundo pOl' el sonido, en aire seco a 0 °C,esta afectada de una incertidumbre que se refiere a la cifra de los milimetros.

Llamaremos enumeraci6n a:A. La acci6n de contar personas u objetos enteros,B. El resultado de esta acci6n.

Una enumeraci6n permanece constante si se repite varias veces la cuenta sin dis-tracci6n alguna.

Contamos los alumnos de una clase y encontramos 28. Esta acci6n se llama enumeraci6n y suresultado (28) se conoce con el mismo nombre. Si varias veces se repite la cuenta de 10salum~nos de esta clase, siempre se hallaran 28 (siempre que no se cometan faltas pOl' distracci6n).

(1)23.

(1)24.

Las enumeraciones generalmente no estan afectadas de incertidumbre.

Los numeros fijados arbitrariamente no estan afectados de incertidumbre.

El numero de alumnos de una clase no esta afectado de incertidumbre.El precio de un objeto (numero fijado arbitrariamente) no esta afectado de incertidumbre.

Si usted cuenta el numero de monedas de un peso que llevaen el bolsillo, no efectua una medici6n, sino una ___________ , Y si no comete ninguna falta de ob-servaci6n (registrar mal su bolsillo), encontrarci, siempre querepita la acci6n, resultado. Tal numero

igual/algo diferente__________ afectado de incertidumbre.

e.tara/ no e.taraFl maximo de puntos que se atribuye a una prueba

c./no c.un numero fijado arbitrariamente. afectado deincertidumbre. E.ta/No cd

Consulte el cuadro 2.2.

(2)1. Una serie ilimitada de medidas es la serie de medidas que se hubiera obtenidorepitiendo un numero infinito de veces la medici6n de la misma magnitud, sincometer ninguna falta de observaci6n ni error sistematico alguno.

(2)2. Es imposible determinar el valor exacto de una magnitud, porque todas las medi-ciones estan afectadas de errores fortu itos que no se pueden evitar enteramente,ni evaluar, ni corregir.

(2)3. Ninguna de las medidas obtenidas en una sene representa con certeza el valorexacto de la magnitud medida.

Un gran nllmero de observadores mide la duraci6n de un acontecimiento con un cron6me-tro. Cada uno de ellos comete ligeros elTores al hacer arrancar y detener su cron6metro,porque los reflejos no son absolutamente inmediatos; cada cron6metro presenta pequefiasirregularidades de funcionamiento, de manera que los resultados son ligeramente distintosy no se puede afirmar con certeza que un resultado, con preferencia a otro, sea el valorexacto de la duraci6n medida.Si se utilizara un instrumento y un sistema mas perfeccionados, se obtendrian resultadosmas precisos, pero siempre afectados de errores; estos errores sedan menores y uno seaproximada mas al valor de la magnitud, pero tampoco se Ie conoceda exactamente.

Contemplando una avenida, estima usted que su longitud es de 2 km. Este numero de 2 kmes un valor que atribuye usted a la longitud de esta avenida.

(2)5. Un VALOR POSIBLE de una magnitud es un numero que se puede obtener midien-do correctamente esta magnitud.

Midiendo la velocidad del sonido en el agua a 15°C, sin cometer ningun error sistematiconi falta de observaci6n alguna, encuentra usted 1 477 m/s. Este ntlmero es un valor posi-ble de la velocidad del sonido en el agua a 15°C. ,;

(2)6. Es el conjunto de los numeros que se podrian obtener efectuando una sene ili·mitada de mediciones bien hechas de esta magnit-ud.

Supongamos que millones de experimentadores repiten millones de veces la evaluacion dela temperatura de fusion del cobre y que hallan as! una serie de numeros comprendidosentre 1 082.5 °C Y 1 083.5 DC, ambos incluidos. Estos nt'lmeros y todos los que estan com·prendidos entre estos limites constituyen el conjunto de los valores posibles de la tempe·ratura de fusion del cobre.

(2)7. El conjunto de valores posibles tiene por limites:A. Inferior: el menor valor posible,B. Superior: el mayor valor posible.

En el ejemplo precedente, los limites de los valores posibles son 1 082.5 °C (limite infe-rior) y 1 083.5 °C (limite superior); el menor valor posible de la temperatura de fu-sion del cobre es el limite inferior (1 082.5 0C) Y el mayor valor posible es el limite su-perior (1 083.5 0C).Millones de observadores repiten millones de veces la medicion del tiempo que tarda enHuir un liquido por un tuba de vidrio; suponemos que ninguno ha cometido error siste-matico alguno ni falta de observacion.

,Encuentran todos exactamente el mismo numero?,Por que? ~, _

regIa (2)2',Puede uno de estos numeros ser designado can certeza comoel valor exacto de la duracion medida? ----Cada numero hallado se llama -------------de la magnitud. rogla (2)4

Supongamos que los resultados esten todos comprendidos en-tIe 36.2 s (incluido) y 36.8 s (incluido) y que esta serie muygrande de medidas se puede asimilar a una serie ilimitada demedidas.36.2 s es el

oa causa de 105 errores

fortuitos

Novalor posible

(2)8. El VALOR PROl\1EDIO de una magnitud es el promedio aritmetico de todos los nu-meros obtenidos al efectuar una gran serie de mediciones desprovistas de erroressistematicos y de faltas de observacion (en principio, esta serie de mediciones de.berfa ser ilimitada).

Si se ~alcula el promedio aritmeticv. de los millones de resultados obtenidos por millones deexpenmentadores que han determmado la temperatura de fusion del cobre, se hallara1083.5 DC.Este numero es el valor promedio de la temperatura de fusion del cobre.

(2)9. En una serie ilimitada de medidas desprovistas de error sistematico, el limitesuperior de los valores posibles se desvfa tanto del promedio aritmetico de las me-didas como del limite inferior.

Asf, en la medida de la temperatura de fusion del cobre:1 082.5 1 083 1 083.5 °elimite inferior promedio limite superior

el limite inferior se aparta en 0.5 °e del promedio y el limite superior tambien.En la pnktica, para que esta igualdad se realice, hay que efectuar un gran numero de me-diciones afectadas solamente por errores fortuitos independientes los un os de los otros, yque no muestren mas tendencia a producirse en un sentido que en el otro.

Se llama incertidumbre absoluta al numero que hay que afiadir 0 restar al va-lor promedio para obtener cada limite de los valores posibles.

En el ejemplo de la temperatura de fusion del cobre, si se afiade 0.5 al valor promedio(l 083), se hallad uno de los valores extremos (l 083.5), Y si se resta 0.5 se hallad el otrovalor extremo (1 082.5). La incertidumbre absoluta es 0.5.

En una serie ilimitada de medidas, el valor exacto esta comprendido entre losdos limites:

valor incertidumbre absolutay valor + incertidumbre absoluta

En la medicion de la temperatura de fusion del cobre, el valor promedio fue igual a1 083 °e y la incertidumbre absoluta fue igual a 0.5 °e. Se puede decir que el valor realde la temperatura de fusion del cobre est<!comprendido entre (1 083 - 0.5) °e y (1 083 ++ 0.5) °e.Estos dos valores son los limites de los valores posibles.

Ejercicio. Una serie muy grande de mediciones del tiempoque tarda un liquido en salir por un tubo de vidrio, ha dadocomo resultado un conjunto de Dllmeros, cada uno de los cua-le~ es uno de los siguientes:

El promedio aritmetico de todos los resultados obtenidos es36.5 s.Si se consideran estas medidas como las de una serie ilimitada,el valor promedio de la duracion medida es ; los

regIa (2)8'limites son y ; la incertidumbre abso-

reilla (2)7' regIa (2)7luta vale s y la duracion medida esta ciertamente

36.5 s

36.2 s 36.8 s

0.3reilla (2) 10

comprendida entre s y s.

Ejercicio. Una serie muy grande de mediciones de una lon-gitud da resultados cuyo promedio aritmetico es igual a326 mm. Si la incertidumbre absoluta es igual a 2 mm, loslimites de los valores posibles son ,."1..<1 Y 31 mm.

regia (2) 10 regia (2) 10

Llamaremos SERlE NORMAL DE MEDIDAS al conjunto de numeros obtenidos al me-dir una magnitud:• Sin cometer errores sistematicos (0 corrigiendolos), y• Repitiendo la medici6n numerosas veces (por 10 menos diez) .

Se mide diez veces la temperatura de ebullici6n del alcohol etilico, corrigiendo el error delcero y el error de la columna emergente del term6metro. Se hallan los numeros siguientes:

El conjunto de estos numeros constituye una serie normal de medidas y cada uno de ellosse llama medida.

Las medidas de una sene normal:

• Estan afectadas de errores fortuitos,• Son ligeramente diferentes unas de otras, y• Todas son valores posibles de la magnitud.

En el ejemplo precedente (temperatura de ebullici6n del alcohol), las medidas son lige-ramente distintas (76.4, 76.5 0 76.6 0q, porque estan afectadas de errores fortuitos; 76.4,76.5 y 76.6 °C son valores posibles de la temperatura de ebullici6n del alcohol etilico.

En una serie normal de medidas, es posible, pero poco probable, que unamedida suplementaria de un resultado superior a la medida mayor, 0 inferior ala menor.

En el ejemplo de la temperatura de ebullici6n del alcohol, se han obtenido diez medidas; deellas, la menor es 76.4 °C Y la mayor 76.6 °C. Si se efectua una undecima medici6n, es po-sible que se halle un resultado superior a 76.6 °C 0 inferior a 76.4 °C; pero esta eventuali-dad es poco probable.

(2)17.

(2)18.

En una serie normal de medidas, hay muchas probabilidades de que:A. Los errores por exceso se;:lncasi tan numerosos como 10s errnrps por de£ecto,B. Los errores por exceso sean tan grandes como los errores por de£ecto,C. Los errores pOl' exceso compensen aproximadamente los errores por defecto,D El valor real sea bastante proximo al promedio aritmetico de las medidas.

Estas reglas -(2) 16- se verifiean mejor' cuando las medidas son numerosas.

El promedio aritmetico de las medidas de una serie normal:A. Es el valor que representa mejor el resultado de la medicion,B. Pero no es necesariamente el valor real.

El valor que mejor representa el resultado de la medicion de la temperatura de ebulliciondel alcohol es el promedio aritmetico de las medidas, 0 sea 76.5 DC,10 que no significa quela temperatura de ebullicion del alcohol sea efectivamente 76.5 DC. Ello solamente quiere'decir que tal temperatura tiene mas probabilidades de estar proxima a 76.5 DC que cual-quier otro valor.

Ejercicio. Para que determinadas medidas formen una serienormal, deben cumplir dos condiciones: deben ser _---------- y ---------------En una serie normal de medidas:

a) Una medida suplementaria, ,puede ser superior a la mayormedida hallada 0 inferior a la mas pequefia?b) ,ElIo es probable? _C) ,Cual es el valor que representa meJor al valor real?

numerosasexentas de error sistematico

SfNo

el pTomedio aritmetico(de las medidas)

No

En 10 que sigue, el termino abreviado PROMEDIO designara al promedio aritme-tieo de las medidas de una serie normal.

El promedio debe ser redondeado:A. AI mismo orden que la ultima cifra significativa de las medidas de la serie, 0B. Si se juzga necesario, al orden siguente.

He aquf algunas medidas de una serie normal: 12.45 12.47el promedio de las medidas de la serie es: 12.463215 ...debe redondearse a: 12.460, si se juzga necesario, a: 12.463

(2)21. Para hallar el promedio aritme-tico de una serie de medidas, espreClso:

A. Sumar todas las medidas,

B. Dividir la suma entre el numero demedidas.

(2)22. Metodo abreviado para calcularel promedio de una serie de me-didas.

A. Escoja un numero redondo vecino dela medida mas pequefia e inferior 0

igual a ella.

C. Calcule el exceso de cada numero so-bre la base.Exceso = medida - base.

E. Dividalo entre el numero de medi-das; obtendra as! el EXCESO PROMEDIO.

F. Afiada usted el exceso promedio a labase; obtendra as! el promedio arit-metico.

G. Redondee al orden de la ultima cifrade las medidas (0 eventualmente alorden siguiente). Hay que redondearoptirnamente.

Ejemplo: Calcule el promedio de las medi-das siguientes:23.4 23.3 23.4 23.5 23.2 s

23.4 + 23.3 + 23.4 + 23.5 + 23.25

116.85

Ejemplo: Calcule el promedio de las cincomedidas siguientes:23.4 23.3 23.4 23.5 23.2 s.

A. La menor medida es: 23.2.Numero redondo vecino inferior: 23.

C. 23.4 - 23 0.423.3 - 23 0.323.4 - 23 = 0.4.

23.5 - 2323.2 - 23

E. Numero de medidas: 5Exceso promedio = 1.8 : 5 = 0.36

F. Promedio aritmetico:23 + 0.36 = 23.36

E.ierddo. He aqu! una serie normal de medidas de una du-radon: 84.3 84.5 84.3 84.2 84.2 84.5 84.4 84.484.5 84.4 s.Calcule el promedio y redondeelo correctamente.Promedio ::::;

Conslllte el cuadro 3.3.

He aqui una serie normal de medidas de una distancia que servira de ejemplo en el restode este resumen:Numero de las medidas:Medidas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Promedio472 474 470 473 472 475 474 475 471 475 km 473 km

(3)1. Se llama separaci6n 0 desviaci6n de una medida a la diferencia entre esta medida yel promedio.

I DESVIACI6N= medida - promedio·1

En la anterior serie de medidas, la desviaci6n de la sexta medida es igual a 475 - 473 2(ki16metros).

(3)2. La desviaci6n es un numero concreto expresado en la misma unidad que la me-dida.

En el ejemplo que estamos utilizando, la desviaci6n de la sexta medida es positiva (2 km),la de la cuarta vale 473 - 473; por tanto, es nula, mientras que la desviaci6n de la primeramedida vale 472 - 473 = -1 km.

En el ejemplo repetido, la desviaci6n absoluta de la primera medida vale:Desviaci6n absoluta = 1472 km - 473 kml = 1 km

:Ejercicio. En la serie de medidas que encabeza este resumen,la desviaci6n de la tercera medida vale - •.. \~"'" Y sudesviaci6n absoluta es igual a '" t\y>

En esta serie de medidas, las desviaciones absolutas de la cuar·ta y de la sexta medidas son respectivamente: 'J .•. Y

7...

(3)5. En una serie normal de medidas, se puede estimar razonablemente la incertidum-bre absoluta por el numero que hay que afiadir 0 res tar al promedio para hallarla medida que mas se desvia de ella.

Asi, en la serie de medidas colocada al principio de este resumen, el promedio es 473 km,y, de todas las medidas, la que mas se desvia de ella es la tercera: 470 km. Hay que afiadir3 km a esta medida para obtener el promedio; la incertidumbre absoluta puede ser estimadaen 3 km.

incertidumbre absoluta ;:::;:mayor desviacion absoluta de la serie

Medidas: 472 474 470 473 472 475 474 475 471 475 km Promedio 473 kmDesviacionesabsolutas: , 1 I 1 I 3 o I 1 "

2 1 I 2 2 I 2 km.,

La mayor desviacion absoluta es de 3 km; se puede estimar que 1a incertidumbre absolutaes aproximadamente igual a 3 km.

(3)7. La incertidumbre absolutaA. Es un m\mero aritmetico (es decir, positivo),B. Es un numero concreto (es decir, acompafiado de una unidad),C. Esta expresada en la misma unidad que las medidas y que el promedio, yD. Debe ser redondeada a una 0 dos cifras significativas.

En el ejemplo precedente, la incertidumbre absoluta es de 3 km; 3 km es un numero po-sitivo y un numero concreto cuya unidad es el km, porque las medidas y el promedio estanexpresados en km.La incertidumbre absoluta tiene solo una cifra significativa: 3.

Ejercicio. En una serie normal de medidas, las desviacionesson -0.1 -0.2 -0.3 0 0.01 0.02 s.La incertidumbre absoluta puede estimarse igual a _

Si ha colltestado: -0.3 s. rclca las rc-Consulte la tabla I, al principio del libro. gIns (3)6 y (3)7 A: 0.3 0 -0.3, relca

Ja regIa (3)7 Bye.En esta serie de medidas, la incertidumbre absoluta vale:

w,

Despues de un calculo, se encuentra que la incertidumbreabsoluta de un volumen vale: 432.147 cm3. Este numero debeser redondeado a _-'-'-_-'-~ __

(3)8. Para determinar la incertidumbreabsoluta en una serie normal demedidas:

A. Calcule el promedio aritmetico,

B. Redondeelo al orden de la ultima ci-fra significativa de las medidas (0 alorden siguiente),

D. Calcule la desviacion absoluta de cadauna de estas dos medidas,

E. La incertidumbre absoluta es igual ala mayor de esas desviaciones (0 alasdos separaciones si son iguales),

F. iNo olvide la unidad!

,emu es la incertidumbre absoluta en la se-rie de medidas siguientes?432 437 430 433 435 434 m435 437 433 434 436 m

La menor medida: 430 m.La mayor medida: 437 m.

Desviaciones absolutas:430 m - 434 m == 4 m.437 m - 434 m = 3 m.

Consulte la tabla 9, en las primeras paginas, y siga la re-gIa (3)8 para calcular la incertidumbre absoluta de la tempe-ratura de fusion del alcanfor.Incertidumbre absoluta (\,~ 0c-

0.3 DCExplica£ion: A: 166.58 ·C.-B: 166.6·C.-C: 166.3 y 166.8 ·C.-1): 0.3 y0.2 ·C.-Et 0.3 ·C.

Asi, el result ado de la medida de la temperatura de fusiop del alcanfor se expresara:166.6 ± 0.3 DC

De igual manera, el resultado de la serie de medidas colocada encabezando este resumen(promedio: 473 km, incertidumbre absoluta: 3 km) sera: 473 ± 3 km.

(3)10.A.B.

Esta notacion significa que la magnitud medida:Esta mejor representada pOl' el promedio (pero no es necesariamente igual a este);Esta comprendida, casi seguramente, entr.e los dos valores siguientes:

"promedio + incertidumbre" y "promedio - incertidumbre".

Decir que la temperatura de fusion del alcanfor es igual a 166.6 ± 0.3 DC significa queesta temperatura esta inmejorablemente representada pOl' el valor 166.6 °C Yque casi de se-guro esta comprendida entre 166.3 DC Y 166.9 °C.

(3)11. Para escribir el resultado de unaserie normal de medidas:

B. Redondeelo al orden de la ultima ci-fra significativa de las medidas (0 alorden siguiente),

C. Determine la incertidumbre absoluta(regIa (3)8 CDE),

D. Escriba:Resultado = promedio ± incertidum-bre absoluta,

Resultado de la serie de medidas:324 322 324 324 323324 325 324 323 325 m.

~jercicio.He aqui una serie normal de mediciones de la temperaturade fusion de la sal comun:

"-El resultado de estas mediciones se escribira de la manera si-guiente:10 que significa que el valor que mejor representa la tempe-ratura de fusion de la sal comun es y que estamedida esta casi seguramente comprendida entrey-----Consulie el cuad1"o 4.5.

801°C799 °C803°C

(4)1. La incertidumbre absoluta de una magnitud se representa por el simbolo de estamagnitud precedido del signo "a", que se lee delta.

La incertidumbre absoluta de la longitud L tiene por simbolo aL. av se lee delta uve y re-presenta la incertidumbre absoluta de la magnitud v.

(4)2.

•El promedio aritmetieo de una serie de medidas se representa por el simbolo dela magnitud mroida (por ejemplo, G) afeetado de la minuseula m eoloeada comosubindiee (por ejemplo, Gm).

Promedio aritmetieo de una serie de medidas de una temperatura: tm.Promedio aritmetico de una serie de medidas de una superfieie: Sm'

(4)3. EI resultado de una serie de medidas se representa por el simbolo del promedioy el simbolo de la ineertidumbre absoluta, separados por el signo ±.

Resultado de una sene de medidas de una temperatura: tm ±' at.Resultado de una sene de medidas de un peso: Pm ± aP.

Ejercicio. Si se mide un volumen V, el simbolo de la ineer-tidumbre absoluta sed, , el del promedio de las me-didas sera y el resultado estara representado por

Cuando se mide una magnitud eualquiera G, la ineertidum-bIe absoluta se representa por , el promedio de lasmedidas por y el resultado por _

(4)4. EI LiMITE SUPERIOR del resultado de una serie de medidas:A. Es, por definicion, el promedio aumentado de la ineertidumbre absoluta, yB. Tiene por simbolo el de la magnitud, afeetado del subindiee "max".

Resultado de una serie de medidas de un volumen: 736 ± 2 em3•

Limite superior del resultado: Vmh = 738 ema (es deeir, 736 + 2 em:!).

(4)5. EI LIMITE INFERIOR del resultado de una serie de medidas:A. Es, por definicion, el promedio disminuido de la ineertidumbre absoluta, yB. Tiene por simbolo el de la magnitud, afeetado del subindiee "min".

El resultado de una serie de medidas de un volumen: V = 736 + 2 em3.

Limite inferior del resultado: Vmin= 734 em:! (es deeir, 736 - 2 em3).

(4)6. En resumen, si G es el simbolo de una magnitud que se esta midiendo:A. EI limite inferior del resultado es Gmin Gm aG,B. EI limite superior del resultado es '= Gm:lx = Gm + aGo

(4)7. Para hallar la ineertidumbre absoluta cuando se eonace el promedio y uno de loslimites del resultado, basta restarlos:

I aG = Gmax ~ Gm I IaG = Gro - GroIn IPor ejeIhplo, si el limite superior del resultado de la determinacion de un volumen es264 emS y el promedio 261 ems, la ineertidumbre absoluta vale 264 - 261 = 3 emS. Si ladeterminacion de una velocidad da como promedio 4.68 m/s y por limite inferior 4.63 m/s,la ineertidumbre absoluta vale 4.68 - 4.63 = 0.5 m/s.

Ejercicio:

Resultado de una serie de medieiones de una temperatura:265 ± 3 ce.Limite inferior: . Limite superior:Resultado de una serie de medieiones de una altura:H = 47.3 ± 0.2 mm.Hmln = . Hmilx =Si un peso tiene par simbolo P, el simbolo del limite inferiord,el resultado sera y el del limite superior ,.Promedio de una serie de determinaciones de un area: 536 em2•

Limite superior del resultado: 540 emll•

Ineertidumbre absoluta: __ ' _Promedio de una serie de determinaeiones de un volumen:

....428 em3. Limite inferior del resultado: 425 em3.

Ineertidumbre absoluta . Resultado: _

(4)8. Se llama INTERVALO DE CONFIANZA al eonjunto de valores eomprendidos entre ellimite inferior del resultado y su limite superior (ambos incluidos).

Resultado de la medieion de una temperatura: 78.5 ± 1 ce.Los limites del resultado son: 77.5 y 79.5 ce.El intervalo de confianza es el eonjunto de valores eomprendidos entre 77.5 y 79.5 cc.

Se expresa el intervalo de eonfianza con la notaeion siguiente:{Limite inferior del resultado. . . Limite superior del resultado

En una serie normal de medidas, el intervalo de eonfianza eonstituye una buenaestimacion del eonjunto de los valores posibles.

(4)11. Esto equivale a admitir que, en una serie normal de medidas:A. Practicamente todos los valores posibles de la magnitud y, en particular, el va-

lor real, estan comprendidos entre los !imites del resultado (ambos induidos);B. Los !imites del resultado son aproximadamente iguales a los de los valores po-

sibles.

Conjunto de valores posibles ~ {Limite inferior del result ado ... Limite superior delresultado Unidad}.

Nota: La expresion intervalo de confianza esta consagrada por el uso; pero no se trata exac-tamente de un intervalo en el sentido matematico del termino, porque no contiene necesa-riamente todos los numeros comprendidos entre los !imites.

Ejercicio. Resultado de una serie normal de mediciones:

S = 985 ± 4 mm2

Smin= Smax=Intervalo de confianza = _Conjunto de los valores posibles ~La magnitud S esta comprendida, casi seguramente, entre

----y---------

981 mm2 989 mm2

{ 981 989mm2}

{981 989mm2}

981 mm2 y 989 mm2

induid

Llamaremos extension del intervalo de confianza a la diferencia entre los !imi-tes del resultado: Gmax - Gmin'

Ejemplo: L = 437 ± 2 mm Lm,h = 439 mmExtension del intervalo de confianza: 439 - 435

Lmin= 435 mm.4 mm.

A. La extension del intervalo de confianza es igual al doble de la incerti.dumbreabsoluta,

B. Inversamente, la incertidumbre absoluta es igual a la mitad de la extensionGmax - Gmin

del intervalo de confianza: aG = ------2

Ejemplos:

A. L = 437 ± 2 mm

236 - 230d = ---- = 3 km.

2

Ejercicio. Ineertidumbre absoluta: 4 m/s.Extension del intervalo de eonfianza: ._Limites del resultado: Vmin = 636 em3• Vm~x 640 em3•

Extension del interval0 de confianza: _ilV = ' Resultado = V =

4 em3

2 cmll 638 ± 2 em3

5i tiene dificultad, lea la nota (4) 15.

(4)14. Si se efeetua una serie de mediciones de una magnitud G, se notarael promedio de las medidas: Gm;

la ineertidumbre absoluta: ilG;el resultado de la medida: Gm ± AG;el limite inferior del resultado: Gmln;

el limite superior del resultado: Gmax;el intervalo de confianza: { Gm'n . , , Gmh unidad }.

Ejercicio:

Temperatura de fusion del oro: t = 1 062 ± 1°C.Si se designa esta temperatura por la letra t;I 062 °C sera designada por ,1°C por _1061 °C por . y 1063 °C por _E J intervalo de confianza es _

tm Attmtn tmw.

{ 1 061 .. , 1 063 °C}o { tmin ' .. tmax °C }

(4)15. Nota opcional: Para hallar el promedio cuando se eonoeen 10s limites del resultado:

A. Calcule la extension del intervalo de eonfianza (reste 10s limites),B. Determine la ineertidumbre absoluta (dividida entre 2), yC. Afiada la ineertidumbre absoluta al limite inferior.

SERIES DE MEDICIONES IGUALES,IGUALDAD ENTRE LOS LiMITES DE LAS INCERTIDUMBRES

(5)1. El UMBAAL DE INDICACION de un instrumento de medici6n es la menor cantidadque hay que afiadir a la magnitud medida para que el instrumento de una indi-caci6n diferente.

Supongamos que un objeto colocado en un platillo de una balanza queda equilibrado por143.5 g en el otro platillo. Afiadamos al objeto 0.1 g: la balanza no se mueve; afiadamos 0.2 g,tampoco se mueve; afiadamos ahora 0.3 g; la aguja se mueve ligeramente, la posici6n deequilibrio es diferente. El umbra 1 de indicaci6n de la balanza utilizada es 0.3 g.

(5)2. A. Cuando se efectua una serie de mediciones, a veces ocurre que se halla unaserie de numeros iguales.

B. Ello se produce cuando las mediciones 0 el instrumento son poco precisos.

Si mide diez \'eces con una regIa graduada, con precisi6n de un milimetro, la longitud del si-guiente segmento de recta: encontrani, si no comete nin-guna falta de observaci6n, diez veces el mismo numero: 59 mm.

(5)3. En una serie normal de mediciones iguales, se debe tomar como incertidumbre ab-soluta el umbral de indicaci6n del instrumento utilizado.

Supongamos que se repite diez veces la pesada de un objeto y que siempre se halla 143.5 g;supongamos tam bien que el umbral de indicaci6n de la balanza cuando se efectua esta pe-sada es de 0.3 g (ver ejemplo (5)1). La incertidumbre absoluta de la pesada es 0.3 g Y el re-sultado sera 143.5 ± 0.3 g.Supongamos que se repite diez veces la medici6n de la temperatura de ebullici6n de laacetona y que se encuentra cada vez 56.5 °C; supongamos tam bien que se ha empleado unterm6metro en el que e1 nivel del mercurio no cambia de manera apreciable, sino con unavariaci6n de temperatura por 10 menos de 0.5 °C. La incertidumbre absoluta de la medidaes 0.5 °C Y el resultado de esta medici6n es 56.5 ± 0.5 °C.

(5)4. Si con un instrumento provisto de una graduaci6n:• usted obtiene una serie de medidas iguales, y• si no trat6 de leer entre las division es,

la incertidumbre absoluta es igual al valor de media divisi6n. *

Si ha medido diez veces la longitud de un segmento de recta con una regIa graduada en mi-limetros y si ha hallado cada vez 65 mm sin haber tratado de leer entre las divisiones, laincertidumbre absoluta es igual a la mitad de 1 mm (valor del intervalo entre 2 divisionessucesivas), 0 sea, 0.5 mm. El resultado de la medicion es: 65 ± 0.5 mm.

Ejercicio:Se mide diez veces la temperatura de fusion de la urea con fun termometro graduado de grado C en grado C y se hallaen cada caso 133 DC (sin tratar de apreciar la posicion even-tual del mercurio entre dos divisiones).Incertidumbre absoluta: _Resultado: _Diez observadores leen 10 h 24 mm en un reloj exacto, gra·duado en minutos. Resultado: _

0.5 DC133 ± 0.5 °C

IGUALDAD DE DOS MAGNITUDES AFECTADAS DE INCERTIDUMBRE

Se dice Clue dor. serier. de numeros tienen por lo menos un valor comtin si se pue-de encont.TaT u.n ml.r.mo numeTo en ambar. se-r'les.

4, 3, 5, 7 y 8, 5, 6, 9 tienen un valor comun porque se puede encontrar el mismo numero 5en las dos series.

(5)6. Dos resultados de mediciones son iguales dentro de los limites de las incertidumbressi sus intervalos de confianza tienen por 10 menos un valor comun.

Resultados a Intervalos de Valores Igualdad dentro decomparar confianza comunes los limites de las

incertid urnbres23 ± 1 mm { 22 ... 24 mm } 23 ... 24 mm Si

y 24 ± 1 mm { 23 ... 25 mm}93 ± 2 DC {9l ... 95 DC} ninguno No

y 97 ± 1 DC { 96 ... 98 DC}

(5)7. Opcional: Si nunca ha estudiado los conjuntos) pase directamente a la regIa (5) 8.La regIa (5)6 equivale a decir que dos resultados de mediciones son iguales dentro de loslimites de las incertidumbres si, y solamente si, sus intervalos de confianza tienen una in-terseccion que no sea nula.

G ::::::G' si, y solamente si, { Gmin... Grnax} n {Gmin ... Grnax} ¢ 0.,

(5)8. Si dos resultados de mediciones son iguales dentro de los limites de las incertidumbres,el promedio menor (Gm) aumentado de las dos incertidumbres (.<iGy .<iG')es superior 0 igualal promedio mayor (G'm).

Si I G ::::::G' I y G'm ~ Gm, j Gm + .<iG+ .<iG' ~ G'm IHemos visto que 23 ± 1 mm y 24 ± 1 mm son iguales entre los limites de las incertidum-bres. 23 + 1 + 1 ~ 24.

(5)9. Para determinar r<ipidamente si dosresultados son iguales entre 10s Ii-mites de las incertidumbres de me·dida:

c. Compare esta suma con el promediomayor:

S1 es • superior 0 igual, 10s resultadosson iguales,

• inferior, 10s resultados son dife-rentes.

La suma (66) es superior al promedio mayor;10s resultados son, pues, iguales entre 10s Ii-mites de las incertidumbres de medida.

Ejercicios:

He aqui dos resultados de mediciones:79 ± 2 km y 82 ± 2 km.Escriba sus intervalos de confianza:------- y --------,Tienen estos intervalos de confianza por 10 menos un valorcomun? , ,cual 0 cuales? ,.

Por tanto, 10s dos resultados son entre10s Iimites de las de medida.

,Determine si 5.79 ± 0.03 mm ;:::::5.83 ± 0.02 mm entre 10sIi-Imites de las incertidumbres.Promedio menor: _

Afiada las incertidumbres absolutas:

Promedio mayor:Conclusion: resultados

igua!es/diferentes

Determine si 67.8 ± 0.2 ;:::::68.2 ± 0.2 s entre 10s limites delas incertidumbres.Respuesta: '

{ 77 . . . 81 km}{ 80 . . . 84 km}

Sf 80 ... 81

igualesincertid urnbres

5.79 (mm)

5;79 + 0.03 + 0.02 =WI 5.84mm

5.83

iguales(suma superior al promedio .mayor)

(6)1. La incertidumbre absoluta no es suficiente para evaluar la precision de una me-dida; por ejemplo, una incertidumbre absoluta de I mm en una longitud de 35 mmrepresenta una escasa precision; la misma incertidumbre absoluta (I mm) en unalongitud de 100 km representa una precision muy grande.

(6)2. Se llama incertidumbre relativa de una medida al cociente de la incertidumbreabsoluta dividida entre el promedio.

ILongitud: 35 ± I mm. Incertidumbre relativa: 35 (= 0.029).

Duracion: 20 ± 2 s. Incertidumbre re1ativa _ 22000.1

(6)3. Designaremos a la incertidumbre relativa de unamagnitud G por el simbolo RG•

lncertidumbre relativa de una longitud LIncertidumbre relativa de un volumen V:

(6)4. En resumen, si la medida de una magnitud G da comoresultado G = Gm ± ~G, la incertidumbre relativa RG vale:

~vRv = --

"m

0.31452.4

(6)5. La incertidumbre relativa es un numero abstracto,o sea, un numero sin unidad.

TECNICA DE CALCULO DE LAS INCERTIDUMBRESRELATIVAS

(6)6. Cuando se calcula una incertidumbre relativa, hayque detenerse siempre en la segunda cifra significa-tiva.

35.2 0.5 s0.5

0.014 (y no 0.014205)t ± Rt ;::::: -- -35.2

d 60 2 Rd2

± m - -- 60 -(6)7. Generalmente es practico:

• Expresar la incertidumbre relativa con ayuda delfactor 1<r'l,

• Leer este factor: milesima (s).

Fs practico expresar la incertidumbre relativa 0.024 de la ma·nera siguiente: 24 X I<r'l, 10 que se lee 24 milesimas.De igual manera, la incertidumbre relativa 0.005 puede ex-presarse con ayuda del factor I<r'l: 5 X , 10 que selee 5 _

(6)8. Para hallar la incertidumbre relativa expresada enmilesimas:

A. Multiplique la incertidumbre absoluta por 1 000,B. Divida entre el promedio de las medidas (detengase

en dos cifras significativas), yC. Afiada el factor 1<r'l.

Ejercicio. G = 257.5 ± 0.8 (A) __

(B) ---;:::::257.5 ---

(C) RG ;::::: _

(6)9. Se puede poner la regIa (6)8 bajo la forma de unaformula:

RG

= _I_O_OO_A_G_X 1<r'lt Gm

incertidumbre ptomediorelativa de G

0.033y no 0.03333 ...

1<r'lmilesimos

Ejemplo: G = 187 ± 4 sRG =?

4 X 1 000 = 4 0004000 _ 21187 -

RG;::::: 21 X 10"""

0.8 X 1 000 = 800800

Por ejemplo, si G

RG

= 376 ± 2 s, AG = 2 s, Gm = 376 s1000 x 2:;;::---- X 10-3 :::::5.3 X 10-3

376

75.0 ± 0.3 mm, AG = _Gm = -------

0.3mm75 mm

De dos medidas, la mas precisa es aquella cuya incertidumbre relativa es maspequefia.

He aqui dos medidas:Sus incertidumbres relativas son:

A = 187 ± 4 s21 X l<rl

B = 376 ± 2 s5.3 X I~

La medida cuya incertidumbre relativa es menor es la medida B: por tanto, la medida B esla mas precisa.

Para decidir cual de dos medidases la mas precisa:

cCual de las medidas siguientes es la masprecisa?L = 27.2 ± 0.1 mm L' = 412 ± 3 m

A. Calcule primero la incertidumbre 0.1 X 1000 l<rlrelativa, RL = 27.2X

3 X 1000 10-3R'- XL - 412RL ::::: 3.7 X 10-3 RL' ::::: 7.3 X 10-3

Designe como medida mas precisaaquella cuya incertidumbre rela-tiva sea mas pequefia.

La medida L es la mas precisa:(porque 3.7 X l<rl < 7.3 X 10-3).

Ejerddo. ,Cual de las dos medidas siguientes es la mas pre-cisa?

In = 512 ± 4 mg

1\1 = 1234 ± 7 g

Respuesta = M.m/M

Rm ::::: 7.8 X 10-3RM ::::: 5.7 X 10-3

1\1

A. Comprendida entre 1 y 50 miIesimas: medida co-rriente.

B. Inferior a 1 milesima: medida precisa.

Co Superior a 50 milesimas: medida rudimentaria.

Medida Resultado Incertidumbrerelativa

Duracion 3 ± 0.2 s 67 X 1()-'l Medidarudimentaria

Velocidad Medida precis adel sonido 331.36 ± 0.02 m/s 0.061 X 10-3 (0 muy precisa)

Temperatura 78.5 ± 0.2 °C 2.5 X 10-a Medidacorriente

Masa de unobjeto 168 ± 1 g 6 X 10-a

Profundidadde un pozo 35 ± 5 m 140 X 10-a

Longitud 127.53 ± 0.02 m 0.16 X 1()-'l

Medidacorriente

Medidarudimentaria

Medidaprecisa

(6)13. Nota opcional.

Se expresa a veces la incertidumbre relativa en porcentaje; el porcentaje de incertidumbrevale, por definicion, 100 veces la incertidumbre relativa.

0.05421 X 1O-a(= 0.0021)

0.014

5.4%2.1%

A veces ocurre que se conoce el promedio y la incertidumbre relativa 0 el intervalo de con-fianza y que hay que calcular la incertidumbre absoluta.

(7)1. La incertidumbre absoluta es igual al producto del promedio pOl' la incertidumbrerelativa.

(7)2. En una formula: I~G = R.<; . Gm·1As!, si el promedio de las medidas de una longitud es igual a 25 mm y si la incertidumbrerelativa es 0.02, se puede calcular que la ineertidumbre absoluta es igual a 0.02 X 25 == 0.5 mm. IRG I IGml

En la practiea, para hallar la inter-tidumbre absoluta a partir de laineertidumbre relativa:Multiplique la incertidumbre rela-ti.va pOl' el promedio(~G = Rg • Gm);

Afecte el resultado con la mismaunidad que el promedio;Redondee por exceso ados cifrassignificativas (si hay mas);Si hay un factor "l~", quitelo ydivida entre 1·000.

Ejemplo: CaIcule la ineertidumbre absolutade una longitud de 126.5 mm conocida, conuna ineertidumbre relativa de 4 X 1O-.'l.~G 4 X 10-.'lX 126.5.~G 504 X 10-.'l.

Ejercicios. Calcule la incertidumbre absoluta en una dura-cion de 25.0 s, conocida con una ineertidumbre relativa de8 X l<r{.

~t = _Calcule la ineertidumbre absoluta de un volumen de 812 ema

conocido, con una ineertidumbre relativa de 5 X 10-'3.~V = _

(7)4. A. Por definicion Gnu/x= Gm + AG => lAG = Gmax- Gm IB. La incertidumbre absoluta es igual a la diferencia entre el limite superior (Gm~x)

y el promedio (Gm).

Por ejemplo, si Lm = 17.6 mm y Lmax= 17.8 mm, AL 0.2 mm.

(7)5. Gmh - Gmln= Gm + AG - (Gm - AG)

A. I &G = Go,,; Gm,•. 1

B. La incertidumbre absoluta es igual a la mitad del intervalo de confianza.

Ejemplo: tnlln= 123°C tmax= 129°C.

Extension del intervalo de confianza: 6°C. At = 3 °C.

Para calcular la incertidumbre ab-soluta a partir de los limites delresultado:

Por ejemplo, los limites de una medida dedistancia son 133 y 137 km. ,Cual es la in-certidumbre absoluta?

Calcule la extension del intervalode confianza (reste los limites), y

Ejercicio. Los limites del resultado de la medida de una su-perficie son 542 cm2 y 548 cm2,

Calcule la incertidumbre absoluta: _

(7)7. Para escribir el resultado de una medida cuando se conace la incertidumbre rela-tiva (y el promedio), hay que buscar primero la incertidumbre absoluta .

. Si se conoce el promedio de las medidas de una longitud, 50 mm, y la incertidumbre re-lativa, 40 X lQ-3, para escribir el resultado, primero hay que buscar la incertidumbre ab-soluta (ver regIa (7)3).

AL = 50 X 40 X 1Q-3= 2.0 mm L = 50 ± 2 mm.

Para anotar el resultado cuando seha hallado el promedio y la incer-tidumbre absoluta pOl' calculos queno dan resultados exactos, hay que:

Redondear la incertidumbre abso-luta por exceso ados cifras signifi-cativas,

Aiiadir 1 a la segunda cifra signi-ficativa de la incertidumbre abso-luta, y

Redondear el promedio optimamen-te, al mismo orden que tenga lasegunda cifra de la incertidumbreabsoluta.

Conociendo la incertidumbre relativa (12 XX l()-'l) de un volumen cuyo promedio calcu-lado es Vm = 253.4216 ... mms, se encuentraque la incertidumbre absoluta vale v == 3.041 0.592 ... mm3•

Hay que redondear estos numeros de la ma-nera siguiente:

Av >::::: 3.1 mmS

(3.041 ... redondeado pOl' exceso >::::: 3.1)

Av >::::: 3.2 mmS

decima.

vm >::::: 253.4 mm3

decima.

Si el promedio resulta exacto, no hay que aumentar una unidad a la segunda cifra de laincertidumbre absoluta (se detiene uno en A).

(7)9. Para anotar el resultado cuando se conocen sus limites, hay que:A. Calcular la incertidumbre absoluta -vel' regIa (7)5-,B. Sumar1a a1 limite inferior para hallar e1 promedio,C. Resultado: promedio ± incertidumbre absoluta.

Para anotar el resultado de una medida de distancia cuyos limites son 133 km y 137 km,137 - 133 4

hay que calcular la incertidumbre absoluta: d = 2 = "2 = 2 km,

y sumarla al limite inferior: 133 + 2 = 135 km; se tiene asi el promedio.Resultado: 135 ± 2 km.

Los limites del resultado de una velocidad son 78 km/h y80 km/h. Anote ese resultado: _La incertidumbre relativa sobre la medida de una capacidades 2 X 1O~.El promedio es 321.4 1 (redondeado). Anote el resultado:

./

± 0.651::!:: 0.7 1

(8)1. A. Si en una operaci6n ningun dato esta afectado de incertidumbre, el resultadotam poco 10 esta.

B. Si en una operaci6n un dato esta afectado de incertidumbre, el resultado tam-bien 10 estel.

Si dos personas quieren ir al cine y si el precio de la entrada es de 25 pesos, no hay incerti-dumbre en el numero de personas ni en el precio de las butacas; tampoco la hay respectoal total a pagar ($50.00, ni mas ni menos).POl' 10 contrario, si se determina la superficie de un campo cuadrado de 200 ± I m de Iado,habra incertidumbre en el resultado.

(8)2. .La incertidumbre en el resultado de una operaci6n no es, en general, igual a Iaincertidumbre que afecta a los datos.

(8)3. EI calculo de incertidumbres es el conjunto de reglas que permiten hallar la in-certidumbre (absoluta 0 relativa) que afecta al resultado de operaciones con datosafectados de incertidumbre.

(8)4. Las reglas del calculo de incertidumbres conciernen s610 a Ios casos en que los erro-res que dan origen a Ia incertidumbre son independientes, es decir, en el caso enque, si se comete un error pOl' defecto en la medi(la de una magnitud, no se co-mete necesariamente un error pOl' exceso 0 pOl' defecto en Ia otra magnitud.

(8)5. Cuando .se efectua una operaci6n con magnitudes afectadas de incertidumbre, sellama resultado promedio al resultado de esta misma operaci6n efectuada con Iospromedios de Ias magnitudes dadas.

promedio promedioEjemplos: X = a X b a = 2 ± 0.05 b = 3 ± 0.1

Resultado promedio: Xm = 2 X 3 = 6.X = Y + z y = 42 ± 0.5 z = 36 ± IResultado promedio: Xm = __ + __ = __ .X = a2 a = 12 ± 0.1Resultado promedio: Xm = _X = m - n m = 70 ± 1 n 30 ±Xm = 40 se llama _

(8)6. La incertidumbre absoluta A. de una sumaB. de una diferencia

es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de cada termino.

a = 25.1 ± 0.2 mmd = 21.2 ± 0.3 s

b = 89.2 ± 0.5 mmc = 16 ± 0.2 s

Incertidumbre absoluta de (a + b): 0.7 mmIncertidumbre absoluta de (d - c): 0.5 s

(8)7. Si se efectua, con tres magnitudes afectadas de incertidumbre:a ± ~a b ± ~b y c ± ac

la operacion: I S

se tiene: I as

Ejercicios.

L=c+d cd

.ilL = _X=x-y x=

a+b-cl,

aa + ab + ac I

120 ± 2 mm348 ± 4 mmL =

35.8 ± 0.2 s10.1 ± 0.3 sX = _

d1 160 ± 5 kmd2 = 20 ± 2 kmda = 35 ± 3 kmD = _

aX =D = d1 - d2 + da

(8)8. Si se multiplica una magnitud afectada de incertidumbre por un nttmero exactoJ

A. La incertidumbre absoluta en el resultado es igual al producto del numeroexacto por 1a incertidumbre absoluta de la magnitud;

B. La incertidumbre relativa en el producto es igua1 a la incertidumbre relati-va de la magnitud.

(8)9. Expresando con una formula: X =;'6~::o' a => "ax = ne• aa I .r IRx Ra l·exaeto _

Un cuadrado tiene 125 ± 2 m de lado (incertidumbre re1ativa: 16 X 10-3).,Cu;Hes son las incertidumbres en su perimetro?

Perimetro = 4 X longitud del lado (X = 4a)factor exacto

Incertidumbre absoluta: 4 X 2 = ~ m. Incertidumbre relativa (igual): 16 X 10-3(ne• aa = aX) (Rx = Ra)

,Cual es la incertidumbre absoluta y cual la relativa en la lon-gitud total de 10 rieles que miden 15025 ± 5 mm cada uno?Illcertidumbre absoluta: _Incertidumbre relativa en la longitud de un riel: 0.33 X 1()-8.Incertidumbre relativa en la longitud de 10 riel-es.: _

(8)10. Las reglas son las mismas que para el producto por un numero exacto, haciendonotar que dividir entre el numero exacto dex equivale a multiplicar pOl' el nll-

Imero exacto nex = d'

ex

(8)11. Si se divide una magnitud entre un numero exacto,A. La incertidumbre absoluta del resultado es, pues, igual al cociente de la in-

certidumbre absoluta de la magnitud entre el divisor exacto;B. La incertidumbre relativa del cociente es igual a la incertidumbre relativa

de la magnitud;

c. X = -!- ~> lax = aa I IRx = Ra Iflex nex -. -~~~.

(8)12. Estas reglas son aplicables al cociente de una magnitud entre un numero exacto

( ~x) y no al cociente de un numero exacto entre una magnitud ( r;;x ).Ejemplo: Diez bolas de acero absolutamente identicas tienen, en total, una masa de 35.24± 0.05 g (incertidumbre relativa: I.{ X 10--3).

Q'<;'" \1i\'J. 005Incertidumbre ra:Iativa en la masa de una bola: ~O- = 0.005 g

( :: = ax)Incertidumbre relativa en la masa de una bola: 14 X IQ-ll (Rx = R.).

Ejercicio: Una hoja de papel milimetrico que mide exacta·mente 100 cm2 pesa 401.5 ± 0.2 mg.(Incertidumbre relativa: 0.5 X 10--3).Incertidumbre absoluta en la masa de I cm2: _

Incertidumbre relativa en la masa de I cm2: ~ _

0.002 mg0.5 X 10--3

No cambia uno la precision cuando multiplica 0 divide el resultado de una me-dicion por (0 entre) un numero exacto.

Ejemplo: La. precision en el perimetro de un cuadrado es igual a la precision en la medidade un lado.

Consulte el cuadro 9.3.

CALCULO DE INCERTIDUMBRES(Continuaci6n)

(9)1. La incertidumbre absoluta del producto 0 el cociente de dos magnitudes no parecetener relaci6n directa con las incertidumbres absolutas de dichas magnitudes: no es posiblehallarla con una sola operaci6n sencilla con las incertidumbres absolutas que afectan a cadamagnitud.

(9)2. No se puede hallar directamente la incertidumbre absoluta de un producto 0 deun cociente de magnitudes; hay que determinar primero la incertidumbre rela-tiva.

(9)3. La incertidumbre relativa: A. de un producto,B. de un cociente de magnitudes,

es igual a la suma de las incertidumbres relativas de cada magnitud.

Ejemplos:

X = v' t

cRx?e

v =-t

v = 25.6 ± 0.5 m/s t = 15.0 ± 0.2 sRv z 19 X H)-'l Rt Z 13 X 1(}-3Rx = Rv + R, = 19 X 10-3 + 13 X 10-3 = 32 X 10-3

e = 25.4 ± 0.2 m

Rez8 X 10-3Rv = Re + Rt = 8 X 10-3 + 7 X 10-3

t = 28.6 ± 0.2 s

Rt z 7 X 10-3= 15 X 10-3.

Ejercicios

S = ab a = 190 ± 5 mRa z 26 X 10-3

Rs z _

b = 7.10 ± 0.05 mRb z 7 X 10-3

mp = V

4.7x l~ 19 X 10-323.7 X 10-3

(9)4. Con una formula, la regIa precedente puede expresarse asi: si se efectua con las tresmagnitudes

la incertidumbre relativa de Q vale: IRo = Ra +

aaRecordemos que: Ra = --,

a

D· tEjemplo: d = T

con D = 250 ± 0.5 mmt = 35.2 ± 0.2 s

T = 63.7 ± 0.2 s

Rb + Rc IacRc=-.c

Ro ~ 2 X 1<rlRt ~ 5.7 X 10-3RT ~ 3.1 X 10-3

(9)5. Para hallar la incertidumbre ABSo-LUTAde un producto 0 un cocientede magnitudes, aplique la relacionaX = Xm• Rx:

A. Calcule el resultado promedio de laoperacion (producto 0 cociente delos promedios);

B. Calcule despues 1a incertidumbrerelativa de cad a magnitud;

c. Calcule la incertidumbre relativadel resultado (suma de las incerti-dumbres relativas);

D. Multiplique1a por el resultado pro-medio;

E. Redondee por exceso ados cifrassignificativas, y

F. Atribuya igual unidad que al resu1-tado promedio.

Ejemplo: Busquemos la incertidumbre abso-V

luta de D = -;t

V = 42.5 ± 0.5 m3 t = 30.1 ± 0.2 s42.5

Dm = 30.1 = 1.41 m3/s

0.5 500Rv = 42.5 = 425 X 1<rl ~ 12 X 10-3

0.2 200Rt = - = -- X 10-3:::; 6.7 X 1<rl

30.1 30.1Ro ~ 12 X 10-3 + 6.7 X 10-3 ~ 18.7 X 10-3

aD = Ro'Dm~ 18.7 X 1<rl X 1.41 ~~ 26.3 X 1<rl ~ 0.027 m3Is

E F

Ejercicio: Calcule la incertidumbre absoluta en el area S enS = a X b.

a = 25.6 ± 0.5 mSm= _

Ra ~ --------

Rs ~ --------

317.44 m2 (0 317.4 0 317)20 X lQ-3 24 X 10-3o 0.02 0 0.024

44 X 1Q-3 0 0.04414 m2

(9)6. La incertidumbre relativa de una potencia de una magnitud es igual al producto dela incertidumbre relativa de la magnitud por el exponente de la potencia.

P = an => IRp nRa IEjemplo:

V = asa = 185.0 ± 0.5 mmRa ::::; 2.7 X lQ-3Rv::::; 3 X 2.7 X lQ-8

::::;8.1 X lQ-3

Ejercicio:

S =uL = 210 ± 1 mmRL ::::; 4.8 X lQ-8

Rs::::; -- X .------ 2 4.8 X 10-39.6 X 10-3

(9)7. La incertidumbre relativa de una rail cuadrada (0 cubica) de una magnitud es igualal cociente de la incertidumbre relativa de la magnitud dividida entre 2 (0 entre 3 si setrata de una rail cllbica).De manera general,

Ejemplo:

a =y5S = 546 ± 2 cm2

Rs::::; 3.6 X 10-3RsRa ::::; -2::::; 1.8 X 10-3

x = va~> Iax = ~'IEjercicio:

L = yvV = 22.4 ± 0.1 dm2

Rv ::::; 4.5 X 10-3

(9)8. A. El cuadrado (0 el cubo) de una medida es dos veces (0 tres, si se trata de uncubo) menos preciso que la misma medida.

B. La rail cuadrada (0 cubica) de una medida es dos veces (0 tres) mas precisa quela misma medida.

(9)9. Para anotar el resultado de una multi-plicaci6n, de una divisi6n, de la elevaci6n auna potencia 0 de la extracci6n de una raizde magnitudes afectadas de incertidumbre:

Ejemplo: Se pide inscribir el resultado de laoperaci6n

D· td=-T

A. Calcule la incertidumbre relativa del resultado:ax = Xm• Rx

• Calcule la incertidumbre relativa de cada mag-nitud,

• Calcule la incertidumbre relativa del resultado(Rx), reglas (9)4 a (9)7.

• ax = Xm• Rx

• Redondee ados cifras por exceso y atribuya unaunidad.

E. Redondee el promedio al mismo orden que ocupela ultima cifra de la incertidumbre absoluta y ana-da una unidad a la ultima cifra de la incerti-dumbre.

EjercicioAnote el resultado de la operaci6n siguiente:

a =, 12.4 ± 0.1 emb 20.5 ± 0.1 emc 6.8 ± 0.1 em

donde D = 250 ± 0.5 mmt = 35.2 ± 0.2 sT = 63.7 ± 0.2 s

250 X 35.2-----= 138.15mm

63.7

0.5RD = 250 = 2 X 1<rJ

0.2Rl = - = 5.7 X 1<rJ

35.20.2

Rr = 63.7 = 3.1 X 1()--'3

Rd = RD + Rl + RT

Rd = (2 + 5.7 + 3.1) 1O-.'l= 10.8 X 1O-.'l

ad = 138.15 =- 10.8 X 1O-.'lad = 1.5mm

= 12.4 X 20.5 X 6.8= 1128.56 cm:t

0.1= 12.4 ::::::;8.1 X 1'()-3

0.149 0-3= 20.5::::::; " X 1, 0.1

R: = 6.8 ::::::;15 X 10-3

Rv ::::::;28.0 X 10-3AV = 28 X 10-3 X

= 28 X 1.73 ::::::;Vm = 1728.56AV=49V = 1729 49, regIa (!})9 E.

(9)10. A. Cuando la operacion es una SUMA 0 UNA DIFERENCIA, se halla directamente laincertidumbre absoLuta del resultado.

B. Para hallar la incertidumbre relativa, hay que dividir la incertidumbre ab-soluta entre el resultado promedio.

ASRs =--

Sm

(9)11. A. Cuando la operacion es un PRODUCTO 0 UN COCIENTE, UNA POTENCIA 0 UNA

RAiz de magnitudes, se halla directamente la incertidumbre reLativa del resul-tado (Rx).

B. Para hallar la incertidumbre absoluta, hay que multiplicar la incertidumbrerelativa por el resultado promedio (Xm).

AX = Rx' Xm•

(9)12. Cuando la operacion es un producto (0 un cociente) por un numero exacto(nex),

A. Se determina directamente la incertidumbre absoluta: basta multiplicar (0 di-vidir) la incertidumbre absoluta de la magnitud par (0 entre) el numeroexacto;

B. Tambien se determina directamente la incertidumbre relativa del resultado:es igual a la incertidumbre relativa de la magnitud.

Si sigue La "via reLdmpago", consulte eL cuadro 9.42.

Si sigue La "via normal", consulte eL cuadra 10.6.

En una serie de operaciones, llamaremos,

A. Terminos de crecimiento a 10s terminos cuyo aumento tiene por e£ecto elaumento del resultado;

B. Terminos de decrecimiento a IDs terminos cuyo aumento tiene por e£ecto 1adisminucion del resultado.

a-bEjemplo: Serie de operaciones X ---- c-d'

a es un termino de crecimiento,c es un termino de decrecimiento,

b es un termino de decrecimiento,d es un termino de crecimiento.

Se dice que hay compensaci6n de incertidumbres en una serie de operacionescuando la misma magnitud interviene a 1a vez en un termino de crecimiento yen uno de decrecimiento, sin que sea posib1e simp1ificarla.

y-xEjemplo: d = ---; hay compensacion de las incertidumbres porque x figura a 1a vezz-xcomo termino de decrectmiento (sustrayendo en el numerador) y como termino de creci-miento (sustrayendo en el denominador).

A. Se aplica solo a las series de operaciones en las que no hay compensacion deincertid urnbres.

B. Es e1 metodo que exige menos calcu10s.C. Se aplica bien alas expresiones que contienen razones trigonometricas (sen,

cos, tg ... ), logaritmos, etc.

A. E1 resultado promedio de una serie de operaciones" se obtiene efectuando1as operaciones con e1 promedio de cada magnitud medida.

B. Designaremos este resu1tado medio por Xm 0 Gm•

a = 2.61 ± 0.4 ma3

X=-yo

15.3 ± 0.2 m2

a3m (2.61)3

yo;;; VITIresultadomedio

E1 limite superior del resultado de una serie de operaciones se obtiene reemp1a-zando

A. Los terminos de crecimiento por su limite superior,

B. Los terminos de decrecimiento por su limite inferior.

Ejemplo (continuaci6n del (10) 4): a es un termino de crecimiento,b es un termino de decrecimiento.

A. amh = 2.61 + 0.4 = 2.65 m

B._ bmln = 15.3 - 0.2 = 15.1 m2

a3 mAx 2.65-'1 6 2Xm.h = - = ---;::; 4.78 m~ yrn

Ejemplo (continuaci6n de los precedentes) :

AX = Xmh - Xm = 4.789 - 4.545 = 0.244 :::::0.24 m2

E1 resultado es, pues, finalmente: X = Xm ± AX = 4.55 ± 0.25 m2•

4.545 redondeado aJ orden de la ultima cilrade la incertidumbre absoluta (cente.im •• ).

Atencion: para angu10s agudos, si un coseno se encuentra en un termino de creci-mien to, el angulo es un termino de decrecimiento e inversamente.

Ejemplo: en T = FL cos a, "cos a" es un tennino de crecimiento; por tanto, a es un ter-mino de decrecimiento. Para hallar T max,habra que sustituir a por amin(y no por am~x).

(10)9. El metodo de reducci6n consiste en tratar de reducir la serie de operaciones (la f6rmu-la) a uno de los dos tipos siguientes:

A. G=k· ua• xb

n·y"·zd

0

B. IS = nX ± n'Y ± .. ·1

(k, n, n': coeficientes numericos)(a, b, c, d: exponentes positivos)(u, x, y, z: magnitudes)

k, n, n', a, b, c y d no estin afectadas por in-certidumbres.

MEjemplo 1: g = K (R + h)2' Establezcamos que R + h = x;

obtenemos: g = K ~ que es una expresi6n del primer tipo, A, que acabamos de citar.x2

En efecto, se Ie puede obtener a partir de la f6rmula A, reemplazando G por g, k por K,u por M, y por x, c por 2 y las demis letras por 1.

Ejemplo 2: V = Vo + kVot, suponiendo que k es un valor numerico dado en las tablas conuna incertidumbre insignificante que podemos despreciar, en comparaci6n con las incerti-dumbres de las otras magnitudes.Establezcamos que Vot = A V = Vo + kAEsta expresi6n es del mismo tipo que la formula B.En efecto, puede obtenerse reemplazando, en B, S por V, n por 1, X pot Yo, n' por k yY por A.

(10)10. Si ya se ha reducido la serie de oyeraciones a una expresion del tipo:

kuaxbG--- .- ny"zd '

A. Se puede hallar la incertidumbre relativa del tesultado (RG):

IRG = aRu + bR. + cRy + dR •. , ,IB. Para calcular la incertidumbre absoluta, basta entonces aplicar:

I aG = Gm• RG .\

Se halla Gm, como hemos visto en el numero (10)4.M

En el ejemplo 1 precedente, (10)9: g = k -=> Rg = RM + 2R.x2

RM = aM; para hallar R•. hay que recordar que se ha establecido que x R + hM

Ax AR + ahax = AR + Ah; luego R. = -- = ----

x R + h

F' AM 2 AR + ah .malmente, Rg = -- + ----M R+h

(10)11. Si se ha reducido la serie de operaciones a una expresion del tipo

S = nX ± n'Y ±se halla la incertidumbre absoluta aplicando:

as = nax + n' a Y +En el ejemplo 2 precedente, (10)9, se tenia V = Vo + kA => av = aVo + kaA.Para hallar .lA, hay que recordar que hemos establecido

A = Vot=> RA = Rvo + Rt; aA = A . RA•

Este metodo no puede aplicarse a las series de operaciones con compensacionde incertidumbres.Exige con frecuencia dJculos mas largos que el metodo precedente.

Este metodo puede aplicarse a las series de operaciones can compensacionde las incertidumbres.·Exige calculos mas largos.Pero proporciona directam~nte la expresion algebraica de la incertidumbreabsoluta.

• Es decir, en el easo en que la misma magnitud figura a la vez en un termino de erecimiento y en uno de deere.cimiento; pero no en el caso de que 10s errores esten Iigados (por ejemplo, si un error por exeeso acarrea otroerror por defecto) .

Las formulas de fisica expresan generalmente que una magnitud (G) es fun-cion de otras magnitudes (x, y, z).

Esta funcion es generalmente derivable en los intervalos de variacion dex, y, z; y estas magnitudes son, en general, variables independientes.G f(x, y, z), con: f funcion derivable,

x, y, z son variables independientes (magnitudes medidas).

Se llama derivada parcial de la funcion f can respeeto a x, el resultado ob-tenido de derivar f como si x fuera la unica variable (y, z constantes).La derivada parcial de f can respecto a x se denota: f:.De igual maneta, la derivada parcial de f con respecto a y se denota f~.

(10)16. Se puede demostrar que:Si G = f(x, y, z) con x = Xm ± Ax y Ax< xm

y = Ym± Ay Ay~ Ymz=zm±Az Az ~ Zm

si f es derivable ysi x, Y Y z son variables independientes (es decir, si los errores no estan ligados, por ejem-plo, si un error por exceso no ocasiona necesariamente otro error por defecto):

I AG ~ If:I' Ax + If;I' Ay + If;I' Az ILas barras verticales son barras de m6dulos: /f:1 significa "m6dulo (= valor absoluto) de laderivada parcial de la funci6n f con respecto a x".Ejemplo a completar: vease el cuadro 13.8.

1.1. Problema: Se mide el diametro de un drculo (d = 124 ± 0.5 mm) y Se quiere calcu-lar, a partir de esta medida, la longitud de la circunferencia:L = 1t X d. ,Que valor habra que tomar para 1t: 3 0 3,1 0 3,14 0 3,142 0 3,1416 0 3,14159?En otras palabras, ,c6mo de-be redondearse un coeficiente numerico para no introducir errorapreciable ni tener que hacer dlculos exageradamente largos?

1.2. Un coeficiente numerico es un numero que multiplica 0 divide a un termino y quepuede encontrarse en unas tablas; por ejemplo, en V = 1tR2h, 1t es un coeficiente nu-merico.

1.3. El termino afectado (t) es el que esta multiplicado (0 dividido) pOI" (0 entre) el coefi-ciente numerico. En V = 1tR2h, el termino afectado es "R2h".

1.4. Principio: La imprecisi6n introducida al redondear un coeficiente numenco debe serpor 10 menos diez veces menor que la imprecisi6n del termino afectado,

1.5. En otras palabras, la aproximaci6n relativa (cociente de la aproximaci6n entre elcoeficiente redondeado) debe ser 10 veces menor que la incertidumbre relativa del terminoafectado.Si llamamos a a la aproximaci6n, k al coeficiente y R a la incertidumbre relativa del ter-mino afectado, tenemos:

a R Rkk ~ 10 => a ~ 10'

1.6. La aproximaci6n permitida es igual a la decima parte del producto del coeficiente porla incertidumbre relativa del ttJrmino afectado.

3. Aplique la formula de la aproxi-macion permitida:

Rk10

• Calcule la incertidumbre relativa deltermino afectado (Rt)

Ejemplo: Se mide el diametro de la base de uncilindro y su altura. Se calcula su volumen por

~ .

la relacion V = 4 d2h. (Hasta que cifra hay

que redondear ~ = 3.141 59 ... ?

d = 142 ± 0.5 mm h = 67 ± 0.5 mm

-k = ~= 3.141 59 ...

d2h.t =--

4

Formula de lasincertidum bres

relativas

15 X 10-3 X 3a= 10

Rt = ;:r:;; 15 X 1041

tRt = 2 X 3.5 X lQ4l

+ 7.5 X 1041

0.5Ri = 142 = 3.5 X

X lQ4l

0.5 75Rh={f'7= . X

X 10~

B. Redondee la aproximaci6n permitidaa su pnmera cifra significativa por de-fecto.

c. Redondee el coeficiente a la cifra deigua1 orden (6ptimamente).

D. Examine si puede redondearlo a1 or-den precedente.

1. Calcu1e la cliferencia entre el coeficien-te redondeado en C y el coeficiente re-don de ado al orden anterior.

2. Comparela con 1a aproximaci6n per-mitida.3. Si la diferencia es inferior 0 igual, sepuede tomar e1 coeficiente redondeado alorden precedente.4. Si no, hay que tomar el coeficientecomo qued6 redondeado en C.

a :::::;4.5 X 10-3 :::::;4 X 10-3:::::;0.004

k = 1t :::::; 3.141 59 ...k = 1t :::::; 3.142

3.142- 3.14

0.002

0.002 < 0.004

aOl.rx= a + aabm~x= b + abaOlfn= a - aabOlfn= b - abP Ol(n= aOlfn. bOl:n

Pm~x= (a + aa) (b + ab) POlfn= (a - aa) (b - ab)Pm~x- POlin= (a + aa) (b + ab) - (a - aa) (b - ab)

= ab + aM> + baa + aaab - (ab - aab - baa + aaab)= $lb + aab + baa + ~b. - .ab" + aab + baa - liaAb= 2aab + 2baa

Pmax- POl{n = aab + baa,2

aP = aab + baaaP aab baaP = ab + abaP ab aa aP ab aaP = b + ~' pero: p = Rp b = Rb ~ = Ra:

Rp = Ra + Rb, 10 que se trataba de demostrar.

POlfx- POlIn2 = aP, luego,

Dividamos entre P = ab

I ~x= a b c => Rx = Ra + Rb + Re? IEstablezcamos ab = P => X = p. cSe demuestra, como acabamos de hacer, que Rx = Rp + Re.Pero Rp = Ra + Rb luego Rx = Ra + Rb + Re.De la misma manera se puede proceder para un numero cualquiera de factores.

I ~p= an => Rp = nRa? Ip an = a' a . a ... => Rp = Ra + Ra + Ra"--y--J

n faclores

q es maximo cuando el numerador (a) es maximo y el denominador (b) es mini mo ..•q es minimo cuando el numerador (a) es minimo y el denominador (b) es maximo."

qm(n = bm.:,. bmfn= b - Abamh amln a + Aa a - Aa

qmax- qmln= ~ - -b = b _ Ab - b + Abmm m'x(a + Aa) (b + Ab) - (a - Aa) (b - Ab)

qmax - qm{n = (b + Ab) (b - Ab)ab + aAb + bAa + AaAb - ab + aAb + bAa - AaAb

b2 _ (Ab) 2

pero (Ab) 2 -< b2 => b2 - (Ab) 2 :::::: b2la incertidumbre debe ser muy inferior a lamagnitud; el cuadrado de la incertidumbre es,pues, insignificante respecto al cuadrado de lamagnitud.

. Ab 1 ~b) 2 _ 1Como maXimO b = 10 b2 100

amh = a + Aabmlx= b + Ab

2aAb + 2bAab2 - (Ab) 22aAb + 2bAa

b2

Dividamos entre 2:qmax- qm{n aAb + bAa

2 - b2aAb + bAa

luego Aq - --b-2--

qmax-qmlnPero ---- = Aq

2

1. . bMu tlphquemos por -:a

b· bAaabb

b 1pero -

a qL. Q. S. T. de D.

3.1.1. El error de una medida es la diferencia entre el valor adopt ado como resultado (pro-medio de las medidas) y el valor exacto desconocido de la magnitud.

3.1.2. Como no se puede conocer el valor exacto, se ignora tambien el valor del err01' deuna medida.

3.1.3. Ante esta dificultad, se pueden adoptar dos actitudes diferentes:

• Buscar cmil es razonablemente el maximo valor posible del error. Esto equivale a evaluarlos !imites entre los cuales esta casi seguramente comprendida la magnitud medida, esdecir, a determinar la incertidumbre absolutll. Esta es la actitud que nosotros hemosadoptado en este curso y la que se adopta generalmente en la ensefianza media, por ra-zones de sencillez y tambien de metodologia 0 de filosofia de la ensefianza (primero hayque ensefiar al alumno la prudencia cientifica y el escepticismo positivo) .•

• Determinar cual es el valor mas plausible del error. Entonces hay que tratar de evaluarla tendencia de los resultados a desviarse del promedio y, teniendo en cuenta esta ten-dencia, estimar entre que valores esta comprendida muy verosimilmente (y no casi se-guramente) la magnitud.

• A este respecto. hemos de hacer notar que esta prudencia, muy frecuentemente, es solo aparente: la casi certi-dumbre que se tiene sobre los l/mites del resultado se basa en la conviccion de que la medicion efectuada estaexenta de error sistematico y de que los errores fortuitos tienden a compensarse (validez de 10s postulados deHagen); este no es siempre el caso en las mediciones efectuadas en 10s trabajos pclcticos.

3.2.1. Medidas agrupadasCuando se efectua' una serie de medidas, suele ocurrir que las medidas proxlmas al prome-dio son mucho mas numerosas que las que estan alejadas de ella. Se dice entonces que lasmedidas estan agrupadas. He aqui un ejemplo de una serie de 15 medidas agrupadas a1rede-dor del promedio (125 micrones). El resultado vale L = 125 ± 4 micrones. Solamente unade las medidas fue igual a 121 micrones, ninguna a 122 micrones, 1 a 123 micrones, 3 a124 micrones, 4 a 125 micrones, 3 a 126 micrones, 2 a 127 micrones y 1 a 128 micrones. Sepuede representar este hecho por una gnifica:

Como ordenadas se toman losnumeros de medidas igua1es,cuyos valores en micrones sonindicados por las abscisas.

3.2.2. Medidas dispersasCuando se efectua una serie de mediciones, tambien puede suceder que los resultados 0medidas ofrezcan va10res bastante a1ejados del promedio, y que sean casi tan numerosos comolos va10res proximos a dicho promedio. Se dice entonces que 1as medidas estan dispersas.He aqui un ejemp10 de una serie de 15 medidas dispersas.E1 promedio es tambien de 125 micrones y el resu1tado es e1 mismo que el del caso de 1aserie precedente: 1 = 125 ± 4 micrones.Solo es diferente la manera como estan distribuidas las medidas en el intervalo de con-fianza.

Como ordenadas se toman losnumeros de medidas iguales,cuyos valores en micrones sonindicados por las abscisas.

3.2.3. Necesidad de tener en cuenta la dispersion

Las dos series de medidas que acabamos de citar tienen igual resultado: 125 ± 4 mlcro-nes.· Sin embargo, es evidente que la magnitud medida tiene mas probabilidades de ha-llarse cerca del promedio en la primera serie (medidas agrupadas) que en la segunda (me-didas dispersas). Elresultado de la medida deberia reflejar esta situacion indicando de al-guna manera la dispersion de las medidas.

• Con frecuencia, medidas dispersas conducen a un intervalo de confianza mayor que e1 de medidas agrupadas.La situaci6n descrita (dos series con dispersiones muy diferentes, aunque tengan la misma incertidumbre absoluta)es poco frecuente. pero tiene el merito de ser llamativa.

3.2.4. Evaluacion numerica de la dispersion

1. Llamemos Sl a la desviacion de la primera medida (Sl

Llamemos S2 a la desviacion de la segunda medida.

Llamemos Sn a la desviacion de la ultima medida.2. Podremos elevar al cuadrado cada desviacion (S12, S22 ••. 502) Y sumar estos cuadrados.Si S es la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada medida, tendremos S = S12 ++ S22 + ... sn2•

3. En estadistica, se puede mostrar que la magnitud que mide mejor la dispersion de lasmedidas de una serie que contiene n de ellas, es un numero llamado desviaci6n estdndar 0

normal. Se designa con la letra griega "rf" (sigma) y vale:

rf desviacion estandar (medida deS = S12 + S22 + ... sn2

la dispersion), misma unidad que la medida.(Sl = desviacion de la primera medida =

mera medida - promedioSn = desviacion de la ultima medida).

n = numero de medidas de la serie.4. Calculemos, a titulo de ejemplo, la desviacion estandar de las dos series de medidas Cl-tadas.

Medidas agrupadas

Medidas 121 123 124 124 124 125 125 125 125 126 126 126 127 127 128Desviaciones -4 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 +1 +1 +1 +2 +2 +3Cuadradosde lasdesviaciones

micronesmicrones

16 + 1 + 1 + 1 + 1 +0 +0 +0 +0 +1 +1 +1 +4 +4 +9 = 43luma de 101 cuadradol

de lal delviacionel

R3- {ifrf - --- = 14 = 1.75 micrones- 15 - 1

Medidas dispersasMedidas 121 122 122 123 124 124 124 125 125 126 127 127 128 128 129~Desviaciones -4 -3 -3 -2 -I -I -I 0 0 I 2 2 3 3 4 ~Cuadradosde lasdesviaciones 16 +9 +9 +4 +1 +1 +1 +0 +0 +1 +4 +4 +9 +9 +16 84

s = 84 n = 15 (j = ~ 84 = ~ 84 = 2.45micrones.15- 1 14

5. En los ejemplos anteriores se ve que la desviacion estandar de una serie de medidasdispersas es mayor que el de una serie de medidas agrupadas.

3.3.1. Los limites del resultado representan una estimacion del menor y del mayor valorposible de la magnitud medida.Sin embargo, se puede pensar que hay muy pocas probabilidades de que, en una serie nor-mal de medidas, todos los errores fortuitos, por casualidad, hayan actuado en el mismosentido y no queden compensados en parte. Por tanto, hay muy poeas probabilidades deque la magnitud medida este proxima a uno de los dos limites del resultado. Esta obser-vacion es particularmente pertinente si la dispersion de las medidas es debil, 10 que indicauna tendencia neta de los errores fortuitos a compensarse.

3.3.2. Por tanto, se puede pensar que adoptar como intervalo de confianza el intervaloentre los limites del resultado (definidos por la medida cuya separacion absoluta es la ma-yor) es una actitud de una prudencia un poco excesiva y que no tiene en cuenta la disper-sion de los resultados.Asi pues, haria £alta, para cercar mas estrechamente el valor real, adoptar como valor delerror, ya no la incertidumbre absoluta (la mayor separacion absoluta de la serie), sino unvalor inferior que tenga en cuenta la dispersion de todas las medidas, en vez de basatseunicamente en la medida que se aleja mas del promedio.

1. La desviacion estandar, de£inida anteriormente, tiene en cuenta la dispersion de todaslas medidas y es normal pensar antes que nada en ella para representar el error plausible dela medida.2. Una pregunta se plantea entonees a nuestra mente:Si se adopta la desviacion estandar para representar el error de la medida, ,que confianzapuede tenerse en que la magnitud real este comprendida entre "promedio - (j" y "pro-medio + (j"? ((j = desviacion estandar).El ealculo estadistico muestra que en una serie normal de medidas hay aproximadamenteun 68% de probabilidades de que una medida suplementaria caiga dentro del intervalo(Gm - (j, Gm + (j).

Esto signi£iea que hay por lo menos 68% de probabilidades de que la magnitud real estecomprendida entre esos dos valores.

3. Se admite, pues, que la incertidumbre del resultado de una sene normal de medidaspuede ser evaluada por la desviaci6n estandar de la serie:

IG = Gm ± a- 1 con un grado de confianza del 68%.

Lo cual significa que una medida suplementaria tiene 68% de probabilidades de caer en-tre Gm - a- y Gm + a-. A veces se da el nombre de error estdndar a la incertidumbre ex-presada por la desviaci6n estandar.

3.3.4. El calculo estadistico muestra tambien que en una serie normal de medidas, hay96% de probabilidades de que una medida suplementaria caiga en el intervalo (Gm - 2a-,Gm + 2a-).

Este grado de confianza corresponde mas 0 menos a la casi certeza de que si se efectuarauna medida suplementaria en una serie normal, caeria en el intervalo (Gm - aG, Gm ++ aG) y se puede estimar, de manera ampliaJ que si las medidas de una serie normal no es-tan extremadamente agrupadas ni extremadamente dispersas:

aG ~ 2a-.

3.3.5. En resumen, en una serie normal de medidas (10-20 medidas desprovistas de errorsistematico):

• Es casi seguro que la magnitud medida esta comprendida entreGm - aG y Gm + aG,

• Es plausible pensar que esta comprendida entreGm - a- y Gm + a- (grado de confianza = 68%)

aG es la separaci6n absoluta mayor de la serie y se llama incertidumbre absoluta.a- es la desviaci6n estandar y vale, por definici6n:

E suma de los cuadrados de las desviacionesde todas las medidas.

n = numero de medidas.a- = +~ E

n-l

3.4.1. £1 cdlculo de errores consiste en determinar el error estandar del resultado de unaoperaci6n efectuada con numeros afectados de un error estandar conocido.

3.4.2. £1 cdlculo de err01"es es diferente del de incertidumbresJ aunque frecuentemente seles confunde. El calculo de incertidumbres consiste en determinar los posibles limites delresultado de una operaci6n, mientras que el calculo de errores consiste en determinar loslimites mas plausibles del resultado.

3.4.3. El estudio del calculo de errores exige conocimientos de calculo estadistico, 10 cualse sale del plan de este texto.

4.1. Los procedimientos del d.lculo de incertidumbres no son aplicables en el caso en quehay compensaci6n de errores; es decir, en el caso en que el error afecta a una magnitudintroducida en una operaci6n no es independiente de los errores que afectan alas demasmagnitudes.La compensaci6n de errores puede tener dos origenes:1. El metodo (0 el instrumento) de medida de las magnitudes.2. La operaci6n que se efectua con estas magnitudes; en este casa, el termino de compen-saci6n de incertidumbres es mas adecuado.

~_xI.,..•

I I: IILix

y-~

1. Ejemplo. Se trata de determinar la distancia del punto de equilibrio a cada extremi-dad de una barra horizontal rigida.Si se comete un error por defecto en x (a la izquierda), se comete el mismo error porexceso en y (a la derecha) .2. En casos sencillos} se pueden hallar valores independientes para la incertidumbre de me-dida razonando sobre las condiciones en que se efectuado ha la operaci6n de la medici6n.En el ejemplo que acabamos de enunciar, es evidente que la incertidumbre no conciemeindividualmente a los valores de x y a los de y, sino a la posici6n del punto de equilibrio.Suponiendo que las diferentes mediciones ha yan situado este punto dentro de una zona de8 mm, se tomara como valor de .!lx y de .!ly, 4 mm.3. En ios casos mas complejos} es posible aplicar el metodo diferencial mediante modifica-ciones que no juzgamos util desarrollar en este cuademo, destinado a la ensefianza media.

4.3. COMPENSACI6N DE LAS INCERTIDUMBRES DEBIDA A LA OPERACI6N

1. Como ya hemos visto, cuando la misma magnitud figura a Ia vez en un termino deerecimiento y en uno de decrecimiento sin que se Ie pueda simplificar, 105 procedimien-tos del calculo de incertidumbres conducen a una incertidumbre excesivamente grande, ys6Io puede aplicarse el metodo diferencial.2. Cuando hay compensaci6n de las incertidumbres en una operaci6n, hay que aplicar elmetoda diferencial.3. El alumno que todavia no ha aprendido a calcular derivadas podra tratar de transfor-mar la expresi6n en otra en la que cada magnitud aparezca s6Io una vez.

Por ejemplo, R =1

R

xyx+y1 1-+-x Y

Se puede calcular la incertidumbre absoluta de R aplicando, por ejemplo, el metodo dellimite superior.

1Establezcamos C R => R

1 1(2) => C = - + -x Y

1 1+-XmJx Ym~x

Se puede calcular Cmln a partir de (4), donde Xmb = x + ax y Ym~ = y + ay.Se calcula entonces Rm£x aplicando (3).aR = Rmax - Rm• Rm puede calcularse a partir de (1) 0 de (2).

4. Todas las expresiones en que la misma magnitud figure a la vez en un termino de creci-miento y en uno de decrecimiento no son transformables.Es el caso, por ejemplo, de las expresiones que permiten calcular la densidad de los s61idoso de los liquidos mediante tres pesadas (x, y, z).

y-xz-x

y-xd=--y-z

Se puede calcular la incertidumbre relativa del resultado restando la incertidumbre rela-tiva del denominador de la incertidumbre relativa del numerador: as!, se tiene en cuentala compensaci6n de las incertidumbres de los terminos en que hay efectivamente compen-saci6n; pero se introduce una compensaci6n ficticia en los rerminos en que no la hay: en-tonces, hay que aislar las incertidumbres de estos terminos y afiadir sus valores absolutos.Este razonamiento y los calculos que impone exigen gran dominio del c:Hculo de incerti-dumbres y cierta agilidad en calculo algebraico. Nos parece ilusorio proponerlo a los alum-nos de primer grado de preparatoria; la mayoria de ellos s610 conseguid.n tener una sen-saci6n de fracaso y una prevenci6n hacia el calculo de incertidumbres.En los cursos superiores, es inutil; en cuanto el alumno ha aprendido a calcular una deri-vada, puede aplicar el metodo diferencial.Sin embargo, las mediciones de densidad se efectuan en los trabajos practicos de primergrado de preparatoria y, si el maestro desea que el alumno efectue el calculo de incerti-dumbres, podra autorizarle a emplear las f6rmulas que hemos dado en los parrafos 13.9y 13.10.

5.1. RECORDATORIO. Una grafica de la temperatura de un enfermo tiene por objeto mos-trar como evoluciona esta temperatura en el transcurso de los dias. Cada dia se toma latemperatura y la fecha: se obtienen asi pares de val ores, cada uno de los cuales se repre-senta par un punto, utilizando una escala vertical que indica las temperaturas (ordenadas)y una horizontal que sefiala las fechas (abscisas).

Magni'Ude,{

-Fecha 17 18 19 20 abril

Temperatura 38.8 39.2 39.1 38.5 DC-

IPares de valoresl

A. Un punto llevado a una grafica representa un par de valores de las magnitudescorrespondientes a la abscisa y a la ordenada del punto.

B. El primer valor citado es el que corresponde a la abscisa, y el segundo es el que co-rresponde a la ordenada.

Fig. 12.~sit~~.=llil~

5.2. Cuando se lleva a una grafica un valor a£ectado de incertidumbre, se representa suinterva10 de confianza por un segmento de recta• que tiene por centro e1 promedio;• que tiene por media 10ngitud 1a incertidumbre abso1uta.

5.3. Con mucha frecuencia, 10s va10res que se llevan a una grafica estan afectados de incer-tidumbre; por ejemp10, si se ha medido que un coche ha recorrido 1 250 ± 10 m en 64.5± 0.2 s, se obtiene un par de va10res afectados de incertidumbre: 64.5 ± 0.2 s, 1 250 ±10 m. Este par de va10res incluye

• un par de promedios: (64.5 s, 1 250 m);• cuatro pares de limites: (64.3 s, 1 240 m) (64.3 s, I 260 m);

(64.7 s, 1 240 m) (64.7 s, 1 260 m).

5.4. Un par de valores afectados de incertidumbre (Gm ± aG, G'm ± aG') incluye:A. • dos promedios aritmeticos: (Gm, G'm)B. .• cuatro pares de limites: (Gmm, G'min) (Gmin, G'mix)

(Gmax, G'm{n) (Gmax, G'mh)'

5.5. En una grafica, un par de va10res afectados de incertidumbreA. • no puede 'quedar enteramente representado por un solo punto,B. • esta representado por e1 conjunto de 10s puntos de un rectangu10 llamado rectan-

gulo de incertidumbre.

5.6. E1 rectangulo de incertidumbre de un par de va10res llevados a una graficaA. • tiene por centro el punto que representa a1 par de promedios aritmeticos;B. • tiene por vertices 10s cuatro pares de limites.

Por ejemp10, si se quiere llevar a una grafica e1 par de va10res 64.5 ± 0.2 s, 1 250 ± 10 m,un punto no es suficiente; es necesario un rectangu10 centrado en e1 punto de 10s dos pro-medios (64.5 s, 1 250 m) y cuyos vertices son 10s cuatro pares de 10s limites: 64.3, 1 240;64.3, 1 260; 64.7, 1 240; 64.7, 1 260:

5.7. Para trazar el rectangulo de incertidum-bre de un par de valores:

A. Coloque el punto que representa elpar de valores de los promedios;

B. Trace a izquierda y derecha de estepunto dos segmentos horizon tales, delongitud correspondiente a la incerti-dumbre absoluta del valor de la abs-cisa;

representar el par(28 ± I s, 73.0

abscisa

de valores.± 0.5 °C)ordenada

B. Valor de abscisa: 28 ± I sIncertidumbre absoluta del valor de Jaabscisa: I s.

c. Trace, desde el punto inicial, dos seg-mentos verticales hacia arriba y haciaabajo, igual cada uno a la incertidum-bre absoluta del valor de la ordena-da; y

D. Trace el rectangulo cuyo punto ini-cial es el centro y cuyos lados soniguales a los segmentos que acaba detrazar (estos son las media trices delrectangulo que obtiene).

C. Valor de la ordenada: 73.0 ± 0.5 °CIncertidumbre absoluta del valor de laordenada: 0.5 s.

5.8. Una curva pasa por un punto con la precisi6n de las incertidumbres de medida SI cor-ta, aunque s610 sea en un punto, su rectangulo de incertidumbre.

duracion 8.3 ± 0.1distancia 16.5 ± 0.2

9.919.5

(fig. 21)

± 0.1± 0.2

10s pares de va10res siguientes:

12.4 ± 0.1 s25.0 ± 0.2 mm.

Senale sise puede hacer pasar una recta pOl' estos puntos, con la precision de las incerti-dumbres de medida como minimo.

Esta obra termin6 de imprimirse el dia 30 de juniode 1978, en 10s talleres de Lito Offset California, Dr.Duran num. 46. CoL Doctores, Mexico 7, D. F.

Se tiraron 3 000 ejemplaresmas sobrantes de reposici6n

KC 100gL-FI