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DerivadaDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
Contenido
[ocultar] 1 Conceptos y aplicaciones 2 Introducción geométrica a las derivadas
3 Condiciones de continuidad de una función
o 3.1 Condición no recíproca
4 Definición analítica de derivada como un límite
5 Notación
6 Diferenciabilidad
7 Cociente de diferencias de Newton
8 Lista de derivadas de funciones elementales
9 Ejemplo
10 Generalizaciones
11 Véase también
Conceptos y aplicaciones [editar]
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Introducción geométrica a las derivadas [editar]
Es importante entender qué es una función matemática para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables e puede entenderse como una función, siempre y cuando a cada valor de le corresponda uno y solamente un valor de . Notar que dos valores diferentes de pueden apuntar a un mismo valor de sin contradecir la definición dada de función. La correspondencia entre estas dos variables se puede
abstraer mediante parejas , donde es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún número . Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.
Por ejemplo, dada la función
, las parejas se obtienen dando valores al azar a y calculando como se muestra en la siguiente tabla:
En esta tabla se obtienen valores para puntos que pueden ser graficados en un plano cartesiano con ejes e . En lenguaje matemático la palabra "función" se
expresa sustituyendo la variable por la expresión e indicando así que es una
función, en este caso, de la variable . En lenguaje coloquial se lee "efe de equis".
Así pues la función anterior tendría el aspecto :
y del mismo modo, las coordenadas de los puntos en el plano cartesiano tendrían
el aspecto puesto que la coordenada viene de calcular .
La derivada de una función.
La derivada de una función es otra función que se obtiene mediante las bien definidas reglas de derivación, es decir, de forma completamente mecánica.
La nueva gráfica del plano cartesiano definida por esta nueva función (la derivada) y obtenida de una función original, representa la velocidad con que la función original crece o decrece en cada punto. Esta velocidad de crecimiento o decrecimiento viene definida por la pendiente del punto tratado. Es evidente que con un solo punto dibujado en la grafica no puede apreciarse pendiente alguna, pero al dibujar varios puntos lo más contiguos posibles (a partir de la función derivada), y uniéndolos mediante una línea, la idea de pendiente queda visualizada.
En la gráfica de una función derivada, la pendiente representa la rapidez con que cambia la función original en cada punto. Si la pendiente es muy grande, entonces la función original en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña,
x y
-5 -0,192...
-4 -0,235...
-3 -0,3
-2 -0,4
-1 -0,5
0 0,0
1 0,5
2 0,4
3 0,3
4 0,235...
5 0,192...
entonces la función original crece muy despacio en ese punto. Esto significa que con un
valor determinado de la variable para la función original: , ese mismo valor de
en su función derivada: representa el valor de crecimiento o decrecimiento de
la función original en ese punto definido por .
En términos geométricos, esta pendiente es "la inclinación" de la línea recta que pasa
justo por encima del punto que evalúa la derivada para un valor de . La línea recta anterior podemos dibujarla sobre el plano cartesiano que contiene la gráfica de la función sobre un punto determinado de la gráfica para representarla. Esta línea recta que pasa justo por encima del punto tiene la inclinación guiada por los puntos
contiguos generados por los valores obtenidos de la función derivada . Al darle muchos valores al azar a la variable , conseguimos que la función derivada
nos vaya devolviendo los puntos que representan dicha linea recta, con su correspondiente pendiente para ese punto.
Derivar una función no es en absoluto complicado si se saben utilizar las reglas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lógico. Se puede comparar el proceso que lleva a una regla de derivación al proceso utilizado para obtener la famosa solución que resuelve las ecuaciones de segundo grado de forma automática, y que está descrito en la mayoría de libros de texto. Se requiere un poco de práctica para aplicar correctamente la reglas de derivación sin caer en errores elementales.
Otra forma de expresar estas ideas en un lenguaje matemático más formal y directa es esta :
Utilizando las reglas de derivación sobre una función, se obtiene otra función llamada
derivada, o bien primera derivada. Si se denota por a una función y a la
función que resulta de derivar , entonces representa la pendiente que existe
en el punto geométrico . La función representa la pendiente que posee
la recta tangente a cualquier punto de la función, siendo éstos de la forma .
Condiciones de continuidad de una función [editar]
Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del
dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión Δy + y =
f(Δx + x), queda donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere
decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con
es continua en el punto a.
Condición no recíproca [editar]
La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.
Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto
. Dicha función es equivalente a la función partida
Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las
derivadas resultan
Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.
De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.
Definición analítica de derivada como un límite [editar]
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x".
En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto 'P' de la función por el resultado de la división representada por la relación (dx / dy), que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la linea recta azul que representa la tangente en el punto 'P' de la función. Esto es facil de entender puesto que el triangulo rectangulo formado en la grafica con vertice en el punto 'P', por mucho que lo dibujemos mas grande, al ser una figura proporcional el resultado de (dx /dy) es siempre el mismo.
Esta definicion, que es laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los cuatro pasos, constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:
,
la cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de a, en la cual es posible cancelar siempre el factor " x - a " en lugar de solo a. El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. El estudiante debe utilizar el que le resulte más conveniente.
En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a (varios autores prefieren utilizar la notación "xo" en lugar de a) se define como sigue:
,
si este límite existe, de lo contrario, f '(a) no está definida. Esta última expresión
coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, para lo cual se tendría que ser muy hábil en el cálculo de límites indeterminados de la forma 0 sobre 0 (lo cual sería muy laborioso), existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de una función de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite y hacer los cuatro pasos cada vez. Tales reglas se deducen sucesivamente de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
El conocimiento de todas las expresiones anteriores y su significado representan el acercamiento epistémico más completo posible en torno a la definición de derivada, y con ello, al aspecto esencial del cálculo diferencial.
Notación [editar]
Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función al valor en varios modos:
{Notación de Lagrange}
se lee " prima de equis"
o {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee " sub de ", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
{ Notación de Newton}
se lee "punto " o " punto". Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
, ó {Notación de Leibniz}
se lee "derivada de ( ó de ) con respecto a ". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para
identificar las derivadas de en el punto a, se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de , se escribe . De modo parecido, para la segunda
derivada de se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función
derivada de , se escribe:
Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:
Si , se puede escribir la derivada como
Las derivadas sucesivas se expresan como
o
para la enésima derivada de o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
la cual se puede escribir como
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación
parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:
En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:
y así sucesivamente.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
Diferenciabilidad [editar]
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función no es continua en un punto x, no tiene línea tangente y, por tanto, la función no es diferenciable en ese punto; sin embargo, aunque una función sea continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido. La derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.
Cociente de diferencias de Newton [editar]
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto
en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño . representa un cambio relativamente pequeño en , y puede
ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y
es
.
Inclinación de la secante de la curva y=f(x)
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es
decir donde no hace un ángulo. En el punto de se puede trazar la
tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es , el número derivado de en .
La función es la derivada de .
En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , se
puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de determina en función (si crece o no).
En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba
(mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto es positiva, como en el punto (
), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y es negativa, como en el punto ( ). En los puntos y , que son máximo y
mínimo local, la tangente es horizontal, luego .
La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:
Por ejemplo, sea
entonces:
Lista de derivadas de funciones elementales [editar]
Artículo principal: Anexo:Tabla de derivadas
Ejemplo [editar]
Sea la función , definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:
Para encontrar el signo de , se tiene que factorizar:
lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.
En la tabla siguiente se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función .
El signo de la derivada primera muestra cuando crece o decrece la función.
Generalizaciones [editar]
El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:
Cálculo de varias variables o Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.
o Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.
Análisis complejo:
Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas
Análisis funcional:
o Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales.
o Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita.
o Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.
Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:
Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de
una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita).
La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.
Véase también [editar]
Criterio de la derivada de mayor orden Pendiente de una recta
Límite de una función
Tabla de derivadas
Derivación numérica
Derivación de funciones trigonométricas
Función matemática
Integral
Reglas de derivacion
Regla de la cadenaDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Contenido
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1 Descripción algebraica 2 Notación de Leibniz
3 Ejemplos de aplicación
o 3.1 Ejemplo conceptual
o 3.2 Ejemplo algebraico
3.2.1 Ejemplo 1
3.2.2 Ejemplo 2
4 Derivadas de orden superior
5 Véase también
Descripción algebraica [editar]
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma
que si es diferenciable en y es una función diferenciable en , entonces la
función compuesta es diferenciable en y
Notación de Leibniz [editar]
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:
donde indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
Ejemplos de aplicación [editar]
Ejemplo conceptual [editar]
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemplo algebraico [editar]
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:
o también
Ejemplo 1 [editar]
y queremos calcular:
Por un lado tenemos:
y
si:
entonces:
Si definimos como función de función:
resulta que:
con el mismo resultado.
Ejemplo 2 [editar]
Tenemos la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:
, cuyas derivadas serían:
Con la regla de la cadena, esto sería:
Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.
Se reemplazan las letras b y c pos sus valores NO derivados, no confundir.
Y luego se obtiene la derivada.
Derivadas de orden superior [editar]
Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. algunas de ellas son:
Continuidad (matemática)De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde Continuidad (matemáticas))
Saltar a navegación, búsqueda
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Intuitivamente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Contenido
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1 Funciones reales de una variable real o 1.1 Continuidad de una función en un punto
o 1.2 Continuidad lateral
o 1.3 Continuidad de una función en un intervalo
o 1.4 Algunas funciones continuas importantes
1.4.1 Funciones definidas por intervalos
1.4.2 Función racional
o 1.5 Derivada y continuidad
o 1.6 Teoremas sobre funciones continuas
o 1.7 Clase de continuidad
2 Funciones continuas en espacios topológicos
3 Véase también
Funciones reales de una variable real [editar]
Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir que se puede dibujarla sin levantar el lápiz del papel, como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.
Continuidad de una función en un punto [editar]
Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si tal que para toda x en el dominio de la función
Otra manera mas simple Si Xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en Xo
si y sólo si
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
Existe f(x1):
existe el límite por la izquierda:
existe el límite por la derecha:
El límite por la derecha por la izquierda y el valor de la función coinciden:
Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:
Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:
parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un
intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.
Continuidad lateral [editar]
Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:
como en la figura.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:
Continuidad de una función en un intervalo [editar]
Una función, f es continua en un intervalo I, si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
f es continua en un intervalo I ⇔
Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.
La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].
Algunas funciones continuas importantes [editar]
Funciones seno y coseno
Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.
Funciones definidas por intervalos [editar]
La funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:
La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitarioFunción signo
Función racional [editar]
Artículo principal: función racional
Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:
Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos,
efectivamente es continua en todo el dominio porque no esta definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dandole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.
Derivada y continuidad [editar]
Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a.
Hipótesis: Existe f'(a)
Tesis: f(x) es continua en x= a
Demostración:
Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0
Teoremas sobre funciones continuas [editar]
Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.
1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces
tal que f(c) = 0
3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces
tal que f(c) = k
Clase de continuidad [editar]
Una función , se dice:
de clase si está definida en todo el dominio Ω junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.
Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de
clase .
Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica.
Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones
de una función de clase .
Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el
sentido de las distribuciones de una función de clase .
Funciones continuas en espacios topológicos [editar]
Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:
f − 1(G) es un abierto de X,
cualquiera que sea el abierto G de Y.
Con la misma notación, si , diremos que f es continua en x cuando se obtiene que f − 1(V) es un entorno de x, cualquiera que sea el entorno V de f(x).
Es "inmediato" entonces comprobar que f es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.
Anexo:DerivadasDe Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde Anexo:Tabla de derivadas)Saltar a navegación, búsqueda
La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.
Contenido
[ocultar] 1 Reglas generales de diferenciación 2 Derivadas de funciones simples
3 Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas
4 Derivadas de funciones trigonométricas
5 Derivadas de funciones hiperbólicas
6 Derivadas de funciones especiales
Reglas generales de diferenciación [editar]
Artículo principal: Reglas de diferenciaciónLinealidad
Regla del producto
Regla de la función recíproca
Regla del cociente
Regla de la cadena
Derivadas de funciones simples [editar]
Derivada de la función inversa
,
para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.
Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas [editar]
Derivada de la función potencial exponencial
Derivadas de funciones trigonométricas [editar]
Para más detalles sobre este tema, véase Derivación de funciones trigonométricas.
Derivadas de funciones hiperbólicas [editar]
Derivadas de funciones especiales [editar]
Función Gamma
Límite de una funciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.
Contenido
[ocultar] 1 Historia
2 Definición formal
o 2.1 Funciones en espacios métricos
3 Notación de límite
o 3.1 Límite de una función en un punto
4 Indeterminaciones
5 Propiedades de los límites
6 Véase también
7 Referencias
Historia [editar]
Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.2 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850s y 1860s3 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.2
Definición formal [editar]
Funciones en espacios métricos [editar]
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo ε > 0
existe un δ > 0 tal que para todo número real x en , tenemos que
El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.
Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos
si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, p) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:
si , entonces
Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:
x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues
0 < | x - a | implica x distinto de a,
mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:
y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.
Notación de límite [editar]
Límite de una función en un punto [editar]
Sea f una función real, entonces
( )
si y sólo si
para todo existe un δ > 0 tal que para todo número real x en el dominio de la función
Notación formal:
Indeterminaciones [editar]
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos [ refiere al límite a infinito y al límite a 0 (no al número 0)]:
Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:
Propiedades de los límites [editar]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. (al igual que su recíproca)
12. (al igual que su recíproca)
13. (al igual que su recíproca)
14. f(x) acotada y g(x) infinitésimo
15.
Límite matemáticoDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Contenido
[ocultar]
1 Límite de una función o 1.1 Definición rigurosa
o 1.2 Límites notables
1.2.1 Demostración
2 Límite de una sucesión
3 Propiedades de los límites
o 3.1 Generales
o 3.2 Indeterminaciones
4 Enlaces externos
Límite de una función [editar]
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
Definición rigurosa [editar]
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe
si se puede encontrar un x suficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea próximo a L. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:
"El límite de la función f(x), cuando x tiende a p, es L".
Límites notables [editar]
Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.
(número e)
(al igual que su recíproca)
(al igual que su recíproca)
Demostración [editar]
Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:
Elevando los términos de la inecuación a -1:
Calculando el límite cuando x tiende a 0:
Lo que es igual a:
Aplicando el teorema del sándwich, el límite se ve forzado a valer 1:
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. O sea:
El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.
Límite de una sucesión [editar]
Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:
si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:
Propiedades de los límites [editar]
Generales [editar]
Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.
Límite por un escalar.
donde k es un multiplicador escalar. Límite de una suma.
Límite de una resta.
Límite de una multiplicación.
Límite de una división.
Indeterminaciones [editar]
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :
Reglas de derivaciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde Reglas de derivacion)Saltar a navegación, búsqueda
Las reglas de derivación son casos que se trabajan con algunas función algebraicas para facilitar el proceso de determinación de la derivada. Estas reglas son determinadas segun el tipo de función.
Contenido
[ocultar] 1 Derivada de una constante 2 Derivada de una constante por una variable
3 Derivada de una potencia entera positiva
4 Derivada de una constante por una función
5 Derivada de una suma
6 Derivada de un producto
7 Derivada de un cociente
8 Véase también
Derivada de una constante [editar]
Una función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero.
Si f(x) = a , tendremos que f'(x) = 0
Donde a es una constante, como un ejemplo:
f(x) = 7
f'(x) = 0
Derivada de una constante por una variable [editar]
Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:
f(x) = 7x
Entonces su derivada con respecto a esta variable será:
f'(x) = 7
Derivada de una potencia entera positiva [editar]
Una función de carácter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = xn y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn − 1 por ejemplo tomemos la función:
f(x) = x3
Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:
f'(x) = 3x3 − 1
Quedando finalmente:
f'(x) = 3x2
En algunas funciones donde la variable ya esta siendo multiplicada, como: f(x) = 7x4 se aplica la siguiente regla.
Derivada de una constante por una función [editar]
Cuando una función esté representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a f'(x) = n(cx(n − 1)) de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función: f(x) = 8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:
f'(x) = 4(8x4 − 1)
Para obtener
f'(x) = 32x3
Derivada de una suma [editar]
Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término por aparte. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la función f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada termino por aparte y la expresión de estos será la derivada de la función suma:
f'(x) = 15x4 + 3x2
Derivada de un producto [editar]
La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función"
Y matemáticamente expresado por la relación . Consideremos la siguiente función como ejemplo:
h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2)
Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:
f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6
Por lo tanto
Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda
h'(x) = 84x7 + 12x7 + 42x6 + 8
Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:
h'(x) = 96x7 + 42x6 + 8
Derivada de un cociente [editar]
La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:
Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado"
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:
Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que seria g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, asi:
Ahora todo es cuestión de simplificar:
Función polinómica de grado 0De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde Función constante)Saltar a navegación, búsqueda
Se llama función polinómica de grado cero o función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:
donde a es la constante.
Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:
tenemos:
donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:
Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:
la variación de y respecto a x es cero
La función constante como un polinomio en x [editar]
Si un polinomio general, tiene la forma:
una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.
que es lo mismo que:
que corresponde al termino independiente del polinomio.
