CÁLCULO DE LA FORMA DE LA TIERRA.

26 de septiembre de 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA UNAN-MANAGUA.

Facultad de ciencias e ingeniería, departamento de física.

Asignatura: Física de la Tierra. Prof. Karla Ubieta Huete.

Aitor Robleto Orús.

1

Resumen

El siguiente trabajo se presenta como parte de las tareas asignadas en la asignatura Física de la Tierrade la carrera Licenciatura en Física. Se presentará la forma de representar y calcular matemáticamentela forma de nuestro planeta a partir de conceptos matemáticos y físicos. Primeramente se introuciráun modelo muy simple de una Tierra esférica, luego se introducirán efectos como la rotación paraobtener un elipsoide. A continuación se buscaran soluciones a las ecuaciones que lo representan paradefinir una superficie equipotencial del campo de gravedad conocida como geoide, de gran importanciaya que sirve como referencia para múltiples áreas del conocimiento, como la geofísica, la geología, lanavegación, la topografía, o la geografía.

Índice general

1. Primera aproximación: la Tierra esférica. 11.1. El campo de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El efecto centrífugo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. El campo de gravedad en una Tierra esférica que rota sobre su propio eje. . . . . . . . . 3

2. La forma del Geopotencial. 72.1. El potencial gravitatorio para un punto exterior a la superficie. . . . . . . . . . . . . . . 72.2. El geoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. La fórmula de MacCullagh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Efectos de la rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. El vector del campo de gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2

Capítulo 1

Primera aproximación: la Tierraesférica.

Como primer paso supondremos que la forma de la Tierra se aproxima a una esfera ideal. Entoncespodemos definir las coordenadas de cualquier punto sea sobre su superficie, fuera o dentro de ella,mediante el siguiente sistema de coordenadas esféricas:

r: Radio o distancia desde el centro de la esfera hasta el punto P.θ: Ángulo de colatitud geocéntrica. Medido a partir del eje vertical z en coordenadas rectangulares queen un principio hacemos conincidir con el eje de rotación de la Tierra.φ = 90º− θ: Latitud.λ: Longitud, medida a partir de un meridiano de referencia, tomándose positiva hacia el este y negativahacia el oeste.Se relacionan con las coordenadas rectangulares (x, y, z) mediante la relación:

~r =

xyz

=

r sin θ cosλr sin θ sinλr cos θ

(1.1)

1.1. El campo de gravedad.Recordemos que se define la fuerza de gravedad entre dos cuerpos mediante la ecuación de Newton:

~F = Gm1m2

r2~r12|r12|

(1.2)

Donde G es la constante de gravitación universal, m1y m2son las masas de los cuerpos.El campo gravitatorio se define como la fuerza de gravedad por unidad de masa, es una cantidad

vectorial y es igual a la aceleración gravitacional debida a un determinado cuerpo en cada un punto delespacio. Al ser una cantidad vectorial, se puede sumar vectorialmente para obtener el campo debido aun conjunto de cuerpos. Se define como:

~g =∑ ~Fn

mn(1.3)

1

Las unidades de medida en el SI son las mismas que para cualquier otra aceleración, metros porsegundo al cuadrado

[ms−2

]. Sin embargo en aplicaciones de geofísica se suele usar la unidad gravimé-

trica ug para variaciones en el campo gravitatorio, ya que estas suelen ser muy pequeñas para usarselos valores del SI de manera práctica:

1ug = 10−6ms−2

También se puede encontrar en la literatura una unidad más antigua llamada gal en honor a Galilei:

1gal = 1cms−2

Y para variaciones en el campo gravitatorio se usa el miligal:

1mgal = 10−6gal = 10−5ms−2

El gradiente del campo gravitatorio tiene como unidad de medida el Eötvös:

1E = 10−9s−2

La fuerza de gravedad puede ser definida mediante un potencial escalar V tal que:

V =GM

r(1.4)

Donde M es la masa de la Tierra (en el caso que nos ocupa). De este modo:

~F =∂V

∂xi+

∂V

∂yj +

∂V

∂zk (1.5)

En el caso de un sistema de múltiples cuerpos:

V =∑ mi

r(1.6)

Para una Tierra esférica, la fuerza de gravedad sobre otro cuerpo tendrá las componentes:

~F =(−GM

r2, 0, 0

)(1.7)

1.2. El efecto centrífugo.Debido a que la Tierra gira sobre su propio eje, su superficie y cualquier sistema de coordenadas

que sea rígido con ella no constituyen un marco de referencia inercial. Ello lleva a que aparezcan efectosde pseudofuerzas como la fuerza centrífuga o la de Coriolis en caso de un cuerpo en movimiento sobrela superficie.

La aceleración en un punto dado viene dada por:

~a = −~ω × (~ω × ~r)− 2~ω × ~v − ~ω × ~r (1.8)

Donde ω es la velocidad angular y vla velocidad tangencial. El primer término de la derechacorresponde a la aceleración centrífuga, el segundo a la fuerza de Coriolis y le tercero una aportación

2

de la aceleración angular. En el caso de la Tierra a pesar de tener una desaceleración angular debidaa efectos de marea, esta se considera despreciable excepto para periodos de tiempo muy largos, por loque supondremos que el tercer término de la ecuación anterior es igual a cero.

En el caso de un punto en la superficie de una Tierra idealmente esférica, r es constante y lascomponentes de la velocidad angular en las direcciones de los vectores unitarios r, θ, λ son:

~ω =

ω cos θ−ω sin θ

0

(1.9)

Las componentes de la aceleración centrífuga serán entonces:

~acf =

ω2r sin2 θω2r sin θ cos θ

0

(1.10)

Las componentes de la aceleración de Coriolis son:

~aC =

2vλω sin θ2vλ cos θ

−2 (vrω sin θ + vθ cos θ)

(1.11)

1.3. El campo de gravedad en una Tierra esférica que rota sobresu propio eje.

Si midieramos la fuerza de gravedad en la superficie de nuestra Tierra esférica que rota, esta se veríaafectada por la fuerza centrífuga de manera tal que mediremos una fuerza menor que si solo actuara lagravedad. (Recordemos que la gravedad sobre el cuerpo en que la medimos actuará en dirección radialcon sentido hacia el centro de la Tierra, mientras la centrífuga actuará en la misma dirección pero ensentido contrario.

Entonces definiremos el vector de la aceleración de la gravedad ~g como la contribución de las dosfuerzas, gravitatoria y centrífuga. Así sumando 1.7 y 1.10 obtenemos:

~g =

−GMr2 + ω2r sin2 θω2r sin θ cos θ

0

(1.12)

Hay que destacar que el verdadero campo de gravedad es el debido únicamente a la fuerza gravi-tatoria, pero en la realidad otros efectos como la centrífuga tambien afectan a los cuerpos y por tantolo que se mide es el efecto de todos ellos combinados y es eso lo que calcularemos aquí.

Describiremos ahora el la fuerza como función de un potencial escalar U , que será la suma delpotencial gravitatorio V y del potencial de la fuerza centrífuga Φ. En este caso al no tratarse de unafuerza real, sino de un efecto de la rotación, puede considerarse el potencial Φcomo la energía cinéticaproducida por la fuerza centrífuga con signo negativo:

U = V + Φ =GM

r− 1

2ω2r2 sin2 θ (1.13)

Por la definición de latitud:

3

θ = 90º− φ =π

2− φ (1.14)

Por tanto:

sin θ = − cosφ (1.15)

Si escribimos U en función de la latitud φ:

U =GM

r+

12ω2r2 cos2 φ (1.16)

U =GM

r

(1 +

m

2cos2 φ

)(1.17)

Donde definimos la constante m como:

m =r3ω2

GM(1.18)

Esto corresponde a la razón entre la fuerza centrífuga y la gravitacional en el ecuador, donde φ = 0.Podemos definir entonces ~g como el gradiente del potencial U1, que escrito en coordenadas esféricases:

~g =(∂U

∂r,

1r

∂U

∂θ,

1r sin θ

∂U

∂λ

)(1.19)

Sustituyendo 1.17 en 1.19 obtentemos:

~g =

−GMr2 + ω2r sin2 θω2r sin θ cos θ

0

(1.20)

que es idéntica a la ecuación 1.12. En términos de m:

~g =

−GMr2 (1−m cos2 φ)

GMr2 m cosφ sinφ

0

(1.21)

Podemos ver como debido al efecto de la fuerza centrífuga, ~g tiene una componenete en θ, y portanto no apunta en la dirección radial. Debido a esto, la superficie esférica que asumimos para la Tierrano coincide con la forma de una superficie equipotencial de U . Tomemos el valor del potencial en elpolo norte:

φ = 90º (1.22)

Y llamemos a al valor de la distancia r al centro de la Tierra en ese punto:1Recordemos que definimos la fuerza como el gradiente de un potencial, sin embargo por la segunda ley de Newton,

la fuerza es simplemente la aceleración por una constante (la masa), por tanto también la aceleración de la gravedadse puede considerar como el gradiente del potencial escalar u divido por la masa, y a esto es a lo que nos referimosimplícitamente de aquí en adelante

(U = u

r

).

4

U0 =GM

a(1.23)

Sustituyendo 1.23 en 1.17:

GM

a=GM

r

(1 +

m

2cos2 φ

)(1.24)

Despejando r:

r = a(

1 +m

2cos2 φ

)(1.25)

Esto corresponde a la ecuación de un elipsoide de revolución. Por tanto una superficie equipotencialdel potencial U tiene esa forma2.

Podemos darle valores a la ecuación 1.21 para estudiar el comportamiento de ~g en función de lalatitud. Usando el lenguaje de programación R3, graficamos las componentes radial y en colatitud de~g en función de la latitud4 (fig. 1.1).

En este caso los valores usados son5:a = 6, 371× 106m.G = 6, 67× 10−11m3kg−1 s−2

M = 5, 976× 1024kgω = 7, 292× 10−5sm = 3, 45× 10−3

De la gráfica se puede notar que el valor de ~g en su componente radial aumenta conforme nosalejamos del ecuador, llegando a un valor máximo en los polos. La componente en colatitud (tangencial)tiene un comportamiento muy diferente, teniendo un máximo en latitudes medias (45º) y anulándoseen el ecuador y en los polos, aunque su efecto correspondiente a menos de dos milésimas de ms−2 seadespreciable en una buena parte de las aplicaciones prácticas.

2Concretamente, es la forma de la superficie equipotencial cuyo valor es igual al del potencial en los polos, dado quedefinimos U0 a partir de a. Para encontrar otra superficie equipotencial simplemente cambiamos a en la ecuación 1.23por el valor de r correspondiente al valor del potencial que nos interese.

3R Development Core Team (2010). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation forStatistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.

4Debe notarse que si bien aquí se grafican los valores de las componentes de ~g como positivos por motivos ilustrativos,las ecuaciones dan en realidad valores negativos para la componente radial, indicando que la dirección de la aceleraciónes hacia el origen del sistema de coordenadas (en este caso el centro de la Tierra).

5Tomados de [2].

5

Figura 1.1: Variación de las componentes radial (arriba) y en colatitud (abajo) del campo vectorial ~gen función de la latitud.

6

Capítulo 2

La forma del Geopotencial.

Se denomina Geopotencial al potencial U de gravedad de la Tierra. Como vimos en el capítuloanterior, este está formado por la suma del potencial gravitatorio V y del potencial centrífugo Φ(Ecuación 1.13).

U =GM

r+

12ω2r2 sin2 θ (2.1)

Ahora analizaremos la forma del Geopotencial de forma mejor aproximada que en el capítulo 1.

2.1. El potencial gravitatorio para un punto exterior a la su-perficie.

El potencial gravitatorio para un punto externo V tiene la forma:

Vext =GM

r= G

˚

T

dm

r(2.2)

Donde dm es un elemento infinitesimal de masa que integramos para toda la Tierra (indicado porel subíndice T ).

r =√

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 (2.3)

Podemos observar que el potencial se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en unsolo punto, y:

lımr→∞

Vext = 0 (2.4)

Si aplicamos el operador laplaciano a Vext:

∇2Vext =∂2Vext∂x2

+∂2Vext∂y2

+∂2Vext∂z2

(2.5)

Encontramos la primera derivada respecto a x:

7

∂Vext∂x

= G

˚

T

(∂

∂x

)dm

r= G

˚

T

(∂

∂x

)dm√

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2(2.6)

Por la regla de la derivada del cociente de una constante por una función y la regla de la cadena:

f (x) =k

v, f ′ (x) =

−kv′

v2(2.7)

∂Vext∂x

= G

˚

T

−dm{

12

[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

]− 12

[2 (x− x0)]}

{[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

] 12}2 (2.8)

∂Vext∂x

= −G˚

T

(x− x0) dm[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

] 32

(2.9)

∂Vext∂x

= −G˚

T

(x− x0)r3

dm (2.10)

Las derivadas respecto a las otras coordenadas espaciales tienen la misma forma. Encontramosahora la segunda derivada:

∂2Vext∂x2

=∂

∂x

−G˚T

(x− x0)r3

dm

= −G˚

T

(∂

∂x

)(x− x0)

r3dm (2.11)

∂2Vext∂x2

= −G˚

T

dm

(∂

∂x

)(x− x0)[

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2] 3

2(2.12)

Aplicando la regla de la derivada del cociente y la regla de la cadena:

−G˚

T

dm

[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

] 32 − (x− x0) 3

2

[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

] 12

2 (x− x0){[(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

] 32}2

(2.13)

∂2Vext∂x2

= −G˚

T

dm1[

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2] 3

2− 3 (x− x0)2[

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2] 5

2

(2.14)

∂2Vext∂x2

= −G˚

T

[1r3− 3 (x− x0)2

r5

]dm (2.15)

8

Las derivadas respecto a las otras coordenadas espaciales tienen la misma forma. Notemos quetanto la primera como la segunda derivada son continuass fuera de la Tierra y se anulan en el infinito.Sustituimos estos resultados en la ecuación 2.5 y para r muy grande:

∇2Vext = −G˚

T

[1r3− 3 (x− x0)2

r5

]dm−G

˚

T

[1r3− 3 (y − y0)2

r5

]dm−G

˚

T

[1r3− 3 (z − z0)2

r5

]dm = 0

(2.16)Por tanto el potencial gravitatorio externo cumple con la ecuación de Laplace:

∇2Vext = 0 (2.17)

2.2. El geoide.El geoide es una figura imaginaria que define la forma de una Tierra idealizada. En este modelo se

supone que la Tierra está cubierta totalmente por un océano. Por equilibrio hidrostático, este océanoasumiría cierta forma determinada por las fuerzas de gravitación y rotación que actuan sobre el agua.El geoide se define como la superficie equipotencial que mejor se ajusta al nivel medio del mar.

Entonces el siguiente paso en la búsqueda de la forma de la Tierra, es encontrar la forma de esasuperficie equipotencial. Sabemos que el Potencial para cualquier punto en la superfice o exterior a laTierra cumple con la ecuación de Laplace (ecuación 2.17). En coordenadas esféricas:

∇2V =1r2

∂

∂r

(r2∂V

∂r

)+

1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂V

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2V

∂λ2= 0 (2.18)

Si asumimos simetria axial alrededor del eje de rotación (eje z), entonces la solución a la ecuaciónde Laplace en coordenadas esféricas viene dada por una suma de polinomios de Legendre Pl (cos θ),definidos como:

Pl0 (µ) =1

2ll!dl

dµl

[(µ2 − 1

)l] (2.19)

Donde el factor 12ll!

no afecta a la solución, pero la normaliza de manera tal que Pl0 (1) = +1.Podemos definir entonces el potencial como una combinación lineal de estos polinomios tal que:

V =1a

∞∑l=0

[Cl

(ar

)l+1

+ C ′l

( ra

)l]Pl (cos θ) (2.20)

Donde a es el radio de la Tierra en el ecuador (la ecuación está normalizada a este radio), Clson coeficientes constantes que representan fuentes de potencial en el interior de la Tierra y C ′l soncoeficientes constantes que representan fuentes de potencial exteriores a la Tierra. En este caso igno-raremos las fuentes de potencial externas y analizaremos solamente las debidas a la Tierra misma, portanto asumiremos que C ′l = 0. Como asumimos simetria axial, V solo depende de r y de θ. Podemosescribirlo entonces como:

V = −GMr

[J0P0 − J1

a

rP1 (cos θ)− J2

(ar

)2

P2 (cos θ) · · ·]

(2.21)

9

l Pl (cos θ)

0 1

1 cos θ

2 12

(3 cos2 θ − 1

)3 1

2

(5 cos3 θ − 3 cos θ

)4 1

8

(35 cos4 θ − 30 cos2 θ + 3

)

Cuadro 2.1: Primeros cinco polinomios de Legendre Pl0 para cos θ.

Donde los coeficientes Jl sustituyen a los Cl y representan la distribución de masa. Cada término deesta solución a la ecuación de Laplace representa armónicos esféricos que se van sumando, modificandola forma del geoide. Para el primer término (l = 0) obtenemos de la ecuación 2.19 P0 = 1. Sabemosque a una gran distancia los otros términos se hacen cada vez más pequeños hasta poder considerarlosinsignificantes, y que en el exterior de la Tierra, el potencial se comporta como si toda la masa estuvieraconcentrada en un solo punto, V = −GMr por tanto deducimos que J0 = 1. En la tabla 2.1 se encuentranlos primeros cinco polinomios de Legendre Pl0 resultado de la ecuación 2.19.

Como tenemos el origen en el centro de masas, debemos considerar J1 = 0 ya que P1 (cos θ) = cos θy esto representa un potencial descentrado. El término más interesante entonces es J2 ya que es elprincipal responsable de alejar el geoide de la forma esférica y los términos siguientes más allá de J3

tienen un orden de magnitud mil veces menor y los consideraremos despreciables, aunque son necesariospara obtener la forma ideal del elipsoide. Entonces a partir de la ecuación 2.21 podemos representaral potencial con lo considerado hasta aquí como:

V = −GMr

+GMa2J2

r3

(32

cos2 θ − 12

)(2.22)

Esto representa el potencial gravitatorio terrestre visto desde el exterior de la Tierra por un objetoque no rota junto con ella, como podría ser un satélite. Para un punto en la superfice de la Tierra querota con ella debemos agregarle entonces los efectos de la rotación.

2.3. La fórmula de MacCullagh.Consideremos ahora la geometría de la figura 2.1. El potencial gravitacional debido a un elemento

de masa dM es:

dV = −GdMq

=GdM

r[1 + s2

r2 − 2 sr cosψ] 1

2(2.23)

Expandimos lo anterior en series de potencias de 1/r ignorando los términos más altos que 1/r3:

10

Figura 2.1: Geometría para calcular el potencial en un punto P externo a la masa M y a una distanciar de su centro de masas O; r es la constante de integración y s y ψ, las coordenadas de un elementode masa dM respecto a O y la línea OP. Tomado de [1]

[1 +

s2

r2− 2

s

rcosψ

]− 12

=∞∑l=0

(sr

)lPl0 (cosψ)

= 1 +s

rcosψ − 1

2s2

r2+

32s2

r2cosψ + · · · = 1 +

s

rcosψ +

s2

r2− 3

2s2

r2sinψ + · · · (2.24)

El potencial total será entonces la integral de la ecuación 2.23. Sustituyendo tambień el resultadode la ecuación 2.24:

ˆdV =

ˆ G(

1 + sr cosψ + s2

r2 −32s2

r2 sinψ)dM

r(2.25)

V = −Gr

ˆdM − G

r2

ˆs (cosψ) dM − G

r3

ˆs2dM +

32G

r3

ˆs2 (sinψ) dM (2.26)

El primer término es el potencial con la masa en el centro:

−Gr

ˆdM = −GM

r(2.27)

El segundo término es:

−Gr2

ˆs (cosψ) dM = 0 (2.28)

Ya que se eligió el centro de masa como origen de coordenadas. Transformamos el tercer términoasignandole al elemento de masa dM las coordenadas x, y, z tal que s2 = x2 + y2 + z2:

−Gr3

ˆs2dM = −G

r3

ˆ (x2 + y2 + z2

)dM

= − G

2r3

[ˆ (y2 + z2

)dM +

ˆ (x2 + z2

)dM +

ˆ (x2 + y2

)dM

]= − G

2r3(A+B + C) (2.29)

11

Donde A,B y C corresponden a los momentos de inercia alrededor de los ejes x, y y z respectiva-mente. Si analizamos la figura nos damos cuenta que el cuarto término del lado derecho de la ecuación2.26 es 3/2 por el momento de inercia I de la masa M alrededor del eje OP. Entonces finalmentejuntando estos resultados:

V = −GMr− G

2r3(A+B + C − 3I) · · · (2.30)

La ecuación 2.30 se conoce como fórmula de MacCullagh. Podemos reescribir el momento de inerciaI en términos de los momentos A,B y C y los cosenos l, m, n de los ángulos entre la línea OP y losejes x, y y z.

I = Al2 +Bm2 + Cn2 (2.31)

dondel2 +m2 + n2 = 1 (2.32)

l2 +m2 = 1− n2 (2.33)

Como tenemos simetría rotacional alrededor del eje z, entonces A = B. Sustituimos B en 2.31

I = A(l2 +m2

)+ Cn2 = A

(1− n2

)+ Cn2 = A+ (C −A)n2 (2.34)

Sustituyendo en la fórmula de MacCullagh:

V = −GMr− G

2r3(A+B + C − 3I) · · · = −GM

r− G

2r3[2A+ C + 3

(A+ (C −A)n2

)]

= −GMr− G

2r3[−A+ C − 3 (C −A)n2

]= −GM

r− G

2r3[(C −A)− 3 (C −A)n2

]= −GM

r− G

2r3(C −A)

(1− 3n2

)(2.35)

Como en este caso n = cos θ:

V = −GMr− G

r3(C −A)

(32

cos2 θ − 12

)(2.36)

Que coincide exactamente con la ecuación 2.22 si tomamos1:

J2 =(C −A)Ma2

(2.37)

1Según datos de satélite el valor de J2 = 1,082626× 10−3[1]

12

2.4. Efectos de la rotación.Podemos ahora agregar los efectos de la rotación sumando el potencial gravitatorio con el potencial

centrífugo, donde la distancia de un punto en la superficie de la Tierra al eje de rotación viene dadapor r sin θ:

U = V + Φ = −GMr− G

r3(C −A)

(32

cos2 θ − 12

)− 1

2ω2r2 sin2 θ (2.38)

O en términos de la latitud:

U = V + Φ = −GMr− G

r3(C −A)

(32

sin2 φ− 12

)− 1

2ω2r2 cos2 φ (2.39)

Sustituyendo J2 = C−Aa2M

U =GM

r

[1− J2

2

(ar

)2 (3 sin2 φ− 1

)+( ra

)3 m

2cos2 φ

](2.40)

Donde m es la razón de la componente centrífuga de la gravedad a la gravedad total en el ecuadorque ya habíamos presentado en la ecuación 1.18.

Recordemos que definimos el geoide como la superficie equipotencial que mejor se ajusta al nivelmedio del mar. Sabemos que esta es la forma aproximada de un elipsoide de revolución con radioecuatorial a y radio polar c. Sustituimos entonces en la ecuación 2.39(r = a, φ = 0)y (r = c, φ = 90º).

U0 =GM

r

[1− J2

2

(ar

)2 (3 sin2 φ− 1

)+( ra

)3 m

2cos2 φ

](2.41)

Despejando r:

r =GM

U0

[1− J2

2

(ar

)2 (3 sin2 φ− 1

)+

12r3ω2

GMcos2 φ

](2.42)

Hacemos una nueva aproximación sustituyendo r = a dentro del corchete de la ecuación anterior:

r =GM

U0

[1 +

J2

2+

12m−

(32J2 +

m

2

)sin2 φ

](2.43)

En el ecuador:

U0 = −GMa− G

2a3(C −A)− 1

2a2ω2 =

GM

a

[1 +

J2

2+m

2

](2.44)

Sustituyendo 2.44 en 2.43:

r = a

[1−

(32J2 +

m

2

)sin2 φ

](2.45)

Para un elipsoide de revolución de semiejes a y c, el achatamiento se define como la razón entre ladiferencia de los semiejes al semieje mayor:

f =a− ca

(2.46)

13

Para un elipsoide, en primera aproximación , el radio vector viene dado por:

r = a(1− f sin2 φ

)(2.47)

Comparando 2.45 y 2.47 deducimos que el geoide en primera aproximación es un elipsoide conaplanamiento:

f ≈ 32J2 +

12m (2.48)

2.5. El vector del campo de gravedad.Podemos calcular ~g partir del potencial:

~g = −~∇U (2.49)

g = −

[(∂U

∂r

)2

+(

1r

∂U

∂φ

)2] 1

2

≈ −Ur

(2.50)

Derivando la ecuación 2.39 y sustituyendo C −A = J2Ma2:

∂U

∂r=

∂

∂r

[−GM

r− GJ2Ma2

r3

(32

sin2 φ− 12

)− 1

2ω2r2 cos2 φ

](2.51)

|g| = GM

r2− 3GJ2Ma2

r4

(32

sin2 φ− 12

)− 1

2ω2r2 cos2 φ (2.52)

Definimos g como positiva hacia abajo para evitar usar las barras de valor absoluto. Sustituimos rde la ecuación 2.47.

g =GM[

a(1− f sin2 φ

)]2 − 3GJ2Ma2[a(1− f sin2 φ

)]4 (32

sin2 φ− 12

)− 1

2ω2[a(1− f sin2 φ

)]2cos2 φ

=GM

a2

(1 + 2f sin2 φ

)− 3GMJ2

a2

(32

sin2 φ− 12

)− ω2a

(1− sin2 φ

)(2.53)

g =GM

a2

[(1 + 2f sin2 φ

)− 3J2

(32

sin2 φ− 12

)−m

(1− sin2 φ

)](2.54)

Donde m = ω3a3/GM = 3, 46775 × 10−3. Recordemos que antes habíamos definido m ∝ ω2, a2,sin embargo como podemos ver su valor es del orden de f , asi que para esta aproximación de primerorden las consecuencias de este cambio son despreciables. En ocasiones m se define como lo razón delas componentes centrífuga y radial de la gravedad ecuatorial, en lugar de la de la gravedad total, enese caso m = 3, 45576× 10−3. La gravedad ecuatorial en φ = 0 es:

ge =GM

a2

(1 +

32J2 −m

)(2.55)

Ahora trataremos de escribir g en función de ge. Despejando GM/a2 en 2.55:

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GM

a2=

ge

1 + 32J2 −m

(2.56)

Sustituyendo este resultado en 2.54:

g =ge

1 + 32J2 −m

[(1 + 2f sin2 φ

)− 3J2

(32

sin2 φ− 12

)−m

(1− sin2 φ

)]

=ge

1 + 32J2 −m

[1 + (2f − 3J2 −m) sin2 φ

]=

ge

1 + 32J2 −m

+ge (2f − 3J2 −m) sin2 φ

1 + 32J2 −m

(2.57)

g = ge

[1 +

(2f − 9

2J2 +m

)sin2 φ

](2.58)

Por la ecuación 2.48, podemos reescribir 2.58 como:

g = ge

[1 +

(2m− 3

2J2

)sin2 φ

](2.59)

g = ge

[1 +

(52m− f

)sin2 φ

](2.60)

Hasta ahora hemos estado utilizando coordenadas geocéntricas en lugar de geográficas. Para queestas ecuaciones sean útiles para sus diversas aplicaciones, es conveniente utilizar las coordenadasgeográficas. EN este caso la que más nos interesa es la latitud. La latitud geográfica φg se definecomo el ángulo entre la vertical local (normal al geoide) y el plano ecuatorial. En cambio la latitudgeocéntrica φ, es el ángulo entre la línea que une el punto en la superficie con el centro de la Tierra, yel plano ecuatorial (ver figura 2.2). Están relacionadas de la siguiente manera:

tanφg =a2

c2tanφ =

tanφ1− e2

=tanφ

(1− f)2(2.61)

Una aproximación conveniente para convertir la fórmula de la variación de la gravedad de φg a φes:

sin2 φ ≈ sin2 φg − f sin2 2φg (2.62)

Usando esta transformación, reescribimos la ecuación 2.60 en términos de φg:

g = ge

[1 +

(52m− f − 17

14mf

)sin2 φg +

(f2

8− 5

8mf

)sin2 2φg

](2.63)

Esta se conoce como la ecuación internacional de la gravedad. Con valores numéricos:

g = 9, 780327(1 + 0, 0053024 sin2 φg − 0, 0000059 sin2 2φg

)(2.64)

Esta ecuación nos da la gravedad en la superficie del geoide, y es la referencia con la cual se midenlas variaciones locales de gravedad o anomalías. Por definición una anomalía es la diferencia entre elvalor local de la gravedad medido empíricamente y el valor de la gravedad del geoide en ese punto.

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Figura 2.2: Relación entre φ y φg. Tomado de [1]

Cuando las medidas se toman a alturas diferentes al nivel del geoide se deben hacer correcciones paracompensarlas, por diferentes métodos. Por lo general se asume un gradiente de 0, 8630mGal m−1 y sele conoce como gradiente en aire libre. Otros métodos convenientes según diversas situaciones puedenasumir otros valores.

En la figura se muestra una grafica hecha en R en la que podemos ver una comparación delvalor de la componente vertical de ~g que habíamos obtenido en el capitulo 1 para una Tierra esférica(recordemos que la componente tangencial es despreciable para este orden de magnitud) y el obtenidopara g mediante la ecuación internacional de la gravedad 2.64.

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Figura 2.3: Comparación de el valor de g en función de la latitud según la ecuación internacional dela gravedad (en verde) y la aproximación con el modelo de la Tierra esférica (rojo).

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Bibliografía

[1] Stacey. Physics Of The Eatrh. 2008.

[2] Udías. Fundamentos de geofísica.

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