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MOMENTO
DE
UNA
FUERZA
CON
RESPECTO
A
UN
PUNTO
FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo, ésta producirá una
tendencia a que
el cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de
acción de la
fuerza. Esta tendencia a girar se conoce en ocasiones como par
de torsión,
torque, pero con mayor frecuencia se denomina el momento de una
fuerza o
simplemente el momento.
Llave de tor sión
que se usa para desenr oscar el perno
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Por ejemplo, considere una llave de torsión que se usa para
desenroscar el perno de la
figura anterior. Si se aplica una fuerza al mango de la llave
ésta tenderá a girar el perno alrededor del punto O (o el eje
z). La magnitud del momento es directamente
proporcional a la magnitud de F y a la distancia
perpendicular o brazo de momento d.Cuanto más grande sea la
fuerza o más grande sea el brazo de momento, mayor será
el momento o el efecto de giro.
Ahora podemos generalizar el análisis anterior y considerando la
fuerza F y el punto
O que se encuentra en el plano. El momento Mo con respecto
al punto O, o conrespecto a un eje que pase por O y sea
perpendicular al plano, es una cantidad
vectorial puesto que tiene magnitud y dirección específicas.
El momento es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud
ydirección específicas
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MAGNITUD
La magnitud de Mo es
Mo = F.d
Donde d es el brazo de momento o distancia perpendicular desde
el eje en el punto
O hasta la línea de acción de la fuerza. Las unidades del
momento son el producto
de la fuerza multiplicada por la distancia. En el sistema de
unidades de SI, donde lafuerza se expresa en newtons (N) y la
distancia se expresa en metros (m), el
momento de una fuerza estará expresado en newtons por metro
(N.m). Mientras que
en el sistema de unidades ingles será lb.ft (libras por
pie).
DIRECCIÓN
La dirección de Mo está definida por su eje de momento, el cual
es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su
brazo de momento d. Para establecer el
sentido de dirección de Mo se utiliza la regla de la mano
derecha.
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MOMENTO RESULTANTE
Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y, entonces
el momento producido por cada fuerza con respecto al punto O
estará dirigido a lo largo del
eje z. En consecuencia, el momento resultante Mo del sistema
puede ser
determinado sumando simplemente los momentos de todas las
fuerzas
algebraicamente ya que todos los vectores momento son
colineales.
Momento r esultante
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Esta suma vectorial puede escribirse en forma simbólica como
Si el resultado numérico de esta suma es un escalar positivo MoR
será
un momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj
(fuerade la página); y si el resultado es negativo, MoR será un
momento en
el sentido de las manecillas del reloj (dentro de la
página).
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Ejemplo
Para cada caso ilustrado en la figura, de termine el momento de
la
fuerza con respecto al punto O. La línea de acción de cada
fuerza estáextendida como una línea discontinua para establecer el
brazo de
momento d. También se ilustra la tendencia de rotación del
miembro
causada por la fuerza. Además, la órbita de la fuerza se muestra
con un
flecha curva de color rojo.
Mo = (100N)(2m) = 200 N.m
Mo = (50N)(0.75m) = 37.5 N.m
Mo = (40lb)(4pies + 2 Cos30° pie) = 229 lb.pie
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Mo = (60lb)(1Sen45° pie) = 42.4 lb.pie
Mo = (7 KN)(4m –
1m) = 21.0 KN.m
Determine el momento resultante de las cuatro fuerzas que
actúan
sobre la barra de la figura con respecto al punto O
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La suma de las fuerzas es
la suma de los momentos respecto al extremo izquierdo es
Las fuerzas son: B = 50 lb y A = -50 lb.
Que valor tiene el momento de la fuerza de 40 kN en la figura
respecto al punto A
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En la figura separamos la fuerza en sus componentes horizontal y
vertical. La
distancia perpendicular de A a la línea de acción de la
componente horizontal escero, por lo que la componente horizontal
no ejerce momento respecto a A. La
magnitud del momento de la componente vertical respecto a A es
(6 m)(40 Sen
30° kN) = 120 kN-m, y el sentido de su momento respecto a A es
antihorario. El
momento es
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Usando triángulos semejantes, descomponemos la fuerza ejercida
sobre la
barra por el cable en componentes horizontal y vertical.
La suma de losmomentos respecto a O debidos al peso de la barra y a
la fuerza ejercida por
el cable A B es
Despejando T se obtiene
T = 0.357 W = 107.1 lb.
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Cuatro fuerzas actúan sobre la parte de maquina mostrada en la
figura. ¿Qué
valor tiene la suma de los momentos de las fuerzas respecto al
origen O?
Momento de la fuerza de 3 kN
La línea de acción de la fuerza de 3 kN pasa por O. No ejerce
momento
respecto a O.
Momento de la fuerza de 5 kNLa línea de acción de la fuerza de 5
kN también pasa por O. No ejerce
tampoco momento respecto a O.
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Momento de la fuerza de 2 kN
La distancia perpendicular de O a la línea de acción de la
fuerza de 2 kN es 0.3
m, y el sentido del momento respecto a O es horario. El momento
de la fuerza
de 2 kN respecto a O es
-(0.3 m) (2 kN) = -0.60 kN-m.
Momento de la fuerza de 4 kN
En la figura incluimos un sistema coordenado y descomponemos la
fuerza de 4
kN en sus componentes x y y.
La distancia perpendicular de O a la línea de acción de la
componente x es de
0.3 m, y el sentido del momento respecto a O es horario. El
momento de la
componente x respecto a O es
-(0.3 m) (4 eos 30°
kN)= -1.039 kN-m.
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La distancia perpendicular del punto O a la línea de acción de
la componente
y es de 0.7 m, y el sentido del momento respecto a O es
antihorario. El
momento de la componente y respecto a O es
(0.7 m)(4 sen 30° kN) = 1.400 kN-m.
La suma de los momentos de las cuatro fuerzas respecto a O
es
