UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTAD DE INGENIERIAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILCURSO: TOPOGRAFA I

CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA

DOCENTE: Ing. TRUJILLO - PER2013-1

EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA

Tipos de Precisin de la Poligonal1 30

Espec.1 Orden2 Orden3 Orden4 OrdenError angular 15 30 1 130 Error relativoNo debe exceder de 1/10,000No debe exceder de 1/5,000No debe exceder de 1/3,000No debe exceder de 1/1,000rea: MximaMayores de 500 has.100-500 (Ha)100 Has.100 Ha.lectura de aprox. 30 30Al minutoAl minutoSe desprecia las pendientes menores deSe observa m menores de 1%.Se observa m menores del 2%.2%3%Usos Plano de poblacin.Plano de poblacin.Lneas jurisdiccionales Trazo de carreteras.Vas frreas.Ante proyectos.

ANGULOS IINTERNOS:Norte

LONGITUD DE LOS LADOS, (m):

Fig. N 1 AzimutA B = 126 12 30CroquisFig. N 1Coordenadas A =(5,000.00 , 10,000.00)Se desea: calcular las coordenadas de los vrtices restantes, debiendo realizar la compensacin de proyecciones por la regla de la brjula.

EJEMPLO:En la medicin de una poligonal cerrada, se ha obtenido los siguientes datos:Z = 126 12 30ABCD

Vrtice1ra Medicin 4ta Medicin A85 12 35340 51 20B119 34 10118 17 12C75 35 00302 20 20D79 38 20318 33 32

Lado1ra Medicin 2da Medicin 3ra Medicin A B238.11238.16238.15B C375.78375.72375.69C D401.23401.30401.25D A433.40433.42433.44

SOLUCION:1.- Calculo de los ngulos promedios:A = 340 51 20 = 85 12 50 4B = 360+1181712 = 119 34 18 4C = 302 20 20 = 75 35 05 4D = 318 33 32 = 79 38 23 4 _________ Suma 360 00 362.- Compensacin de ngulos:

A = 85 12 50 9 = 85 12 41 B = 119 34 18 9 = 119 34 09 C = 75 35 05 9 = 75 34 56 D = 79 38 23 9 = 79 38 14 ______________ = __________ 360 00 36 36 360 00 00

3.- Calculo de longitud promedio de los lados:

A B = 238.00 + _1_ (0.11+0.16+0.15) = 238.14 m 3B C = 375.00 + _1_ (0.78+0.72+0.69) = 375.73 m 3C D = 401.00 + _1_ (0.23+0.30+0.25) = 401.26 m 3D A = 433.00 + _1_ (0.40+0.42+0.44) = 433.42 m 3 _______ 1,448.55 m

4.- Calculo del azimut y rumbo:ZA B = 126 12 30 +R A B = S 534730 E 180Z B A = 306 12 30 + B = 119 34 09 425 46 39 360ZB C = 65 46 39 +R B C = N 654639 E 180Z C B = 245 46 39 + C = 75 34 56Z C D = 321 21 35 +R C D = N 383825 O 180Z D C = 141 21 35 + D = 79 38 14ZD A = 220 59 49 +R DA = S 405949 O180Z A D = 40 59 49 + A = 85 12 41Z A B = 126 12 30 (Comprobacin)

5.- Calculo de las proyecciones de los lados: Empleando las formulas que dan los valores de las proyecciones en cada eje y teniendo en cuenta el cuadrante que ocupa el rumbo, puede llegarse al siguiente cuadro:LadoLongitud(m)Rumbo lado proyecc. XProyecc. YA B 238.14 S 534730 E + 192.15 m - 140.67 mB C 375.73 N 654639 E + 342.65 m + 154.15 mC D 401.26 N 383825 O - 250.56 m + 313.42 mD A 433.42 S 405949 O - 284.33 m - 327.12 m__________ __________Suma - 0.09 m - 0.22 mProyeccin en X = Lado x Sen RumboProyeccin en Y = Lado x Cos Rumbo

6.- Calculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo: Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las proyecciones, siendo para el caso, los siguientes :Ex = - 0.09 mEy = - 0.22 merror de cierre o error absoluto, ser

el error relativo, ser Er = 0.25 = 1 , tomndose 1/5,500 1,448.55 5,794

7.- Calculo de las correcciones de las proyecciones:

Lado Correccin en eje X Correccin en eje YA B 0.09 x 238.14 = + 0.01m0.22 x 238.14 = + 0.04 m 1,448.55 1,448.55B C 0.09 x 375.73 = + 0.02 m0.222x 375.73 = + 0.05 m 1,448.55 1,448.55C D 0.09 x 401.26 = + 0.03 m0.22 x 401.26 = + 0.06 m 1,448.55 1,448.55D A 0.09 x 433.42 = + 0.03 m0.22 x 433.42 = + 0.06 m 1,448.55 1,448.55 _______________ + 0.09 m + 0.22 m

8.- Calculo de las proyecciones compensadas:

EjeXEjeYA B: + 192.15 + 0.01 = + 192.16 - 140.67 + 0.04 = - 140.63B C: + 342.65 + 0.02 = + 342.67 + 154.15 + 0.06 = + 154.21C D: - 250.56 + 0.03 = - 250.53 + 313.42 + 0.06 = + 313.46D A: - 248.33 + 0.03 = - 284.30 - 327.12 + 0.06 = - 327.06______________ 0.00 0.00

9.- Calculo de las coordenadas de las estaciones:

Estaciones xy A 5,000.00 +10,000.00 - 192.16 140.63 B 5,192.16 + 9,859.37 + 342.67 154.21 C 5,534.83 -10,013.58 + 250.83 313.48 D 5,284.30 -10,327.06 - 284.30 327.06 A 5,000.00 10,000.00

EJEMPLO DE CALCULO DE UNA POLIGONAL CERRADA(libro: Feliz Garca)

1 CASO: FALTAN LA LONGITUD Y RUMBO DE UN LADOEjemplo:

Calcular los valores desconocidos para la siguiente poligonal cerrada.

LadoLongitud nRumboA B195.62N 75 16 30 OB C290.15N 45 30 28 EC D252.47S 32 17 45 ED ANo medidoDesconocido

SOLUCIN:Con los datos, puede calcularse:En consecuencia, si la propiedad es cerrada, necesariamente se tendr que:

(D A)x = - 152.67m y (D A)y = -39.65 m

Entonces:D A = = 157.73 m

Lado Proyeccin X Proyeccin Y AB- 189.20 m+ 49.72 mBC+ 206.98 m+ 203.34 mCD+ 134.89 m- 213.41 mSuma: + 152.67 m+ 39.65 n

Rumbo D A= Arc Tg =

= Arc Tg = Arc Tg 3.8504413

Rumbo D A = Sur 75 26 29 Costo

Observacin:

Los signos de las propiedades, son los que dan el cuadrante donde se ubica el rumbo.

2 CASO: FALTA LA LONGITUD DE DOS LADOS (Consecutivos o no)Ejemplo:Calcular los valores de las longitudes de los lados: BC y DE, para la poligonal cerrada de la Fig. N 31, siendo los datos:

Lado Longitud n Rumbo A B 248.16 N 29 30 15 O BCNo medida N 76 54 13 O CD250.32 S 36 13 24 O DENo medida S 21 18 30 E EA389.77 N 70 04 43 E

Grfico: Fig. N 31SOLUCIN:Con los datos, puede calcularse:

Lado Longitud n Rumbo A B 248.16 N 29 30 15 O BCNo medida N 76 54 13 O CD250.32 S 36 13 24 O DENo medida S 21 18 30 E EA389.77 N 70 04 43 E

A

D

B

C

FIG. N 31

E

En consecuencia, es factible formular las siguientes ecuaciones:

- B C Sen 76 54 13 + D E Sen 21 18 30 = - 96.31 m+ B C Cos 76 54 13 - D E Cos 21 18 30 = - 146.85 m

Tomando los valores de las funciones trigonomtricas, se tendr:

- B C (0,9739902) + DE (0.3633867) = - 96.31 m+ B C (0,2265899) + DE (0.9316384) = - 146.85 m

Sistema de ecuaciones que al ser resuelto, da como valores:B C = 173.43 mD E = 199.81 m

LadoProyeccin XProyeccin YA B- 122.22 m+ 215.98 mC D- 147.92 m- 201.94 mE A+ 366.45 m+ 132.81 mSuma:+ 96.31 m+ 146.85 m

3 CASO: FALTA LA LONGITUD DE UN LADO Y EL RUMBO DEL LADO CONSECUTIVOEste caso es posible resolverlo cuando una lnea auxiliar de clculo tal como se observa en el ejemplo que a continuacin se detalla. Ejemplo:

Lado Longitud Rumbo A B91.82S 34 30 15 EB C103.54S 82 51 18 EC D133.68N 30 10 20 ED A No med.N 62 43 37 OE A146.55Desconocido

ngulo interno en E: mayor que 90

A

D

B

E

C

E

Lado auxiliar

FIG. N 32

SOLUCIN:

Como se observa en la Fig. N 32, este caso tiene dos posibilidades de solucin, por lo cual debe tomarse una referencia adicional en el campo y que para nuestro caso es que el ngulo interno en el vrtice es mayor que 90, lo cual concretiza el caso.Con los datos, es posible calcular:

LadoProyeccin XProyeccin YA B + 52.01 m - 75.67 mB C+ 102.74 m - 12.88 mC D+ 67.19 m+ 115.57 mSuma:+ 221.94 m+ 27.02 m

Entonces:(D A) x n 221.94 n y (D A) y n 27.02 m

Valores con los cuales puede calcularse:

D A = 223.58 Rumbo D A =Sur 83 03 31 OesteAzimut D A=263 03 31

Tomando el tringulo: A D E, puede calcularse:

ngulo D = Z D E Z D A = 297 16 23 263 03 31= 34 12 52

Son E = = 0.8578451

ngulo E = 120 55 28

ngulo A = 180 - (34 12 52 + 120 55 28)

= 24 51 40

Entonces:

Azimut B A = Z B D + ngulo D = 117 16 23 + 120 55 28 = 238 11 51

Rumbo E A = Sur 58 11 51 Oeste

Asimismo:D E = = 109.57m

4 CASO: FALTA EL RUMBO DE DOS LADOS CONSECUTIVOSEste caso, con el anterior, se soluciona tomando una lnea auxiliar de clculo. Asimismo, tiene la posibilidad de encontrarse dos soluciones, por lo cual debe tomarse alguna referencia adicional en el campo para que concretice el caso.Ejemplo:Calcular los valores desconocidos, para la poligonal de la Fig. N 33, si:

LadoLongitud nRumbo A B89.15S 49 35 00 EB C91.92N 78 10 30 EC D89.98N 18 24 10 OD A 75.57Desconocido E A70.32Desconocido

El ngulo interno de la poligonal en el vrtice E es mayor que 180

A

D

B

B

C

E

FIG. N 33

SOLUCIN:Entonces:(D A)x = 129.43 (D A)y = 46.42

Valores con los cuales se puede obtener:

D A = 137.50 mRumbo D A =Sur 70 16 11 Oeste

Se conocen las longitudes de sus tres (3) lados es posible calcular:

LadoProyeccin XProyeccin YA B+ 67.87 m- 57.80 mB C+ 89.97 m+ 18.84 mC D- 28.41 m+ 85.38 mSuma:+ 129.43 m+ 46.42 m

Cos E = = - 0.7762886 E = 140 55 19

Cos D = = + 0.946608 D = 18 48 26

Cos A = = + 0.9380663 A = 20 16 15

Con la cual es posible calcular las orientaciones de los lados: D E y E A

Azimut D E = Azimut D A ngulo D= 250 16 11 18 48 26 = 231 27 45

Rumbo D E = Sur 51 27 45 Oeste

Azimut E A = Azimut E D + ngulo E (poligonal)= 51 27 45 + 219 04 41 = 270 32 26

Rumbo E A = Norte 89 27 34 Oeste