Calculo de Volumen en Recipientes

7/16/2019 Calculo de Volumen en Recipientes

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En esta unidad usted aprenderá a:

• Calcular el volumen o capacidad de recipientes.

• Convertir unidades de volumen.

• Usar la medida del volumen o capacidad, para

describir un objeto.

Le servirá para:

• Calcular el volumen o capacidad de diferentes

recipientes o artefactos.

Para estudiar esta unidad, usted necesita:• Conocer las líneas, figuras y áreas.

• Saber sumar, restar, multiplicar y dividir.

• Conocer las unidades de longitud y las de

superficie.

Volumen

Tema 1 Volumen o capacidad de diferentesrecipientes

Tema 2 Diferentes unidades de volumen

U n i d a d

I V

U n i d a d

I V



Geometría y medición

102

Pedro tiene una cremería. Para preparar la crema, llena con leche un tambor deacero inoxidable de 0.88 m de altura y 0.7 m de diámetro.

Esto lo hace con una cubeta que mide0.3 m de diámetro y 0.4 m de altura.

1) ¿Qué cantidad de crema podráfabricar en su tambor?

Unidad IV Tema I

Volumen o capacidad de diferentes recipientes

2) ¿Con cuántas cubetas de lechese llena el tambor?



103

Unidad IV: Volumen

Las unidades de volumen se representan con el índice 3 (3); por ejemplo,1 m x 1 m x 1 m = 1 m3, que se lee un metro cúbico.

El volumen se calcula al multiplicar el área de la base del tambor por su altura:

V = área de la base x altura

La base es un círculo, por lo que su área es:

A = p x r2 = p x r x r

Como el área de la base está en m2 y la altura en m, el volumen se obtuvo en m3.

Imagine un cubo con una base de 1 m2 y altura de 1 m.

Para calcular la cantidad de crema es necesario obtener el volumen del tambor.

El volumen es el espacio que se encuentra dentro del tambor.

Los volúmenes de líquidos (como la leche) se dan en litros.

Un litro (l) es lo mismo que un decímetro cúbico (dm3); y un metro cúbico (m3) tienemil litros, como se ve a continuación.

A = 3.14 x 0.35 m x 0.35 m = 0.384,65 m2

Una vez calculada el área de la base, se puede calcular el volumen multiplicandopor la altura del tambor, la que es 0.88 m:

V = 0.384,65 m2 x 0.88 m = 0.338 m3

Volumen del tambor de Pedro, 0.338 m3.

En este caso, r es igual a 0.7 m; por lo que el área de la base es:

Recuerde que p = 3.14, y que r es la mitad del diámetro.

1 m

1 m

1 m




104

¿A qué cantidad de litros equivale 1 m3?

Un metro cúbico puede ser representado por un cubo con lados de 1 m c/u;como 1 m = 10 dm, cada lado medirá 10 dm; el volumen de un cubo se obtieneal multiplicar su largo por su ancho por su altura.

1 litro de leche = 1 cubo de 10 cm x 10 cm x 10 cm

Recuerde que,1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

=

V = largo x ancho x altura = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1,000 dm3

Entonces, el volumen de 1 m3

= 1,000 dm3

, y como cada dm3 = 1 l, tenemos que:

1 m3 = 1,000 l



105

Unidad IV: Volumen

Si el volumen del tambor de Pedro es de 0.338 m3, y se sabe que a 1 m3 le caben1,000 litros (lllll), entonces se debe multiplicar a los 0.338 m3 por 1,000 l paraconocer cuántos litros le caben al tambor de Pedro.

0.338 m3 = 0.388 x 1,000 l = 338 l

Por lo anterior, cada vez que quiera convertir m3 a litros sólo tiene que multiplicara los m3 por 1,000. Esto quiere decir, recorrer el punto 3 lugares a la derecha.

Si tiene litros y necesita convertirlos a m3, deberá dividir a los litros entre 1,000.Esto quiere decir, recorrer el punto 3 lugares a la izquierda.

Como se pudo observar, con el tambor y la cubeta de Pedro, el volumen dealgunos recipientes se puede obtener al multiplicar el área de su base porla altura.Lo anterior siempre será posible cuando la base tenga la misma forma quesu parte superior.

0.3380.0282

Casi doce cubetas.

El número de cubetas necesarias para llenar el tambor se calcula de la siguientemanera.

Aplicando la fórmula para el volumende un cilindro, tendremos el volumende la cubeta:

Como el tambor tiene un volumen de 0.338 m3, y ahora sabemos que la cubeta tieneun volumen de 0.0282 m3, con ello se puede calcular con cuántas cubetas se llenaráel tambor.

Sólo se debe dividir el volumen, en m3, del tambor entre el volumen, en m3, de lacubeta. Así tenemos,

V = área de base x altura

V = p x r2 x h

V = 3.14 x 0.15 m x 0.15 m x 0.4 m

V = 0.0282 m3

La cubeta con la que se va a llenartiene las siguientes dimensiones:

= 11.98 cubetas (Use su calculadora)




106

Para facilitar el cálculo del volumen de recipientes, existen tablas de fórmulas,como la que se muestra a continuación.

Cubo

La base es cuadrada.

Volumen = área de la base x la altura

Área de la base: A = L x L

Volumen = L x L x L

V = L3

Fórmula: V = L3

Paralelogramo

La base es rectangular.


Área de la base: A = L1 x L2

Volumen = L1 x L2 x h

V = L1 x L2 x hFórmula: V = L

1x L

2x h

Prisma triangular

Es un prisma con la baseen forma de triángulo.


Fórmula: V = x h

Área de la base: A =

Volumen = x h

V = x h

b x a2

b x a2

b x a2

b x a2



107

Unidad IV: Volumen

También existen figuras cuya parte superior no es igual a su base. En estasfiguras todas las esquinas de su base se unen en un punto llamado vértice, a unaaltura determinada. Estas figuras se llaman pirámides; pero cuando su base es uncírculo y todas sus partes se unen en el vértice se llama cono.

El volumen de estos cuerpos se obtiene multiplicando el área de su base por latercera parte de su altura ( h ó 0.333 h).

Cilindro

Tiene base circular.


Área de la base: A = p x r2

Volumen = p x r2 x h

V = p x r x r x h

Recuerde que:p = 3.14 y

r x r = r2

Fórmula: V = ppppp x r x r x h

V = ppppp x r2

x h

Pirámide triangular

Su base es un triángulo.

Volumen = área de la base x de la altura


Volumen = x h

V = x h

Fórmula: V = x h

1

3

b x a2

13

V = x 0.333 h

b x a2

b x a2

b x a2

13

13

13

b x a2




108

Una de las figuras especiales de las que se puede obtener su volumen es la esfera.

Pirámide cuadrangular

Su base es un cuadrado.Volumen = área de la base x de la altura

Área de la base: A = a x b

Volumen = a x b x h

V = a x b x h

Fórmula:

V = a x b x h

V = a x b x 0.333 h

Cono

Su base es un círculo.

Volumen = área de la base x de la altura

Área de la base: A = p x r2

Volumen = p x r2 x h

V = p x r2 x h

Fórmula: V = ppppp x r x r x h

V = ppppp x r x r x 0.333 h

Recuerde que en todas las pirámides y el cono, el volumen seobtiene multiplicando el área de su base x de su altura.

13

13

13

13

13

13

13

13

13



109

Unidad IV: Volumen

La esfera

La esfera es un cuerpo que no tiene base, como los otros que se han analizado;por lo que su fórmula se puede obtener de una manera práctica, como se muestraa continuación.1. Busque una naranja grande, pártala a la mitad y quítele los gajos, como semuestra en el dibujo.

La mitad de esta naranja representa la mitad de una esfera.

2. Con su cinta métrica o con una regla obtenga su diámetro.

Suponga que mide 7.3 cm,

D = 7.3 cm

3. Con cartón o papel periódico construya un cilindro con diámetro y alturaiguales a las del diámetro de la media naranja.

Recuerde que,D = 2 r




110

4. Con la media naranja llene, con azúcar o arroz, el cilindro que construyó;observe que con tres medias naranjas se llena el cilindro.

Esto quiere decir que,3 medias naranjas = al volumen del cilindro.

Recordando que el volumen del cilindro es:

VC = p x r2 x h

En este caso, h = 2 r; por lo que la fórmula del volumen del cilindro queda de lasiguiente forma:

VC = p x r2 x 2 rVC = 2p x r3

Esto quiere decir que,

Volumen de 3 medias naranjas = 2p x r3

Para conocer el volumen de una media naranja, se pasa al 3 que está multiplicandoen el lado derecho dividiendo al lado izquierdo:

Volumen de media naranja =

Realizando las operaciones, la fórmula para la obtención del volumen de unaesfera queda,

Como esta fórmula sólo representa al volumen de media naranja, o sea, mediaesfera, y nosotros requerimos el de una esfera completa, se multiplica a estafórmula por 2.

2p x r3

3

Volumen de una esfera = 2 (2p x r3)3

V = 4p x r3

3



111

Unidad IV: Volumen

Ejemplos para el cálculo de volumen de varios recipientes.

¿Cuál es el volumen, en m3, de un recipiente para arena con tolva, que tiene las

medidas que se indican en el dibujo?

Volumen de la tolva:

V2 = área de la base x h

V2 = 2.5 m x 2 m x (2.16 m)V2 = 3.6 m3

Volumen de la caja:

V1 = L1 x L2 x L3

V1 = 2.5 m x 2 m x 2 mV1 = 10 m3

Volumen total:

V1 + V2 = 10 m3 + 3.6 m3

V = 13.6 m3

Acotaciones en metros

2.16

2

2.5

2

13

1

3




112

Recuerde que todos los volúmenes se expresan en unidades cúbicas.O sea, tienen unidades de longitud (m, dm, cm, mm) con un trespequeño arriba de la unidad:

m3, dm3, cm3, mm3, ft3, in3

Otra unidad de volumen muy utilizada es el litro, ésta no es cúbica, sin embargo,equivale a 1 dm3,

1 litro = 1 dm3

Ejercicios

Calcule el volumen de las siguientes figuras.

1. Cubo

Podría ser un tinaco para agua.

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= =

Cuando se necesita medir una cantidad muy pequeña de líquido se utiliza el mililitrocomo medida de volumen. Éste es la milésima parte de un litro, 1 lllll = 1,000 ml.

1 litro 1 litro

V = L3



113

Unidad IV: Volumen

2. Prisma rectangular

Podría ser una pileta.

3. Cilindro

Podría ser un recipiente como el tamborde la crema de Pedro.

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V = L1 x L2 x h

V = p x r2 x h

4. Pirámide triangular

Podría ser la terminación de la torre de unaiglesia.


Como la base es un tríangulo, su fórmulaserá:

Base

V = x

b x a2

h3

b x a2

V = área de la base x h13




114

V = área de la base X

V = p x r x r x

V = p x r3

V =

Problemas

1. ¿Cuántos litros de agua le caben a una cisterna que tiene las siguientesmedidas?

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6. Esfera

Puede ser una pelota.

r = 0.25 m

5. Cono

Puede ser un cucurucho o un barquillo.

Área del círculo = p x r2

43

h3

h3

4p x r x r x r3

Recuerde que,1 m3 = 1,000 l



115

Unidad IV: Volumen

3. ¿Cuántos litros de pintura caben en unbote como el que se muestra en el dibujo?

r = 0.14 m

h = 0.31 m

4. ¿Cuál es el volumen de un silo de arena que tiene las siguientes dimensiones?

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2. ¿Cuántos litros de agua le caben a un tinaco cilíndrico de plástico que se llenahasta el borde indicado?

El silo es cilíndrico

cilindro

cono




116

1. Como 4 botes de de litro me dan 1 litro, y como el cliente pide 4 litros, Rogeliopuede darle a su cliente 16 botes de de litro, porque

4 botes de de litro = 1 litro

4 botes de de litro x 4 = 16 botes de de litro

Esta solución no es práctica porque son muchos botes.

Rogelio tiene una tlapalería. Uno de sus clientes le pide 4 litros de barniz paramadera. Rogelio al buscar el barniz se da cuenta que solamente tiene botesde de litro o de galón.

¿Qué puede proponer Rogelio a su cliente para surtirle el barniz?

Este problema tiene dos soluciones:

Unidad IV Tema 2

Diferentes unidades de volumen

1

4

14

14

14

14

14



117

Unidad IV: Volumen

2. Rogelio puede convertir 1 galón a litros y ver cuánto le falta para los 4 litrosque necesita su cliente.

Rogelio sabe que 1 galón es igual a 3.785 lllll,1 gal = 3.785 lllll

Como el cliente requiere 4 litros, y con 1 galón sólo se tienen 3.785 lllll, le faltarán:

4.0 lllll – 3.785 lllll = 0.215 lllll

Así que le puede ofrecer un bote de 1 galón y un bote de lllll. Con lo que le entregaráal cliente:

1 bote de 1 galón + 1 bote de lllll

3.785 lllll + 0.250 lllll = 4.035 lllll

El cliente está de acuerdo y le agradece a Rogelio la solución.

En la práctica, es necesario convertir las unidades de volumen en función denuestras necesidades.

Recuerde que lllll = 0.250 lllll

Estas son algunas de las unidades de volumen más utilizadas y sus equivalencias.

TABLA DE EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE VOLUMEN

Con esta tabla, usando la regla de tres, podemos hacer las conversiones necesarias.

14

14

14

Sistemamétricodecimal

lllll

mlllll

mm3

cm3

dm3

m3

in3

ft3

gal

litro

mililitromilímetro cúbicocentímetro cúbicodecímetro cúbicometro cúbicopulgada cúbicapie cúbicoGalón

= 1 dm3 = 0.001 m3

= 1,000 cm3

= 0.001 lllll

= 0.001 cm3

= 1,000 mm3

= 1,000 cm3 = 1,000,000 mm3

= 1,000 lllll= 16.387 cm3

= 0.0283 m3

= 3.785 lllll

Sistemainglés

SímboloSistema Nombre Equivalencia




118

Ejemplos del uso de la tabla.

1. Si Ramiro tiene en su tienda 200 l de pintura y los va a envasar en botes de 1

galón, ¿cuántos botes necesitará?Para conocer el número de botes, Ramiro necesita saber a cuántos galonesequivalen los 200 lllll de pintura.

I. En la tabla se obtiene la equivalencia de galones a litros.

1 gal = 3.785 lllll

Al resolver la operación, se tiene que 200 lllll equivalen a 52.84 galones, por lo queRamiro necesitará 52 botes de 1 galón y le sobrará un poquito, menos de 1 litro.

2. A Agustín Álvarez lo contratan para construir un tinaco para cuando haga falta elagua. Agustín le dice al cliente que el tamaño del tinaco será de 1.2 m x 1.2 m x 1 m; elcliente está de acuerdo y pregunta, ¿cuántos litros le van a caber? ¿Qué debecontestar Agustín?

Para contestar, primero se debe obtener el volumen en m3 del tinaco, y luego

convertirlo a litros.Cálculo del volumen.

Como el tinaco es un prisma rectangular su volumen se obtiene multiplicando elárea de la base por la altura.

V = L1 x L2 x h = 1.2 m x 1.2 m x 1 m = 1.44 m3

200 lllll x 1 gal3.785 lllll

= ? gal

II. Se plantea la regla de tres, diciendo que si 1 galón equivale a 3.785 lllll, a cuántosgalones equivaldrán 200 lllll.

1 gal = 3.785 lllll

? gal = 200 lllll

III. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a lainterrogación.

200 lllll x 1 gal = ? gal x 3.785 lllll

Los 3.785 lllll que están en la derecha multiplicando, pasan a la izquierda dividiendo.



119

Unidad IV: Volumen

A continuación se presenta una tabla para conversión de algunas unidades de volumen.TABLA DE CONVERSIÓN DE UNIDADES DE VOLUMEN

Así como sabemos que para convertir m3 a litros hay que multiplicar por 1,000,porque 1 lllll = 1 dm3 y 1,000 dm3 = 1 m3, podemos establecer factores por los cualesmultiplicar las unidades de volumen para convertirlas en otras unidades.

Con lo anterior, Agustín ya sabe que el tinaco tendrá 1.44 m3.Ahora, convierte el volumen a litros (lllll).

Al resolver la operación, se tiene que 1.2 m3 equivalen a 1,200 lllll.Con esto, Agustín le puede decir a su cliente que su tinaco tendrá capacidad para1,200 litros.

II. Se resuelve la regla de tres, multiplicando en cruz y dejando sola a la ? lllll.? lllll x 1 m3 = 1.2 m3 x 1,000 lllll

Como 1 m3 está multiplicando del lado izquierdo, pasa al lado derecho dividiendo.

? lllll = 1.2 m3

x 1,000 lllll1 m3

I. Localiza en la tabla la equivalencia de m3

en litros.1 m3 = 1,000 lllll

II. Se plantea la regla de tres.1 m3 = 1,000 lllll

1.2 m3 = ? lllll

m3

m3

m3

m3

lllll

lllll

dm3

cm3

dm3

ml

1,0001,0001,000,00035.310.0011,0000.0011,0001,000,000

1

lllll (litros)dm3

cm3

ft3

m3

mlm3

mm3

mm3

cm3

Si tiene multiplique por para obtener Si tiene multiplique por para obtenermlmm3

ft3 (pie3)gal (galón)lllll

cm3

in3 (pulg3)lllll

lllll

ft3 (pie3)

0.0010.0010.02833.7850.2640.06116.38761.0250.035328.32

lllll

cm3

m3

lllll

galin3

cm3

in3

ft3

lllll



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Problemas

1. ¿Cuántos litros caben en una cisternacomo la que se presenta en el croquis?

3. ¿Cuántos galones de agua le caben a unrecipiente como el que se muestra en la figura?


Algunos ejemplos de conversión usando la tabla.

1. Tengo una cisterna para agua con 3 m3. ¿Cuántos litros se almacenan?

Busco en la tabla las unidades que tengo (m3) y las que quiero obtener (lllll).Según la tabla, si tengo m3 y quiero obtener lllll debo multiplicar por 1,000.3 m3 = 3 x 1,000 litros = 3,000 litros

2. Suponga usted que tiene un negocio donde da clases de natación en unaalberca que mide 30 m de largo, 20 m de ancho y 1.5 m de profundidad; si unode los empleados le recomienda vaciar la alberca para limpiarla, ¿cuántos litrostirará de agua, si le hace caso?

120

3. Una cubeta de pintura tiene 5 galones, ¿a cuántos litros equivalen?Busco en la tabla las unidades que tengo (galones) y las que quiero obtener (litros).Según la tabla, si tengo galones debo multiplicar por 3.785 para obtener lllll.

5 gal = 5 x 3.785 lllll = 18.93 lllll

2. ¿Qué volumen, en m3, ocupan 200 litros?

Busco en la tabla las unidades que tengo (litros) y las que quiero obtener (m3).Según la tabla, debo multiplicar los litros por 0.001 para obtener m3.

200 lllll = 200 x 0.001 m3 = 0.2 m3



Autoevaluación

Instrucciones:

Lea cuidadosamente la siguiente información y conteste las preguntas utilizando los

datos de la misma.

Clemente compró cajas de diferentes tamaños para

empacar su mercancía.

2. ¿Qué caja tiene más capacidad? Anote los datos.

Forma de la base: Capacidad:

Medidas: ancho: largo: altura:

3. ¿Qué caja tiene menos capacidad? Anote los datos.

Forma de la base: Capacidad:

Medidas: ancho: largo: altura:

121

1. Calcule la capacidad de cada

una de las siguientes cajas de

acuerdo a sus medidas.

ancho

35 cm

40 cm

40 cm

20 cm

Capacidad

35 cm

20 cm

30 cm

40 cm

Cuadrada

Cuadrada

Rectangular

Rectangular

Forma de la base

35 cm

20 cm

50 cm

60 cm

Medidas

alturalargo

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4. Juan quiere comprar un tinaco para su tortería. Le ofrecen al mismo precio dos que

se representan con los dibujos de abajo, por lo que ha decido comprar el que tenga

más capacidad. ¿Cuál comprará?

a) Capacidad del tinaco cilíndrico en cm3 .

b) Capacidad del tinaco con forma de prisma rectangular en cm3

.

c) Juan compró el tinaco .

5. ¿Cuál es la capacidad de los tinacos en litros?

Cilíndrico: Prisma rectangular:

122

Volumen del prisma = lado x lado x lado

Volumen del cilindro = p x radio x radio x altura

ppppp = 3.14

1 lllll = 1,000 cm3

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