CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DE MEZCLAS BINARIAS GASEOSA PARA SISTEMAS A BAJAS PRESIONES

Andrés Camilo Domínguez Mesa

1. Resumen

Este trabajo muestra las diferentes predicciones, teorías y correlaciones empíricas, basadas en la teoría cinética de los gases y los métodos de estados correspondientes, que se encuentran en los referentes bibliográficos a cerca del cálculo del coeficiente de difusión para mezclas gaseosas a bajas presiones.

2. Introducción En la transferencia de masa el término coeficiente de difusión es utilizado para el trasporte molecular de masa que ocurre usualmente por un gradiente de concentración, pero en ocasiones es debido a un gradiente de temperatura, presión o por la acción de alguna fuerza impulsora. Está es una propiedad del sistema que depende tanto de la temperatura y la presión, como de la naturaleza de los componentes y se determina por medio del modelo matemático planteado por Fick en su primera ley.1 Las expresiones empíricas para calcular el coeficiente de difusión se utilizan cuando se tienen datos experimentales; teniendo en cuenta que para mezclas binarias de gases, estas ecuaciones están basadas en la teoría cinética de los gases y no dependen de la composición de la mezcla pero si son inversamente proporcionales a la presión y se incrementan con el aumento de la temperatura.2 En este trabajo se mencionan las diferentes correlaciones empíricas para el cálculo del coeficiente de difusión a bajas presiones y a su vez se mostraran las correlaciones más relevantes utilizadas en el fase de pregrado.

3. Coeficiente de Difusión El término coeficiente de difusión o difusividad es una propiedad del sistema que depende de la temperatura, presión y de la naturaleza de los componentes; suele emplearse como una medida de la tasa de transferencia de masa en ausencia de mezcla, ya sea mecánica o convectiva.3 Las expresiones para calcular la difusividad cuando no se cuenta con datos experimentales, están basadas en la teoría cinética de los gases, sin embargo en la etapa de pregrado se utilizan en alto grado los cálculos empíricos, los cuales cuentan con una gran exactitud pero dependen de los datos experimentales. En este trabajo solo se tendrán en cuentan los métodos de cálculo empíricos para determinar el coeficiente de difusión.

1 ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006,p-599.

2 Ibit.

3 ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006,p-607.

4. Métodos Aquí se mencionarán las estimaciones empíricas más relevantes para sistemas gaseosos; como las predicciones obtenidas a partir de la teoría de Chapman-Enskog (las cuales son exactas para diferentes sistemas comúnmente trabajados ) y otras técnicas empíricas como las de Arnold, Gilliland, Wilke-Lee, Slatery-Bird, Bailey, Chen-Othmer, Othmer-Chen y Fuller-Schettler-Giddings.4 Antes de empezar a hablar de los diferentes métodos, es importante entender la determinación de los coeficientes de difusión empíricos, los cuales parten de la ley de Fick (modelo matemático que describe el transporte molecular de masa en procesos o sistemas donde ocurre la difusión ordinaria, convectiva o ambas) y una vez analizada esta ley se tiene la necesidad de disponer de valores numéricos para los parámetros de difusividad; los cuales se enunciaran a continuación. 4.1 Ecuación de Chapman-Enskog Esta ecuación parte de la utilización del potencial de Lennard Jones para evaluar la influencia de las fuerzas intermoleculares, donde los señores Chapman-Enskog en el años de 1959 encontraron una ecuación adecuada para el cálculo del coeficiente de difusión correspondiente para parejas gaseosas de moléculas no polares, no reactivas a temperaturas y presiones bajas.5 La fórmula correspondiente es:

√

(

)

√ (

)

O bien, si c se aproxima por la ley de los gases ideales entonces y se obtiene:

√

(

)

√ (

)

Dónde: = Difusividad de la masa A que se difunde a través de B en[ ⁄ ]. = Temperatura absoluta [ ]. = Pesos moleculares de A y B[ ]. = Presión Absoluta [ ]. = Diámetro de colisión [ ](Constante de la función de Lennard-Jones de energía potencial para el par de moléculas AB). = Integral de colisión[ ] (Función adimensional de la temperatura y el campo potencial intermolecular correspondiente a una molécula A Y B). Es importante mencionar que al usar la función de Lennard-Jones de energía potencial se deben utilizar los parámetros de Lennard-Jones como lo es el diámetro de colisión ( y la energía de interacción molecular ( . Estos parámetros son importantes para el desarrollo del cálculo de la difusividad para mezclas binarias de gases no polares, los cuales se pueden

4 ROBERT E. TREYBAL. Operaciones de Transferencia de Masa. Segunda Edición. Mexico,p-82.

5 ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006,p-600

determinar directamente a partir de mediciones exactas de sobre un amplio intervalo de temperatura; o en casos que no se disponga de datos idóneos de las parejas de gases, entonces es posible estimar y a partir de las siguientes reglas de combinación, ecuaciones (3) y (4).

⁄ √

En tablas y apéndices se encuentran tabulados los valores correspondientes a los diámetros de colisión de cada componente, sin embargo en ausencia de datos experimentales, los valores de los componentes puros se pueden calcular a partir de las siguientes relaciones empíricas, ecuaciones (5), (6) y (7)

(

)

Dónde: = Volumen molecular en el punto normal de ebullición [ ⁄ ]. = Volumen molecular crítico [ ⁄ ]. = Temperatura crítica [ ] = Presión crítica[ ]. Las ecuaciones (5), (6) y (7) se pueden utilizar cuando se esté trabajando con presiones inferiores a 10 atmósferas; para presiones superiores a 10 atm esta ecuación no es apropiada y es necesario usar las gráficas obtenidas por medio de la ley de estados correspondientes. Como se mencionó anteriormente es la integral de colisión correspondiente a la difusión

molecular, la cual se puede representar como , que es una función adimensional de la temperatura y es la energía de interacción molecular correspondiente al sistema binario AB y de la constante de Boltzmann. Otra forma de calcular la integral de colisión es por medio de la ecuación de Neufield, planteada en el años de 1972 para mezclas gaseosas no polares.

(

)

(

)

(

)

(

)

O también se conoce como:

Dónde: = Temperatura de proceso = Temperatura critica Ejemplo1: Difusividad y el número de Schmidt para la mezcla Cloro-Aire

A. Pronosticar para la mezcla gaseosa Cloro-Aires a 75 °F y 1atm. Considere el aire y el cloro como sustancias simples cuyos parámetros de Lennard-Jones son los siguientes:

Sustancia Peso

molecular

⁄

Aire 28.964 3.617 97.0 132.4 37.0

Cl2 70.905 4.115 357 417 76.1 Usar la teoría de Chapman-Enskog para la solución de este punto.

B. Usar el resultado del inciso A para estimar el número de Schmidt para la mezcla Cloro-

Aire a 297K, 1atm y una viscosidad de 0,0183 cp.

Solución1 A. En primera instancia se calculan los parámetros de Lennard-Jones para la mezcla y

posterior a esto se halla el valor de la integral de colisión. Con estos datos y los que nos arroja el problema podremos calcular el valor del coeficiente de difusión.

A= Cloro

B= Aires

⁄ √

Ahora con este valor vamos a las tablas para hallar el valor de la integral de colisión el cual es:

√ (

)

√ (

)

⁄

B. Teniendo el cálculo del coeficiente de difusión se pasa a desarrollar el cálculo del número de Schmidt donde la ecuación es:

⁄ ⁄

4.2 Correlación de Chapman-Cowling. Esta correlación empírica parte de la simplificación que los señores Chapman-Cowling hicieron de la teoría cinética para la obtención de la ecuación del coeficiente de difusión.6

(

)

Donde la integral de colisión se determina por medio de la expresión de Neufeld, Janzen y Aziz (ecuación 9 y 10), pero TC se reemplaza por , y el diámetro de colisión se determina como el promedio de la separación entre los centros de las moléculas de cada especie:

Dado que en general, se desconoce el parámetro de longitud característica, para estimarlo se emplea la siguiente expresión:

Donde, = volumen critico

4.3 Modificación de Wilke-Lee La correlación desarrollada en 1955 por Wilke y Lee propone una ecuación que resulta de modificar la constante en la expresión de Chapman-Cowling la cual es la siguiente:

6 ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006.

( (

)

) (

)

Esta ecuación al igual que la ecuación original y es sólo válida para sistemas de gases no polares.7 4.4 Modificación de Brokaw para gases polares Brokaw propone una modificación de expresión de Chapman-Cowling para mezclas de gases polares y de gases no polares como se muestra en la siguiente expresión:

(

)

Donde 12 es un factor de interacción polar que se determina como:

La modificación de Brokaw reduce la ecuación de Chapman-Cowling, donde el momento dipolar es cero y el volumen molar en el punto normal de ebullición se evalúa por medio de la expresión deTin-Calus:

4.5 Correlación de Fuller-Schettler-Giddings Fuller-Schettler-Giddings proponen una correlación empírica la cual se basa en los volúmenes moleculares de difusión de las sustancias puras.

(

)

[ ∑ ∑ ]

En la cual ∑ es el volumen molecular de difusión, que debe calcularse a partir de las contribuciones atómicas que se presentan en las tablas siguientes, reportadas por Taylor y Krishna (1993) en su libro “MulticomponentMass Transfer”.

7 ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006,611.

Tabla 1. Volumen de Difusión

TABLA DE INCREMENTO EN EL VOLUMEN DE DIFUSIÓN

C 15.9 F 14.7 H 2.31 Cl 21.0 O 6.11 Br 21.9 N 4.54 I 29.8 S 22.9 Anillos aromáticos -18.3

Anillos heterocíclico -18.3

Fuente: ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006

Tabla 2. Volumen de Difusión para moléculas simples

TABLA DE VOLÚMENES DE DIFUSIÓN PARA MOLÉCULAS SIMPLES

He 2.67 CO 18.0 Ne 5.98 CO2 26.7 Ar 16.2 N2O 35.9 Kr 24.5 NH3 20.7 Xe 32.7 H2O 13.1 H2 6.12 SF6 71.3 D2 6.84 Cl2 38.4 N2 18.5 Br2 69.0

O2 16.3 SO2 41.8

Aire 19.7

Fuente: ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. Mexico,2006

5. Conclusiones

Estos métodos de cálculo son efectivos para tenerlos en cuenta a nivel estudiantil o para hacer simulaciones a nivel experimental ya que estos se basan en datos experimentales, los cuales no son tan confiables para tenerlos en cuenta en los cálculos de diseño de equipos a escala industrial.

Estos métodos deben ser utilizados en la fase estudiantil ya que son de gran utilidad para comprender fenómenos de trasferencia de masa en procesos de separación no convencionales como destilación, absorción, extracción, etc.

6. Bibliografía

ROBERT BIRD. Fenómenos de Transporte. Segunda Edición. México.

ROBERT E. TREYBAL. Operaciones de Transferencia de Masa. Segunda Edición. México.

7. Revisión del Documento IQ. Oscar Fabian Garzón Tiempos. IQ. Edna Lorena Torres Quintero.