Calculo del volumen del tanque de floculacion aplicando integral triple

7/23/2019 Calculo del volumen del tanque de floculacion aplicando integral triple

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INTEGRANTESNOTA DE

PRESENTACIÓNNOTA DE

EXPOSICIÓNNOTAFINAL

GUTIÉRREZ GRADOS KELVINHANAMPA MAQUERA GRESE

HOYOS TRUJILLO MICHELLEHUINGO VARGAS JORGE

JUIPA SANCHEZ JHONATAN

CALCULO DEL VOLUMEN DEL REDISEÑO DEL TANQUEDE FLOCULACION DE UNA PLANTA DE TRATAMIENTO DE

AGUA UTILIZANDO INTEGRALES TRIPLES

MATEMATICA

GRUPO: 3

CLASE: IA04M

DOCENTE: ING. LUIS ALFREDO ZUÑIGA FIESTAS



DEDICATORIA

El presente informe está dedicado a Diospor ser nuestro guía día a día, a nuestrospadres por darnos siempre su apoyoincondicional para seguir adelante connuestros estudios y al profesor Ing. LuisZúñiga Fiestas por sus enseñanzas y elapoyo brindado en el transcurso delpresente ciclo académico 2015-I.



ÍNDICECARÁTULA

DEDICATORIA

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 12. OBJETIVOS

2.1 OBJTIVOS GENERALES ......................................................................................... 2

2.2 OBJETIVOS ESPEFÍCICOS ................................................................................... 2

3. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. 2

4. FUNDDAMENTO TEÓRICO

4.1. MARCO TEÓRICO .................................................................................................. 3

4.2. MARCO MATEMÁTICO ...................................................................................... 16

5. TOMA DE DATOS ........................................................................................................ 32



1

1. INTRODUCCION

En el Perú se está poniendo en marca las construcciones de plantas de tratamientos de agua

especialmente en Lima, donde el agua está escaseando actualmente debido a al calentamiento

global y contaminación ambiental.

Las plantas de tratamiento pueden estar desde una escala como la planta de tratamiento de la

Chira (planta de tratamiento de agua más grande del Perú) a la escala de la planta de

tratamiento municipal como la de Surco.

En la planta de planta de tratamiento y recuperación de las aguas del Rio Surco – Intihuatana

podemos ver su funcionamiento para el beneficio de la zona del distrito de Surco con el

mantenimiento de las áreas verdes y el crecimiento de este.

Con los conocimientos de la matemática podremos demostrar en este proyecto de

investigación cual importantes son en el aporte para poder solucionar problemas como los

que están afectando al medio ambiente. En este caso en una planta de tratamiento,

específicamente se mostrara el uso de integrales dobles, el rediseño de los tanques levándolos

a figuras se superficies cuadráticas capaz con esto podríamos mejorar el rendimiento de su

funcionamiento.

En este trabajo se mostrara el cálculo del tanque rediseñado a un hiperboloide de una hoja,

aplicando integrales dobles para calcular el volumen de una figura en 3D, obteniendo los

resultados exactos, también haciendo el uso de software matemáticos para la construcción de

la figura y obtenciones de resultados para la previa comparación.

Esta de gran apoyo para los análisis. Además de ver que estos diseños se pondrán calcular y

computarizarlos en programas y software matemáticos.



2

2. OBJETIVOS

2.1 OBJETIOS GENERALES:

Aplicar los conocimientos adquiridos durante el presente ciclo académico en el curso

Matemática III, para hallar el volumen del tanque de floculación de la Planta de Tratamiento

y Recuperación de las Aguas del Rio Surco - Intihuatana.

2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Modificar el tanque de floculación de la planta de tratamiento de aguas del rio Surco “Ing.

Alejandro Vinces Araoz” para tener una mayor capacidad de almacenaje total aprovechando

la altura, con la finalidad de poder cumplir con las demanda de agua para regadío de los

distritos aledaños.

Calcular la máxima capacidad de almacenamiento volumétrico del TANQUE DE

FLOCULACIÓN de aguas tratadas por la Planta de Tratamiento y Recuperación de las Aguas

del Rio Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz”, antes y después de la modificación estructural,rediseñado mediante el software de modelamiento y diseño AutoCAD; así mismo, utilizar

los diversos programas de Software Matemático como Microsoft Mathematics 4.0, Casio

ClassPad (fx-CP300), Casio ClassPad II (fx-CP400), Wolfram|Alpha para la verificación del

cálculo de volumen realizado mediante Integrales Dobles e Integrales Triples.

3. JUSTIFICACION

En el presente trabajo nos permitirá ver como es el análisis con los respectivos conocimientos

de la matemática en una planta de tratamiento, respectivamente al tanque de floculación.

En el análisis se verá el cálculo del volumen y el rediseño llevándolo a una figura desuperficie cuadrática de la forma de hiperboloide de una hoja, se tendrá mayor claridad encuanto al cómo se podría diseñar un tanque de floculación aplicando integrales dobles,siendo



3

4. FUNDAMENTO TEÓRICO

4.1. MARCO TEÓRICO

Todas las comunidades Limeñas generan día a día residuos sólidos, estos pueden ser sólidos

o líquidos. El Agua residual (fracción líquida) está constituida principalmente por el agua de

abastecimiento después de haber sufrido un proceso de contaminación por los diversos usos

que haya sufrido.

¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUSLES?

Son aquellas aguas que pueden definirse como la combinación de desechos líquidos

procedentes de industrias, viviendas, instituciones, entre otros. Estas aguas originalmente han

sido modificadas por las actividades humanas y por su calidad requieren un debido

tratamiento antes de ser rehusadas.

Factores que contribuyen a la contaminación del agua:

Diversidad de los procesos industriales.

El aumento de la población.

Los desechos arrojados en los ríos, lagunas, etc.

TIPOS DE AGUAS RESIDUALES:

SEGÚN SU PROCEDENCIA

Aguas Blancas: Se les conoce como agua blanca a aquella agua sin filtrar que puede

provenir de las tuberías de algún suministro. Estas aguas son procedentes de la limpieza

urbana, de los deshielos, de las lluvias, en conclusión podemos decir que son aquellas

que han tenido un mínimo contacto con las actividades del hombre y por eso no están

contaminadas es decir hay una mínima contaminación.

Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A): Estas aguas son generadas por la producción

agropecuaria y agrícola, las cuales están conformadas por los desechos animales,

vegetales, fertilizantes, abonos en gran cantidad, productos químicos presentes en los

terrenos agrícolas.



4

Aguas Residuales Industriales (A.R.I): Estas aguas son generadas por las diversas

industrias, su estructura es variada ya que se puede encontrar todo tipo de contaminantes

tales como productos químicos, residuos biológicos, ácidos, tóxicos, metales entre otros.

Estas aguas varían de acuerdo a su composición ya que podemos encontrar aguas de

enjuague casi limpias mientras que otras se encuentran altamente cargadas por sustancias

corrosivas, materia orgánica, sustancias venenosas, explosivas o inflamables.

Aguas Residuales Urbanas (A.R.U): A estas aguas también se les conoce con el

nombre de “aguas negras”, son procedentes en su mayoría de las actividades domésticas.

Su composición no varía es siempre constante y entre ellos tenemos a una gran cantidad

de materia orgánica, presencia de gran cantidad de microorganismos, los detritus (heces,

orina) y los residuos domésticos (jabones, detergentes, etc.).

CARACTERÍSTICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES

1.

FÍSICO-QUÍMICAS:

Su temperatura se encuentra entre 10-20°C, siendo el promedio general de 15°C.

Contienen cargas de contaminantes de en materias orgánicas y en materia en suspensión.

Poseen compuestos como nutrientes nitrógeno (N), fósforo (P), detergentes, cloruros,

etc.

Tabla N°1 Valores de los nutrientes de la carga por habitante y día

Fuente: Metcalf Robert y McGraw-Hill

Nitrógeno amoniacal 3-10 gr/hab/día

Nitrógeno total 6.5-13 gr/hab/día

(−) 4-8 gr/hab/día

Detergente 7-12 gr/hab/día



5

1.1 OLOR

El agua residual tiene un olor desagradable, esto se debe a los gases producidos por la

descomposición de la materia orgánica, pero es más tolerante que el olor de las aguas

residuales sépticas.

1.2 COLOR

El color de las aguas residuales suele ser de color gris, pero esto no es siempre ya que al

descomponerse los compuestos orgánicos a causa de las bacterias hace que el oxígeno

disuelto se reduzca a cero y el color del agua residual pasara a ser de color negro (agua

séptica).

COLOR DESCRIPCIÓN

Café claro El agua lleva 6 horas después de la descarga.

Gris claro Aguas que han sufrido algún grado de descomposición o que han

permanecido un tiempo cortó en los sistemas de recolección.

Gris oscuro o negro Aguas sépticas que han sufrido una fuerte descomposición

bacteria bajo condiciones anaeróbicas.

Tabla N° 2 Descripción de los colores a condición general del agua residual

Fuente: Ron Crites y George Tchobano glous, “Tratamiento de agua Residuales”, USA 2000

1.3 SÓLIDOS TOTALES

Los sólidos totales en las aguas residuales se definen como el total de la materia orgánica que

queda como el residuo de la evaporación a una temperatura a 103-105°C. En su mayoría los

sólidos totales provienen del uso doméstico e industrial y de las aguas subterráneas.

1.4 TEMPERATURA

Cuando la temperatura aumenta a su vez aumenta la velocidad de las reacciones químicas

junto con la disminución del oxígeno en las aguas residuales. Hay temperaturas anormales

elevadas que pueden dar lugar a un crecimiento de hongos y plantas acuáticas.



6

1.5 DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O)

Este es el parámetro que se utiliza para las aguas residuales y aguas superficiales a los cinco

días, esta medida nos indica el oxígeno disuelto utilizado por los diversos microorganismos

en el proceso de la oxidación de la materia orgánica.

1.6 DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B)

Este parámetro se va utilizar para medir la cantidad de materia orgánica en las aguas naturales

y aguas residuales, en comparación con la D.B.O la demanda química de oxígeno (D.Q.B)

es mayor por el número de compuestos que pueden oxidarse químicamente que

biológicamente.

2. BIOLÓGICAS:

Las aguas residuales contienen numerosos microorganismos algunos de estos son patógenos

y otros no, tales como:

2.1 Bacterias

Para que las bacterias crezcan en un ambiente apto depende del pH y de la temperatura, pero

la gran mayoría de bacterias no toleran el pH por encima de los 9.5 y por debajo de un pH

igual a 4. Pero el pH óptimo para las bacterias esta entre 6.5y 7.5.

2.2

Protozoarios

Estos microorganismos son aeróbicos heterótrofos en comparación con las bacterias estos

microorganismos son un grado mayor, esto le da la ventaja de alimentarse de ellas.

Están presentes en las aguas residuales, son encargados de purificar los efluentes que están

en procesos biológicos de tratamiento de aguas residuales. Pero esto se dará solo al consumir

partículas inorgánicas y bacterias.

2.3 Virus

De todas las estructuras biológicas esta es la más pequeña, este posee la suficiente

información para su reproducción pero necesita de otros seres para poder vivir y en ocasiones

las células huésped se rompen liberando nuevas partículas de virus.



7

Se encuentran presentes en su gran mayoría en las aguas residuales domésticas (A.R.D) por

lo que es de vital importancia un debido control.

2.4

Organismos coliformes y patógenos

Los coliformes son de gran ayuda para el tratamiento de aguas residuales ya que son de vital

importancia para facilitar la destrucción de la materia orgánica, el hombre puede evacuar

100000 a 400000 millones de coliformes por día.

Los organismos patógenos generalmente son excretados por el hombre, estos producen

diversas enfermedades como diarrea, cólera, fiebre, tifoidea y disentería. Estos están

presentas en las aguas residuales y también en las aguas que están poco contaminadas, pero

son difíciles de aislar.

3. FUENTES DE CONTAMIACIÓN DEL AGUA

La clasificación de las aguas residuales se hace con respecto a su origen ya que este va a

determinar su composición. Las mayores fuentes de contaminación de agua suelen ser de

origen urbano e industriales.

3.1.Aguas residuales urbanas.

Son las aguas que tienen como origen, en su mayoría los diversos hogares de la población y

que son los desechos después de haber realizado diversas actividades.

Las aguas residuales urbanas por lo general demuestran cierta homogeneidad en cuando a su

composición química y carga de contaminantes, ya que casi siempre será lo mismo.

3.2.Aguas residuales industriales.

Son aquellas que tienen como origen cualquier tipo actividad o negocio en donde para su

producción, transformación o manipulación se utilice el agua. Son enormemente variables en

cuanto a su composición y caudal a comparación de otras industrias en otros rubros como enlas del mismo rubro, por lo que suelen ser muy heterogéneas este tipo de aguas.

Por lo general el caudal de este tipo de aguas puede variar ya que las industrias emiten los

vertidos en ciertas horas o en ciertas temporadas del año, dependiendo de su producción y

proceso industrial.



8

Las aguas residuales industriales son más contaminadas que la aguas residuales urbanas,

además con una contaminación muchos más difícil de eliminar por lo cual el tratamiento de

estas suelen ser más complicado y casi siempre se requiere un estudio específico para cada

caso.

4.

TIPOS DE CONTAMINANTES

La contaminación de los cauces naturales se origina por diversas fuentes, las cuales se pueden

generalizar en vertidos urbanos, industriales agroindustriales, químicos, residuos clínicos,

etc. Las sustancias contaminantes que pueden aparecer en agua residual son muchas y

diversas.

4.1

Contaminantes orgánicos

Proteínas: Son de origen básicamente de excretas humanas o de desperdicios de

productos alimentarios. Son biodegradables, bastante inestables y responsables de malos

olores.

Carbohidratos: Este grupo esta constituidos por los azucares, almidones y fibras

celulósicas. Su fuente, al igual que las proteínas, son las excretas y desperdicios.

Aceites y grasas: Son insolubles en agua debido a su composición química (una parte

polar y una cadena hidrocarbonada apolar), en su mayoría tienen como raíz losdesperdicios de alimentos a excepción de los aceites minerales que proceden de otras

actividades.

4.2.Contaminantes inorgánicos:

Son de origen mineral y de composición química variada, estas pueden ser sales, óxidos,

ácidos y bases inorgánicas, metales, etc. Aparecen en cualquier tipo de agua residual, aunque

son más caudalosos en los vertidos generados por la industria. Los componentes inorgánicosde las aguas residuales estarán en función del material contaminante así como de la propia

naturaleza de la fuente contaminante.



9

5. EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES

Los efluentes de aguas residuales tienen distintas procedencias:

5.1. Drenaje Doméstico:

Es aquella agua residual que proviene de baños, cocinas, lavados, lavanderías y sanitarios.

5.2.Drenaje Sanitario:

Es aquella agua que es desechada por las comunidades, estas pueden provenir de distintas

fuentes.

Estas aguas que son suministradas a las distintas comunidades se les agregan gran cantidadde materias fecales, restos de alimentos (basura), jabón, papel, detergentes, suciedad y

diversas sustancias. Pero con el tiempo el color de estas aguas va cambiando progresivamente

de un color gris a negro, esto es lo que ocasiona un olor desagradable.

6. CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL

Los constituyentes de aguas residuales está dada por los siguientes porcentajes; el 99,9 % es

de agua potable y el 0,1% le corresponde a los sólidos totales y sólidos disueltos. Para que el

agua sea apta nuevamente y reutilizada se tendrá que retirar este 0,1%.

Agua Potable Sólidos Gases Disueltos Componentes Biológicos

99,9%

0,1% (por peso)

Sólidos

Suspendidos

Disueltos

Coloidales

Sedimentales

O2

CO2

H2S

N2

Bacterias

Microorganismos

Macroorganismos

Virus

Tabla N° 3 porcentaje de los constituyentes de Agua Residual

Fuente: Elaboración propia



10

7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUAS RESIDUALES

En lo que respecta al campo de tratamiento de aguas residuales ha habido un importante

crecimiento en el desarrollo tecnológico en lo que a técnicas de tratado respecta, separándose

en 3 áreas: física, química y biológicas. Estas áreas pueden combinarse para formar sistemasde tratado físico-químico, bioquímico o ficobiológico.

“Los tratamientos de tipo físico son aquellos en los que predominan la aplicaciones de fuerzas

físicas…” Metcalf & Eddy 2004. Algunos de estos tratamientos pueden ser cribados,

sedimentación, filtración, mezclado y flotación.

Metcalf & Eddy afirman también que los tratamientos químicos son aquellos en los que al

proceso que sigue el tratamiento de las aguas residuales se le deban incorporar algún producto

químico probando en este algún tipo de reacción tales como pueden ser precipitación,

absorción, purificación, transferencia de gases y floculación.

Y en lo que respecta al tratamiento biológico Metcalf & Eddy mencionan que para este

proceso se utilizan diferentes microorganismos tales como bacterias o plantas donde

especialmente se utilizan para remover materia orgánica biodegradable.

No todas las plantas de tratamiento de agua se rigen a un solo tipo de organización, varía

según el lugar en donde se encuentre y sobre todo según la demanda que desee satisfacer

puede darse que su producto sea de CATEGORIA 1: POBLACION Y RECREACIÓN o

CATEGORIA 3: RIEGO DE VEGETALES Y BEBIDAS DE ANIMALES. Estándar

Nacional de Calidad Ambiental para Agua DECRETO SUPREMO N° 002-2008-MINAM

Para poder llegar a separar en las diferentes categorías las aguas residuales pasan por las

siguientes etapas: pre tratamiento, tratamiento primario, tratamiento secundario y tratamiento

terciario.

7.2.Tratamiento primario:

El tratamiento primario de aguas residuales se realiza para reducir lo más que se pueda los

sólidos (sedimentables, flotantes o coloidales) de gran tamaño suspendidos para poder

acondicionar las aguas hacia el próximo tratamiento. Mediantes mecanismos como rejas,



11

desmenuzadores, floculación, tanques de remoción de grasas y aceites, desarenadores, entre

otros.

7.3.Tratamiento secundario:

El tratamiento secundario de aguas residuales engloba a los procesos de filtración así como

tratamiento biológico aeróbicos o anaeróbicos con la finalidad de remover la materia

orgánica que pueda descomponerse (entrar en una fase de putrefacción). Los métodos usados

para este tratamiento pueden ser el de filtración biológica, lagunas aeróbicas, anaeróbicas y

facultativas, zanjas de oxidación, lodos activados, entre otros.

7.4.Tratamiento terciario:

El tratamiento terciario de aguas residuales también se le conoce como tratamiento avanzado

pues depende de este proceso para poder alcanzar parcialmente la calidad que se desee

obtener para el producto final, se considera parcial puesto que aún no han sido eliminado los

metales pesados o sustancias toxicas, para eso se debe implementar un tratamiento de

detoxificación adicional a los ya mencionados. Para este tratamiento se utilizan los métodos

de adsorción en carbono activo, intercambio iónico, osmosis inversa, electrodiálisis, entre

otros.

PLANTA DE RECUPERACION DE AGUAS DEL RIO SURCO

Río Surco:

El Río Surco nace en el margen izquierdo del Río Rímac en Ate Vitarte y desemboca en el

Océano Pacífico en el Litoral perteneciente a Villa Chorrillos.

Recuperación del Río Surco:

“El rio Surco tiene altos niveles de contaminación doméstica y de basura, antes alimentabaun canal de regadío, poniendo en riesgo la salud de la población que accedía a los parques y

jardines del distrito.” ( Ing Torres Z. Betty, Planta de recuperación de aguas del Río Surco,

2011)



12

La municipalidad del distrito ordeno la construcción de la Planta de Recuperación de las

aguas del Río Surco, para el tratamiento y descontaminación de sus aguas.

8.

ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACION DEL AGUA

PRIMERA ETAPA

8.1 CAPTACION

Las aguas residuales que entran a la plana contienen materiales que pueden atascar o dañar

las bombas. Estos se eliminan por medio de enrejados o barras verticales que permiten retirar

las partículas gruesas y finas. En la cámara de rejas se tiene una malla de 3/8” con inclinación

de 60°, que se encuentra fija y otra movible para la limpieza.

FOTO 1: Reja de captación de la Planta de recuperación de aguas del Río Surco

Fuente: Propia



13

8.2 CÁMARA DE BOMBEO

Un pozo profundo que tiene un tubo de bomba de 2” de diámetro acanalado con alambre

tejido, una malla especial para atrapar sedimento fino. Tiene una plataforma de bombeo

donde se asientan dos bombas, que trabajan controladas por un tablero de alternancia.

8.3 DESARENADOR

Es una estructura diseñada para las partículas que no se hayan quedado retenidas en el

desbaste, y que tienen un tamaño superior a 200µ, sobre todo arenas pero también otras

sustancias como cáscaras, semillas, etc. Con este proceso se consiguen proteger los equipos

de procesos posteriores ante la abrasión, atascos y sobrecargas.

FOTO 2: Desarenador.

Fuente: Propia

8.4 BOCATOMA

Es una estructura hidráulica que está destinada a emanar una cantidad considerable del agua

que esta tiene disponible, para que la misma sea utilizada para una finalidad específica. Por

ejemplo abastecimiento de agua potable, riego, etc.



14

SEGUNDA ETAPA

8.5 CALERA

Contiene una solución Hidróxido de Calcio Ca(OH)2 que se inyecta al agua para aumentar su

pH y Sulfato de Aluminio para que pueda entrar al floculador decantador Al2(SO4)3

FOTO 3: Insumos utilizados en las aguas tratadas, previo paso al floculador decantador

Fuente: Propia

8.6 FLOCULADOR DECANTADOR

Realiza el proceso de floculación para que las partículas de menor tamaño puedan

sedimentarse por efecto de la adición del sulfato de aluminio.

La floculación es la aglomeración de partículas desestabilizadas en microflóculos y después

en los flóculos más grandes que tienden a depositarse en el fondo de los recipientes

construidos para este fin, denominados sedimentadores.

La solución floculante más adaptada a la naturaleza de las materias en suspensión con el fin

de conseguir aguas decantadas limpias y la formación de lodos espesos se determina por

prueba, ya sea en laboratorio o en el campo.



15

FOTO 4: Filtros N# 1, filtro N#2 y tanque de floculación.

Fuente: www.porlascallesdelima.com

8.7 FILTROS

Contiene grava y arena para retener las últimas partículas.

FOTO 5: Filtros N# 1 y N# 2 con grava y arena respectivamente

Fuente: Propia



16

4.2. MARCO MATEMÁTICO.

Para lograr el objetivo de esta investigación es fundamental contar con los conocimientos

básicos de una gran variedad de temas sobre cálculo matemático, los cuales serán aplicados

en el desarrollo del presente trabajo.

1. Derivada.

Definida como la pendiente de la recta tangente que pasa por un punto P de una función

() .

Figura 1: Interpretación geométrica de la derivada.

Fuente: Los integrantes

La derivada de en está dada por la siguiente notación matemática

(Larson & Edwards, 2010):

′() l i m∆→ ( + ∆ ) ()

∆

Ecuación 1: Definición de la derivada

Donde, ∆cambio (o incremento)en x. Siempre y cuando ese límite exista.



17

La aplicación de la derivada, dada una función inicial, se utiliza para calcular la velocidad y

aceleración y muchas otras aplicaciones. El objetivo de la derivación es dividir en partes muy

pequeñas una cierta cantidad, para ser examinadas detalladamente.

2. Antiderivada.

Se llama antiderivada o antidiferenciación al proceso que consiste en recuperar una función

derivada () a su esta inicial o primitiva () en un intervalo , siempre y cuando cumpla

que ′( ) () para toda en . (Thomas & George, 2006).

′( ) () Ecuación 2: Definición de Antiderivada

3. Integral.

La integral tiene muchos campos de aplicación tanto en estadística (cantidades de

probabilidad), economía (promedio del consumo de energía), ciencias en ingeniería (áreas y

volúmenes). En este caso, nos enfocaremos al uso de las integrales en la ingeniería para el

cálculo de áreas y volúmenes, en este campo es donde resalta más la aplicación de la

integración.

3.1

Integral indefinida.

Es el conjunto de todas las antiderivadas de con respecto a , sumada a una constante

arbitraria de integración (Thomas & George, 2006). Se denota de la siguiente manera:

∫ () () +

Ecuación 3: Definición de Integral indefinida.

* Suma de Riemann. Es de vital importancia conocer esta entidad matemática para poder

comprender claramente la siguiente definición (3. b)) acerca de la integral definida.



18

Sea una función definida en el intervalo [; ], y sea ∆ una partición de [; ] dada por

< < < ⋯ < − <

donde ∆ es el ancho del i-ésimo subintervalo. Si es cualquier punto del i-ésimosubintervalo [− , ], entonces la suma

∑()∆

=, − ≤ ≤

Ecuación 4: Suma de Riemann

se denomina SUMA DE RIEMANN de f para la partición ∆. (Larson & Edwards, 2010)

3.2

Integral definida.

Para definir la integral definida, partimos de la Ecuación 4: Suma de Riemann, considerando

que es una función definida en el intervalo [; ], generando el siguiente límite

‖∆‖→ ∑()∆

=

Ecuación 5: Límite de la suma de Riemann

Afirmando la existencia del límite de las sumas de Riemann sobre las particiones ∆, entonces

f es integrable en [; ] y el limite se denota por

‖∆‖→ ∑ ()∆

= ∫ ()

Ecuación 6: Definición de la Integral definida

El límite se lee “integral de a a b de f de x, respecto de x”. (Thomas & George, 2006).

Se tiene el concepto de integral definida, la cual será ampliamente utiliza para el cálculo de

áreas y volúmenes en las ramas de las ciencias e ingeniería.



19

3.2.1 Área debajo de una curva como una integral definida.

Figura 2: Área debajo de una curva como una integral definida

Sea f integrable y no negativa en el intervalo cerrado [, ], entonces el área de la región

acotada por la curva f(x)= y, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b, es la integral de f de a

hasta b.

Á ∫ () () ()

Ecuación 7: Área como integral definida.

4.

Integrales múltiples.Se denominan integrales múltiples a la integral de dos variables f(x,y) sobre una región en el

plano, y a la integral de tres variables f(x,y,z) sobre una región en el espacio, estas integrales

se definen como el límite de las sumas de Riemann, de manera similar a las integrales de una

variable descritas en la sección 33.2 (integral definida), estas integrales múltiples las

Fuente: Cálculo de una variable. (Larson & Edwards, 2010)



20

podemos usar para calcular el volumen de solidos con fronteras curvas. (Thomas & George,

2006).

Considérese una función continua f tal que (, ) ≥ 0 para todo (x,y) en una región R del

plano xy, dada una superficie (, ). Como se muestra en la Figura 3: Superficie, los rectángulos que se encuentran dentro de R forman una partición interior ∆, cuya norma

‖∆‖ está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n rectángulos. Después

se elige un punto f(x,y) en cada rectángulo y se forma el prisma rectangular cuya altura es

f(x,y), Figura 3: Superficie Figura 4: Prisma con área ∆ y altura

(, ). Como el área del i-ésimo rectángulo es ∆, se sigue que el volumen del prisma es

(, )∆, y el volumen de la región solida se puede aproximar por la suma de Riemann de

los volúmenes de los n prismas. Figura 5: Volumen aproximado por prismas.

Figura 3: Superficie Figura 4: Prisma con área ∆ y altura (, )

Figura 5: Volumen aproximado por prismas



21

4.1

Integrales dobles.

Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble

de f sobre R está dada por

∬ (, ) lim‖∆‖→ ∑( , )∆

=

Ecuación 8: Definición Integral Doble.1

siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R.

Volumen de una región sólida

Si f es integrable sobre una región plana R y (, ) ≥ 0 para todo (x,y) entonces el volumen

de la región sólida se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se define como

∬(,)

Ecuación 9:Volumen región sólida.

4.2 Integrales triples.

El procedimiento es similar a la integral doble. Considerar una función f(x,y,z), que es

continua acotada sobre una región sólida Q, a esta región Q se encierra por una red de cubos

y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan en Q, como se

muestra en la figura. Quedando como notación para el volumen de i-ésimo cubo como

1 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, Novena Edición. Capítulo 14. Integración múltiple.



22

∆ ∆∆∇

Ecuación 10: Volumen del i- ésimo cubo

Figura 6: Región sólida Q

Luego, se elige un punto ( , , ), en cada cubo, y se forma la suma de Riemann (Ecuación

11: Suma de Riemann para el volumen). La norma

‖∆‖ de la partición es la longitud de la diagonal

más larga de los n cubos dentro de Q.

Figura 7: Volumen de Q, por sumatoria de cubos.



23

∑ ( , , )∆

=

Ecuación 11: Suma de Riemann para el volumen

Cuando el límite de ‖∆‖ → 0 se llega a la siguiente definición:

Si f es continua sobre una región sólida acotada Q, entonces la integral triple se define como:

∭ ( , , ) lim‖∆‖→ ∑ ( , , )∆=

Ecuación 12: Definición de integral triple

Será válida esta definición, siempre y cuando el límite exista. El volumen de la región Q está dado

por:

∭

Ecuación 13: Volumen del sólido Q

5. Hiperboloide.

Se obtiene, luego de completar cuadrados, tres términos de segundo grado con dos

coeficientes del mismo signo y uno distinto igualado a la unidad, generando la ecuación típica

general 2

2 Universidad de Sevilla. Escuela Superior de Ingenieros. Departamento de Matemática Aplica II. MatemáticaI: 2010-2011. Tema: Cónicas y Cuadráticas. Lectura virtual, enhttp://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1285246626_1262616935.pdf



24

+

{ 101 ; siendo ,, ≠ 0

Ecuación 14: Ecuación cartesiana de un hiperboloide.

5.1 Hiperboloide de una hoja.

El hiperboloide de una hoja (hiperboloide hiperbólico) es simétrico respecto a cada uno de

sus planos coordenados, se representa por la siguiente ecuación

+

1

Ecuación 15: Ecuación cartesiana hiperboloide de una hoja.3

3 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.



25

Figura 8: Hiperboloide de una hoja. 4

Se tiene planos perpendiculares en el eje z, los cuales cortan al hiperboloide en elipses. Los planos

verticales paralelos al eje z cortan al hiperboloide en hipérbolas. (Thomas & George, 2006).

Las secciones determinadas por los planos coordenados son

0; la hipérbola

1

0; la hipérbola

1

0; la elipse

1,

El plano

corta a la superficie en una elipse con centro en el eje z. la superficie es conexa, eso

indica que se puede viajar de un punto a otro en ella sin dejar la superficie, razón por la cual se llama

hiperboloide de una hoja.

4 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.

Para la hipérbola

1

Para la hipérbola

1

La elipse + 2

La elipse +

1



26

5.2 Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elíptico).

1

Ecuación 16: Ecuación de Hiperboloide de dos hojas.

También es simétrico, con respecto a los tres planos coordenados. El plano z =0 no corta a la

superficie, si deseamos que un plano horizontal corte al hiperboloide demos considerar que

|| ≥ . Las secciones transversales son

0 ;

1

0 ;

1

Con vértices y focos en el eje z; queda dividido en dos partes, una por arriba del plano

y otra

por debajo del plano . Los planos perpendiculares al eje por encima y debajo de los vértices

cortarán al hiperboloide en elipses; mientras, que los planos paralelos al eje z cortarán formando

hipérbolas. 5

5 (Thomas & George, 2006) Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.



27

Figura 9: Hiperboloide de dos hojas.

6 Tipos de coordenadas.

6.1. Coordenadas rectangulares.

Este también es llamado sistema cartesiano (en conmemoración de rene descartes), este

sistema de referencia se forma por el corte perpendicular de dos rectas en un punto que sería

el origen. El corte de estas rectar divide en 4 secciones al plano cuales van a determinar elcuadrante. Este punto de dos rectas que se cruzan se llama origen. La recta horizontal la

llamamos eje de las abcisas o el eje de X y a la recta vertical la llamamos eje de las ordenadas

o eje Y.

6.2. Coordenadas cilíndricas.

Es utilizado para poder representar algunos puntos de un espacio euclideo, se refiere a uncierto espacio vectorial normado este es abstracto con normas de Euclides es utilizado por

muchas personas en matemática avanzada que tal vez pueda estar compuesta en múltiples

dimensiones, este sería tridimensional.



28

6.3.Coordenadas esféricas.

Este sistema de coordenadas esféricas al igual que las coordenadas cilíndricas, también se

utiliza en espacios euclideos tridimensionales. Este está constituido por tres ejes estos se

encuentran mutuamente perpendiculares y se cortan en el origen. La primera coordenada

mide la distancia entre un cierto punto y el origen. El ángulo que se debe girar para poder

tener la posición que tiene el punto, es determinado por las otras dos coordenadas.

7 Jacobiano.

Se llama jacobiano o matriz jacobiana, este nombre es en honor al matemático Carl Gustav

jacobi. La matriz jacobiana esta es formada por derivadas parciales de primer orden de una

función. Se puede aplicar para aproximar linealmente a la función en un punto.

8. Circunferencia.

Es lugar geométrico de los puntos P(x1, y1) del plano que equidistan del centro que es un punto fijo. Denotado: “ O “

Para determinar la ecuación de una circunferencia tenemos que conocer:

Tres puntos de la misma que sean equidistantes del punto fijo es decir el centro.

El centro (h, k) y el radio “r”

Un punto y el centro (h, k)

Figura 10: Matriz jacobiana



29

El centro (h, k) y una recta tangente.

Diremos entonces que para cualquier punto P (x1, y1), de una circunferencia cuyo centroC (h, k) y con radio R, la ecuación ordinaria es :

( ℎ) + ( )

Ecuación general de la circunferencia

+ + + + 0

esfera:Se produce al realizar un giro de 360 ° de una semi-circunferencia alrededor de un diámetro.Como sabemos una superficie esférica es el lugar de los puntos del espacio que equidistanen el centro geométrico.

Entonces el espacio limitado por una superficie esférica es una esfera.

Al girar el semicírculo alrededor del diámetro se genera una superficie esférica donde sedeterminan los siguientes elementos tales como:

Centro de la esfera: Es el punto de donde se origina el radio de la esfera ycorresponde o se denota punto O.



30

Radio de la esfera: Es la distancia del centro de la esfera a la superficie de la esfera.

Diámetro de la esfera: Es el segmento que une dos puntos opuestos de la superficie

esférica donde el punto medio es el centro de la esfera :ejemplo “AB o BC o CD...

etc. ”

Una esfera consta de un área y de un volumen

áreaSabemos que la superficie esférica es igual a cuatro veces el área de un círculo.

4 ∗ ∗

volumenEn una esfera es igual.

43 ∗ ∗

Ecuaciones de la esfera

La ecuación se obtiene considerando cualquier punto de la superficie de la esfera punto N

(x, y, z) considerando un radio “R” con centro de la esfera “O (x1, y1, z1,)”

Generalizando tiene como ecuación:

(x x) + (y y) + ( z)

Cilindro:Está limitada por una superficie cilíndrica cerrada lateral y dos planos circunferencia que lacortan en sus bases.

¿Cómo se obtiene el cilindro? Se obtiene mediante el giro de 360° a una superficie

rectangular alrededor de uno de sus lados.

Por sus características un cilindro puede ser:

cilindro rectangular: si el eje del cilindro (pasa por el centro de las circunferencias)es perpendicular a las bases.



31

cilindro oblicuo: si el eje cilindro (no pasa por el centro de las circunferencias) no es perpendicular a las bases.

cilindro de revolución: si está limitado por una superficie de revolución que gira 360°

Las superficies cilíndricas pueden ser:

superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje del

centro paralelo a ella.

superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje del centro que equidiste de

las generatrices.

Área de la superficie cilíndrica

2 ∗ π ∗ r ∗ (r + h)

Volumen del cilindro

Se da del producto del área de la base que es el área de la circunferencia por la altura del

cilindro "h"

El volumen de un cilindro de base circular

π ∗ r ∗ h



32

5. TOMA DE DATOS

Toma de datos de las dimensiones del tanque de floculación de la Planta de Tratamiento y

Recuperación de las Aguas del Río Surco Ing. Alejandro Vinces Araoz antes del rediseño.

FOTO 6: Tanque de floculación.

Fuente: Propia

Como se puede apreciar en la FOTO 6, el tanque tiene una figura Cilíndrica con 6.10m de

diámetro en la base como 5.50m de altura permitiéndole almacenar un máximo de

160.73m ≅ 160 730 L de agua, con la cual satisface la necesidad de brindar agua para

regadío a los distritos de Santiago de Surco, Surquillo y San Borja.



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IMAGEN 1: Plano del diseño anterior del tanque de floculación.

Fuente: Propia

Este servicio que brinda le genera un ingreso económico al distrito, pero si hubiera un tanque

con mayor capacidad de almacenaje podría satisfacer la necesidad de agua a distritos como

Miraflores, La Molina, San Luis, entre otros que requieran este recurso aumentando así los

ingreso d la municipalidad; es por eso que se ha visto la necesidad de rediseñar este tanque pero al ver las limitaciones con el espacio aledaño al tanque se decidió aprovechar la altura,

por eso se eligió rediseñar un nuevo tanque de floculación con una forma de Hiperboloide de

una Hoja, con las siguientes medida, en el radio de la base 5.49m y en el radio superior 4.76m

dando un almacenaje máximo de 1088.98m ≅ 1 088 980 L de agua.



Generando un aumento de 677.5% con respecto al tanque anterior.

IMAGEN 2: Plano del nuevo diseño del tanque de floculación.

Fuente: Propia

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Calculo del volumen del tanque de floculacion aplicando integral triple