Cálculo Diferencial Bien Hecho

7/24/2019 Cálculo Diferencial Bien Hecho

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Calculo Diferencial e IntegralSu Verdadero Espıritu

Universidad del ZuliaFacultad Experimental de Ciencias

Departamento de Matematicas

Profesor Jose Luis Camarillo Nava



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Indice general

1. Modelos Matematicos y Funciones. 5

1.1. Modelos Matematicos y Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. Definicion, dominio y rango de una funcion. . . . . . . 131.1.2. Grafica de funciones. Criterio de la recta vertical . . . . 131.1.3. Funciones pares e impares y simetrıa . . . . . . . . . . 131.1.4. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . 131.1.5. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . 131.1.6. Criterio de la recta horizontal . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Catalogo de funciones I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Funcion potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4. Funciones Polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6. Funciones Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Catalogo de Funciones II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Funciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Funciones Logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3. Funnciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Funciones a partir de Transformaciones . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Traslaciones verticales y horizontales . . . . . . . . . . 131.4.2. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3. Estiramientos y compresiones . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Operaciones con Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Funcionn inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3. Calculo de la funcionn inversa . . . . . . . . . . . . . . 131.5.4. Grafica de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . 13

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Capıtulo 1

Modelos Matematicos y

Funciones.

1.1. Modelos Matematicos y Funciones.

A lo largo de la historia, la humanidad se ha esforzado por entender elfuncionamiento del mundo material. En particular, una disciplina tan antiguacomo la civilizacion, ha demostrado estar muy por encima de las demas cuan-do se ha tratado de proporcionar una explicacion a las complejas estructuras

que forman los objetos del mundo que nos rodea: La Matem atica.La Matematica surgio cuando el hombre comenzo a observar que habita

en un mundo de cambios constantes, pleno de cuerpos en movimiento. Envarios fenomenos, se observan patrones de comportamiento que se repitende forma cıclica con cierta frecuencia: el dıa se vuelve noche, los animalesemigran de una zona en cada cambio de estacion, los paisajes cambian deforma constante.

Surgieron ası los conceptos basicos de espacio, tiempo y cantidad, distan-cia, cambio y numero. En algun momento, la humanidad comenzo a identi-ficar pautas y a establecer relaciones, a contar y a ordenar en su mente el

mundo que le rodeaba.Comprender las matematicas puede incluso ser la diferencia entre vivir y

morir. Por ejemplo, los antiguos egipcios que se asentaron a las orillas del rıoNilo, comenzaron a registrar cada cuanto tiempo este se desbordaba. Pre-decir este evento era fundamental para el exito de su agricultura. Registrarlos patrones de las estaciones les fue esencial tanto para su agricultura co-mo para su religion. Los asentamientos fueron creciendo de modo que losgobernantes necesitaron administrarlos optimizando los recursos: pronto sehizo necesario medir las areas de los terrenos, predecir las cosechas y cargar

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6 CAP ITULO 1. MODELOS MATEM ATICOS Y FUNCIONES.

los impuestos. Nacieron ası los calendarios, sistemas numericos y de medicion.

Otras culturas enfrentaron problemas similares a los que tuvieron los egip-cios. Los babilonios y, especialmente los griegos, hicieron grandes aportes a lasmatematicas. En particular, la civilizacion griega se esforzo por responder aproblemas de la vida cotidiana, pero tambien a ciertos problemas existencia-les como el origen del universo, la estructura de las partıculas que lo forman,entre otros.

Entre los problemas y fenomenos que los matematicos han estudiado sis-tematicamente, desde la epoca de los antiguos griegos, se pueden mencio-

nar: el origen del universo, el origen de la vida, el movimiento planetario, lacantidad de poblacion mundial, la cantidad de precipitaciones en una zonadeterminada, la autenticidad de ciertos documentos, la fabricacion de armas,la administracion y optimizacion de recursos.

Cuando los cientıficos han estudiado fenomenos como los mencionadosarriba, han decubierto que, en varios casos, pueden establecer ecuaciones

que expresen las relaciones que existen en las distintas magnitudes o va-

riables que aparecen en el fenomeno que estudian. Esto permite les permiteentender el fenomeno y, por otro lado, realizar predicciones de comportamien-tos futuros en muchos de los fenomenos que estudian, aunque no en todos.

Por ejemplo, luego de leer los trabajos de sus antecesores, y de revisarciertos datos registrados por varios astronomos, Isaac Newton formulo unmodelo matematico en el que los cuerpos se atraen entre sı con una fuerzaproporcional a una cantidad llamada masa e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre ellos. Esto permite predecir el movimiento delSol, la Luna y los planetas con un alto grado de precision.

Ası pues, un modelo matematico es una descripcion matematica de unfenomeno del mundo real que, para ser considerado como bueno, debe sa-tisfacer como requisitos indispensables: estar formulado con un mınimo de

postulados o parametros arbitrarios, y ser capaz de predecir positivamentelos resultados de observaciones futuras.

Para construir un modelo matematico que sea bueno los cientıficos siguenlos siguientes pasos:



1.1. MODELOS MATEM ATICOS Y FUNCIONES. 7

1) Identificar y etiquetar las distintas variables que aparecen en el fenomeno.

2) Formular un conjunto de axiomas o postulados, que simplifiquen eltratamiento matematico del problema.

3) Registrar un conjunto de datos para luego analizarlos utilizando tablasy tecnicas de registro (graficacion) con el fin de detectar patrones.

4) Obtener un conjunto de ecuaciones que expresen la interdependenciaentre las variables.

Una vez formulado el modelo matematico lo que se hace es utilizar lasherramientas matematicas para establecer conclusiones, hacer interpretacio-nes, ofrecer explicaciones, y hacer predicciones sobre el fenomeno estudiado.Si las predicciones no se a justan a la realidad que se observa al examinar otrosdatos, si tan solo una observacion las contradice, entonces lo que se hace esrefinar el modelo original y proponer otro que sea esencialmente nuevo. Porejemplo, la teorıa de la gravedad formulada por Isaac Newton predecıa unmovimiento ligeramente diferente al que observaban los astronomos para el

planeta Mercurio. Por otro lado, la teorıa de la relatividad general de Einsteinhizo un conjunto de predicciones que se ajustaban mas a las observacionesde la tayectoria de este planeta, lo cual fue crucial para la aceptacion de estanueva teorıa como un mejor modelo matematico que el de Newton.

Es importante entender que un modelo matematico es, en consecuencia,solo una idealizacion de la realidad observada. Por tanto, nunca puede con-siderarse como una representacion totalmente fiel de la realidad. Existe soloen nuestra mente. Cualquier modelo matematico es provisional: aunque losresultados de los experimentos concuerden con las predicciones del modelo,nunca se puede estar seguro de que la proxima vez el resultado vaya o no a

contradecirlas.

Ejemplo Realista 1 (Registros de la Poblacion Mundial): La va-

riacion en la cantidad de la poblacion humana presente en el mundo puedeanalizarse en una tabla anotando su valor por cada ano. Si la variable po-blacion se denota por la letra P (medida en millones de habitantes) y si lavariable tiempo (medida en anos) se designa por la letra t, entonces se tieneel siguiene registro oficial:




Anos Poblacion1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25601960 30401970 37101980 4450

1990 52802000 60802005 65002015 7324

Concretamente, se observa que a medida que pasa el tiempo, entoncesamumenta la poblacion. Ahora bien, resulta de interes responder a preguntascomo las siguientes:

a) ¿Cual era el valor de la poblacion mundial en 1975 ? Es decir, ¿sepuede conocer, a partir de estos datos, el valor de la poblacion que lecorresponde a un ano que no aparezca en la tabla?

b) ¿Se puede estimar el valor de la poblacion mundial para el ano 3025?

c) ¿Cuales son las variables que realmente hacen que se produzca un au-mento de la poblacion humana en el planeta?

d) ¿Por que la poblacion mundial aumenta al ritmo que lo hace?

e) ¿Por que un cambio en el tiempo produce un aumento en la poblacion

y no una disminucion?

Ejemplo Realista 2 (Caıda Libre): El cientıfico italiano Galileo Galileies recordado como uno de los fısicos y matematicos mas importantes de lahistoria. Sus celebres experimentos con objetos en caıda libre registaron losresultados que se describen a continuacion. Sea y(t) la distancia que recorreel objeto luego de t segundos. Entonces, sea u la distancia que recorre elobjeto luego de 1 segundo. Galileo observo que durante el siguiente segundo,el objeto recorre una distancia igual a 3u. Luego, durante el tercer segundo,




observo que el objeto recorre una distancia igual a 5u. Galileo observo pues

que el objeto sigue una ”ley de los numeros impares”: durante el cuartosegundo, el objeto recorre una distancia igual a 7u. La siguiente tabla registralos resultados del experimento de Galileo hasta t = 7:

Tiempo Distanciat y(t)1 1u

2 4u

3 9u

4 16u

5 25u6 36u

7 49u

En este caso, se puede determinar la posicion de la partıcula en cualquierinstante t. Es natural inferir que las variables t y y(t) estan relacionadas porla ecuacion:

y(t) = u · t2

Tal y como en el ejemplo anterior, surgen preguntas tales como:

a) ¿Por que la distancia que recorre la partıcula aumenta a medida quepasa el tiempo?

b) ¿Por que al dejar caer un objeto, en caıda libre, lo que sucede es quetodos caen hacia el centro de la Tierra? ¿Siempre ha sido ası? ¿Sucedelo mismo en otros planetas?

c) Si se dejan caer dos objetos, al mismo tiempo, y a la misma altura,

¿caen ambos al suelo en el mismo instante? ¿por que? ¿por que en suviaje no describen sino una trayectoria en lınea recta?

d) ¿Se puede conocer la posicion del objeto en cualquier instante del tiem-po?

e) ¿Se observan los mismos resultados que obtuvo Galileo, independiente-mente del peso, forma y otras cualidades del objeto? Y si el experimentose realiza a ciertas alturas o en otro paıs, ¿se obtendrıan los mismosresultados?




f) ¿Que es exactamente esa constante ”u”que aparece en la formula?

El hecho de que una determinada variable dependa de otra se presentaen una gran cantidad de situaciones importantes. Problemas y fenomenos delmundo material y tambien del mundo ideal.Por ejemplo:

1) En Geometrıa, los matematicos han demostrado que el area A de uncıculo depende unicamente de la longitud de su radio r. Concretamente,a mayor radio corresponde mayor area y han logrado establecer conexactitud la relacion entre A y r mediante la ecuacion

A = π · r2

Analogamente, el volumen, V ,de una esfera de radio r depende unica-mente de su radio. En este caso, la relaci on es:

V = 4

3 · π · r3

2) La cantidad de distancia recorrida por un objeto en caıda libre dependeunicamente, si se ignoran los efectos que resultan de la resistencia alaire, del tiempo. Los experimentos de Galileo Galilei mostraron que, siy(t) es la distancia recorrida por el ob jeto luego de t segundos, entonces:

y(t) = g · t2

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3) El numero N de bacterias presentes en un cultivo depende unicamentedel tiempo t. Por ejemplo, si un cultivo comienza con 1000 bacterias y,si la poblacion se duplica cada hora, entonces se deduce f acilmente quedespues de t horas el numero de bacterias es:

N = 1000 · 2t

4) Sea c el capital prestado a una tasa de interes i, luego de t meses.Entonces, luego de t meses, el capital se convierte (en virtud del interesacordado) en c(1+i)t. Si se designa por C a este nuevo capital, entoncesse tiene la ecuacion:

C = c(1 + i)t

En Matematicas Financieras, esta ecuacion se conoce como la formuladel interes compuesto.




5) Cuando se realizan compras a distancia, el costo, C , del producto adqui-

rido, depende del peso del mismo. Cada companıa tiene una regla queasigna un valor diferente a cada artıculo dependiendo de esta variable.

En todos estos casos se tiene un fenomeno o problema en el que unavariable x depende de otra variable y. En Matematicas, se dice que la se-gunda cantidad depende de la primera o que es una funcion de esta. Masprecisamente, se tiene la siguiente:

Definicion 1.1. Una funci´ on f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A, un ´ unico elemento, denotado

por f (x), de un conjunto B.

Esta definicion resulta muy vaga para el matematico. La definicion formalse logra mediante el uso del concepto (primitivo) de conjunto. Un conjunto A

es una coleccion de objetos. A los objetos de un conjunto se les llama tambienelementos del mismo. Se dice que los elementos pertenecen al conjunto. Paradenotar el hecho de que el elemento x pertenece al conjunto A, se escribe:

x ∈ A

Definicion 1.2. Sean A, B conjuntos de n´ umeros. El producto cartesiano

entre A y B, es el conjunto A × B, definido por:

A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}

Ası, para el ejemplo del crecimiento de la poblacion humana mundial,sean

P = {1650, 1750, 1860, 2070, 2300, 2560, 3040, 3710, 4450, 5280, 6080, 6500, 7234}

y

T = {1900, 1910, 1920, 1930, 1940, 1950, 1960, ..., 2015}

Entonces, es claro que T × P es el conjunto de pares ordenados que cons-tituyen los datos que brindan los registros oficiales. Ası, el par (1900, 1650)es el primero de estos pares, mientras que (2015, 7234) es el ultimo. Como yase dijo, se supone que existe una relacion(vınculo o conexion) entre las dosvariables involucradas naturalmente en este fenomeno: t y P .

Eso conduce a enunciar la siguiente:




Definicion 1.3. Sean A y B dos conjuntos. Se llama relaci´ on de A en B a

cualquier subconjunto del producto cartesiano A×B. Usualmente se denotan por la letra R. Si el par (x, y) pertenece a la relaci´ on R, tambien se escribe:

xRy

En tal caso, se dice que x est´ a relacionado con y o que y le corresponde (mediante R) a x.

Ahora bien, observese que, en todos los fenomenos senalados como ejem-plo, a cada valor de la primera variable le corresponde un unico valor de lasegunda. Por ejemplo, a cada ano le corresponde un determinao valor de lapoblacion mundial y, ademas, solo le corresponde uno. ¡Al ano 1900 no lepueden corresponder dos valores diferentes para la poblacion humana mun-dial! Analogamente, en el ejemplo de caıda libre, en cada instante del tiempo,el objeto ocupa una posicion y solo una a la vez.

Estas observaciones conducen a enunciar la siguiente:

Definicion 1.4. Sean A, B dos conjuntos. Una funci´ on de A en B es una relaci´ on de A en B con la propiedad de que cada elemento x ∈ A le corres-ponde un ´ unico elemento y ∈ B. M´ as formalmente, se dice que la relaci´ on,R : A −→ B , es una funci´ on si, y s´ olo si se tiene que:

1) Si x ∈ A, entonces existe un y ∈ B tal que xRy.

2) Si xRy y xRy para ciertos x ∈ A y y, y ∈ B , entonces y = y .

Ası, se dice que y es la imagen de x por medio de la funcion (regla) f yse suele escribir:

y = f (x)



1.2. CAT ´ ALOGO DE FUNCIONES I 13

1.1.1. Definicion, dominio y rango de una funcion.

1.1.2. Grafica de funciones. Criterio de la recta vertical

1.1.3. Funciones pares e impares y simetrıa

1.1.4. Funciones crecientes y decrecientes

1.1.5. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

1.1.6. Criterio de la recta horizontal

1.2. Catalogo de funciones I1.2.1. Funcion constante

1.2.2. Funcion potencia

1.2.3. Funcion valor absoluto

1.2.4. Funciones Polinomicas

1.2.5. Funciones Racionales

1.2.6. Funciones Irracionales

1.3. Catalogo de Funciones II

1.3.1. Funciones Exponenciales

1.3.2. Funciones Logarıtmicas

1.3.3. Funnciones Trigonometricas

1.4. Funciones a partir de Transformaciones1.4.1. Traslaciones verticales y horizontales

1.4.2. Reflexiones

1.4.3. Estiramientos y compresiones

1.5. Operaciones con Funciones

1.5.1. Composicion de Funciones

1.5.2. Funcionn inversa

1.5.3. Calculo de la funcionn inversa

1 5 4 Grafica de la funcion inversa

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