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Tema 6
Cálculo diferencial de funciones de una variable
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Índice Esquema 3
Ideas clave 4
6.1. Introducción y objetivos 4
6.2. Conceptos previos 5
6.3. Función derivada 8
6.4. Cálculo de derivadas 12
6.5. Actividades resueltas para practicar 26
6.6. Referencias bibliográficas 29
A fondo 30
Test 32
Tema 6. Esquema
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Esquema
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Tema 6. Ideas clave
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Ideas clave
6.1. Introducción y objetivos
n economía es muy importante estudiar el comportamiento que tienen
unas magnitudes en función de las variaciones de otras. Por ejemplo, es
interesante estudiar la variación de los precios a lo largo del tiempo o cómo
varía la producción de una empresa en función de sus beneficios. De hecho, las
funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las
funciones costo, ingreso, beneficio y producción total.
Comenzaremos este tema con la introducción de la tasa de variación media. La tasa
de variación media permite estudiar cómo afecta a la cantidad que los consumidores
comprarán de un determinado producto un pequeño cambio en el precio de dicho
producto.
Además, profundizamos en la herramienta del análisis de las funciones reales a través
de una de las herramientas más potentes del cálculo matemático: la derivación de
funciones reales. Previo a tratar el cálculo de derivadas se estudiarán los
fundamentos teóricos del cálculo diferencial partiendo del concepto de tasa de
variación media.
Una vez establecidos sus fundamentos estudiaremos la interpretación teórica y
gráfica de la derivada de una función, sus propiedades y sus reglas operativas.
El presente tema se introducirán las herramientas matemáticas necesarias para
cuantificar la variación de una magnitud dada.
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Tema 6. Ideas clave
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Así, los objetivos que se pretenden conseguir son:
Comprender el concepto de derivada de una función.
Entender la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
Analizar la repercusión de la continuidad de las funciones en la derivabilidad de
estas.
Calcular derivadas.
Saber interpretar las derivadas inmediatas entendiendo la fórmula de la derivada
de una función.
6.2. Conceptos previos
onsideramos una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y dos puntos sobre el eje de abscisas a y a+h
siendo h un número real que corresponde al incremento de x, ∆𝑥𝑥 = ℎ. Se
llama tasa de variación de la función en el intervalo [𝑎𝑎,𝑎𝑎 + ℎ], que se
representa por ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) a la diferencia del valor final con el valor final:
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
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Tema 6. Ideas clave
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Figura 1. Función I
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media en el intervalo [𝑎𝑎,𝑎𝑎 + ℎ], al cociente entre la tasa
de variación y la amplitud del intervalo:
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥
=𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
ℎ
Nota: para entender el concepto de derivada de una función te recomiendo que
accedas al recurso titulado ¿Qué es y para qué sirve una derivada?, donde, de una
manera muy sencilla, entenderás la información que aporta.
Ejemplo
Determinar la tasa de variación media para la siguiente función: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 −
1.
La tasa de variación media es:
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥
Tema 6. Ideas clave
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El incremento de la función se obtiene con ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎), entonces:
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3(𝑎𝑎 + ℎ)2 + 2(𝑎𝑎 + ℎ) − 1 − (3𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎 − 1)
= 3(𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎ℎ + ℎ2) + 2𝑎𝑎 + 2ℎ − 1 − 3𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1
= 3𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎ℎ + 3ℎ2 + 2𝑎𝑎 + 2ℎ − 1 − 3𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1
= 6𝑎𝑎ℎ + 3ℎ2 + 2ℎ
= (6𝑎𝑎 + 3ℎ + 2)ℎ
Dividiendo entre ∆𝑥𝑥 y simplificando, se tiene la tasa de variación media:
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥
=(6𝑥𝑥 + 3ℎ + 2)ℎ
ℎ= 6𝑥𝑥 + 3ℎ + 2
Interpretación geométrica de la derivada
La expresión de la tasa de variación media coincide con la pendiente de la recta secante
a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), que pasa por los puntos (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) y (𝑎𝑎 + ℎ, 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ)):
𝑚𝑚 =𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑎𝑎 + ℎ − 𝑎𝑎=𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
ℎ
Cuando se toma el límite, cuando h tiende a cero, los puntos a y 𝑎𝑎 + ℎ, tienden a ser el
mismo y, por tanto, la recta secante tiende a la recta tangente a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), siendo
m la pendiente de la recta tangente de ecuación:
𝑦𝑦 − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑚𝑚 · (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
Siendo m la pendiente de la recta tangente:
𝑚𝑚 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑓𝑓(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)ℎ
Tema 6. Ideas clave
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Derivada de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto 𝑥𝑥0
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un
cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
∆𝑓𝑓(𝑥𝑥)∆𝑥𝑥
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)ℎ
Ejemplo
Hallar la derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 en el punto x=2:
𝑓𝑓′(2) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑓𝑓(2 + ℎ) − 𝑓𝑓(2)ℎ
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
4 · (2 + ℎ)2 − 4 · (2)2
ℎ=
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
4 · (ℎ2 + 4ℎ + 4) − 4 · (2)2
ℎ= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
ℎ→0
4ℎ2 + 16ℎ + 16 − 16ℎ
=
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
ℎ(4ℎ + 16)ℎ
= 16
6.3. Función derivada
a función derivada de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es una función que asocia a cada
número real su derivada, si existe. Se denota por 𝑓𝑓′(𝑥𝑥).
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
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Tema 6. Ideas clave
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Ejemplo
La función derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1 es:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 1 − (𝑥𝑥02 − 𝑥𝑥0 + 1)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
=
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥02 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥0 + 1 − 1𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥02) − (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
=
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥0) − (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)[(𝑥𝑥 + 𝑥𝑥0) − 1]𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑥𝑥 + 𝑥𝑥0 − 1 = 2𝑥𝑥0 − 1
Derivadas laterales
La derivada de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto 𝑥𝑥0 se define como el límite de su
cociente incremental en dicho punto, lo que implica existencia y unicidad de sus
límites laterales.
Las derivadas laterales de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto 𝑥𝑥0 vienen definidas por los
correspondientes límites laterales de su cociente incremental 𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥−𝑥𝑥0
en dicho
punto x0.
Derivada por la derecha
𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
Derivada por la izquierda
𝑓𝑓𝑖𝑖′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
Tema 6. Ideas clave
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Si una función real 𝑓𝑓(𝑥𝑥) posee derivadas laterales en un punto 𝑥𝑥0, y se verifica que
ambas son iguales, entonces la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es derivable en dicho punto 𝑥𝑥0 y se tiene
que:
𝑓𝑓𝑑𝑑′(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓𝑖𝑖′(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0)
En otras palabras, si la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es derivable en 𝑥𝑥0, su derivada es única.
Como corolario, se podría demostrar que si no existiera alguna de las derivadas
laterales de una función real 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un determinado punto 𝑥𝑥0, o si de existir estas
no son idénticas, la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no es derivable en el punto 𝑥𝑥0.
Ejemplo
Estudiar la derivabilidad de la función:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �−𝑥𝑥2 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑥𝑥 < 0
𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑥𝑥 ≥ 0
Para estudiar la derivabilidad de la función calculamos las derivadas laterales:
𝑓𝑓𝑖𝑖′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0−
−𝑥𝑥2 − 02
𝑥𝑥 − 0= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
𝑥𝑥→0−−𝑥𝑥 = 0
𝑓𝑓𝑑𝑑′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0+
𝑥𝑥 − 0𝑥𝑥 − 0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0+
𝑥𝑥𝑥𝑥
= 1
La función no es derivable en x=0.
Derivada y continuidad
Por la propia definición de derivada se deduce que si una función real 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es
diferenciable en un punto 𝒙𝒙𝟎𝟎, la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ha de ser continua en dicho punto 𝒙𝒙𝟎𝟎.
Tema 6. Ideas clave
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Decimos que una función real 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es continua en un punto 𝒙𝒙𝟎𝟎 si existe el 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒙𝒙𝟎𝟎
𝒇𝒇(𝒙𝒙)
y este coincide con el valor de la función en dicho punto 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎) ⇒ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒙𝒙𝟎𝟎
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎).
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎) 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑎𝑎𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 ⇒ 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎) 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎
La inversa no es siempre cierta ya que una función real 𝒇𝒇(𝒙𝒙), continua en un punto
𝒙𝒙𝟎𝟎, puede no ser diferenciable en dicho punto.
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎) 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑐𝑐𝑎𝑎 ⇏ 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝟎𝟎) 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑓𝑓𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑎𝑎𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑
Ejemplo
Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �1 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑥𝑥 ≥ 0. Estudiamos la continuidad en x=0:
𝑓𝑓(0) = 0; lim𝑥𝑥⟶0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �lim𝑥𝑥⟶0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥⟶0−
1 = 1lim𝑥𝑥⟶0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥⟶0+
𝑥𝑥 = 0
Como los límites laterales no coinciden, la función no es continua y por tanto no es
derivable.
Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �0 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑙𝑙 𝑥𝑥 ≥ 0. Estudiamos la continuidad en x=0:
𝑓𝑓(0) = 0; lim𝑥𝑥⟶0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �lim𝑥𝑥⟶0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥⟶0−
0 = 0lim𝑥𝑥⟶0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥⟶0+
𝑥𝑥 = 0
Como los límites laterales coinciden, la función es continua y por tanto podemos
estudiar la derivabilidad:
𝑓𝑓𝑖𝑖′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(0)𝑥𝑥 − 0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0−
0 − 0𝑥𝑥
= 0
Tema 6. Ideas clave
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𝑓𝑓𝑑𝑑′(𝑥𝑥0) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(0)𝑥𝑥 − 0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0+
𝑥𝑥 − 0𝑥𝑥
= 1
Por tanto, la función no es derivable.
Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 , la función es continua en x=0, por tanto podemos
estudiar si es derivable en x=0
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0
𝑥𝑥3 − 0𝑥𝑥 − 0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→0
𝑥𝑥2 = 0
Por tanto, la función es derivable en x=0.
6.4. Cálculo de derivadas
Derivada de una constante
Sea 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑘𝑘 con k ∈ ℝ, la derivada 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 0.
Vamos a demostrarlo usando la definición de derivada:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑘𝑘 − 𝑘𝑘𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
0𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 0
Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5 ⟹ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0
Tema 6. Ideas clave
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Derivada de una función afín
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 con a, b ∈ ℝ, la derivada es 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎.
Vamos a demostrar la derivada de una función afín usando la definición de derivada:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 − (𝑎𝑎𝑥𝑥0 + 𝑑𝑑)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑥𝑥0𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
=
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑎𝑎
Ejemplo
Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 + 4 ⟹ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −3
Como casos particulares de la función afín:
La derivada de la función identidad
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 con 𝑎𝑎 = 1, 𝑑𝑑 = 0 , la derivada es 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1.
Vamos a demostrar la derivada de la función identidad usando la definición de
derivada:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 1
Tema 6. Ideas clave
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La derivada de la función lineal
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 con 𝑎𝑎 ∈ ℝ, 𝑑𝑑 = 0 , una función lineal la derivada es 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎.
Vamos a demostrar la derivada de una función lineal usando la definición de
derivada:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑥𝑥0𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑥𝑥0
𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0
= 𝑎𝑎
Derivada de una función potencial
Función potencial con base x
Sea 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝒏𝒏 con 𝑑𝑑 ∈ ℤ, la derivada es 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒏𝒏 · 𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏. Para calcular la derivada
de una función potencial, el exponente multiplica a la x y esta queda elevada a una
unidad menos.
Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 entonces 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2 · 𝑥𝑥
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥2
= 𝑥𝑥−2 entonces 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −2 · 𝑥𝑥−3 = − 2𝑥𝑥3
Función potencial con base 𝒖𝒖(𝒙𝒙)
En lugar de tener una función potencial con base x, podemos tener una función
potencial con base una función 𝒖𝒖(𝒙𝒙), 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖(𝒙𝒙)𝒏𝒏, entonces su derivada es:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑 · 𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑛𝑛−1 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥)
Tema 6. Ideas clave
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Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (3𝑥𝑥 + 5)2entonces su derivada es:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2 · (3𝑥𝑥 + 5) · 3 = 6 · (3𝑥𝑥 + 5)
Derivada de una constante por una función
Sea 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 · 𝒖𝒖(𝒙𝒙) con 𝑘𝑘 ∈ ℝ, la derivada es 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙).
Ejemplo
Dada:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥2 ⟹ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2 · 8𝑥𝑥 = 16𝑥𝑥
Derivada de una raíz
Derivada de una raíz cuadrada con radicando x
Sea 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 , la derivada es 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏𝟐𝟐√𝒙𝒙
.
La derivada de una raíz es un caso particular de la derivada de una función potencial.
Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función
potencial:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 = 𝑥𝑥12 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
12𝑥𝑥12−1 =
12𝑥𝑥−
12 =
1
2𝑥𝑥12
=1
2√𝑥𝑥
Derivada de una raíz cuadrada con radicando 𝒖𝒖(𝒙𝒙):
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑐𝑐(𝑥𝑥), la derivada es 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 12�𝑢𝑢(𝑥𝑥)
· 𝑐𝑐′(𝑥𝑥).
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Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función
potencial:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑐𝑐(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐(𝑥𝑥)12 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
12𝑐𝑐(𝑥𝑥)
12−1 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =
12𝑥𝑥−
12 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =
=1
2𝑐𝑐(𝑥𝑥)12
· 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =1
2�𝑐𝑐(𝑥𝑥)· 𝑐𝑐′(𝑥𝑥)
Derivada de una raíz de orden n con radicando x:
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥𝑛𝑛 , una función con raíz de orden n, la derivada es 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 1𝑛𝑛 √𝑥𝑥𝑛𝑛−1𝑛𝑛 .
Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función
potencial:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥1𝑛𝑛 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
1𝑑𝑑𝑥𝑥1𝑛𝑛−1 =
1𝑑𝑑𝑥𝑥1−𝑛𝑛𝑛𝑛 =
1𝑑𝑑𝑥𝑥−
𝑛𝑛−1𝑛𝑛 =
1
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛−1𝑛𝑛
=1
𝑑𝑑√𝑥𝑥𝑛𝑛−1𝑛𝑛
Derivada de una raíz de orden n con radicando 𝒖𝒖(𝒙𝒙):
Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑛𝑛 , una función con raíz de orden n, la derivada es 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =1
𝑛𝑛 �𝑢𝑢(𝑥𝑥)𝑛𝑛−1𝑛𝑛 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥).
Vamos a ver que su derivada se puede calcular expresando la raíz como una función
potencial:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑛𝑛 = 𝑐𝑐(𝑥𝑥)1𝑛𝑛 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
1𝑑𝑑𝑐𝑐(𝑥𝑥)
1𝑛𝑛−1 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =
1𝑑𝑑𝑐𝑐(𝑥𝑥)
1−𝑛𝑛𝑛𝑛 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =
=1𝑑𝑑𝑐𝑐(𝑥𝑥)−
𝑛𝑛−1𝑛𝑛 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =
1
𝑑𝑑𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑛𝑛−1𝑛𝑛
· 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) =1
𝑑𝑑�𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑛𝑛−1𝑛𝑛 · 𝑐𝑐′(𝑥𝑥)
Tema 6. Ideas clave
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Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √3𝑥𝑥:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √3𝑥𝑥 = (3𝑥𝑥)12 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
12
(3𝑥𝑥)12−1 =
12
(3𝑥𝑥)−12 =
1
2(3𝑥𝑥)12
=1
2√3𝑥𝑥
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 = (𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥)12 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
12√𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥
· (2𝑥𝑥 − 5)
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √4𝑥𝑥3 :
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √4𝑥𝑥3 = (4𝑥𝑥)13 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
13
(4𝑥𝑥)13−1 =
13
(4𝑥𝑥)−23 =
1
3(4𝑥𝑥)23
=1
3�(4𝑥𝑥)23
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 :
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥3 = (𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥)13 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
1
3�(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥)23 · (2𝑥𝑥 − 2)
Derivada del logaritmo
La derivada de un logaritmo de x de base 𝑎𝑎 ∈ ℝ viene dada por:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒂𝒂 𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) =𝟏𝟏
𝒙𝒙 · 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂
Tema 6. Ideas clave
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La derivada de un logaritmo de una función de 𝑥𝑥, 𝒖𝒖(𝒙𝒙) y base 𝑎𝑎 ∈ ℝ, viene dada por:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒂𝒂 𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) =𝟏𝟏
𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂· 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
Para el cao particular del logaritmo neperiano de x, la derivada es:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) =𝟏𝟏𝒙𝒙
Y el logaritmo neperiano de una función de 𝑥𝑥,𝒖𝒖(𝒙𝒙), la derivada es:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) =𝟏𝟏
𝒖𝒖(𝒙𝒙)· 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log5 𝑥𝑥:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =1
𝑥𝑥 · ln 5
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log5( 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥):
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =1
(𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥) · ln 5· (2𝑥𝑥 − 5)
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(−3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥):
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =1
(−3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥) · (−6𝑥𝑥 + 2)
Tema 6. Ideas clave
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Derivada de la función exponencial
La derivada de una función exponencial de base un número 𝑎𝑎 ∈ ℝ y exponente x
viene dada por:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 · 𝐥𝐥𝐥𝐥𝒂𝒂
La derivada de una función exponencial de base un número 𝑎𝑎 ∈ ℝ y exponente una
función de x, u(x), viene dada por:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒂𝒂 · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
Cuando la base de la función exponencial es el número e y el exponente es x, la
derivada viene dada por:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒙𝒙 · 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒆𝒆 = 𝒆𝒆𝒙𝒙
Cuando la base de la función exponencial es el número e y el exponente es una
función de x, u(x), la derivada viene dada por:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒆𝒆 · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 · ln 5
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5(𝑥𝑥2+3𝑥𝑥):
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 5(𝑥𝑥2+3𝑥𝑥) · ln 5 · (2𝑥𝑥 + 3)
Tema 6. Ideas clave
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Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑√2𝑥𝑥:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑√2𝑥𝑥 ·1
2√2𝑥𝑥· 2 = 𝑑𝑑√2𝑥𝑥 ·
1√2𝑥𝑥
Derivada de las funciones trigonométricas
Las derivadas de las funciones trigonométricas son:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬 𝒙𝒙 ;𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬 𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬 𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = −𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥 𝒙𝒙 ;𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬 𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = −𝐬𝐬𝐬𝐬𝐥𝐥𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐥𝐥𝒙𝒙 ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) =𝟏𝟏
𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐𝒙𝒙;𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐥𝐥𝒖𝒖(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝒖𝒖′(𝒙𝒙)
También existen derivadas de las funciones secante, cosecante y tangente, puedes
consultar sus derivadas en la tabla de derivadas que hay al final del apartado.
Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥√𝑥𝑥:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = cos 𝑥𝑥√𝑥𝑥 ·32
· 𝑥𝑥32−1 = cos 𝑥𝑥√𝑥𝑥 ·
32
· 𝑥𝑥12 =
32
· √𝑥𝑥 · cos 𝑥𝑥√𝑥𝑥
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cos(5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥):
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = sin(5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥) · (10𝑥𝑥 + 3) = (10𝑥𝑥 + 3) sin(5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥)
Derivada de las operaciones con funciones
Hemos visto cómo se derivan las funciones. Ahora vamos a ver cómo se comporta la
derivada con las operaciones de suma, producto, cociente y la composición de
funciones.
Tema 6. Ideas clave
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Derivada de la suma de funciones
La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una de las
funciones:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖(𝒙𝒙) + 𝒗𝒗(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖′(𝒙𝒙) + 𝒗𝒗′(𝒙𝒙)
Ejemplo
Dada la función:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 5) ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3
Nota: en este video titulado Derivada de la suma de funciones, puedes ver un ejemplo
de cómo se realiza.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Tema 6. Ideas clave
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Derivada del producto de funciones
La derivada del producto de funciones sigue una regla especial, es la derivada de la
primera función por la segunda sin derivar más primera sin derivar por la derivada de
la segunda función:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝒗𝒗(𝒙𝒙) ⇒ 𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖′(𝒙𝒙) · 𝒗𝒗(𝒙𝒙) + 𝒖𝒖(𝒙𝒙) · 𝒗𝒗′(𝒙𝒙)
Ejemplo
Dada la función:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥) · (5𝑥𝑥3 + 4) ⇒
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (2𝑥𝑥 − 3) · (5𝑥𝑥3 + 4) + (𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥) · (15𝑥𝑥2) =
= 10𝑥𝑥4 + 8𝑥𝑥 − 15𝑥𝑥3 − 12 + 15𝑥𝑥4 − 45𝑥𝑥3 = 25𝑥𝑥4 − 60𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥 − 12
Nota: en este video titulado Derivada de un producto, puedes ver un ejemplo de
cómo se realiza la derivada del producto de funciones.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Tema 6. Ideas clave
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Derivada del cociente de funciones
La derivada del cociente de funciones sigue una regla especial, es la derivada del
numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la
derivada del denominador entre el denominador, sin derivar, al cuadrado:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐(𝑥𝑥) · 𝑣𝑣(𝑥𝑥) ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐′(𝑥𝑥) · 𝑣𝑣(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐(𝑥𝑥) · 𝑣𝑣′(𝑥𝑥)
Ejemplo
Dada la función:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥
=
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =10𝑥𝑥 · (𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥) − (5𝑥𝑥2 + 3) · (2𝑥𝑥 − 2)
(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥)2 =
=10𝑥𝑥3 − 20𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥3 + 10𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 6
(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥)2 =−10𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 6
(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥)2
Nota: en este video titulado Derivada de un cociente de funciones, puedes ver un
ejemplo de cómo se realiza.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Tema 6. Ideas clave
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Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena
Para la composición de funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐(𝑣𝑣(𝑥𝑥)), su derivada se calcula aplicando
la regla de la cadena que consiste en:
𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖′�𝒗𝒗(𝒙𝒙)� · 𝒗𝒗′(𝒙𝒙)
Ejemplo
Dada 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �√2𝑥𝑥 + 3�3:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3�√2𝑥𝑥 + 3�2
· (2) = 6 · (2𝑥𝑥 + 3)
Nota: cuando practiques con el cálculo de derivadas podrás comprobar los resultados
de las derivadas de las funciones consultando el recurso Calculadora de derivadas,
disponible en la sección A fondo.
Nota: en este video titulado Derivada de la composición de funciones, puedes ver un
ejemplo de cómo se realiza la derivada de la composición de funciones.
Accede al vídeo a través del aula virtual
Tema 6. Ideas clave
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Derivadas sucesivas
Al ser la derivada 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) de una función real 𝑓𝑓(𝑥𝑥) una nueva función real, podemos
volver a aplicar nuevamente la definición de derivada de una función:
𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
𝒇𝒇(𝒙𝒙 + ∆𝒙𝒙) − 𝒇𝒇(𝒙𝒙)(𝒙𝒙 + ∆𝒙𝒙) − 𝒙𝒙
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
∆𝒇𝒇(𝒙𝒙)∆𝒙𝒙
=𝒅𝒅𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙
𝒇𝒇′′(𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
𝒇𝒇′(𝒙𝒙 + ∆𝒙𝒙) − 𝒇𝒇′(𝒙𝒙)(𝒙𝒙 + ∆𝒙𝒙) − 𝒙𝒙
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
∆𝒇𝒇′(𝒙𝒙)∆𝒙𝒙
=𝒅𝒅𝒇𝒇′(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙
𝒇𝒇′′′(𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
𝒇𝒇′′(𝒙𝒙 + ∆𝒙𝒙) − 𝒇𝒇′′(𝒙𝒙)(𝒙𝒙 + ∆𝒙𝒙) − 𝒙𝒙
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍∆𝒙𝒙→𝟎𝟎
∆𝒇𝒇′′(𝒙𝒙)∆𝒙𝒙
=𝒅𝒅𝒇𝒇′′(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙
Figura 2. Derivada de una función
Tabla de derivadas inmediatas
Supongamos las siguientes identidades: 𝒖𝒖 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ∧ 𝒗𝒗 = 𝒈𝒈(𝒙𝒙).
(𝒌𝒌)′ = 𝟎𝟎 (𝒖𝒖 + 𝒗𝒗)′ = 𝒖𝒖′ + 𝒗𝒗′
(𝒌𝒌 ∙ 𝒖𝒖)′ = 𝒌𝒌 ∙ 𝒖𝒖′ (𝒖𝒖 − 𝒗𝒗)′ = 𝒖𝒖′ − 𝒗𝒗′
(𝒖𝒖𝒏𝒏)′ = 𝒏𝒏 ∙ 𝒖𝒖𝒏𝒏−𝟏𝟏 ∙ 𝒖𝒖′ (𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗)′ = 𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗′ + 𝒖𝒖′ ∙ 𝒗𝒗
(𝒆𝒆𝒖𝒖)′ = 𝒆𝒆𝒖𝒖 ∙ 𝒖𝒖′ �𝒖𝒖𝒗𝒗�′
=𝒗𝒗 ∙ 𝒖𝒖′ − 𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗′
𝒗𝒗𝟐𝟐
S’
f’ (x)
S T
a
F
U V W
a
f (x) f’’ (x) f’’’ (x)
T’ U’ V’
Tema 6. Ideas clave
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(𝒂𝒂𝒖𝒖)′ = 𝒂𝒂𝒖𝒖 ∙ 𝒖𝒖′ ∙ 𝒍𝒍𝒏𝒏𝒂𝒂 �𝟏𝟏𝒖𝒖�′
=−𝒖𝒖′
𝒖𝒖𝟐𝟐
(𝒍𝒍𝒐𝒐𝒈𝒈𝒂𝒂 𝒖𝒖)′ =𝒖𝒖𝒖𝒖
′∙ 𝒍𝒍𝒐𝒐𝒈𝒈𝒂𝒂 𝒆𝒆 (𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 𝒖𝒖)′ = −
𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒖𝒖𝒐𝒐𝒍𝒍𝒏𝒏𝟐𝟐 𝒖𝒖
∙ 𝒖𝒖′
(𝒍𝒍𝒏𝒏𝒖𝒖)′ =𝒖𝒖′
𝒖𝒖 (𝒐𝒐𝒆𝒆𝒄𝒄𝒖𝒖)′ =
𝒐𝒐𝒍𝒍𝒏𝒏𝒖𝒖𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐 𝒖𝒖
∙ 𝒖𝒖′
(𝒐𝒐𝒍𝒍𝒏𝒏𝒖𝒖)′ = 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒖𝒖 ∙ 𝒖𝒖′ (𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 𝒖𝒖)′ =−𝟏𝟏
𝒐𝒐𝒍𝒍𝒏𝒏𝟐𝟐 𝒖𝒖∙ 𝒖𝒖′
(𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒖𝒖)′ = −𝒐𝒐𝒍𝒍𝒏𝒏𝒖𝒖 ∙ 𝒖𝒖′ (𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒐𝒐𝒍𝒍𝒏𝒏𝒖𝒖)′ =𝟏𝟏
√𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝟐𝟐∙ 𝒖𝒖′
(𝒄𝒄𝒂𝒂𝒏𝒏𝒖𝒖)′ =𝟏𝟏
𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝟐𝟐 𝒖𝒖∙ 𝒖𝒖′ (𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐𝒖𝒖)′ = −
𝟏𝟏√𝟏𝟏 − 𝒖𝒖𝟐𝟐
∙ 𝒖𝒖′
(𝒖𝒖𝒗𝒗)′ = 𝒗𝒗 ∙ 𝒖𝒖𝒗𝒗−𝟏𝟏 ∙ 𝒖𝒖′ + 𝒖𝒖𝒗𝒗 ∙ 𝒍𝒍𝒏𝒏𝒖𝒖 ∙ 𝒗𝒗′
6.5. Actividades resueltas para practicar
Actividad 1
Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x2 en x=2.
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
𝑓𝑓(2 + ℎ) − 𝑓𝑓(2)ℎ
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
(2 + ℎ)2 − 22
ℎ= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
ℎ→0
4 + ℎ2 + 4ℎ − 4ℎ
=
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
ℎ2 + 4ℎℎ
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
ℎ(ℎ + 4)ℎ
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚ℎ→0
(ℎ + 4) = 4
Actividad 2
Calcula la derivada de la función:
Tema 6. Ideas clave
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𝑓𝑓′(𝑎𝑎) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑎𝑎
−2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 2𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑎𝑎
−2(𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2) + 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
== 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑎𝑎
−2(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) + (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)𝑥𝑥 − 𝑎𝑎
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥→𝑎𝑎
−2(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) + 1
= −4𝑎𝑎 + 1
Actividad 3
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 1𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2
3+ √2𝑥𝑥 − √3
ℎ(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥5
5− 2𝑥𝑥2
3+ 2
3
𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥− 2
𝑥𝑥3+ √3
√𝑥𝑥
Soluciones:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 1𝑥𝑥
; 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥−1; 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥−2; 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥2
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2
3+ √2𝑥𝑥 − √3;𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3 − 1
3𝑥𝑥2 + √2𝑥𝑥 − √3;
𝑔𝑔′(𝑥𝑥) = 9𝑥𝑥2 −23𝑥𝑥 + √2
ℎ(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥5
5− 2𝑥𝑥2
3+ 2
3; ℎ′(𝑥𝑥) = 15𝑥𝑥4
5− 4𝑥𝑥
3;ℎ′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥
3
Tema 6. Ideas clave
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𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥− 2
𝑥𝑥3+ √3
√𝑥𝑥; 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 1
2𝑥𝑥−1 − 2𝑥𝑥−3 + �3𝑥𝑥−1 2⁄ ; 𝑠𝑠′(𝑥𝑥) = −1
2𝑥𝑥−2 +
6𝑥𝑥−4 − √32𝑥𝑥−3 2⁄ ; 𝑠𝑠′(𝑥𝑥) = − 1
2𝑥𝑥2+ 6
𝑥𝑥4− √3
2√𝑥𝑥3; 𝑠𝑠′(𝑥𝑥) = − 1
2𝑥𝑥2+ 6
𝑥𝑥4− √3
2𝑥𝑥√𝑥𝑥
Actividad 4
Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 · 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑥𝑥
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 · cos 𝑥𝑥
ℎ(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3𝑥𝑥−1
𝑠𝑠(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥√𝑥𝑥+1
Soluciones:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 · 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑥𝑥; 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3 · 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥4 · 1𝑥𝑥
; 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3 · 𝑇𝑇𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥3
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 · cos 𝑥𝑥 ;𝑔𝑔′(𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥2√𝑥𝑥
− √𝑥𝑥 · 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥;𝑔𝑔′(𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥−2𝑥𝑥·𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑥𝑥2√𝑥𝑥
ℎ(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥3𝑥𝑥−1
;ℎ′(𝑥𝑥) = 3 (3𝑥𝑥−1)−3𝑥𝑥·3(3𝑥𝑥−1)2
;ℎ′(𝑥𝑥) = 9𝑥𝑥−3−9𝑥𝑥(3𝑥𝑥−1)2
;ℎ′(𝑥𝑥) = −3(3𝑥𝑥−1)2
𝑙𝑙(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥√𝑥𝑥+1
; 𝑙𝑙′(𝑥𝑥) =1
2√𝑥𝑥�√𝑥𝑥+1�−√𝑥𝑥 1
2√𝑥𝑥
�√𝑥𝑥+1�2 ; 𝑙𝑙′(𝑥𝑥) =
√𝑥𝑥+12√𝑥𝑥
− √𝑥𝑥2√𝑥𝑥
�√𝑥𝑥+1�2 ; 𝑙𝑙′(𝑥𝑥) =
√𝑥𝑥+1−√𝑥𝑥2√𝑥𝑥
(√𝑥𝑥+1)2; 𝑙𝑙′(𝑥𝑥) =
12√𝑥𝑥
(√𝑥𝑥+1)2; 𝑙𝑙′(𝑥𝑥) = 1
2√𝑥𝑥(√𝑥𝑥+1)2
Tema 6. Ideas clave
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Nota: en el recurso titulado Ejercicios de derivadas encontrarás varios ejercicios para
resolver de este tema de derivadas.
6.6. Referencias bibliográficas
Balbás, A., Gil, J. y Gutiérrez, S. (1989). Análisis matemático para la economía Vol. I
Madrid: Alfa Centauro.
Caballero, R., González, A. y Triguero, F. (1992). Métodos matemáticos para la
economía. Madrid: McGraw-Hill.
Chiang, A. (1987). Métodos fundamentales de economía matemática. Madrid:
McGraw-Hill.
Jarne, G., Pérez-Gras, I. y Minguillón, E. (1997). Matemáticas para la economía.
Madrid: McGraw-Hill.
López, M. y Vegas, A. (1994). Curso básico de matemáticas para la economía y
dirección de empresas I. Madrid: Pirámide.
Sydsaeter, K. y Hammond, Peter J. (2008). Matemáticas para el análisis económico.
Madrid: Perentice Hall.
Tema 6. A fondo
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A fondo
¿Qué es y para qué sirve una derivada?
Iriarte, M. (2012). ¿Qué es y para qué sirve una derivada? Incress.com.
En esta entrada del profesor Mariano Iriarte en el Blog de Incress se plantea uno de
las evidencias más comunes que se producen en la enseñanza de las matemáticas: el
alumno adquiere la operativa, pero ignora su significado y utilidad de lo aprendido.
Basándose en esta premisa, Iriarte intenta explicar qué es una derivada y cómo se
aplica a algunas circunstancias de la vida real más o menos comunes. Espero que su
enfoque didáctico ayude a entender un poco mejor la utilidad de esta potente
herramienta que es el cálculo diferencial.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.incress.com/valores-participacion/2012/07/28/%c2%bfque-es-y-para-
que-sirve-una-derivada/
Calculadora de derivadas
Con esta calculadora podrás comprobar las derivadas que resuelvas y que no sepas si
están bien. Además tiene la ventaja que aparecen los pasos para llegar al resultado,
para que puedas comprobar donde te has confundido.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.calculadora-de-derivadas.com/
Ejercicios de derivadas
Tema 6. A fondo
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Encontraras muchos ejercicios de derivadas para que puedas practicar cómo se
calcula la derivada de cualquier función.
Accede al documento a través del aula virtual o desde la siguiente dirección web:
https://www.vitutor.com/fun/4/b_1.html
Tema 6. Test
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Test
1. Si la demanda de un determinado bien expresada por 𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 2000 ∙ 𝑝𝑝−1,2, en
donde el precio varía temporalmente según 𝑝𝑝(𝑐𝑐) = 2 + 0,2𝑐𝑐. ¿Cuál será la tasa de
cambio de la demanda dentro de cuatro unidades temporales?
A. 𝑑𝑑′(4) = −49,83.
B. 𝑑𝑑′(4) = 581,35.
C. 𝑑𝑑′(4) = 378,93.
D. 𝑑𝑑′(4) = −454,71.
2. Calcular el valor de la derivada primera de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥 en el punto 𝑥𝑥0 = 0.
A. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 1𝑥𝑥02
.
B. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 1
C. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = −∞.
D. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = −1𝑥𝑥02
.
3. Aplicando la regla de la cadena calcular la derivada de la función real compuesta
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔�2𝑥𝑥 + ℎ(𝑥𝑥)� definida en ℝ, siendo las funciones 𝑔𝑔(𝑥𝑥) y ℎ(𝑥𝑥) derivables:
A. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔′�2𝑥𝑥 + ℎ(𝑥𝑥)�.
B. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔′�2𝑥𝑥 + ℎ(𝑥𝑥)� + ℎ′(𝑥𝑥).
C. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔′�2𝑥𝑥 + ℎ(𝑥𝑥)� ∙ �2 + ℎ′(𝑥𝑥)�.
D. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 2 ∙ 𝑔𝑔′�2𝑥𝑥 + ℎ(𝑥𝑥)� ∙ ℎ′ (𝑥𝑥).
Tema 6. Test
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4. Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) definida en ℝ y continua en un punto 𝑥𝑥0, entonces podremos
afirmar que la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥):
A. Es derivable en 𝑥𝑥0.
B. No es derivable en 𝑥𝑥0.
C. Puede ser derivable en 𝑥𝑥0.
D. Es continua y derivable en 𝑥𝑥0.
5. Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1+𝑥𝑥2
1−𝑥𝑥2 , indicar cuál de las siguientes afirmaciones son
ciertas:
A. La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no es derivable en todo ℝ.
B. La función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es derivable en ℝ − {−1,1}.
C. Las derivadas laterales de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en ±1 son iguales.
D. Ninguna de las anteriores.
6. Dada una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (3𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥−2) definida en ℝ, calcular 𝑓𝑓′(2).
A. 9𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥−3.
B. 37.
C. 9𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥.
D. 35.
7. La derivada de una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en el punto 𝑥𝑥 = 4 vale −6, entonces se verifica
que:
A. La pendiente de la recta tangente a la curva en �4,𝑓𝑓(4)� vale – 6.
B. La ecuación de cualquier recta tangente es 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 6.
C. La ecuación de cualquier recta tangente es 𝑦𝑦 = −6𝑥𝑥 + 4.
D. Ninguna de las anteriores.
Tema 6. Test
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8. La ecuación de la recta 𝑦𝑦(𝑥𝑥), tangente a la curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 en el punto
�1,𝑓𝑓(1)�, se representa por la función:
A. 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 54𝑥𝑥 + 2.
B. 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 54𝑥𝑥 + 3
4.
C. 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 54𝑥𝑥 − 2.
D. 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 54𝑥𝑥 + 3.
9. La derivada de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 3𝑥𝑥4
es:
A. 1𝑥𝑥.
B. 14𝑥𝑥
.
C. 13𝑥𝑥
.
D. 116𝑥𝑥
.
10. La derivada de la función ��√𝑥𝑥 es:
A. 1√𝑥𝑥
.
B. 𝑥𝑥8.
C. 1�√𝑥𝑥
.
D. 18𝑥𝑥−
78.
