Cálculo Diferencial e Integral 1 - paginapessoal.utfpr.edu.brpaginapessoal.utfpr.edu.br/nunes/calculo-1/calculo-1-ma71a/03... · da função f, à função que associa a cada valor

2018/Sem_02

NOTAS DE AULA

Cálculo Diferencial e

Integral 1

Derivadas

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Cálculo 1

Cálculo Diferencial e Integral 1

ii

Índice 3 Derivadas .................................................................................................................. 1

3.1 Definição ........................................................................................................... 1 3.2 Função derivada ................................................................................................ 1 3.3 Derivadas das funções compostas ..................................................................... 3 3.4 Regras de derivação .......................................................................................... 3

3.5 A Derivada como Taxa de Variação ................................................................. 9 3.6 Interpretação geométrica da derivada. ............................................................ 10 3.7 Derivadas sucessivas ....................................................................................... 14 3.8 Interpretação cinemática das derivadas .......................................................... 15 3.9 Derivadas das funções implícitas .................................................................... 16

3.10 Crescimento e decrescimento de funções.................................................... 18 3.11 Taxas relacionadas ...................................................................................... 19 3.12 Máximos e mínimos .................................................................................... 22

3.13 Concavidade e pontos de inflexão ............................................................... 25 3.14 Problemas de otimização envolvendo máximos e mínimos........................ 28 3.15 A Regra de L’Hospital ................................................................................ 30 3.16 Diferenciais ................................................................................................. 31

3.17 Exercícios propostos ................................................................................... 33

Referências Bibliográficas ............................................................................................ 36

Prof. Nunes


1

3 Derivadas

3.1 Definição

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.

Chama-se derivada de f no ponto a, denotada por )(' af , )(adx

df ou )(aDf , ao limite:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

, se este limite existir e for finito.

Se escrevermos hax , então axh , e:

ax

afxfaf

ax

)()(lim)('

Exemplos:

1) Encontre a derivada da função 98)( 2 xxxf no ponto ax .

Resolução:

h

aahaha

h

afhafaf

hh

]98[]9)(8)[(lim

)()(lim)('

22

00

82)82(lim)82(

lim)('0

2

0

aha

h

hhaaf

hh

Resposta: 82)(' aaf

2) Encontre a derivada da função x

xf3

)( , no ponto de abscissa 3.

Resolução:

h

fhf

h

fhf

h

fhffm

hhh

)3()3(lim

)3()3(lim

)3()3(lim)3('

000

3

1

)3(

1lim

)3(lim3

33

lim

13

3

lim0000

hhh

h

h

h

h

h

hhhhh

Resposta: 3

1)3(' f

3.2 Função derivada

Definição: Seja f uma função derivável no intervalo aberto I. Chamamos de função derivada

da função f, à função que associa a cada valor de Ix , a derivada de f no ponto x.

Exemplo:

Encontre a função derivada da função xxxf 3)( .

Resolução:

h

xxhxhx

h

xfhxfxf

hh

][)]()[(lim

)()(lim)('

33

00

Prof. Nunes


2

h

hhxhhx

h

xxhxhxhhxx

hh

322

0

33223

0

33lim

33lim

13)133(lim 222

0

xhxhx

h

Resposta: 13)(' 2 xxf

Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I.

Dizemos que f é uma função diferenciável em a, se existir o limite:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

. Em outras palavras, uma função é diferenciável nos pontos a

onde existe )(' af .

Graficamente observa-se que uma função f é diferenciável nos pontos em que o gráfico é

“suave”.

Exemplo:

Encontre os pontos em que a função xxf )( é diferenciável.

Resolução:

)1o Para 0x , xx e para h suficientemente pequeno, 0 hx e portanto

hxhx , logo:

1limlim)('00

h

xhx

h

xhxxf

hh. Assim, xxf )( é diferenciável para valores

de 0x ;

)2o

Para 0x , xx e para h suficientemente pequeno, 0 hx e portanto

)( hxhx , logo:

1lim)()(

limlim)('000

h

xhx

h

xhx

h

xhxxf

hhh. Assim, xxf )( é

diferenciável para valores de 0x ;

)3o Para 0x , temos:

h

h

h

hf

hh 00lim

00lim)0('

.

Prof. Nunes


3

Mas 1limlim00

h

h

h

h

hh e 1limlim

00

h

h

h

h

hh.

Logo, como estes limites laterais são diferentes, concluímos que h

h

h 0lim

não existe.

Assim, xxf )( não é diferenciável no ponto 0x .

Resposta: xxf )( é diferenciável em todos os pontos, exceto, no ponto 0x .

De fato, observando o gráfico de xxf )( , vemos que o mesmo não é “suave” (forma uma

ponto), no ponto 0x .

Teorema: Sejam a função Af : e Ax 0 . Se f é derivável em 0x , então f é contínua

em 0x .

Observação: A recíproca deste teorema não é verdadeira.

3.3 Derivadas das funções compostas Consideremos duas funções deriváveis f e g onde )(ugy e )(xfu , isto é,

podemos considerar a função composta ))(o( xfg .

Então as derivadas du

dy e

dx

du existem e a derivada da função composta

))(())(o( xfgxfg tem derivada que é dada por: dx

du

du

dy

dx

dy ou )(')(')(' xfugxy .

Esta expressão é conhecida por Regra da Cadeia.

3.4 Regras de derivação

Aplicando-se a definição de função derivada, bem como a regra da cadeia, podemos

deduzir as seguintes regras de derivação.

kxf )( , k 0)(' xf

ukxf )( , k ')(' ukxf nuxf )( ')(' 1 uunxf n

n uxf )( n nun

uxf

1

')('

uaxf )( , 10 a 'ln)(' uaaxf u uexf )( ')(' uexf u vuxf )( 'ln')(' 1 vuuuuvxf vv

vuxf )( '')(' vuxf

vuxf )( '')(' vuvuxf

v

uxf )(

2

'')('

v

vuvuxf

uxf alog)( au

uxf

ln

')('

Prof. Nunes


4

uxf ln)( u

uxf

')('

uxf sen)( 'cos)(' uuxf

uxf cos)( 'sen)(' uuxf

uxf tg)( 'sec)(' 2 uuxf

uxf sec)( 'tgsec)(' uuuxf

uxf cossec)( 'cotgseccos)(' uuuxf

uxf cotg)( 'cossec)(' 2 uuxf

uxf senarc)( 21

')('

u

uxf

uxf cosarc)( 21

')('

u

uxf

uxf tgarc)( 21

')('

u

uxf

uxf secarc)( 1

')('

2

uu

uxf

uxf cossecarc)( 1

')('

2

uu

uxf

uxf cotgarc)( 21

')('

u

uxf

Exemplos:

1) Utilizando as regras de derivação, encontre a função derivada de cada uma das seguintes

funções:

a) 3)( xf

Resolução:

0)('3)( xfxf

Resposta: 0)(' xf

b) xxf )(

Resolução:

1)(')( xfxxf

Resposta: 1)(' xf

c) xxf 2)('

Resolução:

212]'[2)('2)( xxfxxf

Resposta: 2)(' xf

d) 2)( xxf

Prof. Nunes


5

Resolução:

xxxxxfxxf 212]'[2)(')( 122

Resposta: xxf 2)('

e) 2)( xxf

Resolução:

3

3122 212]'[2)(')(

xxxxxfxxf

Resposta: 3

2)('

xxf

f) 3 2)( xxf

Resolução:

3

1

3

11

3

2

3

2

3 2

3

21

3

2]'[

3

2)(')()(

xxxxxfxxfxxf

Resposta: 3

1

3

2)('

xxf

g) 5610412)( 3458 xxxxxxf

Resolução:

]'5[]'6[]'10[]'4[]'12[]'[)('5610412)( 34583458 xxxxxxfxxxxxxf

06103441258)(' 2347 xxxxxf

63016608)(' 2347 xxxxxf

Resposta: 63016608)(' 2347 xxxxxf

h) xxxf e)(

Resolução:

xxxxxx xxxxxfxxf e)1(ee1]'e[e]'[)('e)(

Resposta: xxxf e)1()('

i) )()( bxaxxf

Resolução:

)0()(]'[)'()(]'[)(')()( 2

1

bxbxaxbxaxbxaxxfbxaxxf

x

bxaxbbxaxbxbxaxxf

2

3)(

2

1)0()(

2

1)(' 2

11

2

1

Resposta: x

bxaxf

2

3)('

Prof. Nunes


6

j) 6

2)(

3

2

x

xxxf

Resolução:

23

3232

3

2

)6(

]'6[)2()6(]'2[)('

6

2)(

x

xxxxxxxf

x

xxxf

23

234

23

223

)6(

61262

)6(

)03()2()6()012()('

x

xxxx

x

xxxxxxf

Resposta: 23

234

)6(

61262)('

x

xxxxxf

k) 1)( 2 xxf

Resolução:

]'1[)1(2

1)(')1()(1)( 2

12

1

22

1

22 xxxfxxfxxf

1)02()1(

2

1)('

2

2

1

2

x

xxxxf

Resposta: 1

)('2

x

xxf

l) 1003 )1()( xxf

Resolução:

]'03[)1(100]'1[)1(100)(')1()( 29933110031003 xxxxxfxxf

2993 )1(300)(' xxxf

Resposta: 2993 )1(300)(' xxxf

m)

9

12

2)(

x

xxf

Resolução:

]'12

2[

12

29)('

12

2)(

199

x

x

x

xxf

x

xxf

2

8

)12(

]'12[)2()12(]'2[

12

29)('

x

xxxx

x

xxf

2

8

2

8

)12(

)2(2)12(

12

29

)12(

)02()2()12()01(

12

29)('

x

xx

x

x

x

xx

x

xxf

10

8

)12(

)2(45)('

x

xxf

Prof. Nunes


7

Resposta: 10

8

)12(

)2(45)('

x

xxf

n) 435 )1()12()( xxxxf

Resolução:

]')1[()12()1(]')12[()(')1()12()( 435435435 xxxxxxxfxxxxf

]'1[)1(4)12()1(]'12[)12(5)(' 314354315 xxxxxxxxxxf

)013()1(4)12()1()02()12(5)(' 2335434 xxxxxxxxf

)13()1()12(4)1()12(10)(' 2335434 xxxxxxxxf

Resposta: )13()1()12(4)1()12(10)(' 2335434 xxxxxxxxf

o) xxf sene)(

Resolução:

xxxfxf xxx cose]'sen[e)('e)( sensensen

Resposta: xxf x cose)(' sen

p) xxf 3sece)(

Resolução:

33tg3sece]'3[3tg3sece]'3sec[e)('e)( 3sec3sec3sec3sec xxxxxxxfxf xxxx

Resposta: xxxf x 3tg3sece3)(' 3sec

q) x

xxf

tg1

sec)(

Resolução:

2)tg1(

]'tg1[)(sec)tg1(]'[sec)('

tg1

sec)(

x

xxxxxf

x

xxf

2

2

)tg1(

)'sec0()(sec)tg1('tgsec)('

x

xxxxxxxxf

2

22

2

2

)tg1(

)sectg(tgsec

)tg1(

)1(sec)(sec)tg1(1tgsec)('

x

xxxx

x

xxxxxxf

22

22

)tg1(

)1(tgsec

)tg1(

))tg1(tg(tgsec)('

x

xx

x

xxxxxf

Resposta: 2)tg1(

)1(tgsec)('

x

xxxf

r) )32(cos)( 5 xxf

Resolução:

Prof. Nunes


8

)]'32[cos()32(cos5)(')32(cos)( 45 xxxfxxf

]'32[))32(sen()32(cos5)(' 4 xxxxf

)02())32(sen()32(cos5)(' 4 xxxf

)32(sen)32(cos10)(' 4 xxxf

Resposta:

s)

5

1ln)(

2

2

x

xxf

Resolução:

5

1

)5(

]'5[)1()5(]'1[

5

1

']5

1[

)('5

1ln)(

2

2

22

2222

2

2

2

2

2

2

x

x

x

xxxx

x

x

x

x

xfx

xxf

5

1

)5(

)1(2)5(2

5

1

)5(

)02()1()5()02(

)('

2

2

22

22

2

2

22

22

x

x

x

xxxx

x

x

x

xxxx

xf

)5()1(

12

5

1

)5(

12

)('22

2

2

22

xx

x

x

x

x

x

xf

Resposta: )5()1(

12)('

22

xx

xxf

t) )3(sen)( 23 xxxf

Resolução:

)]'3(sen[)3(sen3)(')3(sen)( 22223 xxxxxfxxxf

)32()3(cos)3(sen3]'3[)3(cos)3(sen3)(' 2222222 xxxxxxxxxxxxf

)3(cos)3(sen)32(3)(' 222 xxxxxxf

Resposta: )3(cos)3(sen)32(3)(' 222 xxxxxxf

u) 32 )3(sen)( xxxf

Resolução:

]')3[()3(cos)(')3(sen)( 323232 xxxxxfxxxf

]'3[)3(3)3(cos]')3[()3(cos)(' 222323232 xxxxxxxxxxxf

22322232 )3()3(cos)32(3)32()3(3)3(cos)(' xxxxxxxxxxxf

Prof. Nunes


9

Resposta: 2232 )3()3(cos)32(3)(' xxxxxxf

v) xxxf cos32

e)(

Resolução:

)]'[cos32(e]'cos3[e)('e)( cos32cos3cos3 222

xxxxxfxf xxxxxx

)sen32(e))sen(32(e)(' cos3cos3 22

xxxxxf xxxx

Resposta: )sen32(e)(' cos32

xxxf xx

x) xxf e)(

Resolução:

xxxx xxfxf e)1(e]'[e)('e)(

Resposta: xxf e)('

y) xxf 3e)(

Resolução:

xxxx xxfxf 3333 e3)3(e]'3[e)('e)(

Resposta: xxf 3e3)('

z) xxxf )(

Resolução:

1ln1]'[ln]'[)(')( 11 xxxxxxxxxxxfxxf xxxxx

)ln1(ln1)(' xxxxxxf xxx

Resposta: )ln1()(' xxxf x

3.5 A Derivada como Taxa de Variação

Se uma quantidade y é uma função de uma quantidade x, podemos expressar a taxa de

variação de y por unidade de variação em x. Se a relação funcional é dada por )(xfy e se x

varia do valor a para xa , então y varia de )(af para )( xaf . Assim, a variação em y

que pode ser denotada por y será )()( afxaf , quando a variação em x for x . Então,

a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, quando x varia de a para xa ,

será x

y

x

afxaf

)()(.

Se o limite deste quociente existir quando 0x , este limite será o que

intuitivamente consideramos a taxa de variação instantânea de y por unidade de variação de x

em a, isto é: x

afxafaf

x

)()(lim)('

0

Prof. Nunes


10

Exemplo:

Se uma determinada substância for aquecida, a temperatura (em graus Célcius), após t

minutos, 50 t , será dada por 8630)( tttT .

a) Determine a taxa média de variação de T no intervalo de tempo 41,44 t ;

b) Determine a taxa de variação instantânea de T, quando 4t .

Resolução:

a) min/46,3141,0

1409,152

441,4

)4()41,4( 0CTT

b) t

ttTtttTtttT3

3062

130)('8630)(8630)(

12

1

2

1

min/5,312

330

4

330)4('

330)(' 0CT

ttT

Respostas: a) min/46,31 0C b) min/5,31 0C

3.6 Interpretação geométrica da derivada. Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I. Vamos admitir ainda, que

exista a derivada de f no ponto Ia . Então, o coeficiente angular m da reta tangente ao

gráfico de f no ponto de abscissa a é )(' af .

Isto é: x

afxafafm

x

)()(lim)('

0.

Quando 0x temos que ts e

Prof. Nunes


11

Vale a pena lembrar, que a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem

coeficiente angular m é dada por: )( 00 xxmyy .

Exemplo:

1) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função 98)( 2 xxxf , no ponto de

abscissa 3.

Resolução:

98)( 2 xxxf 82)(' aaf . Logo 2832)3(' fm .

O ponto de abscissa 3 tem imagem: 69383)3( 2 f .

Assim, o exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico da referida função no ponto

)6,3( .

Finalmente, a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem coeficiente angular m

é dada por: )( 00 xxmyy .

Assim, temos xyxy 2)3(2)6(

Resposta: xy 2 .

Prof. Nunes


12

2) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x

xf3

)( , no ponto de abscissa

3.

Resolução:

222

3130]'[3]'3[)('

xx

x

x

xxxf

3

1

3

3)3('

2 fm

O ponto de abscissa 3 tem imagem: 13

3)3( f .

Assim, o exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico da referida função no ponto

)1,3( .



Assim, temos xyxy3

12)3(

3

11

Resposta: xy3

12 .

3) Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva xxy , no ponto (1, 1).

Resolução:

xyxxxyxxxyxxy2

3'

2

3

2

3

2

3' 2

11

2

3

2

3

2

1

2

31

2

3)1(' ym



Assim, temos 2

1

2

3)1(

2

31 xyxy

Prof. Nunes


13

A reta normal, tem coeficiente angular igual a m

1 .

Assim, a equação da reta que passa pelo ponto ),( 00 yx e que tem coeficiente angular m

1 é

dada por: 3

5

3

2)1(

3

21)1(

2

3

11)(

100 xyxyxyxx

myy .

Respostas:

Reta tangente no ponto (1, 1):2

1

2

3 xy

Reta normal no ponto (1, 1):3

5

3

2 xy

4) Encontre os pontos sobre a curva 46 24 xxy , onde as retas tangentes são horizontais.

Resolução:

)3(4124'46 2324 xxxxyxxy

3

00)3(4' 2

x

xxxy

Procurando as imagens destes pontos na função, obtemos: )4,0( , )5,3( e )5,3(

Prof. Nunes


14

Respostas: )4,0( , )5,3( e )5,3(

5) Encontre o ponto sobre a curva xy e , onde a reta tangente é paralela à reta xy 2 .

Resolução: xx xfxfy e)('e)(

Supondo (a, b) o ponto de

tangência: 2ln2ln12lneln2lneln2e)(' aaaaf aa

Se 2e2ln 2ln ya (lembrar que se tyyt lne )

Logo o referido ponto é: )2,2ln(

Resposta: )2,2ln(

3.7 Derivadas sucessivas

Seja f uma função contínua em um intervalo I e seja 1I o conjunto dos pontos de I ,

em que f é derivável. Em 1I definimos a função 'f , chamada de função derivada primeira

de f. Seja 2I o conjunto dos pontos de 1I em que 'f é derivável. Em 2I , definimos a função

Prof. Nunes


15

''f , chamada de função derivada segunda de f. Repetindo o processo, podemos definir as

derivadas terceira, quarta, etc. de f. A derivada de ordem n de f é denotada por )(nf .

Outras notações para as derivadas sucessivas:

Derivada primeiradx

dyf

dx

dfy ''

Derivada segunda 2

2

)(''''dx

yd

dx

dy

dx

dfy

Derivada terceira 3

3

2

2

)(''''''dx

yd

dx

yd

dx

dfy

Exemplos:

1) Calcular as derivadas sucessivas de 745)( 2 xxxf

Resolução:

410)(' xxf

10)('' xf

0)()()(''' )5()4( xfxfxf

2) Calcular as derivadas sucessivas de xxxf e)(

Resolução: xxxxx xxxxxf e)1(ee1]'e[e]'[)('

xxxxx xxxxxf e)2(e)1(e1]'e[)1(e)]'1[()('' xxxxx xxxxxf e)3(e)2(e1]'e[)2(e)]'2[()('''

xn nxxf e)()()(

3.8 Interpretação cinemática das derivadas Se a distância percorrida por um móvel a partir de uma posição é dada por )(txx ,

então:

a) a velocidade média entre dois instantes 0t e 1t é: 01

01 )()(

tt

txtxvm

b) a velocidade instantânea no instante 0t é: 01

01

00

)()(lim)()('

010 tt

txtxt

dt

dxtxv

ttt

c) a aceleração média entre dois instantes 0t e 1t é: 01

01 )()(

tt

tvtvam

d) a aceleração instantânea no instante 0t é: 01

01

02

2

0

)()(lim)()(''

010 tt

tvtvt

dt

xdtxa

ttt

Exemplos:

1) Segundo a lei do movimento uniformemente acelerado, 2

002

)( ta

tvxtx .

Se 00 x e 20 v , calcule a velocidade instantânea de um móvel que obedece esta lei, no

instante 4t segundos, sendo x em metros.

Prof. Nunes


16

Resolução:

222

002

22

202

)( ta

txta

txta

tvxtx

aaxvtatxtvta

ttx 4242)4(')4(2)(')(2

2)( 2

Resposta: av 42)4(

2) Uma partícula se move segundo a função 23 248)( tttx . Em que instante sua

velocidade será nula (x em metros e t em segundos)?

Resolução:

tttxtvtttx 4824)(')(248)( 223

)impossível(2

00)2(2404824)(')( 2

t

ttttttxtv

Resposta: 0t segundos.

3) Uma partícula se move segundo a função 4223)( 23 ttttx . Ache a velocidade

e a aceleração no instante 3t segundos (x em metros).

Resolução:

249)()(')( 2 tttdt

dxtxtv

418)()('')()(')(2

2

ttdt

xdtst

dt

dvtvta

Logo,

s/m7123439)3( 2 v 2s/m504318)3( a

Resposta: s/m71)3( v e 2s/m50)3( a

3.9 Derivadas das funções implícitas

Exemplos de funções na forma implícita:

a) 02 24 yxyx

b) )(cos yxxy

c) 2522 yx

Para obtermos a derivada de uma função dada na forma implícita, primeiro derivamos

toda a expressão em relação a x, tomando y como uma função de x. Na sequência, isolamos

dx

dy ou y’.

Assim, temos:

a) ?02 24 dx

dyyxyx

Resolução:

02)(2402 324

dx

dyy

dx

dyxy

dx

dxxyxyx

0222402)1(24 33

dx

dyy

dx

dyxyx

dx

dyy

dx

dyxyx

Prof. Nunes


17

yxyxdx

dy

dx

dyy

dx

dyxyx 24)22(02224 33

yx

yx

yx

yx

dx

dy

33 2

22

24

Resposta: yx

yx

dx

dy

32

b) ?)(cos dx

dyyxxy

Resolução:

)(cos)(cos)(cos yxdx

dxyx

dx

dx

dx

dyyxxy

))()(sen()(cos1 yxdx

dyxxyx

dx

dy

))((sen)(cosdx

dyxyx

dx

dyxxyx

dx

dy

)1)((sen)(cosdx

dyxyyxxyx

dx

dy

dx

dyyxxyxyxyx

dx

dy)(sen)(sen)(cos 2

)(sen)(cos)(sen2 yxyxyxdx

dyyxx

dx

dy

)(sen)(cos))(sen1( 2 yxyxyxyxxdx

dy

)(sen1

)(sen)(cos2 yxx

yxyxyx

dx

dy

Resposta: )(sen1

)(sen)(cos2 yxx

yxyxyx

dx

dy

c) ?2522 dx

dyyx

Resolução:

y

x

y

x

dx

dy

dx

dyyxyx

2

20222522

Resposta: y

x

dx

dy

Prof. Nunes


18

3.10 Crescimento e decrescimento de funções

Teorema: Seja f uma função contínua em ],[ ba e derivável em [,] ba . Então:

(i) [,]em0)(' baxf f é crescente em ],[ ba ;

(ii) [,]em0)(' baxf f é decrescente em ],[ ba ;

(iii) [,]em0)(' baxf f é constante em ],[ ba .

Exemplos:

1) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento da função xxxf 2)( 2 .

Resolução:

22)('2)( 2 xxfxxxf

Resposta:

Como 0)(' xf se 1x , temos que f é crescente se 1x ;

Como 0)(' xf se 1x , temos que f é decrescente se 1x ;

2) Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento da função 23 3)( xxxf .

Resolução:

xxxfxxxf 63)('3)( 223

Prof. Nunes


19

Resposta:

Como 0)(' xf se 0x e 2x , temos que f é crescente quando 0x e 2x ;

Como 0)(' xf se 20 x , temos que f é decrescente quando 20 x ;

3) Encontre os intervalos de crescimento da função xxxf ln)( 2 .

Resolução:

x

xxf

x

x

xxxfxxxf

12)('

1212)('ln)(

222

Para que f seja crescente, devemos ter: 012

0)('2

x

xxf .

Analisando os sinais do quadro, concluímos que se 012 2

x

x, então:

02

2 x ou

2

2x .

Resposta: 02

2 x ou

2

2x

3.11 Taxas relacionadas Existem alguns problemas relacionados com a taxa de variação de duas ou mais

variáveis em relação ao tempo. Na sequência são apresentados alguns exemplos.

Prof. Nunes


20

Exemplos:

1) Uma escada com 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base

da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s. Com que velocidade o topo da

escada está escorregando para baixo na parede, quando a base da escada está a 3m da parede?

Resolução:

m/s1dt

dx

?dt

dy (quando m3x )

dt

dx

y

x

dt

dy

dt

dyy

dt

dxxyx 0222522

Para 43 yx , logo s/m4

31

4

3

dt

dy (O sinal negativo indica que o topo da

escada está descendo, isto é, y está diminuindo com o tempo).

Resposta: s/m4

3

dt

dy

2) Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido (com o vértice para baixo),

com base de 2 m de raio e altura 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a

uma taxa de min/m2 3 , encontre a taxa pela qual o nível da água estará se elevando, quando

a água tiver 3 m de profundidade.

Resolução:

/minm2 3dt

dV

Prof. Nunes


21

?dt

dh (quando m3h )

hrV 2

3

1

Mas, 24

2 hr

h

r

3322

1212)

2(

3

1

3

1hVhh

hVhrV

Derivando esta última expressão, em relação ao tempo:

dt

dV

hdt

dh

dt

dhh

dt

dVhV

2

23 43

1212

Substituindo mh 3 e min/m2 3dt

dV, obtemos:

min/m28,023

42

dt

dh

dt

dh

Resposta: min/m28,0dt

dh

3) Um carro A segue em direção ao oeste com velocidade de 90 km/h e um carro B segue

rumo ao norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a intersecção de duas estradas. A

que taxa os carros se aproximam um do outro, quando o carro A está a 60 m e o carro B a 80

m da intersecção?

Resolução:

Para km06,0m60 x e km08,0m80 y , temos km1,0z

222 yxz

Derivando tudo em relação a t:

)(1

222222

dt

dyy

dt

dxx

zdt

dz

dt

dyy

dt

dxx

dt

dzzyxz

h/km134)]100(08,0)90(06,0[1,0

1)(

1

dt

dz

dt

dyy

dt

dxx

zdt

dz

Obs.: As velocidades dt

dx e

dt

dy estão negativas, pois x e y estão diminuindo com o tempo.

Prof. Nunes


22

Resposta: h/km134dt

dz

3.12 Máximos e mínimos

Definição: Uma função f tem um máximo relativo (ou máximo local) em c, se existir um

intervalo aberto I, contendo c, tal que )(),()( fDIxxfcf .

Definição: Uma função f tem um mínimo relativo (ou mínimo local) em c, se existir um

intervalo aberto I, contendo c, tal que )(),()( fDIxxfcf .

Definição: Dizemos que )(cf é um máximo absoluto (ou máximo global) da função f, se

)( fDc e )(),()( fDxxfcf .

Definição: Dizemos que )(cf é um mínimo absoluto (ou mínimo global) da função f, se

)( fDc e )(),()( fDxxfcf .

Exemplo:

Na figura que segue, os pontos que têm abscissas 1x , 2x , 3x e 4x são chamados de pontos

extremos da função f.

Os pontos 1x e 3x , são exemplos de pontos de máximo relativos (ou pontos de máximo

locais) de f.

Os pontos 2x e 4x , são exemplos de pontos de mínimos relativos (ou pontos de mínimo

locais) de f.

Os valores de )( 1xf , )( 2xf , )( 3xf e )( 4xf são também chamados de valores extremos de

f.

Definição: Um número )( fDc , tal que 0)(' cf ou que )(' cf não existe, é chamado de

ponto crítico de f.

Exemplo: Encontre os pontos críticos da função cuja regra é )4()( 5

3

xxxf .

Resolução:

)10()4(5

3)]'4[()4(]'[)(')4()( 5

31

5

3

5

3

5

3

5

3

xxxxxxxxfxxxf

Prof. Nunes


23

5

2

5

3

5

2

5

812)4(

5

3)('

x

xxxxxf

5

2

5

812)('

x

xxf

Fazendo 2

30

5

812)('

5

2

x

x

xxf e )(' xf não existe para 0x .

Logo, os pontos críticos de f são: 2

3x e 0x .

Respostas: 2

3x e 0x

Teorema: Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f.

3.12.1 Critérios para determinar os extremos de uma função

Teorema (Critério da derivada primeira):

Seja f uma função contínua em um intervalo fechado ],[ ba , que possui derivada em todo

ponto do intervalo aberto [,] ba , exceto possivelmente num ponto c.

(i) Se 0)(' xf para todo cx e se 0)(' xf para todo cx , então f tem um máximo

relativo em c;

(ii) Se 0)(' xf para todo cx e se 0)(' xf para todo cx , então f tem um mínimo

relativo em c.

Exemplo: Encontre os pontos de máximo e mínimo locais da função cuja regra é

67)( 3 xxxf .

Resolução:

73)('67)( 23 xxfxxxf .

Observando o gráfico de 73)(' 2 xxf , ou construindo um quadro de sinais, observamos

que:

Prof. Nunes


24

1) 0)(' xf para valores de 3

7x e 0)(' xf para valores de

3

7

3

7 x , logo, o

ponto que tem abscissa 3

7x é um ponto de máximo local de f;

2) 0)(' xf para valores de 3

7

3

7 x e 0)(' xf para valores de

3

7x , logo, o

ponto que tem abscissa 3

7x é um ponto de mínimo local de f;

Respostas: 3

7x é um ponto de máximo local de f e

3

7x é um ponto de mínimo

local de f;

Teorema (Critério da derivada segunda):

Seja f uma função derivável em um intervalo aberto [,] ba e c um ponto crítico de f neste

intervalo, isto é 0)(' cf , com bca . Se f admite ''f em [,] ba , temos:

(i) Se 0)('' xf , então f tem um máximo relativo em c;

(ii) Se 0)('' xf , então f tem um mínimo relativo em c.

Exemplo: Encontre os pontos de máximo e mínimo locais da função cuja regra é

196)( 23 xxxxf .

Resolução:

126)(''9123)('196)( 223 xxfxxxfxxxxf

3

109123)(' 2

x

xxxxf

Prof. Nunes


25

061216)1(''f logo f tem um máximo local em 1x .

061236)3(''f logo f tem um mínimo local em 3x .

3.13 Concavidade e pontos de inflexão

Definição: Uma função é dita côncava para cima no intervalo [,] ba , se )(' xf é crescente

neste intervalo;

Obs. Se )(' xf é crescente em um intervalo, então 0)('' xf neste intervalo.

Definição: Uma função é dita côncava para baixo no intervalo [,] ba , se )(' xf é decrescente

neste intervalo;

Obs. Se )(' xf é decrescente em um intervalo, então 0)('' xf neste intervalo.

Definição: Um ponto ))(,( cfcP do gráfico de uma função contínua f é chamado de

ponto de inflexão, se existe um intervalo [,] ba , contendo c, tal que uma das seguintes

situações ocorra:

(i) f é côncava para cima em [,] ca e côncava para baixo em [,] bc ;

(ii) f é côncava para baixo em [,] ca e côncava para cima em [,] bc ;

Em outras palavras, pontos de inflexão são pontos onde a curva de f muda o sentido da

concavidade, isto é, 'f passa de crescente para decrescente ou vice-versa. Isto significa

também, que são os pontos onde ''f passa de positiva para negativa, ou vice-versa (Logo são

os pontos que anulam ''f ).

Exemplos:

1) Encontre os pontos de máximo, pontos de mínimo e pontos de inflexão da função cuja

regra é xxxxf 5)( 23 .

Resolução:

)1o Procurando os pontos de máximo e de mínimo:

Prof. Nunes


26

26)(''523)('5)( 223 xxfxxxfxxxxf

3

5

1

0523)(' 2

x

x

xxxf

08216)1(''f logo f tem um mínimo local em 1x .

082)3

5(6)

3

5(''f logo f tem um máximo local em

3

5x .

)2o Procurando os pontos de inflexão:

3

1026)('' xxxf . Como o sinal de ''f muda em

3

1x , temos um ponto de

inflexão em 3

1x .

Respostas:

f tem um mínimo local em 1x .

f tem um máximo local em 3

5x .

f tem um ponto de inflexão em 3

1x .

2) Encontre os pontos de máximo, pontos de mínimo e pontos de inflexão da função cuja

regra é 34 4)( xxxf .

Prof. Nunes


27

Resolução:

)1o Procurando os pontos de máximo e de mínimo:

)2(122412)(''124)('4)( 22334 xxxxxfxxxfxxxf

3

00)3(40124)(' 223

x

xxxxxxf

036)23(312)3(''f f tem um mínimo local em 3x .

0)20(012)0(''f o teste da derivada segunda é inconclusivo. Neste caso,

aplicamos o teste da derivada primeira para 0x .

Como o sinal da derivada primeira é negativo para 0x e também para 30 x (ver

quadro de sinais), concluímos que não existe máximo nem mínimo locais em 0x .

)2o Procurando os pontos de inflexão:

Como ''f muda de sinal em 0x e 2x , os pontos )0,0( e )16,2( são pontos de

inflexão de f.

Prof. Nunes


28

Respostas:

f tem um mínimo local em 3x .

f não tem um máximos locais.

Os pontos )0,0( e )16,2( são pontos de inflexão de f.

3.14 Problemas de otimização envolvendo máximos e mínimos

Exemplos:

1) Toma-se uma folha quadrada de papelão, de lado igual a 12, para construir uma caixa

de base quadrada e sem tampa. De cada um dos cantos corta-se um quadrado de lado

igual a x, conforme a figura que segue. Calcular o valor de x para que o volume da caixa

seja máximo.

Resolução:

A superfície do fundo da caixa é 2)212()( xxS , logo o volume da mesma será:

xxxxxxV 144484)212()( 232

1449612)(' 2 xxxV

6

201449612)(' 2

x

xxxxV

9624)('' xxV

04896224)2(''V V é máximo!

Mas para 6x não haverá caixa!

Prof. Nunes


29

Resposta: 2x .

2) Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que

minimizam o custo de material para produzir a lata.

Resolução:

hrrA 22 2

2

23 1000cm1000litro1

rhhrV

Logo, r

rrAr

rrrA2000

2)(1000

22)( 2

2

2

2

3

2

2 )500(420004)('

20002)(

r

r

rrrA

rrrA

Fazendo 32

3500

0)500(4

0)('

r

r

rrA .

Substituindo 3500

r em

2

1000

rh

, obtemos )500

(2 3

h

O teste da derivada primeira ou da derivada segunda mostram que se trata de um mínimo

global de f (verifique!).

Resposta: 3500

r e )

500(2 3

h .

3) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em

um cone circular reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm.

Resolução:

Prof. Nunes


30

5

12605

12

12 rh

rh

hrV 2

)5(5

12

5

1260)( 322 rr

rrrV

)610(5

12)('')310(

5

12)(')5(

5

12)( 232 rrVrrrVrrrV

Fazendo

3

10

0

03100)310(5

120)(' Fazendo 22

r

r

rrrrrV

0)3

10610(

5

12)

3

10(''

V

Substituindo 3

10r em

5

1260 rh

, obtemos 4h e 3cm

9

400r

Resposta: 3

10r e 4h .

3.15 A Regra de L’Hospital

Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto, possivelmente, em

um ponto Ia . Suponhamos que 0)(' xg para todo ax em I.

(i) Se 0)(lim)(lim

xgxfaxax

e Lxg

xf

ax

)('

)('lim , então L

xg

xf

xg

xf

axax

)('

)('lim

)(

)(lim ;

(i) Se

)(lim)(lim xgxfaxax

e Lxg

xf

ax

)('

)('lim , então L

xg

xf

xg

xf

axax

)('

)('lim

)(

)(lim ;

Exemplos:

1) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar 1e

2lim

0 xx

x

Resolução:

?0

0

1e

2lim

0

xx

x

21

2

e

2lim

]'1e[

]'2[lim

1e

2lim

000

xxxxxx

xx

Resposta: 2

2) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar 23

6lim

2

2

2

xx

xx

x

Resolução:

Prof. Nunes


31

?0

0

23

6lim

2

2

2

xx

xx

x

51

5

32

12lim

]'23[

]'6[lim

23

6lim

22

2

22

2

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xxx

Resposta: 5

3) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar 43

1elim

2

x

x

x

Resolução:

?43

1elim

2

x

x

x

?6

elim

]'43[

]'1[elim

43

1elim

22

xxx

x

x

x

x

x

x

Aplicando-se novamente a regra de L’Hospital:

6

elim

]'6[

]'[elim

6

elim

]'43[

]'1[elim

43

1elim

22

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x xxxx

Resposta:

3.16 Diferenciais Seja )(xfy uma função. Podemos considerar sempre uma variação da variável

independente x, que denotaremos por x . A variação de x origina uma correspondente

variação em y, que denotaremos y . Então temos:

(i) A diferencial da variável independente x será denotada por xdx ;

(ii) A diferencial da variável dependente y será denotada por xxfdy )(' .

Temos que para valores de x muito pequenos, dy será uma boa aproximação para y ,

isto é: dxy .

Exemplos:

1) Ache um valor aproximado para 3 28 .

Resolução:

Prof. Nunes


32

3 xy

Fazendo 27x em 3 xy , obtemos 3273 y

yyxxyx 33

dyy 3312728 33 (neste caso, 27x , 1x e ydy ).

3 23 2

3

21

3

1

3

1

3

3

1)('

3

1

3

1

3

1)(')(

xxf

xxxxfxxxfy

Mas 27

11

27

1

3

1)('

3 2

dydx

xdxxfdy

Logo 037,327

13283 .

Resposta: 037,3283

2) Ache um valor aproximado para o44tg .

Resolução:

xy tg

Fazendo rad4

45o x em xy tg , obtemos 1

4tg

y .

rad180

1o

yyxxyx )(tgtg

dyy 11)1804

(tg)145(tg44tg ooo (neste caso,

4

x ,

180

x e

ydy ).

xxfxxfy 2sec)('tg)(

Mas 90

)180

(

)2

2(

1

cos

1sec)('

2

2

2 dx

xdydxxdxxfdy .

90111)

1804(tg)145(tg44tg ooo

dyy

Logo 90

144tg o .

Resposta: 90

144tg o

3) Utilizando diferenciais, encontre o volume aproximado de uma concha esférica cujo

raio interior é de 4 cm e cuja espessura é 16

1 cm.

Prof. Nunes


33

Resolução:

drrdVrV 23 43

4

416

1444 22 drrdV

Portanto, 3cm4 V

Resposta: 3cm4

3.17 Exercícios propostos

1) Utilizando as regras de derivação, obtenha as funções derivadas das seguintes funções:

a) 62 )535()( xxxf Resposta:

52 )535)(310(6)(' xxxxf

b) 3

2)1

11()(

xxxf Resposta:

2

223)1

11)(

12(3)('

xxxxxf

c) 52 )23(

1)(

xxxf Resposta:

62 )23)(32(5)(' xxxxf

d) x

xf1

4)( Resposta:

xx

xf1

42

1)('

2

e) 1

1)(

x

xxf Resposta:

1

1.)1(

1)('

2

x

xx

xf

f) 22 49.)( xxxf Resposta:

2

3

49

1218)('

x

xxxf

g) 63ln10)( xxxf Resposta: 310

)(' x

xf

h) 12e)( xxf Resposta: 12e.2)(' xxf

i) 3 3 1ln)( xxf Resposta:

1)('

3

2

x

xxf

j) )4sen()( 2 xxf Resposta: )4cos(.2)(' 2 xxxf

k) )6cos(6)( xxf Resposta: )6(sen36)(' xxf

Prof. Nunes


34

2) Encontre a equação da reta tangente à curva 21

e

xy

x

, no ponto (1,

2

e).

Resposta: Reta tangente no ponto (1, 2

e) de equação

2

ey (reta horizontal)

3) Encontre a derivada da seguinte função definida implicitamente: 1543 34 xxyy .

Determine ainda, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função, no ponto

)2,1( P .

Respostas: 34

5123

2

y

x

dx

dy e

29

17m .

4) Encontre a derivada da seguinte função definida implicitamente: yxy sen2 .

Resposta: yx

yx

dx

dy

cos1

sen22

5) Um corpo se desloca sobre um plano inclinado de acordo com a equação ttx 25 2

(x em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração deste corpo após 2

segundos da partida.

Resposta: s/m18v e 2s/m10a

6) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função

13159)( 23 xxxxf .

Respostas: Crescente para: 5ou1/ xxx , decrescente para: 51/ xx

7) Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de

min/m8 3 . Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce quando o raio r = 2 metros.

Resposta: min/m2

1

dt

dr

8) Uma escada de 13 m está apoiada em um parede. A base da escada está sendo empurrada

no sentido contrário ao da parede, a uma taxa constante de min/m6 . Qual é a velocidade

com a qual o topo da escada se move para baixo, encostado na parede, quando a base da

escada está a 5 m da parede?

Resposta: min/m2

5

dt

dy

9) Considerando a função :f , cuja regra é 32 4318)( xxxxf , encontre:

a) O intervalo de crescimento de f Resposta: 2

31 x

Prof. Nunes


35

b) O intervalo de decrescimento de f Resposta: 1x ou 2

3x

c) Os pontos de máximo locais de f Resposta: x = 2

3

d) Os pontos de mínimo locais de f Resposta: x = 1

e) Os pontos de inflexão de f Resposta: 4

1x

10) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 3cm375 . O custo do

material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por 2cm e o custo do material usado

para a parte curva (lateral do cilindro) é de 5 centavos por 2cm . Se não há perda de material,

determine as dimensões que minimizam o custo do material.

Resposta: r = 5 cm e h = 15 cm

11) Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, um dos quais formará um círculo e

o outro, um quadrado. Como deve ser cortado o fio para que a soma das áreas do círculo e do

quadrado seja máxima?

Resposta: 4

1

Ll e

4

42

Ll

12) Um fazendeiro precisa construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum,

conforme a figura. Se cada curral deve ter a mesma área A, qual é o comprimento mínimo que

a cerca deve ter?

Resposta: A34

13) Aplicando a regra de L’Hospital, determinar:

a) 1

lim2

2

1

x

xx

x b)

1

lnlim

1 x

x

x c)

xx

x

elim

99

Resposta: a) 2

1 b) 1 c) 0

14) Utilizando diferenciais, obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa

cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual é o erro decorrente se

resolvermos usando diferenciais?

Resposta: 3m4,8 dVV , 3m43,8 V , 3m03,0 dVV .

15) Utilizando diferenciais, calcule um valor aproximado para 3 5,65 .

Resposta: 03125,45,653

Prof. Nunes


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Referências Bibliográficas

1. Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B. Cálculo A – Funções, limite, derivação e

integração. 6.a Edição. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2006.

2. Iezzi, G. e Murakami, C. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 1. 6.a Edição.

São Paulo: Atual Editora, 1985.

3. Iezzi, G. et. al. Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 8. 6.a Edição. São Paulo:

Atual Editora, 1985.

4. Lima, E. L. et. al. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. 6.a Edição. Rio de Janeiro:

Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

5. Stewart, J. Cálculo. 6.a Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

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