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11
Cálculo diferencial e integral de una variable
Áreas entre
curvas.
22
Cálculo diferencial e integral de una variable
Habilidades
1. Identifica los dos tipos de regiones regulares con respectoa los ejes coordenados.
2. Calcula área entre curvas.3. Calcula volúmenes por el método de las secciones
transversales.4. Calcula volúmenes por el método del disco.5. Calcula volúmenes por el método de la arandela.
33
Cálculo diferencial e integral de una variable
Regiones regulares
Una región regular R con respecto al eje X es aquélla que puede describirse como:
Región regular con respecto al eje X:
Se caracteriza porque cada curva y=f(x) e y=g(x) está descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo [a,b].
R
y = f(x)
y = g(x)
X
Y
ba
xfyxg b,x/aRIyx,R 2
44
Cálculo diferencial e integral de una variable
Regiones regulares
Una región regular R con respecto al eje Y es aquélla que puede describirse como:
Región regular con respecto al eje Y:
Se caracteriza porque cada curva x=h(y) y x=i(y) está descrita por una sóla regla de correspondencia en el intervalo [c,d].
yhxyi d,y/cRIyx,R 2
x = h(y)
X
Yd
c
Rx = i (y)
55
Cálculo diferencial e integral de una variable
Área entre curvas
elemento diferencial de área:
Si la región es regular con respecto al eje X:
R
y = f(x)
y = g(x)
X
Y
ba x
b
a
dxg(x)f(x)A(R) ][
dAA(R)área de la región:
diferencial de área: dA=[f(x)-g(x)]dx
dx
f(x)-g(x)
66
Cálculo diferencial e integral de una variable
Área entre curvas
elemento diferencial de área:
Si la región es regular con respecto al eje Y:
diferencial de área: dA=[h(y)-i(y)]dy
d
c
dyi(y)h(y)A(R) ][
dAA(R)área de la región:
x = h(y)
X
Yd
c
Rx = i (y)
y dy
h(y)-i(y)
77
Cálculo diferencial e integral de una variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 6.1 y 6.2
Ejercicios 6.1 pág 438:1-30, 43-49.
Ejercicios 6.2 pág 448:1-36, 39-42, 45-69.
88
Cálculo diferencial e integral de una variable
Cálculo de áreas.
99
Cálculo diferencial e integral de una variable
1. Encuentre el área de la región dada en forma constructiva 2 2 2, / 2x y IR x y x x
Pasos:
1. Graficamos la región.
2. Encontramos los puntos de intersección.
3. Escogemos un rectángulo típico de aproximación.
4. Planteamos el diferencial de área.
5. Calculamos la integral.
1010
Cálculo diferencial e integral de una variable
1
0
22
22
2
2
dxxxxA
dxxxxdA
1111
Cálculo diferencial e integral de una variable
y
x0
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
a b( )
b
a
A f x dx ( )b
a
A f x dx
f(x)
dx
1212
Cálculo diferencial e integral de una variable
dx
y
x0 dx
y = f(x)
y = g(x)
f(x)
- g(x)
( ) - ( )b
a
A f x g x dx ( ) - ( )b
a
A f x g x dxdA =[f(x) - g(x)]dx
ba
1313
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo
1. Determine el área de la región acotada por y = 0, y = cos x, x = 0; x = .
2. Calcule el área de la región acotada por las curvas y = sen x, y = cos x , x = 0, x = /2
1414
Cálculo diferencial e integral de una variable
1. Encuentre el área de la región dada en forma constructiva
22 6
, / 12
yx y IR x y
1515
Cálculo diferencial e integral de una variable
dy
y
x0
dyx = g(y)
d
c
( )d
c
A g y dy ( )d
c
A g y dy
dA = g(y)dy
g(y)
1616
Cálculo diferencial e integral de una variable
dy
y
x0
x = g(y)
d
c
d
c
dyf(y)-g(y)A d
c
dyf(y)-g(y)A
dA = [f(y) - g(y)]dy
f(y)- g(y)
x = f(y)
dy
1717
Cálculo diferencial e integral de una variable
1. Hallar el área de la curva x = - y2 + 3 ; x = 0.
2. Encontrar el área de la región xy = 1; x = 0,5 ; x = 2; y = 0.
1818
Cálculo diferencial e integral de una variable
2. Plantee las integrales que permiten calcular el área entre las curvas; y = lnx ; y = ex ; y = 0.5 ; y = 1
1. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3; x1y2
1919
Cálculo diferencial e integral de una variable
3. Encontrar el valor del número K tal que la recta y = K divida la región limitada por las curvas y = x2 y y = 4 en dos regiones de áreas iguales.
4. ¿Para cuáles valores de m, la recta y = mx y la curva y = x/(x2 + 1) encierran una región? Hallar el área de dicha región.